განსაზღვრეთ წრფის პერპენდიკულარული სიბრტყე. ორმხრივი პერპენდიკულარული სწორი ხაზების და სიბრტყეების აგება
ორმხრივი პერპენდიკულარული ხაზებისა და სიბრტყეების აგება მნიშვნელოვანი გრაფიკული ოპერაციაა მეტრულ ამოცანების გადასაჭრელად.
წრფის ან სიბრტყის პერპენდიკულარული კონსტრუქცია ეფუძნება ქონებას სწორი კუთხე, რომელიც ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: თუ მართი კუთხის ერთ-ერთი გვერდი პარალელურია პროექციის სიბრტყის პარალელურად, ხოლო მეორე არ არის მის პერპენდიკულარული, მაშინ კუთხე სრული ზომით არის დაპროექტებული ამ სიბრტყეზე.
სურათი 28
ABC მართი კუთხის BC გვერდი, რომელიც ნაჩვენებია 28-ზე, არის სიბრტყე P 1-ის პარალელურად. შესაბამისად, ABC კუთხის პროექცია ამ სიბრტყეზე იქნება მართი კუთხე A 1 B 1 C 1 =90.
წრფე პერპენდიკულარულია სიბრტყეზე, თუ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე ორი გადამკვეთი ხაზის მიმართ. ხაზების სიმრავლიდან პერპენდიკულარულის აგებისას თვითმფრინავს ეკუთვნისაირჩიეთ დონის სწორი ხაზები - ჰორიზონტალური და ფრონტალური. ამ შემთხვევაში, პერპენდიკულარის ჰორიზონტალური პროექცია ხორციელდება ჰორიზონტალურზე პერპენდიკულარულად, ხოლო შუბლის პროექცია წინაზე პერპენდიკულარულია. 29-ზე ნაჩვენები მაგალითი გვიჩვენებს მითითებულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულის აგებას სამკუთხედი ABC, წერტილიდან K. ამისათვის ჯერ სიბრტყეში დახაზეთ ჰორიზონტალური და ფრონტალური ხაზები. შემდეგ K წერტილის შუბლის პროექციიდან ვხატავთ პერპენდიკულარულს შუბლის შუბლის პროექციაზე, ხოლო წერტილის ჰორიზონტალური პროექციიდან - პერპენდიკულარული ჰორიზონტალური პროექციის მიმართ. შემდეგ ამ პერპენდიკულარის გადაკვეთის წერტილს ვაშენებთ სიბრტყესთან დამხმარე ჭრის სიბრტყის Σ. საჭირო წერტილი არის F. ამრიგად, მიღებული სეგმენტი KF არის ABC სიბრტყის პერპენდიკულარული.
სურათი 29
სურათი 29 გვიჩვენებს პერპენდიკულარული KF-ის აგებას ABC სიბრტყეზე.
ორი სიბრტყე პერპენდიკულარულია, თუ ერთ სიბრტყეში მდებარე წრფე პერპენდიკულარულია მეორე სიბრტყის ორი გადამკვეთი წრფის მიმართ. ამ სიბრტყის ABC პერპენდიკულარული სიბრტყის კონსტრუქცია ნაჩვენებია სურათზე 30. სწორი ხაზი MN დახაზულია M წერტილის გავლით, სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ABC. ამ ხაზის ჰორიზონტალური პროექცია AC-ის პერპენდიკულარულია, ვინაიდან AC ჰორიზონტალურია, ხოლო შუბლის პროექცია AB-ის პერპენდიკულარულია, ვინაიდან AB არის შუბლის. შემდეგ თვითნებური სწორი ხაზი EF იხაზება M წერტილის გავლით. ამრიგად, სიბრტყე პერპენდიკულარულია ABC-ზე და განისაზღვრება ორი გადამკვეთი ხაზით EF და MN.
სურათი 30
ეს მეთოდი გამოიყენება სეგმენტების ბუნებრივი მნიშვნელობების დასადგენად ზოგადი პოზიცია, ასევე მათი დახრილობის კუთხეები პროექციის სიბრტყეებზე. ამ მეთოდის გამოყენებით სეგმენტის ბუნებრივი ზომის დასადგენად აუცილებელია მართკუთხა სამკუთხედის შევსება სეგმენტის ერთ-ერთ პროექციაზე. მეორე ფეხი იქნება სეგმენტის ბოლო წერტილების სიმაღლეებში ან სიღრმეებში განსხვავება, ხოლო ჰიპოტენუზა იქნება ბუნებრივი მნიშვნელობა.
განვიხილოთ მაგალითი: ნახაზი 31 გვიჩვენებს AB სეგმენტს ზოგად პოზიციაში. საჭიროა განისაზღვროს მისი ბუნებრივი ზომა და დახრილობის კუთხეები პროგნოზების შუბლისა და ჰორიზონტალური სიბრტყეების მიმართ.
ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე ვხატავთ პერპენდიკულარულს სეგმენტის ერთ-ერთ ბოლოზე. მასზე გამოვსახავთ სეგმენტის ბოლოების სიმაღლის სხვაობას (ZA-ZB) და ვასრულებთ მართკუთხა სამკუთხედის აგებას. მისი ჰიპოტენუზა არის სეგმენტის ბუნებრივი მნიშვნელობა, ხოლო კუთხე ბუნებრივ მნიშვნელობასა და სეგმენტის პროექციას შორის არის სეგმენტის დახრილობის კუთხის ბუნებრივი მნიშვნელობა P 1 სიბრტყეზე. ფრონტალურ სიბრტყეზე აგების თანმიმდევრობა იგივეა. პერპენდიკულარულის გასწვრივ ჩვენ გამოვსახავთ განსხვავებას სეგმენტის ბოლოების სიღრმეებში (YA-YB). შედეგად მიღებული კუთხე სეგმენტის ბუნებრივ ზომასა და მის შუბლის პროექციას შორის არის სეგმენტის დახრილობის კუთხე P 2 სიბრტყეზე.
სურათი 31
1. ჩამოთვალეთ თეორემა მართი კუთხის თვისების შესახებ.
2. რა შემთხვევაშია სწორი წრფე სიბრტყის პერპენდიკულარული?
3. რამდენი სწორი და მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული რამდენი სიბრტყე შეიძლება გაივლოს სივრცის წერტილში?
4. რისთვის გამოიყენება მეთოდი? მართკუთხა სამკუთხედი?
5. როგორ გამოვიყენოთ ეს მეთოდი ზოგადი პოზიციის სეგმენტის დახრილობის კუთხის დასადგენად პროექციების ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე?
ბრინჯი. 4.17 ნახ. 4.18
თუ სიბრტყე განისაზღვრება სწორი ხაზების გადაკვეთით (ნახ. 4.17), მაშინ პრობლემის გადაწყვეტა მცირდება წერტილის გავლებამდე. ამოცემული წრფეების პარალელურად წყვილი.
თუ თვითმფრინავი მოცემულია კვალით (4.18), მაშინ მშენებლობა შეიძლება შესრულდეს შემდეგი ალგორითმის გამოყენებით:
1. წერტილის მეშვეობით ადახაზეთ, მაგალითად, სასურველი სიბრტყის Q ჰორიზონტალური ჰორიზონტლების პარალელურად მოცემული თვითმფრინავი რ.
2. ამ ჰორიზონტალური ხაზის მეშვეობით ვხატავთ სასურველ სიბრტყეს მოცემულის პარალელურად. ფრონტალური კვალი Q Vხორციელდება შუბლის პროექციის საშუალებით P"ფრონტალური ბილიკი ჰორიზონტალური ტრასის პარალელურად პ ვ; ჰორიზონტალური კვალი QH- წერტილის გავლით Q Xბილიკის პარალელურად რ ნ.
დავალება 2.წერტილის მეშვეობით ა(აა") დახატეთ თვითმფრინავი ქ, წრფის პერპენდიკულარულად (ნახ. 4.19).
 |
ა) საჭიროა სასურველი სიბრტყის ჩვენება ხაზების გადაკვეთით. ამ შემთხვევაში, ყველაზე მარტივია თვითმფრინავის აშენება ქძირითადი ხაზები - ჰორიზონტალური და ფრონტალური, გადის წერტილში A (a, a").
ბრინჯი. 4.19 ნახ. 4.20
ბ) საჭიროა სასურველი სიბრტყის ჩვენება კვალით. მშენებლობა შეიძლება შესრულდეს შემდეგი ალგორითმის გამოყენებით. წერტილის მეშვეობით ადახაზეთ ჰორიზონტალური სიბრტყე ქხაზის სეგმენტის პერპენდიკულარული მზე.შემდეგ ამ ჰორიზონტალური ხაზის მეშვეობით ვხატავთ სასურველ სიბრტყეს სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად მზე.ფრონტალური კვალი Q Vხორციელდება შუბლის პროექციის საშუალებით P"შუბლის კვალი ჰორიზონტალური პერპენდიკულარული ბ"с′; ჰორიზონტალური კვალი QH- წერტილის გავლით Q Xპერპენდიკულარულად ძვ.წ.
პრობლემა 3. წერტილის მეშვეობით A (a, a")დახატეთ თვითმფრინავი Q,მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული რდა გადის ბილიკების გაქრობის წერტილში Q Xღერძზე X(სურ. 4.20).
ცნობილია, რომ თვითმფრინავი ქიქნება მოცემული სიბრტყის პერპენდიკულარული R,თუ იგი გადის მის პერპენდიკულარზე ან სიბრტყეში მდებარე წრფის პერპენდიკულარულზე რ.
ნახ. 4.20 პრობლემის გადაჭრა ხორციელდება გეგმის მიხედვით, ამ პირობებიდან პირველის გამოყენებით:
1. მეშვეობით for ეს წერტილი ასიბრტყეზე პერპენდიკულარული რ(am+P H , am′+P V).
2. ამ პერპენდიკულარულის გავლით და მოცემული წერტილი Q Xშედგენილია საჭირო თვითმფრინავი ქ. ამავე დროს, კვალი Q Nდახატული ჰორიზონტალური პროექციის საშუალებით თპერპენდიკულარული და წერტილის ჰორიზონტალური კვალი Q X; სიმღერა Q V- ფრონტალური პროექციის საშუალებით P'პერპენდიკულარული და წერტილის შუბლის კვალი Q X.
სასურველი სიბრტყე ასევე შეიძლება აშენდეს სწორი ხაზების გადაკვეთით, თუ წერტილის გავლით Q Xდახაზეთ ნებისმიერი სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს საერთო წერტილიპერპენდიკულართან ერთად.
დავალება 4.წერტილის მეშვეობით ა (აა") დახაზეთ წრფის პერპენდიკულარული ხაზი მზე.
საჭირო პერპენდიკულარი დევს მოცემული წრფის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში მზე.
ამრიგად, პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია შემდეგი ალგორითმის გამოყენებით:
1. წერტილის მეშვეობით ადახატეთ თვითმფრინავი ქ, ხაზის პერპენდიკულარულად მზე.
2. განსაზღვრეთ წერტილი K (k, k")სწორი ხაზის გადაკვეთა მზეთვითმფრინავით ქჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყის გამოყენებით ს.
3. წერტილების შეერთება ადა TO.
 |
დიაგრამაზე, ამ ალგორითმის გამოყენებით პრობლემის გადაჭრისას, შეგიძლიათ აჩვენოთ თვითმფრინავი ორი გადამკვეთი ძირითადი ხაზით ( h×f) (სურ. 4.21) ან კვალი (სურ. 4.22).
ბრინჯი. 4.21 ნახ. 4.22
დავალება 5.სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის აგება ABCდა DEF.
ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია წრფისა და სიბრტყის გადაკვეთის პრობლემის გამოყენებით. ნახ. ნახაზზე 4.23 ნაჩვენებია სამკუთხედებით განსაზღვრული სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის აგება ABCდა DEF. პირდაპირ MNაგებულია მხარეთა გადაკვეთის ნაპოვნი წერტილების საფუძველზე DFდა EFსამკუთხედი DEFსამკუთხედის სიბრტყით ABC.
მაგალითად, წერტილის პოვნა მგადაკვეთის მხარეები DFთვითმფრინავით ABC, სწორი ხაზის გავლით DFდახაზეთ შუბლის პროექციის სიბრტყე რ ABCსწორ ხაზზე I II დფდა 12 მსასურველი წერტილი მ. შემდეგ იპოვნეთ შუბლის პროექცია მ"წერტილები მ. სრული გაჩერება ნსწორი ხაზის გადაკვეთა EFთვითმფრინავით ABCნაპოვნია ფრონტალური პროექციის სიბრტყის გამოყენებით ქ, რომელიც კვეთს სამკუთხედის სიბრტყეს ABCსწორ ხაზზე III IV. ჰორიზონტალური პროექციების გადაკვეთაზე ეფდა 34 მიიღეთ ჰორიზონტალური პროექცია ნსასურველი წერტილი ნ.
წერტილების დაკავშირება წყვილებში მ"და ნ", მდა ნ, მიიღეთ გადაკვეთის ხაზის პროგნოზები MNთვითმფრინავები ABCდა DEF.
სიბრტყის სეგმენტების ნაწილების ხილვადობა დგინდება კონკურენტი წერტილების მეთოდით.
a სიბრტყის პერპენდიკულარული სიბრტყის აგება შეიძლება მოხდეს ორი გზით: I) სიბრტყე p დახაზულია a სიბრტყეზე პერპენდიკულარული სწორი ხაზით; 2) სიბრტყე p დახაზულია a სიბრტყეში ან ამ სიბრტყის პარალელურად მდებარე წრფის პერპენდიკულურად. უნიკალური გადაწყვეტის მისაღებად საჭიროა დამატებითი პირობები. ნახაზი 148 გვიჩვენებს CDE სამკუთხედით განსაზღვრული სიბრტყის პერპენდიკულარული სიბრტყის აგებას. აქ დამატებითი პირობაა ის, რომ სასურველმა სიბრტყემ უნდა გაიაროს AB სწორი ხაზი. შესაბამისად, სასურველი სიბრტყე განისაზღვრება AB სწორი ხაზით და სამკუთხედის სიბრტყის პერპენდიკულარულით. CDE სიბრტყეზე ამის პერპენდიკულარის დასახატად მასში აღებულია ფრონტები CN და ჰორიზონტალური CM: თუ B"F" ± C"N" და B"G 1 CM\ მაშინ CDF სიბრტყის BFX. სიბრტყე წარმოიქმნება გადაკვეთით. სწორი ხაზები AB და BF არის CDE სიბრტყეზე პერპენდიკულარული, როგორ გადის ის ამ სიბრტყის პერპენდიკულარულობაზე, შეიძლება თუ არა თვით სიბრტყეების პერპენდიკულარობის ნიშანი იყოს? ეს ასევე მოიცავს ორ ჰორიზონტალურად გამომავალი სიბრტყის ორმხრივ პერპენდიკულარულობას, რომელშიც ჰორიზონტალური კვალი არის ორმხრივი პერპენდიკულარული, ხოლო ფრონტალური კვალი არის ორმხრივი პერპენდიკულარული სიბრტყე p პერპენდიკულარულია a სიბრტყის პერპენდიკულარულია თუ სიბრტყე p პერპენდიკულარულია i სიბრტყეზე, მაშინ p 1 სიბრტყის გადაკვეთის წრფეა, აქედან გამომდინარე, h "0a 1р და, მაშასადამე, h"0u 1 р", როგორც р სიბრტყის ერთ-ერთ სწორ ხაზს. ასე რომ, ზოგადი პოზიციის სიბრტყის ჰორიზონტალური კვალის პერპენდიკულურობა და ჰორიზონტალურად ასახული სიბრტყე შეესაბამება ამ სიბრტყეების ორმხრივ პერპენდიკულურობას. ცხადია, ფრონტალურად გამომავალი სიბრტყის და ზოგადი პოზიციის სიბრტყის შუბლის კვალის პერპენდიკულურობა ასევე შეესაბამება ამ სიბრტყეების ორმხრივ პერპენდიკულურობას. მაგრამ თუ ზოგად პოზიციაზე ორი სიბრტყის ერთი და იგივე სახელის კვალი ერთმანეთის პერპენდიკულარულია, მაშინ თავად სიბრტყეები არ არიან ერთმანეთის პერპენდიკულარული, რადგან ამ მონაკვეთის დასაწყისში მითითებული არცერთი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული. კითხვები თვითტესტისთვის 1. როგორ არის განსაზღვრული სიბრტყე ნახაზზე? 2. როგორია სიბრტყის კვალი საპროექციო სიბრტყეზე? 3. სად მდებარეობს ჰორიზონტალური კვალის შუბლის პროექცია და სიბრტყის შუბლის კვალის ჰორიზონტალური პროექცია? ლ. როგორ დგინდება ნახაზზე სწორი ხაზი ეკუთვნის თუ არა მოცემულ სიბრტყეს? 5. როგორ ავაშენოთ წერტილი ნახაზზე, რომელიც ეკუთვნის მოცემულ სიბრტყეს? 6. როგორ მდებარეობს nt სისტემაში? და 713 გენერალური პოზიციის თვითმფრინავი? 7. რა არის ფრონტალური პროექციის, ჰორიზონტალური პროექციის და პროფილის პროექციის სიბრტყეები? 8. როგორ არის დახატული ფრთა-პროექციული სიბრტყე სწორი ხაზით ნახატზე ნაჩვენები ზოგადი პოზიციით? 9. რა შედარებითი პოზიცია შეიძლება დაიკავოს ორმა სიბრტყემ? 10. რა არის ორი სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი? 11. როგორ განლაგებულია ერთმანეთის პარალელურად ორი სიბრტყის ერთი და იგივე სახელწოდების კვალი? 12. როგორ დავადგინოთ სწორი ხაზისა და სიბრტყის ფარდობითი პოზიცია? 13. რა არის ეს? ზოგადი მეთოდიორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზის აგება? 14. როგორია წრფის სიბრტყეს გადაკვეთის წერტილის აგების ზოგადი მეთოდი? 15. როგორ განვსაზღვროთ „ხილვადობა“, როდესაც ხაზი კვეთს სიბრტყეს? 16. რა განსაზღვრავს ორი სიბრტყის ურთიერთპარალელიზმს? 17. როგორ დავხატოთ სიბრტყე მოცემული სიბრტყის პარალელურად წერტილის გავლით? 18. როგორ მდებარეობს სიბრტყეზე პერპენდიკულარულის პროექცია? 19. როგორ ავაშენოთ ორმხრივი პერპენდიკულარული სიბრტყეები?
წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშანი საშუალებას გვაძლევს ავაშენოთ ურთიერთ პერპენდიკულარული ხაზები და სიბრტყეები, ანუ დავამტკიცოთ ასეთი წრფეებისა და სიბრტყეების არსებობა. დავიწყოთ მოცემული წრფის პერპენდიკულარული სიბრტყის აგებით და მოცემულ წერტილზე გავლისას. მოდით გადავჭრათ ორი კონსტრუქციული ამოცანა, რომლებიც შეესაბამება ორ შესაძლებლობას მოცემული წერტილისა და მოცემული წრფის მდებარეობაში.
ამოცანა 1. მოცემული წრფის a წერტილის გავლით დახაზეთ სიბრტყე ამ წრფეზე პერპენდიკულარული.
დავხატოთ ნებისმიერი ორი სიბრტყე a სწორი ხაზით და თითოეულ ამ სიბრტყეში A წერტილის გავლით გავავლოთ a სწორი ხაზის პერპენდიკულარული სწორი ხაზი, რომელიც აღვნიშნავთ მათ b და c (ნახ. 2.17). სიბრტყე a, რომელიც გადის სწორ ხაზებზე bis, შეიცავს A წერტილს და არის პერპენდიკულარული a სწორი ხაზის მიმართ (სწორი ხაზისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობაზე დაყრდნობით). ამიტომ, თვითმფრინავი a არის სასურველი. პრობლემა მოგვარებულია.
პრობლემას აქვს მხოლოდ ერთი (ანუ უნიკალური) გადაწყვეტა. მართლაც, დავუშვათ პირიქით. შემდეგ, a სიბრტყის გარდა, A წერტილში გადის კიდევ ერთი სიბრტყე P, პერპენდიკულარული a სწორი ხაზის (ნახ. 2.18). P სიბრტყეში ავიღოთ ნებისმიერი წრფე, რომელიც გადის A წერტილში და არ დევს a სიბრტყეში. მოდით დავხატოთ y სიბრტყე გადამკვეთ a და ხაზებში. y სიბრტყე კვეთს a სიბრტყეს q სწორი ხაზის გასწვრივ. წრფე q არ ემთხვევა წრფეს, რადგან q დევს და არ დევს a-ში. ორივე ეს წრფე დგას y სიბრტყეში, გადის A წერტილს და პერპენდიკულარულია a წრფეზე since და ანალოგიურად წლიდან და. მაგრამ ეს ეწინააღმდეგება ცნობილი თეორემაპლანიმეტრია, რომლის მიხედვითაც სიბრტყეში მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი გადის თითოეულ წერტილზე, მოცემული სწორი ხაზის პერპენდიკულარული.
ასე რომ, თუ ვივარაუდებთ, რომ ორი სიბრტყე პერპენდიკულარულია A წერტილში გავლისას, ჩვენ მივედით წინააღმდეგობაში. ამიტომ პრობლემა აქვს მხოლოდ გადაწყვეტილება.
ამოცანა 2. მოცემული A წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ a წრფეზე, დახაზეთ სიბრტყე ამ წრფეზე პერპენდიკულარული.
A წერტილის გავლით ვხაზავთ b წრფეს a წრფეზე პერპენდიკულარული. მოდით B იყოს a და b-ის გადაკვეთის წერტილი. B წერტილის გავლით ასევე ვხაზავთ c სწორ ხაზს, მართკუთხა a-ზე პერპენდიკულარული (ნახ. 2.19). სიბრტყე, რომელიც გადის ორივე დახაზულ წრფეზე, პერპენდიკულარულობის კრიტერიუმის მიხედვით (თეორემა 2) იქნება a-ზე პერპენდიკულარული.
როგორც პრობლემა 1-ში, აგებული თვითმფრინავი უნიკალურია. მართლაც, ავიღოთ ნებისმიერი სიბრტყე, რომელიც გადის A წერტილზე პერპენდიკულარული a სწორი ხაზისკენ. ასეთი სიბრტყე შეიცავს a წრფეზე პერპენდიკულარულ წრფეს და გადის A წერტილს. მაგრამ არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი წრფე. ეს არის წრფე b, რომელიც გადის B წერტილზე. ეს ნიშნავს, რომ A-ზე გამავალი და a წრფის პერპენდიკულარული სიბრტყე უნდა შეიცავდეს B წერტილს და მხოლოდ ერთი სიბრტყე გადის B წერტილში, a წრფეზე პერპენდიკულარული (პრობლემა 1). ასე რომ, ამ კონსტრუქციული პრობლემების გადაჭრის შემდეგ და მათი გადაწყვეტილებების უნიკალურობის დამტკიცების შემდეგ, ჩვენ დავამტკიცეთ შემდეგი მნიშვნელოვანი თეორემა.
თეორემა 3 (წრფის პერპენდიკულარული სიბრტყის შესახებ). თითოეული წერტილის გავლით გადის სიბრტყე მოცემული წრფის პერპენდიკულარული და, უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი.
დასკვნა (პერპენდიკულარების სიბრტყის შესახებ). მოცემულ წერტილში მოცემული წრფის პერპენდიკულარული ხაზები დევს იმავე სიბრტყეში და ფარავს მას.
მოდით a იყოს მოცემული წრფე და A იყოს ნებისმიერი წერტილი მასზე. მასში თვითმფრინავი გადის. წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის განმარტებით იგი დაფარულია
დაფარული სწორი ხაზებით A წერტილზე a სწორი ხაზის პერპენდიკულარული, ე.ი. სიბრტყის a თითოეული წერტილის გავლით გადის a წრფის პერპენდიკულარული წრფე.
დავუშვათ, რომ სწორი ხაზი გადის A წერტილში და არ დევს a სიბრტყეში. დავხატოთ სიბრტყე P მასში და A სიბრტყე გადაიკვეთოს a გარკვეული სწორი ხაზის გასწვრივ (ნახ. 2.20). და რადგან ირკვევა, რომ A წერტილიდან P სიბრტყეში გადის ორი სწორი ხაზი b და c, პერპენდიკულარული a სწორი ხაზის მიმართ. Ეს შეუძლებელია. ეს ნიშნავს, რომ A წერტილში არ არის a წრფეზე პერპენდიკულარული წრფეები და არ არის a სიბრტყეში. ისინი ყველა ამ თვითმფრინავში წევენ.
თეორემა 3-ის დასკვნის მაგალითი მოცემულია ბორბალზე, მის ღერძზე პერპენდიკულარული სპიკებით: ბრუნვისას ისინი ხაზავენ სიბრტყეს (უფრო ზუსტად, წრეს), იღებენ ყველა პოზიციას ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულად.
2 და 3 თეორემები დაგეხმარებათ შემდეგი ამოცანის მარტივი გადაწყვეტაში.
ამოცანა 3. მოცემულ სიბრტყეზე მდებარე წერტილის გავლით დახაზეთ ამ სიბრტყის პერპენდიკულარული წრფე.
მიეცით სიბრტყე a და A წერტილი სიბრტყეში a. მოდით დავხატოთ a წრფე A სიბრტყეზე A წერტილამდე. A წერტილის გავლით ვხატავთ a წრფეზე პერპენდიკულარულ სიბრტყეს (პრობლემა 1). სიბრტყე გადაკვეთს a სიბრტყეს ზოგიერთი სწორი ხაზის გასწვრივ (ნახ. 2.21). დავხაზოთ c წრფე P სიბრტყეში A წერტილის გავლით, b წრფის პერპენდიკულარული. ვინაიდან (რადგან c დევს თვითმფრინავში
და), შემდეგ თეორემა 2-ით. მისი გადაწყვეტის უნიკალურობა დადგენილია 2.1 ნაწილში.
კომენტარი. კოსმოსში კონსტრუქციების შესახებ. შეგახსენებთ, რომ პირველ თავში ვსწავლობთ "სტრუქტურულ გეომეტრიას". და ამ ეტაპზე ჩვენ გადავწყვიტეთ სამი პრობლემა, რომელიც დაკავშირებულია კოსმოსში მშენებლობასთან დაკავშირებით. რა იგულისხმება სტერეომეტრიაში ტერმინებში „კონსტრუირება“, „დახაზვა“, „ჩაწერა“ და ა.შ. პირველ რიგში, გავიხსენოთ სიბრტყეზე არსებული კონსტრუქციები ამით ვამტკიცებთ მის არსებობას ზოგადად, კონსტრუქციული ამოცანის ამოხსნისას ვამტკიცებთ ფიგურის არსებობის თეორემას მოცემული თვისებები. ეს გამოსავალი მოდის რაღაც ალგორითმის შედგენაზე სასურველი ფიგურის ასაგებად, ე.ი. მივუთითოთ მიმავალი უმარტივესი ოპერაციების შესრულების თანმიმდევრობა საჭირო შედეგი. უმარტივესი ოპერაციებია სეგმენტების, წრეების დახატვა და მათი გადაკვეთის წერტილების პოვნა. შემდეგ, ხატვის ხელსაწყოების გამოყენებით, ფიგურა პირდაპირ აგებულია ქაღალდზე ან დაფაზე.
ასე რომ, პლანიმეტრიაში, კონსტრუქციული პრობლემის გადაწყვეტას, როგორც იქნა, ორი მხარე აქვს: თეორიული - კონსტრუქციის ალგორითმი - და პრაქტიკული - ამ ალგორითმის განხორციელება, მაგალითად, კომპასით და სახაზავებით.
სტერეომეტრიულ კონსტრუქციულ ამოცანას მხოლოდ ერთი მხარე დარჩა - თეორიული, რადგან სივრცეში არ არსებობს კონსტრუქციული ხელსაწყოები, მსგავსი კომპასისა და სახაზავი.
სივრცეში ძირითადი კონსტრუქციები მიჩნეულია სწორი ხაზებისა და სიბრტყეების არსებობის აქსიომებითა და თეორემებით. ეს არის წრფის გავლება ორ წერტილში, სიბრტყის დახატვა (პუნქტი 1.1 და 1.4 პუნქტის 1 აქსიომა), ასევე ნებისმიერი ორი აგებული სიბრტყის გადაკვეთის ხაზის აგება (პუნქტი 1.4-ის აქსიომა 2). გარდა ამისა, ბუნებრივად ვივარაუდებთ, რომ უკვე აშენებულ თვითმფრინავებში შესაძლებელია პლანიმეტრიული კონსტრუქციების განხორციელება.
სივრცეში სამშენებლო პრობლემის გადაჭრა ნიშნავს ძირითადი კონსტრუქციების თანმიმდევრობის მითითებას, რაც იწვევს სასურველი ფიგურა. ჩვეულებრივ, ყველა ძირითადი კონსტრუქცია ცალსახად არ არის მითითებული, მაგრამ მინიშნება ხდება უკვე გადაჭრილ სამშენებლო პრობლემებზე, ე.ი. ასეთი კონსტრუქციების შესაძლებლობის შესახებ უკვე დადასტურებულ დებულებებსა და თეორემებზე.
გარდა კონსტრუქციებისა - არსებობის თეორემების სტერეომეტრიაში, შესაძლებელია კონსტრუქციებთან დაკავშირებული კიდევ ორი სახის პრობლემა.
პირველ რიგში, დავალებები მოცემულია სურათზე ან ნახატზე. ეს არის პოლიედრების ან სხვა ორგანოების ჭრის პრობლემები. ჩვენ რეალურად არ ვაშენებთ განყოფილებას, არამედ მხოლოდ მასზე გამოვსახავთ
ნახატი ან ნახატი, რომელიც უკვე გვაქვს. ასეთი კონსტრუქციები ტარდება როგორც პლანიმეტრიული, სტერეომეტრიის აქსიომებისა და თეორემებისა და გამოსახულების წესების გათვალისწინებით. ამ ტიპის პრობლემები მუდმივად წყდება ხატვისა და დიზაინის პრაქტიკაში.
მეორეც, ზედაპირებზე სხეულების აგების ამოცანები. ამოცანა: „კუბის ზედაპირზე ააგეთ წერტილები, რომლებიც დაშორებულია მოცემული წვეროდან მოცემული მანძილი" - შეიძლება ამოხსნას კომპასის დახმარებით (როგორ?). პრობლემა: "ბურთის ზედაპირზე ააგეთ წერტილები, რომლებიც დაშორებულია მოცემული წერტილიდან მოცემულ მანძილზე" - ასევე შეიძლება ამოხსნას კომპასი (როგორ?) ამ ტიპის პრობლემები არ წყდება გეომეტრიის გაკვეთილებზე - ისინი მუდმივად წყვეტენ მარკერს, რა თქმა უნდა, იმ სიზუსტით, რასაც მისი ხელსაწყოები აძლევს, მაგრამ ასეთი პრობლემების გადაჭრაში ის ეყრდნობა გეომეტრიას.
სიბრტყის გადამკვეთი წრფის ყველა შესაძლო პოზიციიდან ჩვენ აღვნიშნავთ შემთხვევას, როდესაც წრფე სიბრტყის პერპენდიკულარულია და განვიხილავთ ასეთი წრფის პროგნოზების თვისებებს.
ნახ. 185 მოცემულია სიბრტყე, რომელიც განისაზღვრება ორი გადამკვეთი სწორი ხაზით AN და AM, სადაც AN არის ჰორიზონტალური და AM არის ამ სიბრტყის ფრონტალური. სწორი ხაზი AB, რომელიც ნაჩვენებია იმავე ნახაზზე, პერპენდიკულარულია AN და AM-ზე და, შესაბამისად, პერპენდიკულარულია მათ მიერ განსაზღვრული სიბრტყის მიმართ.
სიბრტყის პერპენდიკულარი პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში დახატული ნებისმიერი ხაზის მიმართ. მაგრამ იმისათვის, რომ ზოგადი სიბრტყის პერპენდიკულარული პროექცია იყოს ამ სიბრტყის ნებისმიერი სწორი ხაზის ამავე სახელწოდების პროექციის პერპენდიკულარული, სწორი ხაზი უნდა იყოს ჰორიზონტალური, ან ფრონტალური, ან პროფილის სწორი სიბრტყე. ამიტომ, სიბრტყეზე პერპენდიკულარულის აგების სურვილით, ზოგად შემთხვევაში ისინი იღებენ ორ ასეთ სწორ ხაზს (მაგალითად, ჰორიზონტალურ და ფრონტალურ, როგორც ნაჩვენებია სურ. 185).
Ისე, სიბრტყის პერპენდიკულარულზე, მისი ჰორიზონტალური პროექცია პერპენდიკულარულია ჰორიზონტალური პროექციის მიმართ, შუბლის პროექცია პერპენდიკულარულია შუბლის შუბლის პროექციაზე, პროფილის პროექცია პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის პროფილის ხაზის პროფილის პროექციის მიმართ.
ცხადია, იმ შემთხვევაში, როდესაც სიბრტყე გამოიხატება კვალით (სურ. 186), ვიღებთ შემდეგ დასკვნას: თუ ხაზი სიბრტყის პერპენდიკულარულია, მაშინ ამ ხაზის ჰორიზონტალური პროექცია პერპენდიკულარულია სიბრტყის ჰორიზონტალურ კვალზე, ხოლო შუბლის პროექცია პერპენდიკულარულია სიბრტყის შუბლის კვალის მიმართ.
ასე რომ, თუ π 1, π 2 სისტემაში ხაზის ჰორიზონტალური პროექცია პერპენდიკულარულია ჰორიზონტალურ კვალზე, ხოლო ხაზის შუბლის პროექცია პერპენდიკულარულია სიბრტყის შუბლის კვალზე, მაშინ ზოგადი პოზიციის სიბრტყეების შემთხვევაში (სურ. 186), ისევე როგორც ჰორიზონტალურად და ფრონტალურად გამოსახული, სწორი ხაზი სიბრტყის პერპენდიკულარულია.. მაგრამ პროფილის პროექციის სიბრტყისთვის შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ამ სიბრტყის სწორი ხაზი არ არის პერპენდიკულარული, თუმცა
სწორი ხაზის პროექციები შესაბამისად პერპენდიკულარულია სიბრტყის ჰორიზონტალურ და შუბლის კვალზე. მაშასადამე, პროფილ-პროექტირების სიბრტყის შემთხვევაში, ასევე აუცილებელია გავითვალისწინოთ სწორი ხაზის პროფილის პროექციის ფარდობითი პოზიცია და მოცემული სიბრტყის პროფილის კვალი და მხოლოდ ამის შემდეგ დადგინდეს, იქნება თუ არა მოცემული სწორი ხაზი და სიბრტყე. იყოს ერთმანეთის პერპენდიკულარული,
ცხადია (სურ. 187), სიბრტყის პერპენდიკულარულის ჰორიზონტალური პროექცია ერწყმის პერპენდიკულარულის ფუძის გავლით სიბრტყეში დახატული ფერდობის ხაზის ჰორიზონტალურ პროექციას.
ნახ. 186 A წერტილიდან კვადრატზე პერპენდიკულარია გამოყვანილი. α (А"С"⊥ f" 0α , А"С"⊥h" 0α) და გვიჩვენებს E წერტილის აგებას, სადაც პერპენდიკულარული AC იკვეთება pl. α. კონსტრუქცია გაკეთდა ჰორიზონტალურად დაპროექტებული კვადრატის გამოყენებით. β გამოყვანილია პერპენდიკულარულ AE-ზე.
ნახ. 188 გვიჩვენებს ABC სამკუთხედით განსაზღვრული სიბრტყის პერპენდიკულარული კონსტრუქციას. პერპენდიკულარი გაყვანილია A წერტილის გავლით.
ვინაიდან სიბრტყის პერპენდიკულარულის შუბლის პროექცია უნდა იყოს პერპენდიკულარული სიბრტყის ფრონტალური პროექციის მიმართ, ხოლო მისი ჰორიზონტალური პროექცია პერპენდიკულარულია ჰორიზონტალური პროექციის მიმართ, მაშინ A წერტილის გავლით სიბრტყეში ფრონტალი A პროგნოზებით. "D" და A"D" და ჰორიზონტალური A"E დახაზულია ", A"E", რა თქმა უნდა, ეს ხაზები არ უნდა იყოს ზუსტად A წერტილის გავლით.
ქვემოთ მოცემულია პერპენდიკულარის პროგნოზები: M"N"⊥A"D", M"N"⊥A"E". რატომ არის პროგნოზები ნახ. 188 A"N" და "A"M განყოფილებებში ნაჩვენებია წყვეტილი ხაზებით? რადგან აქ განვიხილავთ თვითმფრინავს, მოცემული სამკუთხედით ABC და არა მხოლოდ ეს სამკუთხედი: პერპენდიკულარი ნაწილობრივ სიბრტყის წინ არის, ნაწილობრივ მის უკან.
ნახ. 189 და 190 გვიჩვენებს სიბრტყის კონსტრუქციას, რომელიც გადის A წერტილზე პერპენდიკულარულ სწორ წრფეზე BC. ნახ. 189 თვითმფრინავი გამოიხატება კვალით. მშენებლობა დაიწყო სასურველი სიბრტყის ჰორიზონტალური ხაზის გავლით A წერტილის გავლით: ვინაიდან სიბრტყის ჰორიზონტალური კვალი უნდა იყოს პერპენდიკულარული B "C"-ზე, მაშინ ჰორიზონტალური ხაზის ჰორიზონტალური პროექცია უნდა იყოს პერპენდიკულარული B "C"-ზე. ამიტომ A"N"⊥B"C". A"N"||x ღერძის პროექცია, როგორც უნდა იყოს ჰორიზონტალურზე. შემდეგ კვალი f" 0α ⊥B"C გაივლება N"(N" წერტილის გავლით - AN ჰორიზონტალური ხაზის შუბლის კვალის შუბლის პროექცია), მიიღება წერტილი X α და კვალი h" 0α ||A. "N" (h" 0α ⊥B" შედგენილია WITH").
ნახ. 190 თვითმფრინავი განისაზღვრება მისი წინა AM და ჰორიზონტალური AN-ით. ეს ხაზები BC-ის პერპენდიკულარულია (A"M"⊥B"C", A"N"⊥B"C"); მათ მიერ განსაზღვრული სიბრტყე მზის პერპენდიკულარულია.
იმის გამო, რომ სიბრტყის პერპენდიკულარი პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში დახატული ყველა სწორი ხაზის მიმართ, მას შემდეგ რაც ისწავლეთ სწორ ხაზზე პერპენდიკულარული სიბრტყის დახატვა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს პერპენდიკულარული A წერტილიდან BC ზოგად წრფემდე. ცხადია, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ შემდეგი გეგმა სასურველი ხაზის პროგნოზების ასაგებად:
1) A წერტილის გავლით დახაზეთ სიბრტყე (დავარქვათ γ) BC-ზე პერპენდიკულარული;
2) დაადგინეთ BC სწორი წრფის კვადრატთან გადაკვეთის K წერტილი. γ;
3) დააკავშირეთ A და K წერტილები სწორი ხაზის სეგმენტთან.
ხაზები AK და BC ერთმანეთის პერპენდიკულურია.
კონსტრუქციის მაგალითი მოცემულია ნახ. 191. სიბრტყე (γ) დახაზულია A წერტილის გავლით, BC-ის პერპენდიკულარული. ეს კეთდება ფრონტალის გამოყენებით, რომლის შუბლის პროექცია A"F" პერპენდიკულარულია შუბლის პროექციის B"C" და ჰორიზონტალური, რომლის ჰორიზონტალური პროექცია პერპენდიკულარულია B"C-ზე".
შემდეგ ნაპოვნია K წერტილი, რომელზეც სწორი ხაზი BC კვეთს კვადრატს. γ. ამისათვის ჰორიზონტალურად გამომავალი β სიბრტყე იხაზება BC სწორი ხაზით (ნახაზზე იგი მითითებულია მხოლოდ ჰორიზონტალური კვალის (β"). კვადრატი β კვეთს γ კვადრატს სწორი ხაზის გასწვრივ 1"2" და 1" პროექციებით. 2". ამ წრფის გადაკვეთაზე ВС სწორ ხაზთან არის წერტილი K. სწორი წრფე АК არის ВС-ის საჭირო პერპენდიკულარული. მართლაც, სწორი ხაზი АК კვეთს ВС სწორ წრფეს და მდებარეობს γ ფართობზე, შესაბამისად. , АК⊥ВС.
§ 15-ში ნაჩვენები იყო (სურ. 92) თუ როგორ შეიძლება პერპენდიკულარული დახატვა წერტილიდან სწორ ხაზამდე. მაგრამ იქ ეს განხორციელდა π 1, π 2 სისტემაში დამატებითი სიბრტყის შეყვანით და ამით სისტემის π 3, π 1 ფორმირებით, რომელშიც pl. π 3 გაყვანილია მოცემული სწორი ხაზის პარალელურად. ჩვენ გირჩევთ შევადაროთ ნახაზზე მოცემული კონსტრუქციები. 92 და 191.
ნახ. 192 გვიჩვენებს სიბრტყეს ზოგად პოზიციაში - α, რომელიც გადის A წერტილზე და ამ სიბრტყის პერპენდიკულარული AM, რომელიც გაჭიმულია კვადრატთან კვეთამდე. π 1 B წერტილში".
კუთხე φ 1 კვადრატებს შორის. α, და pl.π 1 და კუთხე φ სწორ ხაზს AM და pl შორის. π 1 არიან მკვეთრი კუთხეებიმართკუთხა სამკუთხედი B"AM", და შესაბამისად φ 1 +φ=90°. ანალოგიურად, თუ pl.α ტოლია pl. π 2 არის კუთხე σ 2 და სწორი ხაზი AM, α-ზე პერპენდიკულარული, არის კვ. π 2 კუთხე σ, შემდეგ σ 2 +σ=90°. აქედან, უპირველეს ყოვლისა, გამოდის, რომ სიბრტყე არის ზოგად მდგომარეობაში, რომელიც უნდა გააკეთოს კუთხე φ 1 pl.π 1-ით და pl. π 2 კუთხე σ 2 შეიძლება აშენდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ 180° > φ 1 +σ 2 >90°.
მართლაც, ტერმინის ფ 1 + φ=90° და σ 2 +σ=90° ტერმინის დამატება, მივიღებთ φ 1 +σ 2 +φ+σ=180°, ანუ φ 1 +σ 2 90°. თუ აიღებთ φ 1 +σ 2 =90°, მიიღებთ პროფილ-პროექტირების სიბრტყეს, ხოლო თუ აიღებთ φ 1 +σ 2 =180°, მიიღებთ პროფილის სიბრტყეს, ე.ი. ორივე შემთხვევაში თვითმფრინავი არის არა ზოგადი პოზიციის, არამედ კონკრეტული.
