Delitev po hornerjevi shemi. Enačbe v višji matematiki. Racionalni koreni polinomov

Nazaj Naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če te zanima to delo, prenesite polno različico.

Vrsta lekcije: Pouk osvajanja in utrjevanja osnovnega znanja.

Cilj lekcije:

• Učence seznanite s konceptom korenin polinoma in jih naučite, kako jih najti.
• Izboljšati veščine uporabe Hornerjeve sheme za razširitev polinoma s potencami in deljenje polinoma z binomom.
• Naučite se najti korenine enačbe z uporabo Hornerjeve sheme.
• Razvijte abstraktno mišljenje.
• Spodbujajte računalniško kulturo.

Razvoj medpredmetnih povezav.

Napredek lekcije

1. Organizacijski trenutek.

Obvestite temo lekcije, oblikujte cilje.

2. Preverjanje domače naloge.

3. Študij novega gradiva. = Naj bo Fn(x) - a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 polinom za x stopnje n, kjer so a 0 , a 1 ,...,a n podana števila in a 0 ni enako 0. Če polinom F n (x) z ostankom delimo z binomom x-a , potem je količnik (nepopolni količnik) polinom Q n-1 (x) stopnje n-1, ostanek R je število in enakost velja F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.

Polinom F n (x) je deljiv z binomom (x-a) samo v primeru R=0. Bezoutov izrek: Ostanek R pri deljenju polinoma F n (x) z binomom (x-a) enaka vrednosti

polinom F n (x) za x=a, tj. R=Pn(a). Malo zgodovine. Bezoutov izrek je kljub svoji navidezni preprostosti in očitnosti eden temeljnih izrekov teorije polinomov. V tem izreku so algebraične lastnosti polinomov (ki nam omogočajo delo s polinomi kot celimi števili) povezane z njihovimi funkcionalne lastnosti

(ki omogočajo, da se polinomi obravnavajo kot funkcije). Eden od načinov za reševanje enačb višje stopnje je faktorizacija polinoma na levi strani enačbe. Izračun koeficientov polinoma in ostanka je zapisan v obliki tabele, imenovane Hornerjeva shema. Hornerjeva shema je algoritem za deljenje polinomov, napisan za poseben primer, ko je količnik enak binomu.

x–a Horner William George (1786 - 1837), angleški matematik. Temeljne raziskave se nanašajo na teorijo. Razvil metodo za približno rešitev enačb katere koli stopnje. Leta 1819 je uvedel pomembno metodo za algebro deljenja polinoma z binomom x - a (Hornerjeva shema).

Zaključek splošna formula za Hornerjevo shemo.

Deljenje polinoma f(x) z ostankom z binomom (x-c) pomeni iskanje polinoma q(x) in števila r tako, da je f(x)=(x-c)q(x)+r

Zapišimo to enakost podrobno:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Izenačimo koeficiente pri istih stopinjah:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

Demonstracija Hornerjevega vezja na primeru.

Naloga 1. Z uporabo Hornerjeve sheme delimo polinom f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 z ostankom z binomom x-2.

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, kjer je g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 ostanek.

Razširitev polinoma na potence binoma.

S pomočjo Hornerjeve sheme razširimo polinom f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 na potence binoma (x+2).

Kot rezultat bi morali dobiti razširitev f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

Hornerjeva shema se pogosto uporablja pri reševanju enačb tretje, četrte in višjih stopenj, ko je priročno razširiti polinom v binom x-a. številka a klical koren polinoma F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, če je pri x=a vrednost polinoma F n (x) je enaka nič: F n (a)=0, tj. če je polinom deljiv z binomom x-a.

Na primer, število 2 je koren polinoma F 3 (x)=3x 3 -2x-20, saj je F 3 (2)=0. to pomeni. Da faktorizacija tega polinoma vsebuje faktor x-2.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

Kateri koli polinom F n(x) stopnje n 1 ne more imeti več n prave korenine.

katera koli cela korenina enačba s celimi koeficienti je delitelj njenega prostega člena.

Če je vodilni koeficient enačbe 1, potem vse racionalne korenine enačbe, če obstajajo, so cela števila.

Utrjevanje preučenega gradiva.

Za utrjevanje nove snovi učence povabimo, da dopolnijo številke iz učbenika 2.41 in 2.42 (str. 65).

(2 učenca rešujeta na tabli, ostali pa, ko so se odločili, preverijo naloge v zvezku z odgovori na tabli).

Če povzamem.

Ko razumemo strukturo in načelo delovanja Hornerjeve sheme, jo lahko uporabimo tudi pri pouku računalništva, ko se obravnava vprašanje pretvorbe celih števil iz decimalnega številskega sistema v binarni sistem in obratno. Osnova za prehod iz enega številskega sistema v drugega je naslednji splošni izrek

Izrek. Za pretvorbo celega števila Ap od str-arni številski sistem v osnovni številski sistem d potrebno Ap zaporedno delimo z ostankom po številu d, zapisano v isti str-arnega sistema, dokler dobljeni količnik ne postane enak nič. Ostanki pri deljenju bodo d- številske številke oglas, od najmlajše do najstarejše kategorije. Vsa dejanja je treba izvesti v str-arni številski sistem. Za osebo je to pravilo priročno le, če str= 10, tj. pri prevajanju od decimalni sistem. Kar se tiče računalnika, je nasprotno, zanj je "bolj priročno" izvajati izračune v binarnem sistemu. Zato za pretvorbo "2 v 10" uporabljamo zaporedno delitev za deset v dvojiškem sistemu in "10 proti 2" je seštevek potenc števila deset. Za optimizacijo izračunov postopka "10 v 2" računalnik uporablja Hornerjevo ekonomično računalniško shemo.

domača naloga. Predlaga se izpolnitev dveh nalog.

1. Z uporabo Hornerjeve sheme delite polinom f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 z binomom (x-3).

2. Poiščite cele korene polinoma f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (ob upoštevanju, da je vsak celoštevilski koren enačbe s celimi koeficienti delitelj njenega prostega člena).

Literatura.

1. Kurosh A.G. "Tečaj višje algebre."
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K. in drugi 10. razred “Algebra in začetki matematične analize.”
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

Hornerjeva shema – metoda deljenja polinoma

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

na binomu $x-a$. Delati boste morali s tabelo, katere prva vrstica vsebuje koeficiente za podani polinom. Prvi element druge vrstice bo število $a$, vzeto iz binoma $x-a$:

Ko polinom n-te stopnje delimo z binomom $x-a$, dobimo polinom, katerega stopnja je za ena manjša od prvotne, tj. je enako $n-1$. Neposredno uporabo Hornerjeve sheme je najlažje prikazati s primeri.

Primer št. 1

Deli $5x^4+5x^3+x^2-11$ z $x-1$ z uporabo Hornerjeve sheme.

Naredimo tabelo iz dveh vrstic: v prvo vrstico zapišemo koeficiente polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$, razvrščene po padajočih potencah spremenljivke $x$. Upoštevajte, da ta polinom ne vsebuje $x$ na prvi stopnji, tj. koeficient $x$ na prvo potenco je 0. Ker delimo z $x-1$, v drugo vrstico zapišemo ena:

Začnimo izpolnjevati prazne celice v drugi vrstici. V drugo celico druge vrstice zapišemo številko $5$ in jo preprosto premaknemo iz ustrezne celice prve vrstice:

Zapolnimo naslednjo celico po tem principu: $1\cdot 5+5=10$:

Na enak način izpolnimo četrto celico druge vrstice: $1\cdot 10+1=11$:

Za peto celico dobimo: $1\cdot 11+0=11$:

In končno, za zadnjo, šesto celico, imamo: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Problem je rešen, ostane le še, da zapišemo odgovor:

Kot lahko vidite, so števila v drugi vrstici (med ena in nič) koeficienti polinoma, dobljenega po deljenju $5x^4+5x^3+x^2-11$ z $x-1$. Seveda, ker je bila stopnja prvotnega polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ enaka štiri, je stopnja nastalega polinoma $5x^3+10x^2+11x+11$ ena manj, tj. enako tri. Zadnja številka v drugi vrstici (ničla) pomeni ostanek pri deljenju polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ z $x-1$. V našem primeru ostanek enako nič, tj. polinomi so enakomerno deljivi. Ta rezultat lahko označimo tudi kot sledi: vrednost polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ za $x=1$ je enaka nič.

Sklep lahko formuliramo tudi v tej obliki: ker je vrednost polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ pri $x=1$ enaka nič, je enota koren polinoma $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

Primer št. 2

Polinom $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ razdelite na $x+3$ z uporabo Hornerjeve sheme.

Naj takoj določimo, da mora biti izraz $x+3$ predstavljen v obliki $x-(-3)$. Hornerjeva shema bo vključevala točno -3$. Ker je stopnja prvotnega polinoma $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ enaka štiri, potem kot rezultat deljenja dobimo polinom tretje stopnje:

Rezultat pomeni, da

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

V tej situaciji je ostanek pri deljenju $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ z $x+3$ 4$. Ali, kar je isto, vrednost polinoma $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ za $x=-3$ je enaka $4$. Mimogrede, to je enostavno dvakrat preveriti z neposredno zamenjavo $x=-3$ v podani polinom:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

Tisti. Hornerjevo shemo lahko uporabimo, če je treba najti vrednost polinoma pri nastavljeno vrednost spremenljivka. Če je naš cilj najti vse korenine polinoma, potem lahko Hornerjevo shemo uporabimo večkrat zapored, dokler ne izčrpamo vseh korenin, kot je razloženo v primeru št. 3.

Primer št. 3

Poiščite vse cele korene polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ z uporabo Hornerjeve sheme.

Koeficienti zadevnega polinoma so cela števila in koeficient je pred največjo potenco spremenljivke (tj. pred $x^6$) enako ena. V tem primeru je treba celoštevilske korene polinoma iskati med delitelji prostega člena, tj. med delitelji števila 45. Za dani polinom so lahko takšni koreni števila $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 $ in -45 $; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Preverimo na primer številko $1$:

Kot lahko vidite, je vrednost polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ z $x=1$ enaka $192$ ( zadnja številka v drugi vrstici) in ne $0$, zato enota ni koren tega polinoma. Ker preverjanje enega ni uspelo, preverimo vrednost $x=-1$. Za to ne bomo ustvarili nove tabele, ampak jo bomo še naprej uporabljali. št. 1 in ji dodal novo (tretjo) vrstico. Druga vrstica, v kateri je bila označena vrednost $1$, bo označena z rdečo in ne bo uporabljena v nadaljnjih razpravah.

Seveda lahko tabelo preprosto znova napišete, vendar bo ročno izpolnjevanje vzelo veliko časa. Poleg tega je lahko več številk, katerih preverjanje ne bo uspelo, in je težko vsakič napisati novo tabelo. Pri izračunu "na papirju" lahko rdeče črte preprosto prečrtamo.

Torej je vrednost polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ pri $x=-1$ enaka nič, tj. število $-1$ je koren tega polinoma. Po delitvi polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ z binomom $x-(-1)=x+1$ dobimo polinom $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, katerih koeficienti so vzeti iz tretje vrstice tabele. št. 2 (glej primer št. 1). Rezultat izračunov lahko predstavimo tudi v tej obliki:

\begin(enačba)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\konec(enačba)

Nadaljujmo z iskanjem celih korenin. Zdaj moramo poiskati korenine polinoma $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Spet celoštevilske korene tega polinoma iščemo med delitelji njegovega prostega člena, števil $45$. Poskusimo ponovno preveriti število $-1$. Ne bomo ustvarili nove tabele, ampak bomo še naprej uporabljali prejšnjo tabelo. št. 2, tj. Dodajmo mu še eno vrstico:

Torej je število $-1$ koren polinoma $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Ta rezultat lahko zapišemo takole:

\begin(enačba)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(enačba)

Ob upoštevanju enakosti (2) lahko enakost (1) prepišemo v naslednji obliki:

\begin(enačba)\begin(poravnano) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\konec(poravnano)\konec(enačba)

Sedaj moramo poiskati korenine polinoma $x^4-22x^2+24x+45$ - seveda med delitelji njegovega prostega člena (števili $45$). Ponovno preverimo število $-1$:

Število $-1$ je koren polinoma $x^4-22x^2+24x+45$. Ta rezultat lahko zapišemo takole:

\begin(enačba)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(enačba)

Ob upoštevanju enakosti (4) prepišemo enakost (3) v naslednji obliki:

\begin(enačba)\begin(poravnano) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\konec(poravnano)\konec(enačba)

Zdaj iščemo korenine polinoma $x^3-x^2-21x+45$. Ponovno preverimo število $-1$:

Preverjanje se je končalo neuspešno. Označimo šesto vrstico rdeče in poskusimo preveriti drugo številko, na primer številko $3$:

Ostanek je nič, zato je število $3$ koren zadevnega polinoma. Torej $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Zdaj lahko enakost (5) prepišemo na naslednji način.

Uporaba tega program za matematiko polinome lahko razdelite po stolpcu.
Program za deljenje polinoma s polinomom ne daje samo odgovora na problem, ampak ga daje podrobna rešitev s pojasnili, t.j. prikazuje postopek reševanja za preverjanje znanja matematike in/ali algebre.

Ta program je lahko koristen za srednješolce srednje šole v pripravah na testi in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom, da starši nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite le opraviti čim hitreje? domača naloga

pri matematiki ali algebri? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami. Tako lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali svoje usposabljanje. mlajši bratje

ali sester, medtem ko se stopnja izobrazbe na področju problemov, ki se rešujejo, povečuje. Če potrebujete oz poenostavite polinom oz pomnožite polinome , potem imamo za to ločen program

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Počakajte prosim sek...

če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko pišete o tem v Obrazec za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Deljenje polinoma na polinom (binom) s stolpcem (kotom)

V algebri deljenje polinomov s stolpcem (kotom)- algoritem za deljenje polinoma f(x) s polinomom (binomom) g(x), katerega stopnja je manjša ali enaka stopnji polinoma f(x).

Algoritem deljenja polinom za polinomom je posplošena oblika deljenja števil v stolpcu, ki jo je mogoče enostavno izvesti ročno.

Za vse polinome \(f(x) \) in \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), obstajajo edinstveni polinomi \(q(x) \) in \(r( x ) \), tako da
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
in \(r(x)\) ima več nizka stopnja\(g(x)\).

Cilj algoritma za razdelitev polinomov v stolpec (vogal) je najti količnik \(q(x) \) in ostanek \(r(x) \) za dano dividendo \(f(x) \) in neničelnega delitelja \(g(x) \)

Primer

Razdelimo en polinom z drugim polinomom (binomom) s pomočjo stolpca (kota):
\(\velik \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Kvocient in ostanek teh polinomov lahko najdete tako, da izvedete naslednje korake:
1. Prvi element delitelja delite z najvišjim elementom delitelja, rezultat postavite pod črto \((x^3/x = x^2)\)

3. Polinom, dobljen po množenju, odštejemo od dividende, rezultat zapišemo pod črto \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

4. Ponovite prejšnje 3 korake in uporabite polinom, zapisan pod črto, kot dividendo.

5. Ponovite 4. korak.

6. Konec algoritma.
Tako je polinom \(q(x)=x^2-9x-27\) količnik deljenja polinomov, \(r(x)=-123\) pa ostanek deljenja polinomov.

Rezultat deljenja polinomov lahko zapišemo v obliki dveh enačb:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
oz
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

Pri reševanju enačb in neenačb je pogosto treba faktorizirati polinom s stopnjo tri ali več. V tem članku si bomo ogledali, kako to najlažje storiti.

Kot ponavadi se za pomoč obrnemo na teorijo.

Bezoutov izrek navaja, da je ostanek pri deljenju polinoma z binomom .

Toda za nas ni pomemben sam izrek, ampak posledica tega:

Če je število koren polinoma, potem je polinom deljiv z binomom brez ostanka.

Soočeni smo z nalogo, da nekako najdemo vsaj en koren polinoma, nato pa polinom delimo z , kjer je koren polinoma. Kot rezultat dobimo polinom, katerega stopnja je za ena manjša od stopnje prvotnega. In potem, če je potrebno, lahko postopek ponovite.

Ta naloga je razdeljena na dvoje: kako najti koren polinoma in kako polinom deliti z binomom.

Oglejmo si te točke podrobneje.

1. Kako najti koren polinoma.

Najprej preverimo, ali sta števili 1 in -1 korenini polinoma.

Tukaj nam bodo v pomoč naslednja dejstva:

Če je vsota vseh koeficientov polinoma enaka nič, potem je število koren polinoma.

Na primer, v polinomu je vsota koeficientov nič: . Preprosto je preveriti, kaj je koren polinoma.

Če je vsota koeficientov polinoma pri sodih potencah enaka vsoti koeficientov pri lihih potencah, potem je število koren polinoma. Prosti člen se šteje za koeficient za sodo stopnjo, saj je , a sodo število.

Na primer, v polinomu je vsota koeficientov za sode potence : , vsota koeficientov za lihe potence pa : . Preprosto je preveriti, kaj je koren polinoma.

Če niti 1 niti -1 nista korena polinoma, gremo naprej.

Za zmanjšan polinom stopnje (to je polinom, pri katerem je vodilni koeficient - koeficient at - enak enoti) velja formula Vieta:

Kje so korenine polinoma.

Obstajajo tudi Vieta formule za preostale koeficiente polinoma, vendar nas zanima ta.

Iz te formule Vieta sledi, da če so korenine polinoma cela števila, potem so delitelji njegovega prostega člena, ki je prav tako celo število.

Na podlagi tega, prosti člen polinoma moramo razložiti na faktorje in zaporedno od najmanjšega do največjega preveriti, kateri izmed faktorjev je koren polinoma.

Razmislite na primer o polinomu

Delitelji prostega člena: ;

;

;

Vsota vseh koeficientov polinoma je enaka , torej število 1 ni koren polinoma.

Vsota koeficientov za sode potence:

Vsota koeficientov za lihe potence:

Zato tudi število -1 ni koren polinoma.

Preverimo, ali je število 2 koren polinoma: torej je število 2 koren polinoma. To pomeni, da je po Bezoutovem izreku polinom deljiv z binomom brez ostanka.

2. Kako polinom razdeliti na binom.

Polinom lahko s stolpcem razdelimo na binom.

Polinom razdelite na binom z uporabo stolpca: Obstaja še en način za delitev polinoma z binomom - Hornerjeva shema.

Oglejte si ta video, da boste razumeli

kako deliti polinom z binomom s stolpcem in z uporabo Hornerjevega diagrama.

Opažam, da če pri deljenju s stolpcem v prvotnem polinomu manjka neka stopnja neznanke, na njeno mesto zapišemo 0 - enako kot pri sestavljanju tabele za Hornerjevo shemo. Torej, če moramo polinom deliti z binomom in kot rezultat delitve dobimo polinom, potem lahko poiščemo koeficiente polinoma s pomočjo Hornerjeve sheme: Lahko tudi uporabimo Hornerjeva shema da bi preverili, ali je

dano številko

koren polinoma: če je število koren polinoma, potem je ostanek pri deljenju polinoma enak nič, to pomeni, da v zadnjem stolpcu druge vrstice Hornerjevega diagrama dobimo 0. S Hornerjevo shemo »ubijemo dve muhi na en mah«: hkrati preverimo, ali je število koren polinoma in ta polinom delimo z binomom.

Primer.

Reši enačbo:

1. Zapišimo delitelje prostega člena in med delitelji prostega člena poiščimo korenine polinoma.

Delitelji 24:

2. Preverimo, ali je število 1 koren polinoma.

Vsota koeficientov polinoma, torej je število 1 koren polinoma.

3. Prvotni polinom razdeli na binom s Hornerjevo shemo.

A) Zapišimo koeficiente prvotnega polinoma v prvo vrstico tabele.

V zadnjem stolpcu smo pričakovano dobili ničlo; prvotni polinom smo delili z binomom brez ostanka. Koeficienti polinoma, ki izhajajo iz deljenja, so prikazani modro v drugi vrstici tabele:

Preprosto je preveriti, da števili 1 in -1 nista korena polinoma

B) Nadaljujmo tabelo. Preverimo, ali je število 2 koren polinoma:

Torej je stopnja polinoma, ki ga dobimo kot rezultat deljenja z ena, manjša od stopnje prvotnega polinoma, zato je število koeficientov in število stolpcev manjše za eno.

V zadnjem stolpcu smo dobili -40 - število, ki ni enako nič, zato je polinom deljiv z binomom z ostankom, število 2 pa ni koren polinoma.

C) Preverimo, ali je število -2 koren polinoma. Ker prejšnji poskus ni uspel, bom v izogib zmedi s koeficienti izbrisal vrstico, ki ustreza temu poskusu:

odlično! Kot ostanek smo dobili ničlo, zato smo polinom razdelili na binom brez ostanka, torej je število -2 koren polinoma. Koeficienti polinoma, ki ga dobimo z deljenjem polinoma z binomom, so v tabeli označeni z zeleno barvo.

Kot rezultat delitve smo dobili kvadratni trinom , katerega korenine lahko zlahka najdemo z uporabo Vietovega izreka:

Torej, korenine izvirne enačbe so:

{}

Odgovor: ( }