Kolikšen je kot med robovi? Iskanje vogalov piramide

Bom kratek. Kot med dvema premicama je enak kotu med njunima smernima vektorjema. Torej, če vam uspe najti koordinate smernih vektorjev a = (x 1; y 1; z 1) in b = (x 2; y 2 ​​​​; z 2), lahko najdete kot. Natančneje, kosinus kota po formuli:

Oglejmo si, kako ta formula deluje na konkretnih primerih:

Naloga. V kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sta označeni točki E in F - središči robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1. Poiščite kot med premicama AE in BF.

Ker rob kocke ni določen, postavimo AB = 1. Uvedemo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, osi x, y, z so usmerjene vzdolž AB, AD in AA 1. Enotski segment je enak AB = 1. Zdaj pa poiščimo koordinate smernih vektorjev za naše premice.

Poiščimo koordinate vektorja AE. Za to potrebujemo točki A = (0; 0; 0) in E = (0,5; 0; 1). Ker je točka E sredina segmenta A 1 B 1, so njene koordinate enake aritmetični sredini koordinat koncev. Upoštevajte, da izhodišče vektorja AE sovpada z izhodiščem koordinat, torej AE = (0,5; 0; 1).

Zdaj pa poglejmo vektor BF. Podobno analiziramo točki B = (1; 0; 0) in F = (1; 0,5; 1), ker F je sredina segmenta B 1 C 1. Imamo:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Torej, vektorji smeri so pripravljeni. Kosinus kota med ravnimi črtami je kosinus kota med smernima vektorjema, zato imamo:

Naloga. V pravilni trikotni prizmi ABCA 1 B 1 C 1, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki D in E - središči robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1. Poiščite kot med premicama AD in BE.

Predstavimo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, os x je usmerjena vzdolž AB, z - vzdolž AA 1. Usmerimo os y tako, da ravnina OXY sovpada z ravnino ABC. Enotski segment je enak AB = 1. Poiščimo koordinate smernih vektorjev za zahtevane premice.

Najprej poiščimo koordinate vektorja AD. Upoštevajte točke: A = (0; 0; 0) in D = (0,5; 0; 1), ker D - sredina segmenta A 1 B 1. Ker se začetek vektorja AD ujema z izhodiščem koordinat, dobimo AD = (0,5; 0; 1).

Zdaj pa poiščimo koordinate vektorja BE. Točko B = (1; 0; 0) je enostavno izračunati. S točko E - sredino segmenta C 1 B 1 - je malo bolj zapleteno. Imamo:

Ostaja še najti kosinus kota:

Naloga. V pravilni šesterokotni prizmi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki K in L - središči robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1 . Poiščite kot med premicama AK in BL.

Vstavimo standardni koordinatni sistem za prizmo: izhodišče koordinat postavimo v središče spodnje baze, os x je usmerjena vzdolž FC, os y je usmerjena skozi razpolovišči odsekov AB in DE, z os je usmerjena navpično navzgor. Enotski segment je spet enak AB = 1. Zapišimo koordinate točk, ki nas zanimajo:

Točki K in L sta razpolovišči odsekov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1, zato njune koordinate najdemo preko aritmetične sredine. Če poznamo točke, najdemo koordinate smernih vektorjev AK in BL:

Zdaj pa poiščimo kosinus kota:

Naloga. V pravilni štirikotni piramidi SABCD, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki E in F - razpolovišči stranic SB oziroma SC. Poiščite kot med premicama AE in BF.

Predstavimo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, osi x in y sta usmerjeni vzdolž AB oziroma AD, os z pa navpično navzgor. Enotski segment je enak AB = 1.

Točki E in F sta razpolovišči odsekov SB oziroma SC, zato so njune koordinate najdene kot aritmetična sredina koncev. Zapišimo koordinate točk, ki nas zanimajo:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Če poznamo točke, najdemo koordinate smernih vektorjev AE in BF:

Koordinate vektorja AE sovpadajo s koordinatami točke E, saj je točka A izhodišče. Ostaja še najti kosinus kota:

Naloga

rešitev.

Poiščimo kot naklona reber glede na ravnino baze.
Ker na dnu pravilne piramide leži pravilen štirikotnik, je v tem primeru kvadrat. Ker je višina piramide projicirana na središče baze, je to točka presečišča diagonal. Od kod izvira KN = a/2?

Trikotnik OKN je pravokotnik, OK je višina enaka 3a.
Poiščimo tangens kota KNO in ga označimo z α.

Tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = arctan 6 ≈ 80,5377°

Poiščimo naklonski kot roba piramide.
Diagonala kvadrata s stranico a je enaka a√2. Ker je višina projicirana na sredino baze, so diagonale na tej točki razdeljene na pol.

Tako je za pravokotni trikotnik OKC tangens kota KCO (označujemo ga z β) enak

Tg β = OK / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = arctan 6/√2 ≈ 76,7373°

Odgovori: kot nagiba ploskev arctg 6 ≈ 80,5377°; kot naklona reber arctg 6/√2 ≈ 76,7373°

Skozi stranico ВС je narisana ravnina VSE (sl.) pravokotno na rob AS. Diedrski koti med stranskimi ploskvami (vsi so enaki) se merijo s kotom BEC = φ . Trikotnik TEŽA je enakokrak.

Za določitev prereza S in kota φ , dovolj je najti DE (D je sredina BC). Da bi to naredili, zaporedno najdemo BS (iz trikotnika BSD, kjer je BD = a / 2 in ∠BSD = α / 2 ).

Nato BE (iz trikotnika BSE, kjer je ∠BSE = α ) in končno DE=√BE 2 -BD 2 . Dobimo

Opomba 1 . Vsota ravninskih kotov pri oglišču S je vedno manjša od 360°. Zato 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1, tj. enačba vedno ima rešitev.

Opomba 2 . če α >90°, tj. kot ASB na oglišču stranske ploskve je top, potem bo višina BE trikotnika ASB sekala nadaljevanje osnove in ravnina BEC ne bo dajala nobenega odseka piramide. Medtem formula

in pod topim kotom α (manj kot 120°, glej opombo 1) bo dala določeno vrednost S.

odgovor: φ = 2 arc sin (1/2 sek α / 2 );

Podobni primeri:

Na dnu piramide leži pravokotnik. Ena od stranskih ploskev ima obliko enakokrakega trikotnika in je pravokotna na osnovo; v drugi ploskvi, nasprotni prvi, so stranski robovi enaki b , tvorita med seboj kot 2 α in nagnjen k prvi strani pod kotom α . Določi prostornino piramide in kot med označenima ploskvama.