Ulomki. Množenje in deljenje ulomkov

V članku bomo pokazali kako rešiti ulomke z uporabo preprostih, razumljivih primerov. Ugotovimo, kaj je ulomek in razmislimo reševanje ulomkov!

Koncept ulomki se uvaja v tečaje matematike od 6. razreda srednje šole.

Ulomki imajo obliko: ±X/Y, kjer je Y imenovalec, pove na koliko delov je bila celota razdeljena, X pa je števec, ki pove, koliko takih delov je bilo vzetih. Za jasnost vzemimo primer s torto:

V prvem primeru je bila torta enako razrezana in vzeta ena polovica, tj. 1/2. V drugem primeru je bila torta razrezana na 7 delov, od katerih so bili vzeti 4 deli, tj. 4/7.

Če del deljenja enega števila z drugim ni celo število, ga zapišemo kot ulomek.

Na primer, izraz 4:2 = 2 daje celo število, vendar 4:7 ni deljivo s celoto, zato je ta izraz zapisan kot ulomek 4/7.

Z drugimi besedami ulomek je izraz, ki označuje deljenje dveh števil ali izrazov in je zapisan s poševnico.

Če je števec manjši od imenovalca, je ulomek pravi, če je obratno, je nepravi ulomek. Ulomek lahko vsebuje celo število.

Na primer 5 celih 3/4.

Ta vnos pomeni, da za pridobitev celih 6 manjka en del štirice.

Če se želite spomniti, kako rešiti ulomke za 6. razred, to morate razumeti reševanje ulomkov, se v bistvu zmanjša na razumevanje nekaj preprostih stvari.

• Ulomek je v bistvu izraz ulomka. To je številski izraz, kateri del je dana vrednost ene celote. Na primer, ulomek 3/5 izraža, če smo nekaj celote razdelili na 5 delov in je število deležev ali delov te celote tri.
• Ulomek je lahko manjši od 1, na primer 1/2 (ali v bistvu polovica), potem je pravilen. Če je ulomek večji od 1, na primer 3/2 (tri polovice ali ena in pol), potem ni pravilen in za poenostavitev rešitve je bolje, da izberemo cel del 3/2 = 1 celo 1 /2.
• Ulomki so enaka števila kot 1, 3, 10 in celo 100, le da števila niso cela, temveč ulomki. Z njimi lahko izvajate vse enake operacije kot s številkami. Štetje ulomkov ni nič težje in to bomo v nadaljevanju pokazali s konkretnimi primeri.

Kako rešiti ulomke. Primeri.

Za ulomke je mogoče uporabiti veliko različnih aritmetičnih operacij.

Zmanjšanje ulomka na skupni imenovalec

Na primer, morate primerjati ulomka 3/4 in 4/5.

Za rešitev problema najprej poiščemo najmanjši skupni imenovalec, tj. najmanjše število, ki je deljivo z vsakim od imenovalcev ulomkov brez ostanka

Najmanjši skupni imenovalec (4,5) = 20

Nato se imenovalec obeh ulomkov zmanjša na najmanjši skupni imenovalec

Odgovor: 15/20

Seštevanje in odštevanje ulomkov

Če je treba izračunati vsoto dveh ulomkov, ju najprej spravimo na skupni imenovalec, nato seštejemo števce, imenovalec pa ostane nespremenjen. Razlika med ulomki se izračuna na enak način, razlika je le v tem, da se števci odštejejo.

Na primer, morate najti vsoto ulomkov 1/2 in 1/3

Zdaj pa poiščimo razliko med ulomkoma 1/2 in 1/4

Množenje in deljenje ulomkov

Tukaj reševanje ulomkov ni težko, tukaj je vse precej preprosto:

• Množenje - števce in imenovalce ulomkov pomnožimo skupaj;
• Deljenje - najprej dobimo ulomek, inverzen drugemu ulomku, tj. Zamenjamo njegov števec in imenovalec, nato pa dobljene ulomke pomnožimo.

Na primer:

To je približno to kako rešiti ulomke, Vse. Če imate še kakršna koli vprašanja o reševanje ulomkov, če kaj ni jasno, napišite v komentarje in zagotovo vam bomo odgovorili.

Če ste učitelj, bo morda prenos predstavitve za osnovno šolo (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) koristen za vas.

Ena najpomembnejših ved, katere uporabo lahko vidimo v disciplinah, kot so kemija, fizika in celo biologija, je matematika. Študij te znanosti vam omogoča, da razvijete nekatere duševne lastnosti in izboljšate svojo sposobnost koncentracije. Ena izmed tem, ki si pri predmetu matematika zasluži posebno pozornost, je seštevanje in odštevanje ulomkov. Veliko študentov se težko uči. Morda vam bo naš članek pomagal bolje razumeti to temo.

Kako odšteti ulomke, katerih imenovalci so enaki

Ulomki so enaka števila, s katerimi lahko izvajate različne operacije. Njihova razlika od celih števil je v prisotnosti imenovalca. Zato morate pri izvajanju operacij z ulomki preučiti nekatere njihove značilnosti in pravila. Najenostavnejši primer je odštevanje navadnih ulomkov, katerih imenovalci so predstavljeni kot isto število. Izvajanje tega dejanja ne bo težko, če poznate preprosto pravilo:

• Da od enega ulomka odštejemo sekundo, je treba od števca ulomka, ki ga zmanjšujemo, odšteti števec odštetega ulomka. To število zapišemo v števec razlike, imenovalec pustimo enak: k/m - b/m = (k-b)/m.

Primeri odštevanja ulomkov z enakimi imenovalci

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od števca ulomka "7" odštejemo števec ulomka "3", ki ga želimo odšteti, dobimo "4". To številko zapišemo v števec odgovora, v imenovalec pa postavimo isto številko, ki je bila v imenovalcih prvega in drugega ulomka - "19".

Spodnja slika prikazuje še več podobnih primerov.

Oglejmo si bolj zapleten primer, kjer se odštejejo ulomki s podobnimi imenovalci:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od števca ulomka "29", ki se zmanjša z odštevanjem števcev vseh naslednjih ulomkov - "3", "8", "2", "7". Kot rezultat dobimo rezultat "9", ki ga zapišemo v števec odgovora, v imenovalec pa zapišemo število, ki je v imenovalcih vseh teh ulomkov - "47".

Seštevanje ulomkov z enakim imenovalcem

Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov poteka po istem principu.

• Če želite sešteti ulomke, katerih imenovalci so enaki, morate sešteti števce. Dobljeno število je števec vsote, imenovalec pa bo ostal enak: k/m + b/m = (k + b)/m.

Poglejmo, kako je to videti na primeru:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Števcu prvega člena ulomka - "1" - dodajte števec drugega člena ulomka - "2". Rezultat - "3" - se zapiše v števec vsote, imenovalec pa ostane enak tistemu, ki je prisoten v ulomkih - "4".

Ulomki z različnimi imenovalci in njihovo odštevanje

Upoštevali smo že operacijo z ulomki, ki imajo enak imenovalec. Kot lahko vidite, je ob poznavanju preprostih pravil reševanje takšnih primerov precej enostavno. Kaj pa, če morate izvesti operacijo z ulomki, ki imajo različne imenovalce? Mnogi srednješolci so takšni primeri zbegani. Toda tudi tukaj, če poznate princip rešitve, vam primeri ne bodo več težki. Tukaj je tudi pravilo, brez katerega je reševanje takih ulomkov preprosto nemogoče.

Če želite odšteti ulomke z različnimi imenovalci, jih je treba zmanjšati na enak najmanjši imenovalec.



O tem, kako to storiti, bomo podrobneje govorili.

Lastnost ulomka

Da bi več ulomkov spravili na isti imenovalec, morate v rešitvi uporabiti glavno lastnost ulomka: po deljenju ali množenju števca in imenovalca z istim številom dobite ulomek, ki je enak danemu.

Tako ima lahko na primer ulomek 2/3 imenovalce, kot so "6", "9", "12" itd., kar pomeni, da ima lahko obliko poljubnega števila, ki je večkratnik "3". Ko pomnožimo števec in imenovalec z "2", dobimo ulomek 4/6. Ko pomnožimo števec in imenovalec prvotnega ulomka s »3«, dobimo 6/9, če pa podobno operacijo izvedemo s številom »4«, dobimo 8/12. Eno enakost lahko zapišemo takole:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kako pretvoriti več ulomkov na isti imenovalec

Poglejmo, kako zmanjšati več ulomkov na isti imenovalec. Za primer vzemimo ulomke, prikazane na spodnji sliki. Najprej morate ugotoviti, katero število lahko postane imenovalec za vse. Da bo lažje, faktorizirajmo obstoječe imenovalce.

Imenovalec ulomka 1/2 in ulomka 2/3 ni mogoče faktorizirati. Imenovalec 7/9 ima dva faktorja 7/9 = 7/(3 x 3), imenovalec ulomka 5/6 = 5/(2 x 3). Zdaj moramo določiti, kateri faktorji bodo najmanjši za vse te štiri ulomke. Ker ima prvi ulomek v imenovalcu številko "2", to pomeni, da mora biti prisoten v vseh imenovalcih; v ulomku 7/9 sta dva trojčka, kar pomeni, da morata biti oba prisotna tudi v imenovalcu. Ob upoštevanju zgoraj navedenega ugotovimo, da je imenovalec sestavljen iz treh faktorjev: 3, 2, 3 in je enak 3 x 2 x 3 = 18.



Razmislimo o prvem ulomku - 1/2. V imenovalcu je "2", vendar ni niti ene številke "3", ampak bi morali biti dve. Da bi to naredili, pomnožimo imenovalec z dvema trojkama, glede na lastnost ulomka pa moramo števec pomnožiti z dvema trojkama:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Enako storimo s preostalimi frakcijami.

• 2/3 - ena trojka in ena dve manjkata v imenovalcu:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 ali 7/(3 x 3) - v imenovalcu manjka dvojka:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ali 5/(2 x 3) - v imenovalcu manjka trojka:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Vse skupaj izgleda takole:



Kako odštevati in seštevati ulomke, ki imajo različne imenovalce

Kot je navedeno zgoraj, je treba ulomke, ki imajo različne imenovalce, dodati ali odšteti, jih zmanjšati na isti imenovalec in nato uporabiti pravila za odštevanje ulomkov z enakim imenovalcem, o katerih smo že govorili.

Poglejmo to kot primer: 18. 4. - 15. 3.

Iskanje večkratnika števil 18 in 15:

• Število 18 je sestavljeno iz 3 x 2 x 3.
• Število 15 je sestavljeno iz 5 x 3.
• Skupni večkratnik bodo naslednji faktorji: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Ko je imenovalec najden, je treba izračunati faktor, ki bo za vsak ulomek drugačen, to je število, s katerim bo treba pomnožiti ne samo imenovalec, ampak tudi števec. Če želite to narediti, razdelite število, ki smo ga našli (skupni večkratnik), z imenovalcem ulomka, za katerega je treba določiti dodatne faktorje.

• 90 deljeno s 15. Dobljeno število "6" bo množitelj za 3/15.
• 90 deljeno z 18. Dobljeno število "5" bo množitelj za 4/18.

Naslednja stopnja naše rešitve je zmanjšanje vsakega ulomka na imenovalec "90".

O tem, kako se to naredi, smo že govorili. Poglejmo, kako je to zapisano na primeru:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Če imajo ulomki majhna števila, potem lahko določite skupni imenovalec, kot je prikazano v primeru na spodnji sliki.



Enako velja za tiste z različnimi imenovalci.

Odštevanje in ob celih delih

O odštevanju ulomkov in njihovem seštevanju smo že podrobno govorili. Toda kako odšteti, če ima ulomek celo število? Spet uporabimo nekaj pravil:

• Pretvori vse ulomke, ki imajo celo število, v neprave. Preprosto povedano, odstranite celoten del. Če želite to narediti, pomnožite število celega dela z imenovalcem ulomka in dodajte dobljeni produkt k števcu. Število, ki se pojavi po teh dejanjih, je števec nepravilnega ulomka. Imenovalec ostane nespremenjen.
• Če imajo ulomki različne imenovalce, jih je treba zmanjšati na isti imenovalec.
• Izvedite seštevanje ali odštevanje z istimi imenovalci.
• Ko prejmete nepravilni ulomek, izberite cel del.



Obstaja še en način, na katerega lahko seštevate in odštevate ulomke s celimi deli. Za to se dejanja izvajajo ločeno s celimi deli, dejanja z ulomki ločeno, rezultati pa se zabeležijo skupaj.



Podani primer je sestavljen iz ulomkov, ki imajo enak imenovalec. V primeru, da so imenovalci različni, jih je treba spraviti na isto vrednost in nato izvesti dejanja, kot je prikazano v primeru.

Odštevanje ulomkov od celih števil

Druga vrsta operacije z ulomki je primer, ko je treba ulomek odšteti. Tak primer se na prvi pogled zdi težko rešljiv. Vendar je tukaj vse precej preprosto. Če ga želite rešiti, morate pretvoriti celo število v ulomek in z enakim imenovalcem, kot je v odštetem ulomku. Nato izvedemo odštevanje podobno odštevanju z enakimi imenovalci. Na primeru je videti takole:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odštevanje ulomkov (6. razred), predstavljeno v tem članku, je osnova za reševanje zahtevnejših primerov, ki jih obravnavamo v naslednjih razredih. Znanje te teme se kasneje uporabi za reševanje funkcij, odvodov ipd. Zato je zelo pomembno razumeti in razumeti zgoraj obravnavane operacije z ulomki.

Navodila

Redukcija na skupni imenovalec.

Naj sta podana ulomka a/b in c/d.

Števec in imenovalec prvega ulomka pomnožimo z LCM/b

Števec in imenovalec drugega ulomka se pomnožita z LCM/d

Primer je prikazan na sliki.

Če želite primerjati ulomke, jih morate prišteti k skupnemu imenovalcu, nato pa primerjati števce. Na primer 3/4< 4/5, см. .

Seštevanje in odštevanje ulomkov.

Da bi našli vsoto dveh navadnih ulomkov, ju je treba spraviti na skupni imenovalec, nato pa sešteti števce, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Primer seštevanja ulomkov 1/2 in 1/3 je prikazan na sliki.

Razliko ulomkov ugotovimo na podoben način; potem ko najdemo skupni imenovalec, odštejemo števce ulomkov, glej sliko.

Pri množenju navadnih ulomkov se števci in imenovalci pomnožijo.

Za razdelitev dveh ulomkov je potreben ulomek drugega ulomka, tj. spremenite njegov števec in imenovalec, nato pa dobljene ulomke pomnožite.

Video na temo

Viri:

• ulomki 5. razred z uporabo primera
• Težave z osnovnimi ulomki

Modul predstavlja absolutno vrednost izraza. Ravni oklepaji se uporabljajo za označevanje modula. Vrednosti, vsebovane v njih, se štejejo za modulo. Reševanje modula je sestavljeno iz odpiranja oklepajev po določenih pravilih in iskanja množice vrednosti izraza. V večini primerov se modul razširi na tak način, da submodularni izraz prejme številne pozitivne in negativne vrednosti, vključno z ničelno vrednostjo. Na podlagi teh lastnosti modula se sestavijo in rešijo nadaljnje enačbe in neenačbe izvirnega izraza.

Navodila

Zapišite izvirno enačbo z. Če želite to narediti, odprite modul. Razmislite o vsakem submodularnem izrazu. Ugotovite, pri kateri vrednosti neznanih količin, ki jih vsebuje, izraz v modularnih oklepajih postane nič.

Če želite to narediti, izenačite submodularni izraz z nič in poiščite nastalo enačbo. Zapišite vrednosti, ki jih najdete. Na enak način določite vrednosti neznane spremenljivke za vsak modul v dani enačbi.

Narišite številsko premico in nanjo narišite dobljene vrednosti. Vrednosti spremenljivke v ničelnem modulu bodo služile kot omejitve pri reševanju modularne enačbe.

V prvotni enačbi morate razširiti modularne in spremeniti znak, tako da vrednosti spremenljivke ustrezajo tistim, prikazanim na številski premici. Reši dobljeno enačbo. Preverite najdeno vrednost spremenljivke glede na omejitev, ki jo določa modul. Če rešitev izpolnjuje pogoj, je resnična. Korenine, ki ne izpolnjujejo omejitev, je treba zavreči.

Na enak način razširite module prvotnega izraza ob upoštevanju predznaka in izračunajte korenine nastale enačbe. Zapišite vse nastale korene, ki zadoščajo omejitvenim neenačbam.

Ulomna števila vam omogočajo, da izrazite natančno vrednost količine v različnih oblikah. Z ulomki lahko izvajate enake matematične operacije kot s celimi števili: odštevanje, seštevanje, množenje in deljenje. Da se naučijo odločati ulomki, se moramo spomniti nekaterih njihovih lastnosti. Odvisne so od vrste ulomki, prisotnost celega dela, skupnega imenovalca. Nekatere aritmetične operacije zahtevajo, da se delni del rezultata zmanjša po izvedbi.

Potrebovali boste

• - kalkulator

Navodila

Pozorno poglejte številke. Če so med ulomki decimalne in nepravilne, je včasih bolj priročno najprej izvesti operacije z decimalkami in jih nato pretvoriti v nepravilno obliko. Ali lahko prevedete ulomki v tej obliki na začetku, pri čemer vpišete vrednost za decimalno vejico v števec in postavite 10 v imenovalec. Če je treba, zmanjšajte ulomek tako, da zgornji in spodnji številki delite z enim deliteljem. Ulomke, v katerih je cel del izoliran, je treba pretvoriti v napačno obliko tako, da ga pomnožimo z imenovalcem in rezultatu dodamo števec. Ta vrednost bo postala nov števec ulomki. Izbrati cel del iz prvotno nepravilnega ulomki, morate števec deliti z imenovalcem. Zapišite celoten rezultat iz ulomki. In preostanek delitve bo postal nov števec, imenovalec ulomki se ne spremeni. Za ulomke s celim delom je mogoče dejanja izvajati ločeno, najprej za celo število in nato za ulomke. Na primer, lahko izračunamo vsoto 1 2/3 in 2 ¾:
- Pretvorba ulomkov v napačno obliko:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Seštevek ločeno celih in ulomkov členov:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Za vrednosti pod črto poiščite skupni imenovalec. Na primer, za 5/9 in 7/12 bo skupni imenovalec 36. Za to, števec in imenovalec prvega ulomki morate pomnožiti s 4 (dobite 28/36), drugo pa s 3 (dobite 15/36). Zdaj lahko izvedete izračune.

Če boste računali vsoto ali razliko ulomkov, pod črto najprej zapišite najdeni skupni imenovalec. Izvedite potrebna dejanja med števci in rezultat zapišite nad novo vrstico ulomki. Tako bo novi števec razlika ali vsota števcev prvotnih ulomkov.

Če želite izračunati zmnožek ulomkov, pomnožite števce ulomkov in zapišite rezultat namesto števca končnega ulomki. Enako storite z imenovalci. Pri delitvi enega ulomki zapišite en ulomek na drugega in nato njegov števec pomnožite z imenovalcem drugega. V tem primeru imenovalec prvega ulomki ustrezno pomnoženo z drugim števcem. V tem primeru pride do neke vrste revolucije ulomki(delitelj). Končni ulomek bo rezultat množenja števcev in imenovalcev obeh ulomkov. Ni se težko naučiti ulomki, napisano v stanju v obliki "štirinadstropne" ulomki. Če loči dva ulomki, jih prepišite z ločilom »:« in nadaljujte z običajnim deljenjem.

Za končni rezultat zmanjšajte dobljeni ulomek tako, da števec in imenovalec delite z enim celim številom, največjim možnim v tem primeru. V tem primeru morajo biti nad in pod črto cela števila.

Prosimo, upoštevajte

Ne izvajajte aritmetike z ulomki, katerih imenovalci so različni. Izberite takšno število, da ko z njim pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka, bosta imenovalca obeh ulomkov enaka.

Koristen nasvet

Pri pisanju ulomkov se dividenda piše nad črto. Ta količina je označena kot števec ulomka. Pod črto je zapisan delitelj ali imenovalec ulomka. Na primer, kilogram in pol riža kot ulomek bo zapisan takole: 1 ½ kg riža. Če je imenovalec ulomka 10, se ulomek imenuje decimalni. V tem primeru se števnik (dividenda) piše desno od celega dela, ločenega z vejico: 1,5 kg riža. Zaradi lažjega računanja lahko tak ulomek vedno zapišemo v napačni obliki: 1 2/10 kg krompirja. Za poenostavitev lahko vrednosti števca in imenovalca zmanjšate tako, da ju delite z enim celim številom. V tem primeru lahko delite z 2. Rezultat bo 1 1/5 kg krompirja. Prepričajte se, da so števila, s katerimi boste izvajali aritmetiko, predstavljena v enaki obliki.

Navodila

Enkrat kliknite element menija »Vstavi« in nato izberite »Simbol«. To je eden najlažjih načinov vstavljanja ulomki v besedilo. Sestoji iz naslednjega. Nabor že pripravljenih simbolov vključuje ulomki. Njihovo število je praviloma majhno, če pa morate v besedilo napisati ½ in ne 1/2, bo ta možnost za vas najbolj optimalna. Poleg tega je lahko število ulomkov odvisno od pisave. Na primer, za pisavo Times New Roman je nekoliko manj ulomkov kot za isti Arial. Spreminjajte pisave, da poiščete najboljšo možnost, ko gre za preproste izraze.

Kliknite menijsko točko »Vstavi« in izberite podtočko »Predmet«. Pred vami se prikaže okno s seznamom možnih predmetov za vstavljanje. Izberite med njimi Microsoft Equation 3.0. Ta aplikacija vam bo pomagala tipkati ulomki. In ne samo ulomki, ampak tudi zapletene matematične izraze, ki vsebujejo različne trigonometrične funkcije in druge elemente. Dvakrat kliknite na ta predmet z levim gumbom miške. Pred vami se prikaže okno s številnimi simboli.

Če želite natisniti ulomek, izberite simbol, ki predstavlja ulomek s praznim števcem in imenovalcem. Enkrat kliknite nanj z levim gumbom miške. Pojavil se bo dodaten meni, ki pojasnjuje samo shemo. ulomki. Možnosti je lahko več. Izberite tisto, ki vam najbolj ustreza, in jo enkrat kliknite z levim gumbom miške.

Spletni kalkulator.
Vrednotenje izraza s številskimi ulomki.
Množenje, odštevanje, deljenje, seštevanje in zmanjševanje ulomkov z različnimi imenovalci.

S tem spletnim kalkulatorjem lahko množenje, odštevanje, deljenje, seštevanje in zmanjševanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Program deluje z navadnimi, nepravilnimi in mešanimi številskimi ulomki.

Ta program (spletni kalkulator) lahko:
- izvajajo seštevanje mešanih ulomkov z različnimi imenovalci
- izvajajo odštevanje mešanih ulomkov z različnimi imenovalci
- deli mešane ulomke z različnimi imenovalci
- množenje mešanih ulomkov z različnimi imenovalci
- zreducirati ulomke na skupni imenovalec
- pretvarjanje mešanih ulomkov v neprave ulomke
- zmanjševanje ulomkov

Prav tako lahko vnesete ne izraz z ulomki, ampak en sam ulomek.
V tem primeru se bo ulomek zmanjšal in celoten del bo ločen od rezultata.

Spletni kalkulator za računanje izrazov s številskimi ulomki ne daje le odgovora na nalogo, temveč ponuja podrobno rešitev z razlago, t.j. prikazuje postopek iskanja rešitve.

Ta program je lahko koristen za srednješolce v splošnih šolah, ko se pripravljajo na teste in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom in za starše, da nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre.

Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite kar se da hitro narediti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Na ta način lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se dvigne raven izobrazbe na področju reševanja problemov.

Če niste seznanjeni s pravili za vnos izrazov s številskimi ulomki, priporočamo, da se z njimi seznanite.

Pravila za vpisovanje izrazov s številskimi ulomki

Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.

Imenovalec ne more biti negativen. /
Pri vnosu številskega ulomka je števec ločen od imenovalca z znakom za deljenje:
Vnos: -2/3 + 7/5

Rezultat: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\) &
Celoten del je ločen od ulomka z znakom &:
Vnos: -1&2/3 * 5&8/3

Rezultat: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)
Delitev ulomkov uvedemo z dvopičjem: :
Vnos: -9&37/12: -3&5/14
Rezultat: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \desno) \)

Ne pozabite, da ne morete deliti z nič!
Pri vnašanju izrazov s številskimi ulomki lahko uporabite oklepaje. -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Vnos:

Izračunaj
Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.

Tukaj so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.
Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev. Počakajte prosim

sek... če ti opazil napako v rešitvi
, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije. Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj.

vnesite v polja

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Če moramo 497 deliti s 4, potem bomo pri deljenju videli, da 497 ni enakomerno deljivo s 4, tj. preostanek delitve ostane. V takih primerih se reče, da je zaključeno deljenje z ostankom, rešitev pa je zapisana takole:
497 : 4 = 124 (1 ostanek).

Komponente deljenja na levi strani enačbe imenujemo enako kot pri deljenju brez ostanka: 497 - dividenda, 4 - delilnik. Rezultat deljenja pri deljenju z ostankom se imenuje nepopolno zasebno. V našem primeru je to število 124. In končno, zadnja komponenta, ki ni v običajnem deljenju, je ostanek. V primerih, ko ni ostanka, se eno število deli z drugim brez sledu ali popolnoma. Menijo, da je s takšno delitvijo ostanek enak nič. V našem primeru je ostanek 1.

Ostanek je vedno manjši od delitelja.

Deljenje lahko preverimo z množenjem. Če na primer obstaja enakost 64: 32 = 2, potem lahko preverite takole: 64 = 32 * 2.

Pogosto v primerih, ko se izvaja deljenje z ostankom, je priročno uporabiti enakost
a = b * n + r,
kjer je a dividenda, b je delitelj, n je nepopolni količnik, r je ostanek.

Kvocient naravnih števil lahko zapišemo kot ulomek.

Števec ulomka je dividenda, imenovalec pa delitelj.

Ker je števec ulomka dividenda, imenovalec pa delitelj, verjamejo, da črta ulomka pomeni dejanje deljenja. Včasih je priročno zapisati deljenje kot ulomek brez uporabe znaka ":".

Kvocient deljenja naravnih števil m in n lahko zapišemo kot ulomek \(\frac(m)(n) \), kjer je števec m dividenda, imenovalec n pa delitelj:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Naslednja pravila veljajo:

Če želite dobiti ulomek \(\frac(m)(n)\), morate enoto razdeliti na n enakih delov (deležev) in vzeti m takih delov.

Če želite dobiti ulomek \(\frac(m)(n)\), morate število m deliti s številom n.

Če želite najti del celote, morate število, ki ustreza celoti, deliti z imenovalcem in rezultat pomnožiti s števcem ulomka, ki izraža ta del.

Če želite najti celoto iz njenega dela, morate število, ki ustreza temu delu, razdeliti s števcem in rezultat pomnožiti z imenovalcem ulomka, ki izraža ta del.

Če sta števec in imenovalec ulomka pomnožena z istim številom (razen nič), se vrednost ulomka ne spremeni:
\(\velik \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Če sta števec in imenovalec ulomka deljena z istim številom (razen z ničlo), se vrednost ulomka ne spremeni:
\(\velik \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ta lastnost se imenuje glavna lastnost ulomka.

Zadnji dve transformaciji se imenujeta zmanjševanje ulomka.

Če je treba ulomke predstaviti kot ulomke z enakim imenovalcem, se to dejanje pokliče reduciranje ulomkov na skupni imenovalec.

Pravilni in nepravi ulomki. Mešane številke

Že veste, da lahko ulomek dobimo tako, da celoto razdelimo na enake dele in vzamemo več takih delov. Na primer, ulomek \(\frac(3)(4)\) pomeni tri četrtine ena. V mnogih nalogah iz prejšnjega odstavka so bili ulomki uporabljeni za predstavitev delov celote. Zdrav razum narekuje, da mora biti del vedno manjši od celote, kaj pa ulomki, kot je \(\frac(5)(5)\) ali \(\frac(8)(5)\)? Jasno je, da to ni več del enote. Verjetno se zato imenujejo ulomki, katerih števec je večji ali enak imenovalcu nepravi ulomki. Preostale ulomke, tj. ulomke, katerih števec je manjši od imenovalca, imenujemo pravilni ulomki.

Kot veste, si lahko kateri koli navadni ulomek, tako pravilen kot nepravilen, predstavljamo kot rezultat deljenja števca z imenovalcem. Zato v matematiki, za razliko od običajnega jezika, izraz "nepravi ulomek" ne pomeni, da smo naredili nekaj narobe, ampak le, da je števec tega ulomka večji ali enak imenovalcu.

Če je število sestavljeno iz celega dela in ulomka, potem frakcije se imenujejo mešane.

Na primer:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 je celo število in \(\frac(2)(3) \) je delni del.

Če je števec ulomka \(\frac(a)(b) \) deljiv z naravnim številom n, potem je treba, da bi ta ulomek delili z n, njegov števec deliti s tem številom:
\(\velik \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Če števec ulomka \(\frac(a)(b) \) ni deljiv z naravnim številom n, potem, da bi ta ulomek delili z n, morate njegov imenovalec pomnožiti s tem številom:
\(\velik \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Upoštevajte, da drugo pravilo velja tudi, če je števec deljiv z n. Zato ga lahko uporabimo, ko je na prvi pogled težko ugotoviti, ali je števec ulomka deljiv z n ali ne.

Dejanja z ulomki. Seštevanje ulomkov.

Z ulomki lahko izvajate aritmetične operacije, tako kot z naravnimi števili. Najprej si poglejmo seštevanje ulomkov. Enostavno je seštevati ulomke z enakimi imenovalci. Poiščimo na primer vsoto \(\frac(2)(7)\) in \(\frac(3)(7)\). Lahko je razumeti, da \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti enak.

Z uporabo črk lahko pravilo za seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci zapišemo takole:
\(\velik \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Če morate sešteti ulomke z različnimi imenovalci, jih morate najprej zmanjšati na skupni imenovalec. Na primer:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Za ulomke, tako kot za naravna števila, veljajo komutativne in asociativne lastnosti seštevanja.

Dodajanje mešanih frakcij

Imenujejo se zapisi, kot je \(2\frac(2)(3)\). mešane frakcije. V tem primeru se kliče številka 2 cel del mešani ulomek in število \(\frac(2)(3)\) je njegovo delni del. Vnos \(2\frac(2)(3)\) se bere takole: »dve in dve tretjini«.

Ko število 8 delite s številom 3, lahko dobite dva odgovora: \(\frac(8)(3)\) in \(2\frac(2)(3)\). Izražata isto delno število, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Tako je nepravi ulomek \(\frac(8)(3)\) predstavljen kot mešani ulomek \(2\frac(2)(3)\). V takih primerih pravijo, da iz nepravega ulomka poudaril cel del.

Odštevanje ulomkov (ulomkov)

Odštevanje delnih števil, tako kot naravnih števil, je določeno na podlagi dejanja seštevanja: odštevanje drugega od enega števila pomeni iskanje števila, ki, če ga dodamo drugemu, da prvo. Na primer:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \), ker \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Pravilo za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci je podobno pravilu za seštevanje takih ulomkov:
Če želite najti razliko med ulomki z enakimi imenovalci, morate od števca prvega ulomka odšteti števec drugega in pustiti imenovalec enak.

Z uporabo črk je to pravilo zapisano takole:
\(\velik \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Množenje ulomkov

Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce ter prvi produkt zapisati kot števec, drugega pa kot imenovalec.

S črkami lahko pravilo za množenje ulomkov zapišemo takole:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

S pomočjo formuliranega pravila lahko pomnožite ulomek z naravnim številom, z mešanim ulomkom in tudi pomnožite mešane ulomke. Za to morate naravno število zapisati kot ulomek z imenovalcem 1, mešani ulomek pa kot nepravi ulomek.

Rezultat množenja je treba (če je mogoče) poenostaviti tako, da zmanjšamo ulomek in izločimo cel del nepravilnega ulomka.

Za ulomke, tako kot za naravna števila, veljajo komutativne in kombinativne lastnosti množenja ter razdelilna lastnost množenja glede na seštevanje.

Delitev ulomkov

Vzemimo ulomek \(\frac(2)(3)\) in ga »obrnemo« ter zamenjamo števec in imenovalec. Dobimo ulomek \(\frac(3)(2)\). Ta ulomek se imenuje vzvratno ulomki \(\frac(2)(3)\).

Če zdaj »obrnemo« ulomek \(\frac(3)(2)\), bomo dobili prvotni ulomek \(\frac(2)(3)\). Zato se ulomki, kot sta \(\frac(2)(3)\) in \(\frac(3)(2)\), imenujejo medsebojno obratno.

Na primer, ulomki \(\frac(6)(5) \) in \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) in \(\frac (18 )(7)\).

Z uporabo črk lahko vzajemne ulomke zapišemo na naslednji način: \(\frac(a)(b) \) in \(\frac(b)(a) \)

Jasno je, da produkt recipročnih ulomkov je enak 1. Na primer: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Z recipročnimi ulomki lahko deljenje ulomkov zmanjšate na množenje.

Pravilo za deljenje ulomka z ulomkom je:
Če želite deliti en ulomek z drugim, morate dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.

Ob besedi »ulomki« se marsikomu naježi koža. Ker se spomnim šole in nalog, ki so se reševale pri matematiki. To je bila dolžnost, ki jo je bilo treba izpolniti. Kaj pa, če bi težave, ki vključujejo pravilne in nepravilne ulomke, obravnavali kot uganko? Navsezadnje veliko odraslih rešuje digitalne in japonske križanke. Ugotovili smo pravila in to je to. Tukaj je enako. Samo poglobiti se je treba v teorijo - in vse bo postalo na svoje mesto. In primeri se bodo spremenili v način za urjenje vaših možganov.

Katere vrste ulomkov obstajajo?

Začnimo s tem, kar je. Ulomek je število, ki ima del ena. Zapišemo ga lahko v dveh oblikah. Prvi se imenuje navaden. To je tisti, ki ima vodoravno ali poševno črto. Enakovredno je znaku deljenja.

V tem zapisu se število nad črto imenuje števec, število pod njim pa imenovalec.

Med navadnimi ulomki ločimo prave in neprave ulomke. Pri prvem je absolutna vrednost števca vedno manjša od imenovalca. Napačni se tako imenujejo, ker imajo vse obratno. Vrednost pravilnega ulomka je vedno manjša od ena. Medtem ko je nepravilna vedno večja od te številke.

Obstajajo tudi mešana števila, torej tista, ki imajo celo število in ulomek.

Druga vrsta zapisa je decimalni ulomek. O njej je ločen pogovor.

Kako se nepravi ulomki razlikujejo od mešanih števil?

V bistvu nič. To so samo različni posnetki iste številke. Nepravilni ulomki zlahka postanejo mešana števila po preprostih korakih. In obratno.

Vse je odvisno od konkretne situacije. Včasih je v nalogah bolj priročno uporabiti nepravilni ulomek. In včasih ga je treba pretvoriti v mešano število in takrat bo primer zelo enostavno rešen. Torej, kaj uporabiti: nepravilne ulomke, mešana števila, je odvisno od sposobnosti opazovanja osebe, ki rešuje problem.

Mešano število primerjamo tudi z vsoto celega in delnega dela. Poleg tega je drugi vedno manjši od ena.

Kako predstaviti mešano število kot nepravilni ulomek?

Če morate izvesti katero koli dejanje z več številkami, ki so zapisane v različnih oblikah, jih morate narediti enake. Eden od načinov je predstavitev števil kot nepravilnih ulomkov.

V ta namen boste morali izvesti naslednji algoritem:

• pomnožite imenovalec s celim delom;
• rezultatu dodamo vrednost števca;
• odgovor napišite nad črto;
• pustite imenovalec enak.

Tukaj so primeri, kako zapisati nepravilne ulomke iz mešanih števil:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Kako zapisati nepravilni ulomek kot mešano število?

Naslednja tehnika je nasprotna od zgoraj obravnavane. To je, ko so vsa mešana števila nadomeščena z nepravilnimi ulomki. Algoritem dejanj bo naslednji:

• števec delimo z imenovalcem, da dobimo ostanek;
• zapiši količnik namesto celega dela mešanega;
• ostanek naj bo nad črto;
• delitelj bo imenovalec.

Primeri takšne preobrazbe:

76/14; 76:14 = 5 z ostankom 6; odgovor bo 5 celo in 6/14; ulomek v tem primeru je treba zmanjšati za 2, kar ima za posledico 3/7; končni odgovor je 5 točk 3/7.

108/54; po deljenju dobimo količnik 2 brez ostanka; to pomeni, da vseh nepravilnih ulomkov ni mogoče predstaviti kot mešano število; odgovor bo celo število - 2.

Kako spremeniti celo število v nepravilen ulomek?

Obstajajo situacije, ko je takšno ukrepanje potrebno. Če želite dobiti nepravilne ulomke z znanim imenovalcem, boste morali izvesti naslednji algoritem:

• pomnožiti celo število z želenim imenovalcem;
• zapišite to vrednost nad črto;
• pod njim postavite imenovalec.

Najenostavnejša možnost je, ko je imenovalec enak ena. Potem vam ni treba ničesar množiti. Dovolj je, da preprosto napišete celo število, podano v primeru, in eno postavite pod črto.

Primer: Naj bo 5 nepravilen ulomek z imenovalcem 3. Če pomnožimo 5 s 3, dobimo 15. To število bo imenovalec. Odgovor naloge je ulomek: 15/3.

Dva pristopa k reševanju problemov z različnimi števili

Primer zahteva izračun vsote in razlike ter produkta in količnika dveh števil: 2 celih števil 3/5 in 14/11.

V prvem pristopu mešano število bo predstavljeno kot nepravilni ulomek.

Po izvedbi zgoraj opisanih korakov boste dobili naslednjo vrednost: 13/5.

Če želite izvedeti vsoto, morate ulomke zreducirati na isti imenovalec. 13/5 po množenju z 11 postane 143/55. In 14/11 po množenju s 5 bo videti kot: 70/55. Za izračun vsote morate le sešteti števca: 143 in 70, nato pa odgovor zapisati z enim imenovalcem. 213/55 - ta nepravi ulomek je odgovor na problem.

Pri ugotavljanju razlike se enaka števila odštejejo: 143 - 70 = 73. Odgovor bo ulomek: 73/55.

Pri množenju 13/5 in 14/11 vam ju ni treba reducirati na skupni imenovalec. Dovolj je, da števce in imenovalce pomnožimo v parih. Odgovor bo: 182/55.

Enako velja za delitev. Če želite pravilno rešiti, morate deljenje zamenjati z množenjem in delitelj obrniti: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Pri drugem pristopu nepravilni ulomek postane mešano število.

Po izvedbi dejanj algoritma se bo 14/11 spremenilo v mešano število s celim delom 1 in delnim delom 3/11.

Pri izračunu vsote morate ločeno sešteti cele in ulomke. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Končni odgovor je 3 točke 48/55. Pri prvem pristopu je bil ulomek 213/55. Njegovo pravilnost lahko preverite tako, da ga pretvorite v mešano število. Ko 213 delimo s 55, je količnik 3, ostanek pa 48. Z lahkoto ugotovimo, da je odgovor pravilen.

Pri odštevanju se znak “+” zamenja z “-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Za preverjanje je treba odgovor iz prejšnjega pristopa pretvoriti v mešano število: 73 je deljeno s 55 in količnik je 1, ostanek pa 18.

Za iskanje produkta in količnika je neprijetno uporabljati mešana števila. Tukaj je vedno priporočljivo preiti na neprave ulomke.