სიმაღლე უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა იცოდეთ სამკუთხედის შესახებ

ქონება: 1.ნებისმიერ მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხიდან აღებული სიმაღლე (ჰიპოტენუზა) სწორ სამკუთხედს ყოფს სამ მსგავს სამკუთხედად.

ქონება: 2.მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე, დაშვებული ჰიპოტენუზამდე, უდრის ფეხების პროგნოზების გეომეტრიულ საშუალოს ჰიპოტენუზაზე (ან იმ სეგმენტების გეომეტრიულ საშუალოს, რომლებშიც სიმაღლე ყოფს ჰიპოტენუზას).

ქონება: 3.ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის გეომეტრიულ საშუალოს და ამ ფეხის პროექციას ჰიპოტენუზაზე.

ქონება: 4. 30 გრადუსიანი კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.

ფორმულა 1.

ფორმულა 2., სად არის ჰიპოტენუზა; , ფეხები.

ქონება: 5.მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზასთან მიყვანილი მედიანა უდრის მის ნახევარს და უდრის შემოხაზული წრის რადიუსს.

თვისება: 6. მიმართება მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის:

44. კოსინუსების თეორემა. დასკვნა: კავშირი პარალელოგრამის დიაგონალებსა და გვერდებს შორის; სამკუთხედის ტიპის განსაზღვრა; სამკუთხედის შუალედის სიგრძის გამოსათვლელი ფორმულა; სამკუთხედის კუთხის კოსინუსის გამოთვლა.

სამუშაოს დასასრული -

ეს თემა ეკუთვნის განყოფილებას:

კლასი. საბაზისო პლანიმეტრიის კოლოკვიუმის პროგრამა

მიმდებარე კუთხეების თვისება.. ორი კუთხის მიმდებარედ განსაზღვრება, თუ მათ აქვთ ერთი გვერდი საერთო და დანარჩენი ორი ქმნიან სწორ ხაზს.

თუ გჭირდებათ დამატებითი მასალა ამ თემაზე, ან ვერ იპოვნეთ ის, რასაც ეძებდით, გირჩევთ გამოიყენოთ ძიება ჩვენს სამუშაოთა მონაცემთა ბაზაში:

რას ვიზამთ მიღებულ მასალასთან:

თუ ეს მასალა თქვენთვის სასარგებლო იყო, შეგიძლიათ შეინახოთ იგი თქვენს გვერდზე სოციალურ ქსელებში:

სინამდვილეში, ყველაფერი არც ისე საშინელია. რა თქმა უნდა, სტატიაში უნდა განიხილებოდეს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის „რეალური“ განმარტება. მაგრამ მე ნამდვილად არ მინდა, არა? ჩვენ შეგვიძლია გავიხაროთ: მართკუთხა სამკუთხედის პრობლემების გადასაჭრელად, შეგიძლიათ უბრალოდ შეავსოთ შემდეგი მარტივი რამ:

რაც შეეხება კუთხეს? არის ფეხი, რომელიც კუთხის მოპირდაპირეა, ანუ მოპირდაპირე (კუთხისთვის) ფეხი? რა თქმა უნდა, არსებობს! ეს არის ფეხი!

რაც შეეხება კუთხეს? ყურადღებით დააკვირდით. რომელი ფეხი დგას კუთხესთან? რა თქმა უნდა, ფეხი. ეს ნიშნავს, რომ კუთხისთვის ფეხი მიმდებარეა და

ახლა მიაქციე ყურადღება! ნახეთ რა მივიღეთ:

ნახეთ რა მაგარია:

ახლა გადავიდეთ ტანგენტსა და კოტანგენსზე.

როგორ ჩავწერო ახლა სიტყვებით? რა არის ფეხი კუთხესთან მიმართებაში? საპირისპირო, რა თქმა უნდა - ის "დევს" კუთხის მოპირდაპირედ. რაც შეეხება ფეხს? კუთხის მიმდებარედ. მაშ რა გვაქვს?

ნახეთ, როგორ გაცვალეს მრიცხველი და მნიშვნელი ადგილები?

ახლა კი ისევ კუთხეები და გავცვალეთ:

რეზიუმე

მოკლედ ჩამოვწეროთ ყველაფერი რაც ვისწავლეთ.

პითაგორას თეორემა:

მართკუთხა სამკუთხედების შესახებ მთავარი თეორემა არის პითაგორას თეორემა.

პითაგორას თეორემა

სხვათა შორის, კარგად გახსოვთ რა არის ფეხები და ჰიპოტენუზა? თუ არ არის ძალიან კარგი, მაშინ შეხედეთ სურათს - განაახლეთ თქვენი ცოდნა

სავსებით შესაძლებელია, რომ უკვე ბევრჯერ გამოგიყენებიათ პითაგორას თეორემა, მაგრამ ოდესმე გიფიქრიათ, რატომ არის ასეთი თეორემა ჭეშმარიტი? როგორ დავამტკიცო? მოდი მოვიქცეთ როგორც ძველი ბერძნები. დავხატოთ კვადრატი გვერდით.

ნახეთ, რა ჭკვიანურად დავყავით მისი გვერდები სიგრძეებად და!

ახლა შევაერთოთ მონიშნული წერტილები

აქ ჩვენ, თუმცა, სხვა რამ აღვნიშნეთ, მაგრამ თქვენ თავად უყურებთ ნახატს და ფიქრობთ, რატომ არის ასე.

რა არის უფრო დიდი კვადრატის ფართობი?

უფლება,.

რაც შეეხება უფრო მცირე ფართობს?

რა თქმა უნდა,.

დარჩენილია ოთხი კუთხის საერთო ფართობი. წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ ავიღეთ ისინი ერთდროულად და ვეყრდნობოდით ერთმანეთს თავიანთი ჰიპოტენუსებით.

რა მოხდა? ორი მართკუთხედი. ეს ნიშნავს, რომ "ჭრის" ფართობი ტოლია.

მოდით, ახლა ეს ყველაფერი ერთად გავაერთიანოთ.

მოდით გარდავქმნათ:

ასე რომ, ჩვენ ვესტუმრეთ პითაგორას - ჩვენ დავამტკიცეთ მისი თეორემა უძველესი გზით.

მართკუთხა სამკუთხედი და ტრიგონომეტრია

მართკუთხა სამკუთხედისთვის მოქმედებს შემდეგი მიმართებები:

მწვავე კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე მხარის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან

მწვავე კუთხის კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან.

მახვილი კუთხის ტანგენსი უდრის მოპირდაპირე მხარის შეფარდებას მეზობელ მხარესთან.

მწვავე კუთხის კოტანგენსი უდრის მიმდებარე მხარის შეფარდებას მოპირდაპირე მხარეს.

და კიდევ ერთხელ ეს ყველაფერი ტაბლეტის სახით:

ძალიან მოსახერხებელია!

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები

I. ორ მხარეს

II. ფეხით და ჰიპოტენუზით

III. ჰიპოტენუზით და მწვავე კუთხით

IV. ფეხის გასწვრივ და მწვავე კუთხით

ა)

ბ)

ყურადღება! აქ ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ ფეხები იყოს "შესაბამისი". მაგალითად, თუ ეს ასე ხდება:

მაშინ სამკუთხედები არ არიან ტოლებიმიუხედავად იმისა, რომ მათ აქვთ ერთი იდენტური მწვავე კუთხე.

აუცილებელია, რომ ორივე სამკუთხედში ფეხი მიმდებარე იყო, ან ორივეში საპირისპირო იყო.

შეგიმჩნევიათ, როგორ განსხვავდება მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები სამკუთხედების ტოლობის ჩვეულებრივი ნიშნებისგან?

გადახედეთ თემას „და ყურადღება მიაქციეთ, რომ „ჩვეულებრივი“ სამკუთხედების ტოლობისთვის მათი სამი ელემენტი ტოლი უნდა იყოს: ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე, ორი კუთხე და გვერდი მათ შორის, ან სამი გვერდი.

მაგრამ მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობისთვის საკმარისია მხოლოდ ორი შესაბამისი ელემენტი. დიდი, არა?

დაახლოებით იგივე სიტუაციაა მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსების ნიშნებით.

მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები

I. მწვავე კუთხის გასწვრივ

II. ორ მხარეს

III. ფეხით და ჰიპოტენუზით

მედიანა მართკუთხა სამკუთხედში

რატომ არის ეს ასე?

მართკუთხა სამკუთხედის ნაცვლად განიხილეთ მთელი მართკუთხედი.

დავხატოთ დიაგონალი და განვიხილოთ წერტილი - დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. რა იცით მართკუთხედის დიაგონალების შესახებ?

და რა გამოდის აქედან?

ასე აღმოჩნდა რომ

- მედიანა:

დაიმახსოვრეთ ეს ფაქტი! ძალიან ეხმარება!

კიდევ უფრო გასაკვირი ის არის, რომ პირიქითაც არის.

რა სარგებელი შეიძლება მივიღოთ იმ ფაქტით, რომ ჰიპოტენუზაზე მიყვანილი მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს? მოდით შევხედოთ სურათს

ყურადღებით დააკვირდით. გვაქვს: , ანუ მანძილი წერტილიდან სამკუთხედის სამივე წვერომდე ტოლი აღმოჩნდა. მაგრამ სამკუთხედში მხოლოდ ერთი წერტილია, საიდანაც მანძილი სამკუთხედის სამივე წვეროდან ტოლია და ეს არის წრის ცენტრი. მერე რა მოხდა?

მაშ ასე, დავიწყოთ ამ „გარდა ამისა...“.

შევხედოთ და.

მაგრამ მსგავს სამკუთხედებს აქვთ ყველა თანაბარი კუთხე!

იგივე შეიძლება ითქვას და

ახლა ერთად დავხატოთ:

რა სარგებელი შეიძლება მივიღოთ ამ „სამმაგი“ მსგავსებიდან?

ისე, მაგალითად - მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის ორი ფორმულა.

დავწეროთ შესაბამისი მხარეების ურთიერთობები:

სიმაღლის საპოვნელად ვხსნით პროპორციას და ვიღებთ პირველი ფორმულა "სიმაღლე მართკუთხა სამკუთხედში":

აბა, ახლა, ამ ცოდნის სხვებთან გამოყენებით და გაერთიანებით, ნებისმიერ პრობლემას მოაგვარებთ მართკუთხა სამკუთხედით!

მაშ ასე, გამოვიყენოთ მსგავსება: .

რა მოხდება ახლა?

კვლავ ვხსნით პროპორციას და ვიღებთ მეორე ფორმულას:

თქვენ უნდა გახსოვდეთ ორივე ფორმულა ძალიან კარგად და გამოიყენოთ ის, რაც უფრო მოსახერხებელია.

მოდი ისევ ჩამოვწეროთ ისინი

პითაგორას თეორემა:

მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის წვივების კვადრატების ჯამს: .

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები:

ორ მხარეს:
ფეხით და ჰიპოტენუზით: ან
ფეხისა და მიმდებარე მწვავე კუთხის გასწვრივ: ან
ფეხის გასწვრივ და საპირისპირო მწვავე კუთხე: ან
ჰიპოტენუზისა და მწვავე კუთხით: ან.

მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები:

ერთი მწვავე კუთხე: ან
ორი ფეხის პროპორციულობიდან:
ფეხისა და ჰიპოტენუზის პროპორციულობიდან: ან.

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედში

მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:
მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:
მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან:
მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე გვერდის შეფარდება მოპირდაპირე მხარეს: .

მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე: ან.

მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს: .

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი:

ფეხების მეშვეობით:

(ABC)და მისი თვისებები, რომელიც წარმოდგენილია ფიგურაში. მართკუთხა სამკუთხედს აქვს ჰიპოტენუზა - გვერდი, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ.

რჩევა 1: როგორ მოვძებნოთ მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე

გვერდებს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები. სურათზე ნაჩვენებია მხარეები AD, DC და BD, DC- ფეხები და გვერდები ACდა NE- ჰიპოტენუზა.

თეორემა 1. მართკუთხა სამკუთხედში 30° კუთხით, ამ კუთხის მოპირდაპირე ფეხი დაარღვევს ჰიპოტენუზის ნახევარს.

AB- ჰიპოტენუზა;

ახ.წდა DV

სამკუთხედი
არსებობს თეორემა:
კომენტარების სისტემა CACKLე

ამოხსნა: 1) ნებისმიერი მართკუთხედის დიაგონალები ტოლია 2) თუ სამკუთხედს აქვს ერთი მახვილი კუთხე, მაშინ ეს სამკუთხედი მახვილია. არ შეესაბამება სიმართლეს. სამკუთხედების სახეები. სამკუთხედს მახვილი ეწოდება, თუ მისი სამივე კუთხე მახვილია, ანუ 90° 3-ზე ნაკლები) თუ წერტილი დევს.

ან სხვა ჩანაწერში,

პითაგორას თეორემის მიხედვით

რა არის მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის ფორმულა?

მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე

ჰიპოტენუზასთან დახატული მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე შეიძლება ამა თუ იმ გზით მოიძებნოს პრობლემის ფორმულის მონაცემებზე დაყრდნობით.

ან სხვა ჩანაწერში,

სადაც BK და KC არის ფეხების პროექცია ჰიპოტენუზაზე (სეგმენტები, რომლებშიც სიმაღლე ყოფს ჰიპოტენუზას).

ჰიპოტენუზამდე სიმაღლე შეიძლება მოიძებნოს მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის მეშვეობით. თუ გამოვიყენებთ ფორმულას სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად

(გვერდის ნამრავლის ნახევარი და ამ მხარის სიმაღლეზე) ჰიპოტენუზასთან და ჰიპოტენუზასთან მიყვანილ სიმაღლეზე, მივიღებთ:

აქედან შეგვიძლია ვიპოვოთ სიმაღლე, როგორც სამკუთხედის ფართობის ორჯერ თანაფარდობა ჰიპოტენუზის სიგრძესთან:

ვინაიდან მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი უდრის ფეხების ნამრავლის ნახევარს:

ანუ, სიმაღლის სიგრძე ჰიპოტენუზას უდრის ფეხების პროდუქტის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან. თუ ფეხების სიგრძეს აღვნიშნავთ a და b-ით, ჰიპოტენუზის სიგრძეს c-ით, ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს როგორც

ვინაიდან მართკუთხა სამკუთხედის წრეწირის რადიუსი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს, სიმაღლის სიგრძე შეიძლება გამოიხატოს ფეხებითა და წრეწირის რადიუსით:

ვინაიდან ჰიპოტენუზაზე მიზიდული სიმაღლე ქმნის კიდევ ორ მართკუთხა სამკუთხედს, მისი სიგრძე შეიძლება ვიპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედის მიმართებით.

მართკუთხა სამკუთხედიდან ABK

მართკუთხა სამკუთხედიდან ACK

მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის სიგრძე შეიძლება გამოიხატოს ფეხების სიგრძით. იმიტომ რომ

პითაგორას თეორემის მიხედვით

თუ განტოლების ორივე მხარეს გავა კვადრატში:

თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა ფორმულა მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის მის ფეხებთან დასაკავშირებლად:

რა არის მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის ფორმულა?

მართკუთხა სამკუთხედი. საშუალო დონე.

გსურთ გამოსცადოთ თქვენი ძალა და გაიგოთ შედეგი, რამდენად მზად ხართ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის?

მართკუთხა სამკუთხედების შესახებ მთავარი თეორემა არის პითაგორას თეორემა.

პითაგორას თეორემა

ნახეთ, რა ჭკვიანურად დავყავით მისი გვერდები სიგრძეებად და!

ახლა შევაერთოთ მონიშნული წერტილები

რა არის უფრო დიდი კვადრატის ფართობი? უფლება,. რაც შეეხება უფრო მცირე ფართობს? რა თქმა უნდა,. დარჩენილია ოთხი კუთხის საერთო ფართობი. წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ ავიღეთ ისინი ერთდროულად და ვეყრდნობოდით ერთმანეთს თავიანთი ჰიპოტენუსებით. რა მოხდა? ორი მართკუთხედი. ეს ნიშნავს, რომ "ჭრის" ფართობი ტოლია.

მოდით, ახლა ეს ყველაფერი ერთად გავაერთიანოთ.

მართკუთხა სამკუთხედი და ტრიგონომეტრია

მართკუთხა სამკუთხედისთვის მოქმედებს შემდეგი მიმართებები:

მწვავე კუთხის კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან.

და კიდევ ერთხელ ეს ყველაფერი ტაბლეტის სახით:

შეგიმჩნევიათ ერთი ძალიან მოსახერხებელი რამ? ყურადღებით დააკვირდით ნიშანს.

ძალიან მოსახერხებელია!

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები

II. ფეხით და ჰიპოტენუზით

III. ჰიპოტენუზით და მწვავე კუთხით

IV. ფეხის გასწვრივ და მწვავე კუთხით

შეგიმჩნევიათ, როგორ განსხვავდება მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები სამკუთხედების ტოლობის ჩვეულებრივი ნიშნებისგან? გადახედეთ თემას „სამკუთხედი“ და მიაქციეთ ყურადღება, რომ „ჩვეულებრივი“ სამკუთხედების ტოლობისთვის მათი სამი ელემენტი ტოლი უნდა იყოს: ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე, ორი კუთხე და გვერდი მათ შორის, ან სამი. მხარეები. მაგრამ მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობისთვის საკმარისია მხოლოდ ორი შესაბამისი ელემენტი. დიდი, არა?

დაახლოებით იგივე სიტუაციაა მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსების ნიშნებით.

მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები

III. ფეხით და ჰიპოტენუზით

მედიანა მართკუთხა სამკუთხედში

მართკუთხა სამკუთხედის ნაცვლად განიხილეთ მთელი მართკუთხედი.

დავხატოთ დიაგონალი და განვიხილოთ დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. რა იცით მართკუთხედის დიაგონალების შესახებ?

დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი იყოფა შუაზე.

და რა გამოდის აქედან?

ასე აღმოჩნდა რომ

დაიმახსოვრეთ ეს ფაქტი! ძალიან ეხმარება!

კიდევ უფრო გასაკვირი ის არის, რომ პირიქითაც არის.

დავიწყოთ ამ "გარდა ამისა". "

მაგრამ მსგავს სამკუთხედებს აქვთ ყველა თანაბარი კუთხე!

იგივე შეიძლება ითქვას და

ახლა ერთად დავხატოთ:

მათ აქვთ იგივე მკვეთრი კუთხეები!

რა სარგებელი შეიძლება მივიღოთ ამ „სამმაგი“ მსგავსებიდან?

ისე, მაგალითად - მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის ორი ფორმულა.

დავწეროთ შესაბამისი მხარეების ურთიერთობები:

როგორ მივიღოთ მეორე?

ახლა გამოვიყენოთ სამკუთხედების მსგავსება და.

მაშ ასე, გამოვიყენოთ მსგავსება: .

რა მოხდება ახლა?

კვლავ ვხსნით პროპორციას და ვიღებთ მეორე ფორმულას "სიმაღლე მართკუთხა სამკუთხედში":

თქვენ უნდა გახსოვდეთ ორივე ფორმულა ძალიან კარგად და გამოიყენოთ ის, რაც უფრო მოსახერხებელია. მოდი ისევ ჩამოვწეროთ ისინი

კომენტარები

მასალების დამტკიცების გარეშე გავრცელება დასაშვებია, თუ არსებობს dofollow ბმული წყაროს გვერდზე.

კონფიდენციალურობის პოლიტიკა

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის თვისება დაეცა ჰიპოტენუზაში

თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

აუცილებლობის შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცედურების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის სამთავრობო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - თქვენი პირადი ინფორმაციის გამჟღავნება. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის. რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

მადლობა შეტყობინებისთვის!

თქვენი კომენტარი მიღებულია და მოდერაციის შემდეგ გამოქვეყნდება ამ გვერდზე.

გსურთ გაარკვიოთ რა იმალება ჭრილის ქვეშ და მიიღოთ ექსკლუზიური მასალები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისა და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების შესახებ? დატოვეთ თქვენი ელ.წერილი

მართკუთხა სამკუთხედის თვისებები

განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი (ABC)და მისი თვისებები, რომელიც წარმოდგენილია ფიგურაში. მართკუთხა სამკუთხედს აქვს ჰიპოტენუზა - გვერდი, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ. გვერდებს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები. სურათზე ნაჩვენებია მხარეები AD, DC და BD, DC- ფეხები და გვერდები ACდა NE- ჰიპოტენუზა.

მართკუთხა სამკუთხედის ტოლობის ნიშნები:

თეორემა 1. თუ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და ფეხი მსგავსია სხვა სამკუთხედის ჰიპოტენუზასა და წვერისა, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

თეორემა 2. თუ მართკუთხა სამკუთხედის ორი ტოტი უდრის მეორე სამკუთხედის ორ წვეროს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

თეორემა 3. თუ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და მახვილი კუთხე მსგავსია სხვა სამკუთხედის ჰიპოტენუზასა და მახვილ კუთხეს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

თეორემა 4. თუ მართკუთხა სამკუთხედის კათედრა და მიმდებარე (მოპირდაპირე) მახვილი კუთხე ტოლია სხვა სამკუთხედის კუთხისა და მიმდებარე (საპირისპირო) მახვილი კუთხის, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

30° კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თვისებები:

თეორემა 1.

სიმაღლე მართკუთხა სამკუთხედში

მართკუთხა სამკუთხედში 30° კუთხით, ამ კუთხის მოპირდაპირე ფეხი დაარღვევს ჰიპოტენუზის ნახევარს.

თეორემა 2. თუ მართკუთხა სამკუთხედში ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს, მაშინ მის მოპირდაპირე კუთხე არის 30°.

თუ სიმაღლე დახატულია მართი კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზამდე, მაშინ ასეთი სამკუთხედი იყოფა ორ მცირედ, გამავალის მსგავსი და ერთმანეთის მსგავსი. აქედან გამომდინარეობს შემდეგი დასკვნები:

სიმაღლე არის ჰიპოტენუზის ორი სეგმენტის გეომეტრიული საშუალო (პროპორციული საშუალო).
სამკუთხედის თითოეული ფეხი არის ჰიპოტენუზისა და მიმდებარე სეგმენტების საშუალო პროპორციული.

მართკუთხა სამკუთხედში, ფეხები მოქმედებს როგორც სიმაღლეები. ორთოცენტრი არის წერტილი, სადაც ხდება სამკუთხედის სიმაღლეების გადაკვეთა. იგი ემთხვევა ფიგურის სწორი კუთხის წვეროს.

hC- სამკუთხედის მარჯვენა კუთხიდან გამომავალი სიმაღლე;

AB- ჰიპოტენუზა;

ახ.წდა DV- სეგმენტები, რომლებიც წარმოიქმნება ჰიპოტენუზის სიმაღლეზე დაყოფისას.

დაუბრუნდით ინფორმაციის ნახვას დისციპლინაზე "გეომეტრია"

სამკუთხედიარის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება სამი წერტილისაგან (წვეროები), რომლებიც არ არიან ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და ამ წერტილების დამაკავშირებელი სამი სეგმენტისაგან. მართკუთხა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელსაც აქვს ერთ-ერთი კუთხე 90° (მართი კუთხე).
არსებობს თეორემა:მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამი არის 90°.
კომენტარების სისტემა CACKLე

საკვანძო სიტყვები:სამკუთხედი, მართკუთხა, ფეხი, ჰიპოტენუზა, პითაგორას თეორემა, წრე

სამკუთხედი ე.წ მართკუთხათუ მას აქვს სწორი კუთხე.
მართკუთხა სამკუთხედს აქვს ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული გვერდი, რომელსაც ეწოდება ფეხები; მისი მესამე მხარე ე.წ ჰიპოტენუზა.

პერპენდიკულარული და ირიბი თვისებების მიხედვით, ჰიპოტენუზა უფრო გრძელია ვიდრე თითოეული ფეხი (მაგრამ ნაკლებია მათ ჯამზე).
მართკუთხა სამკუთხედის ორი მახვილი კუთხის ჯამი სწორი კუთხის ტოლია.
მართკუთხა სამკუთხედის ორი სიმაღლე ემთხვევა მის ფეხებს. ამრიგად, ოთხი ღირსშესანიშნავი წერტილიდან ერთ-ერთი მოდის სამკუთხედის მართი კუთხის წვეროებზე.
მართკუთხა სამკუთხედის ცენტრი მდებარეობს ჰიპოტენუზის შუაში.
მართი კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზამდე გამოყვანილი მართკუთხა სამკუთხედის მედიანა არის ამ სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი.

განვიხილოთ თვითნებური მართკუთხა სამკუთხედი ABC და დახაზეთ სიმაღლე CD = hc მისი მართი კუთხის C წვეროდან.

ის გაყოფს მოცემულ სამკუთხედს ორ მართკუთხა სამკუთხედად ACD და BCD; თითოეულ ამ სამკუთხედს აქვს საერთო მახვილი კუთხე ABC სამკუთხედთან და, შესაბამისად, მსგავსია სამკუთხედის ABC.

სამივე სამკუთხედი ABC, ACD და BCD ერთმანეთის მსგავსია.

სამკუთხედების მსგავსებიდან განისაზღვრება შემდეგი მიმართებები:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

პითაგორას თეორემაევკლიდეს გეომეტრიის ერთ-ერთი ფუნდამენტური თეორემა, რომელიც ადგენს მიმართებას მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის.

გეომეტრიული ფორმულირება.მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი უდრის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამს.

ალგებრული ფორმულირება.მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს.
ანუ სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძის აღნიშვნა c-ით, ხოლო ფეხების სიგრძე a და b-ით:
a2 + b2 = c2

პითაგორას თეორემას შეპირისპირება.

მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე

a, b და c დადებითი რიცხვების ნებისმიერი სამმაგი ისეთი, რომ
a2 + b2 = c2,
არის მართკუთხა სამკუთხედი a და b ფეხებით და ჰიპოტენუზა c.

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები:

ფეხისა და ჰიპოტენუზის გასწვრივ;
ორ ფეხზე;
ფეხისა და მწვავე კუთხის გასწვრივ;
ჰიპოტენუზისა და მწვავე კუთხის გასწვრივ.

აგრეთვე იხილეთ:
სამკუთხედის ფართობი, ტოლგვერდა სამკუთხედი, ტოლგვერდა სამკუთხედი

გეომეტრია. 8 კლასი. ტესტი 4. ვარიანტი 1 .

ახ.წ : CD = CD : ბ.დ. აქედან გამომდინარე, CD2 = AD ∙ ბ.დ. ისინი ამბობენ:

ახ.წ : AC = AC : AB. აქედან გამომდინარე, AC2 = AB ∙ ახ.წ. ისინი ამბობენ:

BD : BC = ძვ.წ : AB. აქედან გამომდინარე, BC2 = AB ∙ ბ.დ.

პრობლემების გადაჭრა:

ა) 70 სმ; ბ) 55 სმ; გ) 65 სმ; დ) 45 სმ; ე) 53 სმ.

2. ჰიპოტენუზასთან დახატული მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე ჰიპოტენუზას ყოფს 9 და 36 სეგმენტებად.

განსაზღვრეთ ამ სიმაღლის სიგრძე.

ა) 22,5; ბ) 19; გ) 9; დ) 12; ე) 18.

ა) 30,25; ბ) 24,5; გ) 18,45; დ) 32; ე) 32,25.

ა) 25; ბ) 24; გ) 27; დ) 26; ე) 21.

ა) 8; ბ) 7; გ) 6; დ) 5; ე) 4.

8. მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი არის 30.

როგორ მოვძებნოთ სიმაღლე მართკუთხა სამკუთხედში?

იპოვეთ მანძილი მართი კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზამდე, თუ ამ სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი არის 17.

ა) 17; ბ) 16; გ) 15; დ) 14; ე) 12.

10.

ა) 15; ბ) 18; გ) 20; დ) 16; ე) 12.

ა) 80; ბ) 72; გ) 64; დ) 81; ე) 75.

12.

ა) 7,5; ბ) 8; გ) 6,25; დ) 8,5; ე) 7.

შეამოწმეთ პასუხები!

G8.04.1. პროპორციული სეგმენტები მართკუთხა სამკუთხედში

გეომეტრია. 8 კლასი. ტესტი 4. ვარიანტი 1 .

Δ ABC-ში ∠ACV = 90°. AC და BC ფეხები, AB ჰიპოტენუზა.

CD არის ჰიპოტენუზამდე მიყვანილი სამკუთხედის სიმაღლე.

ფეხის AC პროექცია ჰიპოტენუზაზე,

BC ფეხის BD პროექცია ჰიპოტენუზაზე.

Altitude CD ყოფს სამკუთხედს ABC ორ მის მსგავს სამკუთხედად (და ერთმანეთის): Δ ADC და Δ CDB.

მსგავსი Δ ADC და Δ CDB გვერდების პროპორციულობიდან გამომდინარეობს:

ახ.წ : CD = CD : ბ.დ.

მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის თვისება დაეცა ჰიპოტენუზაში.

აქედან გამომდინარე, CD2 = AD ∙ ბ.დ. ისინი ამბობენ: ჰიპოტენუზასთან დახატული მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე,არის საშუალო პროპორციული მნიშვნელობა ჰიპოტენუზაზე ფეხების პროგნოზებს შორის.

Δ ADC და Δ ACB-ის მსგავსებიდან გამომდინარეობს:

ახ.წ : AC = AC : AB. აქედან გამომდინარე, AC2 = AB ∙ ახ.წ. ისინი ამბობენ: თითოეული ფეხი არის საშუალო პროპორციული მნიშვნელობა მთელ ჰიპოტენუზასა და ამ ფეხის პროექციას ჰიპოტენუზაზე.

ანალოგიურად, Δ CDB და Δ ACB-ის მსგავსებიდან გამომდინარეობს:

BD : BC = ძვ.წ : AB. აქედან გამომდინარე, BC2 = AB ∙ ბ.დ.

პრობლემების გადაჭრა:

1. იპოვეთ ჰიპოტენუზასთან დახატული მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე, თუ ის ყოფს ჰიპოტენუზას 25 სმ და 81 სმ მონაკვეთებად.

ა) 70 სმ; ბ) 55 სმ; გ) 65 სმ; დ) 45 სმ; ე) 53 სმ.

2. ჰიპოტენუზასთან დახატული მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე ჰიპოტენუზას ყოფს 9 და 36 სეგმენტებად. განსაზღვრეთ ამ სიმაღლის სიგრძე.

ა) 22,5; ბ) 19; გ) 9; დ) 12; ე) 18.

4. ჰიპოტენუზასთან დახატული მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლეა 22, ერთ-ერთი ფეხის პროექცია არის 16. იპოვეთ მეორე ფეხის პროექცია.

ა) 30,25; ბ) 24,5; გ) 18,45; დ) 32; ე) 32,25.

5. მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი არის 18, ხოლო მისი პროექცია ჰიპოტენუზაზე არის 12. იპოვეთ ჰიპოტენუზა.

ა) 25; ბ) 24; გ) 27; დ) 26; ე) 21.

6. ჰიპოტენუზა უდრის 32-ს. იპოვეთ მხარე, რომლის პროექცია ჰიპოტენუზაზე უდრის 2-ს.

ა) 8; ბ) 7; გ) 6; დ) 5; ე) 4.

7. მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა არის 45. იპოვეთ გვერდი, რომლის პროექცია ჰიპოტენუზაზე არის 9.

8. მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი არის 30. იპოვეთ მანძილი მართი კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზამდე, თუ ამ სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი არის 17.

ა) 17; ბ) 16; გ) 15; დ) 14; ე) 12.

10. მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა არის 41, ხოლო ერთ-ერთი ფეხის პროექცია არის 16. იპოვეთ სწორი კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზამდე დახატული სიმაღლის სიგრძე.

ა) 15; ბ) 18; გ) 20; დ) 16; ე) 12.

ა) 80; ბ) 72; გ) 64; დ) 81; ე) 75.

12. ჰიპოტენუზაზე ფეხის პროექციების სხვაობა არის 15, ხოლო მარჯვენა კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზამდე მანძილი 4. იპოვეთ შემოხაზული წრის რადიუსი.

ა) 7,5; ბ) 8; გ) 6,25; დ) 8,5; ე) 7.

ვიდეოკურსი „მიიღე A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. მათემატიკაში პროფილის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ყველა დავალება 1-13 სრულად. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში ძირითადი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად. თუ გსურთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, პირველი ნაწილი 30 წუთში და უშეცდომოდ უნდა მოაგვაროთ!

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი, რაც გჭირდებათ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის 1 ნაწილის (პირველი 12 ამოცანის) და მე-13 ამოცანის (ტრიგონომეტრია) გადასაჭრელად. და ეს ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე 70 ქულაზე მეტია და მათ გარეშე არც 100-ქულიანი და არც ჰუმანიტარული სტუდენტი არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხარვეზები და საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI Task Bank-ის პირველი ნაწილის ყველა მიმდინარე დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება 2018 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის დავალება. სიტყვის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი ალგორითმები პრობლემების გადასაჭრელად. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. რთული გადაწყვეტილებები, სასარგებლო მოტყუების ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან ამოცანამდე 13. გაგება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების მკაფიო ახსნა. ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის საფუძველი.

მართკუთხა სამკუთხედი- ეს არის სამკუთხედი, რომელშიც ერთ-ერთი კუთხე სწორია, ანუ 90 გრადუსის ტოლია.

მართი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს ჰიპოტენუზა ეწოდება (სურათზე მითითებულ როგორც გან AB)
მარჯვენა კუთხის მიმდებარე მხარეს ფეხი ეწოდება. თითოეულ მართკუთხა სამკუთხედს აქვს ორი ფეხი (ფიგურაში ისინი მითითებულია როგორც ადა b ან AC და BC)

მართკუთხა სამკუთხედის ფორმულები და თვისებები

ფორმულების აღნიშვნები:

(იხ. სურათი ზემოთ)

ა, ბ- მართკუთხა სამკუთხედის ფეხები

გ- ჰიპოტენუზა

α, β - სამკუთხედის მწვავე კუთხეები

ს- კვადრატი

თ- სიმაღლე დაშვებული მართი კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზამდე

მ ა ამოპირდაპირე კუთხიდან ( α )

მ ბ- გვერდით დახატული მედიანა ბმოპირდაპირე კუთხიდან ( β )

მ ს- გვერდით დახატული მედიანა გმოპირდაპირე კუთხიდან ( γ )

IN მართკუთხა სამკუთხედი რომელიმე ფეხი ჰიპოტენუზაზე ნაკლებია(ფორმულა 1 და 2). ეს თვისება პითაგორას თეორემის შედეგია.

რომელიმე მწვავე კუთხის კოსინუსიერთზე ნაკლები (ფორმულა 3 და 4). ეს ქონება წინადან მოდის. ვინაიდან რომელიმე ფეხი ჰიპოტენუზაზე ნაკლებია, ფეხისა და ჰიპოტენუზას თანაფარდობა ყოველთვის ერთზე ნაკლებია.

ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს (პითაგორას თეორემა). (ფორმულა 5). ეს ქონება მუდმივად გამოიყენება პრობლემების გადაჭრისას.

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობიუდრის ფეხების ნამრავლის ნახევარს (ფორმულა 6)

კვადრატული მედიანაების ჯამიფეხებამდე უდრის ჰიპოტენუზას მედიანას ხუთ კვადრატს და ჰიპოტენუზის ხუთ კვადრატს გაყოფილი ოთხზე (ფორმულა 7). გარდა ზემოაღნიშნულისა, არსებობს კიდევ 5 ფორმულაამიტომ, რეკომენდებულია წაიკითხოთ გაკვეთილი „მართკუთხა სამკუთხედის მედიანა“, სადაც უფრო დეტალურად არის აღწერილი მედიანის თვისებები.

სიმაღლემართკუთხა სამკუთხედი უდრის ფეხების ნამრავლს გაყოფილი ჰიპოტენუზაზე (ფორმულა 8)

ფეხების კვადრატები უკუპროპორციულია ჰიპოტენუზამდე დაშვებული სიმაღლის კვადრატის (ფორმულა 9). ეს იდენტურობა ასევე პითაგორას თეორემის ერთ-ერთი შედეგია.

ჰიპოტენუზის სიგრძეშემოხაზული წრის დიამეტრის (ორი რადიუსის) ტოლია (ფორმულა 10). მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა არის წრეწირის დიამეტრი. ეს თვისება ხშირად გამოიყენება პრობლემის გადაჭრაში.

ჩაწერილი რადიუსივ მართკუთხა სამკუთხედი წრეშეიძლება მოიძებნოს, როგორც გამოხატვის ნახევარი, ამ სამკუთხედის ფეხების ჯამის ჩათვლით, ჰიპოტენუზის სიგრძის გამოკლებით. ან როგორც ფეხის ნამრავლი გაყოფილი მოცემული სამკუთხედის ყველა გვერდის (პერიმეტრის) ჯამზე. (ფორმულა 11)
კუთხის სინუსი საპირისპიროს მიმართებაეს კუთხე ფეხი ჰიპოტენუზამდე(სინუსის განმარტებით). (ფორმულა 12). ეს თვისება გამოიყენება პრობლემების გადაჭრისას. გვერდების ზომების გაცნობით, შეგიძლიათ იპოვოთ მათი ფორმირების კუთხე.

A კუთხის კოსინუსი (α, ალფა) მართკუთხა სამკუთხედში ტოლი იქნება დამოკიდებულება მიმდებარეეს კუთხე ფეხი ჰიპოტენუზამდე(სინუსის განმარტებით). (ფორმულა 13)