Integracija teorije delno racionalnih funkcij. Integracija ulomkov-racionalnih funkcij

Preizkus integracije funkcij, vključno z racionalnimi ulomki, je namenjen študentom 1. in 2. letnika. Primeri integralov bodo zanimivi predvsem za matematike, ekonomiste in statistike. Ti primeri so bili vprašani med testom na LNU. I. Frank. Pogoji naslednjih primerov so »Poišči integral« ali »Izračunaj integral«, zato zaradi prihranka prostora in vašega časa niso bili izpisani.

Primer 15. Prišli smo do integracije ulomkov-racionalnih funkcij. Med integrali zavzemajo posebno mesto, saj zahtevajo veliko časa za računanje in pomagajo učiteljem pri preverjanju znanja ne le o integraciji. Za poenostavitev funkcije pod integralom dodamo in odštejemo izraz v števcu, ki nam bo omogočil razdelitev funkcije pod integralom na dve enostavni

Posledično en integral najdemo precej hitro, v drugem moramo ulomek razširiti v vsoto elementarnih ulomkov

Če jih strnemo na skupni imenovalec, dobimo naslednje številke

Nato odprite oklepaje in združite

Izenačimo vrednost za iste potence "x" na desni in levi. Posledično pridemo do sistema treh linearnih enačb (SLAE) s tremi neznankami.

Kako rešiti sisteme enačb je opisano v drugih člankih na spletnem mestu. V končni različici boste prejeli naslednjo rešitev SLAE
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Konstante nadomestimo v raztezanje ulomkov v enostavne in izvedemo integracijo


S tem se primer zaključi.

Primer 16. Spet moramo najti integral ulomljene racionalne funkcije. Za začetek kubično enačbo, ki jo vsebuje imenovalec ulomka, razgradimo na preproste faktorje

Nato ulomek razgradimo na najpreprostejše oblike

Desno stran skrčimo na skupni imenovalec in v števcu odpremo oklepaj.


Izenačimo koeficiente za enake stopnje spremenljivke. Pojdimo spet k SLAE s tremi neznankami

V razširitev nadomestimo vrednosti A, B, C in izračunamo integral

Prva dva člena podajata logaritem, zadnjega je tudi enostavno najti.

Primer 17. V imenovalcu ulomke racionalne funkcije imamo razliko kubov. S skrajšanimi formulami za množenje ga razgradimo na dva enostavna faktorja

Nato dobljeno ulomkovo funkcijo zapišemo v vsoto enostavnih ulomkov in jih reduciramo na skupni imenovalec

V števcu dobimo naslednji izraz.

Iz njega sestavimo sistem linearnih enačb za izračun 3 neznank

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
V formulo nadomestimo A, B, C in izvedemo integracijo. Posledično pridemo do naslednjega odgovora:


Tu smo števec drugega integrala pretvorili v logaritem, ostanek pod integralom pa daje arktangens.
Podobnih primerov integracije racionalnih ulomkov je na internetu veliko. Podobne primere lahko najdete v spodnjih materialih.

Izobraževalna ustanova "Beloruska država

kmetijska akademija"

Oddelek za višjo matematiko

Smernice

za študij teme “Integracija nekaterih funkcij” študentov Fakultete za računovodstvo za dopisno izobraževanje (NISPO)

Gorki, 2013

Integracija nekaterih funkcij

Integracija racionalnih funkcij

Funkcija obrazca
klical racionalni ulomek , če sta njen števec in imenovalec polinoma. Racionalni ulomek klical pravilno , če je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca. Če je stopnja števca večja ali enaka stopnji imenovalca, potem je racionalni ulomek klical narobe .

Ker lahko vsak nepravilni ulomek predstavimo kot vsoto polinoma in pravega ulomka, potem integracija nepravilnega racionalnega ulomka se zmanjša na integracijo polinoma in pravilnega racionalnega ulomka.

Polinome je enostavno integrirati. Oglejmo si integracijo ulomkov oblike
,
ki se imenujejo preprosti racionalni ulomki .

.

.

Naj imenovalec
ulomek ima prave korene in ga je mogoče predstaviti s produktom faktorjev oblike
. Nato za vsak tak faktor pride do razširitve oblike
. Torej vsak pravi racionalni ulomek lahko predstavimo kot vsoto končnega števila enostavnih ulomkov. To se naredi z uporabo metode nedoločenih koeficientov.

Primer 1 . Integriraj ulomek
.

rešitev .
Razstavimo integrand na preproste ulomke:

Izenačimo koeficiente za in brezplačni člani:
Rešimo ta sistem enačb in dobimo ,
. Potem

.

Integracija nekaterih iracionalnih funkcij

Če je integrand iracionalen, potem se lahko s spreminjanjem spremenljivke v mnogih primerih spravi v racionalno obliko ali v funkcijo, katere integral je tabeliran. Imenuje se integracija s spremembo spremenljivke, ki pripelje integrand v racionalno obliko integracija z racionalizacijo integranda .

Integrali oblike
reducirajo na integrale racionalnih funkcij argumenta t z uporabo zamenjave
, Kje k– najmanjši skupni večkratnik števil
.

Primer 2 . Poišči integral
.

rešitev . Najmanjši skupni večkratnik števil
in
je enako 6. Zato moramo uporabiti zamenjavo
. Potem

. Funkcijo integranda razčlenimo na najpreprostejše: . Izenačimo koeficiente za in brezplačni člani:
Od tu najdemo
Potem
. Tako je =
. Ker
, To
. V nastali izraz nadomestimo:

.

Integrali oblike
se reducirajo na integrale racionalnih funkcij z uporabo substitucije
.

Primer 3 . Poišči integral
.

rešitev . Izvedemo zamenjavo
:

.

Integriranje izrazov, ki vsebujejo

trigonometrične funkcije

Razmislimo o glavnih primerih integracije izrazov, ki vsebujejo trigonometrične funkcije.

Pri iskanju integralov oblike
,

,
funkcije integrand iz izdelka

vnosi se pretvorijo v zneske z uporabo formul:

Posledično se dobljeni integrali najdejo z integracijskimi metodami in tabelami integralov. V tem primeru lahko uporabite formule
in
.

Primer 4 . Poišči integral
.

rešitev . Uporabimo prvo od zgornjih formul:

Integrali oblike
je mogoče preprosto najti v naslednjih primerih.

če m je pozitivno liho število, potem lahko ločite prvo potenco sinusa in uporabite zamenjavo
. Potem
in integrand bo reduciran na potenčne funkcije z uporabo trigonometričnih formul. če n je pozitivno liho število, potem lahko ločite prvo potenco kosinusa in izvedete zamenjavo
. Potem
in integrand z uporabo trigonometričnih funkcij bo prav tako reduciran na potenčne funkcije.

Primer 5 . Poišči integral
.

rešitev .

.

Primer 6 . Poišči integral
.

rešitev .

če m in n so nenegativna soda števila, potem lahko transformacijo integrandov izvedemo z uporabo formul za zmanjševanje stopnje
in
.

Primer 7 . Poišči integral
.

rešitev .

.

Funkcija integrand je ulomek, katerega števec je potenca sinusa, imenovalec pa potenca kosinusa ali obratno. V tem primeru sta eksponenta oba soda ali oba liha, tj. enake paritete.

V tem primeru, če je števec sinus, je najprimernejša zamenjava
. Od tod
,
,
,
.

Če ima števec kosinus, je priročno uporabiti zamenjavo
. Potem
,
,
,
.

Primer 8 . Poišči integral
.

rešitev .

.

Iskanje integralov oblike
zmanjšano z uporabo zamenjave
k iskanju integralov racionalnih funkcij. Zamenjava
klical univerzalna trigonometrična zamenjava , ki vedno vodi do rezultatov. V tem primeru
,
,
,
,
.

Primer 9 . Poišči integral
.

rešitev .
.

Vprašanja za samokontrolo znanja

reducirajo na integrale racionalnih funkcij?

,

Kako se imenuje univerzalna trigonometrična substitucija in kdaj se uporablja?

Naloge za samostojno delo

Poiščite integrale racionalnih funkcij:

A)
; b)
; V)
.

2) Integrirajte izraze, ki vsebujejo trigonometrične funkcije:

A)
; b)
; V)
;

G)
; e)
.

Tukaj nudimo podrobne rešitve za tri primere integracije naslednjih racionalnih ulomkov:
, , .

Primer 1

Izračunaj integral:
.

rešitev

Tukaj je pod znakom integrala racionalna funkcija, saj je integrand ulomek polinomov. Stopnja polinoma imenovalca ( 3 ) manjša od stopnje polinoma števca ( 4 ). Zato morate najprej izbrati celoten del ulomka.

1. Izberimo cel del ulomka. Razdeli x 4 od x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Od tod
.

2. Razložimo imenovalec ulomka na faktorje. Če želite to narediti, morate rešiti kubično enačbo:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Zamenjajmo x = 1 :
.

1 . Deli z x - 1 :

Od tod
.
Reševanje kvadratne enačbe.
.
Koreni enačbe so: , .
Potem
.

3. Razčlenimo ulomek na najpreprostejšo obliko.

.

Tako smo ugotovili:
.
Integrirajmo se.

Odgovori

Primer 2

Izračunaj integral:
.

rešitev

Tukaj je števec ulomka polinom stopnje nič ( 1 = x 0). Imenovalec je polinom tretje stopnje. Zaradi 0 < 3 , potem je ulomek pravilen. Razčlenimo ga na preproste frakcije.

1. Razložimo imenovalec ulomka na faktorje. Če želite to narediti, morate rešiti enačbo tretje stopnje:
.
Predpostavimo, da ima vsaj en cel koren. Potem je to delitelj števila 3 (član brez x). To pomeni, da je celoten koren lahko eno od števil:
1, 3, -1, -3 .
Zamenjajmo x = 1 :
.

Torej, našli smo en koren x = 1 . Razdeli x 3 + 2 x - 3 na x - 1 :

Torej,
.

Reševanje kvadratne enačbe:
x 2 + x + 3 = 0.
Poiščite diskriminanco: D = 1 2 - 4 3 = -11. Ker je D< 0 , potem enačba nima pravih korenin. Tako smo dobili faktorizacijo imenovalca:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Zamenjajmo x = 1 . Potem x - 1 = 0 ,
.

Vstavimo se (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Izenačimo z (2.1) koeficienti za x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integrirajmo se.
(2.2) .
Za izračun drugega integrala izberemo odvod imenovalca v števcu in zreduciramo imenovalec na vsoto kvadratov.

;
;
.

Izračunaj I 2 .


.
Ker je enačba x 2 + x + 3 = 0 nima pravih korenin, potem x 2 + x + 3 > 0. Zato lahko znak modula izpustimo.

Dostavljamo do (2.2) :
.

Odgovori

Primer 3

Izračunaj integral:
.

rešitev

Tukaj je pod znakom integrala del polinomov. Zato je integrand racionalna funkcija. Stopnja polinoma v števcu je enaka 3 . Stopnja polinoma imenovalca ulomka je enaka 4 . Zaradi 3 < 4 , potem je ulomek pravilen. Zato ga je mogoče razstaviti na preproste frakcije. Toda za to morate faktorizirati imenovalec.

1. Razložimo imenovalec ulomka na faktorje. Če želite to narediti, morate rešiti enačbo četrte stopnje:
.
Predpostavimo, da ima vsaj en cel koren. Potem je to delitelj števila 2 (član brez x). To pomeni, da je celoten koren lahko eno od števil:
1, 2, -1, -2 .
Zamenjajmo x = -1 :
.

Torej, našli smo en koren x = -1 . Deli z x - (-1) = x + 1:


Torej,
.

Zdaj moramo rešiti enačbo tretje stopnje:
.
Če predpostavimo, da ima ta enačba celoštevilski koren, potem je delitelj števila 2 (član brez x). To pomeni, da je celoten koren lahko eno od števil:
1, 2, -1, -2 .
Zamenjajmo x = -1 :
.

Torej smo našli še en koren x = -1 . Možno bi bilo, kot v prejšnjem primeru, deliti polinom z , vendar bomo člene združili v skupine:
.

Ker je enačba x 2 + 2 = 0 nima pravih korenin, potem dobimo faktorizacijo imenovalca:
.

2. Razčlenimo ulomek na najpreprostejšo obliko. Iščemo razširitev v obliki:
.
Znebimo se imenovalca ulomka, pomnožimo s (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Zamenjajmo x = -1 . Potem x + 1 = 0 ,
.

Razlikujmo (3.1) :

;

.
Zamenjajmo x = -1 in upoštevajte, da x + 1 = 0 :
;
; .

Vstavimo se (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Izenačimo z (3.1) koeficienti za x 3 :
;
1 = B + C;
.

Tako smo našli razgradnjo na preproste ulomke:
.

3. Integrirajmo se.


.

Integracija racionalnih funkcij Ulomek - racionalna funkcija Najenostavnejši racionalni ulomki Razstavljanje racionalnega ulomka na enostavne ulomke Integracija enostavnih ulomkov Splošno pravilo za integracijo racionalnih ulomkov

polinom stopnje n. Ulomek - racionalna funkcija Ulomek - racionalna funkcija je funkcija, ki je enaka razmerju dveh polinomov: Racionalni ulomek se imenuje pravi, če je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca, to je m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Ulomek – racionalna funkcija Zmanjšaj nepravilni ulomek v pravilno obliko: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Najenostavnejši racionalni ulomki Pravilni racionalni ulomki oblike: Imenujejo se najenostavnejši racionalni ulomki vrst. sekira A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Razčlenitev racionalnega ulomka na enostavne ulomke Izrek: Vsak pravi racionalni ulomek, katerega imenovalec je faktoriziran: lahko poleg tega na edinstven način predstavimo v obliki vsote enostavnih ulomkov: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Razstavljanje racionalnega ulomka na enostavne ulomke Razložimo formulacijo izreka na naslednjih primerih: Za iskanje negotovih koeficientov A, B, C, D... uporabljamo dve metodi: metodo primerjanja koeficientov in metodo primerjanja koeficientov. delnih vrednosti spremenljivke. Oglejmo si prvo metodo na primeru. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x)

Razstavljanje racionalnega ulomka na enostavne ulomke Ulomek predstavimo kot vsoto enostavnih ulomkov: Najpreprostejše ulomke spravimo na skupni imenovalec Izenačimo števce dobljenega in prvotnega ulomka Izenačimo koeficiente pri enakih potencah x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integracija najpreprostejših ulomkov Poiščimo integrale najpreprostejših racionalnih ulomkov: Poglejmo integracijo ulomkov tipa 3 na primeru. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integracija enostavnih ulomkovdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Integracija enostavnih ulomkov Integral te vrste z uporabo substitucije: se zmanjša na vsoto dveh integralov: Prvi integral se izračuna tako, da se pod diferencialni predznak uvede t. Drugi integral se izračuna z uporabo rekurenčne formule: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk pri dt N pri dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integracija enostavnih ulomkov a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Splošno pravilo za integracijo racionalnih ulomkov Če je ulomek nepravilen, ga predstavite kot vsoto polinoma in pravega ulomka. Ko faktoriziramo imenovalec pravilnega racionalnega ulomka, ga predstavimo kot vsoto preprostih ulomkov z nedoločenimi koeficienti po metodi primerjave koeficientov ali po metodi delnih vrednosti spremenljivke. Integrirajte polinom in dobljeno vsoto enostavnih ulomkov.

Primer Zapišimo ulomek v pravilno obliko. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x

Primer Faktorizirajmo imenovalec pravega ulomka. Predstavimo ulomek kot vsoto enostavnih ulomkov. Poiščimo nedoločene koeficiente z metodo delnih vrednosti spremenljivke xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Primer dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Racionalna funkcija je ulomek oblike , katerega števec in imenovalec sta polinoma ali produkta polinoma.

Primer 1. 2. korak

.

Nedoločene koeficiente pomnožimo s polinomi, ki niso v tem posameznem ulomku, so pa v drugih nastalih ulomkih:

Odpremo oklepaje in izenačimo števec prvotnega integranda z nastalim izrazom:

V obeh straneh enakosti iščemo člene z enakimi potencami x in iz njih sestavimo sistem enačb:

.

Prekličemo vse x-e in dobimo enakovreden sistem enačb:

.

Tako je končna razširitev integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 2. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Zdaj začnemo iskati negotove koeficiente. Da bi to naredili, izenačimo števec prvotnega ulomka v funkcijskem izrazu s števcem izraza, dobljenega po zmanjševanju vsote ulomkov na skupni imenovalec:

Zdaj morate sestaviti in rešiti sistem enačb. Da bi to naredili, izenačimo koeficiente spremenljivke z ustrezno stopnjo v števcu prvotnega izraza funkcije in podobne koeficiente v izrazu, pridobljenem v prejšnjem koraku:

Rešimo nastali sistem:

Torej, od tukaj

.

Primer 3. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

Začnemo iskati negotove koeficiente. Da bi to naredili, izenačimo števec prvotnega ulomka v funkcijskem izrazu s števcem izraza, dobljenega po zmanjševanju vsote ulomkov na skupni imenovalec:

Kot v prejšnjih primerih sestavimo sistem enačb:

Zmanjšamo x in dobimo enakovredni sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 4. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Iz prejšnjih primerov že vemo, kako enačiti števec prvotnega ulomka z izrazom v števcu, ki ga dobimo, ko ulomek razstavimo na vsoto enostavnih ulomkov in to vsoto spravimo na skupni imenovalec. Zato samo za namene nadzora predstavljamo nastali sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

Primer 5. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

To vsoto neodvisno reduciramo na skupni imenovalec, pri čemer števec tega izraza enačimo s števcem prvotnega ulomka. Rezultat bi moral biti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

.

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 6. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

S to količino izvajamo enaka dejanja kot v prejšnjih primerih. Rezultat bi moral biti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

.

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 7. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Po določenih dejanjih z nastalo količino je treba dobiti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 8. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Naredimo nekaj sprememb v dejanjih, ki so bila že avtomatizirana, da dobimo sistem enačb. Obstaja umetna tehnika, ki v nekaterih primerih pomaga preprečiti nepotrebne izračune. Če vsoto ulomkov spravimo na skupni imenovalec, dobimo in izenačimo števec tega izraza s števcem prvotnega ulomka, dobimo.