კვანტური ნაწილაკის ტალღური ფუნქცია განსაზღვრავს. კვანტური მექანიკის რეფორმირება

ტალღის ფუნქცია(ან მდგომარეობის ვექტორი) - რთული ფუნქციაკვანტური მექანიკური სისტემის მდგომარეობას აღწერს. მისი ცოდნა საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ სრული დეტალებიმიკროსამყაროს სისტემის შესახებ. ასე რომ, მისი დახმარებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ სისტემის ყველა გაზომვადი ფიზიკური მახასიათებელი, სივრცეში გარკვეულ ადგილას ყოფნის ალბათობა და დროში მისი ევოლუცია. ტალღის ფუნქცია შეიძლება მოიძებნოს შრედინგერის ტალღური განტოლების ამოხსნით.

რაოდენობა |ψ(x,y,z,t)| 2 dV არის ალბათობის პროპორციული, რომ ნაწილაკი აღმოჩენილი იქნება t დროს მოცულობით dV წერტილის სიახლოვეს (x,y,z).

ტალღის ფუნქციის კვადრატული მოდული განსაზღვრავს ალბათობარომ ნაწილაკი აღმოჩენილი იქნება მოცულობის ფარგლებში dV:dP=(|Y|^2) 2 dV=YY * dV.

სადაც Y * - კომპლექსი - კონიუგატი ტალღის ფუნქცია.

მაგნიტუდა (|Y| ^2)=YY * = dP/ dV -აქვს ალბათობის სიმკვრივის მნიშვნელობა.

მთლიან სივრცეში აღებული ინტეგრალი უნდა იყოს ერთობის ტოლი (სანდო მოვლენის ალბათობა P=1). – ნორმალიზაციის მდგომარეობა:ნაწილაკების აღმოჩენა მთელ სივრცეში არის სანდო მოვლენა, რომლის ალბათობაც უდრის ერთს.

19. შროდინგერის განტოლება და მისი გამოყენება თავისუფალ ელექტრონზე.

Ψ – ტალღის ფუნქცია.

მე = -წარმოსახვითი ერთეული; მ-- ნაწილაკების მასა; ∆ არის ლაპლასის ოპერატორი, რომელიც in დეკარტის სისტემააქვს ფორმა = , U(x,y,z,t) – პოტენციური ენერგიანაწილაკები გარე ძალის ველში კოორდინატების მქონე წერტილში ( x, y, z).

ატომში ელექტრონის ქცევის აღსაწერად, ზოგიერთ შემთხვევაში მნიშვნელოვანია პოვნა სტაციონარული გადაწყვეტილებებიშროდინგერის განტოლებები, რომლებიც არ შეიცავს დროს. ამ პრობლემის გადასაჭრელად თქვენ უნდა მიიღოთ ე.წ სტაციონარული განტოლებაშრედინგერი, რომელშიც Ψ-ის დამოკიდებულება დროზე გამორიცხულია.

შროდის განტოლება. სტაციონარული მდგომარეობებისთვის.

ველი სტაციონარულია, როდესაც მისი მახასიათებლები დროზე არ არის დამოკიდებული, მაგალითად, ფიქსირებული ენერგეტიკული მნიშვნელობების მქონე სახელმწიფოებისთვის.

კიდევ ერთი ჩანაწერი.

თავისუფალი ელექტრონისთვის:

20. შროდინგერის განტოლების გამოყენება ელექტრონს პოტენციურ ჭაბურღილში.

Ur-ieShrod.:

ნაწილაკი ორმოს მიღმა არ აღწევს, ამიტომ ორმოს გარეთ მისი აღმოჩენის ალბათობა ნულის ტოლია. ჭაბურღილის საზღვრებში ტალღის ფუნქციაც უნდა გაქრეს. ამრიგად, სასაზღვრო პირობებს ამ შემთხვევაში აქვს ფორმა:

ჭაბურღილის შიგნით, შროდინგერის განტოლება 0

დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა:

იმიტომ რომ ბ= 0 (-დან), შემდეგ

დონე: შესრულებულია მხოლოდ მაშინ, როდესაც kl = nπ.იმათ. აუცილებელია, რომ: .

გამოდის, რომ ენერგია დამოკიდებულია n-ზე:

იმათ. სტაციონარული შროდინგერის განტოლება, რომელიც აღწერს ნაწილაკების მოძრაობას პოტენციურ ჭაბურღილში უსასრულოდ მაღალი კედლებით, კმაყოფილდება მხოლოდ Eigen მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც დამოკიდებულია მთელ რიცხვზე n. შესაბამისად, უსასრულოდ მაღალი კედლების მქონე პოტენციურ ჭაში ნაწილაკების En-ის ენერგია იღებს მხოლოდ გარკვეულ დისკრეტული ღირებულებები, ე.ი. კვანტიზირებული. კვანტური ენერგიის მნიშვნელობები En ეწოდება ენერგიის დონეებიდა რიცხვი n, რომელიც განსაზღვრავს ენერგიის დონეებს, არის ძირითადი კვანტური რიცხვი.

ამრიგად, მიკრონაწილაკიუსასრულოდ მაღალი კედლებით "პოტენციურ ჭაში" შეიძლება იყოს მხოლოდ გარკვეულ ენერგეტიკულ დონეზე En, ან, როგორც ამბობენ, ნაწილაკი არის კვანტური მდგომარეობაპ.

შრედინგერის განტოლების გამოყენება უსასრულოდ მაღალი კედლების მქონე პოტენციურ ჭაბურღილში ნაწილაკზე იწვევს კვანტური ენერგიის მნიშვნელობებიდა კოორდინატები, ხოლო კლასიკური მექანიკა არ აწესებს ზედმეტ შეზღუდვებს ამ ნაწილაკების ენერგიაზე.

ტალღის ფუნქცია
ტალღის ფუნქცია

ტალღის ფუნქცია (ან მდგომარეობის ვექტორი) არის რთული ფუნქცია, რომელიც აღწერს კვანტური მექანიკური სისტემის მდგომარეობას. მისი ცოდნა საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ყველაზე სრულყოფილი ინფორმაცია სისტემის შესახებ, რაც ფუნდამენტურად მიღწევადია მიკროსამყაროში. ასე რომ, მისი დახმარებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ სისტემის ყველა გაზომვადი ფიზიკური მახასიათებელი, სივრცეში გარკვეულ ადგილას ყოფნის ალბათობა და დროში მისი ევოლუცია. ტალღის ფუნქცია შეიძლება მოიძებნოს შრედინგერის ტალღური განტოლების ამოხსნით.
ტალღური ფუნქცია ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x,t) უსტრუქტურო ნაწილაკისა არის ამ ნაწილაკისა და დროის კოორდინატების რთული ფუნქცია. ასეთი ფუნქციის უმარტივესი მაგალითია თავისუფალი ნაწილაკის ტალღური ფუნქცია იმპულსით და მთლიანი ენერგიით E (სიბრტყის ტალღა).

.

ნაწილაკების A სისტემის ტალღური ფუნქცია შეიცავს ყველა ნაწილაკების კოორდინატებს: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
ცალკეული ნაწილაკების ტალღური ფუნქციის კვადრატული მოდული | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) იძლევა ნაწილაკის აღმოჩენის ალბათობას t დროს სივრცის წერტილში, რომელიც აღწერილ იქნა კოორდინატებით, კერძოდ, | ψ (,t)| 2 dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz არის ნაწილაკის პოვნის ალბათობა სივრცის რაიონში მოცულობით dv = dxdydz x, y, z წერტილის გარშემო. ანალოგიურად, მრავალგანზომილებიანი სივრცის მოცულობის ელემენტში ნაწილაკების A სისტემის 1, 2,..., A სისტემის პოვნის ალბათობა მოცემულია | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A.
ტალღის ფუნქცია მთლიანად განსაზღვრავს კვანტური სისტემის ყველა ფიზიკურ მახასიათებელს. ამრიგად, სისტემის ფიზიკური სიდიდის F საშუალო დაკვირვებული მნიშვნელობა მოცემულია გამოსახულებით

,

სად არის ამ რაოდენობის ოპერატორი და ინტეგრაცია ხორციელდება მრავალგანზომილებიანი სივრცის მთელ რეგიონში.
ნაწილაკების კოორდინატების ნაცვლად x, y, z, მათი მომენტი p x, p y, p z ან ფიზიკური სიდიდეების სხვა სიმრავლე შეიძლება აირჩეს ტალღის ფუნქციის დამოუკიდებელ ცვლადებად. ეს არჩევანი დამოკიდებულია წარმომადგენლობაზე (კოორდინატი, იმპულსი ან სხვა).
ნაწილაკების ტალღური ფუნქცია ψ (,t) არ ითვალისწინებს მის შინაგან მახასიათებლებს და თავისუფლების ხარისხს, ანუ აღწერს მის მოძრაობას, როგორც მთლიან უსტრუქტურო (წერტილოვანი) ობიექტი სივრცეში გარკვეული ტრაექტორიის (ორბიტის) გასწვრივ. ნაწილაკების ეს შინაგანი მახასიათებლები შეიძლება იყოს მისი სპინი, სპირალურობა, იზოსპინი (ძლიერად ურთიერთქმედების ნაწილაკებისთვის), ფერი (კვარკებისთვის და გლუონებისთვის) და სხვა. ნაწილაკების შიდა მახასიათებლები განისაზღვრება φ შიდა მდგომარეობის სპეციალური ტალღური ფუნქციით. ამ შემთხვევაში, Ψ ნაწილაკის მთლიანი ტალღური ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც ორბიტალური მოძრაობის ფუნქციის ψ და შიდა ფუნქციის φ ნამრავლი:

რადგან, როგორც წესი, ნაწილაკების შინაგანი მახასიათებლები და მისი თავისუფლების ხარისხი, რომელიც აღწერს ორბიტალურ მოძრაობას, ერთმანეთზე არ არის დამოკიდებული.
მაგალითად, შემოვიფარგლებით იმ შემთხვევით, როდესაც ფუნქციის მიერ გათვალისწინებული ერთადერთი შინაგანი მახასიათებელი არის ნაწილაკის სპინი და ეს სპინი უდრის 1/2-ს. ასეთი სპინის მქონე ნაწილაკი შეიძლება იყოს ორიდან ერთ-ერთ მდგომარეობაში - z ღერძზე სპინის პროექციის ტოლი +1/2 (დატრიალება ზემოთ), და spin-პროექციით z ღერძზე ტოლია -1/2 (სპინი ქვემოთ). ეს გაორება აღწერილია სპინის ფუნქციით, რომელიც მიღებულია ორკომპონენტიანი სპინორის სახით:

შემდეგ ტალღის ფუნქცია Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ აღწერს ნაწილაკების მოძრაობას 1/2 სპინით მიმართული ზევით ψ ფუნქციით განსაზღვრული ტრაექტორიის გასწვრივ, ხოლო ტალღის ფუნქცია Ψ -1/2 = χ. -1/2 ψ აღწერს მოძრაობას იმავე ნაწილაკების იმავე ტრაექტორიის გასწვრივ, ოღონდ ქვევით მიმართული სპინით.
დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ კვანტურ მექანიკაში შესაძლებელია ისეთი მდგომარეობები, რომელთა აღწერა შეუძლებელია ტალღის ფუნქციის გამოყენებით. ასეთ მდგომარეობებს უწოდებენ შერეულს და აღწერილია უფრო რთული მიდგომის ფარგლებში, სიმკვრივის მატრიცის კონცეფციის გამოყენებით. ტალღური ფუნქციით აღწერილ კვანტური სისტემის მდგომარეობებს სუფთა ეწოდება.

კორპუსკულური - ტალღური დუალიზმი კვანტურ ფიზიკაში, ნაწილაკების მდგომარეობა აღწერილია ტალღური ფუნქციის გამოყენებით ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-ფუნქცია).

განმარტება 1

ტალღის ფუნქციაარის ფუნქცია, რომელიც გამოიყენება კვანტურ მექანიკაში. იგი აღწერს სისტემის მდგომარეობას, რომელსაც აქვს ზომები სივრცეში. ეს არის სახელმწიფო ვექტორი.

ეს ფუნქცია რთულია და ფორმალურად აქვს ტალღის თვისებები. მიკროსამყაროს ნებისმიერი ნაწილაკების მოძრაობა განისაზღვრება ალბათური კანონებით. ალბათობის განაწილება ვლინდება დიდი რაოდენობით დაკვირვების (გაზომვების) ან დიდი რაოდენობის ნაწილაკების შესრულებისას. შედეგად მიღებული განაწილება ტალღის ინტენსივობის განაწილების მსგავსია. ანუ მაქსიმალური ინტენსივობის ადგილებში აღინიშნება ნაწილაკების მაქსიმალური რაოდენობა.

ტალღის ფუნქციის არგუმენტების სიმრავლე განსაზღვრავს მის წარმოდგენას. ამრიგად, შესაძლებელია კოორდინატთა წარმოდგენა: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, იმპულსური წარმოდგენა: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ და ა.შ.

კვანტურ ფიზიკაში მიზანი არ არის მოვლენის ზუსტად პროგნოზირება, არამედ კონკრეტული მოვლენის ალბათობის შეფასება. ალბათობის მნიშვნელობის გაცნობით, იპოვნეთ ფიზიკური რაოდენობების საშუალო მნიშვნელობები. ტალღის ფუნქცია საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ასეთი ალბათობები.

ამრიგად, მიკრონაწილაკების არსებობის ალბათობა dV მოცულობაში t დროს შეიძლება განისაზღვროს როგორც:

სადაც $\psi^*$ არის რთული კონიუგატური ფუნქცია $\psi.$ ფუნქციის ალბათობის სიმკვრივე (ალბათობა ერთეულ მოცულობაზე) უდრის:

ალბათობა არის სიდიდე, რომელიც შეიძლება დაფიქსირდეს ექსპერიმენტში. ამავდროულად, ტალღის ფუნქცია არ არის ხელმისაწვდომი დაკვირვებისთვის, რადგან ის რთულია (კლასიკურ ფიზიკაში დაკვირვებისთვის ხელმისაწვდომია ნაწილაკების მდგომარეობის დამახასიათებელი პარამეტრები).

ნორმალიზაციის პირობა $\psi$-ფუნქციისთვის

ტალღის ფუნქცია განისაზღვრება თვითნებური მუდმივი ფაქტორით. ეს ფაქტი არ ახდენს გავლენას ნაწილაკების მდგომარეობაზე, რომელსაც აღწერს $\psi$-ფუნქცია. თუმცა, ტალღის ფუნქცია არჩეულია ისე, რომ იგი აკმაყოფილებს ნორმალიზების პირობას:

სადაც ინტეგრალი აღებულია მთელ სივრცეში ან რეგიონზე, რომელშიც ტალღის ფუნქცია არ არის ნული. ნორმალიზაციის პირობა (2) ნიშნავს, რომ მთელ რეგიონში, სადაც $\psi\ne 0$, ნაწილაკი საიმედოდ არის წარმოდგენილი. ტალღის ფუნქციას, რომელიც ემორჩილება ნორმალიზების პირობას, ეწოდება ნორმალიზებული. თუ $(\left|\psi\right|)^2=0$, მაშინ ეს პირობა ნიშნავს, რომ შესწავლილ რეგიონში ნამდვილად არ არის ნაწილაკი.

ფორმის (2) ნორმალიზება შესაძლებელია საკუთარი მნიშვნელობების დისკრეტული სპექტრით.

ნორმალიზაციის პირობა შეიძლება შეუძლებელი იყოს. ასე რომ, თუ $\psi$ არის ბროლის სიბრტყე ტალღა და ნაწილაკის პოვნის ალბათობა ერთნაირია სივრცის ყველა წერტილისთვის. ეს შემთხვევები განიხილება, როგორც იდეალური მოდელი, რომელშიც ნაწილაკი იმყოფება სივრცის დიდ, მაგრამ შეზღუდულ რეგიონში.

ტალღური ფუნქციის სუპერპოზიციის პრინციპი

ეს პრინციპი კვანტური თეორიის ერთ-ერთი მთავარი პოსტულატია. მისი მნიშვნელობა ასეთია: თუ შესაძლებელია სისტემის ზოგიერთი მდგომარეობისთვის, რომლებიც აღწერილია ტალღური ფუნქციებით $\psi_1\ (\rm და)\ $ $\psi_2$, მაშინ ამ სისტემისთვის არის მდგომარეობა:

სადაც $C_(1\ )და\ C_2$ არის მუდმივი კოეფიციენტები. სუპერპოზიციის პრინციპი დადასტურებულია ემპირიულად.

ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ ნებისმიერი რაოდენობის კვანტური მდგომარეობის დამატებაზე:

სადაც $(\left|C_n\right|)^2$ არის ალბათობა იმისა, რომ სისტემა აღმოჩნდეს ისეთ მდგომარეობაში, რომელიც აღწერილია ტალღური ფუნქციით $\psi_n.$ ტალღური ფუნქციებისთვის, რომლებიც ექვემდებარება ნორმალიზაციის პირობას (2), შემდეგი პირობა დაკმაყოფილებულია:

სტაციონარული მდგომარეობები

კვანტურ თეორიაში განსაკუთრებულ როლს ასრულებენ სტაციონარული მდგომარეობები (მდგომარეობები, რომლებშიც ყველა დაკვირვებადი ფიზიკური პარამეტრი დროთა განმავლობაში არ იცვლება). (თვითონ ტალღის ფუნქცია ფუნდამენტურად შეუმჩნეველია.) სტაბილურ მდგომარეობაში $\psi$-ფუნქციას აქვს ფორმა:

სადაც $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ არ არის დამოკიდებული დროზე, $E$ არის ნაწილაკების ენერგია. ტალღის ფუნქციის (3) ფორმით, ალბათობის სიმკვრივე ($P$) არის დროის მუდმივი:

სტაციონარული მდგომარეობების ფიზიკური თვისებებიდან დაიცავით მათემატიკური მოთხოვნები ტალღური ფუნქციისთვის $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\ to \ (\psi(x,y,z))$.

მათემატიკური მოთხოვნები ტალღის ფუნქციისთვის სტაციონარული მდგომარეობისთვის

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ - ფუნქცია უნდა იყოს ყველა წერტილში:

• უწყვეტი,
• ცალსახა,
• სასრული.

თუ პოტენციურ ენერგიას აქვს უწყვეტი ზედაპირი, მაშინ ასეთ ზედაპირებზე ფუნქცია $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ და მისი პირველი წარმოებული უნდა დარჩეს უწყვეტი. სივრცის რეგიონში, სადაც პოტენციური ენერგია ხდება უსასრულო, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ უნდა იყოს ნული. $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ფუნქციის უწყვეტობა მოითხოვს, რომ ამ რეგიონის ნებისმიერ საზღვარზე $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$. უწყვეტობის პირობა დაწესებულია ტალღური ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულებზე ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ ნაწილობრივი z)$).

მაგალითი 1

ვარჯიში:გარკვეული ნაწილაკისთვის მოცემულია ფორმის ტალღური ფუნქცია: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, სადაც $r$ არის მანძილი ნაწილაკიდან. ძალის ცენტრამდე (ნახ. 1), $a=const$. გამოიყენეთ ნორმალიზაციის პირობა, იპოვეთ ნორმალიზაციის კოეფიციენტი A.

სურათი 1.

გამოსავალი:

მოდით დავწეროთ ჩვენი საქმის ნორმალიზაციის პირობა ფორმაში:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\მარჯვნივ),))\]

სადაც $dV=4\pi r^2dr$ (იხ. ნახ. 1 პირობებიდან ირკვევა, რომ პრობლემას აქვს სფერული სიმეტრია). პრობლემის პირობებიდან გვაქვს:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\ to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a) ))\მარცხნივ(1.2\მარჯვნივ).\]

მოდით ჩავანაცვლოთ $dV$ და ტალღის ფუნქციები (1.2) ნორმალიზების პირობით:

\[\int\limits^(\infty)_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\ მართალია).)\]

მოდით განვახორციელოთ ინტეგრაცია მარცხენა მხარეს:

\[\int\limits^(\infty)_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\მარცხნივ(1.4\მარჯვნივ).)\]

ფორმულიდან (1.4) გამოვხატავთ საჭირო კოეფიციენტს:

პასუხი:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

მაგალითი 2

ვარჯიში:რა არის ელექტრონის ყველაზე სავარაუდო მანძილი ($r_B$) ბირთვიდან, თუ ტალღური ფუნქცია, რომელიც აღწერს ელექტრონის ძირითად მდგომარეობას წყალბადის ატომში, შეიძლება განისაზღვროს როგორც: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, სადაც $ r$ არის მანძილი ელექტრონიდან ბირთვამდე, $a$ არის ბორის პირველი რადიუსი?

გამოსავალი:

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას, რომელიც განსაზღვრავს მიკრონაწილაკების არსებობის ალბათობას $dV$ მოცულობაში $t$-ის დროს:

სადაც $dV=4\pi r^2dr.\ $აქედან გამომდინარე, გვაქვს:

ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვწერთ $p=\frac(dP)(dr)$ როგორც:

ყველაზე სავარაუდო მანძილის დასადგენად, წარმოებული $\frac(dp)(dr)$ უდრის ნულს:

\[(\ მარცხნივ.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2.4)\]

ვინაიდან გამოსავალი $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\ to \infty $ არ ჯდება, ის ასე გამოიყურება:

3. კვანტური მექანიკის ელემენტები

3.1.ტალღის ფუნქცია

ყოველი მიკრონაწილაკი არის სპეციალური წარმონაქმნი, რომელიც აერთიანებს როგორც ნაწილაკების, ასევე ტალღების თვისებებს. განსხვავება მიკრონაწილაკსა და ტალღას შორის არის ის, რომ იგი აღმოჩენილია როგორც განუყოფელი მთლიანობა. მაგალითად, არავის დაუკვირვებია ნახევრად ელექტრონი. ამავდროულად, ტალღა შეიძლება დაიყოს ნაწილებად და შემდეგ თითოეული ნაწილი ცალკე აღიქმებოდეს.

განსხვავება მიკრონაწილაკს კვანტურ მექანიკაში და ჩვეულებრივ მიკრონაწილაკს შორის არის ის, რომ მას ერთდროულად არ აქვს კოორდინატებისა და იმპულსის გარკვეული მნიშვნელობები, ამიტომ მიკრონაწილაკისთვის ტრაექტორიის კონცეფცია კარგავს თავის მნიშვნელობას.

სივრცის გარკვეულ რეგიონში მოცემულ დროს ნაწილაკების პოვნის ალბათობის განაწილება აღწერილი იქნება ტალღის ფუნქციით. (x, წ, ზ , ტ) (psi ფუნქცია). ალბათობა dPრომ ნაწილაკი მოცულობის ელემენტში მდებარეობს dV, პროპორციული
და მოცულობის ელემენტი dV:

dP=
dV.

ეს არ არის თავად ფუნქცია, რომელსაც აქვს ფიზიკური მნიშვნელობა
და მისი მოდულის კვადრატი არის ალბათობის სიმკვრივე. ის განსაზღვრავს ნაწილაკების სივრცის მოცემულ წერტილში ყოფნის ალბათობას.

ტალღის ფუნქცია
არის მიკროობიექტების (მიკრონაწილაკების) მდგომარეობის მთავარი მახასიათებელი. მისი დახმარებით, კვანტურ მექანიკაში შეიძლება გამოითვალოს ფიზიკური სიდიდეების საშუალო მნიშვნელობები, რომლებიც ახასიათებს მოცემულ ობიექტს ტალღის ფუნქციით აღწერილ მდგომარეობაში.
.

3.2. გაურკვევლობის პრინციპი

კლასიკურ მექანიკაში ნაწილაკების მდგომარეობა განისაზღვრება კოორდინატებით, იმპულსით, ენერგიით და ა.შ. ეს არის დინამიური ცვლადები. ასეთი დინამიური ცვლადებით მიკრონაწილაკის აღწერა შეუძლებელია. მიკრონაწილაკების თავისებურება ის არის, რომ ყველა ცვლადი არ იღებს გარკვეულ მნიშვნელობებს გაზომვების დროს. მაგალითად, ნაწილაკს არ შეუძლია ერთდროულად ჰქონდეს ზუსტი კოორდინატთა მნიშვნელობები Xდა იმპულსური კომპონენტები რ X. ღირებულებების გაურკვევლობა Xდა რ Xაკმაყოფილებს ურთიერთობას:

(3.1)

– რაც უფრო მცირეა Δ კოორდინატის გაურკვევლობა X, მით უფრო დიდია Δ პულსის გაურკვევლობა რ X, და პირიქით.

მიმართებას (3.1) ჰაიზენბერგის განუსაზღვრელობის მიმართება ეწოდება და მიღებულია 1927 წელს.

Δ მნიშვნელობები Xდა Δ რ Xკანონიკურად კონიუგატებს უწოდებენ. იგივე კანონიკურად კონიუგატია Δ ზედა Δ რ ზე, და ასე შემდეგ.

ჰაიზენბერგის განუსაზღვრელობის პრინციპი ამბობს, რომ ორი კონიუგატური ცვლადის განუსაზღვრელობის ნამრავლი არ შეიძლება იყოს პლანკის მუდმივზე ნაკლები სიდიდის მიხედვით. ħ.

ენერგია და დრო ასევე კანონიკურად შერწყმულია, შესაბამისად
. ეს ნიშნავს, რომ ენერგიის განსაზღვრა Δ სიზუსტით ეუნდა მიიღოს დროის ინტერვალი:

Δ ტ ~ ħ/ Δ ე.

მოდით განვსაზღვროთ კოორდინატთა მნიშვნელობა Xთავისუფლად მფრინავი მიკრონაწილაკი, თავის გზაზე დებს სიგანის უფსკრული Δ X, მდებარეობს ნაწილაკების მოძრაობის მიმართულების პერპენდიკულურად. სანამ ნაწილაკი ჭრილში გაივლის, მისი იმპულსის კომპონენტია რ Xაქვს ზუსტი მნიშვნელობა რ X= 0 (უფსკრული პერპენდიკულარულია იმპულსის ვექტორთან), ამიტომ იმპულსის განუსაზღვრელობა არის ნული, Δ რ X= 0, მაგრამ კოორდინატი Xნაწილაკები სრულიად გაურკვეველია (ნახ. 3.1).

IN იმ მომენტში, როდესაც ნაწილაკი გადის ჭრილში, პოზიცია იცვლება. კოორდინატების სრული გაურკვევლობის ნაცვლად Xგაურკვევლობა ჩნდება Δ X, და ჩნდება იმპულსის გაურკვევლობა Δ რ X .

მართლაც, დიფრაქციის გამო, არსებობს გარკვეული ალბათობა იმისა, რომ ნაწილაკი იმოძრავებს 2 კუთხით. φ , სად φ - პირველი დიფრაქციული მინიმუმის შესაბამისი კუთხე (უგულებელვყოფთ უმაღლესი რიგის მაქსიმუმებს, რადგან მათი ინტენსივობა მცირეა ცენტრალური მაქსიმუმის ინტენსივობასთან შედარებით).

ამრიგად, გაურკვევლობა ჩნდება:

Δ რ X =რცოდვა φ ,

მაგრამ ცოდვა φ = λ / Δ X– ეს არის პირველი მინიმუმის პირობა. მაშინ

Δ რ X ~рл/Δ X,

Δ XΔ რ X ~рл= 2πħ ≥ħ/ 2.

გაურკვევლობის ურთიერთობა მიუთითებს იმაზე, თუ რამდენად შეიძლება გამოყენებულ იქნას კლასიკური მექანიკის ცნებები მიკრონაწილაკებთან მიმართებაში, კერძოდ, რა სიზუსტით შეიძლება ვისაუბროთ მიკრონაწილაკების ტრაექტორიაზე.

ტრაექტორიის გასწვრივ მოძრაობა ხასიათდება ნაწილაკების სიჩქარისა და მისი კოორდინატების გარკვეული მნიშვნელობებით დროის თითოეულ მომენტში. ნაცვლად გაურკვევლობის მიმართებაში ჩანაცვლება რ Xგამოხატულება იმპულსისთვის
, ჩვენ გვაქვს:

–

რაც უფრო დიდია ნაწილაკის მასა, მით ნაკლებია გაურკვევლობა მის კოორდინატებში და სიჩქარეში, მით უფრო ზუსტად გამოიყენება მასზე ტრაექტორიის ცნებები.

მაგალითად, 1·10 -6 მ ზომის მიკრონაწილაკისთვის, გაურკვევლობები Δх და Δ. სცილდება ამ რაოდენობების გაზომვის სიზუსტეს და ნაწილაკების მოძრაობა განუყოფელია ტრაექტორიის გასწვრივ მოძრაობისგან.

გაურკვევლობის მიმართება კვანტური მექანიკის ფუნდამენტური წინადადებაა. მაგალითად, ის ეხმარება ახსნას ის ფაქტი, რომ ელექტრონი არ ეცემა ატომის ბირთვს. თუ ელექტრონი დაეცემა წერტილოვან ბირთვს, მისი კოორდინატები და იმპულსი მიიღებდა გარკვეულ (ნულ) მნიშვნელობებს, რაც შეუთავსებელია გაურკვევლობის პრინციპთან. ეს პრინციპი მოითხოვს ელექტრონის კოორდინატის Δ გაურკვევლობას რდა იმპულსის გაურკვევლობა Δ რდააკმაყოფილა ურთიერთობა

Δ რΔ გვ ≥ ħ/ 2,

და მნიშვნელობა რ= 0 შეუძლებელია.

ატომში ელექტრონის ენერგია მინიმალური იქნება რ= 0 და რ= 0, ამიტომ ყველაზე დაბალი შესაძლო ენერგიის შესაფასებლად ჩვენ ვაყენებთ Δ რ ≈ რ, Δ გვ ≈ გვ. შემდეგ Δ რΔ გვ ≥ ħ/ 2, და უმცირესი გაურკვევლობის მნიშვნელობისთვის გვაქვს:

ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ ამ მიმართებაში შემავალი სიდიდეების თანმიმდევრობა, ამიტომ ფაქტორი შეიძლება გაუქმდეს. ამ შემთხვევაში გვაქვს
, აქედან р = ħ/რ. ელექტრონის ენერგია წყალბადის ატომში

(3.2)

ჩვენ ვიპოვით რ, რომლის დროსაც ენერგია ემინიმალური. მოდით განვასხვავოთ (3.2) და გავატოლოთ წარმოებული ნულამდე:

,

ჩვენ გამოვრიცხეთ რიცხვითი ფაქტორები ამ გამოსახულებაში. აქედან
- ატომის რადიუსი (ბორის პირველი ორბიტის რადიუსი). ენერგიისთვის გვაქვს

შეიძლება ვიფიქროთ, რომ მიკროსკოპის დახმარებით შესაძლებელი იქნება ნაწილაკების პოზიციის დადგენა და ამით გაურკვევლობის პრინციპის დამხობა. თუმცა, მიკროსკოპი საშუალებას მოგცემთ განსაზღვროთ ნაწილაკების პოზიცია, საუკეთესო შემთხვევაში, გამოყენებული სინათლის ტალღის სიგრძის სიზუსტით, ე.ი. Δ x ≈ λ, მაგრამ იმიტომ Δ რ= 0, შემდეგ Δ რΔ X= 0 და გაურკვევლობის პრინციპი არ არის დაკმაყოფილებული?! ასეა?

ჩვენ ვიყენებთ სინათლეს და სინათლე, კვანტური თეორიის მიხედვით, შედგება იმპულსის მქონე ფოტონებისგან p =კ/λ . ნაწილაკების აღმოსაჩენად, სინათლის სხივის ერთ-ერთი ფოტონი მაინც უნდა იყოს გაფანტული ან შთანთქმული მის მიერ. შესაბამისად, იმპულსი გადაეცემა ნაწილაკს, მინიმუმ მიაღწევს თ/λ . ამრიგად, კოორდინატთა განუსაზღვრელობის Δ ნაწილაკზე დაკვირვების მომენტში x ≈ λიმპულსის გაურკვევლობა უნდა იყოს Δ p ≥თ/λ .

ამ გაურკვევლობების გამრავლებით მივიღებთ:

–

გაურკვევლობის პრინციპი დაკმაყოფილებულია.

მოწყობილობის ურთიერთქმედების პროცესს შესასწავლ ობიექტთან ეწოდება გაზომვა. ეს პროცესი ხდება სივრცეში და დროში. არსებობს მნიშვნელოვანი განსხვავება მოწყობილობის ურთიერთქმედებას მაკრო და მიკრო ობიექტებთან შორის. მოწყობილობის ურთიერთქმედება მაკროობიექტთან არის ორი მაკრო ობიექტის ურთიერთქმედება, რაც საკმაოდ ზუსტად არის აღწერილი კლასიკური ფიზიკის კანონებით. ამ შემთხვევაში, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ მოწყობილობას არ აქვს გავლენა გაზომილ ობიექტზე, ან რომ გავლენა მცირეა. როდესაც მოწყობილობა ურთიერთქმედებს მიკროობიექტებთან, წარმოიქმნება განსხვავებული სიტუაცია. მიკრონაწილაკების გარკვეული პოზიციის დაფიქსირების პროცესი იწვევს მის იმპულსის ცვლილებას, რომელიც არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი:

Δ რ X ≥ ħ/ Δ X.

ამიტომ, მოწყობილობის ზემოქმედება მიკრონაწილაკზე არ შეიძლება ჩაითვალოს მცირე და უმნიშვნელო, მოწყობილობა ცვლის მიკროობიექტის მდგომარეობას - გაზომვის შედეგად, ნაწილაკების გარკვეული კლასიკური მახასიათებლები (იმპულსი და ა.შ.) დაზუსტდება; მხოლოდ გაურკვევლობის მიმართებით შემოზღუდულ ჩარჩოში.

3.3. შროდინგერის განტოლება

1926 წელს შრედინგერმა მიიღო თავისი ცნობილი განტოლება. ეს არის კვანტური მექანიკის ფუნდამენტური განტოლება, ძირითადი ვარაუდი, რომელსაც ემყარება მთელი კვანტური მექანიკა. ამ განტოლებიდან გამომდინარე ყველა შედეგი შეესაბამება გამოცდილებას - ეს არის მისი დადასტურება.

დე ბროლის ტალღების ალბათური (სტატისტიკური) ინტერპრეტაცია და გაურკვევლობის მიმართება მიუთითებს, რომ მოძრაობის განტოლება კვანტურ მექანიკაში უნდა იყოს ისეთი, რომ საშუალებას მოგვცემს ავხსნათ ნაწილაკების ექსპერიმენტულად დაკვირვებული ტალღის თვისებები. ნაწილაკების პოზიცია სივრცეში დროის მოცემულ მომენტში განისაზღვრება კვანტურ მექანიკაში ტალღის ფუნქციის მითითებით.
(x, წ, ზ, ტ), უფრო სწორად ამ სიდიდის მოდულის კვადრატი.
არის ნაწილაკის პოვნის ალბათობა წერტილში x, წ, ზდროის მომენტში ტ. კვანტური მექანიკის ფუნდამენტური განტოლება უნდა იყოს განტოლება ფუნქციის მიმართ
(x, წ, ზ, ტ). გარდა ამისა, ეს განტოლება უნდა იყოს ტალღური განტოლება მიკრონაწილაკების დიფრაქციის შესახებ, რომელიც ადასტურებს მათ ტალღურ ბუნებას, მისგან უნდა გამოიტანოს მათი ახსნა.

შროდინგერის განტოლებას აქვს შემდეგი ფორმა:

. (3.3)

სად მ- ნაწილაკების მასა, მე- წარმოსახვითი ერთეული,
- ლაპლასის ოპერატორი,
,უ– ნაწილაკების პოტენციური ენერგიის ოპერატორი.

Ψ-ფუნქციის ფორმა განისაზღვრება ფუნქციით უ, ე.ი. ნაწილაკზე მოქმედი ძალების ბუნება. თუ ძალის ველი სტაციონარულია, მაშინ განტოლების ამოხსნას აქვს ფორმა:

, (3.4)

სად ეარის ნაწილაკების მთლიანი ენერგია, ის მუდმივი რჩება თითოეულ მდგომარეობაში, E=კონსტ.

განტოლებას (3.4) ეწოდება შროდინგერის განტოლება სტაციონარული მდგომარეობისთვის. ის ასევე შეიძლება დაიწეროს ფორმით:

.

ეს განტოლება გამოიყენება არარელატივისტურ სისტემებზე იმ პირობით, რომ ალბათობის განაწილება არ იცვლება დროთა განმავლობაში, ე.ი. როდესაც ფუნქციონირებს ψ მდგარ ტალღებს ჰგავს.

შროდინგერის განტოლება შეიძლება მივიღოთ შემდეგნაირად.

განვიხილოთ ერთგანზომილებიანი შემთხვევა - თავისუფლად მოძრავი ნაწილაკი ღერძის გასწვრივ X. იგი შეესაბამება სიბრტყე დე ბროლის ტალღას:

,

მაგრამ
, Ამიტომაც
. მოდით განვასხვავოთ ეს გამოთქმა ტ:

.

ახლა ვიპოვოთ psi ფუნქციის მეორე წარმოებული კოორდინატთან მიმართებაში

,

არარელატივისტურ კლასიკურ მექანიკაში ენერგია და იმპულსი დაკავშირებულია მიმართებით:
სად ე- კინეტიკური ენერგია. ნაწილაკი თავისუფლად მოძრაობს, მისი პოტენციური ენერგია უ= 0 და სრული E=E კ. Ამიტომაც

,

არის შროდინგერის განტოლება თავისუფალი ნაწილაკისთვის.

თუ ნაწილაკი ძალის ველში მოძრაობს, მაშინ ე- მთელი ენერგია (როგორც კინეტიკური, ასევე პოტენციური), შესაბამისად:

,

შემდეგ მივიღებთ
, ან
,

და ბოლოს

ეს არის შროდინგერის განტოლება.

ზემოაღნიშნული მსჯელობა არ არის შრედინგერის განტოლების წარმოშობა, არამედ მაგალითი იმისა, თუ როგორ შეიძლება ამ განტოლების დადგენა. პოსტულირებულია თავად შროდინგერის განტოლება.

გამოხატვისას

მარცხენა მხარე აღნიშნავს ჰამილტონის ოპერატორს – ჰამილტონიანი არის ოპერატორების ჯამი
და უ. Hamiltonian არის ენერგეტიკული ოპერატორი. ფიზიკური რაოდენობების ოპერატორებზე დეტალურად მოგვიანებით ვისაუბრებთ. (ოპერატორი გამოხატავს გარკვეულ მოქმედებას ფუნქციის ქვეშ ψ , რომელიც არის ოპერატორის ნიშნის ქვეშ). ზემოაღნიშნულის გათვალისწინებით გვაქვს:

.

მას არ აქვს ფიზიკური მნიშვნელობა ψ -ფუნქცია და მისი მოდულის კვადრატი, რომელიც განსაზღვრავს სივრცეში მოცემულ ადგილას ნაწილაკების პოვნის ალბათობის სიმკვრივეს. კვანტურ მექანიკას აქვს სტატისტიკური აზრი. ის არ იძლევა საშუალებას განსაზღვროს ნაწილაკის მდებარეობა სივრცეში ან ტრაექტორია, რომლის გასწვრივ ნაწილაკი მოძრაობს. psi ფუნქცია იძლევა მხოლოდ იმის ალბათობას, რომლითაც შესაძლებელია ნაწილაკის აღმოჩენა სივრცის მოცემულ წერტილში. ამასთან დაკავშირებით, psi ფუნქცია უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ პირობებს:

ის უნდა იყოს ცალსახა, უწყვეტი და სასრული, რადგან განსაზღვრავს ნაწილაკების მდგომარეობას;

მას უნდა ჰქონდეს უწყვეტი და სასრულ წარმოებული;

ფუნქცია I ψ I 2 უნდა იყოს ინტეგრირებადი, ე.ი. განუყოფელი

უნდა იყოს სასრული, რადგან ის განსაზღვრავს ნაწილაკების აღმოჩენის ალბათობას.

ინტეგრალური

,

ეს არის ნორმალიზების მდგომარეობა. ეს ნიშნავს, რომ ალბათობა იმისა, რომ ნაწილაკი მდებარეობს სივრცის ნებისმიერ წერტილში, უდრის ერთს.

ეფუძნება იდეას, რომ ელექტრონს აქვს ტალღური თვისებები. შროდინგერმა 1925 წელს გამოთქვა მოსაზრება, რომ ატომში მოძრავი ელექტრონის მდგომარეობა უნდა იყოს აღწერილი ფიზიკაში ცნობილი ელექტრომაგნიტური ტალღის განტოლებით. მისი მნიშვნელობა დე ბროლის განტოლებიდან ტალღის სიგრძის ნაცვლად ამ განტოლებაში ჩაანაცვლა, მან მიიღო ახალი განტოლება, რომელიც აკავშირებს ელექტრონის ენერგიას სივრცულ კოორდინატებთან და ეგრეთ წოდებულ ტალღურ ფუნქციასთან, რომელიც შეესაბამება ამ განტოლებაში სამგანზომილებიანი ტალღის პროცესის ამპლიტუდას. .

ტალღის ფუნქცია განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ელექტრონის მდგომარეობის დასახასიათებლად. ნებისმიერი ტალღის პროცესის ამპლიტუდის მსგავსად, მას შეუძლია მიიღოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები. თუმცა, ღირებულება ყოველთვის დადებითია. უფრო მეტიც, მას აქვს შესანიშნავი თვისება: რაც უფრო დიდია მნიშვნელობა სივრცის მოცემულ რეგიონში, მით მეტია ალბათობა იმისა, რომ ელექტრონი გამოავლენს თავის მოქმედებას აქ, ანუ მისი არსებობა გამოვლინდება რაიმე ფიზიკურ პროცესში.

შემდეგი განცხადება უფრო ზუსტი იქნება: ელექტრონის გარკვეულ მცირე მოცულობაში აღმოჩენის ალბათობა გამოიხატება პროდუქტით. ამრიგად, მნიშვნელობა თავად გამოხატავს სივრცის შესაბამის რეგიონში ელექტრონის პოვნის ალბათობის სიმკვრივეს.

ბრინჯი. 5. წყალბადის ატომის ელექტრონული ღრუბელი.

კვადრატული ტალღის ფუნქციის ფიზიკური მნიშვნელობის გასაგებად, განიხილეთ ნახ. 5, რომელიც ასახავს გარკვეულ მოცულობას წყალბადის ატომის ბირთვთან ახლოს. წერტილების სიმკვრივე ნახ. 5 არის შესაბამისი ადგილის მნიშვნელობის პროპორციული: რაც უფრო დიდია მნიშვნელობა, მით უფრო მკვრივია წერტილები. თუ ელექტრონს ჰქონდა მატერიალური წერტილის თვისებები, მაშინ ნახ. 5 შეიძლება მიღებულ იქნას წყალბადის ატომზე განმეორებით დაკვირვებით და ყოველ ჯერზე ელექტრონის მდებარეობის აღნიშვნით: ფიგურაში წერტილების სიმკვრივე უფრო დიდი იქნება, რაც უფრო ხშირად იქნება ელექტრონი აღმოჩენილი სივრცის შესაბამის რეგიონში ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მით უფრო დიდია მისი აღმოჩენის ალბათობა ამ რეგიონში.

თუმცა, ჩვენ ვიცით, რომ ელექტრონის, როგორც მატერიალური წერტილის იდეა არ შეესაბამება მის ნამდვილ ფიზიკურ ბუნებას. ამიტომ ნახ. უფრო სწორია მივიჩნიოთ 5, როგორც ატომის მთელი მოცულობის ატომის „გაწურული“ ელექტრონის სქემატური წარმოდგენა ეგრეთ წოდებული ელექტრონული ღრუბლის სახით: რაც უფრო მკვრივია წერტილები ამა თუ იმ ადგილას, მით უფრო დიდია ელექტრონული ღრუბლის სიმკვრივე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელექტრონული ღრუბლის სიმკვრივე ტალღის ფუნქციის კვადრატის პროპორციულია.

ელექტრონის, როგორც ელექტრული მუხტის გარკვეული ღრუბლის მდგომარეობის იდეა ძალიან მოსახერხებელია, ის კარგად გადმოსცემს ელექტრონის ქცევის ძირითად მახასიათებლებს ატომებსა და მოლეკულებში და ხშირად გამოყენებული იქნება შემდგომ პრეზენტაციაში. ამასთან, გასათვალისწინებელია, რომ ელექტრონულ ღრუბელს არ აქვს კონკრეტული, მკვეთრად განსაზღვრული საზღვრები: ბირთვიდან დიდ მანძილზეც კი, არსებობს ელექტრონის აღმოჩენის გარკვეული, თუმცა ძალიან მცირე, ალბათობა. მაშასადამე, ელექტრონული ღრუბლის საშუალებით ჩვენ პირობითად გავიგებთ სივრცის რეგიონს ატომის ბირთვთან, რომელშიც კონცენტრირებულია ელექტრონის მუხტისა და მასის უპირატესი ნაწილი (მაგალითად, ). სივრცის ამ რეგიონის უფრო ზუსტი განმარტება მოცემულია 75-ე გვერდზე.