არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული? §2.2

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და წრფივი დამოუკიდებლობა.
ვექტორების საფუძველი. აფინური კოორდინატთა სისტემა

აუდიტორიაში არის ურიკა შოკოლადებით და დღეს ყველა სტუმარი მიიღებს ტკბილ წყვილს - ანალიტიკურ გეომეტრიას ხაზოვანი ალგებრით. ეს სტატია შეეხება უმაღლესი მათემატიკის ორ განყოფილებას ერთდროულად და ვნახავთ, როგორ თანაარსებობენ ისინი ერთ შეფუთვაში. დაისვენე, მიირთვით ტვიქსი! ...ჯანდაბა, რა სისულელეა. თუმცა, კარგი, გოლს არ გავიტან, საბოლოო ჯამში, სწავლისადმი დადებითი დამოკიდებულება უნდა გქონდეს.

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება, ხაზოვანი ვექტორული დამოუკიდებლობა, ვექტორების საფუძველიდა სხვა ტერმინებს აქვთ არა მხოლოდ გეომეტრიული ინტერპრეტაცია, არამედ, უპირველეს ყოვლისა, ალგებრული მნიშვნელობა. თავად „ვექტორის“ ცნება წრფივი ალგებრის თვალსაზრისით ყოველთვის არ არის ის „ჩვეულებრივი“ ვექტორი, რომლის გამოსახვაც შეგვიძლია სიბრტყეზე ან სივრცეში. თქვენ არ გჭირდებათ შორს წასვლა დადასტურებისთვის, სცადოთ ხუთგანზომილებიანი სივრცის ვექტორის დახატვა. ან ამინდის ვექტორი, რომელიც ახლახან მივედი Gismeteo-ზე: ტემპერატურა და ატმოსფერული წნევა, შესაბამისად. მაგალითი, რა თქმა უნდა, არასწორია ვექტორული სივრცის თვისებების თვალსაზრისით, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, არავინ კრძალავს ამ პარამეტრების ვექტორად ფორმალიზებას. შემოდგომის სუნთქვა...

არა, არ ვაპირებ მოგწყინოთ თეორიით, წრფივი ვექტორული სივრცეებით, ამოცანაა გაგებაგანმარტებები და თეორემები. ახალი ტერმინები (წრფივი დამოკიდებულება, დამოუკიდებლობა, წრფივი კომბინაცია, საფუძველი და ა.შ.) ვრცელდება ყველა ვექტორზე ალგებრული თვალსაზრისით, მაგრამ მოყვანილი იქნება გეომეტრიული მაგალითები. ამრიგად, ყველაფერი მარტივი, ხელმისაწვდომი და გასაგებია. გარდა ანალიტიკური გეომეტრიის ამოცანებისა, ჩვენ ასევე განვიხილავთ რამდენიმე ტიპურ ალგებრის ამოცანებს. მასალის ათვისებისთვის სასურველია გაეცნოთ გაკვეთილებს ვექტორები დუმებისთვისდა როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?

სიბრტყის ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა.
სიბრტყის საფუძველი და აფინური კოორდინატთა სისტემა

მოდით განვიხილოთ თქვენი კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყე (მხოლოდ მაგიდა, საწოლის მაგიდა, იატაკი, ჭერი, რაც მოგწონთ). დავალება შედგება შემდეგი მოქმედებებისგან:

1) აირჩიეთ თვითმფრინავის საფუძველი. უხეშად რომ ვთქვათ, მაგიდას აქვს სიგრძე და სიგანე, ამიტომ ინტუიციურია, რომ ორი ვექტორი იქნება საჭირო საფუძვლის ასაგებად. ერთი ვექტორი აშკარად არ არის საკმარისი, სამი ვექტორი ძალიან ბევრია.

2) შერჩეული საფუძველზე დააყენეთ კოორდინატთა სისტემა(კოორდინატთა ბადე) მაგიდაზე ყველა ობიექტს კოორდინატების მინიჭება.

არ გაგიკვირდეთ, თავიდან ახსნა-განმარტებები თითებზე იქნება. უფრო მეტიც, შენზე. გთხოვთ განათავსოთ მარცხენა საჩვენებელი თითიმაგიდის კიდეზე ისე, რომ მონიტორს უყურებს. ეს იქნება ვექტორი. ახლა მოათავსეთ მარჯვენა პატარა თითიმაგიდის კიდეზე იგივენაირად - ისე რომ მონიტორის ეკრანზე იყოს მიმართული. ეს იქნება ვექტორი. გაიღიმე, მშვენივრად გამოიყურები! რა შეგვიძლია ვთქვათ ვექტორებზე? მონაცემთა ვექტორები კოლინარული, რაც ნიშნავს ხაზოვანიგამოხატულია ერთმანეთის მეშვეობით:
, კარგად, ან პირიქით: , სად არის რაიმე რიცხვი ნულისაგან განსხვავებული.

ამ მოქმედების სურათი შეგიძლიათ ნახოთ კლასში. ვექტორები დუმებისთვის, სადაც ავხსენი ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესი.

თქვენი თითები საფუძველს დააყენებს კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყეს? აშკარად არა. კოლინარული ვექტორები მოძრაობენ წინ და უკან გასწვრივ მარტომიმართულება და თვითმფრინავს აქვს სიგრძე და სიგანე.

ასეთ ვექტორებს ე.წ წრფივად დამოკიდებული.

მითითება: სიტყვები „წრფივი“, „წრფივი“ აღნიშნავს იმ ფაქტს, რომ მათემატიკურ განტოლებებსა და გამონათქვამებში არ არის კვადრატები, კუბურები, სხვა ძალა, ლოგარითმები, სინუსები და ა.შ. არსებობს მხოლოდ წრფივი (1-ლი ხარისხის) გამონათქვამები და დამოკიდებულებები.

ორი სიბრტყის ვექტორი წრფივად დამოკიდებულითუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი კოლინარულია.

გადააჯვარედინეთ თითები მაგიდაზე ისე, რომ მათ შორის იყოს 0 ან 180 გრადუსის გარდა სხვა კუთხე. ორი სიბრტყის ვექტორიხაზოვანი არადამოკიდებული თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი არ არიან კოლინარული. ასე რომ, საფუძველი მიიღება. არ არის საჭირო უხერხულობა, რომ საფუძველი აღმოჩნდა "დახრილი" სხვადასხვა სიგრძის არაპერპენდიკულარული ვექტორებით. ძალიან მალე დავინახავთ, რომ მისი კონსტრუქციისთვის არა მხოლოდ 90 გრადუსიანი კუთხეა შესაფერისი და არა მხოლოდ თანაბარი სიგრძის ერთეული ვექტორები.

ნებისმიერითვითმფრინავის ვექტორი ერთადერთი გზაგაფართოებულია საფუძვლის მიხედვით:
, სადაც არის რეალური რიცხვები. ნომრებს ეძახიან ვექტორული კოორდინატებიამ საფუძველზე.

იმასაც ამბობენ ვექტორიწარმოდგენილი როგორც ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები. ანუ გამოთქმა ე.წ ვექტორის დაშლასაფუძველზეან ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები.

მაგალითად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვექტორი იშლება სიბრტყის ორთონორმალური საფუძვლის გასწვრივ, ან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ იგი წარმოდგენილია ვექტორების წრფივი გაერთიანების სახით.

ჩამოვაყალიბოთ საფუძვლის განსაზღვრაფორმალურად: თვითმფრინავის საფუძველიეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი (არასწორხაზოვანი) ვექტორების წყვილი, , ხოლო ნებისმიერისიბრტყის ვექტორი არის საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

განმარტების არსებითი პუნქტია ვექტორების აღების ფაქტი გარკვეული თანმიმდევრობით. ბაზები ორი სრულიად განსხვავებული ბაზაა! როგორც ამბობენ, მარცხენა ხელის პატარა თითს მარჯვენა ხელის პატარა თითის ნაცვლად ვერ ჩაანაცვლებ.

ჩვენ გავარკვიეთ საფუძველი, მაგრამ საკმარისი არ არის კოორდინატთა ბადის დაყენება და კოორდინატების მინიჭება კომპიუტერის მაგიდის თითოეულ ელემენტზე. რატომ არ არის საკმარისი? ვექტორები თავისუფალია და ტრიალებს მთელ სიბრტყეში. მაშ, როგორ მიანიჭოთ კოორდინატები მაგიდაზე იმ პატარა ბინძურ ადგილებს, რომლებიც შემორჩენილია ველური შაბათ-კვირის შემდეგ? საჭიროა ამოსავალი წერტილი. და ასეთი ღირსშესანიშნაობა ყველასთვის ნაცნობი წერტილია - კოორდინატების წარმოშობა. მოდით გავიგოთ კოორდინატთა სისტემა:

დავიწყებ „სკოლის“ სისტემით. უკვე შესავალ გაკვეთილზე ვექტორები დუმებისთვისმე ხაზგასმით აღვნიშნე რამდენიმე განსხვავება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემასა და ორთონორმალურ საფუძველს შორის. აი სტანდარტული სურათი:

როცა საუბრობენ იმაზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, მაშინ ყველაზე ხშირად ისინი გულისხმობენ საწყისს, კოორდინატულ ღერძებს და მასშტაბებს ღერძების გასწვრივ. სცადეთ საძიებო სისტემაში აკრიფოთ „მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა“ და ნახავთ, რომ მრავალი წყარო გეტყვით მე-5-6 კლასიდან ნაცნობი კოორდინატთა ღერძებისა და სიბრტყეზე წერტილების გამოსახატავად.

მეორე მხრივ, როგორც ჩანს, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა შეიძლება განისაზღვროს ორთონორმალური საფუძვლების მიხედვით. და ეს თითქმის მართალია. ფორმულირება ასეთია:

წარმოშობა, და ორთონორმალურისაფუძველი დგინდება დეკარტის მართკუთხა სიბრტყის კოორდინატთა სისტემა . ანუ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა აუცილებლადგანისაზღვრება ერთი წერტილით და ორი ერთეული ორთოგონალური ვექტორებით. სწორედ ამიტომ ხედავთ ნახატს, რომელიც ზემოთ დავწერე - გეომეტრიულ ამოცანებში ხშირად (მაგრამ არა ყოველთვის) არის დახატული ვექტორები და კოორდინატთა ღერძებიც.

ვფიქრობ, ყველას ესმის, რომ წერტილის (წარმოშობის) და ორთონორმალური საფუძვლის გამოყენება ნებისმიერი წერტილი თვითმფრინავზე და ნებისმიერი ვექტორი თვითმფრინავშიკოორდინატების მინიჭება შესაძლებელია. ფიგურალურად რომ ვთქვათ, „თვითმფრინავზე ყველაფერი შეიძლება დაინომროს“.

საჭიროა თუ არა კოორდინატთა ვექტორები იყოს ერთეული? არა, მათ შეიძლება ჰქონდეთ თვითნებური არანულოვანი სიგრძე. განვიხილოთ თვითნებური არანულოვანი სიგრძის წერტილი და ორი ორთოგონალური ვექტორი:

ასეთ საფუძველს ე.წ ორთოგონალური. ვექტორებთან კოორდინატების წარმოშობა განისაზღვრება კოორდინატთა ბადით და სიბრტყის ნებისმიერ წერტილს, ნებისმიერ ვექტორს აქვს თავისი კოორდინატები მოცემულ საფუძველზე. მაგალითად, ან. აშკარა უხერხულობა ის არის, რომ კოორდინატის ვექტორები ზოგადად შემთხვევაშიაქვთ განსხვავებული სიგრძე, გარდა ერთიანობისა. თუ სიგრძეები უდრის ერთიანობას, მაშინ მიიღება ჩვეულებრივი ორთონორმალური საფუძველი.

! შენიშვნა : ორთოგონალურ საფუძველში, ისევე როგორც ქვემოთ სიბრტყისა და სივრცის აფინურ ფუძეებში, განიხილება ერთეულები ღერძების გასწვრივ. პირობითი. მაგალითად, ერთი ერთეული x-ღერძის გასწვრივ შეიცავს 4 სმ-ს, ერთი ერთეული ორდინატთა ღერძის გასწვრივ შეიცავს 2 სმ-ს.

და მეორე კითხვა, რომელზეც რეალურად უკვე გაცემულია პასუხი, არის თუ არა კუთხე ფუძე ვექტორებს შორის 90 გრადუსის ტოლი? არა! როგორც განმარტება ამბობს, საბაზისო ვექტორები უნდა იყოს მხოლოდ არაკოლინარული. შესაბამისად, კუთხე შეიძლება იყოს ნებისმიერი, გარდა 0 და 180 გრადუსისა.

თვითმფრინავის წერტილი ე.წ წარმოშობა, და არაკოლინარულივექტორები, , კომპლექტი აფინური სიბრტყის კოორდინატთა სისტემა :

ზოგჯერ ასეთ კოორდინატულ სისტემას უწოდებენ ირიბისისტემა. როგორც მაგალითები, ნახაზი აჩვენებს წერტილებს და ვექტორებს:

როგორც გესმით, აფინური კოორდინატთა სისტემა კიდევ უფრო ნაკლებად მოსახერხებელია ვექტორებისა და სეგმენტების სიგრძის ფორმულები, რომლებიც გაკვეთილის მეორე ნაწილში განვიხილეთ, მასში არ მუშაობს; ვექტორები დუმებისთვის, ბევრი გემრიელი ფორმულა დაკავშირებული ვექტორების სკალარული პროდუქტი. მაგრამ ძალაშია ვექტორების დამატებისა და ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესები, ამ მიმართებაში სეგმენტის გაყოფის ფორმულები, ისევე როგორც სხვა სახის პრობლემები, რომლებსაც მალე განვიხილავთ.

და დასკვნა არის ის, რომ აფინური კოორდინატთა სისტემის ყველაზე მოსახერხებელი სპეციალური შემთხვევაა დეკარტის მართკუთხა სისტემა. ამიტომ ყველაზე ხშირად გიწევს მისი ნახვა, ჩემო ძვირფასო. ...თუმცა, ამ ცხოვრებაში ყველაფერი ფარდობითია - არის ბევრი სიტუაცია, როდესაც ირიბი კუთხე (ან სხვა, მაგალითად, პოლარული) კოორდინატთა სისტემა. და ჰუმანოიდებს შეიძლება მოსწონდეთ ასეთი სისტემები =)

გადავიდეთ პრაქტიკულ ნაწილზე. ამ გაკვეთილის ყველა პრობლემა მოქმედებს როგორც მართკუთხა კოორდინატთა სისტემისთვის, ასევე ზოგადი აფინური შემთხვევისთვის. აქ არაფერია რთული;

როგორ განვსაზღვროთ სიბრტყის ვექტორების კოლინარულობა?

ტიპიური რამ. იმისთვის, რომ ორი სიბრტყე ვექტორი იყოს თანამიმდევრული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მათი შესაბამისი კოორდინატები იყოს პროპორციული, არსებითად, ეს არის აშკარა ურთიერთობის კოორდინატის დახვეწა.

მაგალითი 1

ა) შეამოწმეთ არის თუ არა ვექტორები კოლინარული.
ბ) ვექტორები ქმნიან საფუძველს?

გამოსავალი:
ა) გაარკვიეთ არის თუ არა პროპორციულობის კოეფიციენტი ვექტორებისთვის ისეთი, რომ ტოლობები დაკმაყოფილდეს:

მე აუცილებლად გეტყვით ამ წესის გამოყენების "ფოპიშ" ვერსიაზე, რომელიც საკმაოდ კარგად მუშაობს პრაქტიკაში. იდეა არის დაუყოვნებლივ შეადგინოთ პროპორცია და ნახოთ სწორია თუ არა:

მოდით გავაკეთოთ პროპორცია ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების შეფარდებით:

შევამოკლოთ:
შესაბამისად, შესაბამისი კოორდინატები პროპორციულია, შესაბამისად,

ურთიერთობა შეიძლება საპირისპირო იყოს, ეს არის ექვივალენტური ვარიანტი:

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის ფაქტი, რომ კოლინარული ვექტორები ერთმანეთის მეშვეობით წრფივად არის გამოხატული. ამ შემთხვევაში თანასწორობა რჩება. მათი ვალიდობა მარტივად შეიძლება შემოწმდეს ვექტორებით ელემენტარული ოპერაციებით:

ბ) ორი სიბრტყის ვექტორი ქმნის საფუძველს, თუ ისინი არ არიან ხაზოვანი (წრფივად დამოუკიდებელი). განვიხილოთ ვექტორები კოლინარობისთვის. მოდით შევქმნათ სისტემა:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ , მეორე განტოლებიდან გამომდინარეობს რომ , რაც ნიშნავს სისტემა არათანმიმდევრულია(არ არის გადაწყვეტილებები). ამრიგად, ვექტორების შესაბამისი კოორდინატები არ არის პროპორციული.

დასკვნა: ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

გადაწყვეტის გამარტივებული ვერსია ასე გამოიყურება:

შევადგინოთ პროპორცია ვექტორების შესაბამისი კოორდინატებიდან:
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

როგორც წესი, ეს ვარიანტი არ არის უარყოფილი რეცენზენტების მიერ, მაგრამ პრობლემა ჩნდება იმ შემთხვევებში, როდესაც ზოგიერთი კოორდინატი ნულის ტოლია. მოსწონს ეს: . ან ასე: . ან ასე: . როგორ ვიმუშაოთ აქ პროპორციით? (ნამდვილად, ნულზე ვერ გაყოფთ). სწორედ ამ მიზეზით მე ვუწოდე გამარტივებულ გადაწყვეტას "ფოპიშ".

პასუხი:ა) , ბ) ფორმა.

მცირე შემოქმედებითი მაგალითი საკუთარი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

პარამეტრის რა მნიშვნელობისას იქნება ვექტორები კოლინარული?

ნიმუშის ხსნარში პარამეტრი ნაპოვნია პროპორციით.

არსებობს ელეგანტური ალგებრული გზა, რათა შევამოწმოთ ვექტორები კოლინარობისთვის, მოდით, სისტემატიზაცია მოვახდინოთ და დავამატოთ იგი მეხუთე პუნქტად.

ორი სიბრტყე ვექტორისთვის შემდეგი დებულებები ექვივალენტურია:

2) ვექტორები ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არ არის კოლინარული;

+ 5) ამ ვექტორების კოორდინატებისაგან შემდგარი განმსაზღვრელი არის ნულოვანი.

შესაბამისად, შემდეგი საპირისპირო განცხადებები ექვივალენტურია:
1) ვექტორები წრფივია დამოკიდებული;
2) ვექტორები არ ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები კოლინარულია;
4) ვექტორები შეიძლება წრფივად გამოისახოს ერთმანეთის მეშვეობით;
+ 5) ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

მე ნამდვილად, ნამდვილად ვიმედოვნებ, რომ ამ დროისთვის უკვე გესმით ყველა ის ტერმინი და განცხადება, რომელსაც წააწყდით.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ ახალი, მეხუთე წერტილი: სიბრტყის ორი ვექტორი თანასწორია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი დეტერმინანტი ნულის ტოლია:. ამ ფუნქციის გამოსაყენებლად, რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა შეძლოთ იპოვნეთ განმსაზღვრელი.

გადავწყვიტოთმაგალითი 1 მეორე გზით:

ა)
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები კოლინარულია.

ბ) ორი სიბრტყის ვექტორი ქმნის საფუძველს, თუ ისინი არ არიან ხაზოვანი (წრფივად დამოუკიდებელი). გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი:
, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

პასუხი:ა) , ბ) ფორმა.

ეს გამოიყურება ბევრად უფრო კომპაქტური და ლამაზი, ვიდრე პროპორციების მქონე ხსნარი.

განხილული მასალის დახმარებით შესაძლებელია ვექტორების არა მხოლოდ კოლინარობის დადგენა, არამედ სეგმენტების და სწორი ხაზების პარალელურობის დამტკიცება. მოდით განვიხილოთ რამდენიმე პრობლემა კონკრეტული გეომეტრიული ფორმების შესახებ.

მაგალითი 3

მოცემულია ოთხკუთხედის წვეროები. დაამტკიცეთ, რომ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

მტკიცებულება: არ არის საჭირო პრობლემაში ნახატის შექმნა, რადგან გამოსავალი იქნება წმინდა ანალიტიკური. გავიხსენოთ პარალელოგრამის განმარტება:
პარალელოგრამი ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში პარალელურია, ეწოდება.

ამრიგად, აუცილებელია დაამტკიცოს:
1) მოპირდაპირე მხარეების პარალელიზმი და;
2) მოპირდაპირე მხარეების პარალელიზმი და.

ჩვენ ვამტკიცებთ:

1) იპოვნეთ ვექტორები:

გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი:

2) იპოვნეთ ვექტორები:

შედეგი არის იგივე ვექტორი („სკოლის მიხედვით“ – თანაბარი ვექტორები). კოლინარულობა საკმაოდ აშკარაა, მაგრამ უმჯობესია გადაწყვეტილების ფორმალიზება მკაფიოდ, შეთანხმებით. გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი:
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები არის კოლინარული და .

დასკვნა: ოთხკუთხედის მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია წყვილებში, რაც ნიშნავს, რომ იგი პარალელოგრამია განსაზღვრებით. ქ.ე.დ.

მეტი კარგი და განსხვავებული ფიგურები:

მაგალითი 4

მოცემულია ოთხკუთხედის წვეროები. დაამტკიცეთ, რომ ოთხკუთხედი ტრაპეციაა.

მტკიცებულების უფრო მკაცრი ფორმულირებისთვის, რა თქმა უნდა, უკეთესია, მივიღოთ ტრაპეციის განმარტება, მაგრამ საკმარისია უბრალოდ გავიხსენოთ, როგორ გამოიყურება იგი.

ეს არის ამოცანა, რომელიც თქვენ უნდა გადაჭრათ დამოუკიდებლად. სრული გადაწყვეტა გაკვეთილის ბოლოს.

ახლა კი დროა ნელა გადავიდეთ თვითმფრინავიდან კოსმოსში:

როგორ განვსაზღვროთ სივრცის ვექტორების კოლინარულობა?

წესი ძალიან ჰგავს. იმისთვის, რომ ორი სივრცის ვექტორი თანასწორხაზოვანი იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მათი შესაბამისი კოორდინატები იყოს პროპორციული..

მაგალითი 5

გაარკვიეთ, არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები კოლინარული:

ა) ;
ბ)
V)

გამოსავალი:
ა) შევამოწმოთ არის თუ არა პროპორციულობის კოეფიციენტი ვექტორების შესაბამისი კოორდინატებისთვის:

სისტემას არ აქვს ამონახსნი, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები არ არის კოლინარული.

"გამარტივებული" ფორმალიზდება პროპორციის შემოწმებით. ამ შემთხვევაში:
- შესაბამისი კოორდინატები არ არის პროპორციული, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები არ არის კოლინარული.

პასუხი:ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ-გ) ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების პუნქტები. სცადეთ ეს ორი გზით.

არსებობს მესამე რიგის განმსაზღვრელი სივრცითი ვექტორების შემოწმების მეთოდი ვექტორების ვექტორული ნამრავლი.

სიბრტყის შემთხვევის მსგავსად, განხილული ხელსაწყოები შეიძლება გამოყენებულ იქნას სივრცითი სეგმენტების და სწორი ხაზების პარალელურობის შესასწავლად.

მოგესალმებით მეორე განყოფილებაში:

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა სამგანზომილებიან სივრცეში.
სივრცითი საფუძველი და აფინური კოორდინატთა სისტემა

ბევრი ნიმუში, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ თვითმფრინავში, მოქმედი იქნება კოსმოსისთვის. შევეცადე თეორიული შენიშვნები მინიმუმამდე დამეყვანა, რადგან ინფორმაციის ლომის წილი უკვე დაღეჭილია. თუმცა, გირჩევთ, ყურადღებით წაიკითხოთ შესავალი ნაწილი, რადგან გამოჩნდება ახალი ტერმინები და ცნებები.

ახლა, კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყის ნაცვლად, ჩვენ ვიკვლევთ სამგანზომილებიან სივრცეს. პირველი, მოდით შევქმნათ მისი საფუძველი. ვიღაც ახლა სახლშია, ვიღაც გარეთ, მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, ჩვენ ვერ გავექცევით სამ განზომილებას: სიგანეს, სიგრძეს და სიმაღლეს. აქედან გამომდინარე, საფუძვლის ასაგებად საჭიროა სამი სივრცითი ვექტორი. ერთი-ორი ვექტორი საკმარისი არ არის, მეოთხე ზედმეტია.

და ისევ ვთბებით ჩვენს თითებზე. გთხოვთ ასწიეთ ხელი მაღლა და გაშალეთ სხვადასხვა მიმართულებით ცერა თითი, საჩვენებელი და შუა თითი. ეს იქნება ვექტორები, ისინი იყურებიან სხვადასხვა მიმართულებით, აქვთ სხვადასხვა სიგრძე და აქვთ სხვადასხვა კუთხეები ერთმანეთთან. გილოცავთ, სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი მზად არის! სხვათა შორის, არ არის საჭირო ამის დემონსტრირება მასწავლებლებისთვის, რაც არ უნდა ძნელად ატრიალოთ თითები, მაგრამ არ არის გაქცევა განმარტებებისგან =)

შემდეგი, დავსვათ მნიშვნელოვანი კითხვა: ნებისმიერი სამი ვექტორი ქმნის სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს?? გთხოვთ, მტკიცედ დააჭიროთ სამი თითი კომპიუტერის მაგიდის ზედა ნაწილზე. რა მოხდა? სამი ვექტორი განლაგებულია ერთ სიბრტყეში და, უხეშად რომ ვთქვათ, დავკარგეთ ერთ-ერთი განზომილება - სიმაღლე. ასეთი ვექტორებია თანაპლენარულიდა, სრულიად აშკარაა, რომ სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი არ არის შექმნილი.

უნდა აღინიშნოს, რომ თანაპლენარული ვექტორები არ უნდა იწვნენ ერთ სიბრტყეში, ისინი შეიძლება იყვნენ პარალელურ სიბრტყეში (უბრალოდ არ გააკეთოთ ეს თქვენი თითებით, მხოლოდ სალვადორ დალიმ გააკეთა ეს =)).

განმარტება: ვექტორები ეწოდება თანაპლენარული, თუ არის სიბრტყე, რომლის პარალელურია. ლოგიკურია აქ დავამატოთ, რომ თუ ასეთი სიბრტყე არ არსებობს, მაშინ ვექტორები არ იქნება თანაპლენარული.

სამი თანაპლენარული ვექტორი ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული, ანუ წრფივად გამოხატულია ერთმანეთის მეშვეობით. სიმარტივისთვის, კიდევ ერთხელ წარმოვიდგინოთ, რომ ისინი ერთ სიბრტყეში არიან. ჯერ ერთი, ვექტორები არ არის მხოლოდ თანაპლენარული, ისინი ასევე შეიძლება იყოს კოლინარული, შემდეგ ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება იყოს გამოხატული ნებისმიერი ვექტორის საშუალებით. მეორე შემთხვევაში, თუ, მაგალითად, ვექტორები არ არის კოლინარული, მაშინ მესამე ვექტორი გამოიხატება მათი მეშვეობით უნიკალური გზით: (და რატომ არის ადვილი გამოსაცნობი წინა ნაწილის მასალებიდან).

პირიქითაც მართალია: სამი არათანაბარი ვექტორი ყოველთვის წრფივად დამოუკიდებელია, ანუ ისინი არანაირად არ არიან გამოხატული ერთმანეთის მეშვეობით. და, ცხადია, მხოლოდ ასეთ ვექტორებს შეუძლიათ შექმნან სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი.

განმარტება: სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველიეწოდება წრფივად დამოუკიდებელ (არათანაბლაარულ) ვექტორთა სამმაგი, მიღებული გარკვეული თანმიმდევრობითდა სივრცის ნებისმიერი ვექტორი ერთადერთი გზაიშლება მოცემულ საფუძველზე, სადაც არის ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველში

შეგახსენებთ, რომ ასევე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვექტორი წარმოდგენილია სახით ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები.

კოორდინატთა სისტემის ცნება შემოღებულია ზუსტად ისე, როგორც სიბრტყის შემთხვევაში საკმარისია ერთი წერტილი და ნებისმიერი სამი წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორი;

წარმოშობა, და არათანაბარივექტორები, მიღებული გარკვეული თანმიმდევრობით, კომპლექტი სამგანზომილებიანი სივრცის აფინური კოორდინატთა სისტემა :

რა თქმა უნდა, კოორდინატთა ბადე არის „ირიბი“ და მოუხერხებელი, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, აგებული კოორდინატთა სისტემა საშუალებას გვაძლევს აუცილებლადგანსაზღვრეთ ნებისმიერი ვექტორის კოორდინატები და სივრცის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები. თვითმფრინავის მსგავსად, ზოგიერთი ფორმულა, რომელიც უკვე აღვნიშნე, არ იმუშავებს სივრცის აფინურ კოორდინატულ სისტემაში.

აფინური კოორდინატთა სისტემის ყველაზე ნაცნობი და მოსახერხებელი სპეციალური შემთხვევა, როგორც ყველა ვარაუდობს, არის მართკუთხა სივრცის კოორდინატთა სისტემა:

წერტილი სივრცეში ე.წ წარმოშობა, და ორთონორმალურისაფუძველი დგინდება კარტეზიული მართკუთხა სივრცის კოორდინატთა სისტემა . ნაცნობი სურათი:

სანამ პრაქტიკულ ამოცანებზე გადავიდოდეთ, კვლავ მოვახდინოთ ინფორმაციის სისტემატიზაცია:

სამი სივრცის ვექტორისთვის შემდეგი დებულებები ექვივალენტურია:
1) ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია;
2) ვექტორები ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არ არის თანაპლენარული;
4) ვექტორები არ შეიძლება წრფივად გამოხატული იყოს ერთმანეთის მეშვეობით;
5) ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი დეტერმინანტი განსხვავდება ნულისაგან.

ვფიქრობ, საპირისპირო განცხადებები გასაგებია.

სივრცის ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება/დამოუკიდებლობა ტრადიციულად მოწმდება დეტერმინანტის გამოყენებით (პუნქტი 5). დარჩენილი პრაქტიკული ამოცანები იქნება გამოხატული ალგებრული ხასიათის. დროა ჩამოკიდოთ გეომეტრიის ჯოხი და ატაროთ ხაზოვანი ალგებრის ბეისბოლის ჯოხი:

სივრცის სამი ვექტორითანაპლენარულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მოცემული ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია:.

თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო მცირე ტექნიკურ ნიუანსზე: ვექტორების კოორდინატები შეიძლება ჩაიწეროს არა მხოლოდ სვეტებში, არამედ რიგებშიც (განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ შეიცვლება აქედან - იხილეთ განმსაზღვრელთა თვისებები). მაგრამ ეს ბევრად უკეთესია სვეტებში, რადგან უფრო მომგებიანია ზოგიერთი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად.

იმ მკითხველს, ვისაც ცოტათი დაავიწყდა დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები, ან, შესაძლოა, საერთოდ არ ესმით მათ, ვურჩევ ჩემს ერთ-ერთ უძველეს გაკვეთილს: როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?

მაგალითი 6

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი ვექტორები სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს:

გამოსავალი: ფაქტობრივად, მთელი ამონახსნი დგება დეტერმინანტის გამოთვლაზე.

ა) გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი (განმსაზღვრელი ვლინდება პირველ სტრიქონში):

, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია (არა თანაპლენარული) და ქმნიან სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს.

უპასუხე: ეს ვექტორები ქმნიან საფუძველს

ბ) ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების პუნქტი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ასევე არსებობს შემოქმედებითი დავალებები:

მაგალითი 7

პარამეტრის რა მნიშვნელობისას იქნება ვექტორები თანაპლენარული?

გამოსავალი: ვექტორები თანაპლენარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი დეტერმინანტი ნულის ტოლია:

არსებითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება დეტერმინანტით. ჩვენ ნულებივით ვეშვებით ჟერბოებზე - უმჯობესია განმსაზღვრელი გავხსნათ მეორე ხაზში და დაუყოვნებლივ მოვიშოროთ მინუსები:

ჩვენ ვახორციელებთ შემდგომ გამარტივებებს და ვამცირებთ მატერიას უმარტივეს წრფივ განტოლებამდე:

უპასუხე: ზე

ამის შემოწმება ადვილია, თქვენ უნდა შეცვალოთ მიღებული მნიშვნელობა თავდაპირველ განმსაზღვრელში და დარწმუნდეთ, რომ ხელახლა გახსნით.

დასასრულს, მოდით შევხედოთ კიდევ ერთ ტიპურ პრობლემას, რომელიც უფრო ალგებრული ხასიათისაა და ტრადიციულად შედის ხაზოვანი ალგებრის კურსში. ეს იმდენად გავრცელებულია, რომ იმსახურებს საკუთარ თემას:

დაამტკიცეთ, რომ 3 ვექტორი ქმნის სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს
და იპოვეთ მე-4 ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველზე

მაგალითი 8

მოცემულია ვექტორები. აჩვენეთ, რომ ვექტორები ქმნიან საფუძველს სამგანზომილებიან სივრცეში და იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველში.

გამოსავალი: ჯერ საქმეს მივუდგეთ. პირობით, მოცემულია ოთხი ვექტორი და, როგორც ხედავთ, მათ უკვე აქვთ კოორდინატები გარკვეულ საფუძველზე. რა არის ეს საფუძველი, ჩვენთვის არ არის საინტერესო. და საინტერესოა შემდეგი: სამ ვექტორს შეუძლია შექმნას ახალი საფუძველი. და პირველი ეტაპი მთლიანად ემთხვევა მე-6 მაგალითის ამოხსნას, აუცილებელია შეამოწმოთ არის თუ არა ვექტორები ჭეშმარიტად დამოუკიდებელი:

გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი:

, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს წარმოადგენს.

! მნიშვნელოვანი : ვექტორული კოორდინატები აუცილებლადჩაწერეთ სვეტებადგანმსაზღვრელი, არა სიმებიანი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, იქნება დაბნეულობა შემდგომი გადაწყვეტის ალგორითმში.- ვექტორული კოორდინატები, კრამერის მეთოდი აქ საერთოდ არ არის ყინული ;-)

და, როგორც უკვე აღვნიშნე, ამოცანა ალგებრული ხასიათისაა. განხილული ვექტორები სულაც არ არის ის ვექტორები, რომელთა დახატვა შესაძლებელია სივრცეში, მაგრამ, პირველ რიგში, თვითნებური ხაზოვანი ალგებრის კურსის ვექტორები. ორგანზომილებიანი ვექტორების შემთხვევაშიც შეიძლება მსგავსი პრობლემის ფორმულირება და ამოხსნა - ამოხსნა ტექნიკურად გაცილებით მარტივი იქნება და ამიტომ წინა აბზაცში გამოვტოვე.

იგივე პრობლემა სამგანზომილებიანი ვექტორებით დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის:

მაგალითი 9

მოცემულია ვექტორები. აჩვენეთ, რომ ვექტორები ქმნიან საფუძველს და იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველში. ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით.

სრული ამოხსნა და საბოლოო დიზაინის სავარაუდო ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.

ანალოგიურად, შეგვიძლია განვიხილოთ ოთხგანზომილებიანი, ხუთგანზომილებიანი და ა.შ. ვექტორული სივრცეები, სადაც ვექტორებს აქვთ 4, 5 ან მეტი კოორდინატი, შესაბამისად. ამ ვექტორული სივრცეებისთვის ასევე არსებობს ხაზოვანი დამოკიდებულების ცნება, ვექტორების წრფივი დამოუკიდებლობა, არსებობს საფუძველი, მათ შორის ორთონორმალური საფუძველი, ვექტორის გაფართოება საფუძველთან მიმართებაში. დიახ, ასეთი სივრცეები გეომეტრიულად ვერ დაიხაზება, მაგრამ მათში მუშაობს ორგანზომილებიანი და სამგანზომილებიანი შემთხვევის ყველა წესი, თვისება და თეორემა - სუფთა ალგებრა... თუმცა, ვინ იცის, შეიძლება სუფთა არა..., მაგრამ მოდი, დავასრულოთ - მე უკვე დამისვეს სტატიაში განხილული ფილოსოფიური კითხვების შესახებ სამი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები, რომელიც ამ გაკვეთილზე ადრე გამოჩნდა.

გიყვარდეს ვექტორები და ვექტორები შეგიყვარებენ!

იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია ამ ვექტორების წრფივი კომბინაციის შედგენა და შეამოწმოთ შეიძლება თუ არა ის ნული, თუ ერთი კოეფიციენტი მაინც ნულის ტოლია.

შემთხვევა 1. ვექტორთა სისტემა მოცემულია ვექტორებით

ხაზოვანი კომბინაციის გაკეთება

ჩვენ მივიღეთ განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა. თუ მას აქვს არანულოვანი ამონახსნი, მაშინ განმსაზღვრელი უნდა იყოს ნულის ტოლი. მოდით შევადგინოთ განმსაზღვრელი და ვიპოვოთ მისი მნიშვნელობა.

განმსაზღვრელი არის ნული, ამიტომ ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

შემთხვევა 2. ვექტორთა სისტემა განისაზღვრება ანალიტიკური ფუნქციებით:

ა) თუ იდენტურობა მართალია, მაშინ სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

მოდით გავაკეთოთ ხაზოვანი კომბინაცია.

აუცილებელია შეამოწმოთ არის თუ არა a, b, c (რომელთაგან ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი), რომლებისთვისაც ეს გამონათქვამი ნულის ტოლია.

დავწეროთ ჰიპერბოლური ფუნქციები

მაშინ ვექტორების წრფივი კომბინაცია მიიღებს ფორმას:

სადაც, ავიღოთ, მაგალითად, მაშინ წრფივი კომბინაცია არის ნული, შესაბამისად, სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

პასუხი: სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

ბ) , გავაკეთოთ წრფივი კომბინაცია

ვექტორების წრფივი კომბინაცია უნდა იყოს ნულის ტოლი x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

მოდით შევამოწმოთ განსაკუთრებული შემთხვევები.

ვექტორთა წრფივი კომბინაცია ნულის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

ამრიგად, სისტემა ხაზობრივად დამოუკიდებელია.

პასუხი: სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

5.3. იპოვეთ რაიმე საფუძველი და განსაზღვრეთ ხაზოვანი ამოხსნის სივრცის განზომილება.

ჩამოვაყალიბოთ გაფართოებული მატრიცა და გავუზიანოთ ტრაპეციის ფორმამდე გაუსის მეთოდით.

გარკვეული საფუძვლის მისაღებად, მოდით შევცვალოთ თვითნებური მნიშვნელობები:

ავიღოთ დანარჩენი კოორდინატები

5.4. იპოვეთ X ვექტორის კოორდინატები საფუძველში, თუ იგი მოცემულია საფუძველში.

ვექტორის კოორდინატების ახლებურად პოვნა განტოლებათა სისტემის ამოხსნაზე მოდის

მეთოდი 1. პოვნა გარდამავალი მატრიცის გამოყენებით

შევქმნათ გარდამავალი მატრიცა

ვიპოვოთ ვექტორი ახალ საფუძველში ფორმულის გამოყენებით

ვიპოვოთ შებრუნებული მატრიცა და შევასრულოთ გამრავლება

მეთოდი 2. მოძიება განტოლებათა სისტემის შედგენით.

მოდით შევადგინოთ საბაზისო ვექტორები საბაზისო კოეფიციენტებიდან

ვექტორის პოვნას ახალ საფუძველში აქვს ფორმა

სად დეს არის მოცემული ვექტორი x.

შედეგად მიღებული განტოლება შეიძლება ამოიხსნას ნებისმიერი გზით, პასუხი მსგავსი იქნება.

პასუხი: ვექტორი ახალ საფუძველზე.

5.5. მოდით x = (x 1 , x 2 , x 3 ) . არის თუ არა შემდეგი გარდაქმნები წრფივი?

მოცემული ვექტორების კოეფიციენტებიდან შევადგინოთ წრფივი ოპერატორების მატრიცები.

მოდით შევამოწმოთ წრფივი ოპერაციების თვისება თითოეული წრფივი ოპერატორის მატრიცისთვის.

მარცხენა მხარეს ვპოულობთ მატრიცის გამრავლებით ავექტორამდე

მარჯვენა მხარეს ვპოულობთ მოცემული ვექტორის სკალარზე გამრავლებით.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ნიშნავს, რომ ტრანსფორმაცია არ არის წრფივი.

მოდით შევამოწმოთ სხვა ვექტორები.

ტრანსფორმაცია არ არის წრფივი.

ტრანსფორმაცია წრფივია.

პასუხი: ოჰ- არა წრფივი ტრანსფორმაცია, In- არა ხაზოვანი, Cx- ხაზოვანი.

შენიშვნა.თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ ეს დავალება ბევრად უფრო მარტივად მოცემულ ვექტორებზე ყურადღებით დათვალიერებით. IN ოჰჩვენ ვხედავთ, რომ არის ტერმინები, რომლებიც არ შეიცავს ელემენტებს X, რომელიც ვერ იქნა მიღებული წრფივი ოპერაციის შედეგად. IN Inარის ელემენტი Xმესამე ხარისხამდე, რომელიც ასევე ვერ მიიღება ვექტორზე გამრავლებით X.

5.6. მოცემული x = { x 1 , x 2 , x 3 } , ცული = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , Bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . შეასრულეთ მითითებული ოპერაცია: ( ა ( ბ – ა )) x .

მოდით ჩამოვწეროთ ხაზოვანი ოპერატორების მატრიცები.

შევასრულოთ ოპერაცია მატრიცებზე

მიღებული მატრიცის X-ზე გამრავლებისას მივიღებთ

მოდით განვსაზღვროთ ვექტორების (რეალური ან რთული) სისტემაში

განსაზღვრებით, სისტემა (1) წრფივად დამოუკიდებელია, თუ ვექტორული ტოლობისგან

სადაც , , ..., არის რიცხვები (შესაბამისად რეალური ან რთული), აქედან გამომდინარეობს

ვექტორთა სისტემას (1) ეწოდება წრფივად დამოკიდებული, თუ არის რიცხვები , , ..., , რომლებიც ერთდროულად არ არიან ნულის ტოლი, რომელთათვისაც მოქმედებს ტოლობა (2). თუ განსაზღვრულობისთვის ვივარაუდებთ, რომ , მაშინ (2)-დან გამომდინარეობს, რომ

ამრიგად, თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ერთ-ერთი მათგანი, როგორც ამბობენ, სხვების წრფივი კომბინაციაა, ან, როგორც ამბობენ, სხვებზეა დამოკიდებული.

ვინაიდან ჩვენ ყოველთვის ვისაუბრებთ ხაზოვან დამოკიდებულებაზე, ზოგჯერ თავს უფლებას მივცემთ გამოვტოვოთ ტერმინი წრფივი. ჩვენ ასევე ვიტყვით დამოკიდებულ ან დამოუკიდებელ ვექტორებს ვექტორთა დამოკიდებული ან დამოუკიდებელი სისტემის ნაცვლად.

ერთი ვექტორი ასევე ქმნის სისტემას - წრფივად დამოუკიდებელ თუ და დამოკიდებული თუ.

თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ ამ სისტემის ნებისმიერი ნაწილი კიდევ უფრო წრფივად დამოუკიდებელია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, იქნებოდა რიცხვების არატრივიალური სისტემა ,…,, რისთვისაც

მაგრამ შემდეგ სისტემისთვის, ..., , , რომელიც ასევე არატრივიალურია, იქნებოდა

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ნებისმიერი დასრულებული სისტემა

აქვს იგივე ქონება. კერძოდ, ნულოვანი ვექტორის შემცველი ვექტორების სისტემა ყოველთვის წრფივია დამოკიდებული.

მოდით შევქმნათ მატრიცა, რომელიც განისაზღვრება სისტემის ვექტორებით (1):

თეორემა 1. თუ წოდება არის , ე.ი. რანგი უდრის ვექტორების რაოდენობას, მაშინ სისტემა (1) წრფივად დამოუკიდებელია.

თუ რანგი არის , მაშინ სისტემა (1) წრფივად არის დამოკიდებული.

მაგალითი 1. რეალურ სივრცეში ორი ვექტორი ქმნის წრფივად დამოუკიდებელ სისტემას, თუ განმსაზღვრელი

რადგან ვექტორული განტოლება

უდრის ორ განტოლებას შესაბამისი კომპონენტებისთვის

მაგრამ თუ , მაშინ სისტემას (5) აქვს უნიკალური ტრივიალური გადაწყვეტა

თუ , მაშინ განტოლებები (5) დაკმაყოფილებულია ზოგიერთი არატრივიალური სისტემით, ე.ი. როდესაც ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

ცხადია, იმის თქმა, რომ რეალურ სივრცეში ვექტორები არის კოლინარული ან წრფივი დამოკიდებული, იგივეა. მაგრამ შემდეგ იმის თქმა, რომ ვექტორები არ არის წრფივი ან წრფივი დამოუკიდებელი, ასევე იგივეა.

მაგალითი 2. ვექტორთა სისტემა , , ...., რეალურ სივრცეში ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული. გეომეტრიულად ეს ნათელია ნახ. 33: თუ თვითნებური ვექტორი და , არის არასწორხაზოვანი ვექტორები, მაშინ ყოველთვის შეგიძლიათ მიუთითოთ რიცხვები , , ისე, რომ

ეს აჩვენებს, რომ სისტემა ხაზობრივად არის დამოკიდებული. თუ და არიან კოლინარული ვექტორები, მაშინ ისინი წრფივად დამოკიდებულნი არიან. უფრო მეტიც, , , წრფივია დამოკიდებული.

თეორემა 1-ის მიხედვით, ვექტორების წყვილის შესასწავლად, უნდა დავწეროთ მათი კოორდინატების მატრიცა.

ამ შემთხვევაში.

ა) თუ რანგი არის , მაშინ თეორემა ამბობს, რომ ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

ბ) თუ რანგი არის , მაშინ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია.

ეს ემთხვევა ზემოაღნიშნულ დასკვნებს, რადგან ა) და ბ) შემთხვევაში.

ის ფაქტი, რომ სამი თვითნებური ვექტორი , , წრფივად არის დამოკიდებული, ასევე გათვალისწინებულია თეორემით - ბოლოს და ბოლოს, რანგი

მაგალითი 3. სამგანზომილებიან რეალურ სივრცეში ორი ვექტორია

ისინი წრფივად არიან დამოკიდებულნი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი კოლინარულია.

ფაქტობრივად, მოდით, იყოს კოლინარული. თუ ამ ვექტორებიდან ერთ-ერთი არის ნულოვანი, მაშინ ისინი წრფივად არიან დამოკიდებული. თუ ორივე არის კოლინარული და არა ნულოვანი, მაშინ

სად არის რაღაც ნომერი. ეს უკანასკნელი ნიშნავს, რომ , არიან წრფივი დამოკიდებულნი.

პირიქით, თუ , წრფივია დამოკიდებული, მაშინ ერთი მათგანი დამოკიდებულია მეორეზე, მაგალითად

იმათ. ვექტორები კოლინარულია.

თუ ამ შემთხვევაში განვიხილავთ მატრიცას

მაშინ მატრიცის რიგების ელემენტები პროპორციულია და ამიტომ

იმათ. ჩვენი განცხადება შეესაბამება თეორემა 1-ს.

მაგალითი 4. ახლა განიხილეთ სამი ვექტორი:

ვექტორული განტოლება

სამი განტოლების ეკვივალენტური სისტემა

თუ , მაშინ სისტემას (7") აქვს უნიკალური ტრივიალური ამონახსნი, მაგრამ განტოლებას (7) ასევე აქვს უნიკალური ტრივიალური ამონახსნები და ვექტორთა სისტემა , , წრფივად დამოუკიდებელია.

თუ , მაშინ სისტემას (7") და შესაბამისად განტოლებას (7) აქვს არატრივიალური ამონახსნები (). მაგრამ მაშინ ვექტორთა სისტემა (, , ) წრფივად არის დამოკიდებული. მაგრამ აქ შეგვიძლია განვასხვავოთ დეტალები:

1) დაე წოდება, სად

მაშინ მინიმუმ ერთ მწკრივს, ვთქვათ პირველს განსაზღვრულობისთვის, აქვს მინიმუმ ერთი ელემენტი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი. განვიხილოთ მატრიცა

მას აქვს რანგი 1, ამიტომ მის მიერ გენერირებული ყველა მეორე რიგის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია

მაგრამ შემდეგ, ცხადია, ვექტორების კომპონენტები და პროპორციულია.

ანალოგიურად, იმის გათვალისწინებით, რომ მატრიცაში

ასევე მეორე რიგის ყველა განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, ვიღებთ ამას

სად არის რაღაც ნომერი. ამრიგად, ამ შემთხვევაში ვექტორები , , არის კოლინარული.

2) მოდით ახლა წოდება. მაშინ ერთ-ერთ მატრიცას, რომელიც შედგება მატრიცის ორი მწკრივისაგან, აქვს 2 წოდება. განსაზღვრულობისთვის ეს იყოს მატრიცა (იხ. (8)). მე-3 მაგალითზე დაყრდნობით, ვექტორები და წრფივად დამოუკიდებელია. მაგრამ სისტემა, , არის დამოკიდებული, ე.ი.

აი, რადგან სხვაგვარად და სისტემის დამოუკიდებლობის გამო ასე იქნებოდა. მაგრამ მაშინ თანასწორობა (9) შეიძლება გადაწყდეს:

ამგვარად, თუ , და რანგი (იხ. (8)), მაშინ ვექტორები და არის არასწორხაზოვანი და ვექტორი , ეკუთვნის ამ ვექტორების სიბრტყეს.. არსებობს სისტემის განტოლებების არანულოვანი განმსაზღვრელი (2). ") კმაყოფილდება ნაპოვნი რიცხვებით (იხ. (11) ) და თვითნებური რიცხვებით . მე-2 პუნქტის საფუძველზე §4 (სისტემების ამოხსნის წესები), რიცხვები აკმაყოფილებს სისტემის დარჩენილ განტოლებებს (2"), ანუ რიცხვები , (ყველა ნულის ტოლი არ არის) აკმაყოფილებს სისტემის დარჩენილ განტოლებებს (2").

ამრიგად, ვექტორები წრფივია დამოკიდებულები და თეორემა ამ შემთხვევაშიც დადასტურებულია.

მოდით იყოს სკალარების ველი და F იყოს მისი მთავარი ნაკრები. მოდით - -განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცე - სივრცის ვექტორების თვითნებური სისტემა

განმარტება. ვექტორთა სისტემის წრფივი კომბინაცია არის იმ ფორმის ჯამი, სადაც . სკალარები ეწოდება წრფივი კომბინაციის კოეფიციენტებს. წრფივ კომბინაციას ეწოდება არატრივიალური, თუ მისი კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც განსხვავდება ნულიდან. წრფივ კომბინაციას ტრივიალური ეწოდება, თუ მისი ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

განმარტება. სისტემის ვექტორების ყველა წრფივი კომბინაციის სიმრავლეს ამ სისტემის წრფივი დიაპაზონი ეწოდება და აღინიშნება . ცარიელი სისტემის წრფივი დიაპაზონი ითვლება ნულოვანი ვექტორისგან შემდგარ სიმრავლედ.

ასე რომ, განსაზღვრებით,

ადვილი მისახვედრია, რომ ვექტორთა ამ სისტემის წრფივი კორპუსი დახურულია ვექტორების დამატების, ვექტორების გამოკლებისა და ვექტორების სკალარებზე გამრავლების ოპერაციებთან მიმართებაში.

განმარტება. ვექტორთა სისტემას უწოდებენ წრფივად დამოუკიდებელ, თუ რომელიმე სკალერისთვის ტოლობები მოჰყვება. ცარიელი ვექტორული სისტემა

ითვლება ხაზობრივად დამოუკიდებლად.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორთა სასრული სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის ვექტორების ყველა არატრივიალური წრფივი კომბინაცია არ არის ნულოვანი ვექტორის ტოლი.

განმარტება. ვექტორთა სისტემას უწოდებენ წრფივად დამოკიდებულს, თუ არის სკალარები, რომლებიც ყველა ნულის ტოლი არ არის, ისეთი, რომ

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების სასრულ სისტემას ამბობენ, რომ წრფივია დამოკიდებული, თუ არსებობს სისტემის ვექტორების არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლი.

ვექტორული სისტემა

ვექტორულ სივრცეში ერთეულ ვექტორთა სისტემას უწოდებენ. მართლაც, ნებისმიერი სკალერისთვის თანასწორობა მოჰყვება თანასწორობას და, შესაბამისად, თანასწორობას

განვიხილოთ ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების და დამოუკიდებლობის თვისებები.

თვისებები 1.1. ნულოვანი ვექტორის შემცველი ვექტორების სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

მტკიცებულება. თუ ვექტორთა სისტემაში, მაგალითად, ერთ-ერთი ვექტორი არის ნულოვანი ვექტორი, მაშინ სისტემის ვექტორთა წრფივი კომბინაცია, რომლის ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, გარდა კოეფიციენტისა, ნულის ტოლია. ვექტორი. შესაბამისად, ვექტორთა ასეთი სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

საკუთრება 1.2. ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, თუ მისი რომელიმე ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

მტკიცებულება. მოდით იყოს სისტემის წრფივად დამოკიდებული ქვესისტემა და კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც განსხვავებული იყოს ნულიდან. შემდეგ, შესაბამისად, ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

გამოძიება. წრფივი დამოუკიდებელი სისტემის ნებისმიერი ქვესისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

ქონება 1.3. ვექტორული სისტემა

რომელშიც წრფივად არის დამოკიდებული თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ვექტორებიდან ერთი მაინც არის წინა ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

მტკიცებულება. მოდით, სისტემა (1) იყოს წრფივად დამოკიდებული და არსებობენ სკალერები, რომლებიც ყველა ნულის ტოლი არ არის, ისეთი, რომ

კ-ით ავღნიშნოთ პირობის დამაკმაყოფილებელი უდიდესი რიცხვი, მაშინ ტოლობა (2) შეიძლება ჩაიწეროს სახით

გაითვალისწინეთ, რომ სხვაგვარად ამიტომ, ვინაიდან . (3)-დან თანასწორობა მოყვება

ახლა დავუშვათ, რომ ვექტორი არის მის წინ მყოფი ვექტორების წრფივი კომბინაცია, ანუ მაშინ, ანუ სისტემის (1) ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. ამიტომ, თვისებით 1.2, თავდაპირველი სისტემა (1) ასევე წრფივად არის დამოკიდებული.

ქონება 1.4. თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია და ვექტორთა სისტემა

წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ვექტორი ვექტორების მეშვეობით წრფივად არის გამოხატული

და ერთადერთი გზით.

მტკიცებულება. პირობით, სისტემა (2) წრფივად არის დამოკიდებული, ანუ არის სკალერები, რომლებიც ყველა ნულის ტოლი არ არის, ისეთი, რომ

უფრო მეტიც, ვინაიდან რისთვისაც ეწინააღმდეგება სისტემის ხაზოვან დამოუკიდებლობას (1). (3)-დან თანასწორობა მოყვება

სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობის გამო (1) გამომდინარეობს, რომ

ქონება 1.5. თუ და

მტკიცებულება. მდგომარეობა ნიშნავს, რომ არსებობს სკალარები ისეთი, რომ

მდგომარეობა ნიშნავს, რომ არსებობს სკალარები ისეთი, რომ

(1) და (2)-ის ძალით ვიღებთ

თეორემა 1.2. თუ

მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივია დამოკიდებული. მტკიცებულება (განხორციელებული ინდუქციით ).

ვექტორები, მათი თვისებები და მოქმედებები მათთან

ვექტორები, მოქმედებები ვექტორებთან, წრფივი ვექტორული სივრცე.

ვექტორები არის სასრული რაოდენობის რეალური რიცხვების მოწესრიგებული კოლექცია.

მოქმედებები: 1.ვექტორის გამრავლება რიცხვზე: ლამბდა*ვექტორი x=(ლამდა*x 1, ლამბდა*x 2 ... ლამბდა*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. ვექტორების შეკრება (ეკუთვნება იმავე ვექტორულ სივრცეს) ვექტორი x + ვექტორი y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. ვექტორი 0=(0,0…0)---n E n – n-განზომილებიანი (წრფივი სივრცე) ვექტორი x + ვექტორი 0 = ვექტორი x

თეორემა. იმისათვის, რომ n ვექტორთა სისტემა, n-განზომილებიანი წრფივი სივრცე იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ერთ-ერთი ვექტორი იყოს სხვების წრფივი კომბინაცია.

თეორემა. ფენომენების n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის n+ 1-ლი ვექტორების ნებისმიერი სიმრავლე. წრფივად დამოკიდებული.

ვექტორების შეკრება, ვექტორების რიცხვებზე გამრავლება. ვექტორების გამოკლება.

ორი ვექტორის ჯამი არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია ვექტორის დასაწყისიდან ვექტორის ბოლომდე, იმ პირობით, რომ დასაწყისი ემთხვევა ვექტორის დასასრულს. თუ ვექტორები მოცემულია მათი გაფართოებებით საბაზისო ერთეულ ვექტორებში, მაშინ ვექტორების დამატებისას ემატება მათი შესაბამისი კოორდინატები.

მოდით განვიხილოთ ეს დეკარტის კოორდინატთა სისტემის მაგალითის გამოყენებით. დაე

ეს ვაჩვენოთ

სურათი 3-დან ირკვევა, რომ

ნებისმიერი სასრული რაოდენობის ვექტორების ჯამი შეიძლება მოიძებნოს მრავალკუთხედის წესის გამოყენებით (ნახ. 4): ვექტორების სასრული რაოდენობის ჯამის ასაგებად საკმარისია ყოველი მომდევნო ვექტორის დასაწყისი წინა ვექტორის დასასრულთან გავაერთიანოთ. და ააგეთ ვექტორი, რომელიც აკავშირებს პირველი ვექტორის დასაწყისს უკანასკნელის დასასრულთან.

ვექტორის დამატების ოპერაციის თვისებები:

ამ გამონათქვამებში m, n რიცხვებია.

ვექტორებს შორის განსხვავებას ეწოდება ვექტორი. მეორე წევრი არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია ვექტორის მიმართ, მაგრამ მისი სიგრძით ტოლია.

ამრიგად, ვექტორების გამოკლების მოქმედება იცვლება მიმატების ოპერაციით

ვექტორს, რომლის დასაწყისი არის საწყისში და დასასრული A წერტილში (x1, y1, z1), ეწოდება A წერტილის რადიუსის ვექტორი და აღინიშნება უბრალოდ. ვინაიდან მისი კოორდინატები ემთხვევა A წერტილის კოორდინატებს, მის გაფართოებას ერთეულ ვექტორებში აქვს ფორმა

ვექტორი, რომელიც იწყება A(x1, y1, z1) წერტილიდან და მთავრდება B(x2, y2, z2) წერტილში შეიძლება დაიწეროს როგორც

სადაც r 2 არის B წერტილის რადიუსის ვექტორი; r 1 - A წერტილის რადიუსის ვექტორი.

ამრიგად, ვექტორის გაფართოებას ერთეულ ვექტორებში აქვს ფორმა

მისი სიგრძე უდრის A და B წერტილებს შორის მანძილს

გამრავლება

ასე რომ, სიბრტყის ამოცანის შემთხვევაში, ვექტორის ნამრავლი a = (ax; ay) რიცხვით b იპოვება ფორმულით.

a b = (ax b; ay b)

მაგალითი 1. იპოვეთ a = (1; 2) ვექტორის ნამრავლი 3-ზე.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

ასე რომ, სივრცითი ამოცანის შემთხვევაში a = (ax; ay; az) ვექტორის ნამრავლი b რიცხვით გვხვდება ფორმულით.

a b = (ax b; ay b; az b)

მაგალითი 1. იპოვეთ a = (1; 2; -5) ვექტორის ნამრავლი 2-ზე.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

ვექტორების სკალარული ნამრავლი და სად არის კუთხე ვექტორებს შორის და ; თუ რომელიმე, მაშინ

სკალარული პროდუქტის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ

სადაც, მაგალითად, არის ვექტორის პროექციის სიდიდე ვექტორის მიმართულებით.

სკალარული კვადრატული ვექტორი:

წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები:

წერტილოვანი პროდუქტი კოორდინატებში

კუთხე ვექტორებს შორის

კუთხე ვექტორებს შორის - კუთხე ამ ვექტორების მიმართულებებს შორის (უმცირესი კუთხე).

ჯვარედინი პროდუქტი (ორი ვექტორის ჯვარედინი პროდუქტი.) -ეს არის ფსევდოვექტორი პერპენდიკულარული სიბრტყეზე, რომელიც აგებულია ორი ფაქტორისგან, რომელიც არის ორგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ვექტორებზე ორობითი ოპერაციის „ვექტორის გამრავლების“ შედეგი. ნამრავლი არც კომუტაციურია და არც ასოციაციური (ის ანტიკომუტატიულია) და განსხვავდება ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლისაგან. საინჟინრო და ფიზიკის ბევრ პრობლემაში თქვენ უნდა შეძლოთ ვექტორის პერპენდიკულარული აწყობა ორ არსებულზე - ვექტორული პროდუქტი იძლევა ამ შესაძლებლობას. ჯვარედინი ნამრავლი სასარგებლოა ვექტორების პერპენდიკულარობის „გასაზომად“ - ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე ტოლია მათი სიგრძის ნამრავლის, თუ ისინი პერპენდიკულარულია და ნულამდე მცირდება, თუ ვექტორები პარალელური ან ანტიპარალელურია.

ჯვარედინი პროდუქტი განისაზღვრება მხოლოდ სამგანზომილებიან და შვიდგანზომილებიან სივრცეებში. ვექტორული ნამრავლის შედეგი, ისევე როგორც სკალარული ნამრავლი, დამოკიდებულია ევკლიდური სივრცის მეტრიკაზე.

სამგანზომილებიანი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში კოორდინატებისგან სკალარული ნაწარმოების ვექტორების გამოთვლის ფორმულისგან განსხვავებით, ჯვარედინი ნამრავლის ფორმულა დამოკიდებულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ორიენტაციაზე ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მის „კირალობაზე“

ვექტორთა კოლინარულობა.

ორ არანულოვან (არ არის 0-ის ტოლი) ვექტორს კოლინარული ეწოდება, თუ ისინი დევს პარალელურ წრფეებზე ან ერთსა და იმავე წრფეზე. მისაღები, მაგრამ არა რეკომენდებული სინონიმი არის „პარალელური“ ვექტორები. კოლინარული ვექტორები შეიძლება იყოს იდენტურად მიმართული ("თანმიმართული") ან საპირისპირო მიმართულება (ამ უკანასკნელ შემთხვევაში მათ ზოგჯერ "ანტიკოლინიურ" ან "ანტიპარალელურს" უწოდებენ).

ვექტორების შერეული პროდუქტი ( ა, ბ, გ)- a ვექტორის სკალარული ნამრავლი და b და c ვექტორების ვექტორული ნამრავლი:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

მას ზოგჯერ უწოდებენ ვექტორების სამ წერტილოვან ნამრავლს, როგორც ჩანს, იმიტომ, რომ შედეგი არის სკალარი (უფრო ზუსტად, ფსევდოსკალარი).

გეომეტრიული მნიშვნელობა: შერეული პროდუქტის მოდული რიცხობრივად უდრის ვექტორების მიერ წარმოქმნილი პარალელეპიპედის მოცულობას. (ა, ბ, გ) .

თვისებები

შერეული პროდუქტი ყველა არგუმენტთან მიმართებაში უხერხულ-სიმეტრიულია: ე.ი. ე. ნებისმიერი ორი ფაქტორის გადაკეთება ცვლის პროდუქტის ნიშანს. აქედან გამომდინარეობს, რომ შერეული ნამრავლი მარჯვენა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში (ორთონორმალურ საფუძველზე) უდრის მატრიცის განმსაზღვრელს, რომელიც შედგება ვექტორებისგან და:

შერეული ნამრავლი მარცხენა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში (ორთონორმალურ საფუძველზე) უდრის ვექტორებისგან შემდგარი მატრიცის განმსაზღვრელს და აღებულია მინუს ნიშნით:

კერძოდ,

თუ რომელიმე ორი ვექტორი პარალელურია, მაშინ რომელიმე მესამე ვექტორთან ისინი ქმნიან შერეულ პროდუქტს ნულის ტოლი.

თუ სამი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული (ანუ თანაპლენარული, დევს იმავე სიბრტყეში), მაშინ მათი შერეული ნამრავლი ნულის ტოლია.

გეომეტრიული მნიშვნელობა - შერეული ნამრავლი აბსოლუტური მნიშვნელობით უდრის ვექტორებით წარმოქმნილ პარალელეპიპედის მოცულობას (იხ. ფიგურა) და; ნიშანი დამოკიდებულია იმაზე, ვექტორების ეს სამეული მემარჯვენეა თუ მემარცხენე.

ვექტორების თანაპლენარულობა.

სამ ვექტორს (ან უფრო დიდ რიცხვს) ეწოდება თანაპლენარული, თუ ისინი, საერთო საწყისამდე დაყვანილი, იმავე სიბრტყეში არიან.

თანაფარდობის თვისებები

თუ სამი ვექტორიდან ერთი მაინც არის ნულოვანი, მაშინ სამი ვექტორი ასევე განიხილება თანაპლანტარული.

ვექტორების სამმაგი, რომელიც შეიცავს წყვილ კოლინურ ვექტორებს, არის თანაპლენარული.

თანაპლენარული ვექტორების შერეული პროდუქტი. ეს არის კრიტერიუმი სამი ვექტორის თანაფარდობისთვის.

თანაპლენარული ვექტორები წრფივია დამოკიდებული. ეს ასევე არის თანაფარდობის კრიტერიუმი.

სამგანზომილებიან სივრცეში საფუძველს ქმნის 3 არათანაბარი ვექტორი

წრფივად დამოკიდებული და წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორები.

ხაზობრივად დამოკიდებული და დამოუკიდებელი ვექტორული სისტემები.განმარტება. ვექტორული სისტემა ე.წ წრფივად დამოკიდებული, თუ არსებობს ამ ვექტორების მინიმუმ ერთი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ე.ი. თუ მოცემული ვექტორების მხოლოდ ტრივიალური წრფივი კომბინაცია უდრის ნულ ვექტორს, ვექტორებს ე.წ. წრფივი დამოუკიდებელი.

თეორემა (წრფივი დამოკიდებულების კრიტერიუმი). იმისათვის, რომ ვექტორთა სისტემა ხაზოვან სივრცეში იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ვექტორებიდან ერთი მაინც იყოს სხვების წრფივი კომბინაცია.

1) თუ ვექტორებს შორის არის მინიმუმ ერთი ნულოვანი ვექტორი, მაშინ ვექტორთა მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

სინამდვილეში, თუ, მაგალითად, , მაშინ, თუ ვივარაუდებთ, გვაქვს არატრივიალური წრფივი კომბინაცია .▲

2) თუ ვექტორებს შორის ზოგიერთი ქმნის წრფივად დამოკიდებულ სისტემას, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

მართლაც, მოდით ვექტორები , , იყოს წრფივი დამოკიდებული. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლი. მაგრამ შემდეგ, ვივარაუდოთ, რომ ჩვენ ასევე მივიღებთ არატრივიალურ წრფივ კომბინაციას, რომელიც ტოლია ნულოვანი ვექტორის.

2. საფუძველი და განზომილება. განმარტება. ვექტორულ სივრცეში წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების სისტემას ეწოდება საფუძველიამ სივრცის თუ რომელიმე ვექტორი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ამ სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია, ე.ი. ყოველი ვექტორისთვის არის ისეთი რეალური რიცხვები, რომ თანასწორობა იწოდება ვექტორის დაშლასაფუძვლის მიხედვით და ნომრებს უწოდებენ ვექტორის კოორდინატები საფუძველთან შედარებით(ან საფუძველში) .

თეორემა (გაფართოების უნიკალურობის შესახებ საფუძველთან მიმართებაში). სივრცეში ყველა ვექტორი შეიძლება გაფართოვდეს საფუძვლად ერთადერთი გზით, ე.ი. თითოეული ვექტორის კოორდინატები ბაზაში განისაზღვრება ცალსახად.

საფუძვლის მთავარი მნიშვნელობა ის არის, რომ ვექტორების შეკრებისა და რიცხვებით გამრავლების ოპერაციები საფუძვლის დაზუსტებისას გადაიქცევა რიცხვებზე შესაბამის მოქმედებებად - ამ ვექტორების კოორდინატებად. კერძოდ, სიმართლეა შემდეგი

თეორემა. წრფივი სივრცის ნებისმიერი ორი ვექტორის დამატებისას ემატება მათი კოორდინატები (სივრცის ნებისმიერ საფუძველთან მიმართებაში); როდესაც თვითნებური ვექტორი მრავლდება რომელიმე რიცხვზე, ამ ვექტორის ყველა კოორდინატი მრავლდება .

განმარტება - განზომილებიანი, თუ მასში არის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორები და ნებისმიერი ვექტორი უკვე წრფივად არის დამოკიდებული. ამ შემთხვევაში იწოდება ნომერი განზომილებასივრცე.

ერთი ნულოვანი ვექტორისგან შემდგარი ვექტორული სივრცის განზომილება ითვლება ნულამდე.

სივრცის განზომილება ჩვეულებრივ აღინიშნება სიმბოლოთი.

განმარტება. ვექტორული სივრცე ე.წ უსასრულო-განზომილებიანი, თუ იგი შეიცავს წრფივად დამოუკიდებელ ვექტორთა ნებისმიერ რაოდენობას. ამ შემთხვევაში ისინი წერენ.

მოდით დავაზუსტოთ კავშირი სივრცის საფუძვლისა და განზომილების ცნებებს შორის.

თეორემა. თუ არის განზომილების ვექტორული სივრცე, მაშინ ამ სივრცის ნებისმიერი წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორი ქმნის მის საფუძველს.

თეორემა. თუ ვექტორულ სივრცეს აქვს ვექტორებისგან შემდგარი საფუძველი, მაშინ .

დაკავშირებული ინფორმაცია.