Aksiomi reda. Točka in premica Iz točke, ki ne pripada ravnini

riž. 3.2Relativni položaj črt

Črte v prostoru lahko zasedejo enega od treh položajev glede na drugo:

1) biti vzporeden;

2) sekajo;

3) križanje.

Vzporednoimenujemo premice, ki ležijo v isti ravnini in nimajo skupnih točk.

Če sta premici med seboj vzporedni, potem sta na CN vzporedni tudi njuni istoimenski projekciji (glej poglavje 1.2).

Presekanjeimenujemo premice, ki ležijo v isti ravnini in imajo eno skupno točko.

Za sekajoče se premice na CN se istoimenske projekcije sekajo v projekcijah točke A. Poleg tega morata biti čelna () in vodoravna () projekcija te točke na isti komunikacijski črti.

Križanjeimenujemo premice, ki ležijo v vzporednih ravninah in nimajo skupnih točk.

Če se črte sekajo, se lahko na CN njihove istoimenske projekcije sekajo, vendar presečišča istoimenskih projekcij ne bodo ležale na isti povezovalni črti.

Na sl. 3,4 točke Z pripada liniji b, in pika D- naravnost A. Te točke so na enaki razdalji od čelne ravnine projekcij. Podobno kot točka E in F pripadajo različnim premicam, vendar so na enaki razdalji od vodoravne ravnine projekcij. Zato na CN njihove čelne projekcije sovpadajo.

Obstajata dva možna primera lokacije točke glede na ravnino: točka lahko pripada ravnini ali ji ne pripada (slika 3.5).

Znak pripadnosti točke in premice:

Točka pripada ravnini, če pripada premici, ki leži v tej ravnini.

Premica pripada ravnini, če ima z njo dve skupni točki ali ima z njo eno skupno točko in je vzporedna z drugo premico, ki leži v tej ravnini.

Na sl. 3.5 prikazuje ravnino in točke D in E. Pika D pripada ravnini, ker pripada premici l, ki ima s to ravnino dve skupni točki - 1 in A. Pika E ne sodi letalu, saj skozenj je nemogoče narisati premico, ki leži v dani ravnini.

Na sl. 3.6 prikazuje ravnino in premico t, ki leži v tem letalu, saj ima z njo skupno točko 1 in vzporedno s premico A.

Znaki pripadnosti so dobro znani iz predmeta planimetrija. Naša naloga je, da jih obravnavamo glede na projekcije geometrijskih predmetov.

Točka pripada ravnini, če pripada premici, ki leži v tej ravnini.

Pripadnost ravni ravnini je določena z enim od dveh kriterijev:

a) premica poteka skozi dve točki, ki ležita v tej ravnini;

b) premica poteka skozi točko in je vzporedna s premicami, ki ležijo v tej ravnini.

Z uporabo teh lastnosti rešimo problem kot primer. Naj bo ravnina določena s trikotnikom ABC. Potrebno je sestaviti manjkajočo projekcijo D 1 točka D ki pripada tej ravnini. Zaporedje konstrukcij je naslednje (slika 2.5).

riž. 2.5.

Konstruirati projekcije točke, ki pripada ravnini D Skozi točko 2 izvajamo ravno črtno projekcijo d  ABC, ki leži v letalu A, ki seka eno od stranic trikotnika in točko A 2 D 2. Potem točka 1 2 pripada premicam 2 in 2 C IN 2 in 1 C 2. Zato lahko dobimo njegovo vodoravno projekcijo 1 1 na A 1 prek komunikacijske linije. Povezovalne točke 1 1 in 2 izvajamo ravno črtno projekcijo 1, dobimo vodoravno projekcijo D 1. D 2 .

Jasno je, da je bistvo

1 ji pripada in leži na premici projekcijske povezave s točko

Težave z ugotavljanjem, ali ji pripada točka ali premica, se rešijo povsem preprosto. Na sl. Slika 2.6 prikazuje potek reševanja tovrstnih problemov. Za jasnost predstavitve problema določimo ravnino s trikotnikom. E riž. 2.6. Težave pri ugotavljanju, ali točka pripada ravnini.  ABC Da bi ugotovili, ali točka pripada A letalo  ABC, narišite ravno črto skozi njegovo čelno projekcijo E 2 A 2. Predpostavimo, da premica a pripada ravnini A, sestavimo njegovo vodoravno projekcijo E 1 na presečišču 1 in 2. Kot vidimo (sl. 2.6, a), ravna E ABC.

1 ne poteka skozi točko 1. Zato bistvo V problemu pripadnosti črti ABC V 1. Zato bistvo trikotne ravnine 1. Zato bistvo(Sl. 2.6, b), je dovolj, da uporabite eno od ravnih projekcij 1. Zato bistvo ABC 2 zgradite drugo 1. Zato bistvo 1 * glede na to 1. Zato bistvo. Kot vidimo, 1. Zato bistvo   ABC.

1* in

1 se ne ujemajo. Zato naravnost 2.4. Ravne črte v ravnini Opredelitev nivojskih črt je bila podana prej. Ravne črte, ki pripadajo dani ravnini, se imenujejo

glavni

. Te črte (ravne črte) igrajo pomembno vlogo pri reševanju številnih problemov opisne geometrije.

Razmislimo o gradnji nivojskih črt v ravnini, ki jo določa trikotnik (slika 2.7).  ABC riž. 2.7. Konstruiranje glavnih črt ravnine, ki jo določa trikotnik Vodoravna ravnina začnemo z risanjem njegove čelne projekcije h 2, za katero vemo, da je vzporedna z osjo  ABC OH A. Ker ta vodoravna premica pripada tej ravnini, gre skozi dve točki ravnine A, in sicer točke A in 1. Imajo svoje čelne projekcije A 2 in 1 2 skozi komunikacijsko linijo dobimo vodoravne projekcije ( Vodoravna ravnina 1 že obstaja) 1 1 . Povezovanje pik  ABC 1 in 1 1, imamo vodoravno projekcijo Vodoravna ravnina 1 vodoravna ravnina  ABC. Projekcija profila h po definiciji.

Sprednja ravnina  ABC je zgrajena na podoben način (sl. 2.7) z edino razliko, da se njena risba začne z vodoravno projekcijo f 1, saj je znano, da je vzporedna z osjo OX. Projekcija profila f 3 fronte morajo biti vzporedne z osjo OZ in potekati skozi projekcije Z 3, 2 3 iste točke Z in 2.

Profilna črta letala  ABC ima vodoravno r 1 in spredaj r 2 projekciji, vzporedni z osema ojoj in OZ, in projekcijo profila r 3 je mogoče dobiti od spredaj z uporabo presečišč C in 3 s  ABC.

Pri konstruiranju glavnih linij ravnine se morate spomniti samo enega pravila: za rešitev problema morate vedno dobiti dve presečni točki z dano ravnino. Konstrukcija glavnih črt, ki ležijo v ravnini, definirani na drugačen način, ni nič bolj zapletena od zgoraj obravnavane. Na sl. Slika 2.8 prikazuje konstrukcijo vodoravne in čelne ravnine, določeni z dvema sekajočima se ravnima A in 1. Zato bistvo.

riž. 2.8. Konstrukcija glavnih črt ravnine, ki jo določajo sekajoče se ravne črte.

Na kartezičnem produktu, kjer je M množica točk, uvedemo 3-mestno relacijo d. Če tej relaciji pripada urejena trojka točk (A, B, C), potem bomo rekli, da leži točka B med točkama A in C in uporabili zapis: A-B-C. Uvedena relacija mora zadoščati naslednjim aksiomom:

Če leži točka B med točkama A in C, potem so A, B, C tri različne točke na isti premici, B pa leži med C in A.

Karkoli sta točki A in B, obstaja vsaj ena točka C, taka, da B leži med A in C.

Med poljubnimi tremi točkami na premici je največ ena, ki leži med drugima dvema.

Za oblikovanje zadnjega, četrtega aksioma druge skupine je primerno uvesti naslednji koncept.

Opredelitev 3.1. Z odsekom (po Hilbertu) razumemo par točk AB. Točki A in B bomo rekli konca odseka, točki, ki ležita med njegovima koncema, notranje točke odseka ali preprosto točke odseka, točke premice AB, ki ne ležita med koncema A in B - zunanji točki segmenta.

. (Pashov aksiom) Naj bodo A, B in C tri točke, ki ne ležijo na isti premici, l pa premica ravnine ABC, ki poteka skozi te točke. Če torej premica l poteka skozi točko na odseku AB, potem vsebuje točko na odseku AC ali točko na odseku BC.

Iz aksiomov prve in druge skupine izhaja precej geometrijskih lastnosti točk, premic in odsekov. Dokaže se lahko, da ima vsak odsek vsaj eno notranjo točko, med tremi točkami na premici je vedno ena in samo ena, ki leži med dvema drugima, med dvema točkama na premici je vedno neskončno veliko točk, kar pomeni, da jih je neskončno veliko točk na premici. Prav tako je mogoče dokazati, da trditev Pashovega aksioma velja tudi za točke, ki ležijo na isti premici: če točke A, B in C pripadajo isti premici, premica l ne poteka skozi te točke in seka enega od segmentov , na primer AB v notranji točki, potem seka bodisi odsek AC bodisi odsek BC v notranji točki. Upoštevajte tudi, da iz aksiomov prve in druge skupine ne sledi, da je množica točk na premici nešteta. Za te trditve ne bomo predložili dokazov. Bralec se lahko z njimi seznani v priročnikih in. Oglejmo si podrobneje osnovne geometrijske pojme, in sicer žarek, polravnino in polprostor, ki jih uvajamo z aksiomi pripadnosti in reda.

Naslednja izjava je resnična:

Točka O premice l deli množico preostalih točk te premice na dve neprazni podmnožici, tako da je za kateri koli dve točki A in B, ki pripadata isti podmnožici, točka O zunanja točka odseka AB in za poljubno dve točki C in D, ki pripadata različnima podmnožicama, je točka O notranja točka odseka CD.

Vsaka od teh podmnožic se imenuje žarek premica l z začetkom v točki O. Žarke bomo označili s h, l, k, ...OA, OB, OC,..., kjer je O začetek žarka, A, B in C so točke žarka. Dokaz te trditve bomo podali kasneje, v razdelku 7, vendar z uporabo drugačne aksiomatike tridimenzionalnega evklidskega prostora. Koncept žarka nam omogoča, da definiramo najpomembnejši geometrijski predmet - kot.

Opredelitev 3.2.S kotom (po Hilbertu) razumemo par žarkov h in k, ki imata skupno izhodišče O in ne ležita na isti premici.

Točko O imenujemo oglišče kota, žarka h in k pa njegovi stranici. Za kote bomo uporabili zapis . Razmislimo o najpomembnejšem konceptu elementarne geometrije - konceptu polravnine.

Izrek 3.1.Premica a, ki leži v ravnini a, razdeli svojo množico točk, ki ne pripadajo premici, na dve neprazni podmnožici, tako da če točki A in B pripadata isti podmnožici, potem odsek AB nima skupnih točk s premico l. , in če točki A in B pripadata različnima podmnožicama, potem odsek AB seka premico l v njeni notranji točki.

Dokaz. Pri dokazu bomo uporabili naslednjo lastnost ekvivalenčne relacije. Če na neki množici uvedemo binarno relacijo, ki je ekvivalenčna relacija, tj. izpolnjuje pogoje refleksivnosti, simetričnosti in tranzitivnosti, potem je celotna množica razdeljena na disjunktne podmnožice - ekvivalenčne razrede, katera koli dva elementa pa pripadata istemu razredu, če in samo če sta enakovredna.

Oglejmo si množico točk ravnine, ki ne pripadajo premici a. Predpostavili bomo, da sta točki A in B v binarni relaciji d: AdB, če in samo če na odseku AB ni notranjih točk, ki pripadajo premici a. Upoštevajmo tudi To pomeni, da je katera koli točka v binarni relaciji d sama s seboj. Pokažimo, da za vsako točko A, ki ne pripada premici a, obstajajo točke, ki so različne od A, tako tiste, ki so, kot tiste, ki niso v binarni relaciji z njo. Izberimo poljubno točko P na premici a (glej sliko 6). Potem, v skladu z aksiomom, obstaja točka B na premici AP taka, da je P-A-B. Premica AB seka a v točki P, ki ne leži med točkama A in B, zato sta točki A in B v relaciji d. V skladu z istim aksiomom obstaja točka C, taka da je A-R-C. Torej leži točka P med A in C, točki A in C nista v povezavi z d.

Dokažimo, da je relacija d ekvivalenčna relacija. Pogoj refleksivnosti je očitno izpolnjen zaradi definicije binarne relacije d: AdA. Naj bosta točki A in B v relaciji d. Potem na premici a na odseku AB ni nobene točke. Iz tega sledi, da na premici a na odseku BA ni točk, torej BdA, simetrična relacija je izpolnjena. Na koncu naj bodo podane tri točke A, B in C, tako da veljata AdB in BdC. Pokažimo, da sta točki A in C v binarni relaciji d. Recimo nasprotno, na segmentu AC je točka P premice a (slika 7). Nato na podlagi aksioma, Pashovega aksioma, premica a seka odsek BC ali odsek AB (na sliki 7 premica a seka odsek BC). Prišli smo do protislovja, saj iz pogojev АdВ in ВdС sledi, da premica a ne seka teh segmentov. Tako je relacija d ekvivalenčna relacija in deli množico točk ravnine, ki ne pripadajo premici a, v ekvivalenčne razrede.

Preverimo, ali obstajata točno dva takšna ekvivalenčna razreda. Če želite to narediti, je dovolj dokazati, da če točke A in C ter B in C niso enakovredni, potem sta točki A in B enakovredni druga drugi. Ker točki A in C ter B in C nista v ekvivalenčni zvezi d, premica a seka odseka AC in BC v točkah P in Q (glej sliko 7). Toda na podlagi Pashovega aksioma ta premica ne more sekati segmenta AB. Zato sta si točki A in B enakovredni. Izrek je dokazan.

Vsak od ekvivalenčnih razredov, definiranih v izreku 3.2, se imenuje polravnina. Vsaka premica torej ravnino deli na dve polravnini, ki jima služi meja.

Podobno kot pojem polravnine je uveden pojem polprostora. Dokazan je izrek, ki trdi, da vsaka prostorska ravnina a deli točke v prostoru na dve množici. Odsek, katerega konci so točke ene množice, nima skupnih točk z ravnino a. Če konci odseka pripadajo različnim množicam, ima ta odsek v svoji notranjosti ravninsko točko a. Dokaz te izjave je podoben dokazu izreka 3.2; ne bomo ga predstavili.

Opredelimo pojem notranje točke kota. Naj bo podan kot. Razmislite o premici OA, ki vsebuje žarek OA, stran tega kota. Jasno je, da leži točka žarka OB v isti polravnini a glede na premico OA. Podobno pripadajo točke žarka OA, stranice danega kota, v isto polravnino b, katere meja je direktni OB (slika 8). Točki, ki pripadata presečišču polravnin a in b, imenujemo notranje točke kotiček. Na sliki 8 je točka M notranja točka. Množico vseh notranjih točk kota imenujemo njegov notranje območje. Žarek, katerega oglišče sovpada z ogliščem kota in katerega vse točke so notranje, se imenuje notranji žarek kotiček. Slika 8 prikazuje notranji žarek h kota AOB.

Naslednje trditve držijo.

1 0 . Če žarek, ki se začne v vrhu kota, vsebuje vsaj eno svojo notranjo točko, potem je notranji žarek tega kota.

2 0 . Če se konca segmenta nahajata na dveh različnih straneh kota, potem je vsaka notranja točka segmenta notranja točka kota.

3 0 . Vsak notranji žarek kota seka odsek, katerega konca sta na stranicah kota.

Dokaze teh trditev bomo obravnavali kasneje, v odstavku 5. Z uporabo aksiomov druge skupine so definirani koncepti lomljene črte, trikotnika, mnogokotnika, koncept notranjega območja preprostega mnogokotnika in dokazano je, da preprost poligon deli ravnino na dve regiji, notranjo in zunanjo.

Tretjo skupino Hilbertovih aksiomov tridimenzionalnega evklidskega prostora sestavljajo tako imenovani kongruenčni aksiomi. Naj bo S množica odsekov, A množica kotov. Na kartezičnih produktih bomo uvedli binarne relacije, ki jih bomo imenovali kongruenčna relacija.

Upoštevajte, da tako uvedena relacija ni relacija glavnih predmetov obravnavane aksiomatike, tj. točke premic in ravnin. Tretjo skupino aksiomov lahko uvedemo šele, ko definiramo koncepte segmenta in kota, tj. uvedeni sta bili prva in druga skupina Hilbertovih aksiomov.

Dogovorimo se tudi, da skladne odseke ali kote imenujemo tudi geometrično enake ali preprosto enake odseke ali kote, v primeru, da to ne vodi do nesporazumov, bomo nadomestili z izrazom "enaki" in ga označili z simbol “=”.

Točka in premica sta osnovni geometrijski liki na ravnini.

Definicija točke in črte ni predstavljena v geometriji; ti pojmi se obravnavajo na intuitivni konceptualni ravni.

Točke so označene z velikimi latinskimi črkami: A, B, C, D, ...

Neposredne črte so označene z eno malo (majhno) latinično črko, npr.

- naravnost a.

Ravna črta je sestavljena iz neskončnega števila točk in nima ne začetka ne konca. Slika prikazuje le del premice, razumemo pa, da se razteza neskončno daleč v vesolju in se neskončno nadaljuje v obe smeri.

Za točke, ki ležijo na premici, pravimo, da pripadajo tej premici. Pripadnost je označena z znakom ∈. Za točke zunaj premice pravimo, da ne pripadajo tej premici. Znak »ne sodi« je ∉.

Na primer, točka B pripada premici a (zapiši: B∈a),

točka F ne pripada premici a, (zapišimo: F∉a).

Osnovne lastnosti pripadnosti točk in premic na ravnini:

Ne glede na premico obstajajo točke, ki tej premici pripadajo, in točke, ki ji ne pripadajo.

Skozi kateri koli dve točki lahko narišete ravno črto in samo eno.

Premice označujemo tudi z dvema velikima latinskima črkama, po imenih točk, ki ležijo na premici.

- ravna AB.

- to linijo lahko imenujemo MK ali MN ali NK.

Dve črti se lahko sekata ali pa tudi ne. Če se črti ne sekata, nimata skupnih točk. Če se premice sekajo, imajo eno skupno točko. Prečkanje - ∩ .

Na primer, premici a in b se sekata v točki O

(napišite: a ∩ b=O).

Premica c in d se tudi sekata, vendar njuno presečišče ni prikazano na sliki.