Čemu je enak sinus kosinus tangens kotangens? Sinus, kosinus, tangens: kaj je to? Kako najti sinus, kosinus in tangens? Računanje sinusa z uporabo drugih trigonometričnih funkcij

Učenje trigonometrije bomo začeli s pravokotnim trikotnikom. Določimo, kaj sta sinus in kosinus, pa tudi tangens in kotangens oster kot. To so osnove trigonometrije.

Naj vas spomnimo, da pravi kot je kot enak 90 stopinj. Z drugimi besedami, pol obrnjenega kota.

Ostri kot- manj kot 90 stopinj.

Topi kot- več kot 90 stopinj. V zvezi s takšnim kotom "top" ni žalitev, ampak matematični izraz :-)

Narišimo pravokotni trikotnik. Pravi kot je običajno označen z . Upoštevajte, da je stran nasproti vogala označena z isto črko, le majhna. Tako je stranski nasprotni kot A označen.

Kot je označen z ustrezno grško črko.

hipotenuza pravokotnega trikotnika je nasprotna stranica pravi kot.

Noge- strani ležita nasproti ostrih kotov.

Noga, ki leži nasproti kota, se imenuje nasprotje(glede na kot). Druga noga, ki leži na eni od stranic kota, se imenuje sosednji.

Sinus ostri kot v pravokotni trikotnik- to je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo:

Kosinus ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo nogo in hipotenuzo:

Tangenta ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje nasprotne strani do sosednje:

Druga (enakovredna) definicija: tangens ostrega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom:

Kotangens ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno (ali, kar je enako, razmerje med kosinusom in sinusom):

Upoštevajte osnovna razmerja za sinus, kosinus, tangens in kotangens spodaj. Koristili nam bodo pri reševanju problemov.

Dokažimo nekatere izmed njih.

V redu, podali smo definicije in zapisali formule. Toda zakaj še vedno potrebujemo sinus, kosinus, tangens in kotangens?

To vemo vsota kotov katerega koli trikotnika je enaka.

Poznamo razmerje med stranke pravokotni trikotnik. To je Pitagorov izrek: .

Izkazalo se je, da če poznate dva kota v trikotniku, lahko najdete tretjega. Če poznate dve strani pravokotnega trikotnika, lahko najdete tretjo. To pomeni, da imajo koti svoje razmerje, stranice pa svoje. Toda kaj storiti, če v pravokotnem trikotniku poznate en kot (razen pravega kota) in eno stran, vendar morate najti druge stranice?

S tem so se srečevali ljudje v preteklosti, ko so izdelovali zemljevide območja in zvezdnega neba. Navsezadnje ni vedno mogoče neposredno izmeriti vseh strani trikotnika.

Sinus, kosinus in tangenta - imenujemo jih tudi funkcije trigonometričnega kota- podajte razmerja med stranke in vogali trikotnik. Če poznate kot, lahko s posebnimi tabelami najdete vse njegove trigonometrične funkcije. In če poznate sinuse, kosinuse in tangente kotov trikotnika in ene od njegovih strani, lahko najdete ostalo.

Narisali bomo tudi tabelo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za "dobre" kote od do.

Upoštevajte dve rdeči pomišljaji v tabeli. Pri ustreznih kotnih vrednostih tangens in kotangens ne obstajata.

Oglejmo si več trigonometričnih problemov iz banke nalog FIPI.

1. V trikotniku je kot , . Najdi.

Problem je rešen v štirih sekundah.

Od , .

2. V trikotniku je kot , , . Najdi.

Poiščimo ga s pomočjo Pitagorovega izreka.

Problem je rešen.

Pogosto so v težavah trikotniki s koti in ali s koti in. Zapomnite si osnovna razmerja zanje na pamet!

Za trikotnik s koti in krakom nasproti kota pri je enako polovica hipotenuze.

Trikotnik s koti in je enakokrak. V njej je hipotenuza krat večja od noge.

Ogledali smo si naloge reševanja pravokotnih trikotnikov – torej iskanja neznane stranke ali koti. A to še ni vse! IN Možnosti enotnega državnega izpita v matematiki obstaja veliko problemov, ki vključujejo sinus, kosinus, tangens ali kotangens zunanjega kota trikotnika. Več o tem v naslednjem članku.

Srednja stopnja

Pravokotni trikotnik. Popolni ilustrirani vodnik (2019)

PRAVOKOTNI TRIKOTNIK. ZAČETNA STOPNJA.

Pri težavah pravi kot sploh ni potreben - spodnji levi, zato se morate naučiti prepoznati pravokotni trikotnik v tej obliki,

in v tem

in v tem

Kaj je dobrega pri pravokotnem trikotniku? No ... najprej so posebni lepa imena za njegove strani.

Pozor na risbo!

Zapomnite si in ne zamenjujte: obstajata dva kraka in samo ena hipotenuza(ena in edina, edinstvena in najdaljša)!

No, razpravljali smo o imenih, zdaj pa najpomembnejša stvar: Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek.

Ta izrek je ključ do rešitve mnogih problemov, ki vključujejo pravokotni trikotnik. Dokazal jo je Pitagora že v povsem pradavnini in od takrat je vsem, ki jo poznajo, prinesla veliko koristi. In najboljše pri tem je, da je preprosto.

Torej, Pitagorov izrek:

Se spomnite šale: "Pitagorejske hlače so enake na vseh straneh!"?

Narišimo te iste pitagorejske hlače in jih poglejmo.

Ali ne izgleda kot nekakšne kratke hlače? No, na katerih straneh in kje so enakopravni? Zakaj in od kod šala? In ta šala je povezana prav s Pitagorovim izrekom, natančneje z načinom, kako je Pitagora sam formuliral svoj izrek. In to je formuliral takole:

"Vsota površine kvadratov, zgrajen na nogah, je enak kvadratna površina, zgrajen na hipotenuzi."

Se res sliši malo drugače? In tako, ko je Pitagora narisal izjavo svojega izreka, je nastala natanko taka slika.

Na tej sliki je vsota ploščin majhnih kvadratov enaka ploščini velikega kvadrata. In da si bodo otroci bolje zapomnili, da je vsota kvadratov katet enaka kvadratu hipotenuze, se je nekdo duhovit domislil te šale o Pitagorovih hlačah.

Zakaj zdaj oblikujemo Pitagorov izrek?

Ali je Pitagora trpel in govoril o kvadratih?

Vidite, v starih časih ni bilo ... algebre! Nobenih znakov ni bilo in tako naprej. Napisov ni bilo. Si lahko predstavljate, kako grozno je bilo za uboge starodavne študente, da so se vsega spominjali z besedami??! In lahko se veselimo, da imamo preprosto formulacijo Pitagorovega izreka. Ponovimo še enkrat, da si bolje zapomnimo:

Zdaj bi moralo biti enostavno:

No, razpravljali smo o najpomembnejšem izreku o pravokotnih trikotnikih. Če vas zanima, kako se to dokazuje, preberite naslednje nivoje teorije, zdaj pa gremo naprej ... na temen gozd... trigonometrija! Na strašne besede sinus, kosinus, tangens in kotangens.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku.

Pravzaprav vse sploh ni tako strašljivo. Seveda je treba v članku pogledati "pravo" definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Ampak res nočem, kajne? Lahko se veselimo: če želite rešiti težave o pravokotnem trikotniku, lahko preprosto izpolnite naslednje preproste stvari:

Zakaj je vse tik pred vogalom? Kje je kotiček? Da bi to razumeli, morate vedeti, kako so izjave 1 - 4 zapisane z besedami. Poglejte, razumejte in zapomnite si!

1.
Pravzaprav zveni takole:

Kaj pa kot? Ali obstaja krak, ki je nasproti kotu, torej nasprotni (za kot) krak? Seveda obstaja! To je noga!

Kaj pa kot? Pazljivo poglejte. Kateri krak meji na kot? Seveda, noga. To pomeni, da je za kot krak sosednji in

Zdaj pa bodite pozorni! Poglejte, kaj imamo:

Poglejte, kako kul je:

Zdaj pa preidimo na tangens in kotangens.

Kako naj zdaj to zapišem z besedami? Kakšen je krak glede na kot? Nasproti, seveda - "leži" nasproti vogala. Kaj pa noga? V bližini vogala. Torej, kaj imamo?

Vidite, kako sta števec in imenovalec zamenjala mesti?

In zdaj spet vogali in naredili izmenjavo:

Nadaljevanje

Na kratko zapišimo vse, kar smo se naučili.

Pitagorov izrek:

Glavni izrek o pravokotnem trikotniku je Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek

Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ni zelo dobro, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje

Povsem možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, a ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži? Kako lahko to dokažem? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.

Poglejte, kako spretno smo njegove stranice razdelili na dolžine in!

Sedaj povežimo označene točke

Tu pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte risbo in pomislite, zakaj je tako.

Kolikšna je površina večjega kvadrata? prav, . Kaj pa manjša površina? Vsekakor,. Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da ju vzamemo po dve naenkrat in ju s hipotenuzama prislonimo enega na drugega. Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. To pomeni, da je površina "rezov" enaka.

Sestavimo vse skupaj.

Preobrazimo:

Pa smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.

Pravokotni trikotnik in trigonometrija

Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:

Sinus ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranico in hipotenuzo

Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjo in nasprotno stranico.

In še enkrat vse to v obliki tablete:

To je zelo priročno!

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

I. Na dveh straneh

II. Po nogi in hipotenuzi

III. S hipotenuzo in ostrim kotom

IV. Ob kraku in ostrem kotu

a)

b)

Pozor! Pri tem je zelo pomembno, da so noge »primerne«. Na primer, če gre takole:

POTEM TRIKOTNIKI NISO ENAKI, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.

Nujno je, da v obeh trikotnikih je bil krak sosednji ali pa v obeh nasproti.

Ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov? Oglejte si temo "in bodite pozorni na dejstvo, da morajo biti za enakost "navadnih" trikotnikov enaki trije njihovi elementi: dve strani in kot med njima, dva kota in stranica med njima ali tri stranice. Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super, kajne?

Približno enako je z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov

I. Vzdolž ostrega kota

II. Na dveh straneh

III. Po nogi in hipotenuzi

Mediana v pravokotnem trikotniku

Zakaj je temu tako?

Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.

Narišimo diagonalo in upoštevajmo točko – presečišče diagonal. Kaj veš o diagonalah pravokotnika?

In kaj iz tega sledi?

Tako se je izkazalo, da

1. - mediana:

Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!

Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi nasprotno.

Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko

Pazljivo poglejte. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je samo ena točka, od katere so oddaljenosti od vseh treh oglišč trikotnika enake, in to je SREDIŠČE KROGA. Kaj se je torej zgodilo?

Pa začnimo s tem "poleg ...".

Poglejmo in.

Ampak podobni trikotniki vsi koti so enaki!

Enako lahko rečemo za in

Zdaj pa ga narišimo skupaj:

Kakšno korist lahko izvlečemo iz te »trojne« podobnosti?

No, na primer - dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.

Zapišimo razmerja korespondentnih strank:

Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":

Torej, uporabimo podobnost: .

Kaj bo zdaj?

Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo:

Obe formuli si morate dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna. Zapišimo jih še enkrat

Pitagorov izrek:

V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet: .

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:

• na dveh straneh:
• po kateti in hipotenuzi: oz
• vzdolž kraka in prilegajočega ostrega kota: oz
• vzdolž kraka in nasprotnega ostrega kota: oz
• s hipotenuzo in ostrim kotom: oz.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov:

• en oster vogal: oz
• iz sorazmernosti dveh nog:
• iz sorazmernosti katete in hipotenuze: oz.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku

• Sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo:
• Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:
• Tangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:
• Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico: .

Višina pravokotnega trikotnika: oz.

V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz vrha pravega kota, enaka polovici hipotenuze: .

Območje pravokotnega trikotnika:

• preko nog:

Kosinus je znana trigonometrična funkcija, ki je tudi ena glavnih funkcij trigonometrije. Kosinus kota v trikotniku pravokotni tip je razmerje med sosednjo stranico trikotnika in hipotenuzo trikotnika. Najpogosteje je definicija kosinusa povezana s trikotnikom pravokotnega tipa. Zgodi pa se tudi, da se kot, za katerega je treba izračunati kosinus v pravokotnem trikotniku, ne nahaja v tem samem pravokotnem trikotniku. Kaj potem narediti? Kako najti kosinus kota trikotnika?

Če morate izračunati kosinus kota v pravokotnem trikotniku, potem je vse zelo preprosto. Zapomniti si morate le definicijo kosinusa, ki vsebuje rešitev tega problema. Samo najti morate enako razmerje med sosednjo stranjo in hipotenuzo trikotnika. Dejansko tukaj ni težko izraziti kosinusa kota. Formula je naslednja: - cosα = a/c, tukaj je "a" dolžina noge, stran "c" pa je dolžina hipotenuze. S to formulo je na primer mogoče najti kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika.

Če vas zanima zakaj enako kosinusu kot noter poljuben trikotnik, potem na pomoč priskoči kosinusni izrek, ki se ga splača uporabiti v podobnih primerih. Kosinusni izrek pravi, da je kvadrat stranice trikotnika a priori enak vsoti kvadratov preostalih strani istega trikotnika, vendar brez podvojitve produkta teh strani s kosinusom kota med njima.

1. Če morate najti kosinus ostrega kota v trikotniku, potem morate uporabiti naslednjo formulo: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Če morate najti kosinus v trikotniku tupi kot, potem morate uporabiti naslednjo formulo: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Oznaki v formuli - a in b - sta dolžini strani, ki mejijo na želeni kot, c - je dolžina strani, ki je nasprotna želenemu kotu.

Kosinus kota lahko izračunamo tudi s sinusnim izrekom. Pravi, da so vse stranice trikotnika sorazmerne s sinusi nasprotnih kotov. Z izrekom o sinusih lahko izračunate preostale elemente trikotnika, če imate informacije samo o dveh stranicah in kotu, ki je nasproti ene strani, ali iz dveh kotov in ene strani. Razmislite o tem s primerom. Problemski pogoji: a=1; b=2; c=3. Kot, ki je nasproti strani A, označimo z α, potem imamo po formulah: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Odgovor: 1.

Če je treba kosinus kota izračunati ne v trikotniku, ampak v neki drugi poljubni geometrijski figuri, potem postane vse nekoliko bolj zapleteno. Najprej je treba določiti velikost kota v radianih ali stopinjah in šele nato iz te vrednosti izračunati kosinus. Kosinus po numerični vrednosti se določi z uporabo Bradisovih tabel, inženirski kalkulatorji ali posebne matematične aplikacije.

Posebne matematične aplikacije imajo lahko funkcije, kot je samodejno izračunavanje kosinusov kotov v določeni sliki. Lepota takšnih aplikacij je v tem, da dajejo pravilen odgovor, uporabnik pa ne izgublja časa z rešitvijo. kompleksne naloge. Po drugi strani pa se pri stalni uporabi aplikacij izključno za reševanje problemov izgubijo vse veščine dela z rešitvijo matematične težave najti kosinuse kotov v trikotnikih, pa tudi druge poljubne figure.

Navodila

Če morate najti kosinus kota v poljubnem trikotniku morate uporabiti kosinusni izrek:
če je kot oster: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
če kot: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), kjer sta a, b dolžini stranic, ki mejijo na kot, c je dolžina stranice nasprotni kot.

Koristen nasvet

Matematični zapis za kosinus je cos.
Vrednost kosinusa ne sme biti večja od 1 in manjša od -1.

Viri:

• kako izračunati kosinus kota
• Trigonometrične funkcije na enotski krog

Kosinus je osnovna trigonometrična funkcija kota. Sposobnost določanja kosinusa je uporabna v vektorski algebri pri določanju projekcij vektorjev na različne osi.

Navodila

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Obstaja trikotnik s stranicami a, b, c enakimi 3, 4, 5 mm.

Najdi kosinus kot med večjima stranicama.

Označimo nasprotna stran in kot skozi?, potem imamo glede na zgornjo formulo:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Odgovor: 0,8.

Če je trikotnik pravokoten, potem najti kosinus in za kot je dovolj, da poznamo dolžini poljubnih dveh strani ( kosinus pravi kot je 0).

Naj obstaja pravokotni trikotnik s stranicami a, b, c, kjer je c hipotenuza.

Razmislimo o vseh možnostih:

Poiščite cos?, če sta znani dolžini strani a in b (trikotnika).

Dodatno uporabimo Pitagorov izrek:

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Da zagotovimo pravilnost dobljene formule, vanjo nadomestimo iz primera 1, tj.

Po opravljenem osnovni izračuni, dobimo:

Podobno ugotovljeno kosinus v pravokotniku trikotnik v drugih primerih:

Glede na a in c (hipotenuza in nasprotna stran), poiščite cos?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Če nadomestimo vrednosti a=3 in c=5 iz primera, dobimo:

Znani b in c (hipotenuza in sosednji krak).

Najdi cos?

Po podobnih transformacijah (prikazanih v primerih 2 in 3) dobimo v tem primeru to kosinus V trikotnik izračunano po zelo preprosti formuli:

Enostavnost izpeljane formule je mogoče razložiti preprosto: v resnici meji na vogalu? noga je projekcija hipotenuze, njena dolžina je enaka dolžini hipotenuze, pomnoženi s cos?.

Če nadomestimo vrednosti b=4 in c=5 iz prvega primera, dobimo:

To pomeni, da so vse naše formule pravilne.

Nasvet 5: Kako najti oster kot v pravokotnem trikotniku

Neposredno karbonski trikotnika je verjetno eden najbolj znanih, z zgodovinska točka vid, geometrijske oblike. Pitagorejske "hlače" se lahko kosajo le z "Eureko!" Arhimed.

Potrebovali boste

• - risanje trikotnika;
• - ravnilo;
• - kotomer

Navodila

Vsota kotov trikotnika je 180 stopinj. V pravokotnem trikotnik en kot (ravni) bo vedno 90 stopinj, ostali pa so ostri, tj. manj kot 90 stopinj vsak. Da bi ugotovili, kolikšen kot je v pravokotniku trikotnik je ravna, z ravnilom izmerite stranice trikotnika in določite največjo. To je hipotenuza (AB) in se nahaja nasproti pravega kota (C). Preostali dve stranici tvorita pravi kot in kraka (AC, BC).

Ko ugotovite, kateri kot je oster, lahko za izračun kota uporabite bodisi kotomer matematične formule.

Za določitev kota s kotomerjem poravnajte njegov vrh (označimo ga s črko A) s posebno oznako na ravnilu v sredini kotomera, krak AC naj sovpada z njegovim zgornjim robom. Na polkrožnem delu kotomerja označimo točko, skozi katero poteka hipotenuza AB. Vrednost na tej točki ustreza kotu v stopinjah. Če sta na kotomeru navedeni 2 vrednosti, potem morate za ostri kot izbrati manjši, za tup kot - večji.

Poiščite dobljeno vrednost v referenčnih knjigah Bradis in določite, kateremu kotu ustreza dobljena vrednost številčna vrednost. To metodo so uporabljale naše babice.

V našem primeru je dovolj, da vzamemo s funkcijo izračuna trigonometrične formule. Na primer vgrajeni kalkulator Windows. Zaženite aplikacijo "Kalkulator", v meniju "Pogled" izberite "Inženiring". Izračunajte sinus želenega kota, na primer sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Preklopite kalkulator na inverzne funkcije, s klikom na gumb INV na zaslonu kalkulatorja, nato kliknite na gumb funkcije arkusina (na zaslonu je prikazan kot sin na minus prvo potenco). V oknu za izračun se prikaže naslednje sporočilo: asind (0,5) = 30. Tj. vrednost želenega kota je 30 stopinj.

Viri:

• Bradisove tabele (sinusov, kosinusov)

Kosinusni izrek v matematiki se najpogosteje uporablja, ko je treba najti tretjo stran kota in dve stranici. Vendar pa je včasih pogoj problema nastavljen obratno: najti morate kot z danimi tremi stranicami.

Navodila

Predstavljajte si, da imate trikotnik, v katerem sta znani dolžini dveh stranic in vrednosti enega kota. Vsi koti tega trikotnika niso med seboj enaki, njegove stranice pa so tudi različno velike. Kot γ leži nasproti stranice trikotnika, označene z AB, ki je ta lik. Skozi ta kot, kot tudi skozi preostale stranice AC in BC, lahko najdete stran trikotnika, ki je neznana, z uporabo kosinusnega izreka in iz njega izpeljete spodnjo formulo:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, kjer je a=BC, b=AB, c=AC
Kosinusni izrek sicer imenujemo posplošen Pitagorov izrek.

Zdaj pa si predstavljajte, da so podane vse tri strani figure, njen kot γ pa ni znan. Če veste, da je oblika a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transformirajte ta izraz tako, da želena vrednost postane kot γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Nato postavite zgornjo enačbo v nekoliko drugačno obliko: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Ta izraz je treba nato pretvoriti v spodnjega: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Vse, kar ostane, je nadomestiti številke v formulo in izvesti izračune.

Če želite najti kosinus, označen z γ, ga je treba izraziti z inverzno trigonometrijo, imenovano ark kosinus. Arkus kosinus števila m je vrednost kota γ, pri kateri je kosinus kota γ enak m. Funkcija y=arccos m je padajoča. Predstavljajte si na primer, da je kosinus kota γ enak polovici. Potem lahko kot γ definiramo skozi ark kosinus na naslednji način:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, kjer je m = 1/2.
Na podoben način lahko poiščete preostale kote trikotnika z drugima dvema neznanima stranicama.

Sinus in kosinus sta dve trigonometrični funkciji, ki ju imenujemo "direktna". So tisti, ki jih je treba izračunati pogosteje kot druge, in za rešitev tega problema ima danes vsak od nas veliko izbiro možnosti. Spodaj je nekaj najbolj preprostih načinov.

Navodila

Uporabite kotomer, svinčnik in kos papirja, če ni na voljo nobenega drugega načina izračuna. Ena od definicij kosinusa je podana v smislu ostrih kotov v pravokotnem trikotniku - enaka je razmerju med dolžino kraka nasproti tega kota in dolžino. Narišite trikotnik, v katerem je eden od kotov pravi (90°), drugi pa je kot, ki ga želite izračunati. Dolžina stranic ni pomembna - narišite jih tako, kot vam je bolj priročno meriti. Izmerite dolžino želenega kraka in hipotenuze ter prvo delite z drugo s poljubno na priročen način.

Izkoristite vrednost trigonometričnih funkcij z vgrajenim kalkulatorjem iskalnik Nigma, če imaš dostop do interneta. Na primer, če morate izračunati kosinus kota 20°, potem ko naložite glavno stran storitve http://nigma.ru, vnesite v polje iskalna poizvedba"kosinus 20" in kliknite gumb "Najdi!" Lahko izpustite »stopinje« in zamenjate besedo »kosinus« s cos - v vsakem primeru bo iskalnik prikazal rezultat na 15 decimalnih mest natančno (0,939692620785908).

Odprite standardni program, nameščen z operacijski sistem Windows, če ni dostopa do interneta. To lahko storite na primer tako, da istočasno pritisnete tipki win in r, nato vnesete ukaz calc in kliknete gumb OK. Za izračun trigonometričnih funkcij je tukaj vmesnik, imenovan "inženirski" ali "znanstveni" (odvisno od različice OS) - izberite želeni element v razdelku "Pogled" v meniju kalkulatorja. Nato vnesite vrednost kota in kliknite na gumb cos v programskem vmesniku.

Video na temo

Nasvet 8: Kako določiti kote v pravokotnem trikotniku

Za pravokotnik so značilna določena razmerja med vogali in stranicami. Če poznate vrednosti nekaterih od njih, lahko izračunate druge. V ta namen se uporabljajo formule, ki temeljijo na aksiomih in izrekih geometrije.

Imenuje se razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo sinus ostrega kota pravokotni trikotnik.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika

Imenuje se razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo kosinus ostrega kota pravokotni trikotnik.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta ostrega kota pravokotnega trikotnika

Razmerje nasprotne strani proti sosednji strani se imenuje tangens ostrega kota pravokotni trikotnik.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika

Razmerje med sosednjo in nasprotno stranjo se imenuje kotangens ostrega kota pravokotni trikotnik.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus poljubnega kota

Imenuje se ordinata točke na enotskem krogu, ki ji ustreza kot \alpha sinus poljuben kot rotacija \alpha .

\sin \alpha=y

Kosinus poljubnega kota

Abscisa točke na enotskem krogu, ki ji ustreza kot \alpha, se imenuje kosinus poljubnega kota rotacija \alpha .

\cos \alpha=x

Tangenta poljubnega kota

Imenuje se razmerje med sinusom poljubnega rotacijskega kota \alpha in njegovim kosinusom tangens poljubnega kota rotacija \alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens poljubnega kota

Razmerje med kosinusom poljubnega rotacijskega kota \alpha in njegovim sinusom se imenuje kotangens poljubnega kota rotacija \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Primer iskanja poljubnega kota

Če je \alpha nek kot AOM, kjer je M točka na enotskem krogu, potem

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Na primer, če \kot AOM = -\frac(\pi)(4), potem: ordinata točke M je enaka -\frac(\sqrt(2))(2), abscisa je enaka \frac(\sqrt(2))(2) in zato

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \desno)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \levo (\frac(\pi)(4) \desno)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \levo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-1.

Tabela vrednosti sinusov kosinusov tangentov kotangensov

Vrednosti glavnih pogosto pojavljajočih se kotov so podane v tabeli: