Centrifugalne in centripetalne sile. Centripetalni pospešek pri gibanju v krogu: koncept in formule

Vrnimo se zdaj k naši nalogi - najti pospešek, s katerim se telo giblje v krožnici s konstantno absolutno hitrostjo.

Pospešek, kot je znano, je določen s formulo

kjer je hitrost telesa v nekem začetnem trenutku časa in je njegova hitrost po določenem času. V našem primeru sta modula hitrosti in enaka drug drugemu.

Predpostavimo, da se telo giblje po krožnici s polmerom in da je v nekem trenutku v točki A (slika 67).

Kolikšen je pospešek na tej točki? Hitrost na tej točki je usmerjena tangentno na krožnico v točki A. Po sekundi se telo znajde v točki B in njegova hitrost je zdaj

usmerjen tangencialno na krožnico v točki B. Modul hitrosti in 10 sta enaka (dolžini puščic in sta enaki).

Najti želimo pospešek v točki A kroga (trenutni pospešek). Zato moramo točki A in B vzeti blizu druga drugi, tako blizu, da se zdi, da se lok skrči v točko.

Najprej ugotovimo, kako je ta pospešek usmerjen.

Narišimo polmere iz središča O kroga v točki A in B. Polmer kroga je pravokoten na tangento v dotični točki, zato sta polmera in pravokotna na vektorja in Da ugotovimo smer vektor pospeška, morate najti vektor, ki je enak razliki med vektorjema in njegova smer je smer vektorskega pospeška. Vektorje že znamo odštevati (glej § 6). Razliko najdemo tako, da vektorje razporedimo tako, da izhajajo iz iste točke (slika 68), njihove konce pa povežemo tako, da usmerimo puščico od subtrahenda proti minuendu (od konca vektorja do konca vektorja). .Vektor je razlika vektorjev. Kaj lahko rečete o tej smeri?

Trikotnik (glej sliko 68) je enakokrak. Kot pri oglišču A je enak kotu med polmeroma in (slika 67), saj ju tvorita med seboj pravokotni stranici. Točki A in B sta blizu druga drugi, zato je kot zelo majhen (blizu nič). Vsak od kotov na dnu trikotnika je blizu pravega kota, saj je vsota kotov trikotnika enaka dvema pravima kotoma. To pomeni, da vektor

pravokotno na vektor hitrosti. To pomeni, da je pospešek pravokoten na hitrost. Toda hitrost je usmerjena tangentno na krog v točki A, tangenta pa je pravokotna na polmer. To pomeni, da je pospešek usmerjen vzdolž polmera proti središču kroga. Zato se imenuje centripetalni pospešek.

Ko se telo enakomerno giblje po krogu, je pospešek v kateri koli točki pravokoten na hitrost gibanja in usmerjen proti središču kroga.

Ta zanimiva značilnost pospeška pri krožnem gibanju s konstantno absolutno hitrostjo je prikazana na sliki 69.

Poiščimo zdaj modul centripetalnega pospeška. Če želite to narediti, morate ugotoviti, kakšna je absolutna vrednost količine. Iz slike 68 je razvidno, da je modul vektorske razlike enak dolžini segmenta malo od loka kroga (prikazanega s pikčasto črto) s središčem v točki A. Polmer tega kroga je številčno enak Toda, kot vemo (glej § 24), je dolžina takega loka enaka Zato , je absolutna vrednost pospeška enaka . Toda kotna hitrost je. zato

Pospešek telesa, ki se giblje po krogu, je zmnožek njegove linearne hitrosti in kotne hitrosti vrtenja polmera, narisanega na telo.

Bolj priročno je predstaviti formulo za centripetalni pospešek tako, da vključuje vrednost polmera kroga, po katerem se telo premika. Ker sta kotna in linearna hitrost povezana z razmerjem ( - polmer kroga), potem z zamenjavo tega izraza v formulo dobimo:

Toda zato lahko formulo za centripetalni pospešek zapišemo tudi takole:

Pri enakomernem gibanju v krožnici se telo giblje z

pospešek, ki je usmerjen radialno v središče kroga in katerega modul je določen z izrazom

Posledično velja tudi obratno: če vemo, da je hitrost telesa enaka in je pospešek telesa v vseh točkah pravokoten na vektor njegove hitrosti in je absolutno enak, potem lahko rečemo, da je tak telo se giblje v krožnici, katere polmer je določen s formulo

To pomeni, da lahko, če poznamo začetno hitrost telesa in absolutno vrednost njegovega centripetalnega pospeška, upodabljamo krog, po katerem se bo telo gibalo, in v kateremkoli trenutku najdemo njegov položaj (začetni položaj telesa mora seveda , biti znan). To bo rešilo glavni problem mehanike.

Spomnimo se, da nas pospešek pri enakomernem gibanju v krožnici zanima, ker vsako gibanje po ukrivljeni poti predstavlja gibanje po lokih krožnic različnih radijev.

Zdaj lahko rečemo, da se telo pri enakomernem gibanju na kateri koli točki krivulje giblje s pospeškom, usmerjenim proti središču kroga, katerega del je ta tirnica blizu te točke. Številčna vrednost pospeška je odvisna od hitrosti telesa na tej točki in od polmera ustreznega kroga. Slika 70 prikazuje kompleksno trajektorijo in označuje vektorje centripetalnih pospeškov na različnih točkah trajektorije.

Naloga. Letalo, ki izstopi iz potopa, se giblje v loku, ki je v spodnjem delu lok kroga s polmerom 500 m (slika 71). Izračunajte pospešek letala na najnižji točki, če je njegova hitrost 800 km/h, in to vrednost primerjajte s pospeškom težnosti.

4. Brusilno kolo, katerega polmer je 10 cm, ko se vrti, naredi 1 obrat v 0,2 sekunde. Poiščite hitrost točk, ki so najbolj oddaljene od vrtilne osi.

5. Avto se giblje po ovinkasti cesti s polmerom 100 m s hitrostjo 54 km/h. Kakšna je velikost centripetalnega pospeška avtomobila?

6. Obhodna doba prvega satelita "Vostok" okoli Zemlje je bila 90 minut. Povprečna višina satelita nad Zemljo se lahko šteje za enako 320 km. Polmer Zemlje je 6400 km. Izračunajte hitrost ladje.

7. Kakšna je hitrost avtomobila, če njegova kolesa s polmerom 30 cm naredijo 10 obratov v 1 sekundi?

8. Dve škripci, katerih polmera sta povezana z neskončnim jermenom. Vrtilna doba škripca z manjšim polmerom je 0,5 sekunde. Kakšna je hitrost gibanja točk pasu? Kolikšna je rotacijska doba drugega škripca?

9. Luna se giblje okoli Zemlje na razdalji 385.000 km od nje in naredi en obrat v 27,3 dneh. Izračunajte centripetalni pospešek Lune.

Pri preučevanju gibanja v fiziki ima koncept trajektorije pomembno vlogo. To je tisto, kar v veliki meri določa vrsto gibanja predmetov in posledično vrsto formul, ki se uporabljajo za opis tega gibanja. Ena od običajnih poti gibanja je krog. V tem članku bomo razmislili, kaj je centripetalni pospešek pri gibanju v krogu.

Koncept polnega pospeška

Preden označimo centripetalni pospešek pri gibanju v krogu, razmislimo o konceptu celotnega pospeška. Velja za fizikalno količino, ki hkrati opisuje spremembo absolutne vrednosti in vektorja hitrosti. V matematični obliki je ta definicija videti takole:

Pospešek je skupni odvod hitrosti glede na čas.

Kot je znano, je hitrost v¯ telesa v vsaki točki trajektorije usmerjena vzdolž tangente. To dejstvo nam omogoča, da ga predstavimo kot produkt modula v in enotskega tangentnega vektorja u¯, to je:

Potem lahko skupni pospešek izračunamo na naslednji način:

a¯ = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt

Količina a¯ je vektorska vsota dveh členov. Prvi člen je usmerjen tangencialno (kot hitrost telesa) in se imenuje tangencialni pospešek. Določa hitrost spremembe modula hitrosti. Drugi člen je normalni pospešek. Oglejmo si ga podrobneje kasneje v članku.

Zgornji izraz za normalno komponento pospeška an¯ zapišemo v eksplicitni obliki:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Tukaj je dl pot, ki jo telo prepotuje po trajektoriji v času dt, re¯ je enotski vektor, usmerjen v središče ukrivljenosti trajektorije, r je polmer ukrivljenosti. Dobljena formula vodi do več pomembnih lastnosti an¯ komponente celotnega pospeška:

Količina an¯ narašča kot kvadrat hitrosti in pada v obratnem sorazmerju s polmerom, kar jo razlikuje od tangencialne komponente. Slednja ni enaka nič le, če se spremeni modul hitrosti.
Normalni pospešek je vedno usmerjen proti središču ukrivljenosti, zato ga imenujemo centripetalni.

Tako je glavni pogoj za obstoj neničelne količine an¯ ukrivljenost trajektorije. Če taka ukrivljenost ne obstaja (linearni premik), potem je an¯ = 0, ker je r->∞.

Centripetalni pospešek pri gibanju v krogu

Krog je geometrijska črta, katere vse točke so enako oddaljene od določene točke. Slednjega imenujemo središče kroga, omenjeno razdaljo pa njegov polmer. Če se hitrost telesa med vrtenjem ne spremeni v absolutni vrednosti, govorimo o enakomernem gibanju po krožnici. Centripetalni pospešek v tem primeru je mogoče enostavno izračunati z eno od spodnjih formul:

Kjer je ω kotna hitrost, merjena v radianih na sekundo (rad/s). Drugo enakost dobimo s formulo za razmerje med kotno in linearno hitrostjo:

Centripetalne in centrifugalne sile

Pri enakomernem gibanju telesa po krožnici nastane centripetalni pospešek zaradi delovanja ustrezne centripetalne sile. Njegov vektor je vedno usmerjen proti središču kroga.

Narava te sile je lahko zelo raznolika. Na primer, ko oseba odvije kamen, privezan na vrv, ga na njegovi poti drži natezna sila vrvi. Drug primer delovanja centripetalne sile je gravitacijska interakcija med Soncem in planeti. Zaradi tega se vsi planeti in asteroidi gibljejo po krožnih orbitah. Sredipetalna sila ne more spremeniti kinetične energije telesa, saj je usmerjena pravokotno na njegovo hitrost.

Vsakdo bi lahko opazil, da ko avto zavije na primer v levo, so potniki stisnjeni ob desni rob notranjosti vozila. Ta proces je posledica centrifugalne sile rotacijskega gibanja. Pravzaprav je ta sila neresnična, saj je posledica inercijskih lastnosti telesa in njegove želje, da se premika po ravni poti.

Centrifugalne in centripetalne sile so enake po velikosti in nasprotne smeri. Če temu ne bi bilo tako, bi bila krožna tirnica telesa motena. Če upoštevamo drugi Newtonov zakon, potem lahko rečemo, da je med rotacijskim gibanjem centrifugalni pospešek enak centripetalnemu.

Aslamazov L.G. Krožno gibanje // Quantum. - 1972. - Št. 9. - Str. 51-57.

Po posebnem dogovoru z uredništvom in uredništvom revije Kvant

Za opis krožnega gibanja je poleg linearne hitrosti uveden koncept kotne hitrosti. Če se točka giblje po krogu v času Δ t opisuje lok, katerega kotna mera je Δφ, potem je kotna hitrost .

Kotna hitrost ω je povezana z linearno hitrostjo υ z razmerjem υ = ω r, Kje r- polmer kroga, po katerem se premika točka (slika 1). Koncept kotne hitrosti je še posebej primeren za opis vrtenja togega telesa okoli osi. Čeprav linearne hitrosti točk, ki se nahajajo na različnih razdaljah od osi, ne bodo enake, bodo njihove kotne hitrosti enake in lahko govorimo o kotni hitrosti vrtenja telesa kot celote.

Problem 1. Radiusni disk r kotali brez zdrsa na vodoravni ravnini. Hitrost središča diska je konstantna in enaka υ n S kakšno kotno hitrostjo se vrti disk?

Vsaka točka diska sodeluje v dveh gibanjih - v translacijskem gibanju s hitrostjo υ n skupaj s središčem diska in v rotacijskem gibanju okoli središča z določeno kotno hitrostjo ω.

Za iskanje ω uporabimo odsotnost zdrsa, to je dejstvo, da je v vsakem trenutku hitrost točke na disku v stiku z ravnino enaka nič. To pomeni, da za točko A(slika 2) je hitrost translacijskega gibanja υ p enaka po velikosti in v nasprotni smeri linearni hitrosti rotacijskega gibanja υ r = ω· r. Od tu takoj pridemo.

Naloga 2. Poiščite hitrost točk IN, Z in D isti disk (slika 3).

Najprej razmislimo o bistvu IN. Linearna hitrost njegovega rotacijskega gibanja je usmerjena navpično navzgor in je enaka , to je po velikosti enaka hitrosti translacijskega gibanja, ki pa je usmerjeno vodoravno. Če ti dve hitrosti vektorsko seštejemo, ugotovimo, da je nastala hitrost υ B enake velikosti in z obzorjem tvorijo kot 45°. Na točki Z hitrosti rotacijskega in translacijskega gibanja sta usmerjeni v isto smer. Rezultat hitrosti υ C enaka 2υ n in usmerjena vodoravno. Podobno se ugotovi hitrost točke D(glej sliko 3).

Tudi v primeru, ko se hitrost točke, ki se giblje v krogu, ne spremeni v velikosti, ima točka določen pospešek, saj se spremeni smer vektorja hitrosti. Ta pospešek se imenuje centripetalno. Usmerjen je proti središču kroga in je enak ( R- polmer krožnice, ω in υ - kotne in linearne hitrosti točke).

Če se hitrost točke, ki se giblje v krogu, spreminja ne samo v smeri, ampak tudi v velikosti, potem skupaj s centripetalnim pospeškom obstaja tudi t.i. tangencialno pospeševanje. Usmerjena je tangencialno na krog in je enaka razmerju (Δυ - sprememba hitrosti skozi čas Δ t).

Naloga 3. Poiščite pospešek točk A, IN, Z in D polmer diska r kotaljenje brez zdrsa na vodoravni ravnini. Hitrost središča diska je konstantna in enaka υ p (slika 3).

V koordinatnem sistemu, ki je povezan s središčem diska, se disk vrti s kotno hitrostjo ω, ravnina pa se giblje translatorno s hitrostjo υ n. Med diskom in ravnino torej ni zdrsa. Hitrost translacijskega gibanja υ n se ne spreminja, zato je kotna hitrost vrtenja diska konstantna in imajo točke diska samo centripetalni pospešek, usmerjen proti središču diska. Ker se koordinatni sistem giblje brez pospeška (s konstantno hitrostjo υ n), bodo v stacionarnem koordinatnem sistemu pospeški točk diska enaki.

Preidimo zdaj k problemom dinamike rotacijskega gibanja. Najprej si oglejmo najpreprostejši primer, ko se gibanje v krogu dogaja s konstantno hitrostjo. Ker je pospešek telesa usmerjen proti središču, mora biti tudi vektorska vsota vseh sil, ki delujejo na telo, usmerjena proti središču in po Newtonovem zakonu II.

Ne smemo pozabiti, da desna stran te enačbe vključuje samo dejanske sile, ki na dano telo delujejo iz drugih teles. št centripetalna sila se ne pojavi pri gibanju v krogu. Ta izraz se uporablja preprosto za označevanje rezultant sil, ki delujejo na telo, ki se giblje v krogu. Glede centrifugalna sila, potem nastane samo pri opisovanju gibanja v krožnici v neinercialnem (rotacijskem) koordinatnem sistemu. Tukaj sploh ne bomo uporabljali pojmov centripetalne in centrifugalne sile.

Problem 4. Določite najmanjši polmer zakrivljenosti ceste, ki jo lahko prevozi avtomobil s hitrostjo υ = 70 km/h, in koeficient trenja pnevmatik na cestišču. k =0,3.

R = m g, cestna odzivna sila n in sila trenja F tr med avtomobilskimi gumami in cesto. Pooblastila R in n usmerjen navpično in enake velikosti: p = n. Sila trenja, ki preprečuje zdrs avtomobila ("zdrs"), je usmerjena proti središču zavoja in daje centripetalni pospešek: . Največja vrednost sile trenja F tr max = k· n = k· m g, zato je iz enačbe določena najmanjša vrednost polmera kroga, po katerem je gibanje s hitrostjo υ še možno. Zato (m).

Reakcijska sila na cesti n ko se avto giblje v krogu, ne gre skozi težišče avtomobila. To je posledica dejstva, da mora njegov moment glede na težišče kompenzirati trenutek sile trenja, ki teži k prevrnitvi avtomobila. Večja kot je hitrost avtomobila, večja je sila trenja. Pri določeni hitrosti bo moment sile trenja presegel moment sile reakcije in avto se bo prevrnil.

Problem 5. S kakšno hitrostjo se avtomobil giblje po loku kroga polmera R= 130 m, ali se lahko prevrne? Težišče vozila je na višini h= 1 m nad cesto, širina koloteka avtomobila l= 1,5 m (slika 4).

V trenutku prevračanja avtomobila, kakšna je sila reakcije ceste n, in sila trenja F tr se uporabljajo za "zunanje" kolo. Ko se avtomobil giblje v krožnici s hitrostjo v, nanj deluje sila trenja. Ta sila ustvari trenutek okoli težišča avtomobila. Največji moment sile reakcije ceste n = m g glede na težišče enaka (v trenutku prevračanja poteka reakcijska sila skozi zunanje kolo). Če izenačimo te trenutke, najdemo enačbo za največjo hitrost, pri kateri se avto ne bo prevrnil:

Od koder ≈ 30 m/s ≈ 110 km/h.

Da bi se avto lahko premikal s takšno hitrostjo, je potreben koeficient trenja (glej prejšnji problem).

Podobno se zgodi pri obračanju motocikla ali kolesa. Sila trenja, ki ustvarja centripetalni pospešek, ima moment glede na težišče, ki teži k prevrnitvi motocikla. Zato se motorist za kompenzacijo tega trenutka s trenutkom sile reakcije ceste nagne proti zavoju (slika 5).

Problem 6. Motorist vozi po vodoravni cesti s hitrostjo υ = 70 km/h in zavije s polmerom R= 100 m. Pod kolikšnim kotom α glede na obzorje naj se nagne, da ne pade?

Sila trenja med motornim kolesom in cesto, saj motoristu posreduje centripetalni pospešek. Reakcijska sila na cesti n = m g. Pogoj za enakost momentov sile trenja in sile reakcije glede na težišče daje enačbo: F tr · l sin α = n· l cos α, kjer je l- razdalja OA od težišča do sledi motocikla (glej sliko 5).

Zamenjava vrednosti tukaj F tr in n, najdemo nekaj oz . Upoštevajte, da rezultantna sila n in F trp pri tem kotu nagiba motocikla poteka skozi težišče, kar zagotavlja, da je skupni moment sil enak nič n in F tr.

Da bi povečali hitrost gibanja po zakrivljeni cesti, je odsek ceste na ovinku narejen nagnjen. V tem primeru pri ustvarjanju centripetalnega pospeška poleg sile trenja sodeluje tudi sila reakcije ceste.

Problem 7. S kakšno največjo hitrostjo υ se lahko avtomobil premika po nagnjeni progi z naklonskim kotom α pri polmeru ukrivljenosti R in koeficient trenja pnevmatik na cestišču k?

Na avto deluje sila gravitacije m g, reakcijska sila n, usmerjena pravokotno na ravnino tira, in sila trenja F tr usmerjen vzdolž proge (slika 6).

Ker nas v tem primeru ne zanimajo momenti sil, ki delujejo na avto, smo narisali vse sile, ki delujejo na težišče avtomobila. Vektorska vsota vseh sil mora biti usmerjena proti središču kroga, po katerem se avtomobil premika, in mu posredovati centripetalni pospešek. Zato je vsota projekcij sil v smeri na središče (vodoravna smer) enaka , tj.

Vsota projekcij vseh sil na navpično smer je enaka nič:

n cos α – m g – F t p · sin α = 0.

V te enačbe nadomestimo največjo možno vrednost sile trenja F tp = k·N in izključuje silo n, poiščite največjo hitrost , s katerim se je še mogoče premikati po takšnem tiru. Ta izraz je vedno večji od vrednosti, ki ustreza vodoravni cesti.

Ko smo obravnavali dinamiko rotacije, preidimo na probleme, ki vključujejo rotacijsko gibanje v navpični ravnini.

Problem 8. Masovni avto m= 1,5 t se giblje s hitrostjo υ = 70 km/h po cesti, prikazani na sliki 7. Cestni odseki AB in sonce lahko štejemo za loke krogov polmera R= 200 m, ki se dotikajo drug drugega v točki IN. Določite silo pritiska avtomobila na cesto v točkah A in Z. Kako se spremeni sila pritiska, ko avto prečka točko? IN?

Na točki A na avto deluje sila gravitacije R = m g in cestno reakcijsko silo N A. Vektorska vsota teh sil mora biti usmerjena proti središču kroga, to je navpično navzdol, in ustvarja centripetalni pospešek: , od koder (N). Sila pritiska avtomobila na cesto je po velikosti enaka reakcijski sili in v nasprotni smeri. Na točki Z vektorska vsota sil je usmerjena navpično navzgor: in (N). Tako, na točki A sila pritiska je manjša od sile gravitacije in v točki Z- več.

Na točki IN avtomobil se premakne s konveksnega dela ceste na konkavni del (ali obratno). Pri vožnji po konveksnem odseku mora projekcija gravitacije proti središču presegati reakcijsko silo ceste N B 1 in . Pri vožnji po konkavnem odseku ceste, nasprotno, reakcijska sila ceste N V 2 presega projekcijo gravitacije: .

Iz teh enačb dobimo, da pri prehodu točke IN sila pritiska avtomobila na cestišče se nenadoma spremeni za količino ≈ 6·10 3 N. Takšne udarne obremenitve seveda delujejo uničujoče tako na avtomobil kot na cesto. Zato vedno poskušajo narediti ceste in mostove tako, da se njihova ukrivljenost gladko spreminja.

Ko se avto giblje po krožnici s konstantno hitrostjo, mora biti vsota projekcij vseh sil na smer tangente na krožnico enaka nič. V našem primeru je tangencialna komponenta gravitacije uravnotežena s silo trenja med kolesi avtomobila in cesto.

Velikost sile trenja uravnava navor, ki ga na kolesa prenaša motor. Ta trenutek ponavadi povzroči zdrs koles glede na cesto. Zato nastane sila trenja, ki preprečuje zdrs in je sorazmerna uporabljenemu momentu. Največja vrednost sile trenja je k·N, Kje k- koeficient trenja med pnevmatikami avtomobila in cestiščem, n- sila pritiska na cestišče. Ko se avto premika navzdol, ima sila trenja vlogo zavorne sile, ko se premika navzgor, nasprotno, vlogo vlečne sile.

Problem 9. Teža vozila m= 0,5 t, ki se giblje s hitrostjo υ = 200 km/h, naredi »mrtvo zanko« polmera R= 100 m (slika 8). Določite silo pritiska avtomobila na cesto na zgornji točki zanke A; na točki IN, katerega polmerni vektor z navpičnico tvori kot α = 30º; na točki Z, pri katerem je hitrost avtomobila usmerjena navpično. Ali je mogoče, da se avto giblje v zanki s tako konstantno hitrostjo glede na koeficient trenja med pnevmatikami in cesto? k = 0,5?

Na vrhu zanke sila gravitacije in sila reakcije ceste N A usmerjen navpično navzdol. Vsota teh sil ustvari centripetalni pospešek: . zato n.

Sila pritiska avtomobila na cesto je po velikosti enaka sili in v nasprotni smeri N A.

Na točki IN centripetalni pospešek nastane zaradi vsote reakcijske sile in projekcije gravitacije proti središču: . Od tukaj n.

To je enostavno videti nB > N A; Z večanjem kota α narašča reakcijska sila ceste.

Na točki Z reakcijska sila N; Centripetalni pospešek na tej točki ustvarja samo reakcijska sila, gravitacijska sila pa je usmerjena tangencialno. Pri premikanju po dnu zanke bo reakcijska sila presegla največjo vrednost H reakcijska sila je v točki D. Pomen , torej najmanjša vrednost reakcijske sile.

Hitrost avtomobila bo konstantna, če tangencialna komponenta gravitacije ne presega največje torne sile k·N na vseh točkah zanke. Ta pogoj je zagotovo izpolnjen, če je najmanjša vrednost presega največjo vrednost tangencialne komponente sile teže. V našem primeru je ta največja vrednost m g(se doseže na točki Z), pogoj pa je izpolnjen, ko k= 0,5, υ = 200 km/h, R= 100 m.

Tako je v našem primeru možno gibanje avtomobila po "mrtvi zanki" s konstantno hitrostjo.

Oglejmo si zdaj gibanje avtomobila v "mrtvi zanki" z ugasnjenim motorjem. Kot smo že omenili, običajno torni moment nasprotuje momentu, ki ga na kolesa prenese motor. Ko se avtomobil premika z ugasnjenim motorjem, tega trenutka ni, silo trenja med kolesi avtomobila in cesto pa lahko zanemarimo.

Hitrost avtomobila ne bo več konstantna - tangencialna komponenta gravitacije upočasni ali pospeši gibanje avtomobila v "mrtvi zanki". Spremenil se bo tudi centripetalni pospešek. Kot običajno ga ustvarita posledica reakcije ceste in projekcija gravitacije proti središču zanke.

Problem 10. Kolikšna je najmanjša hitrost, ki bi jo moral imeti avto na dnu zanke? D(glej sliko 8), da bi to naredili pri ugasnjenem motorju? Kakšna bo sila pritiska avtomobila na cesto v točki IN? Polmer zanke R= 100 m, teža vozila m= 0,5 t.

Poglejmo, kakšno najmanjšo hitrost lahko ima avto na vrhu zanke A nadaljevati gibanje v krogu?

Centripetalni pospešek na tej točki ceste nastane zaradi vsote gravitacije in reakcijske sile ceste. . Nižja kot je hitrost avtomobila, manjša je reakcijska sila. N A. Pri vrednosti ta sila postane nič. Pri nižjih hitrostih bo gravitacijska sila presegla vrednost, potrebno za ustvarjanje centripetalnega pospeška, in avto se bo dvignil s ceste. Pri hitrosti postane reakcijska sila ceste enaka nič šele na zgornji točki zanke. Pravzaprav bo hitrost avtomobila na drugih odsekih zanke večja in kot je zlahka razvidno iz rešitve prejšnjega problema, bo tudi sila reakcije ceste večja kot na točki A. Torej, če ima avto na zgornji točki zanke hitrost , se ne bo nikjer oddaljil od zanke.

Zdaj pa ugotovimo, kakšno hitrost mora imeti avto na spodnji točki zanke D, tako da na zgornji točki zanke A njegova hitrost. Da bi našli hitrost υ D lahko uporabite zakon o ohranitvi energije, kot če bi se avto premikal samo pod vplivom gravitacije. Dejstvo je, da je sila reakcije ceste v vsakem trenutku usmerjena pravokotno na gibanje avtomobila, zato je njeno delo enako nič (spomnimo se, da je delo Δ A = F·Δ s cos α, kjer je α kot med silo F in smer gibanja Δ s). Silo trenja med kolesi avtomobila in cesto pri vožnji z ugasnjenim motorjem lahko zanemarimo. Zato se vsota potencialne in kinetične energije avtomobila pri vožnji z ugasnjenim motorjem ne spremeni.

Izenačimo energijske vrednosti avtomobila v točkah A in D. V tem primeru bomo višino šteli od nivoja točke D, to pomeni, da bo potencialna energija avtomobila na tej točki enaka nič. Potem dobimo

Tu zamenjamo vrednost za želeno hitrost υ D, ugotovimo: ≈ 70 m/s ≈ 260 km/h.

Če avto pri tej hitrosti vstopi v zanko, jo bo lahko zaključil z ugasnjenim motorjem.

Ugotovimo zdaj, s kakšno silo bo avto pritisnil na cesto v točki IN. Hitrost vozila na točki IN spet zlahka ugotovimo iz zakona o ohranitvi energije:

Če tukaj zamenjamo vrednost, ugotovimo, da je hitrost .

Z rešitvijo prejšnjega problema z dano hitrostjo poiščemo silo pritiska v točki B:

Podobno lahko najdete silo pritiska na kateri koli drugi točki "mrtve zanke".

vaje

1. Poiščite kotno hitrost umetnega zemeljskega satelita, ki se vrti po krožni orbiti z orbitalno dobo T= 88 min. Poiščite linearno hitrost gibanja tega satelita, če je znano, da je njegova orbita oddaljena R= 200 km od zemeljske površine.

2. Radius disk R nameščen med dve vzporedni letvi. Lamele se gibljejo s hitrostjo υ 1 in υ 2. Določite kotno hitrost vrtenja diska in hitrost njegovega središča. Ni zdrsa.

3. Disk se kotali po vodoravni površini brez zdrsa. Pokažite, da so konci vektorjev hitrosti točk navpičnega premera na isti premici.

4. Letalo se giblje po krožnici s stalno vodoravno hitrostjo υ = 700 km/h. Določite polmer R ta krog, če je telo letala nagnjeno pod kotom α = 5°.

5. Masna obremenitev m= 100 g, obešenih na nit l= 1 m, se enakomerno vrti v krogu v vodoravni ravnini. Poiščite rotacijsko dobo bremena, če se med njegovim vrtenjem nit navpično odkloni za kot α = 30°. Določite tudi napetost niti.

6. Avto se giblje s hitrostjo υ = 80 km/h po notranji površini navpičnega valja s polmerom R= 10 m v vodoravnem krogu. Pri kolikšnem najmanjšem koeficientu trenja med pnevmatikami avtomobila in površino valja je to mogoče?

7. Masa tovora m obešena na neraztegljivo nit, katere največja možna napetost je 1,5 m g. Za kolikšen največji kot α lahko nit odklonimo od navpičnice, da se nit ne pretrga pri nadaljnjem premikanju bremena? Kakšna bo napetost niti v trenutku, ko nit z navpičnico tvori kot α/2?

odgovori

I. Kotna hitrost umetnega zemeljskega satelita ≈ 0,071 rad/s. Linearna hitrost satelita υ = ω R. kje R- polmer orbite. Zamenjava tukaj R = R 3 + h, Kje R 3 ≈ 6400 km, najdemo υ ≈ 467 km/s.

2. Tu sta možna dva primera (slika 1). Če je kotna hitrost diska ω in hitrost njegovega središča υ, bodo hitrosti točk v stiku z letvami enake

v primeru a) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = υ – ω R;

v primeru b) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = ω R – υ.

(Zaradi določnosti smo predpostavili, da je υ 1 > υ 2). Z reševanjem teh sistemov ugotovimo:

3. Hitrost katere koli točke M, ki leži na segmentu OB(glej sliko 2), ugotovljeno s formulo υ M = υ + ω· rM, Kje r M- oddaljenost od točke M na sredino diska O. Za katero koli točko n, ki pripada segmentu OA, imamo: υ n = υ – ω· rn, Kje r N- oddaljenost od točke n do centra. Z ρ označimo razdaljo od poljubne točke premera VA do točke A stik diska z ravnino. Potem je očitno, da r M = ρ – R in r N = R – ρ = –(ρ – R). kje R- polmer diska. Zato je hitrost katere koli točke na premeru VA dobimo po formuli: υ ρ = υ + ω (ρ – R). Ker se disk kotali brez zdrsa, dobimo za hitrost υ ρ υ ρ = ω·ρ. Iz tega sledi, da so konci vektorjev hitrosti na ravni črti, ki izhaja iz točke A in nagnjena na premer VA pod kotom, sorazmernim s kotno hitrostjo vrtenja diska ω.

Dokazana izjava nam omogoča, da sklepamo, da je kompleksno gibanje točk, ki se nahajajo na premeru VA, lahko v katerem koli trenutku obravnavamo kot preprosto rotacijo okoli fiksne točke A s kotno hitrostjo ω, ki je enaka kotni hitrosti vrtenja okoli središča diska. Pravzaprav so v vsakem trenutku hitrosti teh točk usmerjene pravokotno na premer VA, in po velikosti enaki produktu ω in razdalje do točke A.

Izkazalo se je, da ta izjava velja za katero koli točko na disku. Poleg tega je to splošno pravilo. Pri vsakem gibanju togega telesa v vsakem trenutku obstaja os, okoli katere se telo preprosto vrti - trenutna os vrtenja.

4. Na ravnino (glej sliko 3) deluje gravitacija R = m g in dvignite n, usmerjena pravokotno na ravnino kril (ker se letalo giblje s konstantno hitrostjo, se potisna sila in sila upora zraka uravnovesita). Rezultantna sila R

6. Sila gravitacije deluje na avto (slika 5) R = m g, reakcijska sila iz valja n in sila trenja F tr. Ker se avto giblje v vodoravnem krogu, sile R in F tr uravnotežijo drug drugega in moč n ustvarja centripetalni pospešek. Največja vrednost sile trenja je povezana z reakcijsko silo n razmerje: F tp = k·N. Kot rezultat dobimo sistem enačb: , iz katerega se najde najmanjša vrednost koeficienta trenja

7. Tovor se bo gibal po krogu polmera l(slika 6). Centripetalni pospešek bremena (υ - hitrost bremena) nastane zaradi razlike v natezni sili niti. T in projekcije gravitacije m g smer niti: . zato , kjer je β kot, ki ga tvori nit z navpičnico. Ko se obremenitev spušča, se bo njena hitrost povečala, kot β pa zmanjšal. Napetost niti bo največja pri kotu β = 0 (v trenutku, ko je nit navpična): . Največja hitrost bremena υ 0 je določena s kotom α, skozi katerega je nit odklonjena, iz zakona o ohranjanju energije:

Z uporabo tega razmerja za največjo vrednost napetosti niti dobimo formulo: T m sekira = m g·(3 – 2 cos α). Glede na pogoje problema T m sekira = 2 mg. Z enačenjem teh izrazov dobimo cos α = 0,5 in zato α = 60°.

Določimo zdaj napetost niti pri . Hitrost bremena v tem trenutku najdemo tudi iz zakona o ohranitvi energije:

Če zamenjamo vrednost υ 1 v formulo za natezno silo, ugotovimo: