Formula n števil geometrijske progresije. Geometrijsko napredovanje

Geometrijsko napredovanje v matematiki nič manj pomembna kot aritmetika. Geometrijska progresija je zaporedje števil b1, b2,..., b[n], katerega vsak naslednji člen dobimo tako, da prejšnjega pomnožimo s stalnim številom. Ta številka, ki označuje tudi stopnjo rasti ali zmanjšanja napredovanja, se imenuje imenovalec geometrijske progresije in označujejo

Za dokončana naloga geometrijskega napredovanja je treba poleg imenovalca poznati oziroma določiti njegov prvi člen. Za vrednost pozitivnega imenovalca je napredovanje monotono zaporedje, in če je to zaporedje števil monotono padajoče in če monotono narašča. Primer, ko je imenovalec enako ena v praksi se ne upošteva, saj imamo zaporedje enake številke, njihovo seštevanje pa ni praktičnega pomena

Splošni izraz geometrijske progresije izračunano po formuli

Vsota prvih n členov geometrijske progresije določeno s formulo

Razmislimo o rešitvah klasične probleme na geometrijsko progresijo. Začnimo z najpreprostejšimi za razumevanje.

Primer 1. Prvi člen geometrijske progresije je 27, njen imenovalec pa 1/3. Poiščite prvih šest členov geometrijskega napredovanja.

Rešitev: Zapišimo pogoj problema v obrazec

Za izračun uporabljamo formulo za n-ti člen geometrijske progresije

Na podlagi tega najdemo neznane člene napredovanja

Kot lahko vidite, izračunavanje pogojev geometrijske progresije ni težko. Samo napredovanje bo izgledalo takole

Primer 2. Podani so prvi trije členi geometrijske progresije: 6; -12; 24. Poišči imenovalec in njegov sedmi člen.

Rešitev: Izračunamo imenovalec geometrične progresije na podlagi njene definicije

Dobili smo izmenično geometrijsko progresijo, katere imenovalec je enak -2. Sedmi člen se izračuna po formuli

To reši problem.

Primer 3. Geometrična progresija je podana z dvema členoma . Poiščite deseti člen napredovanja.

rešitev:

Zapišimo dane vrednosti s formulami

Po pravilih bi bilo treba najti imenovalec in nato iskati želeno vrednost, a že deseti mandat imamo

Enako formulo lahko dobimo na podlagi preprostih manipulacij z vhodnimi podatki. Šesti člen serije razdelite na drugega in kot rezultat dobimo

Če dobljeno vrednost pomnožimo s šestim členom, dobimo desetega

Tako za takšne naloge z uporabo preprostih transformacij v hiter način lahko najdete pravo rešitev.

Primer 4. Geometrijsko napredovanje je podano s ponavljajočimi se formulami

Poiščite imenovalec geometrijske progresije in vsoto prvih šestih členov.

rešitev:

Zapišimo podane podatke v obliki sistema enačb

Izrazite imenovalec tako, da drugo enačbo delite s prvo

Poiščimo prvi člen napredovanja iz prve enačbe

Izračunajmo naslednjih pet členov, da bi našli vsoto geometrijske progresije

Začetna raven

Geometrijsko napredovanje. Obsežen vodnik s primeri (2019)

Zaporedje številk

Torej, usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:

Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko poljubno (v našem primeru jih je). Ne glede na to, koliko števil napišemo, vedno lahko povemo, katera je prva, katera druga in tako do zadnjega, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja:

Zaporedje številk je niz številk, od katerih je vsakemu mogoče dodeliti edinstveno številko.

Na primer za naše zaporedje:

Dodeljena številka je specifična samo za eno številko v zaporedju. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh drugih številk. Drugo število (tako kot th) je vedno enako.

Število s številko imenujemo n-ti član zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), vsak člen tega zaporedja pa je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

V našem primeru:

Najpogostejši vrsti progresije sta aritmetična in geometrijska. V tej temi bomo govorili o drugi vrsti - geometrijsko napredovanje.

Zakaj je potrebna geometrijska progresija in njena zgodovina?

Že v starih časih se je italijanski matematik menih Leonardo iz Pise (bolj znan kot Fibonacci) ukvarjal s praktičnimi potrebami trgovine. Menih se soočil z nalogo, da ugotovi, s pomočjo katerega najmanjši znesek uteži lahko stehtate blago? Fibonacci v svojih delih dokazuje, da je tak sistem uteži optimalen: To je ena prvih situacij, v kateri so se ljudje morali soočiti z geometrijsko progresijo, za katero ste verjetno že slišali in jo vsaj splošni koncept. Ko popolnoma razumete temo, pomislite, zakaj je tak sistem optimalen?

Trenutno se v življenjski praksi geometrijsko napredovanje kaže pri vlaganju denarja v banko, ko se znesek obresti obračuna na znesek, nabran na računu za prejšnje obdobje. Z drugimi besedami, če položite denar na vezani depozit v hranilnici, potem se bo depozit po enem letu povečal za prvotni znesek, tj. nov znesek bo enak prispevku, pomnoženemu s. V drugem letu se bo ta znesek povečal za t.j. takrat dobljeni znesek bo spet pomnožen z in tako naprej. Podobna situacija opisano v nalogah za izračun ti obrestne mere- odstotek se vsakič vzame od zneska, ki je na računu, ob upoštevanju prejšnjih obresti. O teh nalogah bomo govorili malo kasneje.

Veliko jih je več enostavni primeri, kjer se uporablja geometrijska progresija. Na primer, širjenje gripe: ena oseba je okužila drugo osebo, ti so okužili drugo osebo in tako je drugi val okužbe oseba, ona pa je okužila drugo ... in tako naprej. .

Mimogrede, finančna piramida, ista MMM, je preprost in suh izračun, ki temelji na lastnostih geometrijskega napredovanja. zanimivo? Ugotovimo.

Geometrijsko napredovanje.

Recimo, da imamo številsko zaporedje:

Takoj boste odgovorili, da je to enostavno in da je ime takšnega zaporedja aritmetična progresija z razliko njenih členov. Kaj pa tole:

Če od naslednjega števila odštejete prejšnje, boste videli, da vsakič dobite novo razliko (in tako naprej), a zaporedje vsekakor obstaja in ga ni težko opaziti – vsak naslednja številka krat več kot prejšnji!

Ta vrsta številskega zaporedja se imenuje geometrijsko napredovanje in je določen.

Geometrijsko napredovanje () je numerično zaporedje, katerega prvi člen je drugačen od nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. To število imenujemo imenovalec geometrijske progresije.

Omejitve, da prvi člen ( ) ni enak in niso naključne. Predpostavimo, da jih ni in je prvi člen še vedno enak, q pa je enak, hmm.. naj bo, potem se izkaže:

Strinjajte se, da to ni več napredovanje.

Kot razumete, bomo dobili enake rezultate, če obstaja katero koli število, ki ni nič, a. V teh primerih preprosto ne bo napredovanja, saj je celoten številske serije ali bodo vse ničle ali eno število in vse ostale ničle.

Zdaj pa se podrobneje pogovorimo o imenovalcu geometrijskega napredovanja, to je o.

Ponovimo: - to je številka kolikokrat se spremeni vsak naslednji člen? geometrijsko napredovanje.

Kaj mislite, da bi lahko bilo? Tako je, pozitivno in negativno, vendar ne nič (o tem smo govorili malo višje).

Predpostavimo, da je naš pozitiven. Naj v našem primeru a. Kakšna je vrednost drugega izraza in? Na to lahko enostavno odgovorite:

Tako je prav. V skladu s tem, če, potem imajo vsi naslednji pogoji napredovanja isti znak- Oni so pozitivni.

Kaj če je negativno? Na primer, a. Kakšna je vrednost drugega izraza in?

To je povsem druga zgodba

Poskusite prešteti člene tega napredovanja. Koliko si dobil? imam. Torej, če, potem se znaki členov geometrijske progresije izmenjujejo. To pomeni, da če vidite progresijo z izmeničnimi predznaki za njene člane, potem je njen imenovalec negativen. To znanje vam lahko pomaga, da se preizkusite pri reševanju nalog na to temo.

Zdaj pa malo vadimo: poskusite ugotoviti, katera številska zaporedja so geometrijska in katera aritmetična progresija:

razumeš Primerjajmo naše odgovore:

• Geometrijsko napredovanje - 3, 6.
• Aritmetična progresija - 2, 4.
• To ni niti aritmetična niti geometrijska progresija - 1, 5, 7.

Vrnimo se k naši zadnji progresiji in poskusimo najti njen člen, tako kot pri aritmetični. Kot ste morda uganili, ga lahko najdete na dva načina.

Vsak člen zaporedoma pomnožimo z.

Torej je th člen opisane geometrijske progresije enak.

Kot ste že uganili, boste zdaj sami izpeljali formulo, ki vam bo pomagala najti katerega koli člana geometrijskega napredovanja. Ali pa ste ga že razvili zase in opisali, kako korak za korakom najti člana? Če je tako, potem preverite pravilnost svojega razmišljanja.

Naj to ponazorimo s primerom iskanja th člena tega napredovanja:

Z drugimi besedami:

Sami poiščite vrednost člena dane geometrijske progresije.

Je uspelo? Primerjajmo naše odgovore:

Upoštevajte, da ste dobili popolnoma enako število kot v prejšnji metodi, ko smo zaporedno pomnožili z vsakim prejšnjim členom geometrijskega napredovanja.
Poskusimo "depersonalizirati" to formulo- Postavimo ga v splošno obliko in dobimo:

Izpeljana formula velja za vse vrednosti - tako pozitivne kot negativne. To preverite sami z izračunom členov geometrijske progresije z naslednjimi pogoji: , a.

Ste šteli? Primerjajmo rezultate:

Strinjam se, da bi bilo možno najti člen progresije na enak način kot člen, vendar obstaja možnost napačnega izračuna. In če smo že našli th člen geometrijske progresije, potem je kaj preprostejšega od uporabe "okrnjenega" dela formule.

Neskončno padajoča geometrijska progresija.

Pred kratkim smo govorili o tem, kaj je lahko večje ali manjše od nič, vendar obstaja posebne pomene za katero se imenuje geometrijska progresija neskončno padajoče.

Zakaj misliš, da je dobil to ime?
Najprej zapišimo geometrijsko progresijo, sestavljeno iz členov.
Recimo torej:

Vidimo, da je vsak naslednji člen manjši od prejšnjega za faktor, toda ali bo kakšno število? Takoj boste odgovorili - "ne". Zato je neskončno padajoča – manjša in manjša, a nikoli ne postane nič.

Da bi jasno razumeli, kako je to vizualno videti, poskusimo narisati graf našega napredovanja. Torej ima formula za naš primer naslednjo obliko:

Na grafih, od katerih smo navajeni risati odvisnosti, torej:

Bistvo izraza se ni spremenilo: v prvem vnosu smo prikazali odvisnost vrednosti člana geometrijskega napredovanja od njegovega rednega števila, v drugem vnosu pa smo preprosto vzeli vrednost člana geometrijskega napredovanja kot , in označil vrstno številko ne kot, ampak kot. Vse, kar je treba narediti, je zgraditi graf.
Poglejmo, kaj imaš. Tukaj je graf, ki sem ga dobil:

vidiš Funkcija pada, teži k ničli, vendar je nikoli ne prečka, zato je neskončno padajoča. Označimo naše točke na grafu, hkrati pa kaj pomeni koordinata in:

Poskusite shematično prikazati graf geometrijskega napredovanja, če je tudi njegov prvi člen enak. Analizirajte, kakšna je razlika z našim prejšnjim grafom?

Vam je uspelo? Tukaj je graf, ki sem ga dobil:

Zdaj, ko ste v celoti razumeli osnove teme geometrijske progresije: veste, kaj je, veste, kako najti njen člen, in veste tudi, kaj je neskončno padajoča geometrijska progresija, pojdimo k njeni glavni lastnosti.

Lastnost geometrijske progresije.

Ali se spomnite lastnine članov aritmetična progresija? Da, da, kako najti vrednost določenega števila napredovanja, ko obstajajo prejšnje in naslednje vrednosti pogojev tega napredovanja. se spomniš Tukaj je:

Zdaj se soočamo s popolnoma enakim vprašanjem za člene geometrijske progresije. Da izpeljemo takšno formulo, začnimo risati in sklepati. Videli boste, zelo enostavno je, in če pozabite, ga lahko izvlečete sami.

Vzemimo še eno preprosto geometrijsko progresijo, v kateri poznamo in. Kako najti? Z aritmetično progresijo je lahko in preprosto, kaj pa tukaj? Pravzaprav tudi v geometriji ni nič zapletenega - samo zapisati morate vsako vrednost, ki nam je dana po formuli.

Lahko se vprašate, kaj naj storimo glede tega zdaj? Da, zelo preprosto. Najprej ponazorimo te formule na sliki in poskusimo z njimi izvesti različne manipulacije, da pridemo do vrednosti.

Abstrahirajmo se od števil, ki so nam dana, osredotočimo se le na njihov izraz skozi formulo. Najti moramo poudarjeno vrednost oranžna, s poznavanjem sosednjih članov. Poskusimo producirati z njimi razne akcije, zaradi česar lahko dobimo.

Dodatek.
Poskusimo sešteti dva izraza in dobimo:

Iz tega izraza, kot vidite, ga nikakor ne moremo izraziti, zato bomo poskusili drugo možnost - odštevanje.

Odštevanje.

Kot lahko vidite, tudi tega ne moremo izraziti, zato poskusimo te izraze pomnožiti drug z drugim.

Množenje.

Zdaj natančno poglejte, kaj imamo z množenjem pogojev geometrijske progresije, ki nam je bila dana v primerjavi s tem, kar je treba najti:

Uganete o čem govorim? Tako je, da bi našli, moramo vzeti kvadratni koren iz števil geometrijske progresije, ki mejijo na želeno, pomnoženih med seboj:

Izvolite. Sami ste izpeljali lastnost geometrijske progresije. Poskusite zapisati to formulo splošni pogled. Je uspelo?

Ste pozabili pogoj za? Pomislite, zakaj je pomembno, poskusite na primer sami izračunati. Kaj se bo zgodilo v tem primeru? Tako je, popolna neumnost, ker je formula videti takole:

Zato ne pozabite na to omejitev.

Zdaj pa izračunajmo, čemu je enako

Pravilen odgovor je! Če pri izračunu niste pozabili druge možne vrednosti, potem ste super in lahko takoj nadaljujete s treningom, če pa ste pozabili, preberite, kaj je obravnavano spodaj, in bodite pozorni, zakaj je treba oba korena zapisati v odgovor.

Narišimo obe naši geometrijski progresiji - eno z vrednostjo in drugo z vrednostjo in preverimo, ali imata obe pravico do obstoja:

Da bi preverili, ali taka geometrijska progresija obstaja ali ne, je treba videti, ali so vsi njeni dani členi enaki? Izračunajte q za prvi in ​​drugi primer.

Vidite, zakaj moramo napisati dva odgovora? Kajti predznak iskanega izraza je odvisen od tega, ali je pozitiven ali negativen! In ker ne vemo, kaj je, moramo oba odgovora napisati s plusom in minusom.

Zdaj, ko ste obvladali glavne točke in izpeljali formulo za lastnost geometrijske progresije, poiščite, poznate in

Primerjaj svoje odgovore s pravilnimi:

Kaj menite, kaj, če ne bi dobili vrednosti členov geometrijske progresije, ki mejijo na želeno število, ampak enako oddaljeni od njega. Na primer, najti moramo in glede na in. Ali lahko v tem primeru uporabimo formulo, ki smo jo izpeljali? Poskusite potrditi ali ovreči to možnost na enak način, tako da opišete, iz česa je posamezna vrednost, kot ste to storili, ko ste prvotno izpeljali formulo, pri.
Kaj si dobil?

Zdaj pa še enkrat pozorno poglejte.
in v skladu s tem:

Iz tega lahko sklepamo, da formula deluje ne samo s sosednjimi z želenimi členi geometrijskega napredovanja, ampak tudi z enako oddaljena od tega, kar člani iščejo.

Tako ima naša začetna formula obliko:

Se pravi, če smo v prvem primeru to rekli, zdaj pravimo, da je lahko enako kateremu koli naravno število, ki je manjši. Glavna stvar je, da je enaka za obe podani številki.

Vadite naprej konkretni primeri, samo bodite zelo previdni!

1. , . Najdi.
2. , . Najdi.
3. , . Najdi.

Odločen? Upam, da ste bili izredno pozorni in ste opazili droben ulov.

Primerjajmo rezultate.

V prvih dveh primerih mirno uporabimo zgornjo formulo in dobimo naslednje vrednosti:

V tretjem primeru, ob natančnejšem pregledu serijske številkeštevil, ki so nam dana, razumemo, da niso enako oddaljena od števila, ki ga iščemo: to je prejšnje število, vendar je odstranjeno na položaju, zato formule ni mogoče uporabiti.

Kako to rešiti? Pravzaprav ni tako težko, kot se zdi! Zapišimo, kaj vsebuje posamezno število, ki nam je dano, in število, ki ga iščemo.

Torej imamo in. Poglejmo, kaj lahko storimo z njimi? Predlagam delitev z. Dobimo:

Naše podatke nadomestimo s formulo:

Naslednji korak, ki ga lahko najdemo - za to moramo narediti kockasti koren od dobljenega števila.

Zdaj pa poglejmo še enkrat, kaj imamo. Imamo ga, vendar ga moramo najti, in posledično je enako:

Našli smo vse potrebne podatke za izračun. Nadomestite v formulo:

Naš odgovor: .

Poskusite sami rešiti drugo podobno težavo:
Podano: ,
Najdi:

Koliko si dobil? Imam -.

Kot lahko vidite, v bistvu potrebujete spomnite se samo ene formule- . Vse ostalo lahko kadarkoli brez težav dvignete sami. Če želite to narediti, preprosto napišite najpreprostejše geometrijsko napredovanje na list papirja in zapišite, čemu je vsako od njegovih števil enako, v skladu z zgoraj opisano formulo.

Vsota členov geometrijske progresije.

Zdaj pa si poglejmo formule, ki nam omogočajo hiter izračun vsote členov geometrijske progresije v danem intervalu:

Za izpeljavo formule za vsoto členov končne geometrijske progresije pomnožimo vse dele zgornje enačbe z. Dobimo:

Poglejte pozorno: kaj imata skupnega zadnji dve formuli? Tako je, na primer navadni člani in tako naprej, razen prvega in zadnjega člana. Poskusimo odšteti 1. od 2. enačbe. Kaj si dobil?

Sedaj izrazite člen geometrijske progresije s formulo in dobljeni izraz nadomestite z našo zadnjo formulo:

Združi izraz. Moral bi dobiti:

Vse, kar je treba storiti, je izraziti:

Skladno s tem v tem primeru.

Kaj če? Katera formula potem deluje? Predstavljajte si geometrijsko napredovanje pri. Kakšna je? Niz enakih števil je pravilen, zato bo formula videti takole:

Obstaja veliko legend o aritmetičnem in geometrijskem napredovanju. Eden od njih je legenda o Setu, ustvarjalcu šaha.

Mnogi vedo, da je bila igra šaha izumljena v Indiji. Ko jo je hindujski kralj srečal, je bil navdušen nad njeno duhovitostjo in raznolikostjo možnih položajev v njej. Ko je izvedel, da ga je izumil eden od njegovih podanikov, se je kralj odločil, da ga bo osebno nagradil. Izumitelja je poklical k sebi in mu naročil, naj ga prosi za vse, kar hoče, in obljubil, da bo izpolnil še tako spretno željo.

Seta je prosil za čas za razmislek, in ko se je naslednji dan Seta pojavil pred kraljem, je kralja presenetil s skromnostjo svoje prošnje brez primere. Prosil je, naj da pšenično zrno za prvo polje na šahovnici, pšenično zrno za drugo, pšenično zrno za tretje, četrto itd.

Kralj je bil jezen in odgnal Setha, rekoč, da je služabnikova prošnja nevredna kraljeve radodarnosti, vendar je obljubil, da bo služabnik prejel svoje zrnje za vsa polja na deski.

In zdaj vprašanje: z uporabo formule za vsoto členov geometrijske progresije izračunajte, koliko zrn naj prejme Seth?

Začnimo sklepati. Ker je po pogoju Set zahteval pšenično zrno za prvo polje na šahovnici, za drugo, za tretje, za četrto itd., potem vidimo, da je v problemu govorimo o o geometrijskem napredovanju. Kaj je enako v tem primeru?
prav.

Skupno število kvadratov šahovnice. Oziroma,. Vse podatke imamo, ostane le še, da jih vtaknemo v formulo in izračunamo.

Da si vsaj približno predstavljamo “lestvico” dano številko, transformirajte z uporabo lastnosti stopnje:

Seveda, če želite, lahko vzamete kalkulator in izračunate, kakšno število dobite na koncu, in če ne, mi boste morali verjeti na besedo: končna vrednost izraza bo.
To je:

kvintilion kvadrilijon bilijon milijard milijonov tisoč.

Fuj) Če si želite predstavljati ogromno te številke, potem ocenite, kako velik skedenj bi bil potreben za celotno količino žita.
Če je skedenj m visok in m širok, bi morala njegova dolžina segati za km, tj. dvakrat več kot od Zemlje do Sonca.

Če bi bil kralj močan v matematiki, bi lahko znanstvenika sam povabil k štetju zrn, kajti za štetje milijona zrn bi potreboval vsaj en dan neutrudnega štetja, in glede na to, da je treba šteti kvintiljone, zrna bi morali šteti vse življenje.

Zdaj pa rešimo preprost problem, ki vključuje vsoto členov geometrijske progresije.
Učenec 5.A razreda Vasya je zbolel za gripo, vendar še naprej hodi v šolo. Vsak dan Vasya okuži dve osebi, ti pa še dve osebi in tako naprej. V razredu so samo ljudje. Čez koliko dni bo cel razred zbolel za gripo?

Torej, prvi člen geometrijske progresije je Vasya, to je oseba. Treti člen geometrijskega napredovanja sta dve osebi, ki ju je okužil prvi dan svojega prihoda. Skupni znesekčlanov napredovanja je enako številu učencev v 5A. V skladu s tem govorimo o napredovanju, pri katerem:

Nadomestimo naše podatke v formulo za vsoto členov geometrijske progresije:

Ves razred bo zbolel v nekaj dneh. Ne verjamete formulam in številkam? Poskusite sami prikazati "okuženost" študentov. Je uspelo? Poglej, kako izgleda pri meni:

Sami izračunajte, koliko dni bi trajalo, da bi učenci zboleli za gripo, če bi vsak okužil po eno osebo, v razredu pa bi bila samo ena oseba.

Kakšno vrednost ste dobili? Izkazalo se je, da so vsi začeli zbolevati po enem dnevu.

Kot vidite podobna naloga in risba na njej spominja na piramido, v kateri vsaka naslednja "prinese" nove ljudi. Vendar prej ali slej pride trenutek, ko slednji ne more nikogar pritegniti. V našem primeru, če si predstavljamo, da je razred izoliran, oseba iz zapre verigo (). Torej, če bi bila oseba vpletena v finančno piramido, v kateri je bil denar dan, če ste pripeljali še dva udeleženca, potem oseba (ali na splošno) ne bi pripeljala nikogar, zato bi izgubila vse, kar je vložila v to finančno prevaro.

Vse, kar je bilo povedano zgoraj, se nanaša na padajočo ali naraščajočo geometrijsko progresijo, vendar, kot se spomnite, imamo posebno vrsto - neskončno padajočo geometrijsko progresijo. Kako izračunati vsoto njegovih članov? In zakaj ima ta vrsta napredovanja določene značilnosti? Ugotovimo skupaj.

Torej, najprej si ponovno oglejmo to risbo neskončno padajoče geometrijske progresije iz našega primera:

Zdaj pa poglejmo formulo za vsoto geometrijske progresije, izpeljano malo prej:
oz

Za kaj si prizadevamo? Tako je, graf kaže, da teži k ničli. To pomeni, da bo pri, skoraj enako, oziroma pri izračunu izraza, ki ga bomo dobili skoraj. V zvezi s tem menimo, da lahko pri izračunu vsote neskončno padajoče geometrijske progresije ta oklepaj zanemarimo, saj bo enak.

- formula je vsota členov neskončno padajoče geometrijske progresije.

POMEMBNO! Formulo za vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije uporabimo le, če pogoj izrecno določa, da moramo najti vsoto neskončnoštevilo članov.

Če je podano točno določeno število n, potem uporabimo formulo za vsoto n členov, tudi če oz.

Zdaj pa vadimo.

1. Poiščite vsoto prvih členov geometrijske progresije z in.
2. Poiščite vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije z in.

Upam, da ste bili zelo previdni. Primerjajmo naše odgovore:

Zdaj veste vse o geometrijskem napredovanju in čas je, da preidete s teorije na prakso. Najpogostejši problemi geometrijske progresije, s katerimi se srečujemo na izpitu, so problemi izračuna obrestnih obresti. To so tisti, o katerih bomo govorili.

Težave pri izračunu obrestnih obresti.

Verjetno ste že slišali za tako imenovano formulo obrestnih obresti. Ali razumete, kaj to pomeni? Če ne, poglejmo, kajti ko boste razumeli sam proces, boste takoj razumeli, kaj ima z njim opraviti geometrijsko napredovanje.

Vsi gremo v banko in vemo, da obstajajo različni pogoji na depozite: to je rok in dodatna storitev ter obresti z dvema na različne načine njegove izračune - preproste in zapletene.

Z preproste obresti vse je bolj ali manj jasno: obresti se obračunajo enkrat ob koncu roka depozita. To pomeni, da če rečemo, da položimo 100 rubljev za eno leto, potem bodo pripisani šele ob koncu leta. V skladu s tem bomo do konca depozita prejeli rublje.

Sestavljene obresti- to je možnost, v kateri se pojavi kapitalizacija obresti, tj. njihov dodatek k znesku depozita in naknadni izračun dohodka ne od začetnega, ampak od nabranega zneska depozita. Uporaba velikih začetnic se ne pojavlja nenehno, ampak z določeno pogostostjo. Ta obdobja so praviloma enaka in banke najpogosteje uporabljajo mesec, četrtletje ali leto.

Predpostavimo, da letno položimo enake rublje, vendar z mesečno kapitalizacijo depozita. kaj počnemo

Razumeš vse tukaj? Če ne, poglejmo korak za korakom.

V banko smo prinesli rublje. Do konca meseca bi morali imeti na računu znesek, sestavljen iz naših rubljev in obresti nanje, to je:

Se strinjam?

Lahko ga vzamemo iz oklepajev in potem dobimo:

Strinjam se, ta formula je že bolj podobna tistemu, kar smo zapisali na začetku. Vse, kar je ostalo, je ugotoviti odstotke

V predstavitvi problema smo povedali o letnih stopnjah. Kot veste, ne množimo s - pretvorimo odstotke v decimalke, to je:

prav? Zdaj se lahko vprašate, od kod številka? Zelo enostavno!
Ponavljam: izjava o problemu govori o LETNA obresti, ki nastanejo MESEČNO. Kot veste, nam bo banka v skladu s tem v letu mesecev zaračunala del letnih obresti na mesec:

Ste spoznali? Zdaj poskusite napisati, kako bi izgledal ta del formule, če bi rekel, da se obresti obračunavajo dnevno.
Vam je uspelo? Primerjajmo rezultate:

Bravo! Vrnimo se k naši nalogi: napišite, koliko bo v drugem mesecu pripisano na naš račun, ob upoštevanju, da se obresti obračunajo na zbrani znesek depozita.
Evo, kaj sem dobil:

Ali z drugimi besedami:

Mislim, da ste v vsem tem že opazili vzorec in videli geometrijsko napredovanje. Napiši, koliko bo njen član oziroma, z drugimi besedami, koliko denarja bomo prejeli na koncu meseca.
Ali? Preverimo!

Kot lahko vidite, če vložite denar v banko za eno leto po enostavni obrestni meri, boste prejeli rublje, če pa po sestavljeni obrestni meri, boste prejeli rublje. Korist je majhna, vendar se to zgodi le med letom, vendar je za daljše obdobje kapitalizacija veliko bolj donosna:

Razmislimo o drugi vrsti problema: obrestne mere. Po tem, kar ste ugotovili, bo za vas osnovno. Torej naloga:

Družba Zvezda je v panogo začela vlagati leta 2000, z dolarskim kapitalom. Od leta 2001 vsako leto ustvari dobiček v višini kapitala predhodnega leta. Koliko dobička bo imela družba Zvezda konec leta 2003, če dobička ne bi umaknili iz obtoka?

Kapital družbe Zvezda 2000.
- kapital družbe Zvezda v letu 2001.
- kapital družbe Zvezda 2002.
- kapital družbe Zvezda v letu 2003.

Lahko pa na kratko zapišemo:

Za naš primer:

2000, 2001, 2002 in 2003.

Oziroma:
rubljev
Upoštevajte, da v tem problemu nimamo delitve z ali z, saj je odstotek podan LETNO in se izračuna LETNO. To pomeni, da pri branju težave z obrestno mero bodite pozorni na to, kakšen odstotek je podan in v katerem obdobju je izračunan, in šele nato nadaljujte z izračuni.
Zdaj veste vse o geometrijskem napredovanju.

Usposabljanje.

1. Poiščite člen geometrijskega napredovanja, če je znano, da in
2. Poiščite vsoto prvih členov geometrijske progresije, če je znano, da in
3. Podjetje MDM Capital je začelo vlagati v industrijo leta 2003 s kapitalom v dolarjih. Od leta 2004 dalje vsako leto izkazuje dobiček v višini kapitala predhodnega leta. Podjetje MSK Denarni tokovi"je začel vlagati v industrijo leta 2005 v višini 10.000 $, leta 2006 pa je začel ustvarjati dobiček v višini. Za koliko dolarjev je konec leta 2007 večji kapital enega podjetja od drugega, če dobička ne bi umaknili iz obtoka?

odgovori:

1. Ker izjava o problemu ne pravi, da je napredovanje neskončno in je potrebno najti vsoto določenega števila njegovih členov, se izračun izvede po formuli:
2. 
   Kapitalska družba MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - se poveča za 100%, to je 2-krat.
   Oziroma:
   rubljev
   Podjetje MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - poveča za, to je za krat.
   Oziroma:
   rubljev
   rubljev

Naj povzamemo.

1) Geometrijska progresija ( ) je številsko zaporedje, katerega prvi člen je različen od nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. To število imenujemo imenovalec geometrijske progresije.

2) Enačba členov geometrijske progresije je .

3) lahko sprejme katero koli vrednost razen in.

• če, potem imajo vsi naslednji členi napredovanja enak predznak - oni so pozitivni;
• če, potem vsi naslednji pogoji napredovanja nadomestni znaki;
• ko - se progresija imenuje neskončno padajoča.

4) , z - lastnost geometrijske progresije (sosednji členi)

oz
, pri (enako oddaljeni izrazi)

Ko ga najdete, tega ne pozabite morala bi biti dva odgovora.

na primer

5) Vsota členov geometrijske progresije se izračuna po formuli:
oz

Če napredovanje neskončno pada, potem:
oz

POMEMBNO! Formulo za vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije uporabimo le, če pogoj izrecno določa, da moramo najti vsoto neskončno številočlani.

6) Težave z obrestnimi obrestmi se izračunajo tudi po formuli th člena geometrijske progresije, pod pogojem, da sredstva niso bila umaknjena iz obtoka:

GEOMETRIJSKA PROGRESIJA. NA KRATKO O GLAVNEM

Geometrijsko napredovanje( ) je številsko zaporedje, katerega prvi člen je različen od nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. Ta številka se imenuje imenovalec geometrijskega napredovanja.

Imenovalec geometrijske progresije lahko sprejme katero koli vrednost razen in.

• Če, potem imajo vsi naslednji členi napredovanja enak predznak - so pozitivni;
• če, potem vsi nadaljnji člani napredovanja izmenjujejo znake;
• ko - se progresija imenuje neskončno padajoča.

Enačba členov geometrijske progresije - .

Vsota členov geometrijske progresije izračunano po formuli:
oz

Že v Stari Egipt poznal ne samo aritmetiko, ampak tudi geometrijsko progresijo. Tukaj je na primer problem iz Rhindovega papirusa: »Sedem obrazov ima sedem mačk; Vsaka mačka poje sedem miši, vsaka miš poje sedem klasov in iz vsakega klasja ječmena lahko zraste sedem mernikov ječmena. Kako velika so števila v tem nizu in njihova vsota?

riž. 1. Staroegipčanski problem geometrijske progresije

Ta naloga se je večkrat ponovila z različnimi različicami med drugimi ljudstvi ob drugih časih. Na primer, v napisanem v 13. stoletju. "Knjiga o abaku" Leonarda iz Pise (Fibonacci) ima problem, v katerem se na poti v Rim pojavi 7 stark (očitno romarjev), od katerih ima vsaka 7 mul, od katerih ima vsaka 7 torb, od katerih vsaka vsebuje 7 hlebcev, od katerih ima vsak 7 nožev, od katerih ima vsak 7 nožnic. Problem je vprašanje, koliko predmetov je.

Vsota prvih n členov geometrijske progresije S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . To formulo lahko na primer dokažemo takole: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

S n dodamo število b 1 q n in dobimo:

Od tod S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) in dobimo potrebno formulo.

Že na eni izmed glinenih tablic Stari Babilon segajo v 6. stoletje. pr. n. št e., vsebuje vsoto 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Res je, kot v številnih drugih primerih, ne vemo, kako so to dejstvo vedeli Babilonci. .

Hiter porast geometrijske progresije v številnih kulturah, zlasti v indijski, se vedno znova uporablja kot vizualni simbol prostranosti vesolja. V znameniti legendi o pojavu šaha vladar daje izumitelju šaha možnost, da si sam izbere nagrado, in vpraša za število pšeničnih zrn, ki jih bo dobil, če bo eno postavljeno na prvo polje šahovnice, dve pa na drugo, štiri na tretje, osem na četrto itd., vsakič ko se število podvoji. Vladyka je mislil, da govorimo kvečjemu o nekaj vrečkah, a se je zmotil. Lahko vidimo, da bi moral izumitelj za vseh 64 polj šahovnice prejeti (2 64 - 1) zrn, kar je izraženo kot 20-mestno število; tudi če bi posejali celotno površino Zemlje, bi trajalo vsaj 8 let, da se nabere zahtevana količina zrna Ta legenda se včasih razlaga kot navedba tako rekoč neomejenih možnosti, ki se skrivajo v igri šaha.

Preprosto je videti, da je ta številka v resnici 20-mestna:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (natančnejši izračun daje 1,84∙10 19). Vendar me zanima, če lahko ugotovite, s katero števko se konča ta številka?

Geometrična progresija je lahko naraščajoča, če je imenovalec večji od 1, ali padajoča, če je manj kot ena. V slednjem primeru lahko število q n za dovolj velik n postane poljubno majhno. Medtem ko naraščajoča geometrijska progresija narašča nepričakovano hitro, se padajoča geometrijska progresija prav tako hitro zmanjšuje.

Čim večji je n, tem šibkeje se število q n razlikuje od nič in čim bližje je vsota n členov geometrijske progresije S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) številu S = b 1 / ( 1 – q). (Tako je na primer razmišljal F. Viet). Število S imenujemo vsota neskončno padajoče geometrijske progresije. Toda vprašanje, kakšen je pomen seštevanja CELOTNEGA geometrijskega napredovanja z neskončnim številom členov, matematikom dolga stoletja ni bilo dovolj jasno.

Padajočo geometrijsko progresijo lahko opazimo na primer v Zenonovih aporijah »Polovična delitev« in »Ahil in želva«. V prvem primeru je jasno prikazano, da je celotna cesta (ob predpostavki dolžine 1) vsota neskončnega števila odsekov 1/2, 1/4, 1/8 itd. To je seveda primer od stališče idej o končni vsoti neskončne geometrijske progresije. In vendar - kako je to mogoče?

V aporiji o Ahilu je situacija nekoliko bolj zapletena, saj tukaj imenovalec napredovanja ni 1/2, ampak neko drugo število. Naj na primer Ahil teče s hitrostjo v, želva se giblje s hitrostjo u, začetna razdalja med njima pa je l. Ahil bo to razdaljo pretekel v času l/v, želva pa se bo v tem času premaknila za razdaljo lu/v. Ko Ahil preteče ta segment, bo razdalja med njim in želvo postala enaka l (u /v) 2 itd. Izkazalo se je, da dohiteti želvo pomeni najti vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije s prvim členom l in imenovalec u /v. Ta vsota - segment, ki ga bo Ahil na koncu pretekel do mesta srečanja z želvo - je enaka l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Toda spet, kako si je treba ta rezultat razlagati in zakaj je sploh smiseln, dolgo časa ni bilo najbolj jasno.

Arhimed je uporabil vsoto geometrijske progresije za določitev površine segmenta parabole. Naj bo ta odsek parabole omejen s tetivo AB in naj bo tangenta v točki D parabole vzporedna z AB. Naj bo C razpolovišče AB, E razpolovišče AC, F razpolovišče CB. Narišimo premice, vzporedne z DC skozi točke A, E, F, B; Naj tangenta, narisana v točki D, seka te premice v točkah K, L, M, N. Narišimo še segmenta AD in DB. Naj premica EL seka premico AD v točki G, parabolo pa v točki H; premica FM seka premico DB v točki Q, parabolo pa v točki R. Glede na splošna teorija stožčasti prerezi, DC – premer parabole (to je segment, vzporeden z njeno osjo); ona in tangenta v točki D lahko služita kot koordinatni osi x in y, v kateri je enačba parabole zapisana kot y 2 = 2px (x je razdalja od D do katere koli točke danega premera, y je dolžina odsek, vzporeden z dano tangento od te točke premera do neke točke na sami paraboli).

Na podlagi enačbe parabole je DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, in ker je DK = 2DL, potem je KA = 4LH. Ker je KA = 2LG, LH = HG. Površina segmenta ADB parabole je enaka površini trikotnika ΔADB in ploščinam segmentov AHD in DRB skupaj. Po drugi strani je površina segmenta AHD podobno enaka površini trikotnika AHD in preostalih segmentov AH in HD, z vsakim od katerih lahko izvedete isto operacijo - razdelite na trikotnik (Δ) in dva preostala segmenta () itd.:

Ploščina trikotnika ΔAHD je enaka polovici ploščine trikotnika ΔALD (imata skupno osnovo AD, višine pa se razlikujejo za 2-krat), kar pa je enako polovici ploščine ​​trikotnika ΔAKD in torej polovico ploščine trikotnika ΔACD. Tako je površina trikotnika ΔAHD enaka četrtini površine trikotnika ΔACD. Prav tako je ploščina trikotnika ΔDRB enaka eni četrtini ploščine trikotnika ΔDFB. Torej sta površini trikotnikov ΔAHD in ΔDRB skupaj enaki četrtini površine trikotnika ΔADB. Ponavljanje te operacije, ko se uporabi za segmente AH, HD, DR in RB, bo iz njih izbralo trikotnike, katerih površina, vzeta skupaj, bo 4-krat manjša od površine trikotnikov ΔAHD in ΔDRB, vzetih skupaj, in torej 16-krat manjša od ploščine trikotnika ΔADB. In tako naprej:

Tako je Arhimed dokazal, da »vsak segment med ravno črto in parabolo tvori štiri tretjine trikotnika z enako osnovo in enako višino«.

Lekcija in predstavitev na temo: "Številska zaporedja. Geometrijsko napredovanje"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 9. razred
Potence in koreni. Funkcije in grafi

Fantje, danes se bomo seznanili z drugo vrsto napredovanja.
Tema današnje lekcije je geometrijsko napredovanje.

Geometrijsko napredovanje

Primer. 1,2,4,8,16... Geometrična progresija, v kateri je prvi člen enak ena in $q=2$.

Primer. 8,8,8,8... Geometrijsko napredovanje, v katerem je prvi člen enak osmici,
in $q=1$.

Primer. 3,-3,3,-3,3... Geometrijsko napredovanje, v katerem je prvi člen enak tri,
in $q=-1$.

Geometrijska progresija ima lastnosti monotonije.
Če $b_(1)>0$, $q>1$,
potem se zaporedje povečuje.
Če $b_(1)>0$, $0 Zaporedje je običajno označeno v obliki: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Tako kot pri aritmetičnem napredovanju, če je v geometrijskem napredovanju število elementov končno, se napredovanje imenuje končno geometrijsko napredovanje.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Upoštevajte, da če je zaporedje geometrijsko napredovanje, potem je tudi zaporedje kvadratov členov geometrijsko napredovanje. V drugem zaporedju je prvi člen enak $b_(1)^2$, imenovalec pa je enak $q^2$.

Formula za n-ti člen geometrijskega napredovanja

Vrnimo se k našim primerom.

Primer. 1,2,4,8,16... Geometrična progresija, katere prvi člen je enak ena,
in $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Primer. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrična progresija, v kateri je prvi člen enak šestnajst in $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Primer. 8,8,8,8... Geometrična progresija, v kateri je prvi člen enak osem in $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Primer. 3,-3,3,-3,3... Geometrična progresija, v kateri je prvi člen enak tri in $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Primer. Glede na geometrijsko progresijo $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Znano je, da je $b_(1)=6, q=3$. Poiščite $b_(5)$.
b) Znano je, da je $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Najdi n.
c) Vemo, da je $q=-2, b_(6)=96$. Poiščite $b_(1)$.
d) Znano je, da je $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Poiščite q.

rešitev.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, ker $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Primer. Razlika med sedmim in petim členom geometrijske progresije je 192, vsota petega in šestega člena progresije je 192. Poiščite deseti člen te progresije.

rešitev.
Vemo, da: $b_(7)-b_(5)=192$ in $b_(5)+b_(6)=192$.
Vemo tudi: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Nato:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Dobili smo sistem enačb:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Z enačenjem naših enačb dobimo:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Dobili smo dve rešitvi q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Zaporedoma nadomestite v drugo enačbo:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ ni rešitev.
Dobili smo to: $b_(1)=4, q=2$.
Poiščimo deseti člen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Vsota končne geometrijske progresije

Naj bo podana končna geometrijska progresija: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Vpišimo oznako za vsoto njegovih členov: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
V primeru, ko je $q=1$. Vsi členi geometrijske progresije so enaki prvemu členu, potem je očitno $S_(n)=n*b_(1)$.
Oglejmo si sedaj primer $q≠1$.
Zgornji znesek pomnožimo s q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Opomba:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Dobili smo formulo za vsoto končne geometrijske progresije.

rešitev.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Primer.
Poiščite znani peti člen geometrijske progresije: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

rešitev.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Značilna lastnost geometrijske progresije

Številsko zaporedje je geometrijsko napredovanje le, če je kvadrat vsakega člena enak zmnožku dveh sosednjih členov napredovanja. Ne pozabite, da za končno napredovanje ta pogoj ni izpolnjen za prvi in ​​zadnji člen.

Modul katerega koli člena geometrijske progresije je enak geometrični sredini njegovih dveh sosednjih členov.

rešitev.
Uporabimo značilno lastnost:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ in $x_(2)=-1$.
Zaporedoma nadomestimo naše rešitve v prvotni izraz:
Z $x=2$ smo dobili zaporedje: 4;6;9 – geometrijska progresija z $q=1,5$.
Za $x=-1$ dobimo zaporedje: 1;0;0.
Odgovor: $x=2.$

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno