Graf je omejen s spletnimi črtami. Določen integral

Začnemo obravnavati dejanski postopek izračuna dvojnega integrala in se seznanimo z njegovim geometrijskim pomenom.

Dvojni integral numerično enako površini ravna figura(regije integracije). to najpreprostejša oblika dvojni integral, ko je funkcija dveh spremenljivk enaka ena: .

Najprej razmislimo o problemu v splošni pogled. Zdaj boste precej presenečeni, kako preprosto je vse v resnici! Izračunajmo površino ravne figure, omejene s črtami. Za določnost predpostavimo, da na segmentu . Površina te figure je številčno enaka:

Upodobimo območje na risbi:

Izberimo prvi način prečkanja območja:

Torej:

In takoj pomemben tehnični trik: ponovljene integrale je mogoče izračunati ločeno. Najprej notranji integral, nato zunanji integral. To metodo zelo priporočam začetnikom v tej temi.

1) Izračunajmo notranji integral, integracijo pa izvedemo po spremenljivki “y”:

Nedoločen integral tukaj je najpreprostejši, nato pa se uporabi banalna Newton-Leibnizova formula, s to razliko, da meje integracije niso števila, ampak funkcije. Najprej so ga dali v "Y" ( antiderivativna funkcija) zgornja meja, potem – spodnja meja

2) Rezultat, dobljen v prvem odstavku, je treba nadomestiti v zunanji integral:

Strnjenejša predstavitev celotne rešitve izgleda takole:

Nastala formula je točno delovna formula za izračun ploščine ravninske figure z uporabo "navadnega" določenega integrala! Glej lekcijo Računanje ploščine z določenim integralom, tam je na vsakem koraku!

To je problem izračuna površine z uporabo dvojnega integrala ne dosti drugače iz problema iskanja ploščine z uporabo določenega integrala!

Pravzaprav gre za isto!

V skladu s tem ne bi smelo biti nobenih težav! Ne bom si ogledoval veliko primerov, saj ste se dejansko že večkrat srečali s to nalogo.

Primer 9

Rešitev: Na risbi upodabljamo območje:

Izberimo naslednji vrstni red prečkanja območja:

Tu in v nadaljevanju se ne bom osredotočal na to, kako prehoditi območje, saj so bile zelo podrobne razlage podane v prvem odstavku.

Torej:

1) Najprej z uporabo Newton-Leibnizove formule obravnavamo notranji integral:

2) Rezultat, dobljen v prvem koraku, nadomestimo z zunanjim integralom:

Točka 2 je pravzaprav iskanje ploščine ravninske figure z uporabo določenega integrala.

odgovor:

To je tako neumna in naivna naloga.

Zanimiv primer za neodvisna odločitev:

Primer 10

Z dvojnim integralom izračunajte ploščino ravninske figure, ki jo omejujejo črte , ,

Približen primer končne rešitve na koncu lekcije.

V primerih 9-10 je veliko bolj donosno uporabiti prvo metodo prečkanja območja; radovedni bralci lahko mimogrede spremenijo vrstni red prečkanja in izračunajo površine z drugo metodo. Če se ne zmotite, boste seveda dobili enake vrednosti površine.

Toda v nekaterih primerih je druga metoda prečkanja območja učinkovitejša in na koncu tečaja za mlade piflarje si poglejmo še nekaj primerov na to temo:

Primer 11

Z dvojnim integralom izračunajte ploščino ravninske figure, omejene s črtami,

Rešitev: veselimo se dveh parabol s prirobnico, ki ležita na svoji strani. Ni se treba smejati, podobne stvari se pogosto pojavljajo v več integralih.

Kako je najlažje narediti risbo?

Predstavljajmo si parabolo v obliki dveh funkcij:
– zgornja veja in – spodnja veja.

Podobno si predstavljajte parabolo v obliki zgornje in spodnje veje.

Nato točkovno risanje pravil grafov, kar ima za posledico to bizarno sliko:

Izračunamo površino figure z uporabo dvojnega integrala po formuli:

Kaj se zgodi, če izberemo prvi način prečkanja območja? Najprej bo treba to območje razdeliti na dva dela. In drugič, opazili bomo to žalostno sliko: . Integrali seveda niso super zapletene ravni, ampak ... obstaja star matematični rek: kdor je blizu svojih korenin, ne potrebuje preizkusa.

Zato iz nesporazuma, podanega v pogoju, izražamo inverzne funkcije:

Inverzne funkcije V v tem primeru imajo to prednost, da določijo celotno parabolo naenkrat brez listov, želodov, vej in korenin.

Po drugi metodi bo prečkanje območja naslednje:

Tu in v nadaljevanju se ne bom osredotočal na to, kako prehoditi območje, saj so bile zelo podrobne razlage podane v prvem odstavku.

Kot pravijo, občutite razliko.

1) Ukvarjamo se z notranjim integralom:

Rezultat nadomestimo v zunanji integral:

Integracija nad spremenljivko "y" ne bi smela povzročati zmede; če bi obstajala črka "zy", bi bilo super integrirati čez njo. Čeprav kdor je prebral drugi odstavek lekcije Kako izračunati prostornino vrtilnega telesa, nima več niti najmanjše nerodnosti pri integraciji po metodi »Y«.

Bodite pozorni tudi na prvi korak: integrand je sod, interval integracije pa je simetričen okoli ničle. Zato lahko segment prepolovimo, rezultat pa podvojimo. Ta tehnika podrobno komentiral v lekciji Učinkovite metode izračun določenega integrala.

Kaj dodati ... Vse!

odgovor:

Če želite preizkusiti svojo integracijsko tehniko, lahko poskusite izračunati . Odgovor bi moral biti popolnoma enak.

Primer 12

Z dvojnim integralom izračunajte ploščino ravninske figure, omejene s črtami

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Zanimivo je, da če poskusite uporabiti prvi način prečenja območja, figure ne bo treba več razdeliti na dva, temveč na tri dele! In v skladu s tem dobimo tri pare ponovljenih integralov. Tudi to se zgodi.

Mojstrski razred se je končal in čas je, da preidemo na velemojstrsko raven - Kako izračunati dvojni integral? Primeri rešitev. V drugem članku bom poskušal ne biti tako manialen =)

Želim vam uspeh!

Rešitve in odgovori:

Primer 2:rešitev: Narisujmo območje na risbi:

Izberimo naslednji vrstni red prečkanja območja:

Torej:
Pojdimo k inverznim funkcijam:


Torej:
odgovor:

Primer 4:rešitev: Pojdimo k neposrednim funkcijam:


Naredimo risbo:

Spremenimo vrstni red prečkanja območja:

odgovor:

Kako vstaviti matematične formule na spletno stran?

Če boste kdaj morali na spletno stran dodati eno ali dve matematični formuli, potem je to najlažji način, kot je opisano v članku: matematične formule se enostavno vstavijo na spletno mesto v obliki slik, ki jih samodejno ustvari Wolfram Alpha. . Poleg preprostosti, to univerzalna metoda bo pomagal izboljšati vidnost spletne strani iskalniki. Deluje že dolgo (in mislim, da bo deloval večno), vendar je že moralno zastarel.

Če na svojem spletnem mestu redno uporabljate matematične formule, priporočam, da uporabite MathJax – posebno knjižnico JavaScript, ki prikazuje matematični zapis v spletnih brskalnikih z uporabo oznak MathML, LaTeX ali ASCIIMathML.

MathJax lahko začnete uporabljati na dva načina: (1) s preprosto kodo lahko hitro povežete skript MathJax s svojim mestom, kar bo pravi trenutek samodejno nalaganje z oddaljenega strežnika (seznam strežnikov); (2) prenesite skript MathJax z oddaljenega strežnika na svoj strežnik in ga povežite z vsemi stranmi vašega spletnega mesta. Druga metoda - bolj zapletena in dolgotrajna - bo pospešila nalaganje strani vašega spletnega mesta in če nadrejeni strežnik MathJax iz nekega razloga postane začasno nedosegljiv, to na noben način ne bo vplivalo na vaše lastno spletno mesto. Kljub tem prednostim sem izbral prvo metodo, saj je preprostejša, hitrejša in ne zahteva tehničnega znanja. Sledite mojemu zgledu in v samo 5 minutah boste lahko uporabljali vse funkcije MathJaxa na vašem spletnem mestu.

Skript knjižnice MathJax lahko povežete z oddaljenega strežnika z uporabo dveh možnosti kode, vzetih z glavnega spletnega mesta MathJax ali na strani z dokumentacijo:

Eno od teh možnosti kode je treba kopirati in prilepiti v kodo vaše spletne strani, po možnosti med oznakami in ali takoj za oznako. Po prvi možnosti se MathJax naloži hitreje in manj upočasni stran. Toda druga možnost samodejno spremlja in nalaga najnovejše različice MathJaxa. Če vstavite prvo kodo, jo bo treba občasno posodobiti. Če vstavite drugo kodo, se bodo strani nalagale počasneje, vendar vam ne bo treba stalno spremljati posodobitev MathJax.

MathJax najlažje povežete v Bloggerju ali WordPressu: na nadzorni plošči spletnega mesta dodajte gradnik, namenjen vstavljanju kode JavaScript tretje osebe, vanj kopirajte prvo ali drugo različico zgoraj predstavljene kode za prenos in postavite gradnik bližje na začetek predloge (mimogrede, to sploh ni potrebno, saj se skript MathJax naloži asinhrono). To je vse. Zdaj se naučite označevalne sintakse MathML, LaTeX in ASCIIMathML in pripravljeni ste na vstavljanje matematičnih formul na spletne strani vašega mesta.

Vsak fraktal je zgrajen v skladu z določeno pravilo, ki se uporablja zaporedno neomejeno številokrat. Vsak tak čas se imenuje ponovitev.

Iterativni algoritem za izdelavo Mengerjeve gobe je precej preprost: originalna kocka s stranico 1 je razdeljena z ravninami, vzporednimi z njenimi ploskvami, na 27 enake kocke. Iz nje se odstrani ena osrednja kocka in 6 kock, ki mejijo nanjo vzdolž ploskev. Rezultat je niz, sestavljen iz preostalih 20 manjših kock. Če enako naredimo z vsako od teh kock, dobimo niz, sestavljen iz 400 manjših kock. Če ta postopek nadaljujemo v nedogled, dobimo Mengerjevo gobo.

Pravzaprav, da bi našli območje figure, ne potrebujete toliko znanja o nedoločenem in določenem integralu. Naloga »izračunaj ploščino z določenim integralom« vedno vključuje sestavo risbe, zato bo vaše znanje in spretnosti pri sestavljanju risb veliko bolj pereče vprašanje. V zvezi s tem je koristno osvežiti spomin na grafe glavnega elementarne funkcije, in vsaj biti sposoben sestaviti ravno črto in hiperbolo.

Ukrivljeni trapez je ravna figura, omejena z osjo, ravnimi črtami in grafom funkcije, ki je neprekinjena na segmentu, ki na tem intervalu ne spremeni predznaka. Naj se ta številka nahaja ne nižje x-os:

Potem je površina krivuljnega trapeza številčno enaka določenemu integralu. Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen.

Z vidika geometrije je določen integral AREA.

To pomeni, da določen integral (če obstaja) geometrijsko ustreza območju določene figure. Na primer, razmislite o določenem integralu. Integrand določa krivuljo na ravnini, ki se nahaja nad osjo (tisti, ki želijo, lahko naredijo risbo), sam določeni integral pa je številčno enak površini ustreznega krivolinijskega trapeza.

Primer 1

To je tipična izjava o dodelitvi. Najprej in najpomembnejši trenutek rešitve - izdelava risbe. Poleg tega mora biti risba sestavljena PRAVILNO.

Pri konstruiranju risbe priporočam naslednji vrstni red: najprej je bolje zgraditi vse ravne črte (če obstajajo) in šele nato - parabole, hiperbole in grafe drugih funkcij. Bolj donosno je graditi grafe funkcij točko za točko.

V tej težavi bi lahko rešitev izgledala takole.
Narišimo risbo (upoštevajte, da enačba določa os):

Na segmentu se graf funkcije nahaja nad osjo, torej:

odgovor:

Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "na oko" preštejemo število celic na risbi - no, približno 9 jih bo, zdi se, da je res. Povsem jasno je, da če bi dobili recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno, da je bila nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če je odgovor negativen, je bila tudi naloga nepravilno rešena.

Primer 3

Izračunajte površino figure, omejene s črtami in koordinatne osi.

Rešitev: Narišimo:

če ukrivljen trapez ki se nahaja pod osjo (ali vsaj ne višje podana os), potem lahko njeno ploščino najdemo s formulo:

V tem primeru:

Pozor! Ne smemo zamenjati dveh vrst nalog:

1) Če vas prosimo, da preprosto rešite določen integral brez katerega koli geometrijski pomen, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje figura nahaja v zgornji in spodnji polravnini, zato od najpreprostejšega šolske težave Pojdimo k bolj smiselnim primerom.

Primer 4

Poiščite ploščino ravninske figure, omejene s črtami , .

Rešitev: Najprej morate narediti risbo. Na splošno nas pri sestavljanju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo presečišča črt. Poiščimo presečišča parabole in premice. To lahko naredimo na dva načina. Prva metoda je analitična. Rešimo enačbo:

To pomeni, da je spodnja meja integracije , zgornja meja integracije pa .

Če je mogoče, je bolje, da te metode ne uporabite.

Veliko bolj donosno in hitreje je graditi črte točko za točko, meje integracije pa postanejo jasne »same od sebe«. Kljub temu, analitična metoda iskanje mej je še vedno treba včasih uporabiti, če je na primer graf precej velik ali če podrobna konstrukcija ni razkrila meja integracije (lahko so delne ali iracionalne). In upoštevali bomo tudi tak primer.

Vrnimo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo:

In zdaj delovna formula: Če je na segmentu neka zvezna funkcija večja ali enaka nekateri neprekinjena funkcija, potem je območje slike, omejeno z grafi teh funkcij in črtami , , mogoče najti s formulo:

Tukaj vam ni več treba razmišljati o tem, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, in, grobo rečeno, pomembno je, kateri graf je VIŠJI (glede na drug graf) in kateri SPODAJ.

V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od

Končana rešitev bi lahko izgledala takole:

Želena slika je omejena s parabolo zgoraj in ravno črto spodaj.
Na segmentu po ustrezni formuli:

odgovor:

Primer 4

Izračunaj ploščino figure, ki jo omejujejo črte , , , .

Rešitev: Najprej naredimo risbo:

Figura, katere območje moramo najti, je osenčena z modro (pozorno poglejte stanje - kako je figura omejena!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto zgodi "napaka", da morate najti območje figure, ki je osenčeno z zeleno!

Ta primer je uporaben tudi zato, ker izračuna površino figure z uporabo dveh določenih integralov.

res:

1) Na segmentu nad osjo je graf ravne črte;

2) Na segmentu nad osjo je graf hiperbole.

Povsem očitno je, da se območja lahko (in morajo) dodati, zato:

V tem članku se boste naučili, kako z integralnimi izračuni najti območje figure, omejene s črtami. S postavitvijo tovrstnega problema se prvič srečamo v srednji šoli, ko smo ravno zaključili s poučevanjem določenih integralov in je čas, da začnemo geometrijsko interpretacijo pridobljenega znanja v praksi.

Torej, kaj je potrebno za uspešno rešitev problema iskanja območja figure z uporabo integralov:

• Sposobnost izdelave kompetentnih risb;
• Sposobnost reševanja določenega integrala z uporabo znana formula Newton-Leibniz;
• Sposobnost "videti" bolj donosno možnost rešitve - tj. razumete, kako bo bolj priročno izvesti integracijo v enem ali drugem primeru? Vzdolž osi x (OX) ali osi y (OY)?
• No, kje bi bili brez pravilnih izračunov?) To vključuje razumevanje, kako rešiti drugo vrsto integralov in pravilne numerične izračune.

Algoritem za rešitev problema izračuna površine figure, omejene s črtami:

1. Gradimo risbo. Priporočljivo je, da to naredite na karirastem listu papirja v velikem merilu. Ime te funkcije podpišemo s svinčnikom nad vsakim grafom. Podpisovanje grafov se izvaja izključno zaradi udobja nadaljnjih izračunov. Ko prejmete graf želene številke, bo v večini primerov takoj jasno, katere meje integracije bodo uporabljene. Tako rešujemo problem grafično. Vendar se zgodi, da so vrednosti omejitev delne ali iracionalne. Zato lahko naredite dodatne izračune, pojdite na drugi korak.

2. Če meje integracije niso eksplicitno podane, poiščemo točke presečišča grafov med seboj in preverimo, ali je naš grafična rešitev z analitično.

3. Nato morate analizirati risbo. Glede na to, kako so urejeni funkcijski grafi, obstajajo različne pristope najti območje figure. Razmislimo različni primeri o iskanju območja figure z uporabo integralov.

3.1.

Najbolj klasična in najpreprostejša različica problema je, ko morate najti območje ukrivljenega trapeza. Kaj je ukrivljeni trapez? To je ravna figura, omejena z osjo x (y = 0), ravnimi črtami x = a, x = b in poljubno neprekinjeno krivuljo v intervalu od a do b. Poleg tega je ta številka nenegativna in ni pod osjo x. V tem primeru je površina krivuljnega trapeza številčno enaka določenemu integralu, izračunanemu po Newton-Leibnizovi formuli: Primer 1

y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

S katerimi črtami je lik omejen? Imamo parabolo y = x2 - 3x + 3, ki se nahaja nad osjo OX, je nenegativna, ker vse točke te parabole imajo pozitivne vrednosti. Nato sta podani ravni črti x = 1 in x = 3, ki potekata vzporedno z osjo operacijskega ojačevalnika in sta mejni črti slike na levi in ​​desni. No, y = 0, kar je tudi os x, ki omejuje sliko od spodaj. Nastala slika je zasenčena, kot je razvidno iz slike na levi. V tem primeru lahko takoj začnete reševati težavo. Pred nami je preprost primer ukrivljenega trapeza, ki ga nadalje rešujemo z uporabo Newton-Leibnizove formule. 3.2. V prejšnjem odstavku 3.1 smo preučili primer, ko se ukrivljeni trapez nahaja nad osjo x. Zdaj razmislite o primeru, ko so pogoji problema enaki, le da funkcija leži pod osjo x. TO standardna formula Dodan je Newton-Leibnizov minus. Kako se odločiti

podobna naloga Poglejmo si še naprej.

Primer 2 . Izračunajte površino figure, ki je omejena s črtami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0. V tem primeru imamo parabolo y = x2 + 6x + 2, ki izhaja izpod osi OX, premice x = -4, x = -1, y = 0. Tukaj y = 0 omejuje želeno številko od zgoraj. Premici x = -4 in x = -1 sta meji, znotraj katerih bo izračunan določeni integral. Načelo reševanja problema iskanja območja figure skoraj popolnoma sovpada s primerom številka 1. Edina razlika je v tem, da

dano funkcijo

ni pozitiven in še vedno zvezen na intervalu [-4; -1]. Kako to misliš, da ni pozitivno? Kot je razvidno iz slike, ima lik, ki leži znotraj danih x-jev, izključno “negativne” koordinate, kar moramo videti in si zapomniti pri reševanju problema. Območje slike iščemo po formuli Newton-Leibniz, le z znakom minus na začetku.

Članek ni dokončan.

A)

rešitev.

Prva in najpomembnejša točka pri odločitvi je risanje. Naredimo risbo: Enačba

- y=0 nastavi os "x"; x=-2 in Oh;

- y=x 2 +2 - parabolo, katere veje so usmerjene navzgor, z vrhom v točki (0;2).

Komentiraj. Za konstrukcijo parabole je dovolj, da najdemo točke njenega presečišča s koordinatnimi osemi, tj. dajanje x=0 poiščite presečišče z osjo Oh in se temu primerno odločiti kvadratna enačba, poiščite presečišče z osjo Oh .

Oglišče parabole je mogoče najti s formulami:

Črte lahko gradite tudi točko za točko.

Na intervalu [-2;1] graf funkcije y=x 2 +2 ki se nahaja nad osjo Ox, zato:

odgovor: S=9 kvadratnih enot

Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "na oko" preštejemo število celic na risbi - no, približno 9 jih bo, zdi se, da je res. Popolnoma jasno je, da če smo dobili recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno, da je bila nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če je odgovor negativen, je bila tudi naloga nepravilno rešena.

Kaj storiti, če se pod osjo nahaja ukrivljen trapez Oh?

b) Izračunajte ploščino figure, omejene s črtami y=-e x , x=1 in koordinatne osi.

Članek ni dokončan.

Naredimo risbo.

Če je ukrivljeni trapez popolnoma nameščen pod osjo Oh , potem je njegovo območje mogoče najti s formulo:

odgovor: S=(e-1) kvadratnih enot" 1,72 kvadratnih enot

Pozor! Ne smemo zamenjati dveh vrst nalog:

1) Če vas prosimo, da preprosto rešite določen integral brez kakršnega koli geometrijskega pomena, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje lik nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini.

c) Poiščite površino ravne figure, omejene s črtami y=2x-x 2, y=-x.

Članek ni dokončan.

Najprej morate dokončati risbo. Na splošno nas pri sestavljanju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo presečišča črt. Poiščimo presečišča parabole in ravno To lahko naredimo na dva načina. Prva metoda je analitična.

Rešimo enačbo:

To pomeni, da je spodnja meja integracije a=0, zgornja meja integracije b=3 .

Črte lahko gradite točko za točko in meje integracije postanejo jasne »sama od sebe«. Kljub temu je treba včasih še vedno uporabiti analitično metodo iskanja meja, če je na primer graf dovolj velik ali podrobna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne).

Želena slika je omejena s parabolo zgoraj in ravno črto spodaj.

Na segmentu , po ustrezni formuli:

odgovor: S=4,5 kvadratnih enot