Raiz quadrada de um produto e uma fração. Apresentação sobre o tema "Raiz quadrada de um produto" Fatoração

Os alunos sempre perguntam: “Por que não posso usar calculadora na prova de matemática? Como extrair a raiz quadrada de um número sem calculadora? Vamos tentar responder a esta pergunta.

Como extrair a raiz quadrada de um número sem a ajuda de uma calculadora?

Ação raiz quadrada inverso à ação de quadratura.

√81= 9 9 2 =81

Se você tirar a raiz quadrada de um número positivo e elevar ao quadrado o resultado, obterá o mesmo número.

De pequenos números que são quadrados exatos de números naturais, por exemplo 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, raízes quadradas podem ser extraídas oralmente. Geralmente na escola ensinam uma tabela de quadrados de números naturais até vinte. Conhecendo esta tabela, é fácil extrair raízes quadradas dos números 121.144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. De números maiores que 400 você pode extraí-los pelo método de seleção usando algumas dicas. Vamos tentar examinar esse método com um exemplo.

Exemplo: Extraia a raiz do número 676.

Notamos que 20 2 = 400 e 30 2 = 900, o que significa 20< √676 < 900.

Os quadrados exatos dos números naturais terminam em 0; 1; 4; 5; 6; 9.
O número 6 é dado por 4 2 e 6 2.
Isso significa que se a raiz for extraída de 676, então será 24 ou 26.

Resta verificar: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Responder: √676 = 26 .

Mais exemplo: √6889 .

Como 80 2 = 6.400 e 90 2 = 8.100, então 80< √6889 < 90.
O número 9 é dado por 3 2 e 7 2, então √6889 é igual a 83 ou 87.

Vamos verificar: 83 2 = 6889.

Responder: √6889 = 83 .

Se achar difícil resolver usando o método de seleção, você pode fatorar a expressão radical.

Por exemplo, encontre √893025.

Vamos fatorar o número 893025, lembre-se, você fez isso na sexta série.

Obtemos: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mais exemplo: √20736. Vamos fatorar o número 20736:

Obtemos √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

É claro que a fatoração requer conhecimento dos sinais de divisibilidade e habilidades de fatoração.

E finalmente, há regra para extrair raízes quadradas. Vamos conhecer esta regra com exemplos.

Calcule √279841.

Para extrair a raiz de um número inteiro com vários dígitos, dividimos-o da direita para a esquerda em faces contendo 2 dígitos (a borda mais à esquerda pode conter um dígito). Escrevemos assim: 27’98’41

Para obter o primeiro dígito da raiz (5), extraímos a raiz quadrada do maior quadrado perfeito contido na primeira face à esquerda (27).
Em seguida, o quadrado do primeiro dígito da raiz (25) é subtraído da primeira face e a próxima face (98) é adicionada à diferença (subtraída).
À esquerda do número resultante 298, escreva o dígito duplo da raiz (10), divida por ele o número de todas as dezenas do número obtido anteriormente (29/2 ≈ 2), teste o quociente (102 ∙2 = 204 não deve ser superior a 298) e escreva (2) após o primeiro dígito da raiz.
Em seguida, o quociente resultante 204 é subtraído de 298 e a próxima aresta (41) é adicionada à diferença (94).
À esquerda do número resultante 9441, escreva o produto duplo dos dígitos da raiz (52 ∙2 = 104), divida o número de todas as dezenas do número 9441 (944/104 ≈ 9) por este produto, teste o o quociente (1049 ∙9 = 9441) deve ser 9441 e anote (9) após o segundo dígito da raiz.

Recebemos a resposta √279841 = 529.

Extraia de forma semelhante raízes de frações decimais. Apenas o número radical deve ser dividido em faces para que a vírgula fique entre as faces.

Exemplo. Encontre o valor √0,00956484.

Basta lembrar que se uma fração decimal tiver um número ímpar de casas decimais, a raiz quadrada não poderá ser extraída dela.

Agora você viu três maneiras de extrair a raiz. Escolha o que melhor combina com você e pratique. Para aprender a resolver problemas, você precisa resolvê-los. E se você tiver alguma dúvida, inscreva-se nas minhas aulas.

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Olhei novamente para a placa... E, vamos lá!

Vamos começar com algo simples:

Só um minuto. isso, o que significa que podemos escrever assim:

Entendi? Aqui está o próximo para você:

As raízes dos números resultantes não são extraídas exatamente? Não tem problema - aqui estão alguns exemplos:

E se não houver dois, mas mais multiplicadores? O mesmo! A fórmula para multiplicar raízes funciona com qualquer número de fatores:

Agora completamente sozinho:

Respostas: Bom trabalho! Concordo, tudo é muito fácil, o principal é conhecer a tabuada!

Divisão raiz

Resolvemos a multiplicação de raízes, agora vamos passar para a propriedade da divisão.

Deixe-me lembrá-lo de que a fórmula geral é assim:

O que significa que a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.

Bem, vejamos alguns exemplos:

Isso é tudo que a ciência é. Aqui está um exemplo:

Nem tudo é tão tranquilo como no primeiro exemplo, mas, como você pode ver, não há nada complicado.

E se você se deparar com esta expressão:

Você só precisa aplicar a fórmula na direção oposta:

E aqui está um exemplo:

Você também pode se deparar com esta expressão:

Tudo é igual, só que aqui você precisa lembrar como traduzir frações (se não lembra, dê uma olhada no tópico e volte!). Você se lembra? Agora vamos decidir!

Tenho certeza que você já deu conta de tudo, agora vamos tentar elevar as raízes aos graus.

Exponenciação

O que acontece se a raiz quadrada for quadrada? É simples, lembre-se do significado da raiz quadrada de um número - este é um número cuja raiz quadrada é igual.

Então, se elevarmos ao quadrado um número cuja raiz quadrada é igual, o que obtemos?

Bem, é claro!

Vejamos exemplos:

É simples, certo? E se a raiz estiver em um grau diferente? Tudo bem!

Siga a mesma lógica e lembre-se das propriedades e ações possíveis com graus.

Leia a teoria sobre o tema “” e tudo ficará extremamente claro para você.

Por exemplo, aqui está uma expressão:

Neste exemplo, o grau é par, mas e se for ímpar? Novamente, aplique as propriedades dos expoentes e fatore tudo:

Tudo parece claro com isso, mas como extrair a raiz de um número elevado a uma potência? Aqui, por exemplo, é isto:

Muito simples, certo? E se o grau for maior que dois? Seguimos a mesma lógica usando as propriedades dos graus:

Bem, está tudo claro? Em seguida, resolva você mesmo os exemplos:

E aqui estão as respostas:

Entrando sob o signo da raiz

O que não aprendemos a fazer com raízes! Resta praticar a digitação do número sob o sinal da raiz!

É muito fácil!

Digamos que temos um número anotado

O que podemos fazer com isso? Bem, claro, esconda o três embaixo da raiz, lembrando que três é a raiz quadrada de!

Por que precisamos disso? Sim, apenas para expandir nossas capacidades ao resolver exemplos:

O que você acha dessa propriedade das raízes? Isso torna a vida muito mais fácil? Para mim, isso é exatamente certo! Apenas Devemos lembrar que só podemos inserir números positivos sob o sinal de raiz quadrada.

Resolva você mesmo este exemplo -
Você conseguiu? Vamos ver o que você deve obter:

Bom trabalho! Você conseguiu inserir o número sob o sinal de raiz! Vamos passar para algo igualmente importante - vamos ver como comparar números que contêm uma raiz quadrada!

Comparação de raízes

Por que precisamos aprender a comparar números que contêm raiz quadrada?

Muito simples. Muitas vezes, em expressões grandes e longas encontradas no exame, recebemos uma resposta irracional (lembra o que é isso? Já falamos sobre isso hoje!)

Precisamos colocar as respostas recebidas na reta coordenada, por exemplo, para determinar qual intervalo é adequado para resolver a equação. E aí surge o problema: não tem calculadora no exame e sem ela como imaginar qual número é maior e qual é menor? É isso!

Por exemplo, determine qual é maior: ou?

Você não pode dizer imediatamente. Bem, vamos usar a propriedade desmontada de inserir um número sob o sinal de raiz?

Então vá em frente:

Bem, obviamente, quanto maior o número sob o sinal da raiz, maior será a própria raiz!

Aqueles. se, então, .

Disto concluímos firmemente que. E ninguém nos convencerá do contrário!

Extraindo raízes de grandes números

Antes inserimos um multiplicador sob o sinal da raiz, mas como removê-lo? Você só precisa fatorar isso em fatores e extrair o que você extrai!

Foi possível seguir um caminho diferente e expandir para outros fatores:

Nada mal, certo? Qualquer uma dessas abordagens está correta, decida como desejar.

A fatoração é muito útil ao resolver problemas não padronizados como este:

Não tenhamos medo, mas ajamos! Vamos decompor cada fator pela raiz em fatores separados:

Agora tente você mesmo (sem calculadora! Não estará no exame):

Este é o fim? Não vamos parar no meio do caminho!

Só isso, não é tão assustador, né?

Funcionou? Muito bem, isso mesmo!

Agora tente este exemplo:

Mas o exemplo é um osso duro de roer, então você não consegue descobrir imediatamente como abordá-lo. Mas, é claro, podemos lidar com isso.

Bem, vamos começar a fatorar? Observemos imediatamente que você pode dividir um número por (lembre-se dos sinais de divisibilidade):

Agora, tente você mesmo (de novo, sem calculadora!):

Bom, deu certo? Muito bem, isso mesmo!

Vamos resumir

1. A raiz quadrada (raiz quadrada aritmética) de um número não negativo é um número não negativo cujo quadrado é igual a.
   .
2. Se simplesmente extrairmos a raiz quadrada de algo, obteremos sempre um resultado não negativo.
3. Propriedades de uma raiz aritmética:
4. Ao comparar raízes quadradas, é necessário lembrar que quanto maior o número sob o sinal da raiz, maior será a própria raiz.

Como está a raiz quadrada? Está tudo claro?

Tentamos explicar sem complicações tudo o que você precisa saber no exame sobre a raiz quadrada.

Agora é a sua vez. Escreva-nos se este tópico é difícil para você ou não.

Você aprendeu algo novo ou já estava tudo claro?

Escreva nos comentários e boa sorte nos exames!

Fórmulas raiz. Propriedades das raízes quadradas.

Atenção!
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materiais na Seção Especial 555.
Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)

Na lição anterior descobrimos o que é uma raiz quadrada. É hora de descobrir quais existem fórmulas para raízes o que são propriedades das raízes, e o que pode ser feito com tudo isso.

Fórmulas de raízes, propriedades de raízes e regras para trabalhar com raízes- isso é essencialmente a mesma coisa. Existem surpreendentemente poucas fórmulas para raízes quadradas. O que certamente me deixa feliz! Ou melhor, você pode escrever muitas fórmulas diferentes, mas para um trabalho prático e confiante com raízes, apenas três são suficientes. Todo o resto flui desses três. Embora muitas pessoas fiquem confusas nas três fórmulas raiz, sim...

Vamos começar com o mais simples. Aqui está:

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Antes das calculadoras, alunos e professores calculavam raízes quadradas manualmente. Existem várias maneiras de calcular manualmente a raiz quadrada de um número. Alguns deles oferecem apenas uma solução aproximada, outros dão uma resposta exata.

Passos

Fatoração principal

Fatore o número radical em fatores que são números quadrados. Dependendo do número radical, você obterá uma resposta aproximada ou exata. Números quadrados são números dos quais a raiz quadrada inteira pode ser extraída. Fatores são números que, quando multiplicados, dão o número original. Por exemplo, os fatores do número 8 são 2 e 4, pois 2 x 4 = 8, os números 25, 36, 49 são números quadrados, pois √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Fatores quadrados são fatores, que são números quadrados. Primeiro, tente fatorar o número radical em fatores quadrados.

• Por exemplo, calcule a raiz quadrada de 400 (manualmente). Primeiro tente fatorar 400 em fatores quadrados. 400 é múltiplo de 100, ou seja, divisível por 25 - é um número quadrado. Divida 400 por 25 para obter 16. 16 também é um número quadrado. Assim, 400 pode ser fatorado nos fatores quadrados de 25 e 16, ou seja, 25 x 16 = 400.
• Isso pode ser escrito da seguinte forma: √400 = √(25 x 16).

1. A raiz quadrada do produto de alguns termos é igual ao produto das raízes quadradas de cada termo, ou seja, √(a x b) = √a x √b.

   • No nosso exemplo, tire a raiz de 25 e 16.
     • √(25x16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Se o número radical não for fatorado em dois fatores quadrados (e isso acontece na maioria dos casos), você não conseguirá encontrar a resposta exata na forma de um número inteiro.

   • Mas você pode simplificar o problema decompondo o número radical em um fator quadrado e um fator ordinário (um número do qual a raiz quadrada inteira não pode ser extraída). Então você tirará a raiz quadrada do fator quadrado e tirará a raiz do fator comum.
     • Por exemplo, calcule a raiz quadrada do número 147. O número 147 não pode ser decomposto em dois fatores quadrados, mas pode ser decomposto nos seguintes fatores: 49 e 3. Resolva o problema da seguinte forma:
     • = √(49x3)
     • = 7√3

3. = √49 x √3 Se necessário, estime o valor da raiz.

   • Agora você pode estimar o valor da raiz (encontrar um valor aproximado) comparando-o com os valores das raízes dos números quadrados que estão mais próximos (em ambos os lados da reta numérica) do número radical. Você receberá o valor da raiz como uma fração decimal, que deve ser multiplicada pelo número atrás do sinal da raiz.
     • Voltemos ao nosso exemplo. O número radical é 3. Os números quadrados mais próximos dele serão os números 1 (√1 = 1) e 4 (√4 = 2). Assim, o valor de √3 está localizado entre 1 e 2. Como o valor de √3 está provavelmente mais próximo de 2 do que de 1, nossa estimativa é: √3 = 1,7. Multiplicamos esse valor pelo número no sinal da raiz: 7 x 1,7 = 11,9. Se você fizer as contas em uma calculadora, obterá 12,13, o que é bem próximo da nossa resposta.

4. Este método também funciona com números grandes. Por exemplo, considere √35. O número radical é 35. Os números quadrados mais próximos serão os números 25 (√25 = 5) e 36 (√36 = 6). Assim, o valor de √35 está localizado entre 5 e 6. Como o valor de √35 está muito mais próximo de 6 do que de 5 (porque 35 é apenas 1 a menos que 36), podemos dizer que √35 é um pouco menor que 6 . Verifique na calculadora nos dá a resposta 5,92 - estávamos certos. Outra maneira - . fatorar o número radical em fatores primos

   • Fatores primos são números divisíveis apenas por 1 e por eles próprios. Escreva os fatores primos de uma série e encontre pares de fatores idênticos. Tais fatores podem ser retirados do sinal raiz.
   • Por exemplo, calcule a raiz quadrada de 45. Fatoramos o número radical em fatores primos: 45 = 9 x 5 e 9 = 3 x 3. Assim, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 pode ser retirado como sinal de raiz: √45 = 3√5. Agora podemos estimar √5.
     • Vejamos outro exemplo: √88.
     • = √(2x44)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Você recebeu três multiplicadores de 2; pegue alguns deles e mova-os além do sinal da raiz.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Agora você pode avaliar √2 e √11 e encontrar uma resposta aproximada.

   Calculando raiz quadrada manualmente

   Usando divisão longa

   1. Este método envolve um processo semelhante à divisão longa e fornece uma resposta precisa. Primeiro, desenhe uma linha vertical dividindo a folha em duas metades e, em seguida, à direita e logo abaixo da borda superior da folha, desenhe uma linha horizontal até a linha vertical. Agora divida o número radical em pares de números, começando pela parte fracionária após a vírgula. Portanto, o número 79520789182.47897 é escrito como "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Por exemplo, vamos calcular a raiz quadrada do número 780,14. Desenhe duas linhas (como mostrado na imagem) e escreva o número fornecido no formato “7 80, 14” no canto superior esquerdo. É normal que o primeiro dígito da esquerda seja um dígito não pareado. Você escreverá a resposta (a raiz deste número) no canto superior direito.

   2. Para o primeiro par de números (ou número único) da esquerda, encontre o maior número inteiro n cujo quadrado é menor ou igual ao par de números (ou número único) em questão.

      • Em outras palavras, encontre o número quadrado que está mais próximo, mas menor, do primeiro par de números (ou número único) da esquerda e calcule a raiz quadrada desse número quadrado; você obterá o número n. Escreva o n que você encontrou no canto superior direito e o quadrado de n no canto inferior direito.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. No nosso caso, o primeiro número à esquerda será 7. A seguir, 4 Subtraia o quadrado do número n que você acabou de encontrar do primeiro par de números (ou único número) à esquerda.

      • Escreva o resultado do cálculo sob o subtraendo (o quadrado do número n).

   4. No nosso exemplo, subtraia 4 de 7 e obtenha 3. Pegue o segundo par de números e anote-o ao lado do valor obtido na etapa anterior.

      • Em seguida, dobre o número no canto superior direito e escreva o resultado no canto inferior direito com a adição de "_×_=".

   5. No nosso exemplo, o segundo par de números é “80”. Escreva "80" após o 3. Então, duas vezes o número no canto superior direito dá 4. Escreva "4_×_=" no canto inferior direito.

      • Preencha os espaços em branco à direita.

   6. No nosso caso, se colocarmos o número 8 em vez de travessões, então 48 x 8 = 384, que é mais que 380. Portanto, 8 é um número muito grande, mas 7 serve. Escreva 7 em vez de travessões e obtenha: 47 x 7 = 329. Escreva 7 no canto superior direito - este é o segundo dígito da raiz quadrada desejada do número 780,14. Subtraia o número resultante do número atual à esquerda.

      • No nosso exemplo, subtraia 329 de 380, o que equivale a 51.

   7. Repita a etapa 4. Se o par de números que está sendo transferido for a parte fracionária do número original, coloque um separador (vírgula) entre as partes inteiras e fracionárias na raiz quadrada necessária no canto superior direito. À esquerda, abaixe o próximo par de números. Dobre o número no canto superior direito e escreva o resultado no canto inferior direito com a adição de "_×_=".

      • No nosso exemplo, o próximo par de números a ser removido será a parte fracionária do número 780,14, então coloque o separador das partes inteira e fracionária na raiz quadrada desejada no canto superior direito. Pegue 14 e escreva no canto inferior esquerdo. O dobro do número no canto superior direito (27) é 54, então escreva "54_×_=" no canto inferior direito.

   8. Repita as etapas 5 e 6. Encontre o maior número no lugar dos travessões à direita (em vez dos travessões você precisa substituir o mesmo número) para que o resultado da multiplicação seja menor ou igual ao número atual à esquerda.

      • No nosso exemplo, 549 x 9 = 4941, que é menor que o número atual à esquerda (5114). Escreva 9 no canto superior direito e subtraia o resultado da multiplicação do número atual à esquerda: 5114 - 4941 = 173.

   9. Se precisar encontrar mais casas decimais para a raiz quadrada, escreva alguns zeros à esquerda do número atual e repita as etapas 4, 5 e 6. Repita as etapas até obter a precisão da resposta (número de casas decimais) que você precisar.

   Compreendendo o processo

   Para dominar esse método, imagine o número cuja raiz quadrada você precisa encontrar como a área do quadrado S. Nesse caso, você procurará o comprimento do lado L desse quadrado. Calculamos o valor de L tal que L² = S.

   Dê uma letra para cada número da resposta. Denotemos por A o primeiro dígito do valor de L (a raiz quadrada desejada). B será o segundo dígito, C o terceiro e assim por diante.

   Especifique uma letra para cada par de primeiros dígitos. Denotemos por S a o primeiro par de dígitos no valor de S, por S b o segundo par de dígitos e assim por diante.

   Entenda a conexão entre este método e a divisão longa. Assim como na operação de divisão, onde estamos interessados ​​apenas no próximo dígito do número que estamos dividindo a cada vez, ao calcular uma raiz quadrada, trabalhamos com um par de dígitos sequencialmente (para obter o próximo dígito do quadrado valor raiz).

   1. Considere o primeiro par de dígitos Sa do número S (Sa = 7 em nosso exemplo) e encontre sua raiz quadrada. Neste caso, o primeiro dígito A do valor desejado da raiz quadrada será um dígito cujo quadrado é menor ou igual a S a (ou seja, procuramos um A tal que a desigualdade A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Digamos que precisamos dividir 88.962 por 7; aqui o primeiro passo será semelhante: consideramos o primeiro dígito do número divisível 88962 (8) e selecionamos o maior número que, quando multiplicado por 7, dá um valor menor ou igual a 8. Ou seja, procuramos um número d para o qual a desigualdade é verdadeira: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

Diapositivo 2

Objetivos da lição:

Revise a definição de raiz quadrada aritmética. Apresente e prove o teorema da raiz quadrada de um produto. Aprenda a encontrar. Teste conhecimentos e habilidades por meio de trabalho independente.

Diapositivo 3

Raiz quadrada do produto

Plano de aula: Atualizando conhecimentos. Aprendendo novo material. Corrigindo a fórmula com exemplos. Trabalho independente. Resumindo. Trabalho de casa.

Diapositivo 4

Olá, pessoal!

Vamos repetir: 2. O que é chamado de raiz quadrada aritmética do número 3. Em que valor a expressão faz sentido? 1. Qual é o nome da expressão

Diapositivo 5

Encontrar:

1) 2) 3) 7 ou ou 7

Diapositivo 6

Hoje conheceremos uma das propriedades da raiz quadrada aritmética. Vamos apresentar e provar o teorema da raiz quadrada de um produto e considerar exemplos de sua aplicação. Em seguida, serão oferecidas tarefas para autoteste. Desejo-lhe boa sorte!

Diapositivo 7

Vamos tentar resolver

Considere a raiz aritmética Encontre o valor da expressão: Então, Então, a raiz do produto de dois números é igual ao produto das raízes desses números.

Diapositivo 8

A raiz do produto dos fatores não negativos é igual ao produto das raízes desses fatores.

Se então Teorema

Raiz quadrada do produto

Diapositivo 9

Prova: significa que eles fazem sentido. 4. Conclusão: (já que o produto de dois números não negativos é não negativo) 5. Então,

Diapositivo 10

Vimos a prova do teorema sobre como extrair a raiz quadrada de um produto. Passemos ao trabalho prático. Agora vou mostrar como essa fórmula é usada para resolver exemplos. Decida comigo.

Diapositivo 11

Calcule o valor da raiz quadrada usando o teorema da raiz do produto: Exemplos de resolução:

Diapositivo 12

Vamos resolver exemplos:

2. Encontre o significado da expressão:

Diapositivo 13

Contagem rápida

E descobri como usar essa fórmula para cálculos rápidos. Assista e aprenda.

Diapositivo 14