Kako se nedoločeni integral razlikuje od določenega?

nedelja Reševanje integralov - lahka naloga , a le za nekaj izbranih. Ta članek je namenjen tistim, ki se želijo naučiti razumeti integrale, a o njih ne vedo nič ali skoraj nič. Integral ... Zakaj je potreben? Kako to izračunati? Kaj je gotovo in nedoločen integral

s? Če je edina uporaba, ki jo poznate za integral, uporaba kvačke v obliki ikone integrala, da iz težko dostopnih mest potegnete nekaj uporabnega, potem dobrodošli! Ugotovite, kako rešujete integrale in zakaj brez tega ne gre.

Preučujemo koncept "integrala" Integracijo so poznali že v Stari Egipt . Seveda ne notri moderna oblika , ampak vseeno. Od takrat so matematiki napisali veliko knjig na to temo. Še posebej so se odlikovali Newton in Leibniz , vendar se bistvo stvari ni spremenilo. Kako razumeti integrale iz nič? Ni šans! Za razumevanje te teme boste še vedno potrebovali osnovno znanje osnove matematična analiza

. Informacije o , potrebne za razumevanje integralov, že imamo na našem blogu.

Nedoločen integral Naj imamo kakšno funkcijo .

f(x) ne določen integral Naj imamo kakšno funkcijo funkcije ta funkcija se imenuje F(x) Naj imamo kakšno funkcijo .

, katerega odvod je enak funkciji

Z drugimi besedami, integral je obratna izpeljava ali antiizpeljava. Mimogrede, preberite o tem, kako v našem članku.

Protiodpeljava obstaja za vse zvezne funkcije. Prav tako se antiizpeljavi pogosto doda konstantni predznak, saj odvodi funkcij, ki se razlikujejo po konstanti, sovpadajo. Postopek iskanja integrala imenujemo integracija.

Preprost primer: Da ne bi nenehno kalkulirali antiizpeljank elementarne funkcije

, jih je priročno povzeti v tabeli in uporabiti že pripravljene vrednosti:

Določen integral Ko imamo opravka s konceptom integrala, imamo opravka z neskončno majhnimi količinami. Integral bo pomagal izračunati površino figure, maso nehomogenega telesa, prevoženo razdaljo na neenakomerno gibanje pot in še veliko več. Ne smemo pozabiti, da je integral neskončna vsota velika količina

infinitezimalni izrazi. Kot primer si predstavljajte graf neke funkcije. Kako najti območje figure, omejeno z urnikom

Uporaba integrala! Krivočrtni trapez, omejen s koordinatnimi osemi in grafom funkcije, razdelimo na infinitezimalne segmente. Tako bo slika razdeljena na tanke stolpce. Vsota površin stolpcev bo površina trapeza. Vendar ne pozabite, da bo tak izračun dal približen rezultat. Manjši in ožji ko so segmenti, bolj natančen bo izračun. Če jih zmanjšamo do te mere, da se dolžina nagiba k nič, potem se vsota površin segmentov nagiba k površini figure. To je določen integral, ki je zapisan takole:

Točki a in b pravimo limiti integracije.

Mimogrede! Za naše bralce je zdaj 10% popust na

Pravila za izračun integralov za lutke

Lastnosti nedoločenega integrala

Kako rešiti nedoločen integral? Tukaj si bomo ogledali lastnosti nedoločenega integrala, kar nam bo koristilo pri reševanju primerov.

• Odvod integrala je enak integrandu:

• Konstanto lahko vzamemo izpod integralnega znaka:

• Integral vsote enaka vsoti integrali. To velja tudi za razliko:

Lastnosti določenega integrala

• Linearnost:

• Predznak integrala se spremeni, če zamenjamo limiti integracije:

• pri katerikoli točke a, b Newton z:

Ugotovili smo že, da je določen integral limita vsote. Toda kako pri reševanju primera dobiti določeno vrednost? Za to obstaja Newton-Leibnizova formula:

Primeri reševanja integralov

Spodaj bomo obravnavali več primerov iskanja nedoločenih integralov. Predlagamo, da sami ugotovite zapletenost rešitve, in če nekaj ni jasno, postavite vprašanja v komentarjih.

Za utrjevanje snovi si oglej video, kako se integrali rešujejo v praksi. Ne obupajte, če integral ni podan takoj. Obrnite se na strokovni študentski servis, morebitne trojke oz črtni integral na zaprti površini boste to lahko storili.

Danes lahko besedo "Integral" slišimo precej pogosto in pogosto na najbolj nepričakovanih mestih, na primer na borznem kanalu na televiziji ali v novicah. Pogosto slišimo besedno zvezo “integralni kazalniki”, besedo “integriran”, “integrativen” in podobno. No, na splošno so uradniki in televizijski voditelji na splošno zelo radi drugačni pametne besede, čeprav je malo verjetno, da bodo razumeli njihov pravi pomen. In danes bomo govorili o tem, kaj je integral, kakšne vrste integralov obstajajo in kakšne so njihove razlike.

Kaj je integral

Integral je latinska beseda, ki je k nam prišlo iz antike in pomeni "Celo" ali "Polno". To pomeni, da je jasno, da če so rekli "celo število" o določenem predmetu, na primer o posodi z mlekom, je to pomenilo, da je polna in kolikor mleka je bilo v njej, toliko je ostalo.

Sčasoma se je ta beseda začela uporabljati v popolnoma različnih disciplinah - v filozofiji, politiki, ekonomiji, algebri in geometriji. Ampak večina preprosta interpretacija Matematika daje integral.

Integral je torej določena vsota posamezne dele. Tukaj je največ preprosti primeri za jasnejše razumevanje bistva tega izraza:

1. Predmet je integral (vsota) molekul.
2. List v celico je integral (vsota) celic.
3. Sončni sistem je integral (vsota) sonca in planetov.
4. Družba je sestavni del ljudi.
5. Segment je integral (vsota) metrov. če majhen segment, nato centimetri, milimetri ali mikroskopski segmenti.
6. Območje katere koli površine je integral kvadratnih metrov, kvadratnih centimetrov ali milimetrov, pa tudi mikroskopskih površin.
7. Volumen je integral kubičnih metrov ali, kot jih imenujejo tudi - litri.

Kaj so določeni in nedoločeni integrali?

Začnimo z določenim, saj je njegov pomen lažje razumeti.

Področja študija geometrije. Na primer, če želite tapetirati svoj dom, morate poznati površino sten, da boste vedeli, koliko tapet bi morali kupiti. Nato preprosto pomnožite dolžino stene z višino in dobite njeno površino. V tem primeru je to območje integral kvadratnih metrov ali centimetrov, odvisno od enot, v katerih ste ga izmerili. Toda površine, katerih površino moramo izračunati, nimajo vedno oblike pravokotnika, kvadrata ali celo kroga. V večini primerov so to kompleksne figure z valovitimi stranicami. Najpogostejši primer je površina figure pod krivuljo z enačbo y=1/x. Dejstvo je, da je nemogoče najti njegovo območje z uporabo običajnih formul, ki jih uporabljamo za iskanje površine kvadrata, kroga ali celo krogle. V ta namen je bil razvit določen integral.

Bistvo metode je, da naše kompleksna figura je treba razdeliti na zelo ozke pravokotnike, tako ozke, da je višina vsakih dveh sosednjih pravokotnikov skoraj enaka. Jasno je, da se v bistvu lahko debelina teh pravokotnikov zmanjšuje za nedoločen čas, zato se za označevanje njihove debeline uporablja dimenzija dx. X je koordinata, predpona d pa je oznaka za neskončno pomanjšano količino. Torej, ko pišemo dx, to pomeni, da vzamemo odsek vzdolž osi x, katerega dolžina je zelo majhna, skoraj enaka nič.

Torej smo se že dogovorili, da je ploščina katere koli figure integral kvadratnih metrov ali katere koli druge figure z manjšimi površinami. Potem je naš lik, katerega območje iščemo, integral ali vsota tistih neskončno tankih pravokotnikov, na katere smo ga razdelili. In njegova površina je vsota njihovih površin. To pomeni, da se naša celotna naloga zmanjša na iskanje površine vsakega od teh pravokotnikov in nato na seštevanje vseh - to je določen integral.

Zdaj pa se pogovorimo o nedoločenem integralu. Toda da bi razumeli, kaj je to, se morate najprej naučiti o izpeljanki. Pa začnimo.

Izpeljanka je kot naklona tangente na kateri koli graf v neki točki. Z drugimi besedami, izpeljanka je, koliko je graf nagnjen na dani lokaciji. Na primer, ravna črta na kateri koli točki ima enak naklon, medtem ko ima krivulja drugačen naklon, vendar se lahko ponovi. Za izračun odvoda obstajajo posebne formule, postopek izračunavanja pa se imenuje diferenciacija. Tisti. diferenciacija je določitev naklona grafa na dani točki.

In da bi naredili nasprotno - da bi ugotovili formulo grafa glede na kot njegovega naklona, ​​se zatečejo k operaciji integracije ali seštevanju podatkov o vseh točkah. Integracija in diferenciacija sta dva medsebojno inverzna procesa. Samo tukaj ne uporabljajo več istega integrala, ki je bil v prvem odstavku (za določitev območja), ampak drugega - nedoločenega, torej brez meja.

Predpostavimo, da vemo, da je odvod določene funkcije enak 5. 5 je kot naklona grafa na os x v dani točki. Nato z integracijo odvoda ugotovimo, da je funkcija tega odvoda, ki ga imenujemo tudi antiodvod, y = 5x + c, kjer je c poljubno število. Za integracijo, pa tudi za diferenciacijo, obstajajo posebne formule, ki jih najdete v tabelah.

Zaključek

Naj za konec povzamemo, da je glavna razlika med določenim in nedoločenim integralom v njunem namenu. Z določenimi integrali izračunavamo omejene parametre, kot so ploščina, dolžina ali prostornina, z nedoločenimi integrali pa parametre, ki nimajo meja, torej funkcije.

Zanimiv video na to temo:

Z določenim integralom od neprekinjena funkcija f(x) na končnem segmentu [ a, b] (kjer je ) prirastek nekaterih njegovih antiizpeljank na tem segmentu. (Na splošno bo razumevanje opazno lažje, če ponovite temo nedoločenega integrala) V tem primeru se uporablja zapis

Kot je razvidno iz spodnjih grafov (inkrement antiderivacijske funkcije je označen z ), določeni integral je lahko pozitiven oz negativno število (Izračuna se kot razlika med vrednostjo protiizpeljave v zgornji meji in njeno vrednostjo v spodnji meji, tj. kot F(b) - F(a)).

Številke a Newton b imenujemo spodnja in zgornja meja integracije, segment [ a, b] – segment integracije.

Torej, če F(x) – neka protiizpeljanka za f(x), potem je po definiciji

(38)

Enakost (38) se imenuje Newton-Leibnizova formula . Razlika F(b) – F(a) je na kratko zapisano takole:

Zato bomo Newton-Leibnizovo formulo zapisali takole:

(39)

Dokažimo, da določeni integral ni odvisen od tega, kateri protiodvod integranda vzamemo pri njegovem izračunu. Naj F(x) in F( X) so poljubni antiodvodi integranda. Ker gre za antiizpeljave iste funkcije, se razlikujejo po konstantnem členu: Ф( X) = F(x) + C. zato

To določa, da na segmentu [ a, b] prirastki vseh antiodvodov funkcije f(x) ujemanje.

Tako je za izračun določenega integrala potrebno najti kateri koli protiodvod integranda, tj. Najprej morate najti nedoločen integral. Konstanta Z izključeni iz poznejših izračunov. Nato uporabimo Newton-Leibnizovo formulo: vrednost zgornje meje nadomestimo s funkcijo antiderivacije b , nadalje - vrednost spodnje meje a in razlika se izračuna F(b) - F(a) . Dobljeno število bo določen integral..

pri a = b po definiciji sprejeti

Primer 1.

rešitev. Najprej poiščimo nedoločen integral:

Uporaba Newton-Leibnizove formule za antiizpeljavo

(pri Z= 0), dobimo

Vendar pa je pri izračunu določenega integrala bolje, da protiizpeljave ne poiščemo posebej, ampak integral takoj zapišemo v obliki (39).

Primer 2. Izračunaj določen integral

rešitev. Uporaba formule

Lastnosti določenega integrala

Izrek 2.Vrednost določenega integrala ni odvisna od oznake integracijske spremenljivke, tj.

(40)

Naj F(x) – protiizpeljanka za f(x). Za f(t) protiizpeljava ima isto funkcijo F(t), v kateri je neodvisna spremenljivka le drugače označena. torej

Na podlagi formule (39) zadnja enakost pomeni enakost integralov

Izrek 3.Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka določenega integrala, tj.

(41)

Izrek 4.Določen integral algebraične vsote končno število funkcije enake algebraična vsota določeni integrali teh funkcij, tj.

(42)

Izrek 5.Če segment integracije razdelimo na dele, potem je določen integral po celotnem segmentu enak vsoti določenih integralov po njegovih delih., tj. če

(43)

Izrek 6.Pri preurejanju meja integracije absolutna vrednost določeni integral se ne spremeni, spremeni se le njegov predznak, tj.

(44)

Izrek 7(teorem o srednji vrednosti). Določen integral enako zmnožku dolžina segmenta integracije z vrednostjo integranda na neki točki znotraj njega, tj.

(45)

Izrek 8.Če je zgornja meja integracije večja od spodnje in je integrand nenegativen (pozitiven), potem je tudi določeni integral nenegativen (pozitiven), tj. če

Izrek 9.Če je zgornja meja integracije večja od spodnje in sta funkciji in zvezni, potem velja neenakost

se lahko integrira po izrazih, tj.

(46)

Lastnosti določenega integrala omogočajo poenostavitev neposrednega izračuna integralov.

Primer 5. Izračunaj določen integral

Z uporabo izrekov 4 in 3 ter pri iskanju protiodvodov - tabelnih integralov (7) in (6) dobimo

Določen integral s spremenljivo zgornjo mejo

Naj f(x) – neprekinjeno na segmentu [ a, b] funkcijo in F(x) je njegov antiderivat. Razmislite o določenem integralu

(47)

in skozi t integracijska spremenljivka je označena tako, da je ne zamenjamo z zgornjo mejo. Pri menjavi X spremeni se tudi določeni integral (47), tj. je funkcija zgornje meje integracije X, ki jih označujemo z F(X), tj.

(48)

Dokažimo, da funkcija F(X) je protiizpeljanka za f(x) = f(t). Res, razlikovanje F(X), dobimo

ker F(x) – protiizpeljanka za f(x), A F(a) je konstantna vrednost.

funkcija F(X) – eden od neskončnega števila antiizpeljank za f(x), namreč tista, ki x = a gre na nič. To trditev dobimo, če v enačbo (48) vstavimo x = a in uporabi izrek 1 prejšnjega odstavka.

Računanje določenih integralov z metodo integracije po delih in metodo spremembe spremenljivke

kjer je po definiciji F(x) – protiizpeljanka za f(x). Če spremenimo spremenljivko v integrandu

potem lahko v skladu s formulo (16) zapišemo

V tem izrazu

antiderivativna funkcija za

Pravzaprav njena izpeljanka, po pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij, je enako

Naj sta α in β vrednosti spremenljivke t, za katerega funkcija

ustrezno zavzema vrednosti a in b, tj.

Toda glede na formulo Newton-Leibniz razlika F(b) – F(a) Obstaja

IN diferencialni račun obravnavani so bili problemi, katerih rešitev je zahtevala iskanje odvoda dane funkcije. V številnih primerih je treba rešiti inverzni problem: glede na dani derivat poiskati funkcijo, ki je bila diferencirana. Tovrstne probleme rešuje veja matematične analize, imenovana integralni račun. Metode integralni račun vam omogočajo reševanje nalog o izračunavanju ploščin ravnih likov, dolžin lokov, prostornin teles in drugih geometrijskih in fizikalnih problemov.

Primer 1. Naj bo hitrost (v) točke v trenutku (t) enaka 2t. Poiščimo izraz za koordinato točke v času (t) (točka se giblje premočrtno).

rešitev. Znano je, da je v=\frac(dx)(dt) . Ker je v tem primeru \frac(dx)(dt)=2t, so lahko odgovor na problem funkcije x=t^2; x=t^2+3 itd.; V splošni pogled

odgovor na zastavljeno vprašanje zapišemo v obliki x=t^2+C, kjer je C poljubna konstanta. Iz zgornjega primera je razvidno, da inverzni problem ima neskončen niz

odločitve. Za pridobitev določenega zakona gibanja je potrebno poznati na primer položaj točke v času t=0. Če imamo pri t=0 x=0, potem je 0=0+C in torej C=0. Premik točke v določenem časovnem obdobju je enak(b^2+C)-(a^2+C)=b^2-a^2

, in zato ni odvisen od C.

Antiderivativna funkcija Definicija 1. Naj bo funkcija y=f(x) podana na nekem intervalu X. Pokliče se funkcija y=F(x). protiizpeljanka

za f(x) na tem intervalu, če za vse x\v X

F"(x)=f(x).

Izraz "antiderivacija" je uvedel francoski matematik J. L. Lagrange (1736-1813).

Naslednji izrek nam omogoča reduciranje iskanja vseh protiodvodov dane funkcije na iskanje enega izmed njih. 1. izrek.

Če ima funkcija y=f(x) protiizpeljavo F(x) na intervalu X, potem bodo vse funkcije oblike F(x)+C zanjo protiizpeljane na istem intervalu. Nasprotno pa lahko katero koli antiizpeljavo \Phi(x) za funkcijo y=f(x),\,x\v X predstavimo kot \Phi(x)+C , kjer je F(x) ena od antiizpeljanih funkcij in C je poljubna konstanta. Dokaz.

Po definiciji protiodvoda imamo F"(x)=f(x). Ob upoštevanju, da je odvod konstante enak nič, dobimo:

To pomeni, da je F(x)+C antiizpeljana za y=f(x) na intervalu X.

Pokažimo zdaj, da če je funkcija y=f(x) podana na intervalu F in je F(x) eden od antiizvodov za f(x), potem lahko vsak protiodvod \Phi(x) predstavimo kot \Phi (x)= F(x)+C.

Pravzaprav imamo po definiciji protiizpeljave: \Phi"(x)=f(x) in F"(x)=f(x) . Toda dve funkciji, ki imata enake odvode na intervalu X, se razlikujeta le po konstantnem členu. To pomeni \Phi(x)=F(x)+C, kar je bilo treba dokazati.

Definicije nedoločenih in določenih integralov

Definicija 2. Množico vseh antiodvodov za funkcijo y=f(x) na intervalu X imenujemo nedoločen integral za f(x) in ga označimo z .

Pokliče se funkcija y=f(x). funkcija integranda Za \textstyle(\int f(x)\,dx), in produkt f(x)\,dx - integrand.

torej \int f(x)\,dx=\(F(x)+C\mid C\in \mathbb(R)\). V praksi je sprejet krajši zapis: \int f(x)\,dx=F(x)+C.

Pogosto pravijo: "vzemite nedoločen integral" ali "izračunajte nedoločen integral", kar pomeni naslednje: poiščite množico vseh protiodvodov za integrand.

Videli smo, da če ima funkcija vsaj en protiodvod, potem ima neskončno veliko antiodvodov. V praksi je pogosto treba iskati razliko v vrednostih antiizpeljave v točkah b in a. Ta razlika ni odvisna od izbire poljubne konstante C. Dejansko, če \Phi(x)=F(x)+C, potem

\Phi(b)-\Phi(b)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a).

Torej, \Phi(b)-\Phi(b)=F(b)-F(a), kar je bilo treba dokazati.

Ker razlika v vrednostih protiizpeljave v točkah b in a ni odvisna od tega, katera antiderivat funkcije Izberemo y=f(x), to razliko imenujemo določen integral funkcije po segmentu.

Definicija 3. Naj bo funkcija y=f(x) podana na odseku in ima na njej protiodvod y=F(x). Razlika F(b)-F(a) se imenuje določen integral funkcije f(x) nad segmentom in označujemo \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx). Torej,

\int\meje_(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a).

Razlika F(b)-F(a) je zapisana kot \Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b), Potem \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx= \Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)). Števili a in b se imenujeta meje integracije.

Na primer, y=\frac(x^3)(3) je eden od antiizpeljank za funkcijo y=x^2. zato

\int\meje_(a)^(b)x^2\,dx=\levo.(\frac(x^3)(3))\desno|_(a)^(b)=\frac(b^ 3)(3)-\frac(a^3)(3)=\frac(b^3-a^3)(3)\,.

Pomirimo se geometrijski smisel predstavili pojme. Naj bo F(x) protiodvod f(x). Kotni koeficient tangente v vsaki točki grafa funkcije y=F(x) je enak F"(x), tj. f(x). Zato problem iskanja antiodpeljave geometrično pomeni naslednje: vedenje pobočje tangenta na vsaki točki, poiščite krivuljo. Ker se pri vzporednem premiku vzdolž ordinatne osi kotni koeficient tangente v točki z dano absciso ne spremeni, potem, ko najdemo eno takšno krivuljo, iz nje dobimo vse druge zahtevane krivulje z vzporednim premikom v smeri ordinatno os. Ta družina krivulj (slika 1) je geometrijska ilustracija nedoločenega integrala.

Določen integral \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a)) prikazuje spremembo ordinate vsake od krivulj y=F(x)+C pri premikanju od točke a do točke b. Ker so vse te krivulje dobljene druga iz druge z vzporedno translacijo v smeri ordinatne osi, je prikazana sprememba ordinate enaka za vse krivulje (slika 2).

Razmislimo o problemih, katerih rešitev se zmanjša na izračun določenih integralov.

Naloga 1. Naj se točka M giblje premočrtno in naj je znana hitrost v=v(t) gibanja te točke v kateremkoli trenutku (x) časa (t) intervala. Poiščimo premik (s) točke M v tem časovnem obdobju.

rešitev. Vemo, da če je x=x(t) zakon gibanja točke, potem je v(t)=x"(t). Zato je x(t) eden od protiodvodov za funkcijo v=v(t ). Toda gibanje (s ) točke M v določenem časovnem obdobju je enako razliki njenih koordinat v trenutkih b in a, tj. enako x(b)-x(a). Z drugimi besedami, ta premik je enak na razliko v vrednostih protiodvoda za funkcijo v=v(t) krat b in a. s=\textstyle(\int\limits_(a)^(b)v(t)\,dt).

Na primer, hitrost telesa pri prostem padu je izražena s formulo v=gt. V tem primeru se pot, ki jo prepotuje padajoče telo v b sekundah od začetka padca, izračuna takole:

S=\int\limits_(0)^(b)gt\,dt= \left.(\frac(gt^2)(2) )\desno|_(0)^(b)= \frac(gb^ 2)(2)\,.

Naloga 2. Poiščimo območje ukrivljen trapez aA\,Bb , omejena z osjo x, ravnima črtama x=a in x=b ter grafom zvezne funkcije y=f(x), ki na tem segmentu zavzema samo nenegativne vrednosti (sl. 3).

Preden nadaljujemo z reševanjem problema, ugotavljamo, da tukaj uporabljamo vizualno predstavitev območja ravne figure (vprašanje določanja območja je podrobneje obravnavano).

rešitev. Označimo s S(x) ploščino krivočrtnega trapeza aA\,Nx\,(a

Dajmo abscisi x prirast \Delta x (za določnost dajmo \Delta x>0), potem bo območje prejelo prirast \Delta S . Z m označimo najmanjšo vrednost funkcije y=f(x) na odseku , z M pa največjo vrednost iste funkcije na istem odseku. Jasno je, da potem m\cdot\Delta x\leqslant\Delta S\leqslant M\cdot\Delta x, kar pomeni m\leqslant\frac(\Delta S)(\Delta x)\leqslant M.

Če je \Delta x\to 0, potem bomo zaradi kontinuitete funkcije y=f(x) imeli:

\lim_(\Delta x\to0)m=\lim_(\Delta x\to0)=f(x).

To pomeni, da obstaja tudi \lim\frac(\Delta S)(\Delta x), in ta meja je enaka f(x) . Tako je S"(x)=f(x) .

Nastala enakost pomeni, da je S(x) eden od protiodvodov za funkcijo y=f(x) . Ker premica x=a od trapeza aABb »odreže« lik z ničelno površino, potem je S(a)=0. Po drugi strani pa je S(b) ploščina celotnega ukrivljenega trapeza aABb. To pomeni, da je zahtevana površina S enaka (S(b)-S(a)), tj. je enaka razliki med vrednostmi enega od protiodvodov za funkcijo y=f(x) v točkah b in a. To pomeni, da

\boldsymbol(S=\int\meje_(a)^(b)f(x)\,dx\,.)

Primer 2. Poiščimo območje slike, omejeno z osjo x in enim polvalovnim sinusoidom y=\sin(x) (slika 4).

rešitev. Zahtevana površina S je izražena s formulo \textstyle(S= \int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx). Eden od protiodvodov za funkcijo y=\sin(x) je (-\cos(x)), saj (-\cos(x))"=\sin(x)). pomeni,

S= \int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(-\cos(x))\Bigr|_(0)^(\pi)= -(\ cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2.

Za zaključek tega razdelka se posvetimo dvema lastnostima nedoločenega integrala, ki ju zlahka dobimo iz definicije.

1°. Diferencial nedoločenega integrala je enak integrandu, odvod nedoločenega integrala pa integrandu:

D\!\levo(\int f(x)\,dx\desno)= f(x)\,dx,\quad \levo(\int f(x)\,dx\desno)"=f(x) .

Dokaz. Ker \textstyle(\int f(x)\,dx=F(x)+C), kjer je F"(x)=f(x) , potem \textstyle(\left(\int f(x)\,dx\right)"= \bigl(F(x)+C\bigr)"=F"(x)+C"=f(x)).

Ampak potem \textstyle(d\!\levo(\int f(x)\,dx\desno)= \levo(\int f(x)\,dx\desno)"dx=f(x)\,dx).

Ta izjava se pogosto uporablja za preverjanje rezultata integracije. Naj, na primer, to morate pokazati

\int5x\,dx=\frac(5)(2)\,x^2+C\quad (C=\text(const)).

Z diferenciranjem desne strani enakosti dobimo integrand:

\levo(\frac(5)(2)\,x^2+C\desno)"=\frac(5)(2)\cdot 2x+0=5x. pomeni, \int5x\,dx=\frac(5)(2)\,x^2+C.

2°. Nedoločeni integral odvoda neke funkcije je enak tej funkciji, dodani poljubni konstanti:

\int F"(x)\,dx=F(x)+C.

Dokaz. Ker \bigl(F(x)+C\bigr)"=F"(x), potem po definiciji nedoločenega integrala \textstyle(\int F"(x)\,dx=F(x)+C), kar je bilo treba dokazati.

Glede na to F"(x)\,dx=d\bigl(F(x)\bigr), lahko lastnost 2° zapišemo tudi takole: \textstyle(\int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C).

Tabela osnovnih integralov

Z uporabo lastnosti 1° iz prejšnjega odstavka lahko s tabelo odvodov ustvarite tabelo osnovnih integralov. Na primer od

(\sin(x))"=\cos(x), To \int\cos(x)\,dx=\sin(x)+C..

Dokažimo to \int\dfrac(1)(x)\,dx=\ln|x|+C. Dejansko, če x>0, potem |x|=x in zato \bigl(\ln|x|\bigr)"=\bigl(\ln(x)\bigr)"=\frac(1)(x)\,.

Če x<0 , то |x|=-x и, следовательно, \bigl(\ln|x|\bigr)"=\bigl(\ln(-x)\bigr)"= \frac(1)(-x)\cdot(-1)=\frac(1)(x ).

Torej, \bigl(\ln|x|\bigr)"=\frac(1)(x), kar pomeni \int\frac(1)(x)\,dx=\ln|x|+C.

To formulo je mogoče uporabiti na odprtem žarku (0;+\infty) ali na odprtem žarku (-\infty;0).

Tabela osnovnih integralov

\begin(poravnano)&\boldsymbol(1.)\quad \int 0\,dx=C; &\quad &\boldsymbol(2.)\quad \int 1\,dx=\int dx=x+C;\\ &\boldsymbol(3.)\quad \int x^(a)\,dx=\ frac(x^(a+1))(a+1)+C,~a\ne-1; &\quad &\boldsymbol(4.)\quad \int \frac(dx)(x)=\ln(x)+C;\\ &\boldsymbol(5.)\quad \int \frac(dx)( a^2+x^2)=\frac(1)(a)\operatorname(arctg)\frac(x)(a)+C; &\quad &\boldsymbol(6.)\quad \int \frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin\frac(x)(a)+C;\\ &\ krepki simbol(7.)\quad \int a^x\,dx=\frac(a^x)(\ln a)+C; &\quad &\boldsymbol(8.)\quad \int e^x\,dx=e^x+C;\\ &\boldsymbol(9.)\quad \int \sin(x)\,dx=- \cos(x)+C; &\quad &\boldsymbol(10.)\quad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C;\\ &\boldsymbol(11.)\quad \int \frac(dx)( \sin^2x)=-\imeoperatorja(ctg)x+C; &\quad &\boldsymbol(12.)\quad \int \frac(dx)(\cos^2x)=\operatorname(tg)x+C;\\ &\boldsymbol(13.)\quad \int \frac (dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln\! \levo|\frac(x-a)(x+a)\desno|+C; &\quad &\boldsymbol(14.)\quad \int \frac(dx)(\sqrt(x^2\pm a^2))=\ln \bigl|x+\sqrt(x^2\pm a^ 2)\bigr|+C.\\ \end(poravnano)

Upoštevajte, da je spremenljivko x, vključeno v te formule, mogoče zamenjati s katero koli drugo. Na primer, namesto formule \textstyle(\int\cos(x)\,dx= \sin(x)+C) lahko pišeš \textstyle(\int\cos(t)\,dt= \sin(t)+C) itd.

Primer 3. Izračunajmo nedoločene integrale različnih ulomkov:

\mathsf(1))~\int\frac(dx)(\sqrt(x))\,;\quad \mathsf(2))~\int\frac(dx)(x^2+16)\,; \quad \mathsf(3))~\int\frac(dx)(x^2-16)\,;\quad \mathsf(4))~\int\frac(dx)(\sqrt(3-x^ 2))\,;\quad \mathsf(5))~\int\frac(dx)(\sqrt(x^2-3))\,.

rešitev. 1) Uporabimo formulo 3 iz tabele integralov:

\int\frac(dx)(\sqrt(x))= \int x^(-1/3)\,dx= \frac(x^(-1/3+1))(-1/3+1 )+C= \frac(3)(2)\,x^(2/3)+C;

2) Uporabimo formulo 5: \int\frac(dx)(x^2+16)= \int\frac(dx)(x^2+4^2)=\frac(1)(4) \operatorname(arctg)\frac(x) (2)+C;.

3) Uporabimo formulo 12: \int\frac(dx)(x^2-16)= \int\frac(dx)(x^2-4^2)= \frac(1)(8)\ln\!\levo|\frac( x-4)(x+4)\desno|+C;.

4) Uporabimo formulo 6: \int\frac(dx)(\sqrt(3-x^2))= \int\frac(dx)(\sqrt((\sqrt(3))^2-x^2))= \arcsin\frac (x)(\sqrt(3))+C;.

5) Uporabimo formulo 13: \int\frac(dx)(\sqrt(x^2-3))= \ln\Bigl|x+\sqrt(x^2-3)\Bigr|+C..