Podan je zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke. Hipergeometrični zakon porazdelitve

Podana je vrsta porazdelitve diskretne naključne spremenljivke. Poiščite manjkajočo verjetnost in narišite porazdelitveno funkcijo. Izračunajte matematično pričakovanje in varianco te količine.

Naključna spremenljivka X ima samo štiri vrednosti: -4, -3, 1 in 2. Vsako od teh vrednosti zavzame z določeno verjetnostjo. Ker mora biti vsota vseh verjetnosti enaka 1, je manjkajoča verjetnost enaka:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Sestavimo porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X. Znano je, da porazdelitvena funkcija , potem:

torej

Narišimo funkcijo F(x) .

Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je enako vsoti produktov vrednosti naključne spremenljivke in ustrezne verjetnosti, tj.

Varianco diskretne naključne spremenljivke najdemo po formuli:

UPORABA

Elementi kombinatorike Tukaj: - faktoriel števila

Ukrepi na dogodkih Dogodek je vsako dejstvo, ki se lahko zgodi ali ne zgodi kot posledica izkušnje. Združevanje dogodkov A in IN- to je dogodek Z ki je sestavljen iz pojava ali dogodka A, ali dogodki IN, ali oba dogodka hkrati. Oznaka: ; Crossing Dogodki A in IN- to je dogodek Z, ki je sestavljen iz hkratnega pojava obeh dogodkov. Oznaka: ;

Klasična definicija verjetnosti Verjetnost dogodka A je razmerje med številom poskusov , ugodno za nastanek dogodka A, na skupno število poskusov :

Formula za množenje verjetnosti Verjetnost dogodka lahko najdete s formulo: - verjetnost dogodka A, Verjetnost dogodka IN, - verjetnost dogodka IN pod pogojem, da dogodek A se je že zgodilo. Če sta dogodka A in B neodvisna (pojav enega ne vpliva na nastop drugega), je verjetnost dogodka enaka:

Formula za seštevanje verjetnosti Verjetnost dogodka je mogoče najti s formulo: Verjetnost dogodka A, Verjetnost dogodka IN, - verjetnost sopojavitve dogodkov A in IN. Če sta dogodka A in B nekompatibilna (se ne moreta zgoditi hkrati), je verjetnost dogodka enaka:

Formula skupne verjetnosti Naj dogodek A se lahko zgodi hkrati z enim od dogodkov , , …, - recimo jim hipoteze. Znano tudi - verjetnost izvedbe i-ta hipoteza in - verjetnost pojava dogodka A pri izvedbi i-ta hipoteza. Nato verjetnost dogodka A lahko najdete po formuli:

Bernoullijeva shema Naj bo n neodvisnih testov. Verjetnost nastanka (uspeha) dogodka A v vsakem od njih stalna in enaka str, verjetnost okvare (tj. dogodka, ki se ne zgodi A) q = 1 - str. Nato verjetnost pojava k uspeh v n teste je mogoče najti z uporabo Bernoullijeve formule: Najverjetnejše število uspehov v Bernoullijevi shemi je število pojavov nekega dogodka, ki ima največjo verjetnost.

Najdete ga lahko po formuli: Naključne spremenljivke diskretno zvezno (na primer število deklet v družini s 5 otroki) (na primer čas, ko kotliček pravilno deluje) Numerične značilnosti diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bo diskretna količina podana z nizom porazdelitve: X R , , …, - vrednosti naključne spremenljivke; X , , …, so ustrezne vrednosti verjetnosti. Distribucijska funkcija , , …, - vrednosti naključne spremenljivke Porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke imenovana funkcija , , …, - vrednosti naključne spremenljivke, definirana na celotni številski premici in enaka verjetnosti, da bo manj:

X

Vprašanja za izpit

Dogodek. Operacije na naključnih dogodkih.

Koncept verjetnosti dogodka.

Pravila za seštevanje in množenje verjetnosti.

Pogojne verjetnosti.

Formula skupne verjetnosti. Bayesova formula.

Bernoullijeva shema.

Naključna spremenljivka, njena porazdelitvena funkcija in porazdelitvena vrsta.

Osnovne lastnosti porazdelitvene funkcije.

Matematično pričakovanje. Lastnosti matematičnega pričakovanja.

Razpršenost. Lastnosti disperzije.

Gostota porazdelitve verjetnosti enodimenzionalne naključne spremenljivke.

Vrste porazdelitev: enakomerna, eksponentna, normalna, binomska in Poissonova porazdelitev.

Lokalni in integralni Moivre-Laplaceov izrek.

Zakon in porazdelitvena funkcija sistema dveh naključnih spremenljivk.

Gostota porazdelitve sistema dveh slučajnih spremenljivk.

Pogojni zakoni porazdelitve, pogojno matematično pričakovanje.

Odvisne in neodvisne naključne spremenljivke.

Korelacijski koeficient.

Vzorec. Obdelava vzorcev. Poligon in frekvenčni histogram. Empirična porazdelitvena funkcija. Koncept ocenjevanja porazdelitvenih parametrov.
Zahteve za ocenjevanje. Interval zaupanja. Konstrukcija intervalov za ocenjevanje matematičnega pričakovanja in standardnega odklona.
Statistične hipoteze. Merila privolitve.
Serija porazdelitve diskretne naključne spremenljivke je seznam njenih možnih vrednosti in ustreznih verjetnosti.
Porazdelitvena funkcija diskretne naključne spremenljivke je funkcija:
,
določanje za vsako vrednost argumenta x verjetnosti, da bo naključna spremenljivka X prevzela vrednost, manjšo od tega x.

Pričakovanje diskretne naključne spremenljivke
,
kjer je vrednost diskretne naključne spremenljivke; - verjetnost, da naključna spremenljivka sprejme vrednosti X.
Če naključna spremenljivka sprejme štetni niz možnih vrednosti, potem:
.
Matematično pričakovanje števila pojavitev dogodka v n neodvisnih poskusih:
,

Disperzija in standardni odklon diskretne naključne spremenljivke
Disperzija diskretne naključne spremenljivke:
oz .
Varianca števila pojavitev dogodka v n neodvisnih poskusih
,
kjer je p verjetnost, da se dogodek zgodi.
Standardni odklon diskretne naključne spremenljivke:
.

Primer 1
Sestavite zakon porazdelitve verjetnosti za diskretno naključno spremenljivko (DRV) X – število k pojavitev vsaj ene »šestice« v n = 8 metih para kock. Konstruirajte porazdelitveni poligon. Poiščite numerične značilnosti porazdelitve (način porazdelitve, matematično pričakovanje M(X), disperzija D(X), standardni odklon s(X)). rešitev: Naj uvedemo zapis: dogodek A – “pri metu para kock se je vsaj enkrat pojavila šestica.” Če želite najti verjetnost P(A) = p dogodka A, je bolj priročno najprej poiskati verjetnost P(Ā) = q nasprotnega dogodka Ā - "pri metanju para kock se nikoli ni pojavila šestica."
Ker je verjetnost, da se "šestica" ne pojavi pri metanju ene kocke, 5/6, potem v skladu z izrekom o množenju verjetnosti
P(Ā) = q = = .
Oziroma
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Preizkusi v nalogi sledijo Bernoullijevi shemi, torej d.s.v. velikost X- številka k pojav vsaj ene šestice pri metu dveh kock upošteva binomski zakon porazdelitve verjetnosti:

kjer je = število kombinacij n Avtor: k.

Izračune, izvedene za to težavo, je mogoče priročno predstaviti v obliki tabele:
Porazdelitev verjetnosti d.s.v. X º k (n = 8; str = ; q = )

Poligon (poligon) verjetnostne porazdelitve diskretne naključne spremenljivke X prikazano na sliki:

riž. Poligon porazdelitve verjetnosti d.s.v. X=k.
Navpična črta prikazuje matematično pričakovanje porazdelitve M(X).

Poiščimo numerične značilnosti verjetnostne porazdelitve d.s.v. X. Način distribucije je 2 (tukaj p 8(2) = največ 0,2932). Matematično pričakovanje je po definiciji enako:
M(X) = = 2,4444,
kje xk = k– prevzeta vrednost d.s.v. X. Varianca D(X) porazdelitev najdemo po formuli:
D(X) = = 4,8097.
Standardni odklon (RMS):
s( X) = = 2,1931.

Primer2
Diskretna naključna spremenljivka X ki ga daje razdelitveni zakon

rešitev.Če , potem (tretja lastnost).
Če, potem. res, X lahko sprejme vrednost 1 z verjetnostjo 0,3.
Če, potem. Res, če zadosti neenakosti
, potem je enako verjetnosti dogodka, ki se lahko zgodi, ko X bo imel vrednost 1 (verjetnost tega dogodka je 0,3) ali vrednost 4 (verjetnost tega dogodka je 0,1). Ker sta ta dva dogodka nekompatibilna, je po adicijskem izreku verjetnost dogodka enaka vsoti verjetnosti 0,3 + 0,1 = 0,4. Če, potem. Dejansko je dogodek gotov, zato je njegova verjetnost enaka ena. Torej lahko distribucijsko funkcijo analitično zapišemo na naslednji način:

Graf te funkcije:
Poiščimo verjetnosti, ki ustrezajo tem vrednostim. Po pogoju so verjetnosti okvare naprav enake: potem so verjetnosti, da bodo naprave delovale v garancijski dobi enake:




Distribucijski zakon ima obliko:

Primeri reševanja problemov na temo "Naključne spremenljivke".

Naloga 1 . Za loterijo je izdanih 100 srečk. Izžreban je bil en dobitek v višini 50 USD. in deset zmag po 10 USD. Poiščite zakon porazdelitve vrednosti X - stroškov možnih dobitkov.

rešitev. Možne vrednosti za X: x 1 = 0; x 2 = 10 in x 3 = 50. Ker je "praznih" listkov 89, potem je str 1 = 0,89, verjetnost dobitka 10 $. (10 vstopnic) – str 2 = 0,10 in dobite 50 USD -str 3 = 0,01. Torej:

Enostaven nadzor: .

Naloga 2. Verjetnost, da je kupec vnaprej prebral oglas izdelka, je 0,6 (p = 0,6). Selektivni nadzor kakovosti oglaševanja se izvaja z anketiranjem kupcev pred prvim, ki je oglaševanje vnaprej preučil. Sestavite niz distribucije za število anketiranih kupcev.

rešitev. Glede na pogoje problema je p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Če zamenjamo te vrednosti, dobimo: in sestavite distribucijsko serijo:

Naloga 3. Računalnik je sestavljen iz treh neodvisno delujočih elementov: sistemske enote, monitorja in tipkovnice. Pri enkratnem močnem povečanju napetosti je verjetnost okvare vsakega elementa 0,1. Na podlagi Bernoullijeve porazdelitve sestavite porazdelitveni zakon za število okvarjenih elementov med sunkom napetosti v omrežju.

rešitev. Razmislimo Bernoullijeva porazdelitev(ali binom): verjetnost, da n testov, se bo dogodek A pojavil točno k enkrat: , ali:

IN Vrnimo se k nalogi.

Možne vrednosti za X (število napak):

x 0 =0 – nobeden od elementov ni odpovedal;

x 1 =1 – okvara enega elementa;

x 2 =2 – okvara dveh elementov;

x 3 =3 – okvara vseh elementov.

Ker je po pogoju p = 0,1, potem je q = 1 – p = 0,9. Z uporabo Bernoullijeve formule dobimo

, ,

, .

Nadzor: .

Zato zahtevani distribucijski zakon:

Problem 4. Proizvedeno 5000 nabojev. Verjetnost, da je ena kartuša okvarjena . Kakšna je verjetnost, da bodo v celotni seriji natanko 3 okvarjene kartuše?

rešitev. Uporabno Poissonova porazdelitev: Ta porazdelitev se uporablja za določitev verjetnosti, da je za zelo veliko

število testov (masovnih testov), ​​pri vsakem od katerih je verjetnost dogodka A zelo majhna, se bo dogodek A zgodil k-krat: , Kje .

Tukaj je n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Najdemo , nato želeno verjetnost: .

Problem 5. Pri streljanju do prvega zadetka z verjetnostjo zadetka p = 0,6 pri streljanju morate najti verjetnost, da bo do zadetka prišlo ob tretjem strelu.

rešitev. Uporabimo geometrijsko porazdelitev: naj bodo izvedeni neodvisni poskusi, pri vsakem od katerih ima dogodek A verjetnost pojava p (in ne-pojavitve q = 1 – p). Test se konča takoj, ko pride do dogodka A.

Pod takšnimi pogoji je verjetnost, da se bo dogodek A zgodil v k-tem poskusu, določena s formulo: . Tukaj je p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4; k = 3. Zato je .

Problem 6. Naj bo podan porazdelitveni zakon naključne spremenljivke X:

Poiščite matematično pričakovanje.

rešitev. .

Upoštevajte, da je verjetnostni pomen matematičnega pričakovanja povprečna vrednost naključne spremenljivke.

Problem 7. Poiščite varianco naključne spremenljivke X z naslednjim porazdelitvenim zakonom:

rešitev. Tukaj .

Porazdelitveni zakon za kvadrat vrednosti X 2 :

Zahtevana varianca: .

Disperzija označuje mero odstopanja (razpršenosti) naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja.

Problem 8. Naj bo naključna spremenljivka podana s porazdelitvijo:

Poiščite njegove numerične značilnosti.

Rešitev: m, m 2 ,

M 2 , m.

Za naključno spremenljivko X lahko rečemo: njeno matematično pričakovanje je 6,4 m z varianco 13,04 m 2 , oziroma – njegovo matematično pričakovanje je 6,4 m z odstopanjem m je očitno bolj jasno.

Naloga 9. Naključna spremenljivka X podana z distribucijsko funkcijo:
.

Poiščite verjetnost, da bo kot rezultat testa vrednost X prevzela vrednost iz intervala .

rešitev. Verjetnost, da bo X prevzel vrednost iz danega intervala, je enaka prirastku integralne funkcije v tem intervalu, tj. . V našem primeru in torej

.

Naloga 10. Diskretna naključna spremenljivka X ki ga določa distribucijski zakon:

Poiščite distribucijsko funkcijo F(x ) in ga narišite.

rešitev. Ker je distribucijska funkcija,

Za , To

ob ;

ob ;

ob ;

ob ;

Ustrezen grafikon:

Problem 11. Zvezna naključna spremenljivka X podana z diferencialno porazdelitveno funkcijo: .

Poiščite verjetnost zadetka X na interval

rešitev. Upoštevajte, da je to poseben primer zakona eksponentne porazdelitve.

Uporabimo formulo: .

Naloga 12. Poiščite numerične značilnosti diskretne naključne spremenljivke X, določene z distribucijskim zakonom:

Izpostavimo lahko najpogostejše zakone porazdelitve diskretnih naključnih spremenljivk:

• Binomski zakon porazdelitve
• Poissonov zakon porazdelitve
• Geometrični porazdelitveni zakon
• Hipergeometrični zakon porazdelitve

Za dane porazdelitve diskretnih naključnih spremenljivk se izračun verjetnosti njihovih vrednosti, pa tudi numeričnih značilnosti (matematično pričakovanje, varianca itd.) Izvede z uporabo določenih "formul". Zato je zelo pomembno poznati te vrste porazdelitev in njihove osnovne lastnosti.

1. Binomski zakon porazdelitve.

Za diskretno naključno spremenljivko $X$ velja zakon binomske porazdelitve verjetnosti, če ima vrednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ z verjetnostmi $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\levo(1-p\desno))^(n-k)$. Pravzaprav je naključna spremenljivka $X$ število pojavitev dogodka $A$ v $n$ neodvisnih poskusih. Zakon verjetnostne porazdelitve naključne spremenljivke $X$:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \pike & n \\
\hline
p_i & P_n\levo(0\desno) & P_n\levo(1\desno) & \pike & P_n\levo(n\desno) \\
\hline
\konec(matrika)$

Za takšno naključno spremenljivko je matematično pričakovanje $M\left(X\right)=np$, varianca je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Primer . Družina ima dva otroka. Ob predpostavki, da je verjetnost, da bosta imela fantka in deklico, enaka $0,5$, poiščite zakon porazdelitve naključne spremenljivke $\xi$ - števila fantov v družini.

Naj bo naključna spremenljivka $\xi $ število fantov v družini. Vrednosti, ki jih $\xi lahko sprejme:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$. Verjetnosti teh vrednosti je mogoče najti s formulo $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, kjer je $n =2$ število neodvisnih poskusov, $p=0,5$ je verjetnost, da se dogodek zgodi v nizu $n$ poskusov. Dobimo:

$P\levo(\xi =0\desno)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\levo(1-0,5\desno))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\levo(\xi =1\desno)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\levo(1-0,5\desno))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\levo(\xi =2\desno)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\levo(1-0,5\desno))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25 $

Potem je porazdelitveni zakon naključne spremenljivke $\xi $ ujemanje med vrednostmi $0,\ 1,\ 2$ in njihovimi verjetnostmi, to je:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\konec(matrika)$

Vsota verjetnosti v zakonu porazdelitve mora biti enaka $1$, to je $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 dolar.

Pričakovanje $M\levo(\xi \desno)=np=2\cdot 0,5=1$, varianca $D\levo(\xi \desno)=np\levo(1-p\desno)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, standardna deviacija $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \desno))=\sqrt(0,5 )\približno 0,707 $.

2. Poissonov zakon porazdelitve.

Če lahko diskretna naključna spremenljivka $X$ sprejme samo nenegativne cele vrednosti $0,\ 1,\ 2,\ \pike ,\ n$ z verjetnostmi $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\nad (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Komentiraj. Posebnost te porazdelitve je, da na podlagi eksperimentalnih podatkov najdemo ocene $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, če so dobljene ocene blizu druga drugi, potem imamo razlog za trditev, da je naključna spremenljivka podvržena Poissonovemu zakonu porazdelitve.

Primer . Primeri naključnih spremenljivk, za katere velja Poissonov zakon porazdelitve, so lahko: število avtomobilov, ki jih bo jutri oskrbovala bencinska črpalka; število pokvarjenih artiklov v proizvedenih izdelkih.

Primer . Tovarna je v bazo poslala izdelkov za 500 $. Verjetnost poškodbe izdelka med prevozom je 0,002 $. Poiščite zakon porazdelitve naključne spremenljivke $X$, ki je enaka številu poškodovanih izdelkov; kaj je $M\levo(X\desno),\ D\levo(X\desno)$.

Naj bo diskretna naključna spremenljivka $X$ število poškodovanih izdelkov. Za takšno naključno spremenljivko velja Poissonov zakon porazdelitve s parametrom $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Verjetnosti vrednosti so enake $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\levo(X=0\desno)=((1^0)\nad (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\levo(X=1\desno)=((1^1)\nad (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\levo(X=2\desno)=((1^2)\čez (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\levo(X=3\desno)=((1^3)\čez (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\levo(X=4\desno)=((1^4)\nad (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\levo(X=5\desno)=((1^5)\nad (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\levo(X=6\desno)=((1^6)\nad (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\levo(X=k\desno)=(((\lambda )^k)\nad (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Porazdelitveni zakon naključne spremenljivke $X$:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\nad (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\konec(matrika)$

Za takšno naključno spremenljivko sta matematično pričakovanje in varianca enaka drug drugemu in sta enaka parametru $\lambda $, to je $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ lambda =1$.

3. Geometrični porazdelitveni zakon.

Če lahko diskretna naključna spremenljivka $X$ zavzame le naravne vrednosti $1,\ 2,\ \pike ,\ n$ z verjetnostmi $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ desno)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \pike $, potem pravijo, da je taka naključna spremenljivka $X$ predmet geometrijskega zakona porazdelitve verjetnosti. Pravzaprav je geometrijska porazdelitev Bernoullijev test do prvega uspeha.

Primer . Primeri naključnih spremenljivk, ki imajo geometrijsko porazdelitev, so lahko: število strelov pred prvim zadetkom v tarčo; število preizkusov naprave do prve okvare; število metov kovancev, dokler se ne pojavi prva glava itd.

Matematično pričakovanje in varianca naključne spremenljivke, ki je predmet geometrijske porazdelitve, sta enako $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2.

Primer . Na poti premikanja rib do mesta drstitve je ključavnica $4$. Verjetnost, da gre riba skozi vsako zaporo, je $p=3/5$. Konstruirajte niz porazdelitev naključne spremenljivke $X$ - število zapornic, ki jih ribe prečkajo pred prvim zadržanjem na zapornici. Poiščite $M\levo(X\desno),\ D\levo(X\desno),\ \sigma \levo(X\desno)$.

Naj bo naključna spremenljivka $X$ število zapornic, ki jih riba preleti pred prvo zaustavitvijo na zapornici. Za takšno naključno spremenljivko velja geometrijski zakon porazdelitve verjetnosti. Vrednosti, ki jih lahko zavzame naključna spremenljivka $X: $ 1, 2, 3, 4. Verjetnosti teh vrednosti se izračunajo po formuli: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, kjer je: $ p=2/5$ - verjetnost, da bo riba zadržana skozi zapornico, $q=1-p=3/5$ - verjetnost, da bo riba šla skozi zapornico, $k=1,\ 2, \ 3, \ 4 $.

$P\levo(X=1\desno)=((2)\nad (5))\cdot (\levo(((3)\nad (5))\desno))^0=((2)\ nad (5))=0,4;$

$P\levo(X=2\desno)=((2)\nad (5))\cdot ((3)\nad (5))=((6)\nad (25))=0,24 $

$P\levo(X=3\desno)=((2)\nad (5))\cdot (\levo(((3)\nad (5))\desno))^2=((2)\ nad (5))\cdot ((9)\nad (25))=((18)\nad (125))=0,144;$

$P\levo(X=4\desno)=((2)\nad (5))\cdot (\levo(((3)\nad (5))\desno))^3+(\levo(( (3)\nad (5))\desno))^4=((27)\nad (125))=0,216.$

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\levo(X_i\desno) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\konec(matrika)$

Matematično pričakovanje:

$M\levo(X\desno)=\vsota^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Razpršenost:

$D\levo(X\desno)=\vsota^n_(i=1)(p_i(\levo(x_i-M\levo(X\desno)\desno))^2=)0,4\cdot (\ levo( 1-2176\desno))^2+0,24\cdot (\levo(2-2176\desno))^2+0,144\cdot (\levo(3-2176\desno))^2+$

$+\0,216\cdot (\levo(4-2,176\desno))^2\približno 1,377.$

Standardni odklon:

$\sigma \levo(X\desno)=\sqrt(D\levo(X\desno))=\sqrt(1377)\približno 1173.$

4. Hipergeometrični zakon porazdelitve.

Če $N$ objektov, med katerimi ima $m$ objektov dano lastnost. $n$ objektov je naključno pridobljenih brez vrnitve, med katerimi je bilo $k$ objektov, ki imajo dano lastnost. Hipergeometrična porazdelitev omogoča oceno verjetnosti, da ima točno $k$ predmetov v vzorcu določeno lastnost. Naj bo naključna spremenljivka $X$ število predmetov v vzorcu, ki imajo določeno lastnost. Potem so verjetnosti vrednosti naključne spremenljivke $X$:

$P\levo(X=k\desno)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\nad (C^n_N))$

Komentiraj. Statistična funkcija HYPERGEOMET čarovnika za funkcije Excel $f_x$ vam omogoča, da določite verjetnost, da bo določeno število testov uspešno.

$f_x\to$ statistični$\do$ HIPERGEOMET$\do$ OK. Prikaže se pogovorno okno, ki ga morate izpolniti. V kolumni Število_uspehov_v_vzorcu navedite vrednost $k$. velikost_vzorca je enako $n$. V kolumni Število_uspehov_skupaj navedite vrednost $m$. velikost_populacije je enako $N$.

Matematično pričakovanje in varianca diskretne naključne spremenljivke $X$, za katero velja zakon geometrijske porazdelitve, sta enako $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\levo(1 -((m)\nad (N))\desno)\levo(1-((n)\nad (N))\desno))\nad (N-1))$.

Primer . V kreditnem oddelku banke je zaposlenih 5 strokovnjakov z višjo finančno izobrazbo in 3 strokovnjaki z višjo pravno izobrazbo. Vodstvo banke se je odločilo poslati 3 strokovnjake, da izboljšajo svoje kvalifikacije, in jih izbralo v naključnem vrstnem redu.

a) Naredite razdelitveno serijo za število strokovnjakov z višjo finančno izobrazbo, ki jih je mogoče poslati, da izboljšajo svoje znanje;

b) Poiščite numerične značilnosti te porazdelitve.

Naj bo slučajna spremenljivka $X$ število strokovnjakov z višjo finančno izobrazbo med tremi izbranimi. Vrednosti, ki jih lahko sprejme $X: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Ta naključna spremenljivka $X$ je porazdeljena v skladu s hipergeometrično porazdelitvijo z naslednjimi parametri: $N=8$ - velikost populacije, $m=5$ - število uspehov v populaciji, $n=3$ - velikost vzorca, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - število uspehov v vzorcu. Potem lahko verjetnosti $P\left(X=k\right)$ izračunate z uporabo formule: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ nad C_( N)^(n) ) $. Imamo:

$P\levo(X=0\desno)=((C^0_5\cdot C^3_3)\nad (C^3_8))=((1)\nad (56))\približno 0,018;$

$P\levo(X=1\desno)=((C^1_5\cdot C^2_3)\nad (C^3_8))=((15)\nad (56))\približno 0,268;$

$P\levo(X=2\desno)=((C^2_5\cdot C^1_3)\nad (C^3_8))=((15)\nad (28))\približno 0,536;$

$P\levo(X=3\desno)=((C^3_5\cdot C^0_3)\nad (C^3_8))=((5)\nad (28))\približno 0,179.$

Nato porazdelitveni niz naključne spremenljivke $X$:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\konec(matrika)$

Izračunajmo numerične značilnosti naključne spremenljivke $X$ z uporabo splošnih formul hipergeometrične porazdelitve.

$M\levo(X\desno)=((nm)\nad (N))=((3\cdot 5)\nad (8))=((15)\nad (8))=1875.$

$D\levo(X\desno)=((nm\levo(1-((m)\nad (N))\desno)\levo(1-((n)\nad (N))\desno)) \nad (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\nad (8))\desno)\cdot \left(1-((3)\nad (8) ))\desno))\nad (8-1))=((225)\nad (448))\približno 0,502.$

$\sigma \levo(X\desno)=\sqrt(D\levo(X\desno))=\sqrt(0,502)\približno 0,7085.$