Dobesedni izrazi. Spletni kalkulator. Poenostavitev polinoma

Potenca se uporablja za poenostavitev operacije množenja števila s samim seboj. Na primer, namesto pisanja lahko pišete 4 5 (\displaystyle 4^(5))(razlaga tega prehoda je podana v prvem delu tega članka). Stopnje olajšajo pisanje dolgih ali zapletenih izrazov ali enačb; potence je tudi enostavno seštevati in odštevati, kar ima za posledico poenostavljen izraz ali enačbo (npr. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Opomba:če morate rešiti eksponentno enačbo (v taki enačbi je neznanka v eksponentu), preberite.

Koraki

Reševanje preprostih problemov s stopnjami

Osnovo eksponenta pomnožite s samim seboj tolikokrat, da je enako eksponentu.Če morate problem s potenco rešiti ročno, prepišite potenco kot operacijo množenja, kjer se osnova potence pomnoži sama s seboj. Na primer, glede na diplomo 3 4 (\displaystyle 3^(4)). V tem primeru je treba osnovo moči 3 pomnožiti s samo seboj 4-krat: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Tu so še drugi primeri:

Najprej pomnožite prvi dve številki. na primer 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Brez skrbi – postopek izračuna ni tako zapleten, kot se zdi na prvi pogled. Najprej pomnožite prvi dve štirici in ju nadomestite z rezultatom. takole:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 * 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Rezultat (v našem primeru 16) pomnožite z naslednjim številom. Vsak naslednji rezultat se bo sorazmerno povečal. V našem primeru pomnožite 16 s 4. Takole:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 * 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 * 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 * 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 * 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Nadaljujte z množenjem rezultatov prvih dveh števil z naslednjim številom, dokler ne dobite končnega odgovora. Če želite to narediti, pomnožite prvi dve številki in nato dobljeni rezultat pomnožite z naslednjim številom v zaporedju. Ta metoda velja za katero koli diplomo. V našem primeru bi morali dobiti: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Rešite naslednje težave. Preverite svoj odgovor s kalkulatorjem.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na kalkulatorju poiščite ključ z oznako "exp" ali " x n (\displaystyle x^(n))« ali »^«. S to tipko povišate število na potenco. Skoraj nemogoče je ročno izračunati stopnjo z velikim indikatorjem (na primer diploma 9 15 (\displaystyle 9^(15))), vendar se kalkulator zlahka spopade s to nalogo. V sistemu Windows 7 lahko standardni kalkulator preklopite v inženirski način; Če želite to narediti, kliknite »Pogled« -> »Inženiring«. Za preklop v običajni način kliknite »Pogled« -> »Normalno«.

   • Preverite prejeti odgovor z iskalnikom (Google ali Yandex). S tipko "^" na tipkovnici računalnika vnesite izraz v iskalnik, ki vam bo takoj prikazal pravilen odgovor (in morda predlagal podobne izraze, ki jih morate preučiti).

   Seštevanje, odštevanje, množenje potenc

   1. Stopinje lahko seštevate in odštevate le, če imajo enake osnove.Če morate sešteti potence z enakimi osnovami in eksponenti, lahko operacijo seštevanja nadomestite z operacijo množenja. Na primer, glede na izraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ne pozabite, da je diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) lahko predstavimo v obliki 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); torej 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kjer je 1 +1 =2). Se pravi, preštejte število podobnih stopinj in nato pomnožite to stopnjo in to število. V našem primeru povečajte 4 na peto potenco in nato dobljeni rezultat pomnožite z 2. Ne pozabite, da lahko operacijo seštevanja nadomestite z operacijo množenja, na primer 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Tu so še drugi primeri:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Pri množenju potenc z isto osnovo se njihovi eksponenti seštejejo (osnova se ne spremeni). Na primer, glede na izraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). V tem primeru morate samo dodati indikatorje, pri čemer pustite osnovo nespremenjeno. torej x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Tukaj je vizualna razlaga tega pravila:

      Pri povišanju potence na potenco se eksponenti pomnožijo. Na primer, podana je diploma. Ker se eksponenti množijo, torej (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Bistvo tega pravila je, da množite s potencami (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebi petkrat. takole:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Ker je osnova enaka, se eksponenta preprosto seštejeta: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Potenco z negativnim eksponentom je treba pretvoriti v ulomek (obratna potenca). Ni pomembno, če ne veste, kaj je recipročna diploma. Če vam je dana diploma z negativnim eksponentom, npr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), zapišite to stopnjo v imenovalec ulomka (v števec vnesite 1), eksponent pa naj bo pozitiven. V našem primeru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Tu so še drugi primeri:

      Pri delitvi stopinj z isto osnovo se njihovi eksponenti odštejejo (osnova se ne spremeni). Operacija deljenja je nasprotna operaciji množenja. Na primer, glede na izraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Eksponent v števcu odštej od eksponenta v imenovalcu (ne spreminjaj osnove). torej 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Moč v imenovalcu lahko zapišemo takole: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Ne pozabite, da je ulomek število (potencija, izraz) z negativnim eksponentom.

   4. Spodaj je nekaj izrazov, ki vam bodo pomagali pri reševanju problemov s eksponenti. Navedeni izrazi pokrivajo gradivo, predstavljeno v tem razdelku. Če želite videti odgovor, preprosto označite prazen prostor za znakom enačaja.

      Reševanje nalog z ulomkimi eksponenti

      1. Potenca z delnim eksponentom (na primer ) se pretvori v korensko operacijo. V našem primeru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Pri tem ni pomembno, katero število je v imenovalcu ulomkovega eksponenta. na primer x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- je četrti koren "x", tj x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Če je eksponent nepravilni ulomek, lahko eksponent razčlenimo na dve potenci, da poenostavimo rešitev problema. V tem ni nič zapletenega - samo zapomnite si pravilo množenja moči. Na primer, podana je diploma. Pretvorite takšno potenco v koren, katerega potenca je enaka imenovalcu delnega eksponenta, in nato dvignite ta koren na potenco, ki je enaka števcu delnega eksponenta. Če želite to narediti, si zapomnite to = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)

         • . V našem primeru:
         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
      3. (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      4. Nekateri kalkulatorji imajo gumb za izračun eksponentov (najprej morate vnesti osnovo, nato pritisniti gumb in nato vnesti eksponent). Označeno je kot ^ ali x^y. Ne pozabite, da je vsako število na prvo potenco enako samemu sebi, na primer 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Poleg tega je vsako število, pomnoženo ali deljeno z ena, enako samemu sebi, npr. 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) in.
      5. 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5) Vedi, da potenca 0 0 ne obstaja (takšna potenca nima rešitve). Če poskušate takšno stopnjo rešiti na kalkulatorju ali računalniku, se vam prikaže napaka. Vendar ne pozabite, da je katero koli število na ničelno potenco 1, na primer
      6. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) V višji matematiki, ki operira z namišljenimi števili: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) , Kje i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1))

      ; e je konstanta, približno enaka 2,7; a je poljubna konstanta. Dokaz te enakosti je mogoče najti v katerem koli učbeniku višje matematike.

      • Opozorila

Ko eksponent narašča, se njegova vrednost močno poveča. Torej, če se vam odgovor zdi napačen, je morda res pravilen. To lahko preizkusite tako, da narišete katero koli eksponentno funkcijo, na primer 2 x.

Algebrski izraz, v katerem poleg operacij seštevanja, odštevanja in množenja uporablja tudi deljenje na črkovne izraze, imenujemo ulomljeni algebrski izraz. To so na primer izrazi

Algebrski ulomek imenujemo algebrski izraz, ki ima obliko količnika deljenja dveh celih algebrskih izrazov (na primer monomov ali polinomov). To so na primer izrazi

Identične transformacije ulomljenih algebrskih izrazov so večinoma namenjene predstavitvi v obliki algebrskega ulomka. Za iskanje skupnega imenovalca se uporablja faktorizacija imenovalcev ulomkov - členov, da bi našli njihov najmanjši skupni večkratnik. Pri zmanjševanju algebrskih ulomkov je lahko kršena stroga identiteta izrazov: izključiti je treba vrednosti količin, pri katerih faktor, s katerim se zmanjša, postane nič.

Navedimo primere identičnih transformacij ulomljenih algebrskih izrazov.

Primer 1: Poenostavite izraz

Vse izraze je mogoče skrčiti na skupni imenovalec (priročno je zamenjati predznak v imenovalcu zadnjega izraza in znak pred njim):

Naš izraz je enak ena za vse vrednosti, razen za te; je nedefiniran in zmanjševanje ulomka je nezakonito).

Primer 2. Predstavi izraz kot algebraični ulomek

rešitev. Izraz lahko vzamemo kot skupni imenovalec. Zaporedoma najdemo:

vaje

1. Poiščite vrednosti algebrskih izrazov za navedene vrednosti parametrov:

2. Faktoriziraj.

Inženirski kalkulator na spletu

Z veseljem vsem podarimo brezplačen inženirski kalkulator. Z njegovo pomočjo lahko vsak učenec hitro in, kar je najpomembneje, enostavno izvaja različne vrste matematičnih izračunov na spletu.

Enostaven in za uporabo enostaven inženirski kalkulator z nevsiljivim in intuitivnim vmesnikom bo resnično uporaben širokemu krogu uporabnikov interneta. Zdaj, ko potrebujete kalkulator, pojdite na naše spletno mesto in uporabite brezplačen inženirski kalkulator.

Inženirski kalkulator lahko izvaja tako preproste aritmetične operacije kot precej zapletene matematične izračune.

Web20calc je inženirski kalkulator, ki ima ogromno funkcij, na primer, kako izračunati vse osnovne funkcije. Kalkulator podpira tudi trigonometrične funkcije, matrike, logaritme in celo grafe.

Nedvomno bo Web20calc zanimiv za tisto skupino ljudi, ki v iskanju preprostih rešitev v iskalnike vtipka poizvedbo: spletni matematični kalkulator. Brezplačna spletna aplikacija vam bo v hipu pomagala izračunati rezultat nekega matematičnega izraza, na primer odštevanje, seštevanje, deljenje, izluščitev korena, povišanje na potenco itd.

V izrazu lahko uporabite operacije potenciranja, seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja, odstotka in konstante PI. Za zapletene izračune je treba vključiti oklepaje.

Lastnosti inženirskega kalkulatorja:

1. osnovne aritmetične operacije;
2. delo s številkami v standardni obliki;
3. računanje trigonometričnih korenov, funkcij, logaritmov, potenciranje;
4. statistični izračuni: seštevanje, aritmetična sredina ali standardni odklon;
5. uporaba pomnilniških celic in funkcij po meri 2 spremenljivk;
6. delo s koti v radianskih in stopinjskih merah.

Inženirski kalkulator omogoča uporabo različnih matematičnih funkcij:

Izvlečenje korenov (kvadratni, kubični in n-ti koren);
ex (e na potenco x), eksponentna;
trigonometrične funkcije: sinus - sin, kosinus - cos, tangens - tan;
inverzne trigonometrične funkcije: arksinus - sin-1, arkosinus - cos-1, arktangens - tan-1;
hiperbolične funkcije: sinus - sinh, kosinus - cosh, tangens - tanh;
logaritmi: binarni logaritem na osnovi dve - log2x, decimalni logaritem na osnovi deset - log, naravni logaritem - ln.

Ta inženirski kalkulator vključuje tudi količinski kalkulator z možnostjo pretvorbe fizikalnih količin za različne merske sisteme - računalniške enote, razdaljo, težo, čas itd. S to funkcijo lahko takoj pretvorite milje v kilometre, funte v kilograme, sekunde v ure itd.

Za matematične izračune najprej vnesite zaporedje matematičnih izrazov v ustrezno polje, nato kliknite na enačaj in si oglejte rezultat. Vrednosti lahko vnesete neposredno s tipkovnice (za to mora biti območje kalkulatorja aktivno, zato bi bilo koristno postaviti kazalec v polje za vnos). Podatke lahko med drugim vnašamo tudi z gumbi na samem kalkulatorju.

Če želite zgraditi grafe, morate funkcijo vpisati v polje za vnos, kot je navedeno v polju s primeri, ali uporabiti orodno vrstico, ki je posebej zasnovana za to (če jo želite obiskati, kliknite gumb z ikono grafa). Za pretvorbo vrednosti kliknite Enota; delo z matrikami.

Že samo nekateri algebraični primeri lahko prestrašijo šolarje. Dolgi izrazi niso samo zastrašujoči, ampak tudi zelo otežijo izračune. Če poskušate takoj razumeti, kaj sledi čemu, ne bo trajalo dolgo, da se zmedete. Prav zaradi tega matematiki vedno poskušajo "grozen" problem čim bolj poenostaviti in šele nato začeti reševati. Nenavadno je, da ta trik bistveno pospeši delovni proces.

Poenostavitev je ena temeljnih točk v algebri. Če pri enostavnih nalogah še vedno lahko brez njega, potem se lahko težje izračunani primeri izkažejo za pretežke. Tukaj te veščine pridejo prav! Poleg tega kompleksno matematično znanje ni potrebno: dovolj bo le, da si zapomnite in se naučite v praksi uporabljati nekaj osnovnih tehnik in formul.

Ne glede na kompleksnost izračunov je pri reševanju katerega koli izraza pomembno sledite vrstnemu redu izvajanja operacij s številkami:

1. oklepaji;
2. potenciranje;
3. množenje;
4. delitev;
5. dodatek;
6. odštevanje.

Zadnji dve točki lahko preprosto zamenjate in to nikakor ne bo vplivalo na rezultat. Toda seštevanje dveh sosednjih števil, ko je ob enem znak za množenje, je absolutno prepovedano! Tudi če je odgovor pravilen, bo napačen. Zato si morate zapomniti zaporedje.

Uporaba takšnih

Takšni elementi vključujejo števila s spremenljivko istega reda ali iste stopnje. Obstajajo tudi tako imenovani prosti izrazi, ki ob sebi nimajo črkovne oznake za neznano.

Bistvo je, da v odsotnosti oklepajev izraz lahko poenostavite tako, da dodate ali odštejete podobno.

Nekaj ​​ilustrativnih primerov:

• 8x 2 in 3x 2 - obe števili imata isto spremenljivko drugega reda, torej sta si podobni in se pri seštevanju poenostavita na (8+3)x 2 =11x 2, medtem ko pri odštevanju dobita (8-3)x 2 = 5x 2;
• 4x 3 in 6x - in tukaj ima "x" različne stopnje;
• 2y 7 in 33x 7 - vsebujeta različne spremenljivke, zato, tako kot v prejšnjem primeru, nista podobni.

Faktoriziranje števila

Ta mali matematični trik, če se ga naučite pravilno uporabljati, vam bo v prihodnosti še večkrat pomagal pri reševanju kočljive težave. In ni težko razumeti, kako "sistem" deluje: razpad je produkt več elementov, katerih izračun da prvotno vrednost. Tako lahko 20 predstavimo kot 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 ali kako drugače.

Opomba: Faktorji so vedno enaki deliteljem. Delujoč »par« za razgradnjo je torej treba iskati med števili, na katera je izvirnik deljiv brez ostanka.

To operacijo je mogoče izvesti tako s prostimi členi kot s številkami v spremenljivki. Glavna stvar je, da slednjega med izračuni ne izgubite - celo po razgradnji neznano ne more kar tako »iti nikamor«. Ostaja pri enem od množiteljev:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 =(15y 2)4.

Praštevila, ki jih je mogoče deliti samo sama s seboj ali z 1, se nikoli ne razširijo - nima smisla.

Osnovne metode poenostavljanja

Prva stvar, ki vam pade v oči:

• prisotnost oklepajev;
• ulomki;
• korenine.

Algebraični primeri v šolskem kurikulumu so pogosto napisani z mislijo, da jih je mogoče lepo poenostaviti.

Izračuni v oklepaju

Bodite pozorni na znak pred oklepajem! Množenje ali deljenje se uporabi za vsak element znotraj, znak minus pa obrne obstoječa znaka »+« ali »-«.

Oklepaji se izračunajo po pravilih ali z uporabo skrajšanih formul za množenje, po katerih so podane podobne.

Zmanjševanje ulomkov

Zmanjšajte ulomke Prav tako je enostavno. Sami vsake toliko časa »rado pobegnejo«, takoj ko se izvajajo akcije za privabljanje takšnih članov. Primer pa lahko še prej poenostavite: bodite pozorni na števec in imenovalec. Pogosto vsebujejo eksplicitne ali skrite elemente, ki jih je mogoče medsebojno zmanjšati. Res je, če morate v prvem primeru samo prečrtati nepotrebno, boste v drugem morali razmišljati in del izraza prenesti v obliko za poenostavitev. Uporabljene metode:

• iskanje in oklepaj največjega skupnega delitelja števca in imenovalca;
• vsak zgornji element delimo z imenovalcem.

Ko je izraz ali njegov del pod korenom, je primarna naloga poenostavljanja skoraj podobna primeru z ulomki. Treba je iskati načine, kako se ga popolnoma znebiti ali, če to ni mogoče, zmanjšati znak, ki moti izračune. Na primer do nevsiljivega √(3) ali √(7).

Zanesljiv način za poenostavitev radikalnega izraza je, da ga poskusite faktorizirati, od katerih se nekateri izvajajo zunaj znaka. Ilustrativen primer: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Drugi majhni triki in nianse:

• to poenostavitveno operacijo je mogoče izvesti z ulomki, tako da jih vzamemo iz predznaka kot celoto in ločeno kot števec ali imenovalec;
• Dela vsote ali razlike ni mogoče razširiti in preseči korena;
• pri delu s spremenljivkami obvezno upoštevajte njeno stopnjo, mora biti enaka ali večkratnik korena, da jo lahko izločite: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• včasih se je možno znebiti radikalne spremenljivke tako, da jo dvignemo na ulomek: √(y 3)=y 3/2.

Poenostavitev potenčnega izraza

Če pri enostavnih izračunih z minusom ali plusom primere poenostavimo z navajanjem podobnih, kako je potem pri množenju ali deljenju spremenljivk z različnimi potencami? Z lahkoto jih je mogoče poenostaviti, če si zapomnite dve glavni točki:

1. Če je med spremenljivkama znak za množenje, se potenci seštevata.
2. Ko jih med seboj delimo, se od moči števca odšteje enaka potenca imenovalca.

Edini pogoj za takšno poenostavitev je, da imata oba pojma isto podlago. Primeri za jasnost:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Opažamo, da se operacije s številskimi vrednostmi pred spremenljivkami odvijajo v skladu z običajnimi matematičnimi pravili. In če pogledate natančno, postane jasno, da elementi moči izraza "delujejo" na podoben način:

• dvig izraza na potenco pomeni njegovo množenje s samim seboj določeno število krat, tj. x 2 =x×x;
• delitev je podobna: če razširite potence števca in imenovalca, bodo nekatere spremenljivke preklicane, medtem ko se preostale "zberejo", kar je enakovredno odštevanju.

Kot pri vsem, poenostavljanje algebrskih izrazov ne zahteva le znanja osnov, ampak tudi prakso. Že po nekaj lekcijah se bodo primeri, ki so se nekoč zdeli zapleteni, brez večjih težav zmanjšali in spremenili v kratke in lahko rešljive.

Video

Ta videoposnetek vam bo pomagal razumeti in si zapomniti, kako so izrazi poenostavljeni.

Niste dobili odgovora na svoje vprašanje? Predlagajte temo avtorjem.

Dobesedni izraz (ali spremenljiv izraz) je matematični izraz, ki je sestavljen iz številk, črk in matematičnih simbolov. Naslednji izraz je na primer dobeseden:

a+b+4

Z uporabo abecednih izrazov lahko pišete zakone, formule, enačbe in funkcije. Sposobnost manipuliranja s črkovnimi izrazi je ključ do dobrega poznavanja algebre in višje matematike.

Vsak resen problem v matematiki se zmanjša na reševanje enačb. In da bi lahko rešili enačbe, morate znati delati z dobesednimi izrazi.

Za delo z dobesednimi izrazi morate dobro poznati osnove aritmetike: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, osnovne zakone matematike, ulomke, operacije z ulomki, razmerja. In ne samo študirati, ampak temeljito razumeti.

Spremenljivke

Črke, ki so vsebovane v dobesednih izrazih, se imenujejo spremenljivke. Na primer v izrazu a+b+ 4 spremenljivke so črke a 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) b. Če zamenjamo poljubna števila namesto teh spremenljivk, potem dobesedni izraz a+b+ 4 se bo spremenil v številski izraz, katerega vrednost je mogoče najti.

Števila, ki so nadomeščena s spremenljivkami, se imenujejo vrednosti spremenljivk. Na primer, spremenimo vrednosti spremenljivk a 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) b. Za spreminjanje vrednosti se uporablja znak enačaja

a = 2, b = 3

Spremenili smo vrednosti spremenljivk a 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) b. Spremenljivka a dodeljena vrednost 2 , spremenljivka b dodeljena vrednost 3 . Nastali dobesedni izraz a+b+4 spremeni v običajni številski izraz 2+3+4 katerega vrednost je mogoče najti:

Ko spremenljivke pomnožimo, jih zapišemo skupaj. Na primer, zapis ab pomeni enako kot vnos a×b. Če zamenjamo spremenljivke a in bštevilke 2 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) 3 , potem dobimo 6

Množenje števila z izrazom lahko zapišeš tudi skupaj v oklepaju. Na primer, namesto a×(b + c) se da zapisati a(b + c). Z uporabo distribucijskega zakona množenja dobimo a(b + c)=ab+ac.

kvote

V dobesednih izrazih lahko pogosto najdete zapis, v katerem sta na primer število in spremenljivka zapisani skupaj 3a. To je pravzaprav okrajšava za množenje števila 3 s spremenljivko. a in ta vnos izgleda takole 3×a .

Z drugimi besedami, izraz 3a je produkt števila 3 in spremenljivke a. številka 3 pri tem delu imenujejo koeficient. Ta koeficient kaže, kolikokrat se bo spremenljivka povečala a. Ta izraz se lahko bere kot " a trikrat" ali "trikrat A« ali »povečajte vrednost spremenljivke a trikrat", vendar se največkrat bere kot "tri a«

Na primer, če spremenljivka a enako 5 , nato vrednost izraza 3a bo enako 15.

3 × 5 = 15

Preprosto povedano, koeficient je število, ki se pojavi pred črko (pred spremenljivko).

Lahko je na primer več črk 5abc. Tu je koeficient število 5 . Ta koeficient kaže, da je produkt spremenljivk abc poveča za petkrat. Ta izraz se lahko bere kot " abc petkrat" ali "povečajte vrednost izraza abc petkrat" ali "pet abc«.

Če namesto spremenljivk abc zamenjajte številke 2, 3 in 4, nato vrednost izraza 5abc bo enakovreden 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

V mislih si lahko predstavljate, kako so bila števila 2, 3 in 4 najprej pomnožena in dobljena vrednost se je petkrat povečala:

Predznak koeficienta se nanaša samo na koeficient in ne velja za spremenljivke.

Razmislite o izrazu −6b. Minus pred koeficientom 6 , velja le za koeficient 6 , in ne pripada spremenljivki b. Razumevanje tega dejstva vam bo omogočilo, da v prihodnosti ne delate napak z znaki.

Poiščimo vrednost izraza −6b pri b = 3.

−6b −6×b. Za jasnost zapišimo izraz −6b v razširjeni obliki in nadomestite vrednost spremenljivke b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Primer 2. Poiščite vrednost izraza −6b pri b = −5

Zapišimo izraz −6b v razširjeni obliki

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Primer 3. Poiščite vrednost izraza −5a+b pri a = 3 in b = 2

−5a+b to je kratka oblika za −5 × a + b, zato zaradi jasnosti zapišemo izraz −5×a+b v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Včasih so črke napisane brez koeficienta, na primer a oz ab. V tem primeru je koeficient enota:

vendar tradicionalno enota ni zapisana, zato preprosto pišejo a oz ab

Če je pred črko minus, je koeficient številka −1 . Na primer, izraz −a dejansko izgleda −1a. To je produkt minus ena in spremenljivke a. Izkazalo se je takole:

−1 × a = −1a

Tukaj je majhen ulov. V izrazu −a znak minus pred spremenljivko a dejansko nanaša na "nevidno enoto" in ne na spremenljivko a. Zato morate biti pri reševanju težav previdni.

Na primer, če je podan izraz −a in prosimo, da ugotovimo njegovo vrednost pri a = 2, potem smo v šoli namesto spremenljivke zamenjali dvojko a in prejel odgovor −2 , ne da bi se preveč osredotočal na to, kako se je izkazalo. Pravzaprav je bil minus ena pomnožen s pozitivnim številom 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Če damo izraz −a in morate najti njegovo vrednost pri a = −2, potem zamenjamo −2 namesto spremenljivke a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Da bi se izognili napakam, lahko sprva nevidne enote eksplicitno zapišemo.

Primer 4. Poiščite vrednost izraza abc pri a=2 , b=3 in c=4

Izraz abc 1×a×b×c. Za jasnost zapišimo izraz abc a, b 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Primer 5. Poiščite vrednost izraza abc pri a=−2 , b=−3 in c=−4

Zapišimo izraz abc v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a, b in c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Primer 6. Poiščite vrednost izraza − abc pri a=3, b=5 in c=7

Izraz − abc to je kratka oblika za −1×a×b×c. Za jasnost zapišimo izraz − abc v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a, b 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Primer 7. Poiščite vrednost izraza − abc pri a=−2 , b=−4 in c=−3

Zapišimo izraz − abc v razširjeni obliki:

−abc = −1 × a × b × c

Zamenjajmo vrednosti spremenljivk a , b in c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Kako določiti koeficient

Včasih morate rešiti problem, v katerem morate določiti koeficient izraza. Načeloma je ta naloga zelo preprosta. Dovolj je, da znamo pravilno množiti števila.

Če želite določiti koeficient v izrazu, morate ločeno pomnožiti številke, vključene v ta izraz, in ločeno pomnožiti črke. Dobljeni numerični faktor bo koeficient.

Primer 1. 7m×5a×(−3)×n

Izraz je sestavljen iz več dejavnikov. To je jasno razvidno, če izraz napišete v razširjeni obliki. Oziroma dela 7m 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) 5a zapišite v obrazec 7×m 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Uporabimo asociativni zakon množenja, ki omogoča množenje faktorjev v poljubnem vrstnem redu. In sicer bomo posebej množili števila in posebej črke (spremenljivke):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 človek

Koeficient je −105 . Po zaključku je priporočljivo, da del črk uredite po abecednem vrstnem redu:

−105 zjutraj

Primer 2. Določite koeficient v izrazu: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficient je 6.

Primer 3. Določite koeficient v izrazu:

Ločeno pomnožimo številke in črke:

Koeficient je −1. Upoštevajte, da enota ni zapisana, saj je običajno, da koeficienta 1 ne zapišemo.

Ta na videz najpreprostejša opravila se lahko z nami zelo kruto šalijo. Pogosto se izkaže, da je predznak koeficienta nastavljen nepravilno: ali minus manjka ali pa je bil, nasprotno, nastavljen zaman. Da bi se izognili tem nadležnim napakam, ga je treba preučiti na dobri ravni.

Seštevki v dobesednih izrazih

Pri seštevanju več števil dobimo vsoto teh števil. Števila, ki seštevajo, imenujemo seštevalci. Izrazov je lahko več, npr.

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Ko je izraz sestavljen iz členov, ga je veliko lažje ovrednotiti, ker je seštevanje lažje kot odštevanje. Toda izraz lahko vsebuje ne samo seštevanje, ampak tudi odštevanje, na primer:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

V tem izrazu sta števili 3 in 5 odštevanca, ne seštevka. Toda nič nam ne preprečuje, da bi odštevanje nadomestili s seštevanjem. Potem spet dobimo izraz, sestavljen iz členov:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Ni pomembno, da imata števili −3 in −5 zdaj znak minus. Glavna stvar je, da so vse številke v tem izrazu povezane z znakom dodatka, to je, da je izraz vsota.

Oba izraza 1 + 2 − 3 + 4 − 5 in 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) enako enaki vrednosti - minus ena

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Tako pomen izraza ne bo trpel, če bomo nekje odštevanje nadomestili s seštevanjem.

Odštevanje lahko zamenjate tudi z seštevanjem v dobesednih izrazih. Na primer, upoštevajte naslednji izraz:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Za poljubne vrednosti spremenljivk a, b, c, d in s izrazi 7a + 6b − 3c + 2d − 4s in 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) bo enaka enaki vrednosti.

Pripravljeni morate biti na dejstvo, da lahko učitelj v šoli ali učitelj na inštitutu pokliče soda števila (ali spremenljivke), ki niso seštevalci.

Na primer, če je razlika zapisana na tabli a−b, potem učitelj tega ne bo rekel a je minuend in b- odštevanje. Obe spremenljivki bo poklical z eno skupno besedo - pogoji. In vse zaradi izražanja oblike a−b matematik vidi, kako vsota a+(−b). V tem primeru izraz postane vsota in spremenljivke a in (-b) postanejo pogoji.

Podobni izrazi

Podobni izrazi- to so izrazi, ki imajo enak črkovni del. Na primer, upoštevajte izraz 7a + 6b + 2a. Komponente 7a in 2a imajo enak črkovni del – spremenljivko a. Torej pogoji 7a 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) 2a so podobni.

Običajno so podobni izrazi dodani za poenostavitev izraza ali reševanje enačbe. Ta operacija se imenuje prinaša podobne pogoje.

Če želite prinesti podobne izraze, morate sešteti koeficiente teh izrazov in dobljeni rezultat pomnožiti s skupnim črkovnim delom.

Na primer, predstavimo podobne izraze v izrazu 3a + 4a + 5a. V tem primeru so vsi izrazi podobni. Seštejmo njihove koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom – s spremenljivko a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Običajno se spomnimo podobnih izrazov in takoj zapišemo rezultat:

3a + 4a + 5a = 12a

Poleg tega lahko sklepamo na naslednji način:

Spremenljivke a so bile 3, dodane so bile še 4 spremenljivke a in še 5 spremenljivk a. Kot rezultat smo dobili 12 spremenljivk a

Oglejmo si nekaj primerov prinašanja podobnih izrazov. Glede na to, da je tema zelo pomembna, bomo najprej podrobno zapisali vsako malenkost. Čeprav je tukaj vse zelo preprosto, večina ljudi dela veliko napak. Večinoma zaradi nepazljivosti, ne neznanja.

Primer 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Seštejmo koeficiente v tem izrazu in dobljeni rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

oblikovanje (3 + 2 + 6 + 8)×a Ni vam treba zapisati, zato bomo odgovor zapisali takoj

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Primer 2. Podajte podobne izraze v izrazu 2a+a

Drugi mandat a napisano brez koeficienta, v resnici pa je pred njim koeficient 1 , ki ga ne vidimo, ker ni posnet. Torej je izraz videti takole:

2a + 1a

Zdaj pa predstavimo podobne izraze. To pomeni, da seštejemo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Na kratko zapišimo rešitev:

2a + a = 3a

2a+a, lahko razmišljate drugače:

Primer 3. Podajte podobne izraze v izrazu 2a−a

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem:

2a + (−a)

Drugi mandat (-a) napisano brez koeficienta, v resnici pa je videti (−1a). Koeficient −1 spet neviden zaradi dejstva, da ni posnet. Torej je izraz videti takole:

2a + (−1a)

Zdaj pa predstavimo podobne izraze. Seštejmo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Običajno napisano krajše:

2a − a = a

Podajanje podobnih izrazov v izrazu 2a−a Lahko razmišljate drugače:

Bili sta 2 spremenljivki a, odštejemo eno spremenljivko a, na koncu je ostala samo ena spremenljivka a

Primer 4. Podajte podobne izraze v izrazu 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Zdaj pa predstavimo podobne izraze. Seštejmo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Na kratko zapišimo rešitev:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Obstajajo izrazi, ki vsebujejo več različnih skupin podobnih izrazov. na primer 3a + 3b + 7a + 2b. Za take izraze veljajo enaka pravila kot za ostale, in sicer seštevanje koeficientov in množenje rezultata s skupnim črkovnim delom. Toda, da bi se izognili napakam, je priročno poudariti različne skupine izrazov z različnimi črtami.

Na primer v izrazu 3a + 3b + 7a + 2b tiste izraze, ki vsebujejo spremenljivko a, lahko podčrtamo z eno črto, ter tiste izraze, ki vsebujejo spremenljivko b, lahko poudarimo z dvema vrsticama:

Zdaj lahko predstavimo podobne izraze. Se pravi, dodajte koeficiente in dobljeni rezultat pomnožite s skupnim delom črke. To je treba narediti za obe skupini izrazov: za izraze, ki vsebujejo spremenljivko a in za izraze, ki vsebujejo spremenljivko b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Spet ponavljamo, izraz je preprost in v mislih lahko navedemo podobne izraze:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Primer 5. Podajte podobne izraze v izrazu 5a − 6a −7b + b

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Podobne izraze podčrtajmo z različnimi črtami. Izrazi, ki vsebujejo spremenljivke a podčrtamo z eno črto, izrazi pa so vsebine spremenljivk b, podčrtaj z dvema črtama:

Zdaj lahko predstavimo podobne izraze. Se pravi, dodajte koeficiente in dobljeni rezultat pomnožite s skupnim delom črke:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Če izraz vsebuje navadna števila brez črkovnih faktorjev, se te seštevajo ločeno.

Primer 6. Podajte podobne izraze v izrazu 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Predstavimo podobne izraze. Številke −5 in 7 nimajo črkovnih faktorjev, vendar so podobni izrazi - samo dodati jih je treba. In izraz 2b bo ostal nespremenjen, saj je edini v tem izrazu, ki ima faktor črke b, in ni kaj dodati:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Na kratko zapišimo rešitev:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Izrazi se lahko razvrstijo tako, da se tisti izrazi, ki imajo enak črkovni del, nahajajo v istem delu izraza.

Primer 7. Podajte podobne izraze v izrazu 5t+2x+3x+5t+x

Ker je izraz vsota več izrazov, nam to omogoča, da ga ovrednotimo v poljubnem vrstnem redu. Zato izrazi, ki vsebujejo spremenljivko t, lahko zapišemo na začetku izraza in izraze, ki vsebujejo spremenljivko x na koncu izraza:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Zdaj lahko predstavimo podobne izraze:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Na kratko zapišimo rešitev:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Vsota nasprotnih števil je nič. To pravilo deluje tudi za dobesedne izraze. Če izraz vsebuje enake izraze, vendar z nasprotnimi znaki, se jih lahko znebite na stopnji zmanjševanja podobnih izrazov. Z drugimi besedami, preprosto jih izločite iz izraza, saj je njihova vsota enaka nič.

Primer 8. Podajte podobne izraze v izrazu 3t − 4t − 3t + 2t

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponente 3t 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) (−3t) so nasprotni. Vsota nasprotnih členov je nič. Če iz izraza odstranimo to ničlo, se vrednost izraza ne bo spremenila, zato jo bomo odstranili. In odstranili ga bomo tako, da preprosto prečrtamo izraze 3t 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) (−3t)

Posledično nam bo ostal izraz (−4t) + 2t. V ta izraz lahko dodate podobne izraze in dobite končni odgovor:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Na kratko zapišimo rešitev:

Poenostavljanje izrazov

"poenostaviti izraz" in spodaj je izraz, ki ga je treba poenostaviti. Poenostavite izraz pomeni poenostaviti in skrajšati.

Pravzaprav smo že poenostavljali izraze, ko smo zmanjševali ulomke. Po zmanjšanju je ulomek postal krajši in lažje razumljiv.

Razmislite o naslednjem primeru. Poenostavite izraz.

To nalogo lahko dobesedno razumemo na naslednji način: "Uporabi vsa veljavna dejanja za ta izraz, vendar naj bo preprostejši." .

V tem primeru lahko ulomek zmanjšate, in sicer števec in imenovalec ulomka delite z 2:

Kaj še lahko narediš? Lahko izračunate dobljeni ulomek. Nato dobimo decimalni ulomek 0,5

Posledično je bil ulomek poenostavljen na 0,5.

Prvo vprašanje, ki si ga morate zastaviti pri reševanju tovrstnih težav, bi moralo biti "Kaj je mogoče storiti?" . Ker obstajajo dejanja, ki jih lahko storite, in so dejanja, ki jih ne morete storiti.

Druga pomembna točka, ki si jo morate zapomniti, je, da se pomen izraza po poenostavitvi izraza ne sme spremeniti. Vrnimo se k izrazu. Ta izraz predstavlja delitev, ki jo je mogoče izvesti. Po izvedbi te delitve dobimo vrednost tega izraza, ki je enaka 0,5

Vendar smo izraz poenostavili in dobili nov poenostavljen izraz. Vrednost novega poenostavljenega izraza je še vedno 0,5

Poskušali pa smo izraz tudi poenostaviti tako, da smo ga izračunali. Kot rezultat smo prejeli končni odgovor 0,5.

Torej, ne glede na to, kako poenostavimo izraz, je vrednost dobljenih izrazov še vedno enaka 0,5. To pomeni, da je bila poenostavitev v vsaki fazi izvedena pravilno. Prav k temu moramo težiti pri poenostavljanju izrazov – pomen izraza ne sme trpeti zaradi naših dejanj.

Pogosto je treba dobesedne izraze poenostaviti. Zanje veljajo enaka pravila poenostavljanja kot za številske izraze. Izvajate lahko katera koli veljavna dejanja, če se vrednost izraza ne spremeni.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 1. Poenostavite izraz 5,21 s × t × 2,5

Za poenostavitev tega izraza lahko ločeno pomnožite številke in ločeno pomnožite črke. Ta naloga je zelo podobna tisti, ki smo si jo ogledali, ko smo se učili določiti koeficient:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Torej izraz 5,21 s × t × 2,5 poenostavljeno na 13.025st.

Primer 2. Poenostavite izraz −0,4 × (−6,3b) × 2

Drugi kos (–6,3b) lahko prevedemo v nam razumljivo obliko, in sicer zapišemo v obliki ( −6,3)×b , nato ločeno pomnožite številke in posebej pomnožite črke:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (–6,3) × b × 2 = 5,04b

Torej izraz −0,4 × (−6,3b) × 2 poenostavljeno na 5.04b

Primer 3. Poenostavite izraz

Napišimo ta izraz podrobneje, da jasno vidimo, kje so številke in kje so črke:

Sedaj pa pomnožimo številke ločeno in posebej pomnožimo črke:

Torej izraz poenostavljeno na −abc. To rešitev lahko na kratko zapišemo:

Pri poenostavljanju izrazov lahko ulomke skrčimo med postopkom reševanja in ne čisto na koncu, kot smo to storili pri navadnih ulomkih. Na primer, če med reševanjem naletimo na izraz v obliki , potem sploh ni potrebno izračunati števca in imenovalca in narediti nekaj takega:

Ulomek je mogoče skrajšati tako, da izberete faktor tako v števcu kot v imenovalcu in te faktorje zmanjšate za njihov največji skupni faktor. Z drugimi besedami, uporaba, pri kateri ne opišemo podrobneje, na kaj sta bila razdeljena števec in imenovalec.

Na primer, v števcu je faktor 12, v imenovalcu pa faktor 4 lahko zmanjšamo za 4. Štirico ohranimo v mislih in če 12 in 4 delimo s to štirico, zapišemo odgovore poleg teh števil, ko jih je najprej prečrtal

Zdaj lahko pomnožite nastale majhne faktorje. V tem primeru jih je malo in jih lahko pomnožite v mislih:

Sčasoma boste morda ugotovili, da se izrazi pri reševanju določenega problema začnejo "mastiti", zato je priporočljivo, da se navadite na hitre izračune. Kar je mogoče izračunati v mislih, je treba izračunati v mislih. Kar je mogoče hitro zmanjšati, je treba hitro zmanjšati.

Primer 4. Poenostavite izraz

Torej izraz poenostavljeno na

Primer 5. Poenostavite izraz

Pomnožimo številke posebej in črke posebej:

Torej izraz poenostavljeno na mn.

Primer 6. Poenostavite izraz

Napišimo ta izraz podrobneje, da jasno vidimo, kje so številke in kje so črke:

Sedaj pa pomnožimo številke posebej in črke posebej. Za lažji izračun lahko decimalni ulomek −6,4 in mešano število pretvorimo v navadne ulomke:

Torej izraz poenostavljeno na

Rešitev tega primera lahko zapišemo veliko krajše. Videti bo takole:

Primer 7. Poenostavite izraz

Ločeno pomnožimo števila in posebej črke. Za lažji izračun lahko mešana števila in decimalne ulomke 0,1 in 0,6 pretvorite v navadne ulomke:

Torej izraz poenostavljeno na abcd. Če preskočite podrobnosti, lahko to rešitev napišete veliko krajše:

Opazite, kako se je ulomek zmanjšal. Zmanjšati je mogoče tudi nove faktorje, ki nastanejo kot posledica redukcije prejšnjih faktorjev.

Zdaj pa se pogovorimo o tem, česa ne smemo storiti. Pri poenostavljanju izrazov je strogo prepovedano množiti številke in črke, če je izraz vsota in ne zmnožek.

Na primer, če želite poenostaviti izraz 5a+4b, potem tega ne morete napisati takole:

To je enako, kot če bi nas prosili, da seštejemo dve števili in bi ju pomnožili, namesto da bi ju sešteli.

Pri zamenjavi katere koli vrednosti spremenljivke a 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) b izražanje 5a +4b spremeni v navaden številski izraz. Predpostavimo, da spremenljivke a 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) b imajo naslednje pomene:

a = 2, b = 3

Potem bo vrednost izraza enaka 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Najprej se izvede množenje, nato pa se rezultati seštejejo. In če bi poskušali ta izraz poenostaviti z množenjem številk in črk, bi dobili naslednje:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Izkazalo se je popolnoma drugačen pomen izraza. V prvem primeru je uspelo 22 , v drugem primeru 120 . To pomeni poenostavitev izraza 5a+4b je bila izvedena nepravilno.

Po poenostavitvi izraza se njegova vrednost ne sme spreminjati z enakimi vrednostmi spremenljivk. Če pri zamenjavi katere koli vrednosti spremenljivke v prvotni izraz dobimo eno vrednost, potem je treba po poenostavitvi izraza dobiti enako vrednost kot pred poenostavitvijo.

Z izrazom 5a+4b res ne moreš storiti ničesar. Ne poenostavlja ga.

Če izraz vsebuje podobne izraze, jih lahko dodamo, če je naš cilj poenostaviti izraz.

Primer 8. Poenostavite izraz 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

ali krajše: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Torej izraz 0,3a−0,4a+a poenostavljeno na 0,9a

Primer 9. Poenostavite izraz −7,5a − 2,5b + 4a

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

ali krajše −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Izraz (–2,5b) ostal nespremenjen, ker ga ni bilo s čim priložiti.

Primer 10. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

Koeficient je bil za lažji izračun.

Torej izraz poenostavljeno na

Primer 11. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

Torej izraz poenostavljeno na.

V tem primeru bi bilo primerneje najprej sešteti prvi in ​​zadnji koeficient. V tem primeru bi imeli kratko rešitev. Izgledalo bi takole:

Primer 12. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

Torej izraz poenostavljeno na .

Izraz je ostal nespremenjen, saj ga ni bilo kaj dodati.

To rešitev lahko zapišemo veliko krajše. Videti bo takole:

Kratka rešitev je preskočila korake zamenjave odštevanja s seštevanjem in podrobnosti o tem, kako so bili ulomki reducirani na skupni imenovalec.

Druga razlika je v tem, da je v podrobni rešitvi odgovor videti takole in na kratko kot. Pravzaprav gre za isti izraz. Razlika je v tem, da je v prvem primeru odštevanje nadomeščeno s seštevanjem, saj smo na začetku, ko smo podrobno zapisali rešitev, povsod, kjer je bilo možno, zamenjali odštevanje s seštevanjem in to zamenjavo ohranili za odgovor.

Identitete. Identično enaki izrazi

Ko poljubni izraz poenostavimo, postane preprostejši in krajši. Če želite preveriti, ali je poenostavljeni izraz pravilen, je dovolj, da poljubne vrednosti spremenljivk najprej nadomestite s prejšnjim izrazom, ki ga je bilo treba poenostaviti, nato pa z novim, ki je bil poenostavljen. Če je vrednost v obeh izrazih enaka, potem je poenostavljeni izraz resničen.

Poglejmo preprost primer. Naj bo treba izraz poenostaviti 2a×7b. Za poenostavitev tega izraza lahko ločeno pomnožite številke in črke:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Preverimo, ali smo izraz pravilno poenostavili. Če želite to narediti, nadomestimo poljubne vrednosti spremenljivk a in b najprej v prvi izraz, ki ga je bilo treba poenostaviti, nato pa v drugega, ki je bil poenostavljen.

Naj vrednosti spremenljivk a , b bo takole:

a = 4, b = 5

Nadomestimo jih v prvi izraz 2a×7b

Zdaj pa nadomestimo iste vrednosti spremenljivk v izraz, ki je rezultat poenostavitve 2a×7b, in sicer v izrazu 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

To vidimo, ko a=4 in b=5 vrednost prvega izraza 2a×7b in pomen drugega izraza 14ab enaka

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Enako se bo zgodilo za vse druge vrednosti. Na primer, naj a=1 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Tako za vse vrednosti izraznih spremenljivk 2a×7b in 14ab sta enaki isti vrednosti. Takšni izrazi se imenujejo identično enaka.

Sklepamo, da med izrazi 2a×7b in 14ab lahko postavite znak enačaja, ker sta enaki isti vrednosti.

2a × 7b = 14ab

Enakost je vsak izraz, ki je povezan z enačajem (=).

In enakost oblike 2a×7b = 14ab klical identiteta.

Identiteta je enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk.

Drugi primeri identitet:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Da, zakoni matematike, ki smo jih preučevali, so identitete.

Prave številske enakosti so tudi identitete. Na primer:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Pri reševanju kompleksnega problema se zaradi lažjega računanja kompleksen izraz nadomesti z enostavnejšim izrazom, ki je identično enak prejšnjemu. Ta zamenjava se imenuje enako preoblikovanje izraza ali samo preoblikovanje izraza.

Na primer, izraz smo poenostavili 2a×7b, in dobil preprostejši izraz 14ab. To poenostavitev lahko imenujemo transformacija identitete.

Pogosto lahko najdete nalogo, ki pravi "dokaži, da je enakost identiteta" in potem je podana enakost, ki jo je treba dokazati. Običajno je ta enačba sestavljena iz dveh delov: levega in desnega dela enačbe. Naša naloga je, da izvedemo identitetne transformacije z enim od delov enakosti in pridobimo drugi del. Ali pa izvedite enake transformacije z obema stranema enakosti in se prepričajte, da obe strani enakosti vsebujeta enake izraze.

Na primer, dokažimo, da je enakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identiteta.

Poenostavimo levo stran te enakosti. Če želite to narediti, ločeno pomnožite številke in črke:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Zaradi majhne identitetne transformacije je leva stran enakosti postala enaka desni strani enakosti. Torej smo dokazali, da je enakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identiteta.

Iz enakih preoblikovanj smo se naučili seštevati, odštevati, množiti in deliti števila, zmanjševati ulomke, seštevati podobne člene in tudi poenostaviti nekatere izraze.

Vendar to niso vse enake transformacije, ki obstajajo v matematiki. Enakih transformacij je še veliko. To bomo videli še večkrat v prihodnosti.

Naloge za samostojno reševanje:

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se naši novi skupini VKontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah