Kakšna je površina tetraedra? Prostornina tetraedra
Vzemimo poljuben trikotnik ABC in točko D, ki ne leži v ravnini tega trikotnika. Povežimo to točko z oglišči trikotnika ABC z odseki. Kot rezultat dobimo trikotnike ADC, CDB, ABD. Površino, ki jo omejujejo štirje trikotniki ABC, ADC, CDB in ABD, imenujemo tetraeder in ga označimo z DABC.
Trikotnike, ki sestavljajo tetraeder, imenujemo njegove ploskve.
Stranice teh trikotnikov imenujemo robovi tetraedra. In njihova oglišča so oglišča tetraedra
Tetraeder ima 4 obrazi, 6 reber in 4 vrhovi.
Dva robova, ki nimata skupnega vrha, imenujemo nasprotna.
Pogosto se za udobje imenuje ena od ploskev tetraedra osnova, preostale tri ploskve pa so stranske.
Tako je tetraeder najpreprostejši polieder, katerega ploskve so štirje trikotniki.
Res pa je tudi, da je vsaka poljubna trikotna piramida tetraeder. Potem velja tudi, da se imenuje tetraeder piramida s trikotnikom na dnu.
Višina tetraedra imenovan segment, ki povezuje vrh s točko, ki se nahaja na nasprotni ploskvi in je pravokotna nanjo.
Mediana tetraedra imenujemo segment, ki povezuje oglišče s točko presečišča median nasprotne strani.
Bimedian tetraedra imenujemo segment, ki povezuje razpolovišča sekajočih se robov tetraedra.
Ker je tetraeder piramida s trikotno osnovo, lahko prostornino katerega koli tetraedra izračunamo po formuli
- S– območje katerega koli obraza,
- H– višina znižana na ta obraz
Pravilni tetraeder - posebna vrsta tetraedra
Tetraeder, pri katerem so vse ploskve enakostranične, se imenuje trikotnik. pravilno.
Lastnosti pravilnega tetraedra:
- Vsi robovi so enaki.
- Vsi ravninski koti pravilnega tetraedra so 60°
- Ker je vsako njegovo oglišče oglišče treh pravilnih trikotnikov, je vsota ravninskih kotov na vsakem oglišču 180°
- Vsako oglišče pravilnega tetraedra je projicirano v ortocenter nasprotne ploskve (na presečišču višin trikotnika).
Naj nam bo dan pravilni tetraeder ABCD z robovi, enakimi a. DH je njegova višina.
Naredimo dodatni konstrukciji BM - višina trikotnika ABC in DM - višina trikotnika ACD.
Višina BM je enaka BM in je enaka
Razmislite o trikotniku BDM, kjer je DH, ki je višina tetraedra, tudi višina tega trikotnika.
Višino trikotnika, spuščeno na stranico MB, lahko najdete s formulo
, Kje
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)= 
Nadomestimo te vrednosti v formulo višine. Dobimo 
Vzemimo ven 1/2a. Dobimo
Uporabimo formulo razlike kvadratov 
Po majhnih preobrazbah dobimo 
Prostornino katerega koli tetraedra lahko izračunamo s formulo
,
kje 
,
Če nadomestimo te vrednosti, dobimo 
Tako je formula prostornine pravilnega tetraedra
kje a– rob tetraedra
Izračun prostornine tetraedra, če so znane koordinate njegovih oglišč
Podane so nam koordinate oglišč tetraedra
Iz oglišča narišemo vektorje , , .
Če želite najti koordinate vsakega od teh vektorjev, odštejte ustrezno začetno koordinato od končne koordinate. Dobimo 
Odgovor: 6.
Odgovor: 000
Površina tetraedra je 1. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča strani danega tetraedra.
rešitev.
prototip.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
odgovor:
Površina tetraedra je Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Odgovor: 0,8
Površina tetraedra je 4,6. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Odgovor: 2.3
Površina tetraedra je 6. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Odgovor: 3
Površina tetraedra je 2,8. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Odgovor: 000
Površina tetraedra je 8,8. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 7. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Odgovor: 3,5
Površina tetraedra je 4,8. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 9,6. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 7,8. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 5,6. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 3,2. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 8,6. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 2,2. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 6,8. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Odgovor: 3.4
Površina tetraedra je 10,2. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 3,8. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 4. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 8. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 9. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Odgovor: 6.
Površina tetraedra je 2,4. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so središča strani danega tetraedra.
rešitev.
Ta naloga še ni rešena, predstavljamo prototipno rešitev.
Površina tetraedra je 12. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Zahtevana površina je sestavljena iz štirih parov enakih trikotnikov, od katerih ima vsak površino enako četrtini površine ploskve prvotnega tetraedra. Zato je zahtevana površina enaka polovici površine tetraedra in je enaka 6.
Opomba. To je del lekcije z geometrijskimi problemi (oddelek stereometrija, problemi o piramidi). Če morate rešiti geometrijski problem, ki ga ni tukaj, pišite o tem na forumu. V nalogah se namesto simbola "kvadratni koren" uporablja funkcija sqrt(), v kateri je sqrt simbol kvadratnega korena, radikalni izraz pa je naveden v oklepaju.Za preproste radikalne izraze se lahko uporabi znak "√".. Pravilni tetraeder- To je pravilna trikotna piramida, v kateri so vsi obrazi enakostranični trikotniki.V pravilnem tetraedru so vsi diedrski koti pri robovih in vsi triedrski koti pri ogliščih enaki
Tetraeder ima 4 ploskve, 4 oglišča in 6 robov.
Osnovne formule za pravilni tetraeder so podane v tabeli.
kje:
S - površina pravilnega tetraedra
V - prostornina
h - višina, spuščena na podlago
r - polmer kroga, včrtanega v tetraeder
R - krožni polmer
a - dolžina roba
Praktični primeri
Naloga.Poiščite površino trikotne piramide, pri kateri je vsak rob enak √3
rešitev.
Ker so vsi robovi trikotne piramide enaki, je pravilna. Površina pravilne trikotne piramide je S = a 2 √3.
Potem
S = 3√3
Odgovori: 3√3
Naloga.
Vsi robovi pravilne trikotne piramide so enaki 4 cm 
rešitev.
Ker je v pravilni trikotni piramidi višina piramide projicirana na sredino osnove, ki je tudi središče nje opisanega kroga, potem
AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3
Torej višino piramide OM lahko najdemo iz pravokotnega trikotnika AOM
AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3
Prostornino piramide najdemo s formulo V = 1/3 Sh
V tem primeru najdemo površino baze s formulo S = √3/4 a 2
V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3
Odgovori: 16√2 / 3 cm
