Kje je derivat pozitiven? Raziskave funkcij

Diplomsko delo V Obrazec enotnega državnega izpita za učence 11. razreda nujno vsebuje naloge za računanje limitov, intervalov padajočih in naraščajočih odvodov funkcije, iskanje ekstremnih točk in konstruiranje grafov. Dobro znanje Ta tema vam omogoča, da pravilno odgovorite na več izpitnih vprašanj in ne boste imeli težav pri nadaljnjem poklicnem usposabljanju.

Osnove diferencialni račun- ena glavnih tem matematike sodobna šola. Preučuje uporabo odvoda za preučevanje odvisnosti spremenljivk - prek odvoda je mogoče analizirati naraščanje in upadanje funkcije, ne da bi se zatekli k risbi.

Celovita priprava diplomantov na opravljanje enotnega državnega izpita na izobraževalni portal"Školkovo" vam bo pomagalo globoko razumeti načela diferenciacije - podrobno razumeti teorijo, preučiti primere rešitev tipične naloge in se preizkusite v samostojnem delu. Pomagali vam bomo odpraviti vrzeli v znanju – razjasniti vaše razumevanje leksikalnih pojmov teme in odvisnosti količin. Učenci bodo znali ponoviti, kako najti intervale monotonosti, kar pomeni, da odvod funkcije narašča ali pada na določenem segmentu, ko so mejne točke in niso vključene v najdenih intervalih.

Preden začnete neposredno reševati tematske naloge, vam priporočamo, da najprej obiščete razdelek »Teoretično ozadje« in ponovite definicije pojmov, pravil in tabelarne formule. Tukaj si lahko preberete, kako najti in zapisati vsak interval naraščajoče in padajoče funkcije na grafu odvoda.

Vse ponujene informacije so predstavljene v največji možni meri. dostopni obliki za razumevanje praktično iz nič. Spletna stran ponuja materiale za zaznavanje in asimilacijo v več različne oblike– branje, ogled videa in neposredno usposabljanje pod vodstvom izkušeni učitelji. Strokovni učitelji vam bo podrobno povedal, kako analitično najti intervale naraščajočih in padajočih odvodov funkcije in grafično. Na spletnih seminarjih boste lahko postavili katerokoli vprašanje, ki vas zanima, tako o teoriji kot o reševanju konkretnih problemov.

Ko se spomnite glavnih točk teme, si oglejte primere povečanja odvoda funkcije, podobne nalogam možnosti izpita. Za utrjevanje naučenega si oglejte »Katalog« - tukaj boste našli praktične vaje za samostojno delo. Naloge v razdelku so izbrane različne ravni težave ob upoštevanju razvoja spretnosti. Na primer, vsakega od njih spremljajo algoritmi rešitev in pravilni odgovori.

Z izbiro rubrike "Konstruktor" bodo učenci lahko vadili študij naraščanja in zmanjševanja odvoda funkcije na prave možnosti Enotni državni izpit, ki se nenehno posodablja ob upoštevanju zadnje spremembe in inovacije.

V tej lekciji se bomo naučili uporabljati formule in pravila razlikovanja.

Primeri. Poiščite odvode funkcij.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Uporaba pravila jaz, formule 4, 2 in 1. Dobimo:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Rešujemo podobno, z enakimi formulami in formulo 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Uporaba pravila jaz, formule 3, 5 in 6 in 1.

Uporaba pravila IV, formule 5 in 1 .

V petem primeru po pravilu jaz odvod vsote je enak vsoti odvodov, pravkar smo našli odvod 1. člena (primer 4 ), zato bomo našli izpeljanke 2 in 3 pogoji, in za 1 seštevek lahko takoj zapišemo rezultat.

Razlikujmo 2 in 3 izrazi po formuli 4 . Da bi to naredili, transformiramo korenine tretje in četrte potence v imenovalcih v potence z negativnimi eksponenti, nato pa glede na 4 formulo, najdemo izpeljanke potence.

Poglej ta primer in dobljeni rezultat. Ste ujeli vzorec? Globa. To pomeni, da imamo novo formulo in jo lahko dodamo v našo tabelo derivatov.

Rešimo šesti primer in izpeljimo drugo formulo.

Uporabimo pravilo IV in formula 4 . Zmanjšajmo nastale ulomke.

Poglejmo si to funkcijo in njegove izpeljanke. Seveda razumete vzorec in ste pripravljeni poimenovati formulo:

Učenje novih formul!

Primeri.

1. Poiščite prirastek argumenta in prirastek funkcije y= x 2, če je bila začetna vrednost argumenta enaka 4 in novo - 4,01 .

rešitev.

Nova vrednost argumenta x=x 0 +Δx. Zamenjajmo podatke: 4,01=4+Δх, od tod prirastek argumenta Δx=4,01-4=0,01. Povečanje funkcije je po definiciji enako razliki med novo in prejšnjo vrednostjo funkcije, tj. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Ker imamo funkcijo y=x2, To Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

odgovor: povečanje argumenta Δx=0,01; prirast funkcije Δу=0,0801.

Povečanje funkcije je mogoče najti drugače: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Poiščite kot naklona tangente na graf funkcije y=f(x) na točki x 0, Če f "(x 0) = 1.

rešitev.

Vrednost odvoda v točki dotika x 0 in je vrednost tangensa tangentnega kota ( geometrijski pomen izpeljanka). Imamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, Ker tg45°=1.

odgovor: tangenta na graf te funkcije tvori kot s pozitivno smerjo osi Ox, ki je enaka 45°.

3. Izpeljite formulo za odvod funkcije y=x n.

Diferenciacija je dejanje iskanja odvoda funkcije.

Pri iskanju izpeljank uporabimo formule, ki smo jih izpeljali na podlagi definicije izpeljanke, tako kot smo izpeljali formulo za stopnjo izpeljanke: (x n)" = nx n-1.

To so formule.

Tabela izpeljank Lažje si bo zapomniti z izgovorjavo besednih formulacij:

1. Izpeljanka konstantna vrednost enako nič.

2. X praštevilo je enako ena.

3. Konstantni množitelj lahko vzamemo iz izpeljanke.

4. Odvod stopnje je enak zmnožku eksponenta te stopnje s stopnjo z isto osnovo, vendar je eksponent ena manj.

5. Izpeljanka korena je enaka ena, deljena z dvema enakima korenoma.

6. Odvod ena deljeno z x je enak minus ena deljeno z x na kvadrat.

7. Odvod sinusa je enak kosinusu.

8. Odvod kosinusa je enak minus sinusu.

9. Odvod tangente je enak ena, deljena s kvadratom kosinusa.

10. Odvod kotangensa je enak minus ena deljeno s kvadratom sinusa.

Poučujemo pravila razlikovanja.

1. Odvod algebraične vsote je enak algebraična vsota izpeljanke izrazov.

2. Odvod produkta je enak zmnožku odvoda prvega in drugega faktorja plus produkt prvega faktorja in odvoda drugega.

3. Izpeljanka »y«, deljena z »ve«, je enaka ulomku, v katerem je števec »y pra, pomnožen z »ve« minus »y, pomnožen z ve pra«, imenovalec pa je »ve na kvadrat«.

4. Poseben primer formule 3.

Učimo se skupaj!

Stran 1 od 1 1

Prva stopnja

Odvod funkcije. Obsežen vodnik (2019)

Predstavljajmo si ravno cesto, ki poteka skozi hribovito območje. To pomeni, da gre gor in dol, vendar ne zavije desno ali levo. Če je os usmerjena vodoravno vzdolž ceste in navpično, bo črta ceste zelo podobna grafu neke zvezne funkcije:

Os je določena ničelna višina; v življenju kot njo uporabljamo morsko gladino.

Ko se po takšni cesti premikamo naprej, se premikamo tudi navzgor ali navzdol. Lahko tudi rečemo: ko se spremeni argument (premik vzdolž abscisne osi), se spremeni vrednost funkcije (premik vzdolž ordinatne osi). Zdaj pa razmislimo, kako določiti "strmino" naše ceste? Kakšna vrednost bi to lahko bila? Zelo preprosto: koliko se bo višina spremenila, ko se premaknete naprej na določeno razdaljo. Dejansko se bomo na različnih odsekih ceste, ki se premikamo naprej (vzdolž osi x) za en kilometer, dvignili ali spustili za različne količine metrov glede na morsko gladino (vzdolž ordinatne osi).

Označimo napredek (beri "delta x").

Grška črka (delta) se v matematiki običajno uporablja kot predpona, ki pomeni "sprememba". To je - to je sprememba količine, - sprememba; kaj je potem? Tako je, sprememba velikosti.

Pomembno: izraz je ena sama celota, ena spremenljivka. Nikoli ne ločite "delta" od "x" ali katere koli druge črke! To je na primer,.

Torej, premaknili smo se naprej, vodoravno, za. Če črto ceste primerjamo z grafom funkcije, kako potem označimo vzpon? Vsekakor,. Se pravi, ko gremo naprej, se dvigamo višje.

Vrednost je enostavno izračunati: če smo bili na začetku na višini in smo se po premikanju znašli na višini, potem. Če je končna točka nižja od začetne, bo negativna – to pomeni, da se ne vzpenjamo, ampak spuščamo.

Vrnimo se k "strmini": to je vrednost, ki kaže, za koliko (strmo) se višina poveča, ko se pomaknemo naprej za eno enoto razdalje:

Predpostavimo, da se na nekem odseku ceste pri premikanju za kilometer naprej cesta dvigne za kilometer. Potem je naklon na tem mestu enak. In če bi se cesta med premikanjem naprej za m znižala za km? Potem je naklon enak.

Zdaj pa poglejmo vrh hriba. Če vzamete začetek odseka pol kilometra pred vrhom in konec pol kilometra za njim, vidite, da je višina skoraj enaka.

To pomeni, da se po naši logiki izkaže, da je naklon tukaj skoraj enak nič, kar očitno ni res. Samo na kilometrski razdalji se lahko marsikaj spremeni. Za ustreznejšo in natančnejšo oceno strmine je potrebno upoštevati manjše površine. Na primer, če izmerite spremembo višine, ko se premaknete za en meter, bo rezultat veliko natančnejši. Toda tudi ta natančnost nam morda ne bo zadostovala – navsezadnje, če je na sredini ceste drog, ga lahko preprosto peljemo mimo. Kakšno razdaljo naj potem izberemo? Centimeter? Milimeter? Manj je bolje!

IN resnično življenje Merjenje razdalj do najbližjega milimetra je več kot dovolj. Toda matematiki vedno stremijo k popolnosti. Zato je bil koncept izumljen infinitezimalno, kar pomeni, da je absolutna vrednost manjša od katerega koli števila, ki ga lahko imenujemo. Na primer, rečete: ena bilijontina! Koliko manj? In to številko delite z - in bo še manj. In tako naprej. Če želimo zapisati, da je količina neskončno majhna, zapišemo takole: (beremo “x teži k ničli”). Zelo pomembno je razumeti da to število ni nič! Ampak zelo blizu. To pomeni, da ga lahko delite.

Koncept, ki je nasproten infinitezimalnemu, je neskončno velik (). Verjetno ste že naleteli na to, ko ste delali na neenačbah: to število je modulo večje od katerega koli števila, ki si ga lahko zamislite. Če ste prišli do največjega možne številke, samo pomnožite z dve in dobili boste še več. In neskončnost je še večja od tega, kar se zgodi. Pravzaprav sta neskončno veliko in neskončno majhno nasprotje drug drugemu, to je at, in obratno: at.

Zdaj pa se vrnimo k naši cesti. Idealno izračunan naklon je naklon, izračunan za neskončno majhen segment poti, to je:

Opažam, da bo pri neskončno majhnem premiku tudi sprememba višine neskončno majhna. Vendar naj vas spomnim, da neskončno ne pomeni enako nič. Če neskončno majhna števila delite eno z drugim, lahko dobite precej redna številka, Na primer,. To pomeni, da je lahko ena majhna vrednost natanko krat večja od druge.

Čemu je vse to namenjeno? Cesta, strmina ... Ne gremo na avto reli, ampak poučujemo matematiko. In v matematiki je vse popolnoma enako, le drugače se imenuje.

Koncept derivata

Odvod funkcije je razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta.

Postopoma v matematiki imenujejo sprememba. Imenuje se obseg, v katerem se argument () spreminja, ko se premika vzdolž osi povečanje argumenta in je označeno. Koliko se je funkcija (višina) spremenila pri premikanju vzdolž osi za razdaljo, se imenuje prirast funkcije in je določen.

Torej je odvod funkcije razmerje do kdaj. Odvod označujemo z isto črko kot funkcijo, le s praštevilo desno zgoraj: ali preprosto. Torej, zapišimo izpeljano formulo z uporabo teh zapisov:

Tako kot v analogiji s cesto je tudi tukaj, ko funkcija narašča, odvod pozitiven, ko se zmanjšuje pa je negativen.

Ali je lahko odvod enak nič? Vsekakor. Če se na primer vozimo po ravni vodoravni cesti, je strmina enaka nič. In res je, višina se sploh ne spremeni. Tako je tudi z odvodom: odvod konstantne funkcije (konstante) je enak nič:

saj je prirastek takšne funkcije enak nič za katerokoli.

Spomnimo se primera na hribu. Izkazalo se je, da je mogoče konce segmenta razporediti vzdolž različne strani od vrha, tako da je višina na koncih enaka, to je, da je segment vzporeden z osjo:

Toda veliki segmenti so znak netočne meritve. Naš segment bomo dvignili vzporedno s seboj, nato pa se bo njegova dolžina zmanjšala.

Sčasoma, ko smo neskončno blizu vrha, bo dolžina segmenta postala neskončno majhna. Toda hkrati je ostal vzporeden z osjo, to je razlika v višinah na njegovih koncih je enaka nič (ne teži k, ampak je enaka). Izpeljanka torej

To lahko razumemo takole: ko stojimo na samem vrhu, majhen premik v levo ali desno zanemarljivo spremeni našo višino.

Obstaja tudi povsem algebraična razlaga: levo od oglišča funkcija narašča, desno pa pada. Kot smo že ugotovili, je odvod pri naraščanju funkcije pozitiven, pri zmanjševanju pa negativen. Spreminja pa se gladko, brez skokov (saj cesta nikjer ne spreminja strmo naklona). Zato mora obstajati med negativnimi in pozitivnimi vrednostmi. To bo tam, kjer funkcija ne narašča in ne pada - v točki vrha.

Enako velja za korito (območje, kjer se funkcija na levi zmanjšuje in na desni povečuje):

Še malo o prirastkih.

Zato spremenimo argument v velikost. Od katere vrednosti spreminjamo? Kaj je (argument) zdaj postal? Izberemo lahko katero koli točko in zdaj bomo plesali iz nje.

Razmislite o točki s koordinato. Vrednost funkcije v njej je enaka. Nato naredimo enako povečanje: povečamo koordinato za. Kaj je zdaj argument? Zelo enostavno: . Kakšna je zdaj vrednost funkcije? Kamor gre argument, gre tudi funkcija: . Kaj pa povečanje funkcije? Nič novega: to je še vedno znesek, za katerega se je funkcija spremenila:

Vadite iskanje prirastkov:

1. Poiščite prirastek funkcije v točki, ko je prirastek argumenta enak.
2. Enako velja za funkcijo v točki.

rešitve:

IN različne točke z enakim prirastkom argumenta bo prirast funkcije drugačen. To pomeni, da je izpeljanka na vsaki točki drugačna (o tem smo govorili že na začetku - strmina ceste je na različnih točkah različna). Zato moramo, ko pišemo izpeljanko, navesti, na kateri točki:

Funkcija moči.

Funkcija moči je funkcija, pri kateri je argument do neke mere (logičen, kajne?).

Še več – v kakršni koli meri: .

Najenostavnejši primer- to je takrat, ko eksponent:

Poiščimo njegovo izpeljanko v točki. Spomnimo se definicije derivata:

Torej se argument spremeni iz v. Kolikšen je prirastek funkcije?

Povečanje je to. Toda funkcija na kateri koli točki je enaka svojemu argumentu. Zato:

Izpeljanka je enaka:

Izpeljanka je enaka:

b) Zdaj razmislite kvadratna funkcija (): .

Zdaj pa si zapomnimo to. To pomeni, da lahko vrednost prirastka zanemarimo, saj je neskončno majhna in zato nepomembna glede na drugi izraz:

Tako smo prišli do drugega pravila:

c) Nadaljujemo logični niz: .

Ta izraz lahko poenostavimo na različne načine: odpremo prvi oklepaj s formulo za skrajšano množenje kuba vsote ali faktoriziramo celoten izraz s formulo razlike kubov. Poskusite to narediti sami s katero koli od predlaganih metod.

Torej, dobil sem naslednje:

In še enkrat se spomnimo tega. To pomeni, da lahko zanemarimo vse izraze, ki vsebujejo:

Dobimo: .

d) Podobna pravila lahko dobimo za velike moči:

e) Izkazalo se je, da je to pravilo mogoče posplošiti za potenčno funkcijo s poljubnim eksponentom, niti celim številom:

Pravilo je mogoče formulirati z besedami: "stopnja se premakne naprej kot koeficient in nato zmanjša za."

To pravilo bomo dokazali kasneje (skoraj čisto na koncu). Zdaj pa si poglejmo nekaj primerov. Poiščite odvod funkcij:

1. (na dva načina: s formulo in z uporabo definicije odvoda – z izračunom prirastka funkcije);

1. . Verjeli ali ne, to je funkcija moči. Če imate vprašanja, kot je »Kako je s tem? Kje je diploma?«, spomnite se teme »«!
   Da, da, koren je tudi stopnja, le ulomek: .
   Torej naše Kvadratni koren- to je samo diploma z indikatorjem:
   .
   Izpeljanko iščemo po nedavno naučeni formuli:

   Če na tej točki spet postane nejasno, ponovite temo “”!!! (o diplomi z negativnim eksponentom)

2. . Zdaj eksponent:

   In zdaj skozi definicijo (ste že pozabili?):
   ;
   .
   Zdaj, kot običajno, zanemarimo izraz, ki vsebuje:
   .

3. . Kombinacija prejšnjih primerov: .

Trigonometrične funkcije.

Tukaj bomo uporabili eno dejstvo iz višje matematike:

Z izrazom.

Dokazila se boste naučili v prvem letniku inštituta (in da pridete tja, morate dobro opraviti enotni državni izpit). Zdaj bom samo grafično prikazal:

Vidimo, da ko funkcija ne obstaja - je točka na grafu izrezana. Toda bližje kot je vrednost, bližje je funkcija temu "cilju".

Poleg tega lahko to pravilo preverite s kalkulatorjem. Da, da, ne bodite sramežljivi, vzemite kalkulator, še nismo na enotnem državnem izpitu.

Torej, poskusimo: ;

Ne pozabite preklopiti kalkulatorja v radianski način!

itd. Vidimo, da manjše kot je, bližje je vrednost razmerja.

a) Razmislite o funkciji. Kot običajno, poiščimo njegov prirastek:

Spremenimo razliko sinusov v produkt. Za to uporabimo formulo (zapomnite si temo “”): .

Zdaj pa izpeljanka:

Naredimo zamenjavo: . Potem je za infinitezimalno tudi infinitezimalno: . Izraz za ima obliko:

In zdaj se tega spominjamo z izrazom. In tudi, kaj če lahko neskončno majhno količino zanemarimo v vsoti (to je pri).

Torej dobimo naslednje pravilo:odvod sinusa je enak kosinusu:

To so osnovne ("tabelarne") izpeljanke. Tukaj so na enem seznamu:

Kasneje jih bomo dodali še nekaj, vendar so ti najpomembnejši, saj se najpogosteje uporabljajo.

Praksa:

1. Poiščite odvod funkcije v točki;
2. Poiščite odvod funkcije.

rešitve:

1. Najprej poiščimo izpeljanko v splošni pogled in nato nadomestite njegovo vrednost:
   ;
   .
2. Tukaj imamo nekaj podobnega funkcija moči. Poskusimo jo pripeljati do
   normalnega videza:
   .
   Super, zdaj lahko uporabite formulo:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Kaj je to????

V redu, prav imate, takšnih derivatov še ne znamo najti. Tu imamo kombinacijo več vrst funkcij. Če želite delati z njimi, se morate naučiti še nekaj pravil:

Eksponent in naravni logaritem.

V matematiki obstaja funkcija, katere odvod za katero koli vrednost je hkrati enak vrednosti same funkcije. Imenuje se "eksponent" in je eksponentna funkcija

Osnova te funkcije je konstanta – je neskončna decimalno, to je iracionalno število (kot npr.). Imenuje se "Eulerjevo število", zato je označeno s črko.

Torej, pravilo:

Zelo enostavno zapomniti.

No, ne gremo daleč, poglejmo takoj inverzna funkcija. Katera funkcija je obratna eksponentna funkcija? Logaritem:

V našem primeru je osnova številka:

Takšen logaritem (to je logaritem z osnovo) imenujemo »naravni«, zanj pa uporabljamo poseben zapis: namesto tega pišemo.

Čemu je enako? Seveda, .

Izpeljanka naravnega logaritma je tudi zelo preprosta:

Primeri:

1. Poiščite odvod funkcije.
2. Kaj je odvod funkcije?

odgovori: Razstavljavec in naravni logaritem- funkcije so edinstveno preproste v smislu derivatov. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo osnovo bodo imele drugačen odvod, ki ga bomo analizirali kasneje pojdimo skozi pravila diferenciacija.

Pravila razlikovanja

Pravila česa? Ponovno nov termin, ponovno?!...

Diferenciacija je postopek iskanja izpeljanke.

To je vse. Kako drugače lahko poimenujete ta proces z eno besedo? Ni izpeljanka... Matematiki imenujejo diferencial enak prirastek funkcije pri. Ta izraz izhaja iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.

Pri izpeljavi vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove prirastke:

Skupaj je 5 pravil.

Konstanta je vzeta iz predznaka izpeljanke.

Če - neko konstantno število (konstanta), potem.

Očitno to pravilo deluje tudi za razliko: .

Dokažimo. Naj bo ali preprosteje.

Primeri.

Poiščite odvode funkcij:

1. na točki;
2. na točki;
3. na točki;
4. na točki.

rešitve:

1. (izpeljanka je v vseh točkah enaka, saj to linearna funkcija, se spomniš?);

Izpeljanka izdelka

Tukaj je vse podobno: vstopimo nova funkcija in poiščite njen prirastek:

Izpeljanka:

Primeri:

1. Poiščite odvode funkcij in;
2. Poiščite odvod funkcije v točki.

rešitve:

Odvod eksponentne funkcije

Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite poiskati odvod poljubne eksponentne funkcije in ne samo eksponentov (ste že pozabili, kaj je to?).

Torej, kje je kakšna številka.

Odvod funkcije že poznamo, zato poskusimo reducirati našo funkcijo na novo osnovo:

Za to bomo uporabili preprosto pravilo: . Nato:

No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.

Se je zgodilo?

Evo, preverite sami:

Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bila, ostaja enaka, pojavil se je le faktor, ki je le številka, ne pa spremenljivka.

Primeri:
Poiščite odvode funkcij:

odgovori:

To je le številka, ki je ni mogoče izračunati brez kalkulatorja, torej je ni več mogoče zapisati v preprosti obliki. Zato ga v odgovoru pustimo v tej obliki.

Odvod logaritemske funkcije

Tukaj je podobno: odvod naravnega logaritma že poznate:

Zato, če želite najti poljuben logaritem z drugačno osnovo, na primer:

Ta logaritem moramo zmanjšati na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:

Samo zdaj bomo namesto tega napisali:

Imenovalec je preprosto konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanko dobimo zelo preprosto:

Odvodi eksponentnih in logaritemske funkcije se skoraj nikoli ne pojavijo na enotnem državnem izpitu, vendar ne bi škodilo, če bi jih poznali.

Odvod kompleksne funkcije.

Kaj se je zgodilo " kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ni arktangens. Te funkcije so lahko težko razumljive (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse bo v redu), vendar z matematičnega vidika beseda "kompleksno" ne pomeni "težko".

Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in delata nekaj dejanj z nekaterimi predmeti. Prvi na primer zavije čokoladno tablico v ovoj, drugi pa jo zaveže s pentljo. Tako se izkaže sestavljeni predmet: čokoladna tablica, ovita in zavezana s trakom. Če želite pojesti čokoladico, morate narediti obratne korake v obratnem vrstnem redu.

Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej bomo našli kosinus števila in nato kvadrirali dobljeno število. Torej, dobimo številko (čokolado), jaz poiščem njen kosinus (ovitek), nato pa ti kvadriraš, kar sem jaz dobil (zavežeš s trakom). Kaj se je zgodilo? funkcija. To je primer kompleksne funkcije: ko za iskanje njene vrednosti izvedemo prvo dejanje neposredno s spremenljivko in nato drugo dejanje s tistim, kar je rezultat prvega.

Enake korake lahko preprosto izvedemo v obratnem vrstnem redu: najprej ga kvadriraš, jaz pa nato poiščem kosinus dobljenega števila: . Zlahka je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: ko se spremeni vrstni red dejanj, se spremeni funkcija.

Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .

Za prvi primer,.

Drugi primer: (isto). .

Poklicano bo dejanje, ki ga izvedemo nazadnje "zunanjo" funkcijo, in prvo izvedeno dejanje - temu primerno "notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).

Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:

odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji

1. Katero dejanje bomo najprej izvedli? Najprej izračunajmo sinus, šele nato ga kubiramo. To pomeni, da gre za notranjo funkcijo, vendar zunanjo.
   In prvotna funkcija je njihova sestava: .
2. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
3. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
4. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
5. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .

Spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.

No, zdaj bomo izluščili našo čokoladico in poiskali izpeljanko. Postopek je vedno obraten: najprej iščemo odvod zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z odvodom notranje funkcije. Glede na originalni primer je videti takole:

Še en primer:

Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Zdi se preprosto, kajne?

Preverimo s primeri:

rešitve:

1) Notranji: ;

Zunanji: ;

2) Notranji: ;

(Samo ne poskušajte ga zdaj odrezati! Nič ne pride izpod kosinusa, se spomnite?)

3) Notranji: ;

Zunanji: ;

Takoj je jasno, da gre za trinivojsko kompleksno funkcijo: navsezadnje je to že sama po sebi kompleksna funkcija in iz nje izluščimo tudi koren, torej izvedemo tretje dejanje (čokolado damo v ovoj in s trakom v aktovki). Vendar ni razloga za strah: to funkcijo bomo še vedno "odpakirali" v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.

To pomeni, da najprej diferenciramo koren, nato kosinus in šele nato izraz v oklepaju. In potem vse pomnožimo.

V takih primerih je priročno oštevilčiti dejanja. Se pravi, predstavljajmo si, kaj vemo. V kakšnem vrstnem redu bomo izvajali dejanja za izračun vrednosti tega izraza? Poglejmo primer:

Kasneje ko se izvede dejanje, bolj "zunanja" bo ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj je enako kot prej:

Tu je gnezdenje običajno 4-nivojsko. Določimo potek ukrepanja.

1. Radikalno izražanje. .

2. Koren. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Vse skupaj:

IZPELJAVKA. NA KRATKO O GLAVNEM

Odvod funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je vzeta iz izpeljanke:

Izpeljanka vsote:

Izpeljanka izdelka:

Izpeljanka količnika:

Odvod kompleksne funkcije:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

1. Definiramo “notranjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
2. Definiramo “zunanjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
3. Rezultate prve in druge točke pomnožimo.

Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ l na prirastek argumenta Δ x:

Zdi se, da je vse jasno. Toda poskusite uporabiti to formulo za izračun, recimo, odvoda funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x greh x. Če naredite vse po definiciji, potem boste po nekaj straneh izračunov preprosto zaspali. Zato obstajajo enostavnejši in učinkovitejši načini.

Za začetek omenimo, da lahko iz celotne raznolikosti funkcij ločimo tako imenovane elementarne funkcije. To je relativno preprosti izrazi, katerih izpeljanke so že dolgo izračunane in navedene v tabeli. Takšne funkcije si je precej enostavno zapomniti - skupaj z njihovimi izpeljankami.

Izvodi elementarnih funkcij

Osnovne funkcije so vse tiste, ki so navedene spodaj. Izpeljanke teh funkcij moramo poznati na pamet. Poleg tega si jih sploh ni težko zapomniti - zato so osnovni.

Torej, derivati elementarne funkcije:

Če elementarno funkcijo pomnožimo s poljubno konstanto, potem zlahka izračunamo tudi odvod nove funkcije:

(C · f)’ = C · f ’.

Na splošno lahko konstante vzamemo iz predznaka odvoda. Na primer:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očitno je, da lahko elementarne funkcije dodajamo druga drugi, množimo, delimo - in še veliko več. Tako se bodo pojavile nove funkcije, ki ne bodo več posebej elementarne, ampak tudi diferencialne glede na določena pravila. Ta pravila so obravnavana spodaj.

Odvod vsote in razlike

Naj bodo funkcije podane f(x) In g(x), katerih izpeljanke so nam znane. Na primer, lahko vzamete osnovne funkcije, ki smo jih obravnavali zgoraj. Nato lahko najdete odvod vsote in razlike teh funkcij:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Torej je odvod vsote (razlike) dveh funkcij enak vsoti (razliki) odvodov. Lahko je več terminov. Na primer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo gledano, v algebri ni pojma "odštevanje". Obstaja koncept "negativnega elementa". Zato razlika f − g lahko prepišemo kot vsoto f+ (−1) g, nato pa ostane samo ena formula - odvod vsote.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

funkcija f(x) je vsota dveh osnovnih funkcij, torej:

f ’(x) = (x 2 + greh x)’ = (x 2)’ + (greh x)’ = 2x+ cos x;

Podobno sklepamo za funkcijo g(x). Samo že obstajajo trije izrazi (z vidika algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Izpeljanka izdelka

Matematika je logična veda, zato mnogi verjamejo, da če je odvod vsote enak vsoti odvodov, potem odvod produkta stavka">enako zmnožku izpeljank. Ampak jebi se! Izpeljanka zmnožka se izračuna po popolnoma drugi formuli. In sicer:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je preprosta, a se nanjo pogosto pozablja. Pa ne samo šolarji, tudi študenti. Rezultat so nepravilno rešeni problemi.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

funkcija f(x) je produkt dveh osnovnih funkcij, zato je vse preprosto:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− greh x) = x 2 (3 cos x − x greh x)

funkcija g(x) prvi dejavnik je nekoliko bolj zapleten, vendar splošna shema to se ne spremeni. Očitno prvi faktor funkcije g(x) je polinom in njegov odvod je odvod vsote. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x greh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Upoštevajte, da je v zadnjem koraku izpeljanka faktorizirana. Formalno tega ni treba storiti, vendar večina izpeljank ni izračunana sama od sebe, temveč za pregled funkcije. To pomeni, da bo nadalje odvod izenačen z nič, določeni bodo njegovi predznaki itd. Za tak primer je bolje imeti izraz faktoriziran.

Če obstajata dve funkciji f(x) In g(x), in g(x) ≠ 0 na množici, ki nas zanima, lahko definiramo novo funkcijo h(x) = f(x)/g(x). Za takšno funkcijo lahko najdete tudi izpeljanko:

Ni slabo, kajne? Od kod minus? zakaj g 2? In takole! To je eden izmed najbolj kompleksne formule- Brez steklenice tega ne morete ugotoviti. Zato ga je bolje preučiti s posebnimi primeri.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij:

Števec in imenovalec vsakega ulomka vsebujeta elementarne funkcije, zato potrebujemo le formulo za odvod količnika:

V skladu s tradicijo faktorizirajmo števec - to bo zelo poenostavilo odgovor:

Kompleksna funkcija ni nujno pol kilometra dolga formula. Na primer, dovolj je, da prevzamete funkcijo f(x) = greh x in zamenjajte spremenljivko x, recimo, naprej x 2 + ln x. Se bo izšlo f(x) = greh ( x 2 + ln x) - to je kompleksna funkcija. Ima tudi izpeljanko, vendar je ne bo mogoče najti z zgoraj obravnavanimi pravili.

Kaj naj naredim? V takih primerih pomaga zamenjava spremenljivke in formule za odvod kompleksne funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', če x se nadomesti z t(x).

Praviloma je situacija z razumevanjem te formule še bolj žalostna kot z izpeljanko količnika. Zato je tudi bolje razložiti s konkretnimi primeri, s natančen opis vsak korak.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = greh ( x 2 + ln x)

Upoštevajte, da če je v funkciji f(x) namesto izraza 2 x+ 3 bo enostavno x, potem dobimo elementarno funkcijo f(x) = e x. Zato naredimo zamenjavo: naj 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Odvod kompleksne funkcije iščemo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

In zdaj - pozor! Izvedemo obratno zamenjavo: t = 2x+ 3. Dobimo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Zdaj pa poglejmo funkcijo g(x). Očitno ga je treba zamenjati x 2 + ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (greh t)’ · t' = cos t · t ’

Povratna zamenjava: t = x 2 + ln x. Nato:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

To je vse! Kot je razvidno iz zadnjega izraza, se je celoten problem zmanjšal na izračun vsote odvoda.

odgovor:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) ker ( x 2 + ln x).

Zelo pogosto v svojih učnih urah namesto izraza "izpeljanka" uporabljam besedo "prime". Na primer, prime iz zneska enaka vsoti kapi. Je to bolj jasno? No, to je dobro.

Tako se izračun derivata zmanjša na to, da se znebimo teh istih udarcev v skladu z zgoraj obravnavanimi pravili. Kot zadnji primer Vrnimo se k odvodni moči z racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi ve, da v vlogi n lahko tudi delno število. Na primer, koren je x 0,5. Kaj pa, če je pod korenino kaj elegantnega? Spet bo rezultat zapletena funkcija - takšne konstrukcije radi dajejo testi in izpiti.

Naloga. Poiščite odvod funkcije:

Najprej zapišimo koren kot potenco z racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Zdaj naredimo zamenjavo: naj x 2 + 8x − 7 = t. Izpeljanko najdemo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Naredimo obratno zamenjavo: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Za konec pa nazaj h koreninam:

Raziskave funkcij. V tem članku bomo govorili o problemih, v katerih so obravnavane funkcije in pogoji vsebujejo vprašanja, povezana z njihovim preučevanjem. Razmislimo o glavnih teoretičnih točkah, ki jih je treba poznati in razumeti, da jih rešimo.

To je celotna skupina problemov, vključenih v enotni državni izpit iz matematike. Običajno gre za vprašanje iskanja največjih (minimalnih) točk ali določanja največje (najmanjše) vrednosti funkcije na danem intervalu.Upoštevano:

— Močne in iracionalne funkcije.

— Racionalne funkcije.

— Študij del in zasebnih.

— Logaritemske funkcije.

— Trigonometrične funkcije.

Če razumete teorijo limitov, koncept odvoda, lastnosti odvoda za preučevanje grafov funkcij in njegovih , vam takšni problemi ne bodo povzročali težav in jih boste rešili z lahkoto.

Spodnje informacije so teoretične točke, katerih razumevanje vam bo omogočilo razumevanje rešitve podobne naloge. Poskušal jih bom predstaviti tako, da bodo tudi tisti, ki so to temo zamudili ali so jo slabo preučili, brez večjih težav rešili tovrstne probleme.

V nalogah te skupine je, kot je bilo že omenjeno, potrebno najti najmanjšo (največjo) točko funkcije ali največjo (najmanjšo) vrednost funkcije na intervalu.

Najmanjše in največje število točk.Lastnosti derivata.

Razmislite o grafu funkcije:

Točka A je maksimalna točka od O do A, na intervalu A do B pa pada.

Točka B je najmanjša točka od A do B funkcija pada, na intervalu od B do C narašča.

Na teh točkah (A in B) postane odvod nič (enak nič).

Tangente v teh točkah so vzporedne z osjo vol.

Dodal bom, da se točke, v katerih funkcija spremeni svoje obnašanje od naraščanja do padanja (in obratno, od padanja do naraščanja), imenujejo ekstremi.

Pomembna točka:

1. Odvod na naraščajoče intervale ima pozitiven znak(PKo nadomestite vrednost iz intervala v njegov derivat, dobite pozitivno število).

To pomeni, da če ima odvod na določeni točki iz določenega intervala pozitivno vrednost, se graf funkcije na tem intervalu poveča.

2. Na padajočih intervalih ima odvod negativni predznak(pri zamenjavi vrednosti iz intervala v izpeljani izraz dobimo negativno število).

To pomeni, da če ima izpeljanka na določeni točki iz določenega intervala negativen pomen, potem graf funkcije pada na tem intervalu.

To je treba jasno razumeti!!!

Tako lahko z izračunom odvoda in njegovo enačenjem z nič najdemo točke, ki delijo številsko premico na intervale.Pri vsakem od teh intervalov lahko določite predznak derivata in nato sklepate o njegovem povečanju ali zmanjšanju.

*Posebej je treba omeniti točke, kjer izpeljanka ne obstaja. Dobimo lahko na primer odvod, katerega imenovalec izgine pri določenem x. Jasno je, da za tak x odvod ne obstaja. Torej, to točko je treba upoštevati tudi pri določanju intervalov povečanja (zmanjšanja).

Funkcija v točkah, kjer je odvod enak nič, ne spremeni vedno predznaka. O tem bo ločen članek. Na samem enotnem državnem izpitu takih nalog ne bo.

Zgornje lastnosti so potrebne za preučevanje obnašanja funkcije pri naraščanju in padanju.

Kaj še morate vedeti za reševanje navedenih nalog: tabela odvodov in pravila diferenciacije. Brez tega ne gre. to osnovno znanje, na temo derivatov. Popolnoma dobro bi morali poznati odvode elementarnih funkcij.

Računanje odvoda kompleksne funkcijef(g(x)), predstavljajte si funkcijog(x) to je spremenljivka in nato izračunajte izpeljankof’(g(x)) uporaba tabelarnih formul kot običajnega odvoda spremenljivke. Nato rezultat pomnožite z odvodom funkcijeg(x) .

Oglejte si video vadnico Maxima Semenikhina o kompleksnih funkcijah:

Problemi iskanja maksimalne in minimalne točke

Algoritem za iskanje največjih (minimalnih) točk funkcije:

1. Poiščite odvod funkcije f’(x).

2. Poiščite ničle odvoda (z enačenjem odvoda na nič f’(x)=0 in rešite nastalo enačbo). Najdemo tudi točke, v katerih izpeljanka ne obstaja(še posebej to velja za frakcijske racionalne funkcije).

3. Dobljene vrednosti označimo na številski premici in določimo predznake odvoda na teh intervalih tako, da vrednosti iz intervalov nadomestimo v odvodni izraz.

Zaključek bo eden od dveh:

1. Najvišja točka je točkapri katerem izpeljanka spremeni vrednost iz pozitivne v negativno.

2. Najmanjša točka je točkapri katerem izpeljanka spremeni svojo vrednost iz negativne v pozitivno.

Težave pri iskanju največjega oz najnižjo vrednost

deluje v intervalu.

Pri drugi vrsti problema morate najti največjo ali najmanjšo vrednost funkcije na danem intervalu.

Algoritem za iskanje največje (najmanjše) vrednosti funkcije:

1. Ugotovite, ali obstajajo največje (minimalne) točke. Da bi to naredili, poiščemo izpeljanko f’(x) , potem rešujemo f’(x)=0 (točki 1 in 2 iz prejšnjega algoritma).

2. Ugotovimo, ali dobljene točke pripadajo danemu intervalu in zapišemo tiste, ki ležijo v njegovih mejah.

3. V prvotno funkcijo (ne v odvod, ampak v tisto, ki je podana v pogoju) nadomestimo meje danega intervala in točke (maksimum-minimum), ki ležijo znotraj intervala (2. korak).

4. Izračunajte vrednosti funkcij.

5. Izmed dobljenih izberemo največjo (najmanjšo) vrednost, odvisno od tega, kakšno vprašanje smo zastavili v nalogi in nato zapišemo odgovor.

Vprašanje: zakaj je treba iskati največje (minimalne) točke pri težavah iskanja največje (najmanjše) vrednosti funkcije?

Najboljši način za ponazoritev tega je pogled na shematski prikaz grafov navedenih funkcij:

V primerih 1 in 2 je dovolj, da zamenjamo meje intervala, da določimo največjo ali najmanjšo vrednost funkcije. V primerih 3 in 4 je potrebno najti ničle funkcije (točke maksimuma-minimuma). Če zamenjamo meje intervala (ne da bi našli ničle funkcije), bomo dobili napačen odgovor, kar je razvidno iz grafov.

In bistvo je v tem, da mi dano funkcijo ne moremo videti, kako grafikon izgleda na intervalu (ali ima maksimum ali minimum znotraj intervala). Zato obvezno poiščite ničle funkcije!!!

Če enačba f'(x)=0 ne bo imela rešitve, to pomeni, da ni točk maksimum-minimum (Slika 1,2), za iskanje zastavljenega problema pa v to funkcijo nadomestimo le meje intervala.

Še ena pomembna točka. Ne pozabite, da mora biti odgovor celo število ali končna decimalka. Ko izračunate največjo in najmanjšo vrednost funkcije, boste dobili izraze z e in pi ter izraze s korenom. Ne pozabite, da vam jih ni treba popolnoma izračunati in jasno je, da rezultat takih izrazov ne bo odgovor. Če želite izračunati takšno vrednost, potem to storite (številke: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Veliko sem napisal, sem se morda zmotil? Avtor: konkretni primeri videli boste, da je vse preprosto.

Naprej vam želim povedati mala skrivnost. Dejstvo je, da je veliko problemov mogoče rešiti brez poznavanja lastnosti odvoda in celo brez pravil diferenciacije. Zagotovo vam bom povedal o teh niansah in vam pokazal, kako se to naredi? Ne spreglejte!

A zakaj sem potem sploh predstavil teorijo in tudi rekel, da jo je treba poznati. Tako je – vedeti morate. Če to razumete, vas noben problem v tej temi ne bo zmedel.

»Triki«, ki jih boste spoznali, vam bodo v pomoč pri reševanju specifičnih (nekaterih) prototipnih problemov. TOSeveda je priročno uporabiti te tehnike kot dodatno orodje. Problem je mogoče rešiti 2-3 krat hitreje in prihraniti čas pri reševanju dela C.

Vse najboljše!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.