Pojasni, kaj je kvadratura kroga. Matematične raziskave
kvadratura kroga
slavni starodavni problem konstruiranja kvadrata, ki je po velikosti enak danemu krogu. Poskusi reševanja kvadrature kroga s šestilom in ravnilom (enostransko, brez delitev) so bili neuspešni, ker problem se spusti v konstrukcijo dolžinskega odseka, kar je, kot so dokazali v 19. stoletju, nemogoče. Problem postane rešljiv, če se za gradnjo uporabijo druga sredstva.
Kvadratura kroga
problem iskanja kvadrata, ki je po velikosti enak danemu krogu. S QC razumemo tako problem natančne konstrukcije kvadrata, ki je enak velikosti kroga, kot problem izračuna površine kroga z enim ali drugim približkom. Problem natančnega računa so sprva poskušali rešiti s pomočjo šestila in ravnila. Matematika antike je poznala vrsto primerov, ko je bilo s pomočjo teh orodij mogoče preoblikovati ukrivljena figura v premočrtno enako veliko (glej npr. Hipokratovo lunulo). Poskusi reševanja problema kozmosa, ki so trajali tisočletja, so se vedno končali neuspešno. Od leta 1775 je Pariška akademija znanosti in nato druge akademije začela zavračati upoštevanje del, posvečenih računstvu, šele v 19. stoletju. je bilo dano znanstveno podlago te zavrnitve: nerešljivost K. k s pomočjo šestila in ravnila je strogo ugotovljena.
Če je polmer kroga r, potem je stranica kvadrata, ki je enaka temu krogu, enaka. Naloga se torej skrči na naslednje: izvesti konstrukcijo, zaradi katere bi dani segment (r) pomnožili z dano številko(). Grafično množenje odseka s številom pa je mogoče izvesti s šestilom in ravnilom, če je omenjeno število koren algebrske enačbe s celimi koeficienti, rešljive v kvadratnih radikalih. Tako bi lahko končno jasnost vprašanja kozmosa dosegli s preučevanjem aritmetične narave števila p. Ob koncu 18. stol. nemški matematik I. Lambert in francoski matematik A. Legendre sta ugotovila iracionalnost števila p. Leta 1882 nem. matematik F. Lindemann je dokazal, da je število p (in torej) transcendentalno, to pomeni, da ne zadošča nobenemu algebrska enačba s celimi koeficienti. Lindemannov izrek je končal poskuse reševanja problema kozmičnih kvadratov s šestilom in ravnilom. Problem QC postane rešljiv, če se razširijo konstrukcijska sredstva. Že grško. geometri so vedeli, da je mogoče računati z uporabo transcendentalnih krivulj; Prvo rešitev problema QK je izvedel Dinostrat (4. stoletje pr. n. št.) z uporabo posebne krivulje - tako imenovane kvadratrice (glej črto). Za problem iskanja približne vrednosti števila p glej čl. Pi.
Lit.: O kvadraturi kroga (Arhimed, Huygens, Lambert, Legendre). Z uporabo zgodovine vprašanja, prev. iz nemščine, 3. izd., M. ≈ Leningrad, 1936; Stroik D. Ya., Kratek esej zgodovina matematike, prev. iz nemščine, 2. izd., M., 1969.
Wikipedia
Kvadratura kroga
Kvadratura kroga- naloga, ki sestoji iz iskanja načina, kako s šestilom in ravnilom sestaviti kvadrat, ki je po površini enak danemu krogu. Poleg trisekcije kota in podvojitve kocke je eden najbolj znanih nerešljivih problemov za gradnjo s šestilom in ravnilom.
Če določimo R polmer določenega kroga, x- dolžina stranice zahtevanega kvadrata, torej v moderno razumevanje, se problem zmanjša na rešitev enačbe: x = π R, iz česar dobimo: $x = \sqrt(\pi) R \približno 1(,)77245 R.$ Dokazano je, da je s šestilom in ravnilom nemogoče natančno sestaviti takšno vrednost.
Uvod
Starogrški matematiki so dosegli izredno veliko spretnosti v geometrija ches formacije z z uporabo šestila in ravnila. Vendar so tri naloge kljubovale njihovim prizadevanjem. Minilo je na tisoče let in šele v našem času so končno prejeli njihove rešitve.
Te tri velike naloge so: sestaviti kvadrat, ki je enak velikosti danega kroga (ali, na kratko, kvadratura kroga); delitev je poljubna podani kot ali loki na tri enake dele (ali trisekcija kota) in konstrukcija kocke, katere prostornina je dvakratna prostornina dane kocke (ali podvojitev kocke).
Kvadratura kroga
matematična kocka antika kvadrat
Zgodovina ugotavljanja kvadrature kroga je trajala štiri tisočletja, sam izraz pa je postal sinonim za nerešljive probleme. Kot izhaja iz podobnosti krogov, je razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom konstantna vrednost, ki ni odvisna od polmera kroga; označena je s črko r. Tako je obseg kroga s polmerom r enak 2 r r , in ker je območje kroga S = rr 2 , potem se problem kvadrature kroga zmanjša na problem konstruiranja trikotnika z osnovo 2 rr in višina r . Nato je zanj mogoče zlahka sestaviti enak kvadrat.
Problem se je torej zmanjšal na konstruiranje odseka, katerega dolžina je enaka obodu danega kroga. To je pokazal Arhimed v svojem delu "Merjenje kroga", kjer dokazuje, da je število r manj kot
Ampak več kot
tiste. 3,1408< n < 3,1429.
Dandanes s pomočjo računalnika število r izračunano na milijon števk, kar je bolj tehnično kot znanstveni interes, ker nihče ne potrebuje takšne natančnosti. Deset števk števila n (n = =3,141592653...) je povsem dovolj za vse praktične namene. Dolgo časa kot približek r Uporabljali so število 22/7, čeprav že v 5. st. na Kitajskem so našli približek 355/113=3,1415929..., ki je bil v Evropi ponovno odkrit šele v XY1. IN Starodavna Indija r velja za enako v10= =3,1622…. Francoski matematik F. Viet je leta 1579 izračunal r z 9 znaki. Nizozemski matematik Ludolf Van Zeijlen je leta 1596 objavil rezultat svojega desetletnega dela - številko r, izračunano z 32 ciframi.
Toda vsa ta pojasnila pomena števila r so bili izdelani po metodah, ki jih je nakazal Arhimed: krog je bil nadomeščen s poligonom z vsemi veliko število straneh Obseg včrtanega mnogokotnika je bil manjša dolžina kroga, obseg opisanega mnogokotnika pa je večji. Ostalo pa je nejasno, ali je število r racionalno, tj. razmerje dveh celih števil ali iracionalno. Šele leta 1767 je nemški matematik I.G. Lambert je dokazal, da je število r iracionalna, več kot sto let pozneje leta 1882 pa je drug nemški matematik F. Lindemann dokazal njeno transcendentnost, kar je pomenilo, da s šestilom in ravnilom ni mogoče sestaviti kvadrata, ki je enako velik danemu krogu.
Seveda je bilo izumljenih veliko različnih načinov za približno določitev kvadrature kroga s pomočjo šestila in ravnila. Torej, v Stari Egipt pravilo je bilo razširjeno: površina kroga je enaka površini kvadrata s stranico 8/9; r = 256/81 = = 3,1604….
Našli so tudi druge načine za določanje kvadrature kroga: poleg šestila in ravnila so uporabljali druga orodja ali posebej zgrajene krivulje. Torej, v 5. st. pr. n. št Grški matematik Hipij iz Elide je izumil krivuljo, ki je kasneje postala znana kot Dinostratova kvadratriksa (ime je dobila po drugem starogrški matematik, ki je živel malo pozneje in nakazal
metoda konstruiranja kvadrature kroga z uporabo te krivulje).
Vendar ne v v praktičnem smislu Ljudi je zanimal problem kvadrature kroga, vendar jih je zanimala njegova temeljna plat: ali je mogoče ta problem natančno rešiti tako, da ga sestavimo s šestilom in ravnilom?
Sledi problema kvadrature kroga so vidni v staroegipčanskih in babilonskih spomenikih 2. tisočletja pr. Neposredno formulacijo problema kvadrature kroga pa prvič najdemo v grških delih 5. stoletja. pr. n. št Plutarh v svojem delu »O izgnanstvu« pravi, da je filozof in astronom Anaksagora (500-428 pr. n. št.) v zaporu odganjal žalost z razmišljanjem o problemu kvadrature kroga. Slavni grški pesnik Aristofan v komediji »Ptice« (414 pr. n. št.) v šali o kvadraturi kroga položi astronomu Metonu v usta naslednje besede:
Vzel bom ravnilo in narisal ravno črto,
In v trenutku se bo krog spremenil v kvadrat,
Na sredini bomo postavili trg,
In ulice bodo odšle od njega -
No, kot sonce! Čeprav sama
In okrogle, a žarki so ravni!
Ti verzi kažejo, da je bila naloga v Grčiji takrat že zelo priljubljena. Eden od Sokratovih sodobnikov, sofist Antifon, je verjel, da lahko kvadraturo kroga naredimo na naslednji način: v krog vpišimo kvadrat in razdelimo na pol loke, ki ustrezajo njegovim stranicam, sestavimo pravilen včrtan osmerokotnik, nato šestkotnik, itd., dokler ne dobimo mnogokotnika, ki se bo zaradi majhnosti stranic zlil s krogom. Ker pa je mogoče sestaviti kvadrat, ki je po površini enak kateremu koli mnogokotniku, potem krog Lahko kvadrat.
riž. 1
Vendar je že Aristotel nakazal, da bi bila to le približna, ne pa natančna rešitev problema, saj mnogokotnik nikoli ne more sovpadati s krogom.
Najslavnejši geometer 5. stoletja je preučeval tudi kvadraturo kroga. pr. n. št - Hipokrat s Chiosa. Mnogi, ki so se ukvarjali s to nalogo, so dvomili, ali je sploh mogoče sestaviti premočrtno figuro, ki je po velikosti enaka krivočrtni. To možnost je dokazal Hipokrat, ki je zgradil figure v obliki lune (slika 1), znane kot »Hipokratove lune«. V polkrogu s premerom sonce enakokraki vpisani pravokotni trikotnik VI (VA = AC). Vklopljeno AB in AC, kot na premerih so opisani polkrogi. Številke meniskusa ALBM in ADCE, omejeni s krožnimi loki in se imenujejo lunule. Po Pitagorovem izreku imamo:
pr.n.št./ 2 = AB 2 + klimatska naprava 2 = 2AC 2 . (1)
Razmerje površin krogov ali polkrogov VMAES in AECD je enako, kot je sam Hipokrat prvič dokazal, razmerju kvadratov ustreznih premerov, ki je na podlagi (1) enako 2. Torej, površina sektorja OAS enaka površini polkroga, zgrajenega na premeru AC.Če iz obeh enake površine odšteti skupna površina segment ACE, potem dobimo to površino trikotnika AOC enaka površini luknje ADCE, ali pa je vsota ploščin obeh lukenj enaka ploščini enakokraki trikotnik VSA. Hipokrat je našel še druge luknje, ki so omogočale kvadraturo, in nadaljeval raziskovanje v upanju, da bo prišel do kvadrature kroga, kar pa mu seveda ni uspelo.
Različni drugi poskusi v tisočih letih, da bi našli kvadrat kroga, so bili vedno neuspešni. Šele v 80. letih leta XIX V. Strogo je dokazano, da kvadratura kroga s šestilom in ravnilom ni mogoča.
Problem kvadrature kroga postane rešljiv, če poleg šestila in ravnila uporabimo še druga sredstva za konstrukcijo. Torej, nazaj v 4. stol. pr. n. št Grška matematika Dinostrat in Menaechmus sta za rešitev problema uporabila eno krivuljo, ki so jo našli že v 5. stoletju. pr. n. št Hipija iz Elide. Vendar znanstveniki Stara Grčija in njihovi privrženci niso bili zadovoljni s takšnimi rešitvami, ki so presegale uporabo šestila in ravnila. Biti sprva čist geometrijski problem, kvadratura kroga se je skozi stoletja razvila v izjemno pomemben problem aritmetično-algebraične narave, povezan s številom pi, in prispevala k razvoju novih konceptov in idej v matematiki.
Ta izraz je kvadratura kroga, verjetno ste že kje naleteli na to. Vendar je malo verjetno, da bo kdo takoj rekel, kaj to pomeni in s čim se jedo. Na prvi približek se zdi. Da je to analog izraza "območje kroga". Vendar to nikakor ne drži.
Znano je, da je geometrija ena najstarejših ved, saj je nastala iz življenjske nuje.
Geometrija v dobesednem prevodu pomeni meritev zemlje. Že od nekdaj so ljudje morali meriti zemljo. Kako ga lahko izmerite in primerjate površine med seboj, če niso ravni? Vse vrste trikotnih, trapeznih itd. Na splošno se je pojavila potreba - pojavila se je znanost. Istočasno so stari matematiki imeli najbolj primitivna orodja, kompas in ravnilo. In odločili so se, da bodo samo s temi orodji zgradili kvadrat, ki je po površini enak ustreznemu krogu.
Toda, "ne glede na to, kako močno si se boril, Yaga, ni bilo nič iz tega" - s šestilom in ravnilom niso mogli sestaviti kroga in kvadrata, enakega po površini.
Tukaj je tisto, kar Wikipedia pravi o tem: Če za mersko enoto vzamemo polmer kroga in z x označimo dolžino stranice želenega kvadrata, se problem zmanjša na rešitev enačbe: x 2 = π , kjer: . Kot veste, lahko s pomočjo šestila in ravnila izvedete vse 4 aritmetične operacije in izvlečete kvadratni koren , sledi, da je kvadratura kroga mogoča, če in samo če, če uporabljate končno število Takšna dejanja lahko sestavijo segment dolžine π. Tako nerešljivost tega problema izhaja iz nealgebraične narave števila π , kar je leta 1882 dokazal Lindemann. To nerešljivost pa je treba razumeti kot nerešljivost pri uporabi samo šestila in ravnila. Problem kvadrature kroga postane rešljiv, če poleg šestila in ravnila uporabimo še druga sredstva ...
Drugi zanimivi izrazi iz ruskega govora:
Kadilo je splošno ime kadilo, ki prekajeno ne le pred oltarji
Zanimiv izraz - grešni kozel. Besedna zveza je neizrečena, vendar je vse v redu
Zanimiv izraz je kupiti prašiča v žaklju. Lahko ga označimo kot intuitivno
Slavček je najbolj prijetna ptica pevka, ki živi v prostranosti Rusije. Zakaj od vseh
Kuzkina mama(ali pokažite Kuzkino mamo) - nastavljena fraza posredno
Izraz medsebojna odgovornost je izraz neposredni pomen, torej pomeni
Že od pradavnine so številna ljudstva verjela v to krokodil joče, Kdaj
Umri težko- ta izraz je običajno povezan z zajetjem Švedske s strani Petra Velikega
izraz z rdečo nitjo nima veze z ideologijo. In ima povezavo
Kvašeno domoljubje – kratka, do tarče naravnana ironična definicija za
super Kitajski zid - največja arhitekturno-gradbena dela
Izraz do Caesar-caesarean svetopisemski izvor, kot mnogi drugi
Naj vas ne zmede ta idiotska formulacija, sestavljena posebej za
kitajski obredi – to frazeološko enoto pogosto uporabljamo v pogovoru. kako
Po izražanju uliti zvonovi popolnoma nemogoče je uganiti, kakšen drug pomen
Verst- Ruska dolžinska mera, ki je obstajala v Rusiji pred uvedbo metrike
Kolos naprej noge iz gline - to je nekakšna značilnost ali ocena nečesa
O izvoru izraza Kolumbovo jajce različnih virov poročaj približno
Zanimiv izraz je kupiti prašiča v žaklju. Lahko ga označimo kot intuitivno
Če ta izraz naj rdeči petelin leti bere tujec, ki študira
Izraz brez kosti za zbiranje precej poznan našim ruskim ušesom. Njegovo
Že od antičnih časov, še pred pojavom geometrije, so ljudje dolžinske mere vezali na svoje dele
Zdelo se je kot znan izraz, na krivem kozlu se tja ne pride . To pomeni, da
Izkazalo se je, da je nastanek te frazeološke enote neposredno povezan z vero, natančneje z
Razumem kot kokoši v zeljni juhi pravijo, ko se nepričakovano znajdejo v izjemno neprijetnih situacijah
Sirota Kazan - zelo zanimiv izraz. Sirota - razumljivo, ampak zakaj točno?
Kot kozje mleko (prejeti) - govorijo o osebi, od katere ni nobene koristi,
Kralj za en dangovorijo o voditeljih ali šefih, ki se znajdejo na oblasti
Gimpbeseda tujega izvora, pomeni, da je tanka kovina
Izraz potonejo v pozabo poznan in vsem razumljiv. Pomeni izginiti iz spomina,
Ime mesta-države Kartagina vemo iz zgodovinskih knjig
Vlečenje kostanja iz ognja - ta izraz bo dobil popolno jasnost, če dodamo
Kot bi gledal v vodo - izraz, ki je jasen po pomenu, vendar ni takoj jasen po pomenu
Zelo poznan je izraz na vrhu Ivanova, bolje rečeno, kričati na vrhu Ivanova
Izraz ali stavek in na soncu so pege poudarja, da na svetu
Izraz, tudi ko starka utrpi luknjo, govori sam zase. Po slovarju
In ti, Brutus! - izraz, ki ga poznajo skoraj vsi izobražena oseba, celo
Ivan, ki se ne spominja sorodstva – čisto ruski izraz, zakoreninjen v našem
Beseda sveče v ruščini ima več pomenov: najprej so to sveče za
Izraz narediti gore iz krtin povsem jasna ne vsebuje nobenih
Registracija Izhitsa- izraz iz kategorije stvari, ki so prešle iz našega vsakdanjega življenja v preteklost. Ampak
Začenši s črko G
Začenši s črko D
1 Sergej Deničenko:
KVADRATURE KROGA
"Kvadratura kroga", kot jaz razumem, je filozofija, ki vpliva zgodovinska tema, narejeno na matematično gradivo. Rešitev Kvadrature kroga kaže, da ni nerešljivih problemov, zato ni treba presekati (gordijskega) vozla, vse se rešuje mirno, tudi mednarodni konflikti in problem terorizma.
Reševanje Kvadrature kroga ni odkritje nečesa novega; nisem rešil problema, ampak sem pokazal, kako bi ga bilo mogoče rešiti v starih časih. To spremeni človekovo zavest, v dojemanju sebe kot pametnejšega, svojih prednikov. Kanon se sesuje: "Ne učite me živeti, jaz sem najpametnejši." Človeštvo se mora zamisliti: »Ali tako živim? Kam gre civilizacija?
V nasprotnem primeru je izguba časa razvijati temo o selitvi človeštva na druge planete. Preden Sonce ugasne, se bo človek uničil na naši grešni Zemlji, ne da bi imel čas grešiti na tujem planetu."Kvadratura kroga" je sinonim za problem, ki nima rešitve. Ali pa morate morda spremeniti svoj pristop k nalogi. Torej "Kvadratura kroga" - uporabiti morate šestilo in enostransko ravnilo (letev), da sestavite kvadrat, ki je po površini enak danemu krogu. In če spremenite pristop k rešitvi. Napredek rešitve: "Enakovrednost kvadrata in zobnika" - "Krog kvadrata" (v tem ni iskanja transcendentalnega števila Pi) In potem vam rešitev "Krog kvadrata" omogoča geometrijsko izražanje stranica kvadrata je po površini enaka danemu krogu (reši »Kvadratura kroga«) in izrazi dolžino kroga z ravnim odsekom. Vsekakor pa števili 1,7724538968686925718887244115238... in 3,1415928165250138836954861078059... nista transcendentni.
koga zanima? ta tema, rešitev najdete na spletni strani:2 Anatolij:
REŠITEV ZADAVE O KVADRATIRANJU KROGA
Naloga o KVADRATURI KROGA: s šestilom in ravnilom sestavi kvadrat, katerega ploščina je enaka ploščini danega kroga.
ROSTOVŠČIKOV ANATOLIJ VLADIMIROvič 3604 364780
Potreba po konstrukciji je posledica nezmožnosti zelo natančnega izračuna površine kroga in dolžine kroga brez sklicevanja na parametre sorazmernega kvadrata.
Kvadrat je edini geometrijski lik, katerih površina in obseg sta izračunana z najmanjšo količino aritmetične operacije z absolutno natančnostjo rezultata.
Tako končna rešitev problema ni toliko konstrukcija samega kvadrata (zaradi kvadrata), temveč izračun površine kroga in oboda z največjo natančnostjo glede na kvadrat.
Rezultati izračunov teh parametrov na tradicionalen način so izraženi z napako, vključeno v število Pi, ker vrednost tega kazalnika se določi z izračunom stranic in površin neskončno število trikotniki.
Natančnost rezultatov izračuna površine kroga in obsega kroga v spodnjih izračunih ne presega napake rezultata pri pridobivanju kvadratnega korena. Večja natančnost izračuna je nemogoča, tako kot ni mogoče še bolj natančno izračunati parametrov samega kvadrata.OPOMBA:
Nekateri pomeni, definicije in reference v skladu z zakoni matematičnih in geometrijskih proporcev so predstavljeni brez komentarja.OPOMBE IN DEFINICIJE, SPREJETE PRI REŠEVANJU PROBLEMA:
D – premer kroga, (Za lažje razumevanje izračunov je vzeta vrednost D = 7)
R – polmer kroga
S – območje kroga, S = Sвк + 4Сс
L – obseg
O – središče kroga
Sok – območje obkroženega kvadrata ABCE, Sok = D2
Pok – obseg opisanega kvadrata ABCE, Pok = 4D
Sвк – površina vpisanega kvadrata A’B"C’E", Sвк = Sк / 2 = D2 / 2
Sc – območje enega segmenta
Nok/s je vrednost, ki odraža številčna vrednost razmerja Sok in Sс; (Nok/s = Sok / Sс = 14)
QC – Krožni kvadratSIMBOLI IN DEFINICIJE, SPREJETI V TESTNI MOŽNOSTI:
N’ok/s – vrednost, ki odraža številčno vrednost razmerja Sok in Sс; (N'ok/s = 14,1)
N”ok/s – vrednost, ki odraža številčno vrednost razmerja Sok in Sс; (N”ok/s = 13,9)
S'с – območje enega segmenta; (pri N'ok/s = 14,1)
S”с – območje enega segmenta; (pri N”ok/s = 13,9)
S'- območje kroga; (pri N'ok/s = 14,1)
S” - območje kroga; (pri N”ok/s = 13,9)
REŠITEV PROBLEMA:
Z diskretno zamenjavo vrednosti razmerja Sok in Sс se ugotovi:
(1) Nok/s = Sok / Sс = 14, konstOBMOČJE ENEGA SEGMENTA:
(2) Sc = Sok / 14
(3) Sс = Sвк / 7
(4) Sc = D2 / 14 = 49 / 14 = 3,5KVADRAT ŠTIRIH SEGMENTI:
(5) 4Sс = 4D2 / 14 = 196 / 14 = 14OBMOČJE KROGA:
(6) S = Svk + 4Sс = 24,5 + 14 = 38,5
(7) S = (D2 / 2) + (4D2 / 14)
(8) S = 11D2 / 14 = 539 / 14 = 38,5DOLŽINA KROG:
(9) Sok / S = Pok / L
(10) L = SPok / Sok
(11) L = (11D2 / 14) (4D) / (D2)
(12) L = 22D / 7PREGLED
1. možnost: N'ok/s = Sok / S's = 14,1 2. možnost: N'ok/s = Sok / S's = 13,9
OBMOČJE ENEGA SEGMENTA: OBMOČJE ENEGA SEGMENTA:
S's = Sok / 14,1 = 49 / 14,1 = 3,475... S's = Sok / 13,9 = 49 / 13,9 = 3,525...POVRŠINA ŠTIRIH SEGMENTOV: POVRŠINA ŠTIRIH SEGMENTOV:
4S = 4D2 / 14,1 = 196 / 14,1 = 13,9 4S = 4D2 / 13,9 = 196 / 13,9 = 14,1OBMOČJE KROGA: OBMOČJE KROGA:
S’= Svk + 4S’s = 24,5 + 13,9 = 38,4 S”= Svk + 4S”s = 24,5 + 14,1 = 38,6PLOŠČINA KROGA, (S’кк) PO FORMULI (8): PLOŠČINA KROGA, (S’кк) PO FORMULI (8):
S’kk = 11D2 / 14,1 = 539 / 14,1 = 38,227 S”kk = 11D2 / 13,9 = 539 / 13,9 = 38,777POVZETEK: POVZETEK:
S’≠ S’kk, (38,475 ≠ 38,227) S”≠ S”kk, (38,525 ≠ 38,777)ZATO:
(1) Nok/s = Sok / Sс = 14, konst
(8) S = 11D2 / 14PRIMERJALNI IZRAČUNI:
Tabela prikazuje primerjalni rezultati izračuni S in L, s poljubno izbranimi vrednostmi D z uporabo dane tehnologije, (CC) in z uporabo števila Pi, (Pi):D S L
KK Pi KK Pi
5,0 19,6428571428571 19,6349540849312 15,7142857142857 15,707963267945
6,0 28,2857142857142 28,274333882301 18,8571428571428 18,849555921534
7,0 38,5 38,4845100064652 22,0 21,991148575123
8,0 50,2857142857142 50,265482457424 25,142857142857 25,132741228712
56,78 2533,11802857142 2532,09886021077 178,451428571428 178,3796308707834 Genadij Kudrjavcev:
Na enem navpična os zgradite dva enaka kroga enega pod drugim. Od zgornje točke zgornjega kroga narišite tangente na spodnji krog. Zgornji krog bodo sekali v dveh točkah. Povežite jih z ravno črto. Zgornji del Premer zgornjega kroga, odrezanega s to ravno črto, bo enak (natančnost je zelo visoka, predlagam, da ga izračunate sami)) strani zahtevanega kvadrata.
Ali kdo pozna metodo za natančnejši rezultat?5 Genadij Kudrjavcev:
oprosti. Pozabil sem pojasniti, da se morajo krogi med seboj dotikati.
6 vasil stryzhak:
Slika prikazuje način gradnje z najboljšo natančnostjo v primerjavi s prejšnjim komentarjem.7 vasil stryzhak:
Druga možnost gradnje z več optimalna rešitev kvadratura kroga. Črtkane črte prikazujejo v krogu opisane in včrtane kvadrate s središčem O in polmerom R = 1. Krogi s središči v točkah O₁, O₂, O₃, O₄ so opisani s polmerom r = 0,5. Presečišča krogov se uporabljajo za sestavo kvadrata, ki je po velikosti enak izvirnemu krogu.9 vasil stryzhak:
Dragi Genadij! Posebej za vas se bom podrobneje posvetil izračunu napake metode po položaju. 6. Zgornjo presečišče krogov označimo s črko A. Potem je po konstrukciji O₁A=1, O₁O₂=2,25, O₂A=2. Višina hₐ trikotnika O₁AO₂ je enaka polovici strani iskanega kvadrata. Lahko se izračuna s Heronovo formulo
hₐ = 2√(p(p – a)(p – b)(p –c))/a, kjer je p = (a + b + c)/2.
Določimo absolutno napako metode: δ = 2hₐ – √π = 1,77756… – 1,77245… ≈ 0,0051, kar ustreza 0,29 %. Posledično ste naredili očitno napako v izračunih. Napaka metode glede na položaj. 7 je 0,27 %. Metode konstrukcije običajno podvržem analizi v sistemu pravokotne koordinate. Potem je lažje izračunati koordinate presečišč črt in krogov, tako med seboj kot med seboj. Dve prej predlagani možnosti za kvadraturo kroga sta najpreprostejši. Kot primer razmislite o drugem več natančna metoda stavba z absolutna napaka 0,00018, relativno pa 0,01 %.V kvadrat ABCD vpišimo krog. Ne da bi spremenili odprtino šestila, iz sredine stranice kvadrata (točka O₁), kot iz središča, naredimo prvo zarezo na krogu v točki L. Nato iz konstruirane točke, kot iz središča, z uporabo enake odprtine šestila, naredimo drugo zarezo na drugi strani kvadrata in dobimo točko G, ki se poveže s sredino nasprotna stran kvadrat. Odsek O₄G seka krog v točki H. Narišimo loke iz točk O₁, O₂, O₃, O₄ (razpolovišč stranic kvadrata) kot iz središč ukrivljenosti s polmerom r = HO₂ do presečišča z krog. Tako dobljene točke služijo za sestavo kvadrata A₁B₁C₁D₁, ki je enak krogu.
10 Genadij Kudrjavcev:
DRAGI VASIL!
imaš prav Čestitam! Srečno v novem letu. In tudi v naslednjih.11 Genadij Kudrjavcev:
Reševanje problema kvadrature kroga spodbudi idejo o rešitvi drugega, podobnega problema: kvadrature elipse.
Formulo za območje elipse je mogoče preoblikovati na naslednji način:
S = √∏R͗͗² x √∏r.²
Kvadratni koreni krogov so iste stranice kvadratov, ki so po ploščini enake tem krogom, kar spoštovani Vasil zlahka ugotovi. To pomeni, da imamo dve strani pravokotnika. In res ni problem zgraditi njemu enakega kvadrata.12 vasil stryzhak:
Dragi Genadij! Hvala za želje. V življenju imata tudi skupen uspeh. Zamisel o kvadriranju elipse je zame nova, predlagana rešitev je precej zanimiva in, kar je najpomembneje, pravilna. Če vzamemo, da je mala pol os elipse enaka enotskemu segmentu α =1, potem je stranica kvadrata, ki je enaka elipsi, določena kot c=√(πb), kjer je b velika pol os . Teoretično je mogoče sestaviti segment, ki je enak π, s katero koli stopnjo natančnosti. Opisal bom svojo različico, kako to narediti, morda kasneje, ko bom našel čas in bo prišel navdih.
13 Genadij Kudrjavcev:
Naj pojasnim drugo stališče:
– metoda rezanja stožca za pridobitev stožcev z vnaprej določenimi parametri.14 vasil stryzhak:
Če vzamemo polmer kroga kot ena, potem je dolžina polkroga število. Pravokotnik s stranicami in enako površini kroga, potem je geometrična sredina teh stranic stranica kvadrata, ki je enaka prvotnemu krogu. Razmislite o možnosti izdelave segmenta enaka dolžini polkrog in s tem rešili problem kvadrature kroga.
Na vodoravno črto iz točke kot iz središča narišemo krog s poljubnim polmerom. Okrog opišimo krog in vanj vpišimo tri stranice pravilnega šesterokotnika, ki pokrivajo polkrog, potreben za razlago snovi. Konstrukcija vključuje eno stran včrtanega šesterokotnika, pravokotno na vodoravno črto. Skozi točke in iz središča kroga narišimo dva žarka. Nato iz točke , kot iz središča, opišemo lok s polmerom, ki seka žarke v točkah in , ter vodoravno črto v točki . Gradnja se lahko izvede iz katerega koli vpisanega pravilni mnogokotnik, potem se polmer loka določi tako, da se število njegovih strani deli z dvema. Povežimo pike in. Tako dobljeni segment je enak vsoti strani, prikazanih na sliki, iz šesterokotnika, vpisanega v krog
S pomanjkljivostjo v relativni dolžini polkroga. Nato vzporedno narišite ravno črto skozi točko, dokler se ne preseka z žarki. Kot rezultat, imamo segment enaka vsoti stranicah opisanega šestkotnika
Prekomerno glede na dolžino polkroga. Zato je segment enak , tj. dolžina polkroga, se nahaja med zgrajenimi segmenti in.
Določimo lokacijo zahtevanega segmenta na naslednji način. Povežimo konce segmentov in navzkrižno, točko (sredino) pa s točkami in. Na mestih, kjer se sekajo novi segmenti, dobimo točke in . Narišimo ravno črto, ki poteka skozi te točke, dokler se ne seka z žarki v točkah in . V kolikšni meri konstruirani segment ustreza dolžini polkroga, lahko preverite z izračunom v dveh stopnjah z uporabo naslednjih formul:
, ( – enako višini trikotnika ),
Problem kvadrature kroga je izjemno znan že od antičnih časov in je tisočletja pritegnil pozornost matematikov. Pozornost pritegne predvsem zaradi preprostosti svoje formulacije: sestavite kvadrat, katerega površina bi bila enaka površini danega kroga.
Dolgo ni bilo nobenega dvoma o možnosti kvadrature kroga. To zaupanje je očitno utrdilo dejstvo, da je že v 5. st. pr. n. št e. Grški geometer Hipokrat je uspel spremeniti nekaj krožnih grudic v kvadrat (del ravnine, ki ga omejujejo loki dveh krogov. Na sliki 199 je prikazan »lunkul«, ki je po velikosti enak trikotniku (ki ga je mogoče enostavno spremeniti v kvadrat). enake velikosti).
Priljubljenost problema kvadrature kroga je rasla skupaj s številom neuspešnih poskusov njeno dovoljenje."
V 15. stoletju podane so bile domneve o nezmožnosti reševanja tega problema s šestilom in ravnilom (Leonardo da Vinci in drugi).
V 17. in 18. st. Poskušali so dokazati nerešljivost problema kvadrature kroga. Raziskave o tem vprašanju so sprožile nekatere težave na področju algebre in teorije števil.
Površina polmera kroga je enaka, tj. enaka površini kvadrata s stranico, ki je zgrajena kot sredina proporcionalni segment med segmenti
In če bi bilo mogoče, če poznamo polmer kroga, zgraditi segment dolžine, potem bi bilo enostavno zgraditi tak kvadrat.
In obratno: če bi bilo po danosti mogoče sestaviti kvadrat, ki bi bil enak krogu, potem bi bilo mogoče sestaviti odsek, ki bi bil po dolžini enak krogu. Pravzaprav: če je a stranica omenjenega kvadrata, potem je zahtevana odsek konstruiran kot četrti sorazmerni odsek na odseke 2a in na
Torej je problem ravnanja kroga enakovreden problemu "ravnanja kroga", tj. konstruiranja dolžinskega odseka, ko je dolžina kroga enaka. Zato je problem ravnanja kroga pripeljal do preučevanja lastnosti števila
Leta 1766 je slavni švicarski matematik Johann Lambert (1728-1777) podal prvi dokaz o iracionalnosti števila, ki ga je kasneje izboljšal Legendre (1752-1833). Dokaze o neracionalnosti števil so podali tudi Euler, Gauss, Hermite in drugi. A to je le začrtalo pot nadaljnjim raziskavam: iracionalnost števila še ni razrešila vprašanja o možnosti kvadrature kroga, ne v pozitivnem ne v negativnem smislu.
Da bi razumeli algebraično stran problema, se spomnimo testa za možnost konstruiranja odseka s šestilom in ravnilom (poglavje VI, § 8): če je dolžina odseka,
ki ga je mogoče sestaviti s šestilom in ravnilom, je funkcija dolžin danih segmentov, nato pa ga je mogoče izraziti z dolžinami danih segmentov z uporabo končnega števila racionalnih operacij in operacij kvadratnega korena. Samo na podlagi in ob predpostavki bomo opazili, da je treba dolžino želenega segmenta oblikovati iz 1 z uporabo samo racionalnih operacij in operacij kvadratnega korena. Znano je, da so takšna števila algebraična, tj. služijo kot koreni polinomov z racionalni koeficienti(glej npr. Kurosh, Course of Higher Algebra, 1955, § 55. Števila, ki niso algebrska, se imenujejo transcendentalna. Torej, da je problem kvadrature kroga rešljiv, mora biti število algebrsko in ne transcendentalno.
Prvi primeri transcendentnih števil so bili pridobljeni šele v drugi polovici 19. stoletja. Pozneje se je izkazalo, da je množica transcendentnih števil »močnejša«, »bogatejša« z elementi kot množica algebrska števila. Leta 1882 je bilo dokazano, da je število transcendentno število (Lindemann, 1852-1939).
Hkrati je bil dokončno rešen problem kvadrature kroga: kvadratura kroga je nemogoča s pomočjo šestila in ravnila.
Kljub temu, da problem poravnave kroga (in problem kvadrature kroga) s pomočjo šestila in ravnila ni teoretično natančno rešljiv, je mogoče navesti različne preproste tehnike približno rešitev tega problema z dovolj natančnostjo za praktične namene.
Če krog po točkah razdeliš na dovolj veliko število dovolj majhnih lokov, potem lahko obseg mnogokotnika, za katerega te točke zaporedno služijo kot oglišča, vzamemo za dolžino kroga. Ta tehnika se pogosto uporablja v praksi risanja. Njegova slabost je, da je natančnost rešitve relativno težko upoštevati.
Znano je, da je že v 3. st. pr. n. št e. Arhimed je ugotovil, da je to res. S to predpostavko je dolžinski segment sestavljen kot tri cela in ena sedmina premera danega
krogih. Ta konstrukcija daje približno rešitev problema s presežkom, relativna napaka pa ne presega
Zanimiva tehnika Italijanski geometer Mascheroni (1750-1800) je predlagal približno rektifikacijo kroga samo s šestilom. Naj bo O središče dane krožnice, A neka točka na krožnici (slika 200).
Konstruiramo štiri zaporedna oglišča pravilnega včrtanega šestkotnika: Naj bo presečišče kroga in kroga oblikovana točka v presečišču loka danega kroga s krogom. Potem je dolžina segmenta enaka ena četrtina dolžine kroga, natančno do
