ლოგარითმული გამონათქვამების შეფასება. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა

\(a^(b)=c\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(\log_(a)(c)=b\)

მოდი უფრო მარტივად ავხსნათ. მაგალითად, \(\log_(2)(8)\) ძალაუფლების ტოლი, რომელზეც \(2\) უნდა გაიზარდოს \(8\) მისაღებად. აქედან ირკვევა, რომ \(\log_(2)(8)=3\).

ლოგარითმის არგუმენტი და საფუძველი

ნებისმიერ ლოგარითმს აქვს შემდეგი „ანატომია“:

ლოგარითმის არგუმენტი ჩვეულებრივ იწერება მის დონეზე, ხოლო ფუძე იწერება ქვესკრიპტით, რომელიც უფრო ახლოსაა ლოგარითმის ნიშანთან. და ეს ჩანაწერი ასე იკითხება: "ლოგარითმი ოცდახუთიდან ხუთამდე".

როგორ გამოვთვალოთ ლოგარითმი?

ლოგარითმის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას: რა ძალაზე უნდა გაიზარდოს საფუძველი არგუმენტის მისაღებად?

Მაგალითად, გამოთვალეთ ლოგარითმი: ა) \(\log_(4)(16)\) ბ) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) გ) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

ა) რა ძალაზე უნდა გაიზარდოს \(4\) რომ მივიღოთ \(16\)? ცხადია მეორე. Ამიტომაც:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

გ) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(5)\) რომ მივიღოთ \(1\)? რომელი ძალა განაპირობებს ნებისმიერ ნომერ პირველს? ნული, რა თქმა უნდა!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

დ) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(7)\) რომ მივიღოთ \(\sqrt(7)\)? ჯერ ერთი, ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ე) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(3\) \(\sqrt(3)\) მისაღებად? ჩვენ ვიცით რაც არის წილადი ძალადა ეს ნიშნავს Კვადრატული ფესვიარის \(\frac(1)(2)\) სიმძლავრე.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

მაგალითი : გამოთვალეთ ლოგარითმი \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

რატომ გამოიგონეს ლოგარითმი?

ამის გასაგებად, მოდით ამოხსნათ განტოლება: \(3^(x)=9\). უბრალოდ შეუსაბამეთ \(x\), რათა განტოლება იმუშაოს. რა თქმა უნდა, \(x=2\).

ახლა ამოხსენით განტოლება: \(3^(x)=8\).რის ტოლია x? Ამაშია ზუსტად ამის აზრი.

ყველაზე ჭკვიანი იტყვის: "X არის ორზე ცოტა ნაკლები". ზუსტად როგორ ჩავწეროთ ეს რიცხვი? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად გამოიგონეს ლოგარითმი. მისი წყალობით, აქ პასუხი შეიძლება დაიწეროს როგორც \(x=\log_(3)(8)\).

მინდა ხაზგასმით აღვნიშნო, რომ \(\log_(3)(8)\), მოსწონს ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. დიახ, გამოიყურება უჩვეულო, მაგრამ მოკლეა. რადგან თუ გვინდოდა ჩაგვეწერა ფორმაში ათობითი, მაშინ ასე გამოიყურება: \(1.892789260714.....\)

მაგალითი : ამოხსენით განტოლება \(4^(5x-4)=10\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ათწილადი და ბუნებრივი ლოგარითმები

როგორც ლოგარითმის განმარტებაშია ნათქვამი, მისი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი დადებითი რიცხვი, გარდა ერთეულისა \((a>0, a\neq1)\). და ყველას შორის შესაძლო მიზეზებიარსებობს ორი ისეთი ხშირად, რომ მათთან ერთად გამოიგონეს სპეციალური მოკლე აღნიშვნა ლოგარითმებისთვის:

ბუნებრივი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის საფუძველია ეილერის რიცხვი \(e\) (დაახლოებით \(2.7182818…\)), ხოლო ლოგარითმი იწერება როგორც \(\ln(a)\).

ანუ \(\ln(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(e)(a)\)

ათწილადი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის საფუძველია 10, იწერება \(\lg(a)\).

ანუ \(\lg(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(10)(a)\), სადაც \(a\) არის რაღაც რიცხვი.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ლოგარითმს ბევრი თვისება აქვს. ერთ-ერთ მათგანს ჰქვია „ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობადა ასე გამოიყურება:

ეს თვისება პირდაპირ გამომდინარეობს განმარტებიდან. ვნახოთ ზუსტად როგორ გაჩნდა ეს ფორმულა.

გავიხსენოთ მოკლე შენიშვნალოგარითმის განმარტებები:

თუ \(a^(b)=c\), მაშინ \(\log_(a)(c)=b\)

ანუ \(b\) იგივეა, რაც \(\log_(a)(c)\). მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ \(\log_(a)(c)\) \(b\)-ის ნაცვლად ფორმულაში \(a^(b)=c\). აღმოჩნდა \(a^(\log_(a)(c))=c\) - მთავარი ლოგარითმული იდენტობა.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ლოგარითმების სხვა თვისებები. მათი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ და გამოთვალოთ გამონათქვამების მნიშვნელობები ლოგარითმებით, რომელთა პირდაპირ გამოთვლა რთულია.

მაგალითი : იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა \(36^(\log_(6)(5))\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(25\)

როგორ დავწეროთ რიცხვი ლოგარითმის სახით?

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. პირიქითაც მართალია: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმად. მაგალითად, ჩვენ ვიცით, რომ \(\log_(2)(4)\) უდრის ორს. შემდეგ შეგიძლიათ დაწეროთ \(\log_(2)(4)\) ორის ნაცვლად.

მაგრამ \(\log_(3)(9)\) ასევე უდრის \(2\), რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ასევე შეგვიძლია დავწეროთ \(2=\log_(3)(9)\) . ანალოგიურად, \(\log_(5)(25)\), და \(\log_(9)(81)\) და ა.შ. ანუ გამოდის

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

ამრიგად, თუ გვჭირდება, შეგვიძლია დავწეროთ ორი ლოგარითმად ნებისმიერი ფუძით სადმე (განტოლებაში, გამოსახულებაში თუ უტოლობაში) - ჩვენ უბრალოდ არგუმენტად ვწერთ ფუძეს კვადრატში.

იგივეა სამმაგი – ის შეიძლება დაიწეროს როგორც \(\log_(2)(8)\), ან როგორც \(\log_(3)(27)\), ან როგორც \(\log_(4)( 64) \)... აქ არგუმენტად ვწერთ ფუძეს კუბში:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

და ოთხთან ერთად:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

და მინუს ერთით:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

და ერთი მესამედით:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

ნებისმიერი რიცხვი \(a\) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

მაგალითი : იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(1\)

ლოგარითმული გამონათქვამები, მაგალითების ამოხსნა. ამ სტატიაში განვიხილავთ პრობლემებს, რომლებიც დაკავშირებულია ლოგარითმების ამოხსნასთან. ამოცანები სვამს კითხვას გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნის შესახებ. უნდა აღინიშნოს, რომ ლოგარითმის ცნება გამოიყენება ბევრ ამოცანაში და მისი მნიშვნელობის გაგება ძალზე მნიშვნელოვანია. რაც შეეხება ერთიან სახელმწიფო გამოცდას, ლოგარითმი გამოიყენება განტოლებების ამოხსნისას, ქ გამოყენებული პრობლემები, ასევე ფუნქციების შესწავლასთან დაკავშირებულ ამოცანებში.

მოდით მოვიყვანოთ მაგალითები ლოგარითმის მნიშვნელობის გასაგებად:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა:

ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ყოველთვის უნდა გვახსოვდეს:

*პროდუქტის ლოგარითმი ჯამის ტოლიფაქტორების ლოგარითმები.

* * *

*რაოდენობის ლოგარითმი (წილადი) სხვაობის ტოლიფაქტორების ლოგარითმები.

* * *

*ხარისხის ლოგარითმი პროდუქტის ტოლიმაჩვენებელი მისი ფუძის ლოგარითმით.

* * *

* ახალ საძირკველზე გადასვლა

* * *

მეტი თვისებები:

* * *

ლოგარითმების გამოთვლა მჭიდროდ არის დაკავშირებული ექსპონენტების თვისებების გამოყენებასთან.

ჩამოვთვალოთ რამდენიმე მათგანი:

არსი ამ ქონებისმდგომარეობს იმაში, რომ მრიცხველის მნიშვნელზე გადატანისას და პირიქით, მაჩვენებლის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ. Მაგალითად:

დასკვნა ამ ქონებისგან:

* * *

სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, ბაზა იგივე რჩება, მაგრამ მაჩვენებლები მრავლდება.

* * *

როგორც ხედავთ, თავად ლოგარითმის კონცეფცია მარტივია. მთავარია რა არის საჭირო კარგი პრაქტიკა, რაც გარკვეულ უნარს იძლევა. რა თქმა უნდა, საჭიროა ფორმულების ცოდნა. თუ ელემენტარული ლოგარითმების გარდაქმნის უნარი არ არის გამომუშავებული, მაშინ ამოხსნისას მარტივი დავალებებიშეცდომის დაშვება ადვილია.

ივარჯიშეთ, ჯერ მათემატიკის კურსიდან ამოხსენით უმარტივესი მაგალითები, შემდეგ გადადით უფრო რთულებზე. მომავალში აუცილებლად გაჩვენებთ, როგორი "საშინელი" ლოგარითმები არ გამოჩნდებიან ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე, მაგრამ საინტერესოა, არ გამოტოვოთ!

Სულ ეს არის! Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

რიცხვის ლოგარითმი ნ დაფუძნებული ა ე.წ X , რომელზეც თქვენ უნდა ააშენოთ ა ნომრის მისაღებად ნ

იმ პირობით, რომ
,
,

ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ
, ე.ი.
- ეს თანასწორობა არის ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

ლოგარითმებს მე-10 საფუძვლამდე ეწოდება ათობითი ლოგარითმები. Იმის მაგივრად
დაწერე
.

ლოგარითმები ფუძემდე ე ბუნებრივს უწოდებენ და ინიშნებიან
.

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები.

ერთის ლოგარითმი ნებისმიერ ბაზაზე ნულის ტოლი

ნამრავლის ლოგარითმი უდრის ფაქტორების ლოგარითმების ჯამს.

3) კოეფიციენტის ლოგარითმი ლოგარითმების სხვაობის ტოლია

ფაქტორი
ლოგარითმებიდან ფუძეზე გადასვლის მოდული ეწოდება ა ლოგარითმების ბაზაზე ბ .

2-5 თვისებების გამოყენებით, ხშირად შესაძლებელია რთული გამოხატვის ლოგარითმის შემცირება ლოგარითმებზე მარტივი არითმეტიკული მოქმედებების შედეგამდე.

Მაგალითად,

ლოგარითმის ასეთ გარდაქმნებს ლოგარითმები ეწოდება. ლოგარითმების საპირისპირო გარდაქმნებს პოტენციაცია ეწოდება.

თავი 2. უმაღლესი მათემატიკის ელემენტები.

1. ლიმიტები

ფუნქციის ლიმიტი
არის სასრული რიცხვი A თუ, როგორც xx 0 თითოეული წინასწარ განსაზღვრულისთვის
, არის ასეთი რიცხვი
რომ როგორც კი
, ეს
.

ფუნქცია, რომელსაც აქვს ლიმიტი, მისგან განსხვავდება უსასრულოდ მცირე რაოდენობით:
, სადაც- ბ.მ.ვ., ე.ი.
.

მაგალითი. განიხილეთ ფუნქცია
.

როცა ისწრაფვის
, ფუნქცია წ მიდრეკილია ნულისკენ:

1.1. ძირითადი თეორემები ლიმიტების შესახებ.

Ზღვარი მუდმივი მნიშვნელობაუდრის ამ მუდმივ მნიშვნელობას

.

თანხის (განსხვავების) ლიმიტი სასრული რიცხვიფუნქციები უდრის ამ ფუნქციების ზღვრების ჯამს (განსხვავებას).

სასრული რაოდენობის ფუნქციების ნამრავლის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების ნამრავლის.

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების კოეფიციენტის, თუ მნიშვნელის ზღვარი არ არის ნული.

მშვენიერი საზღვრები

,
, სად

1.2. ლიმიტის გაანგარიშების მაგალითები

თუმცა, ყველა ლიმიტი ასე მარტივად არ გამოითვლება. უფრო ხშირად, ლიმიტის გამოთვლა ხდება ასეთი ტიპის გაურკვევლობის გამოვლენამდე: ან .

.

2. ფუნქციის წარმოებული

მოდით, გვაქვს ფუნქცია
, უწყვეტი სეგმენტზე
.

არგუმენტი მიიღო გარკვეული ზრდა
. შემდეგ ფუნქცია მიიღებს ზრდას
.

არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის მნიშვნელობას
.

არგუმენტის მნიშვნელობა
შეესაბამება ფუნქციის მნიშვნელობას.

აქედან გამომდინარე,.

მოდით ვიპოვოთ ამ თანაფარდობის ზღვარი ზე
. თუ ეს ზღვარი არსებობს, მაშინ მას მოცემული ფუნქციის წარმოებული ეწოდება.

განმარტება 3 მოცემული ფუნქციის წარმოებული
არგუმენტით ეწოდება ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც არგუმენტის ზრდა თვითნებურად ნულისკენ მიისწრაფვის.

ფუნქციის წარმოებული
შეიძლება დაინიშნოს შემდეგნაირად:

; ; ; .

განმარტება 4 ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ოპერაცია ეწოდება დიფერენციაცია.

2.1. წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა.

განვიხილოთ ზოგიერთი ხისტი სხეულის ან მატერიალური წერტილის მართკუთხა მოძრაობა.

მოდით რაღაც მომენტში მოძრავი წერტილი
დისტანციაზე იყო საწყისი პოზიციიდან
.

გარკვეული პერიოდის შემდეგ
მან მანძილი გადაინაცვლა
. დამოკიდებულება =- საშუალო სიჩქარემატერიალური წერტილი
. მოდი ვიპოვოთ ამ თანაფარდობის ზღვარი იმის გათვალისწინებით, რომ
.

შესაბამისად, მატერიალური წერტილის მოძრაობის მყისიერი სიჩქარის განსაზღვრა მცირდება გზის წარმოებულის პოვნამდე დროის მიმართ.

2.2. გეომეტრიული მნიშვნელობაწარმოებული

მოდით გვქონდეს გრაფიკულად განსაზღვრული ფუნქცია
.

ბრინჯი. 1. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა

თუ
, შემდეგ მიუთითეთ
, იმოძრავებს მრუდის გასწვრივ, უახლოვდება წერტილს
.

აქედან გამომდინარე
, ე.ი. წარმოებულის მნიშვნელობა არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობისთვის რიცხობრივად ტოლია ღერძის დადებითი მიმართულებით მოცემულ წერტილში ტანგენტის მიერ წარმოქმნილი კუთხის ტანგენსი
.

2.3. ძირითადი დიფერენციაციის ფორმულების ცხრილი.

დენის ფუნქცია

ექსპონენციალური ფუნქცია

ლოგარითმული ფუნქცია

ტრიგონომეტრიული ფუნქცია

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია

2.4. დიფერენცირების წესები.

წარმოებული

ფუნქციების ჯამის (განსხვავების) წარმოებული

ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული

2.5. წარმოებული რთული ფუნქცია.

მიეცით ფუნქცია
ისეთი, რომ იგი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სახით

და
, სადაც ცვლადი ეს არის შუალედური არგუმენტი

რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია მოცემული ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის შუალედური არგუმენტის მიმართ და შუალედური არგუმენტის წარმოებული x-ის მიმართ.

მაგალითი 1.

მაგალითი 2.

3. დიფერენციალური ფუნქცია.

დაე იყოს
, დიფერენცირებადია გარკვეული ინტერვალით
გაუშვი ზე ამ ფუნქციას აქვს წარმოებული

,

მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ

(1),

სად - უსასრულოდ მცირე რაოდენობა,

როდიდან

ტოლობის ყველა პირობის (1) გამრავლება
ჩვენ გვაქვს:

სად
- ბ.მ.ვ. უმაღლესი წესრიგი.

მაგნიტუდა
ფუნქციის დიფერენციალს უწოდებენ
და დანიშნულია

.

3.1. დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა.

მიეცით ფუნქცია
.

ნახ.2. დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა.

.

ცხადია, ფუნქციის დიფერენციალური
უდრის მოცემულ წერტილში ტანგენსის ორდინატის ნამატს.

3.2. სხვადასხვა ორდერის წარმოებულები და დიფერენცილები.

Თუ იქ
, მაშინ
პირველ წარმოებულს უწოდებენ.

პირველი წარმოებულის წარმოებულს მეორე რიგის წარმოებული ეწოდება და იწერება
.

ფუნქციის n-ე რიგის წარმოებული
ეწოდება (n-1) რიგის წარმოებული და იწერება:

.

ფუნქციის დიფერენციალურ დიფერენციალს მეორე დიფერენციალური ან მეორე რიგის დიფერენციალი ეწოდება.

.

.

3.3 ბიოლოგიური ამოცანების ამოხსნა დიფერენციაციის გამოყენებით.

დავალება 1. კვლევებმა აჩვენა, რომ მიკროორგანიზმების კოლონიის ზრდა კანონს ემორჩილება
, სად ნ - მიკროორგანიზმების რაოდენობა (ათასობით), ტ - დრო (დღეები).

ბ) ამ პერიოდში გაიზრდება თუ შემცირდება კოლონიის მოსახლეობა?

უპასუხე. გაიზრდება კოლონიის ზომა.

დავალება 2. ტბაში წყლის პერიოდულად შემოწმება ხდება პათოგენური ბაქტერიების შემცველობის მონიტორინგისთვის. მეშვეობით ტ ტესტირებიდან დღის შემდეგ, ბაქტერიების კონცენტრაცია განისაზღვრება თანაფარდობით

.

როდის იქნება ტბაში ბაქტერიების მინიმალური კონცენტრაცია და შესაძლებელი იქნება თუ არა მასში ბანაობა?

ამოხსნა: ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს ან მინიმს, როდესაც მისი წარმოებული არის ნული.

,

განვსაზღვროთ მაქსიმუმი ან მინ. იქნება 6 დღეში. ამისათვის ავიღოთ მეორე წარმოებული.

პასუხი: 6 დღის შემდეგ იქნება ბაქტერიების მინიმალური კონცენტრაცია.

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები ზუსტად არ არის რეგულარული ნომრები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.

თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. ლოგარითმული პრობლემა. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. ასე რომ, დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთნაირი ფუძეებით: log ა xდა შესვლა ა წ. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

1. ჟურნალი ა x+ ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x · წ);
2. ჟურნალი ა x- ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x : წ).

მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. Შენიშვნა: საკვანძო მომენტიᲐქ - იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხ. გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.

ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ მიიღება სრულიად ნორმალური რიცხვები. ბევრი აგებულია ამ ფაქტზე ტესტის ფურცლები. რაც შეეხება კონტროლებს? მსგავსი გამონათქვამებიმთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) სთავაზობენ ერთიან სახელმწიფო გამოცდას.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ შეინიშნება ლოგარითმის ODZ: ა > 0, ა ≠ 1, x> 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .

მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

[წარწერა სურათზე]

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Ჩვენ გვაქვს:

ვფიქრობ, რომ ბოლო მაგალითისაჭიროა დაზუსტება. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:

მიეცეს ლოგარითმის ჟურნალი ა x. შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის გისეთივე როგორც გ> 0 და გ≠ 1, ტოლობა მართალია:

[წარწერა სურათზე]

კერძოდ, თუ დავაყენებთ გ = x, ვიღებთ:

[წარწერა სურათზე]

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივში რიცხვითი გამონათქვამები. შესაძლებელია შეაფასოთ რამდენად მოსახერხებელია ისინი მხოლოდ გადაწყვეტილებით ლოგარითმული განტოლებებიდა უთანასწორობები.

თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, ნომერი ნხდება არგუმენტში მდგომი ხარისხის მაჩვენებელი. ნომერი ნშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. სწორედ ამას ჰქვია: ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ ნომერი ბაიყვანეთ ისეთ ძალამდე, რომ რიცხვი ბამ ძალას აძლევს რიცხვს ა? ეს მართალია: თქვენ მიიღებთ იმავე რიცხვს ა. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი ჩერდება მასზე.

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

[წარწერა სურათზე]

გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით იგივე საფუძველი, ვიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

1. ჟურნალი ა ა= 1 არის ლოგარითმული ერთეული. ერთხელ და სამუდამოდ გახსოვდეთ: ლოგარითმი ნებისმიერ ბაზაზე ასწორედ ამ ფუძიდან უდრის ერთს.
2. ჟურნალი ა 1 = 0 არის ლოგარითმული ნული. ბაზა აშეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! იმიტომ რომ ა 0 = 1 არის პირდაპირი შედეგიგანმარტებიდან.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.

1. შეამოწმეთ არის თუ არა უარყოფითი რიცხვები თუ ერთი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. ეს მეთოდიგამოიყენება ფორმის გამონათქვამებზე ჟურნალი b⁡ (x) ჟურნალი b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). თუმცა, ეს არ არის შესაფერისი ზოგიერთი განსაკუთრებული შემთხვევებისთვის:

   • ლოგარითმი უარყოფითი რიცხვიარ არის განსაზღვრული რაიმე საფუძველზე (მაგალითად, ჟურნალი ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3))ან ჟურნალი 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). ამ შემთხვევაში დაწერეთ "არ არის გამოსავალი".
   • ნებისმიერი ფუძის ნულის ლოგარითმი ასევე განუსაზღვრელია. თუ დაგიჭერენ ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), ჩაწერეთ "არ არის გამოსავალი".
   • ლოგარითმი ერთიდან ნებისმიერ ბაზაზე ( ჟურნალი ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) ყოველთვის ნულია, რადგან x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1)ყველა ღირებულებისთვის x. დაწერეთ 1 ამ ლოგარითმის ნაცვლად და არ გამოიყენოთ ქვემოთ მოცემული მეთოდი.
   • თუ ლოგარითმებს აქვთ სხვადასხვა ფუძე, მაგალითად l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), და არ არის შემცირებული მთელ რიცხვებად, გამოხატვის მნიშვნელობა ვერ მოიძებნება ხელით.

2. გამოთქმის გადაქცევა ერთ ლოგარითმად.თუ გამოთქმა ზემოთ ჩამოთვლილთაგან არ არის განსაკუთრებული შემთხვევები, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთი ლოგარითმი. ამისათვის გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა: ჟურნალი b ⁡ (x) ჟურნალი b ⁡ (ა) = ჟურნალი a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • მაგალითი 1: განვიხილოთ გამონათქვამი ჟურნალი ⁡ 16 ჟურნალი ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     პირველი, მოდით წარმოვადგინოთ გამოხატულება, როგორც ერთი ლოგარითმი ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით: ჟურნალი ⁡ 16 ჟურნალი ⁡ 2 = ჟურნალი 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • ლოგარითმის „ფუძის შეცვლის“ ეს ფორმულა მომდინარეობს ლოგარითმის ძირითადი თვისებებიდან.

3. თუ შესაძლებელია, შეაფასეთ გამოხატვის მნიშვნელობა ხელით.Პოვნა შესვლა a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x))წარმოიდგინეთ გამოთქმა " ა? = x (\displaystyle a^(?)=x)“, ანუ ჰკითხეთ საკუთარ თავს შემდეგი შეკითხვა: „რა ძალამდე უნდა ავწიოთ ა, მისაღებად xამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად შეიძლება დაგჭირდეთ კალკულატორი, მაგრამ თუ გაგიმართლათ, შეგიძლიათ ხელით იპოვოთ იგი.

   • მაგალითი 1 (გაგრძელება): გადაწერე როგორც 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). თქვენ უნდა იპოვოთ რა რიცხვი უნდა დადგეს ნიშნის ნაცვლად. ეს შეიძლება გაკეთდეს საცდელი და შეცდომით:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     ასე რომ, რიცხვი, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ არის 4: ჟურნალი 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. დატოვეთ თქვენი პასუხი ლოგარითმული ფორმით, თუ არ შეგიძლიათ მისი გამარტივება.ბევრი ლოგარითმის ხელით გამოთვლა ძალიან რთულია. ამ შემთხვევაში ზუსტი პასუხის მისაღებად დაგჭირდებათ კალკულატორი. თუმცა, თუ პრობლემას კლასში წყვეტთ, მასწავლებელი დიდი ალბათობით დაკმაყოფილდება ლოგარითმული პასუხით. ქვემოთ განხილული მეთოდი გამოიყენება უფრო რთული მაგალითის გადასაჭრელად:

   • მაგალითი 2: რა არის ტოლი ჟურნალი 3 ⁡ (58) ჟურნალი 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • გადავიყვანოთ ეს გამონათქვამი ერთ ლოგარითმად: ჟურნალი 3 ⁡ (58) ჟურნალი 3 ⁡ (7) = ჟურნალი 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმისთვის საერთო 3 ფუძე ქრება; ეს მართალია ნებისმიერი მიზეზით.
   • გადმოვწეროთ გამოთქმა ფორმაში 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58)და ვცადოთ ვიპოვოთ მნიშვნელობა?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     იმის გამო, რომ 58 არის ამ ორ რიცხვს შორის, ის არ არის გამოხატული როგორც მთელი რიცხვი.
   • პასუხს ვტოვებთ ლოგარითმული ფორმით: ჟურნალი 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).