Ulomki: zgodovina ulomkov. Zgodovina navadnih ulomkov

Opredelitev navadnega ulomka

Definicija 1

Za opis števila delov se uporabljajo navadni ulomki. Oglejmo si primer, ki ga lahko uporabimo za definiranje navadnega ulomka.

Apple je bil razdeljen na delnice v vrednosti 8 $. V tem primeru vsak delež predstavlja eno osmino celega jabolka, tj. $\frac(1)(8)$. Dve delnici sta označeni z $\frac(2)(8)$, tri delnice z $\frac(3)(8)$ itd., delnice $8$ pa z $\frac(8)(8)$. Vsak od predstavljenih vnosov se imenuje navadni ulomek.

Dajmo splošno definicijo navadnega ulomka.

Definicija 2

Navadni ulomek imenujemo zapis v obliki $\frac(m)(n)$, kjer sta $m$ in $n$ poljubni naravni števili.

Pogosto lahko najdete naslednji zapis za navadni ulomek: $m/n$.

Primer 1

Primeri navadnih ulomkov:

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

Opomba 1

Številke $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ niso navadni ulomki, ker ne ustrezajo zgornji definiciji.

Števec in imenovalec

Navadni ulomek je sestavljen iz števca in imenovalca.

Definicija 3

Števec Navadni ulomek $\frac(m)(n)$ je naravno število $m$, ki kaže število enakih delov ene same celote.

Definicija 4

Imenovalec Navadni ulomek $\frac(m)(n)$ je naravno število $n$, ki pove, na koliko enakih delov je razdeljena cela celota.

Slika 1.

Števec se nahaja nad ulomkovo črto, imenovalec pa pod ulomkovo črto. Na primer, števec navadnega ulomka $\frac(5)(17)$ je število $5$, imenovalec pa število $17$. Imenovalec kaže, da je postavka razdeljena na $17$ delnic, števec pa, da je bilo $5$ takšnih delnic.

Naravno število kot ulomek z imenovalcem 1

Imenovalec navadnega ulomka je lahko ena. V tem primeru se predmet šteje za nedeljivega, tj. predstavlja eno samo celoto. Števec takega ulomka kaže, koliko celih predmetov je vzetih. Navadni ulomek oblike $\frac(m)(1)$ ima pomen naravnega števila $m$. Tako dobimo dobro utemeljeno enakost $\frac(m)(1)=m$.

Če enakost prepišemo v obliki $m=\frac(m)(1)$, potem bo mogoče vsako naravno število $m$ predstaviti kot navadni ulomek. Na primer, število $5$ lahko predstavimo kot ulomek $\frac(5)(1)$, število $123\456$ lahko predstavimo kot ulomek $\frac(123\456)(1)$.

Tako lahko poljubno naravno število $m$ predstavimo kot navaden ulomek z imenovalcem $1$, vsak navadni ulomek oblike $\frac(m)(1)$ pa lahko nadomestimo z naravnim številom $m$.

Ulomek kot znak deljenja

Predstavitev predmeta v obliki $n$ delov je razdelitev na $n$ enakih delov. Po razdelitvi predmeta na $n$ deležev, ga je mogoče enakomerno razdeliti med $n$ oseb – vsak bo prejel en delež.

Naj obstaja $m$ enakih predmetov, razdeljenih na $n$ delov. Teh $m$ predmetov je mogoče enakomerno razdeliti med $n$ ljudi, tako da vsaki osebi dodelite en delež vsakega od $m$ predmetov. V tem primeru bo vsaka oseba prejela $m$ delnic $\frac(1)(n)$, ki dajejo navadni ulomek $\frac(m)(n)$. Ugotovimo, da lahko navadni ulomek $\frac(m)(n)$ uporabimo za označevanje delitve $m$ predmetov med $n$ ljudi.

Povezava med navadnimi ulomki in deljenjem se izraža v tem, da lahko ulomkovo vrstico razumemo kot znak deljenja, tj. $\frac(m)(n)=m:n$.

Navadni ulomek omogoča zapis rezultata deljenja dveh naravnih števil, pri katerih se ne izvaja deljenje celega.

Primer 2

Na primer, rezultat deljenja $7$ jabolk z $9$ ljudi lahko zapišemo kot $\frac(7)(9)$, tj. vsak bo prejel sedem devetin jabolka: $7:9=\frac(7)(9)$.

Enaki in neenaki ulomki, primerjava ulomkov

Rezultat primerjave dveh navadnih ulomkov je lahko njuna enakost ali neenakost. Kadar so navadni ulomki enaki, jih imenujemo enaki; sicer pa navadne ulomke imenujemo neenaki.

enaka, če velja enakost $a\cdot d=b\cdot c$.

Navadna ulomka $\frac(a)(b)$ in $\frac(c)(d)$ se imenujeta neenakopravni, če enakost $a\cdot d=b\cdot c$ ne velja.

Primer 3

Ugotovi, ali sta ulomka $\frac(1)(3)$ in $\frac(2)(6)$ enaka.

Enakost je izpolnjena, kar pomeni, da sta ulomka $\frac(1)(3)$ in $\frac(2)(6)$ enaka: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6)$.

Ta primer lahko obravnavamo z uporabo jabolk: eno od dveh enakih jabolk je razdeljeno na tri enake deleže, drugo na deleže po 6$. Vidimo lahko, da dve šestini jabolka predstavljata $\frac(1)(3)$ delež.

Primer 4

Preverite, ali sta navadna ulomka $\frac(3)(17)$ in $\frac(4)(13)$ enaka.

Preverimo, ali velja enakost $a\cdot d=b\cdot c$:

\ \

Enakost ne velja, kar pomeni, da ulomka $\frac(3)(17)$ in $\frac(4)(13)$ nista enaka: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4) (13) $.

Če primerjaš dva navadna ulomka in ugotoviš, da nista enaka, lahko ugotoviš, kateri je večji in kateri manjši od drugega. Če želite to narediti, uporabite pravilo za primerjavo navadnih ulomkov: ulomke morate spraviti na skupni imenovalec in nato primerjati njihove števce. Kateri ulomek ima večji števec, ta ulomek bo večji.

Ulomki na koordinatnem žarku

Vsa ulomka, ki ustrezajo navadnim ulomkom, lahko prikažemo na koordinatnem žarku.

Za označevanje točke na koordinatnem žarku, ki ustreza ulomku $\frac(m)(n)$, je treba iz izhodišča koordinat v pozitivni smeri narisati $m$ odsekov, katerih dolžina je $\ frac(1)(n)$ del segmenta enote. Takšne segmente dobimo tako, da enotski segment razdelimo na $n$ enakih delov.

Če želite na koordinatnem žarku prikazati delno število, morate segment enote razdeliti na dele.

Slika 2.

Enaki ulomki so opisani z enakim ulomkom, tj. enaki ulomki predstavljajo koordinate iste točke na koordinatnem žarku. Na primer, koordinate $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ opisujejo enako isto točko na koordinatnem žarku, saj so vsi zapisani ulomki enaki.

Če je točka opisana s koordinato z večjim ulomkom, se bo nahajala desno na vodoravnem koordinatnem žarku, usmerjenem v desno od točke, katere koordinata je manjši ulomek. Na primer, ker ulomek $\frac(5)(6)$ večji od ulomka $\frac(2)(6)$, potem se točka s koordinato $\frac(5)(6)$ nahaja desno od točka s koordinato $\frac(2) (6)$.

Prav tako bo točka z manjšo koordinato ležala levo od točke z večjo koordinato.

Z ulomki se v življenju srečamo veliko prej, kot se jih začnemo učiti v šoli. Če celo jabolko prerežemo na pol, dobimo ½ sadeža. Odrežemo še enkrat - bo ¼. To so ulomki. In vse se je zdelo preprosto. Za odraslo osebo. Za otroka (in to temo se začne preučevati ob koncu osnovne šole) so abstraktni matematični pojmi še vedno strašljivo nerazumljivi in ​​učitelj mora jasno razložiti, kaj je pravilen in nepravilen ulomek, navaden in decimalni del, katere operacije je mogoče izvesti. z njimi in, kar je najpomembneje, zakaj je vse to potrebno.

Kaj so ulomki?

Uvajanje nove teme v šoli se začne z navadnimi ulomki. Preprosto jih prepoznamo po vodoravni črti, ki ločuje dve številki - zgoraj in spodaj. Zgornji se imenuje števec, spodnji pa imenovalec. Obstaja tudi možnost pisanja nepravilnih in pravilnih navadnih ulomkov z malimi črkami - skozi poševnico, na primer: ½, 4/9, 384/183. Ta možnost se uporablja, ko je višina vrstice omejena in ni možna uporaba dvoetažnega vnosa. Zakaj? Da, ker je bolj priročno. To bomo videli malo kasneje.

Poleg navadnih ulomkov obstajajo tudi decimalni ulomki. Razlikovati jih je zelo preprosto: če se v enem primeru uporablja vodoravna črta ali poševnica, se v drugem uporablja vejica za ločevanje zaporedij številk. Poglejmo primer: 2,9; 163,34; 1,953. Za ločilo med številkami smo namerno uporabili podpičje. Prvi od njih se bo glasil takole: "dve piki devet."

Novi koncepti

Vrnimo se k navadnim ulomkom. Na voljo so v dveh vrstah.

Definicija pravega ulomka je naslednja: to je ulomek, katerega števec je manjši od imenovalca. Zakaj je to pomembno? Bomo videli zdaj!

Imate več jabolk, prepolovljenih. Skupaj - 5 delov. Kako bi rekli: ali imate "dve in pol" ali "pet in pol" jabolk? Seveda se prva možnost sliši bolj naravno in jo bomo uporabili pri pogovoru s prijatelji. Če pa moramo izračunati, koliko sadja bo vsak dobil, če je v podjetju pet ljudi, bomo zapisali število 5/2 in ga delili s 5 - z matematičnega vidika bo to bolj jasno. .

Za poimenovanje pravih in nepravih ulomkov torej velja pravilo: če je v ulomku mogoče ločiti cel del (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), potem je nepravilen. Če tega ni mogoče narediti, kot v primeru ½, 13/16, 9/10, bo to pravilno.

Glavna lastnost ulomka

Če števec in imenovalec ulomka hkrati pomnožimo ali delimo z istim številom, se njegova vrednost ne spremeni. Predstavljajte si: torto so razrezali na 4 enake dele in vam dali enega. Isto torto so razrezali na osem kosov in vam dali dva. Ali je res pomembno? Navsezadnje sta ¼ in 2/8 ista stvar!

Zmanjšanje

Avtorji problemov in primerov v matematičnih učbenikih pogosto poskušajo zmesti učence s tem, da ponujajo ulomke, ki jih je težko napisati, vendar jih je mogoče skrajšati. Tukaj je primer pravilnega ulomka: 167/334, ki se zdi zelo "strašljiv". Toda dejansko ga lahko zapišemo kot ½. Število 334 je deljivo s 167 brez ostanka - po izvedbi te operacije dobimo 2.

Mešane številke

Nepravilen ulomek lahko predstavimo kot mešano število. To je takrat, ko je ves del pomaknjen naprej in zapisan v ravni vodoravne črte. Pravzaprav je izraz v obliki vsote: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 in tako naprej.

Če želite izločiti cel del, morate števec deliti z imenovalcem. Preostanek deljenja napiši zgoraj, nad črto, cel del pa pred izrazom. Tako dobimo dva strukturna dela: cele enote + pravi ulomek.

Izvedete lahko tudi obratno operacijo - za to morate celo število pomnožiti z imenovalcem in dobljeno vrednost dodati števcu. Nič zapletenega.

Množenje in deljenje

Nenavadno je, da je množenje ulomkov lažje kot seštevanje. Vse, kar je potrebno, je podaljšati vodoravno črto: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Z delitvijo je vse preprosto: ulomke morate pomnožiti navzkrižno: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Seštevanje ulomkov

Kaj storiti, če morate izvesti seštevanje ali imajo v imenovalcu različna števila? Ne bo delovalo enako kot pri množenju - tukaj bi morali razumeti definicijo pravilnega ulomka in njegovo bistvo. Izraze je treba spraviti na skupni imenovalec, to je, da morajo imeti spodnji deli obeh ulomkov enaka števila.

Če želite to narediti, uporabite osnovno lastnost ulomka: oba dela pomnožite z istim številom. Na primer, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kako izbrati, na kateri imenovalec zmanjšati izraze? To mora biti najmanjše število, ki je večkratnik obeh števil v imenovalcih ulomkov: za 1/3 in 1/9 bo 9; za ½ in 1/7 - 14, ker ni manjše vrednosti, deljive z 2 in 7 brez ostanka.

Uporaba

Za kaj se uporabljajo nepravi ulomki? Navsezadnje je veliko bolj priročno takoj izbrati cel del, dobiti mešano število - in končati s tem! Izkazalo se je, da če morate pomnožiti ali razdeliti dva ulomka, je bolj donosno uporabiti nepravilne.

Vzemimo naslednji primer: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Zdi se, da sploh ni ničesar za rezati. Kaj pa, če rezultat seštevanja v prvem oklepaju zapišemo kot nepravi ulomek? Pogled: (37/17) / (37/68)

Zdaj se vse postavi na svoje mesto! Zapišimo primer tako, da bo vse jasno: (37*68) / (17*37).

Odštejmo 37 v števcu in imenovalcu in nazadnje zgornji in spodnji del delimo s 17. Se spomniš osnovnega pravila za prave in neprave ulomke? Lahko jih pomnožimo in delimo s poljubnim številom, če to storimo za števec in imenovalec hkrati.

Tako dobimo odgovor: 4. Primer je bil videti zapleten, a odgovor vsebuje samo eno številko. To se pri matematiki pogosto dogaja. Glavna stvar je, da se ne bojite in sledite preprostim pravilom.

Pogoste napake

Pri izvajanju lahko učenec zlahka naredi eno izmed pogostih napak. Običajno se pojavijo zaradi nepazljivosti, včasih pa zaradi dejstva, da preučevani material še ni bil pravilno shranjen v glavi.

Pogosto vas vsota števil v števcu spodbudi k zmanjšanju posameznih komponent. Recimo v primeru: (13 + 2) / 13, zapisano brez oklepaja (z vodoravno črto), veliko študentov zaradi neizkušenosti prečrta 13 zgoraj in spodaj. Vendar tega v nobenem primeru ne bi smeli storiti, ker je to velika napaka! Če bi namesto seštevanja stal znak za množenje, bi v odgovoru dobili številko 2. Pri seštevanju pa ni dovoljena nobena operacija z enim od členov, le s celotno vsoto.

Tudi fantje se pogosto zmotijo ​​pri deljenju ulomkov. Vzemimo dva pravilna nezmanjšana ulomka in jih delimo drug z drugim: (5/6) / (25/33). Učenec lahko to pomeša in dobljeni izraz zapiše kot (5*25) / (6*33). Toda to bi se zgodilo z množenjem, vendar bo v našem primeru vse nekoliko drugače: (5*33) / (6*25). Zmanjšamo, kar je mogoče, in odgovor bo 11/10. Dobljeni nepravi ulomek zapišemo z decimalko - 1,1.

Oklepaji

Ne pozabite, da je v katerem koli matematičnem izrazu vrstni red operacij določen s prednostjo operacijskih znakov in prisotnostjo oklepajev. Ob enakih drugih pogojih se vrstni red dejanj šteje od leve proti desni. To velja tudi za ulomke - izraz v števcu ali imenovalcu se izračuna strogo v skladu s tem pravilom.

Navsezadnje je to rezultat deljenja enega števila z drugim. Če niso enakomerno razdeljeni, postane ulomek – to je vse.

Kako napisati ulomek na računalniku

Ker standardna orodja ne omogočajo vedno ustvarjanja frakcije, sestavljene iz dveh "stopenj", se učenci včasih poslužujejo različnih trikov. Na primer, števce in imenovalce prepišejo v grafični urejevalnik Paint in jih zlepijo skupaj ter med njimi narišejo vodoravno črto. Seveda obstaja enostavnejša možnost, ki mimogrede ponuja veliko dodatnih funkcij, ki vam bodo v prihodnosti koristne.

Odprite Microsoft Word. Ena od plošč na vrhu zaslona se imenuje »Vstavi« - kliknite jo. Na desni strani, kjer sta ikoni za zapiranje in minimiziranje okna, je gumb »Formula«. Točno to potrebujemo!

Če uporabite to funkcijo, se na zaslonu prikaže pravokotno območje, v katerem lahko uporabite poljubne matematične znake, ki jih ni na tipkovnici, in pišete ulomke v klasični obliki. To pomeni, da števec in imenovalec delimo z vodoravno črto. Morda boste celo presenečeni, da je tako preprost ulomek zapisati.

Nauči se matematike

Če ste v 5.–6. razredu, bo kmalu znanje matematike (vključno z zmožnostjo dela z ulomki!) zahtevano pri številnih šolskih predmetih. Pri skoraj vseh problemih v fiziki, pri merjenju mase snovi v kemiji, v geometriji in trigonometriji ne morete brez ulomkov. Kmalu se boste naučili izračunati vse v svoji glavi, ne da bi sploh zapisali izraze na papir, vendar se bodo pojavili vedno bolj zapleteni primeri. Zato se naučite, kaj je pravi ulomek in kako z njim delati, sledite svojemu učnemu načrtu, naredite domačo nalogo pravočasno in uspelo vam bo.

Za začetek je treba povedati, da na splošno obstajata dve vrsti ulomkov: navadni ulomki in decimalni ulomki. Navadne ulomke zapišemo takole:
Decimalni ulomki so zapisani drugače:

Navadni ulomki so sestavljeni iz dveh delov: na vrhu je števec, na dnu je imenovalec. Števec in imenovalec sta ločena z ulomkovo črto. Torej zapomni si:

Vsak ulomek je del celote. Običajno vzeto kot celota 1 (enota). Imenovalec ulomka pove, na koliko delov je razdeljena celota ( 1 ), števec pa je, koliko delov je bilo odvzetih. Če torto razrežemo na 6 enakih delov (v matematiki pravijo delnice ), potem bo vsak del torte enak 1/6. Če je Vasya pojedel 4 kose, to pomeni, da je pojedel 4/6.

Po drugi strani pa poševnica ni nič drugega kot znak delitve. Zato je ulomek količnik dveh števil – števca in imenovalca. V besedilu nalog ali v receptih so ulomki običajno napisani takole: 2/3, 1/2 itd. Nekateri ulomki imajo svoja imena, na primer 1/2 - "polovica", 1/3 - "tretjina", 1/4 - "četrtina"
Zdaj pa ugotovimo, katere vrste navadnih ulomkov obstajajo.

2 Vrste navadnih ulomkov

Obstajajo tri vrste navadnih ulomkov: pravilni, nepravi in ​​mešani:

Pravi ulomek

Če je števec manjši od imenovalca, se tak ulomek imenuje pravilno, Na primer: Pravi ulomek je vedno manjši od 1.

Nepravilen ulomek

Če je števec večji od imenovalca ali enak imenovalcu, se tak ulomek imenuje narobe, na primer:

Nepravi ulomek je večji od ena (če je števec večji od imenovalca) ali enak ena (če je števec enak imenovalcu)

Mešana frakcija

Če je ulomek sestavljen iz celega števila (celi del) in pravega ulomka (ulomek), se tak ulomek imenuje mešano, na primer:

Mešani ulomek je vedno večji od ena.

3 Pretvorbe ulomkov

V matematiki je treba pogosto pretvarjati navadne ulomke, torej mešani ulomek v nepravi ulomek in obratno. To je potrebno za izvajanje določenih operacij, kot sta množenje in deljenje.

Torej, vsak mešani ulomek je mogoče pretvoriti v nepravi ulomek. Da bi to naredili, se celoten del pomnoži z imenovalcem in doda števec ulomka. Dobljeni znesek se vzame kot števec, imenovalec pa ostane enak, na primer:

Vsak nepravilni ulomek je mogoče pretvoriti v mešani ulomek. Če želite to narediti, števec delite z imenovalcem (pri čemer bo preostanek celo število, ostanek pa števec ulomka, na primer:

Hkrati pravijo: "Izolirali smo cel del od nepravilnega ulomka."

Še eno pravilo, ki si ga morate zapomniti: Vsako celo število je mogoče predstaviti kot ulomek z imenovalcem 1, na primer:

Pogovorimo se o tem, kako primerjati ulomke.

4 Primerjava ulomkov

Pri primerjavi ulomkov je lahko več možnosti: Enostavno je primerjati ulomke z enakimi imenovalci, veliko težje pa je, če so imenovalci različni. In obstaja tudi primerjava mešanih frakcij. A ne skrbite, zdaj si bomo podrobno ogledali vsako možnost in se naučili primerjati ulomke.

Primerjanje ulomkov z enakimi imenovalci

Od dveh ulomkov z enakima imenovalcema, a različnima števcema, je večji ulomek z večjim števcem, na primer:

Primerjanje ulomkov z enakimi števci

Od dveh ulomkov z enakimi števci, vendar različnima imenovalcema, je ulomek z manjšim imenovalcem večji, na primer:

Primerjava mešanih in nepravih ulomkov s pravimi ulomki

Nepravilni ali mešani ulomek je vedno večji od pravega ulomka, na primer:

Primerjava dveh mešanih ulomkov

Pri primerjavi dveh mešanih ulomkov je večji tisti ulomek, katerega cel del je večji, npr.

Če so celi deli mešanih ulomkov enaki, je večji tisti ulomek, katerega ulomek je večji, npr.

Primerjava ulomkov z različnimi števci in imenovalci

Ne morete primerjati ulomkov z različnimi števci in imenovalci, ne da bi jih pretvorili. Najprej je treba ulomke zreducirati na isti imenovalec, nato pa primerjati njihove števce. Večji je tisti ulomek, katerega števec je večji. Toda v naslednjih dveh razdelkih članka si bomo ogledali, kako zreducirati ulomke na isti imenovalec. Najprej si bomo ogledali osnovno lastnost ulomkov in reduciranje ulomkov, nato pa neposredno reduciranje ulomkov na isti imenovalec.

5 Glavna lastnost ulomka. Zmanjševanje ulomkov. Koncept GCD.

Ne pozabite: Seštevate, odštevate in primerjate lahko le ulomke, ki imajo enake imenovalce. Če sta imenovalca različna, potem morate ulomke najprej spraviti na isti imenovalec, torej preoblikovati enega od ulomkov, tako da njegov imenovalec postane enak imenovalcu drugega ulomka.

Ulomki imajo eno pomembno lastnost, imenovano tudi glavna lastnost ulomka:

Če tako števec kot imenovalec ulomka pomnožimo ali delimo z istim številom, se vrednost ulomka ne spremeni:

Zahvaljujoč tej lastnosti lahko zmanjšati ulomke:

Zmanjšati ulomek pomeni, da števec in imenovalec delimo z istim številom.(glej primer zgoraj). Ko zmanjšamo ulomek, lahko svoja dejanja zapišemo takole:

Pogosteje v zvezkih je ulomek skrajšan na naslednji način:

Vendar ne pozabite: dejavnike lahko samo zmanjšate. Če števec ali imenovalec vsebuje vsoto ali razliko, členov ne morete zmanjšati.

primer:

Najprej morate vsoto pretvoriti v množitelja: Včasih je pri delu z velikimi številkami priročno najti, da bi zmanjšali ulomek

največji skupni delitelj števca in imenovalca (GCD) Največji skupni delitelj (GCD)

Da bi našli gcd dveh števil (na primer števca in imenovalca ulomka), morate obe števili razložiti na prafaktorje, označiti iste faktorje v obeh faktorizacijah in te faktorje pomnožiti. Nastali izdelek bo GCD. Na primer, zmanjšati moramo ulomek:

Poiščimo gcd števil 96 in 36:

GCD nam pokaže, da imata tako števec kot imenovalec faktor 12 in ulomek lahko zlahka zmanjšamo.

Včasih, da bi ulomke spravili na isti imenovalec, je dovolj, da enega od ulomkov zmanjšamo. Toda pogosteje je treba izbrati dodatne faktorje za obe frakciji. Zdaj bomo pogledali, kako se to naredi. Torej:

6 Kako zreducirati ulomke na isti imenovalec. Najmanjši skupni večkratnik (LCM).

Ko ulomke reduciramo na isti imenovalec, za imenovalec izberemo število, ki bi bilo deljivo tako s prvim kot z drugim imenovalcem (to pomeni, da bi bilo matematično večkratnik obeh imenovalcev). In zaželeno je, da je ta številka čim manjša, bolj priročno je šteti. Zato moramo najti LCM obeh imenovalcev.

Najmanjši skupni večkratnik dveh števil (LCM) je najmanjše naravno število, ki je deljivo z obema številoma brez ostanka. Včasih je LCM mogoče najti ustno, vendar pogosteje, zlasti pri delu z velikimi števili, morate najti LCM pisno z uporabo naslednjega algoritma:

Če želite najti LCM več številk, potrebujete:

1. Razčlenite ta števila na prafaktorje
2. Vzemite največjo razširitev in zapišite te številke kot produkt
3. Izberi števila v drugih razčlembah, ki se ne pojavljajo v največjem razčlenjevanju (ali se v njem pojavijo manjkrat), in jih prištej zmnožku.
4. Pomnožite vsa števila v produktu, to bo LCM.

Na primer, poiščimo LCM števil 28 in 21:

Vendar se vrnimo k našim ulomkom. Ko smo našli ali pisno izračunali LCM obeh imenovalcev, moramo števce teh ulomkov pomnožiti z dodatni množitelji. Najdete jih tako, da LCM delite z imenovalcem ustreznega ulomka, na primer:

Tako smo naše ulomke zreducirali na isti imenovalec - 15.

7 Seštevanje in odštevanje ulomkov

Seštevanje in odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti enak, na primer:

Če želite odšteti ulomke z enakimi imenovalci, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec enak, na primer:

Seštevanje in odštevanje mešanih ulomkov z enakimi imenovalci

Če želite dodati mešane ulomke, morate ločeno sešteti njihove cele dele, nato sešteti njihove ulomke in rezultat zapisati kot mešani ulomek:

Če pri seštevanju ulomkov dobite nepravilen ulomek, iz njega izberite cel del in ga dodajte celemu delu, npr.

Odštevanje poteka na podoben način: od celotnega dela se odšteje celo število, od ulomka pa se odšteje ulomek:

Če je ulomek odštevanca večji od ulomka odštevanca, si »izposodimo« enega od celega dela, tako da odštevanec spremenimo v nepravi ulomek, nato pa nadaljujemo kot običajno:

Prav tako odšteti ulomek od celega števila:

Kako sešteti celo število in ulomek

Če želite dodati celo število in ulomek, preprosto dodajte to število pred ulomek, da ustvarite mešani ulomek, na primer:

Če mi seštevanje celega števila in mešanega ulomka, to številko dodamo celemu delu ulomka, na primer:

Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Če želite sešteti ali odšteti ulomke z različnimi imenovalci, jih morate najprej pripeljati do istega imenovalca, nato pa postopati kot pri seštevanju ulomkov z enakimi imenovalci (seštejte števce):

Pri odštevanju postopamo na enak način:

Če delamo z mešanimi ulomki, njihove ulomke zmanjšamo na isti imenovalec in nato kot običajno odštejemo: cel del od celega dela in ulomek od ulomka:

8 Množenje in deljenje ulomkov.

Množenje in deljenje ulomkov je veliko lažje kot seštevanje in odštevanje, ker vam jih ni treba reducirati na isti imenovalec. Zapomnite si preprosta pravila za množenje in deljenje ulomkov:

Preden pomnožite številke v števcu in imenovalcu, je priporočljivo zmanjšati ulomek, to je, da se znebite istih faktorjev v števcu in imenovalcu, kot v našem primeru.

Deljenje ulomka z naravnim številom, morate imenovalec pomnožiti s tem številom in pustiti števec nespremenjen:

Na primer:

Deljenje ulomka z ulomkom

Če želite deliti en ulomek z drugim, morate dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja (recipročni ulomek). Kakšen je to recipročni ulomek?

Če ulomek obrnemo, torej zamenjamo števec in imenovalec, dobimo vzajemni ulomek. Zmnožek ulomka in njegovega inverza daje ena. V matematiki se taka števila imenujejo recipročne:

Na primer številke - so medsebojno obratni, saj

Tako se vrnimo k deljenju ulomka z ulomkom:

Če želite deliti en ulomek z drugim, morate dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja:

Na primer:

Pri deljenju mešanih ulomkov jih morate tako kot pri množenju najprej pretvoriti v neprave ulomke:

Pri množenju in deljenju ulomkov s celimi naravnimi števili, lahko ta števila predstavite tudi kot ulomke z imenovalcem 1 .

In kdaj deljenje celega števila z ulomkom predstavi to število kot ulomek z imenovalcem 1 :

Ulomki enote in je predstavljen kot \frac(a)(b).

Števec ulomka (a)- številka, ki se nahaja nad ulomkovo črto in prikazuje število delnic, na katere je enota premoženja razdeljena.

Imenovalec ulomka (b)- številka, ki se nahaja pod črto ulomka in kaže, na koliko delov je enota razdeljena.

Skrij Pokaži

Glavna lastnost ulomka

Če je ad=bc, potem dva ulomka \frac(a)(b) in \frac(c)(d) veljajo za enake. Na primer, ulomki bodo enaki \frac35 in \frac(9)(15), ker je 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) in \frac(24)(14), saj je 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Iz definicije enakosti ulomkov sledi, da bodo ulomki enaki \frac(a)(b) in \frac(am)(bm), saj je a(bm)=b(am) jasen primer uporabe asociativnih in komutativnih lastnosti množenja naravnih števil.

Pomeni \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- takole izgleda glavna lastnost ulomka.

Z drugimi besedami, dobimo ulomek, ki je enak danemu, tako da števec in imenovalec prvotnega ulomka pomnožimo ali delimo z istim naravnim številom.

Zmanjšanje ulomka je postopek zamenjave ulomka, pri katerem je nov ulomek enak prvotnemu, vendar z manjšim števcem in imenovalcem.

Običajno je zmanjševanje ulomkov na podlagi osnovne lastnosti ulomka.

na primer \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(števec in imenovalec delimo s številom 3); dobljeni ulomek lahko ponovno zmanjšamo z deljenjem s 5, tj \frac(15)(20)=\frac 34.

Nezmanjšani ulomek je delček oblike \frac 34, kjer sta števec in imenovalec medsebojno praštevili. Glavni namen zmanjševanja ulomka je, da ulomek postane nezmanjšljiv.

Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec

Za primer vzemimo dva ulomka: \frac(2)(3) in \frac(5)(8) z različnimi imenovalci 3 in 8. Da bi te ulomke spravili na skupni imenovalec, najprej pomnožimo števec in imenovalec ulomka \frac(2)(3) do 8. Dobimo naslednji rezultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Nato pomnožimo števec in imenovalec ulomka \frac(5)(8) s 3. Kot rezultat dobimo: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Torej so prvotni ulomki reducirani na skupni imenovalec 24.

Aritmetične operacije nad navadnimi ulomki

Seštevanje navadnih ulomkov

a) Če sta imenovalca enaka, se števcu prvega ulomka prišteje števec drugega ulomka, imenovalec pa ostane enak. Kot lahko vidite v primeru:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Pri različnih imenovalcih ulomke najprej skrčimo na skupni imenovalec, nato pa števce seštejemo po pravilu a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Odštevanje ulomkov

a) Če sta imenovalca enaka, odštej števec drugega ulomka od števca prvega ulomka, imenovalec pa pusti enak:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Če sta imenovalca ulomkov različna, potem ulomke najprej spravimo na skupni imenovalec, nato pa ponovimo dejanja kot v točki a).

Množenje navadnih ulomkov

Pri množenju ulomkov velja naslednje pravilo:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

to pomeni, da ločeno množijo števce in imenovalce.

Na primer:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Deljenje ulomkov

Frakcije se delijo na naslednji način:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

torej ulomek \frac(a)(b) pomnoženo z ulomkom \frac(d)(c).

primer: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Vzajemna števila

Če je ab=1, potem je število b enako recipročno število za številko a.

Primer: za število 9 je recipročna vrednost \frac(1)(9), ker 9\cdot\frac(1)(9)=1, za številko 5 - \frac(1)(5), ker 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Decimale

decimalno imenujemo pravi ulomek, katerega imenovalec je 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

Na primer: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Na enak način so zapisana nepravilna števila z imenovalcem 10^n ali mešana števila.

Na primer: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

Vsak navadni ulomek z imenovalcem, ki je delitelj določene stopnje števila 10, je predstavljen kot decimalni ulomek.

Primer: 5 je delitelj 100, torej je ulomek \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Aritmetične operacije z decimalkami

Dodajanje decimalk

Če želite sešteti dva decimalna ulomka, ju morate razporediti tako, da so ena pod drugo enake števke in pod vejico vejica, nato pa ulomke seštejte kot navadna števila.

Odštevanje decimalk

Izvaja se na enak način kot seštevanje.

Množenje decimalk

Pri množenju decimalnih števil je dovolj, da dana števila pomnožimo, ne da bi bili pozorni na vejice (kot naravna števila), v dobljenem odgovoru pa vejica na desni loči toliko števk, kolikor jih je za decimalno vejico v obeh faktorjih. skupaj.

Pomnožimo 2,7 z 1,3. Imamo 27 \cdot 13=351 . Dve števki na desni ločimo z vejico (prvo in drugo število imata eno števko za decimalno vejico; 1+1=2). Kot rezultat dobimo 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Če dobljeni rezultat vsebuje manj števk, kot jih je treba ločiti z vejico, se spredaj zapišejo manjkajoče ničle, na primer:

Če želite pomnožiti z 10, 100, 1000, morate decimalno vejico premakniti za 1, 2, 3 števke v desno (če je potrebno, je na desno določeno število ničel).

Na primer: 1,47\cdot 10\,000 = 14.700.

Decimalno deljenje

Delitev decimalnega ulomka z naravnim številom poteka na enak način kot deljenje naravnega števila z naravnim številom. Vejico v količniku postavimo po končanem deljenju celega dela.

Če je celoštevilski del dividende manjši od delitelja, je odgovor nič celih števil, na primer:

Oglejmo si deljenje decimalke z decimalko. Recimo, da moramo 2,576 deliti z 1,12. Najprej pomnožimo dividendo in delitelj ulomka s 100, to pomeni, da premaknemo decimalno vejico v desno pri dividendu in delitelju za toliko števk, kolikor jih je v delitelju za decimalno vejico (v tem primeru dva). Nato morate ulomek 257,6 razdeliti na naravno število 112, to pomeni, da se problem zmanjša na že obravnavani primer:

Zgodi se, da končni decimalni ulomek ni vedno dosežen pri deljenju enega števila z drugim. Rezultat je neskončni decimalni ulomek. V takih primerih preidemo na navadne ulomke.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

Števec in tisto, s čimer je deljeno, je imenovalec.

Ulomek zapišemo tako, da najprej napišemo števec, nato pod številko narišemo vodoravno črto, pod črto pa imenovalec. Vodoravna črta, ki ločuje števec in imenovalec, se imenuje ulomkova črta. Včasih je upodobljen kot poševni "/" ali "∕". V tem primeru je števec zapisan levo od črte, imenovalec pa desno. Tako bo na primer ulomek "dve tretjini" zapisan kot 2/3. Zaradi jasnosti je števec običajno napisan na vrhu vrstice, imenovalec pa na dnu, torej namesto 2/3 lahko najdete: ⅔.

Če želite izračunati produkt ulomkov, najprej pomnožite števec ena ulomkištevniku je drugačen. Rezultat zapiši v števec novega ulomki. Po tem pomnožite imenovalce. V novo vnesite skupno vrednost ulomki. Na primer 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Če želite en ulomek deliti z drugim, najprej pomnožite števec prvega z imenovalcem drugega. Enako storite z drugim ulomkom (deliteljem). Ali pa, preden izvedete vsa dejanja, najprej "obrnite" delitelj, če vam je bolj priročno: namesto števca naj se pojavi imenovalec. Nato pomnožite imenovalec dividende z novim imenovalcem delitelja in pomnožite števce. Na primer, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Viri:

• Težave z osnovnimi ulomki

Ulomna števila vam omogočajo, da izrazite natančno vrednost količine v različnih oblikah. Z ulomki lahko izvajate enake matematične operacije kot s celimi števili: odštevanje, seštevanje, množenje in deljenje. Da se naučijo odločati ulomki, se moramo spomniti nekaterih njihovih lastnosti. Odvisne so od vrste ulomki, prisotnost celega dela, skupnega imenovalca. Nekatere aritmetične operacije zahtevajo, da se delni del rezultata zmanjša po izvedbi.

Potrebovali boste

• - kalkulator

Navodila

Pozorno poglejte številke. Če so med ulomki decimalne in nepravilne, je včasih bolj priročno najprej izvesti operacije z decimalkami in jih nato pretvoriti v nepravilno obliko. Ali lahko prevedete ulomki v tej obliki na začetku, pri čemer vpišete vrednost za decimalno vejico v števec in postavite 10 v imenovalec. Če je treba, zmanjšajte ulomek tako, da zgornji in spodnji številki delite z enim deliteljem. Ulomke, v katerih je celoštevilski del izoliran, je treba pretvoriti v napačno obliko tako, da ga pomnožimo z imenovalcem in rezultatu dodamo števec. Ta vrednost bo postala novi števec ulomki. Izbrati cel del iz prvotno nepravilnega ulomki, morate števec deliti z imenovalcem. Zapišite celoten rezultat iz ulomki. In preostanek delitve bo postal nov števec, imenovalec ulomki se ne spreminja. Za ulomke s celim delom je mogoče dejanja izvajati ločeno, najprej za celo število in nato za ulomke. Na primer, lahko izračunamo vsoto 1 2/3 in 2 ¾:
- Pretvorba ulomkov v napačno obliko:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Seštevek ločeno celih in ulomkov členov:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Prepišite jih z ločilom »:« in nadaljujte z običajnim deljenjem.

Za končni rezultat zmanjšajte dobljeni ulomek tako, da števec in imenovalec delite z enim celim številom, največjim možnim v tem primeru. V tem primeru morajo biti nad in pod črto cela števila.

Prosimo, upoštevajte

Ne izvajajte aritmetike z ulomki, katerih imenovalci so različni. Izberite takšno število, da ko z njim pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka, bosta imenovalca obeh ulomkov enaka.

Koristen nasvet

Pri pisanju ulomkov se dividenda piše nad črto. Ta količina je označena kot števec ulomka. Pod črto je zapisan delitelj ali imenovalec ulomka. Na primer, kilogram in pol riža kot ulomek bo zapisan takole: 1 ½ kg riža. Če je imenovalec ulomka 10, se ulomek imenuje decimalni. V tem primeru se števnik (dividenda) piše desno od celega dela, ločenega z vejico: 1,5 kg riža. Zaradi lažjega računanja lahko tak ulomek vedno zapišemo v napačni obliki: 1 2/10 kg krompirja. Za poenostavitev lahko vrednosti števca in imenovalca zmanjšate tako, da ju delite z enim celim številom. V tem primeru lahko delite z 2. Rezultat bo 1 1/5 kg krompirja. Prepričajte se, da so števila, s katerimi boste izvajali aritmetiko, predstavljena v enaki obliki.