Varianca alternativnega atributa dobi vrednost. Indikatorji variacije

Če so podatki predstavljeni v obliki analitičnega združevanja, je možno izračunati skupno, medskupinsko in znotrajskupinsko varianco (Tabela 11).

Tabela 11

Vrste odstopanj in pravilo za dodajanje odstopanj

Ime variante	Formula za izračun
preprost (neutežen)	tehtano
Skupna varianca meri variacijo lastnosti v celotni populaciji pod vplivom vseh dejavnikov
Varianca med skupinami meri sistematično variacijo, ki nastane pod vplivom značilnosti združevanja
Povprečje za skupino; - povprečje celotne populacije; - število enot v populaciji - število enot v skupini
Znotraj skupine (zasebna) varianca, izračunana ločeno za vsako skupino
Posamezne vrednosti značilnosti v - skupini; - srednja skupina; - skupno število enot; - število enot v -. skupini
Povprečna varianca znotraj skupine meri naključno variacijo, ki nastane pod vplivom vseh dejavnikov razen značilnosti združevanja
Pravilo dodajanja variance

Na podlagi pravila za dodajanje odstopanj se izračuna:

1) empirični koeficient determinacije kaže delež variacije nastale značilnosti zaradi variacije značilnosti združevanja:

2) empirično korelacijsko razmerje kaže na tesnost povezave med združevanjem in značilnostmi delovanja:

Empirično korelacijsko razmerje se spreminja od 0 do 1. Ko ni povezave, ko obstaja popolna povezava.

Vmesne vrednosti so ocenjene z uporabo lestvice Chaddock:

Varianca alternativne lastnosti

Alternativni atribut je kvalitativni atribut, ki ima lahko samo eno od dveh vrednosti. Na primer, spol - moški ali ženska; zakonski status - poročen ali ne; izdelki - dobri ali pokvarjeni. En del populacije ima alternativno lastnost, drugi pa ne. Delež enot, ki imajo alternativno (proučevano) lastnost, je označen z - p, tistih, ki nimajo - q. Prisotnost alternativne značilnosti v populacijskih enotah je označena z 1, odsotnost - 0.

Varianca alternativne lastnosti (če se v statistični populaciji značilnost spremeni tako, da obstajata samo dve medsebojno izključujoči možnosti, potem se takšna variabilnost imenuje alternativna) lahko izračunate z uporabo formule:

Če nadomestimo q = 1- p v to disperzijsko formulo, dobimo:

Koeficient rasti K i je opredeljen kot razmerje med dano ravnjo in prejšnjo ali osnovno ravnjo; kaže relativno stopnjo spremembe v seriji. Če je stopnja rasti izražena v odstotkih, se imenuje stopnja rasti.

Osnovna stopnja rasti

Faktor rasti verige

24. Študija glavnega trenda razvoja

Ena najpomembnejših nalog statistike je ugotavljanje dinamike splošnega trenda razvoja nekega pojava. Na razvoj pojava skozi čas vplivajo različni dejavniki. Zato pri analizi dinamike govorimo o glavnem trendu, ki je precej stabilen (vzdržen) skozi celotno proučevano stopnjo razvoja. Glavni trend razvoja (TREND) imenujemo gladka in stabilna sprememba ravni pojava skozi čas, brez naključnih nihanj. V ta namen se časovne vrste obdelujejo z metodami intervalne povečave, drsečega povprečja in analitične poravnave. Najenostavnejša metoda za preučevanje glavnega trenda v časovni vrsti je utrjevanje intervalov. Ta metoda temelji na povečevanju časovnih obdobij, ki vključujejo nivoje dinamičnega niza (hkrati se zmanjšuje število intervalov). Izvede se lahko tudi prepoznavanje glavnega trenda z uporabo metode drsečega povprečja. Njegovo bistvo je v tem, da se povprečna raven izračuna iz določenega števila, običajno lihega (3, 5, 7 itd.), Prvih stopenj serije, nato pa iz istega števila ravni, vendar začenši od drugič, naprej - začenši od srednjega itd. Tako povprečje "drsi" vzdolž dinamičnega niza in se premika za en člen. Pomanjkljivost glajenja serije je, da je gladka serija "skrajšana" v primerjavi z dejansko serijo, zato se informacije izgubijo. Za zagotovitev kvantitativnega modela, ki izraža glavni trend sprememb ravni časovne vrste skozi čas, se uporablja analitična poravnava časovne vrste. Glavna vsebina metoda analitične poravnave v časovni vrsti je, da se splošni razvojni trend izračuna kot funkcija časa:, pri čemer se ravni časovne vrste izračunajo z uporabo ustrezne analitične enačbe v določenem trenutku.

^ Poravnava dinamične vrstice v ravno črto:
. Parametre a 0, a 1 po metodi najmanjših kvadratov najdemo z reševanjem naslednjega sistema normalnih enačb:
, kjer so y dejanske (empirične) ravni serije; t– čas (vrstna številka obdobja ali trenutka v času). Izračun parametrov se močno poenostavi, če za začetek časa vzamemo središčni interval (trenutek) (t = 0). Tako dobi sistem obliko
. Tako dobimo:
;
.
25.Analitska.poravnava po imenski metodi kvadrat

Metoda najmanjših kvadratov se uporablja za natančnejšo kvantitativno oceno dinamike preučevanega pojava. Najenostavnejša in v praksi najpogosteje srečana je linearna zveza, ki jo opisuje enačba:

Y x = a + bX ali Y teoretično. = Y povprečje + vX,

kjer je Y x - teoretični (izračunani) nivoji serije za vsako obdobje;
a je aritmetična sredina indikatorja ravni serije, izračunana po formuli:
a=ΣU dejstvo. /n;
в - neposredni parameter, koeficient, ki prikazuje razliko med teoretičnimi ravnmi serije za sosednja obdobja, se določi z izračunom po formuli: в = Σ(ХУ dejstvo)/ΣХ 2
kjer je n število ravni dinamične serije;
X - začasne točke, naravna števila, vnesena od sredine (središča) niza do obeh koncev.

Če obstaja liha vrstica, se stopnja, ki zaseda srednji položaj, vzame kot 0. Na primer, z 9 stopnjami vrstice: -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 , +4.

S sodim številom ravni v nizu sta dve vrednosti, ki zasedata srednji položaj, označeni z -1 in +1, vse ostale pa z 2 intervaloma. Na primer s 6 nivoji vrstic: -5, -3, -1, +1, +3, +5.

Izračuni se izvajajo v naslednjem zaporedju:

1. 
   Predstavljajo dejanske ravni časovne vrste (U f) (glej tabelo).
2. 
   Dejanske ravni serije se seštejejo in dobi se vsota Y fact.
3. 
   Poiščite pogojne (teoretične) časovne točke serije X tako, da je njihova vsota (ΣХ) enaka 0.
4. 
   Teoretične časovne točke se kvadrirajo in seštejejo, da dobimo PRIMER 2.
5. 
   Zmnožek X in Y se izračuna in sešteje, da dobimo ΣXY.
6. 
   Izračunajte parametre ravne črte:
   а = ΣУ dejstvo / n в = Σ(Х У dejstvo) / ΣX 2
7. 
   Z zaporedno zamenjavo vrednosti X v enačbo Y x = a + aY se najdejo poravnane ravni Y x.

26.Analiza sezonskih nihanj

Pri primerjavi četrtletnih in mesečnih podatkov za številne družbeno-ekonomske pojave se pogosto odkrijejo periodična nihanja, ki nastanejo pod vplivom menjave letnih časov. V statistiki se imenujejo periodična nihanja, ki imajo določeno in stalno obdobje, enako letnemu intervalu sezonske razlike ali sezonskih valov, se časovna vrsta imenuje sezonska časovna vrsta. V statistiki obstajajo metode za preučevanje in merjenje sezonskih nihanj. Najenostavnejša je izdelava posebnih kazalnikov, imenovanih indeksi sezonskosti (Is). Kombinacija teh indikatorjev odraža sezonski val. Indeksi sezonskosti - % razmerja med dejanskim (empiričnim) nivojem znotraj skupine in teoretičnim (izračunanim) nivojem, ki služi kot osnova za primerjavo. Za določitev stabilnega sezonskega vala se izračunajo s podatki za več let (vsaj 3), porazdeljenimi po mesecih. Za vsak mesec se izračuna povprečna vrednost stopnje ( ), potem se povprečna mesečna raven izračuna za celotno serijo y¯. Po tem se določi kazalnik sezonskega vala - indeks sezonskosti Je kot odstotek povprečja posameznega meseca na celotno povprečno mesečno raven serije, %. Povprečni indeks sezonskosti za 12 mesecev mora biti enak 100%, potem mora biti vsota indeksov 1200. Ko raven kaže trend naraščanja ali padanja, lahko odstopanja od stalne povprečne ravni izkrivljajo sezonska nihanja. V tem primeru se dejanski podatki primerjajo z usklajenimi podatki, torej pridobljenimi z analitično poravnavo. Formula:
.

27.I. interpolacija in ekstrapolacija

Pri preučevanju dolgoročne dinamike je včasih treba določiti neznane ravni znotraj niza dinamike.

Interpolacija je približen izračun manjkajočih nivojev znotraj homogenega obdobja, ko so znani sosednji nivoji na obeh straneh.

Ekstrapolacija je izračun manjkajočega nivoja, ko je znan nivo le na eni strani. Če je raven izračunana proti prihodnosti, se temu reče ekstrapolacija naprej; če se izračuna proti preteklosti, se imenuje retrospektivna ekstrapolacija.

Tako interpolacijo kot ekstrapolacijo je treba izvesti v času veljavnosti enega vzorca. Predpostavlja se, da se vzorec razvoja, ki ga najdemo v seriji, ohrani.

Metode za izračun neznane ravni so odvisne od narave spremembe v proučevanem pojavu. Če so spremembe ravni gladke, lahko manjkajočo raven določimo s polovično vsoto dveh sosednjih ravni, s povprečnim absolutnim povečanjem, s povprečno stopnjo rasti.

Ob ohranjanju post-absolutnih povečanj manjkajočih ravni dinamične serije po izračunu: = +

Začetna raven

Če se predpostavijo stalne stopnje rasti, se manjkajoča raven serije izračuna po formuli:

Če opazimo ostra nihanja v seriji dinamike, je bolje uporabiti povprečno absolutno povečanje ali povprečno stopnjo rasti za celotno študijsko obdobje, kot je navedeno v formulah.

Indeksi so primerjalne relativne vrednosti, ki označujejo spremembe kompleksnih socialno-ekonomskih kazalnikov (kazalcev, sestavljenih iz neseštevnih elementov) v času, prostoru, v primerjavi z načrtom.

Indeks je rezultat primerjave dveh istoimenskih kazalnikov, pri izračunu katerih je treba razlikovati med števcem razmerja indeksa (primerjana oz. poročevalska raven) in imenovalcem razmerja indeksa (osnova ravni, s katero se primerja). Izbira baze je odvisna od namena študije. Če preučujemo dinamiko, se lahko kot osnovna vrednost vzame velikost kazalnika v obdobju pred obdobjem poročanja. Če je treba opraviti teritorialno primerjavo, lahko za osnovo vzamemo podatke z drugega ozemlja. Načrtovani kazalniki se lahko vzamejo kot osnova za primerjavo, če je treba uporabiti indekse kot kazalnike uresničevanja načrta.

Indeksi tvorijo najpomembnejše ekonomske kazalnike nacionalnega gospodarstva in njegovih posameznih panog. Kazalniki indeksa omogočajo analizo uspešnosti podjetij in organizacij, ki proizvajajo široko paleto izdelkov ali se ukvarjajo z različnimi vrstami dejavnosti. Z uporabo indeksov lahko sledite vlogi posameznih dejavnikov pri oblikovanju najpomembnejših ekonomskih kazalnikov in prepoznate glavne proizvodne rezerve. Indeksi se pogosto uporabljajo pri primerjavi mednarodnih ekonomskih kazalcev pri določanju življenjskega standarda, poslovne aktivnosti, cenovne politike itd.

Obstajata dva pristopa k razlagi zmožnosti kazalnikov indeksa: posploševalni (sintetični) in analitični, ki sta določena z različnimi nalogami.

29.Agregacijski indeksi

Splošni indeks odraža spremembe v vseh elementih kompleksnega pojava. Če indeksi ne zajemajo vseh elementov, se imenujejo skupinski ali podindeksi. Obstajajo agregatni in povprečni indeksi, katerih izračun je posebna raziskovalna tehnika, imenovana indeksna metoda. Pri izdelavi splošnih indeksov: 1. morate izbrati elemente, ki jih je treba združiti v en indeks; 2. izberite pravi somerilec ali utež, tj. stalni atribut je odvisen od tega, kateri atribut se indeksira - kvantitativni ali kvalitativni. Glavna oblika splošnih indeksov je agregatna oblika. Indeks agregatne oblike je sestavljen z metodo vsote. Zbirni obrazec se uporablja, če imamo podatke po elementih v poročevalskem in baznem obdobju . Indeks blaga:
; in-s fizični obseg prod
; ^ Indeks cen življenjskih potrebščin je splošno merilo inflacije. Indeksirana vrednost v njem bo cena izdelka. Pri konstruiranju indeksa cen se kot indeksne uteži običajno vzame število prodanega blaga v tekočem (poročevalskem) obdobju. Agregatni indeks cen z utežmi poročanja je prvi predlagal Paasche in nosi njegovo ime: Paaschejeva formula agregatnega indeksa cen
, Kje
- dejanski stroški proizvodov (promet) poročevalskega obdobja;
- pogojna nabavna vrednost prodanega blaga v obdobju poročanja po osnovnih cenah.

formula za Laspeyresov agregatni indeks cen:

30. Povprečni aritem. in harmon.ind., povezava z enoto.

Glavna oblika splošnih indeksov je agregatna oblika. Indeks agregatne oblike je sestavljen z metodo vsote. Zbirni obrazec se uporablja, če imamo podatke po elementih v poročevalskem in baznem obdobju . Mnogi statistični kazalci, ki označujejo različne vidike družbenih pojavov, so med seboj v določeni povezavi (pogosto v obliki produkta). Statistika ta razmerja označuje kvantitativno. Številni ekonomski kazalniki so med seboj tesno povezani in tvorijo indeksni sistemi. Naslednje je sprejeto praksa faktorske analize: če je efektivni kazalnik = zmnožek volumetričnih in kvalitativnih dejavnikov, potem je kvalitativni faktor fiksiran na ravni baznega obdobja; če se ugotovi vpliv kvalitativnega kazalnika, se faktor obsega določi na ravni poročevalskega obdobja. Razmislimo o konstrukciji medsebojno povezanih indeksov na primeru indeksov cen, fizičnega obsega izdelkov (če govorimo o prodajnih cenah) ali fizičnega obsega trgovinskega prometa (če govorimo o maloprodajnih cenah) in indeksa stroškov izdelkov ( promet v dejanskih cenah). Indeksi fizičnega obsega in cen so faktorski glede na indeks stroškov izdelka(promet v dejanskih cenah):
, oz
. Tako zmnožek indeksa cen in indeksa fizičnega obsega proizvodnje daje indeks vrednosti proizvoda (promet v dejanskih cenah). Indeksni sistem vam omogoča uporabo dveh znanih vrednosti indeksa za iskanje vrednosti tretje neznanke. Indeks fizičnega obsega proizvodnje: ;Poleg agregatne metode izračunavanja splošnih indeksov obstaja še ena metoda, ki je sestavljena iz izračunavanja splošnih indeksov kot povprečja ustreznih posameznih indeksov. K izračunu takih tehtanih povprečnih indeksov uporabi, ko razpoložljive informacije ne omogočajo izračuna agregatnega indeksa. Torej, če količine posameznih izdelkov, proizvedenih v naravnih merilnikih, niso znane, so pa znani posamezni indeksi
in stroški proizvodnje baznega obdobja ( str 0 q 0 ), lahko določimo aritmetično povprečje indeksa fizičnega obsega proizvodnje. Izhodiščna osnova za gradnjo je agregatna oblika. Iz razpoložljivih podatkov je mogoče dobiti samo imenovalec te formule. Za iskanje števca se uporabi formula za individualni indeks obsega proizvodnje, iz katere izhaja, da q 1 = q 0 i q. Če ta izraz zamenjamo v števec agregatne oblike, dobimo splošni indeks fizičnega obsega v obliki aritmetično povprečje indeksa fizičnega obsega proizvodnje , kjer so uteži stroški posameznih vrst proizvodov v baznem obdobju ( q 0 str 0 ):
.

Med številnimi različnimi značilnostmi, ki jih proučuje statistika, obstajajo značilnosti, ki jih nekatere enote populacije imajo, druge pa ne. Ti znaki se imenujejo alternativa .

Primer takšnih znakov je prisotnost okvarjenih izdelkov, akademska stopnja univerzitetnega učitelja, študij določene specialnosti itd. Predpostavimo, da ima celotna statistična populacija n enote. Od teh m Predpostavimo, da ima celotna statistična populacija–enote. Od teh enote imajo izbrano lastnost, nato pa ostale

enote te funkcije nimajo.
– Označimo delež enot, ki imajo atribut: , potem naj

delež enot, ki te lastnosti nimajo. + q = 1

r Enote X, ki ima to lastnost, pripisujemo vrednost X ki ima to lastnost, pripisujemo vrednost= 0.

= 1, tisti, ki nimajo – :

=Povprečna vrednost alternativnega atributa

r.

Varianca alternativne lastnosti :

To pomeni, da je povprečna vrednost alternativne značilnosti enaka deležu enot, ki imajo to lastnost.

To pomeni, da je varianca alternativne značilnosti enaka zmnožku deleža enot, ki imajo to značilnost, z deležem enot, ki nimajo te značilnosti. primer:
5% izdelanih izdelkov je pokvarjenih, potem je 95% izdelkov ustreznih. Disperzija deleža napak je enaka: σ 2 = 0,050,95 = 0,0475, standardna deviacija deleža napak pa je σ =

ali 22 %. delež enot, ki te lastnosti nimajo.=q= 0,5.

Mejna vrednost variance alternativne karakteristike je 0,25; se izkaže, ko

Variacija značilnosti je posledica različnih dejavnikov; nekatere od teh dejavnikov je mogoče identificirati, če statistično populacijo razdelimo v skupine glede na katero koli značilnost. Potem, skupaj s preučevanjem variacije lastnosti v celotni populaciji kot celoti, postane mogoče preučevati variacijo za vsako od njenih sestavnih skupin, pa tudi med temi skupinami. V najpreprostejšem primeru, ko je populacija razdeljena v skupine glede na en faktor, se študija variacije doseže z izračunom in analizo treh vrst varianc: splošno , medskupina in znotraj skupine .

Skupna varianca σ 2 na splošno meri variacijo lastnosti skozi celotno populacijo pod vplivom vseh dejavnikov, ki so povzročili to variacijo. Je enak srednjemu kvadratnemu odstopanju posameznih vrednosti atributa ki ima to lastnost, pripisujemo vrednost od skupnega povprečja in se lahko izračuna s formulo preprosto oz stehtalibrez disperzije.

Medskupinska varianca σ 2 intergr označuje sistematično variacijo nastale značilnosti zaradi vpliva faktorskega znaka, ki tvori osnovo skupine. Je enak srednjemu kvadratnemu odklonu skupinskih (delnih) povprečij :

od skupnega povprečja
,

σ 2 intergr = kje f

- število enot v skupini. σ 2 i Znotraj skupine (delna) varianca ki ima to lastnost, pripisujemo vrednost odraža naključno variacijo, to je del variacije zaradi vpliva neupoštevanih dejavnikov in neodvisno od dejavnika-atributa, ki tvori osnovo skupine. Enak je srednjemu kvadratu odstopanj posameznih vrednosti lastnosti znotraj skupine iz aritmetične sredine te skupine preprosto(povprečje skupine) in se lahko izračuna po formuli oz:

utežena varianca i =
σ 2

utežena varianca i =
(preprosta formula);

(ponderirano). i Na podlagi variance znotraj skupine za vsako skupino (σ 2 ) lahko določimo splošno povprečje :

=
.

yuyu odstopanj znotraj skupine Glede na pravilo za dodajanje odstopanj

skupna varianca je enaka vsoti povprečja varianc znotraj skupine in med skupinami: .

σ 2 skupaj = σ 2 intergr +

S pravilom dodajanja varianc lahko vedno določite tretjo, neznano, varianco iz dveh znanih varianc in presodite tudi moč vpliva značilnosti združevanja.

Večji kot je delež medskupinske variance v skupni varienci, močnejši je vpliv značilnosti združevanja na proučevano značilnost. Pogosto se uporablja v statistični analizi(η 2) - kazalnik, ki predstavlja delež medskupinske variance v skupni varienci dobljene značilnosti in označuje moč vpliva značilnosti združevanja na oblikovanje celotne variacije:

η 2 =
.

Empirični koeficient determinacije kaže delež variacije v dobljeni karakteristiki pri pod vplivom faktorskega znaka ki ima to lastnost, pripisujemo vrednost(preostanek celotne različice pri zaradi variacij drugih dejavnikov). V odsotnosti povezave je empirični koeficient determinacije η 2 enak nič, v primeru funkcionalne povezave pa ena. Če je na primer η 2 = 0,666, to pomeni, da je 66,6% variacije proučevanega kazalnika posledica razlik v vrednostih faktorskega atributa, ki je osnova skupine, 33,4% pa zaradi vpliv drugih dejavnikov.

Empirično korelacijsko razmerje je kvadratni koren empiričnega koeficienta determinacije:

η =
.

Prikazuje tesno povezavo med združevanjem v skupine in značilnostmi delovanja.

Empirično korelacijsko razmerje η, tako kot η 2, lahko zavzame vrednosti od 0 do 1.

Če povezave ni, potem je korelacijsko razmerje η = 0, tj. vsa skupinska povprečja bodo med seboj enaka, medskupinske variacije ne bo. To pomeni, da značilnost združevanja v nobenem primeru ne vpliva na oblikovanje splošne variacije.

Če je povezava funkcionalna, potem je korelacijski odnos η = 1. V tem primeru je medskupinska varianca enaka celotni varianci (σ 2 medskupina = σ 2), tj. znotrajskupinske variacije ne bo. To pomeni, da značilnost združevanja v celoti določa variacijo nastale značilnosti, ki se proučuje.

Bližje ko je vrednost korelacijskega razmerja ena, bližje, bližje funkcionalni odvisnosti je povezava med značilnostmi.

Zamenjava v disperzijski formuli q= 1 - p, dobimo

Povprečni kvadratni odklon izmenične lastnosti

Koeficient variacije predstavlja razmerje med standardnim odklonom in aritmetično sredino, izraženo v odstotkih:: V= σ / X‾ *100

Skupna varianca σ 2 meri variacijo lastnosti skozi celotno populacijo pod vplivom vseh dejavnikov, ki so povzročili to variacijo. Je enak srednjemu kvadratu odstopanj posameznih vrednosti atributa x od skupnega povprečja ki ima to lastnost, pripisujemo vrednost in se lahko izračuna kot enostavna varianta

Medskupinska varianca δ 2 označuje sistematično variacijo nastale značilnosti zaradi vpliva dejavnika-znaka, ki tvori osnovo skupine. Enak je srednjemu kvadratu odstopanj skupinskih (posebnih) povprečij X‾i od splošnega povprečja X‾:

Znotraj skupine (delna) variancaσ 2 i odraža naključno variacijo, tj. del variacije zaradi vpliva neupoštevanih dejavnikov in neodvisen od atributa faktorja, ki tvori osnovo skupine. Je enak srednjemu kvadratnemu odstopanju posameznih vrednosti lastnosti znotraj skupine ki ima to lastnost, pripisujemo vrednost iz aritmetične sredine te skupine X)(povprečje skupine) in se lahko izračuna kot enostavna varianta oz kot variančno tehtano po formulah, oziroma:

Na podlagi variance znotraj skupine za vsako skupino, tj. temelji na σ 2 i lahko določimo skupno povprečje varianc znotraj skupine:

Glede na pravilo dodajanja odstopanj skupna varianca je enaka vsoti povprečja varianc znotraj skupine in med skupinami:

Variance znotraj skupine prikazujejo razlike v proizvodnji v vsaki skupini, ki jih povzročajo vsi možni dejavniki (tehnično stanje opreme, razpoložljivost orodij in materialov, starost delavcev, intenzivnost dela itd.), razen razlik v kvalifikacijski kategoriji. Povprečje varianc znotraj skupine odraža variacijo proizvodnje zaradi vseh dejavnikov razen zaradi kvalifikacij delavcev, vendar v povprečju za celotno prebivalstvo. Medskupinska varianca označuje variacijo skupinskih povprečij zaradi razlik v skupinah delavcev glede na kategorijo kvalifikacij. Skupna varianca odraža skupni vpliv vseh možnih dejavnikov na skupno variacijo povprečne urne proizvodnje izdelkov vseh delavcev v delavnici.

Zato se pogosto uporablja v statističnih analizah empirično koeficient determinacije(ή 2) - kazalnik, ki predstavlja delež medskupinske variance v skupni variaciji nastale značilnosti in označuje moč vpliva skupinske značilnosti na oblikovanje skupne variacije:

ή 2 =δ 2 / σ 2 Empirični koeficient determinacije kaže delež variacije v dobljeni karakteristiki pri pod vplivom faktorskega znaka ki ima to lastnost, pripisujemo vrednost(preostanek celotne različice pri zaradi variacij drugih dejavnikov). V odsotnosti povezave je empirični koeficient enak 0, v primeru funkcionalne povezave pa je enak ena. Empirično korelacijsko razmerje je kvadratni koren empiričnega koeficienta determinacije: v

ή=√ δ 2 / σ 2 kaže na tesno povezavo med združevanjem v skupine in značilnostmi delovanja.

Empirično korelacijsko razmerje ή , kot ή 2, lahko sprejme vrednosti od 0 do 1. Če povezave ni, je korelacijsko razmerje nič, tj. vsa skupinska povprečja bodo med seboj enaka, medskupinske variacije ne bodo. To pomeni, da značilnost združevanja v nobenem primeru ne vpliva na oblikovanje splošne variacije. Če povezava deluje, bo korelacijsko razmerje enako ena. V tem primeru je varianca skupinskih povprečij enaka celotni varianci, tj. znotraj skupine ne bo sprememb. To pomeni, da značilnost združevanja v celoti določa variacijo nastale značilnosti, ki se proučuje.

Bližje ko je vrednost korelacijskega razmerja ena, bližje, bližje funkcionalni odvisnosti je povezava med značilnostmi.

Serija Dynamics

Ena najpomembnejših nalog statistike je preučevanje sprememb analiziranih kazalnikov skozi čas, tj dinamika. Ta problem je rešen z analizo dinamična serija(časovne vrste).

Dinamične serije (ali časovne serije) – to so številčne vrednosti določenega statističnega kazalca v zaporednih trenutkih ali časovnih obdobjih (t.j. urejene v kronološkem vrstnem redu).

Imenujejo se številčne vrednosti enega ali drugega statističnega indikatorja, ki sestavlja dinamično serijo ravni serije in je običajno označen s črko l. Prvi termin serije y 1 imenovani začetni oz osnovna raven, in zadnji y n – dokončno. Trenutki ali časovna obdobja, na katere se ravni nanašajo, so označeni z t.

Dinamične serije so običajno predstavljene v obliki tabele ali grafa, časovna lestvica pa je zgrajena vzdolž abscisne osi. t, vzdolž ordinatne osi pa je lestvica nivojev serije l.

Indikatorji variacije

Indikatorji variacije označujejo nihanje posameznih vrednosti lastnosti glede na povprečno vrednost, kar ni nič manj pomembno kot določanje samega povprečja. Povprečje ne kaže strukture populacije, kako se okoli nje nahajajo različice povprečne lastnosti, ali so koncentrirane blizu povprečja ali bistveno odstopajo od njega. Povprečna vrednost lastnosti v dveh populacijah je lahko enaka, vendar se v enem primeru vse posamezne vrednosti malo razlikujejo od nje, v drugem pa so te razlike velike, tj. v enem primeru je variacija lastnosti majhna, v drugem pa velika.
To lahko pokažemo s tem primerom. Predpostavimo, da dve skupini po 3 osebe opravljata isto delo. Število delov, ki so jih proizvedli posamezni delavci na izmeno, je bilo:
v prvi brigadi - 95, 100, 105;
v drugi brigadi - 75, 100, 125.
Povprečni izkupiček na delavca v timih je bil

, .
Povprečna proizvodnja je enaka, vendar je variabilnost proizvodnje posameznih delavcev v prvi brigadi veliko manjša kot v drugi.
Posledično, bolj ko se različice posameznih enot populacije razlikujejo med seboj, bolj se razlikujejo od njihovega povprečja in obratno – variante, ki se med seboj malo razlikujejo, so po vrednosti bližje povprečju, ki bo v tem primeru bolj realistično predstavlja celotno populacijo.

Zato se za karakterizacijo in merjenje variacije lastnosti v agregatu poleg povprečja uporabljajo naslednji kazalci:

• absolutno - območje variacije, povprečna linearna in standardna deviacija, disperzija;
• relativno - koeficienti variacije.

Razpon variacije (ali obseg variacije) - to je razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo značilnosti:

V našem primeru je razpon variacije izmenske proizvodnje delavcev: v prvi brigadi R = 105-95 = 10 otrok, v drugi brigadi R = 125-75 = 50 otrok. (5-krat več). To nakazuje, da je proizvodnja 1. brigade bolj "stabilna", vendar ima druga brigada več rezerv za povečanje proizvodnje, ker Če vsi delavci dosežejo največjo produktivnost za to brigado, lahko proizvede 3 * 125 = 375 delov, v 1. brigadi pa samo 105 * 3 = 315 delov.
Pomanjkljivost indikatorja variacijskega obsega je, da njegova vrednost ne odraža vseh nihanj lastnosti.
Najenostavnejši splošni indikator, ki odraža vsa nihanja lastnosti, je povprečno linearno odstopanje, ki je aritmetična sredina absolutnih odstopanj posameznih opcij od njihove povprečne vrednosti:
za nezdružene podatke
,
za združene podatke
,
kjer je xi vrednost atributa v diskretni seriji ali sredina intervala v intervalni porazdelitvi.
V zgornjih formulah so razlike v števcu vzete modulo, sicer bo glede na lastnost aritmetične sredine števec vedno enak nič. Zato se povprečni linearni odklon v statistični praksi redko uporablja, le v primerih, ko je seštevanje kazalnikov brez upoštevanja predznaka ekonomsko smiselno. Z njegovo pomočjo se na primer analizira sestava delovne sile, dobičkonosnost proizvodnje in zunanjetrgovinski promet.
Varianca lastnosti je povprečni kvadrat odstopanj od njihove povprečne vrednosti:
enostavna varianta
,
tehtano z varianco
.
Formulo za izračun variance je mogoče poenostaviti:

Tako je varianca enaka razliki med povprečjem kvadratov opcije in kvadratom povprečja opcije populacije:
.
Vendar pa zaradi seštevanja kvadratov odstopanj varianca daje popačeno predstavo o odstopanjih, zato se na njeni podlagi izračuna povprečje standardni odklon, ki kaže, koliko v povprečju posamezne različice lastnosti odstopajo od svoje povprečne vrednosti. Izračunano s kvadratnim korenom variance:
za nezdružene podatke
,
za variacijske serije

Manjša kot je vrednost variance in standardnega odklona, ​​bolj homogena je populacija, bolj zanesljiva (tipična) bo povprečna vrednost.
Povprečna linearna in standardna deviacija sta poimenovani števili, to pomeni, da sta izraženi v merskih enotah lastnosti, sta po vsebini enaki in po pomenu blizu.
Priporočljivo je izračunati absolutne variacije s pomočjo tabel.
Tabela 3 - Izračun variacijskih značilnosti (z uporabo primera obdobja podatkov o izmeni izmena delavcev posadke)

Povprečna izmena dela delavcev:

Povprečno linearno odstopanje:

Proizvodna razlika:

Standardni odklon proizvodnje posameznih delavcev od povprečne proizvodnje:
.

Izračun varianc vključuje okorne izračune (še posebej, če je povprečje izraženo kot veliko število z več decimalnimi mesti). Izračune je mogoče poenostaviti z uporabo poenostavljene formule in disperzijskih lastnosti.
Disperzija ima naslednje lastnosti (dokazljive v matematični statistiki):

1. če se vse vrednosti značilnosti zmanjšajo ali povečajo za isto vrednost A, se disperzija ne bo zmanjšala,

Izračun variance alternativne karakteristike

Med značilnostmi, ki jih proučuje statistika, so tudi take, ki imajo samo dva medsebojno izključujoča se pomena. To so alternativni znaki. Podani sta jim dve kvantitativni vrednosti: možnost 1 in 0. Pogostost možnosti 1, ki je označena s p, je delež enot, ki imajo to lastnost. Razlika 1-р=q je frekvenca možnosti 0. Tako

Aritmetična sredina alternativnega predznaka
, ker p+q=1.

Varianca alternativne lastnosti
, ker 1-р=q
Tako je varianca alternativne značilnosti enaka produktu deleža enot, ki imajo to lastnost, in deleža enot, ki te lastnosti nimajo.
Če se vrednosti 1 in 0 pojavljata enako pogosto, to je p=q, doseže varianca svoj maksimum pq=0,25.
Varianca alternativnega atributa se uporablja v vzorčnih raziskavah, na primer kakovosti izdelkov.