ვიდეოგაკვეთილი „რიცხვითი უტოლობების თვისებები. რიცხვითი უტოლობების თვისებები – ცოდნის ჰიპერმარკეტი

შემდეგი თვისებები მართალია ნებისმიერი რიცხვითი გამოსახულებისთვის.

საკუთრება 1.თუ ჭეშმარიტი რიცხვითი უტოლობის ორივე მხარეს ერთსა და იმავეს დავუმატებთ რიცხვითი გამოხატულება, მაშინ მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას, ანუ მართებულია შემდეგი: ; .

მტკიცებულება.თუ . შეკრების ოპერაციის კომუტაციური, ასოციაციური და გამანაწილებელი თვისებების გამოყენებით გვაქვს: .

მაშასადამე, მიმართების „უფრო მეტი“ განსაზღვრებით .

საკუთრება 2. თუ ჭეშმარიტი რიცხვითი უტოლობის ორივე მხარეს გამოვაკლებთ ერთსა და იმავე რიცხვით გამოსახულებას, მივიღებთ ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობას, ანუ ჭეშმარიტია შემდეგი: ;

მტკიცებულება.პირობით . წინა თვისების გამოყენებით, ამ უტოლობის ორივე მხარეს ვუმატებთ რიცხვით გამოსახულებას და მივიღებთ: .

შეკრების ოპერაციის ასოციაციური თვისების გამოყენებით გვაქვს: , მაშასადამე , შესაბამისად .

შედეგი.ნებისმიერი ტერმინი შეიძლება გადავიდეს რიცხვითი უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშანი.

საკუთრება 3. თუ ვამატებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას ტერმინებით, მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას, ანუ ჭეშმარიტს:

მტკიცებულება.თვისებით 1 გვაქვს: და მიმართების „მეტის“ გარდამავალ თვისების გამოყენებით ვიღებთ: .

საკუთრება 4.საპირისპირო მნიშვნელობის ჭეშმარიტი რიცხვითი უტოლობა შეიძლება გამოვაკლოთ ტერმინით ტერმინით, შენარჩუნებული უტოლობის ნიშანი, რომელსაც ვაკლებთ, ანუ: ;

მტკიცებულება.ჭეშმარიტი რიცხვითი უტოლობების განმარტებით . ქონებით 3, თუ . ამ თეორემის თვის 2-ის შედეგად, ნებისმიერი ტერმინი შეიძლება გადავიდეს უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით. აქედან გამომდინარე, . ამრიგად, თუ.

საკუთრება დადასტურებულია ანალოგიურად.

საკუთრება 5.თუ სწორი რიცხვითი უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია იმავე რიცხვითი გამოსახულებით, რომელიც იღებს დადებით მნიშვნელობას, უტოლობის ნიშნის შეცვლის გარეშე, მაშინ მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას, ანუ:

მტკიცებულება.რისგან . ჩვენ გვაქვს: მერე . გამრავლების მოქმედების გამოკლებასთან მიმართებაში განაწილების გამოყენებით გვაქვს: .

მაშინ, განმარტებით, მიმართება არის „უფრო მეტი“.

საკუთრება დადასტურებულია ანალოგიურად.

საკუთრება 6.თუ მოქმედი რიცხვითი უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია იმავე რიცხვითი გამოსახულებით, რომელიც იღებს უარყოფითი მნიშვნელობა, უტოლობის ნიშნის საპირისპიროზე შეცვლით, მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას, ანუ: ;

საკუთრება 7.თუ ჭეშმარიტი რიცხვითი უტოლობის ორივე მხარე იყოფა ერთი და იგივე რიცხვითი გამოსახულებით, რომელიც იღებს დადებით მნიშვნელობას, უტოლობის ნიშნის შეცვლის გარეშე, მაშინ მივიღებთ ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობას, ანუ:

მტკიცებულება.ჩვენ გვაქვს: . თვისებით 5 ვიღებთ: . გამრავლების ოპერაციის ასოციაციურობის გამოყენებით გვაქვს: აქედან გამომდინარე .

საკუთრება დადასტურებულია ანალოგიურად.

საკუთრება 8.თუ სწორი რიცხვითი უტოლობის ორივე ნაწილი იყოფა ერთი და იგივე რიცხვითი გამოსახულებით, რომელიც იღებს უარყოფით მნიშვნელობას, უტოლობის ნიშანს საპირისპიროდ ცვლის, მაშინ მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას, ანუ: ;

მტკიცებულება ამ ქონებისგამოვტოვოთ.

საკუთრება 9.თუ ვამრავლებთ ტერმინზე ტერმინზე ერთი და იმავე მნიშვნელობის რიცხვითი უტოლობების უარყოფით ნაწილებზე გამოსწორებას, უტოლობის ნიშანს საპირისპიროდ ვცვლით, მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას, ანუ:

ჩვენ გამოვტოვებთ ამ ქონების მტკიცებულებას.

საკუთრება 10.თუ ვამრავლებთ ტერმინით ერთნაირი მნიშვნელობის რიცხვით უტოლობას დადებითი ნაწილებით, უტოლობის ნიშნის შეუცვლელად, მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას, ანუ:

ჩვენ გამოვტოვებთ ამ ქონების მტკიცებულებას.

საკუთრება 11.თუ საპირისპირო მნიშვნელობის ტერმინის სწორ რიცხვობრივ უტოლობას დავყოფთ ტერმინებით დადებით ნაწილებზე, პირველი უტოლობის ნიშნის შენარჩუნებით, მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას, ანუ:

;

.

ჩვენ გამოვტოვებთ ამ ქონების მტკიცებულებას.

მაგალითი 1.არის უთანასწორობები და ექვივალენტი?

გამოსავალი.მეორე უტოლობა მიიღება პირველი უტოლობიდან მის ორივე ნაწილს ერთი და იგივე გამოხატვის მიმატებით, რომელიც არ არის განსაზღვრული . ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი არ შეიძლება იყოს გამოსავალი პირველი უტოლობისთვის. თუმცა, ეს არის მეორე უტოლობის გადაწყვეტა. ასე რომ, არსებობს მეორე უტოლობის გამოსავალი, რომელიც არ არის გამოსავალი პირველი უტოლობისთვის. აქედან გამომდინარე, ეს უთანასწორობები არ არის ეკვივალენტური. მეორე უტოლობა პირველი უტოლობის შედეგია, რადგან პირველი უტოლობის ნებისმიერი ამონახსნი არის მეორე.

ამ შემთხვევაში გამოიყენება ასეთი ოპერაციების თვისებები. ამ თვისებების ცოდნა დაგვეხმარა ტრანსფორმაციების განხორციელებაში ალგებრული გამონათქვამები, ამოხსნის განტოლებებს.

იქ, მე-5 თავში, ჩვენ შემოვიტანეთ რიცხვითი უტოლობის ცნება: a> b - ეს ნიშნავს, რომ a - b - დადებითი რიცხვი; ა< b - это значит, что а - b - უარყოფითი რიცხვი.

რიცხვითი უტოლობებიაქვს მთელი რიგი თვისებები, რომელთა ცოდნა მომავალში დაგვეხმარება უთანასწორობებთან მუშაობაში.

რატომ უნდა შეძლოთ განტოლებების ამოხსნა, იცით: აქამდე მათემატიკური მოდელითითქმის ყველა რეალური სიტუაცია, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ, იყო განტოლება ან განტოლებათა სისტემა. სინამდვილეში, არიან სხვებიც მათემატიკური მოდელები- უთანასწორობა, უბრალოდ, აქამდე ავირიდებოდით მსგავს სიტუაციებს.

რიცხვითი უტოლობების თვისებების ცოდნა ასევე სასარგებლო იქნება ფუნქციების შესასწავლად. მაგალითად, ფუნქციების ისეთი ცნობილი თვისებები, როგორიცაა უდიდესი და უმცირესი ღირებულებაფუნქციები გარკვეულ ინტერვალზე, ფუნქციის შეზღუდვა ქვემოდან ან ზემოდან. უტოლობასთან ასოცირდება ფუნქციის გაზრდის ან შემცირების თვისება, რომლის შესახებაც ჩვენ ვისაუბრებთერთ-ერთ შემდეგ აბზაცში. ასე რომ, როგორც ხედავთ, რიცხვითი თვისებების ცოდნის გარეშე უთანასწორობებივერ ვასწრებთ. დიახ, თქვენ თვითონ უკვე ხედავდით უთანასწორობებთან მუშაობის უნარის აუცილებლობას.

ამრიგად, § 27-ში ჩვენ გამოვიყენეთ შეფასებები y რიცხვისთვის და ა.შ.), სადაც რეალურად ვეყრდნობოდით (თუმცა ინტუიციურად) რიცხვითი უტოლობების თვისებებს. ჩვენ აქტიურად ვიყენებდით უტოლობის ნიშნებს (და თვისებებს) §28 და 30-ში.

ამ განყოფილებაში შევისწავლით რიცხვითი უტოლობების თვისებებს.

საკუთრება 1. თუ a>b და b>c, მაშინ a>c.

მტკიცებულება.პირობით, a > b, ანუ a - b არის დადებითი რიცხვი. ანალოგიურად, რადგან b > c, დავასკვნათ, რომ b - c - .

დადებითი რიცხვების a - b და b - c შეკრებით მივიღებთ დადებით რიცხვს. გვაქვს (a - b) + (b - c) - a - c. ეს ნიშნავს, რომ a-c არის დადებითი რიცხვი, ანუ a > c, რაც დასამტკიცებელია.

თვისება 1 შეიძლება გამართლდეს რეალური რიცხვების სიმრავლის გეომეტრიული მოდელის გამოყენებით, ანუ რიცხვითი წრფე. უტოლობა a>b ნიშნავს, რომ რიცხვით წრფეზე a წერტილი მდებარეობს b წერტილის მარჯვნივ, ხოლო b>c უტოლობა ნიშნავს, რომ წერტილი b მდებარეობს c წერტილის მარჯვნივ (სურ. 115). მაგრამ შემდეგ წერტილი o მდებარეობს სწორ ხაზზე c წერტილის მარჯვნივ, ანუ a> c.

თვისებას 1 ჩვეულებრივ უწოდებენ ტრანზიტულობის თვისებას (ფიგურალურად რომ ვთქვათ, a წერტილიდან მივდივართ წერტილამდე ერთგვარი ტრანზიტით, შუალედური გაჩერებით b წერტილში).

საკუთრება 2. თუ a>b, მაშინ a + c>b + c.

საკუთრება 3.თუ a>b და m>O, მაშინ from>bm; თუ a>b და m< o, то am < bm.

თვის 3-ის მნიშვნელობა ასეთია: თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია ერთნაირი დადებითი რიცხვით, მაშინ უნდა შენარჩუნდეს უტოლობის ნიშანი;

თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია იმავე უარყოფით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი უნდა შეიცვალოს (< на >,> ჩართულია<).

იგივე ეხება უტოლობის ორივე მხარის გაყოფას იმავე დადებით ან უარყოფით m რიცხვზე, რადგან m-ზე გაყოფა ყოველთვის შეიძლება შეიცვალოს გამრავლებით.
კერძოდ, მე-3 თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ a > b უტოლობის ორივე მხარის - 1-ზე გამრავლებით მივიღებთ - a.< -b. Это значит, что если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства: если а>ბ, შემდეგ - ა<-b.

საკუთრება 4.თუ a>b და c>d, მაშინ a + c > b + d.

მტკიცებულება.
მეთოდი Iპირობით, a > b და c > d, რაც ნიშნავს a - b და c - d დადებითი რიცხვებია. მაშინ მათი ჯამი, ანუ (a - b) + (c - d) დადებითი რიცხვია. ვინაიდან (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d), მაშინ (a + c) - (b + d) დადებითი რიცხვია. ამიტომ a + c>b + d.

II მეთოდი.ვინაიდან a > b, მაშინ 2 თვისების მიხედვით, a + c > b + c. ანალოგიურად, ვინაიდან c > d, მაშინ c + b > d + b.
ასე რომ, a + c > b + c, b + c > b + d. შემდეგ, გარდამავალი თვისების გამო, ვიღებთ, რომ a + c > b + d.

შენიშვნა 1 . ჩვენ მივეცით მტკიცების ორი მეთოდი, რათა აირჩიოთ ის, რომელიც მოგწონთ ყველაზე მეტად ან უფრო გასაგები.

გარდა ამისა, ზოგადად სასარგებლოა ერთი და იგივე ფაქტის სხვადასხვა დასაბუთების გაცნობა.

მტკიცებულება . ვინაიდან a > b და c > 0, მაშინ ac > bc. ანალოგიურად, ვინაიდან c > d და b > o, მაშინ cb > db. ასე რომ ac > bc, bc > bd. შემდეგ, გარდამავალი თვისების მიხედვით, ვიღებთ, რომ ac > bd.

ჩვეულებრივ უტოლობები a > b, c > d (ან a< с, с < d) называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства а >ბ და გ< d - неравенствами противоположного смысла.

საკუთრება 5ნიშნავს, რომ ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლობების გამრავლებისას, რომელთა მარცხენა და მარჯვენა მხარეები დადებითი რიცხვებია, მიიღება იგივე მნიშვნელობის უტოლობა.

საკუთრება 6.თუ a და b არაუარყოფითი რიცხვებია და a > b, მაშინ a n > b n, სადაც n არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.

თვის 6-ის მნიშვნელობა ასეთია: თუ უტოლობის ორივე მხარე არაუარყოფითი რიცხვებია, მაშინ ისინი შეიძლება გაიზარდოს ერთსა და იმავეზე. ბუნებრივი ხარისხი, უთანასწორობის ნიშნის შენარჩუნება.

საკუთრებაში დამატება 6. თუ ნ - კენტი რიცხვი, მაშინ ნებისმიერი a და b რიცხვისთვის უტოლობა a > b გულისხმობს იგივე მნიშვნელობის უტოლობას a n > b n .

შენიშნეთ, რომ ზემოხსენებულ მტკიცებულებებში ჩვენ არსებითად მხოლოდ ორი იდეა გამოვიყენეთ? პირველი იდეა არის ავიღოთ სხვაობა უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს შორის და გავარკვიოთ რომელი რიცხვი იქნება დადებითი ან უარყოფითი. მეორე იდეა არის უკვე გამოყენება ცნობილი თვისებები. ეს კეთდება რიცხვითი უტოლობების დადასტურების სხვა შემთხვევებში: მაგალითად, ასე შეგიძლიათ დაამტკიცოთ ზემოთ ჩამოთვლილი თვისებები, რომლებიც აქ მოვიყვანეთ მტკიცებულების გარეშე (გირჩევთ შეეცადოთ შეავსოთ ეს ხარვეზი, როგორც სავარჯიშო). მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მოდით a და b იყოს დადებითი რიცხვები და a > b.
დაამტკიცე რომ

განვიხილოთ განსხვავება. გვაქვს
პირობითად, a, b, a - b დადებითი რიცხვებია. ეს ნიშნავს, რომ ეს არის უარყოფითი რიცხვი, ე.ი. - საიდან გამომდინარეობს, რომ
მოდით იყოს დადებითი რიცხვი. დაამტკიცე რომ
.

მივიღეთ არაუარყოფითი რიცხვი, რაც ნიშნავს
გაითვალისწინეთ რომ

დაე, a და b იყოს არაუარყოფითი რიცხვები.
დაამტკიცე რომ

მოდით შევადგინოთ განსხვავება უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს შორის. გვაქვს

არითმეტიკული საშუალო ეწოდება ნომრები a და b რიცხვს საშუალო ეწოდება გეომეტრიული რიცხვებია და ბ. ამრიგად, მე-3 მაგალითში დადასტურებული უტოლობა ნიშნავს, რომ ორი არაუარყოფითი რიცხვის საშუალო არითმეტიკული არ არის მათ გეომეტრიულ საშუალოზე ნაკლები. დადასტურებულ უთანასწორობას მე-19 საუკუნის ფრანგი მათემატიკოსის ოგიუსტ კოშის სახელით ზოგჯერ უწოდებენ კოშის უთანასწორობას.

შენიშვნა 2 . კოშის უტოლობას აქვს საინტერესო გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. მიეცით მართკუთხა სამკუთხედი და წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლე h სწორი კუთხე, ყოფს ჰიპოტენუზას a და b სეგმენტებად (სურ. 116). გეომეტრიაში დადასტურდა რომ

(ასე რომ, შემთხვევითი არ არის, რომ ტერმინი „გეომეტრიული საშუალო“ შემოვიდა ამ გამოთქმისთვის). რა არის ეს? ეს არის ჰიპოტენუზის ნახევარის სიგრძე. მაგრამ გეომეტრიიდან ცნობილია, რომ მედიანა მ მართკუთხა სამკუთხედიმართი კუთხის წვეროდან დახატული, ზუსტად უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს. ამგვარად, კოშის უტოლობა ნიშნავს, რომ ჰიპოტენუზასთან მიყვანილი მედიანა არ არის ნაკლები ჰიპოტენუზაზე მიყვანილი სიმაღლეზე (ანუ), - აშკარა გეომეტრიული ფაქტი (იხ. სურ. 116). რიცხვითი უტოლობების თვისებები შედარების საშუალებას იძლევა რეალური რიცხვებიზომით შეაფასეთ შედეგი.

შეადარეთ რიცხვები:

ა) შევადაროთ რიცხვებს შორის ნიშანი< ; интуиция подсказывает, что первое число меньше второго. Если в результате правильных (т. е. строгих, основанных на свойствах числовых неравенств) рассуждений мы получим верное неравенство, то наша догадка подтвердится.

თუ სწორი მსჯელობის შედეგად მივიღებთ არასწორ უტოლობას, მაშინ შორის მოცემული ნომრებინიშანი არ უნდა დამეყენებინა<, а знак >(ან = თუ აღმოჩნდება, რომ რიცხვები ტოლია).

ასე რომ, ჩვენ გვჯერა, რომ შემდეგ, თვისების 6-ის მიხედვით, , ანუ 5< 7. Это верное неравенство, значит, наша догадка подтвердилась: .
ბ) შემთხვევით შედარებულ რიცხვებს შორის დავდოთ ნიშანი > (აქ ეს მართლაც შემთხვევითია, რადგან ინტუიცია აქ არ დაგვეხმარება), ე.ი. დავუშვათ, რომ უტოლობის ორივე მხარის კვადრატში და თვისების 6-ის გამოყენებით მივიღებთ

თვისება 2-ის გამოყენებით, ამ უტოლობის ორივე მხარეს ვუმატებთ რიცხვს -9; ვიღებთ

ამოხსნა, ა) ორმაგი უტოლობის ყველა ნაწილის გამრავლება 2.1<а< 2,2 на одно и то же положительное число 2, получим
2 2,1 < 2а < 2 2,2, т. е. 4,2 <2а< 4,4.

ბ) ორმაგი უტოლობის ყველა ნაწილის გამრავლება 3.7< b < 3,8 на одно и то же отрицательное число - 3, получим неравенство противоположного смысла:

3 3.7 > - Зb > - 3 3.8, ანუ - 11.4< - 36 < - 11,1 (вместо записи вида а >b > c გადავედით უფრო გავრცელებულ c აღნიშვნაზე

გ) ერთი და იგივე მნიშვნელობის მოცემული ორმაგი უტოლობების ტერმინების მიმატებით მივიღებთ

დ) ჯერ გავამრავლოთ ორმაგი უტოლობის ყველა ნაწილი 3.7< b < < 3,8 на одно и то же отрицательное число -1; получим неравенство противоположного смысла - 3,7 >- b > - 3.8, ანუ - 3.8< - b < - 3,7.

ე) ვინაიდან ორმაგი უტოლობის ყველა ნაწილი 2.1< а < 2,2 положительны, возведя их в კვადრატი, ვიღებთ
2,1 2 <а 2 <2,2 2 , т. е. 4,41 < а 2 < 4,84.

ვ) ორმაგი უტოლობის ყველა ნაწილის კუბირება 3.7< b < 3,8, получим 3,7 3 < b 3 < 3,8 3 , т. е. 50,653 < b 3 < 54,872.

ზ) მაგალით 1-ში დავადგინეთ, რომ თუ a და b დადებითი რიცხვებია, მაშინ a უტოლობიდან< b следует неравенство противоположного смысла . Значит из двойного неравенства 2,1 < а < 2,2 следует, что

მორდკოვიჩ ა.გ., ალგებრა. მე-8 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები - მე-3 გამოცემა, შესწორებული. - მ.: მნემოსინე, 2001. - 223 გვ.: ილ.

წიგნები და სახელმძღვანელოები მე-8 კლასის მათემატიკის კალენდარული გეგმის მიხედვით

ალგებრა
მეცხრე კლასის გაკვეთილები

გაკვეთილი #2

საგანი. რიცხვითი უტოლობები. რიცხვითი უტოლობების დადასტურება

გაკვეთილის მიზანი: მოსწავლეების მიერ შინაარსის დაუფლება: დამატებითი უტოლობა ურთიერთშებრუნებული დადებითი რიცხვების ჯამისთვის და ორი არაუარყოფითი რიცხვის საშუალო არითმეტიკული (მათ გეომეტრიულ საშუალოსთან შედარებით) და ამ უტოლობათა შევსება; დადასტურებული უტოლობების გამოყენების მეთოდი სხვა რიცხვითი უტოლობების მტკიცებულებაში. განაგრძეთ მუშაობა უნარების განვითარებაზე: შესწავლილი ცნებებისა და ალგორითმების შინაარსის რეპროდუცირება და მათი გამოყენება რიცხვითი და ასოების გამონათქვამების შედარების სავარჯიშოების ამოსახსნელად, აგრეთვე უტოლობების დასამტკიცებლად სავარჯიშოები უმარტივეს შემთხვევებში და შემთხვევებში, რომლებიც მოიცავს განმარტებას და ტრანსფორმაციას. განსხვავება უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეებს შორის, რომელიც უნდა დადასტურდეს ბინომის კვადრატის გამოყენებით.

გაკვეთილის ტიპი: ცოდნის კონსოლიდაცია, უნარების განვითარება.

ვიზუალიზაცია და აღჭურვილობა: დამხმარე რეზიუმე No2.

გაკვეთილის პროგრესი

I. საორგანიზაციო ეტაპი

მასწავლებელი ამოწმებს მოსწავლეთა მზადყოფნას გაკვეთილისთვის და აყენებს მათ სამუშაოდ.

II. საშინაო დავალების შემოწმება

საშინაო დავალების შესრულება საგულდაგულოდ მოწმდება იმ მოსწავლეებისთვის, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით პედაგოგიურ ყურადღებას (მასწავლებელი აგროვებს მათ რვეულებს შესამოწმებლად).

საშინაო დავალების სავარჯიშოების ხარისხის ფრონტალური შემოწმება შეიძლება განხორციელდეს თამაშის "იპოვე შეცდომის" სახით.

III.
გაკვეთილის მიზნისა და ამოცანების ფორმულირება.

მოსწავლეთა სასწავლო აქტივობების მოტივაცია

გაკვეთილზე შესაბამისი მოტივაციის შექმნას შეიძლება ხელი შეუწყოს მოსწავლეებმა ასეთი დავალების შესრულება. .

შეადარეთ ორი გამონათქვამი, თუ ცნობილია, რომ a > 0, b > 0 და განსხვავება პირველ და მეორე გამოსახულებებს შორის არის: 1) ; 2) ზემოთ შემოთავაზებული დავალების შესრულებისას მიღებული შედეგების განხილვის შემდეგ ერთობლივად მივდივართ დასკვნამდე: გამონათქვამების შედარება ორი გამონათქვამის განსხვავების ნიშნის დადგენით და რიცხვების შედარების განმარტების გამოყენებით შეიძლება განხორციელდეს მაშინაც კი, როდესაც განსხვავება არის პირდაპირი გამონათქვამი, რომელიც შეიცავს ბინომის კვადრატს. ამ საკითხის შესწავლა გაკვეთილის მთავარი დიდაქტიკური მიზანია. საგაკვეთილო დავალება ლოგიკურად გამომდინარეობს ამ მიზნიდან: ჩამოაყალიბეზოგადი წესი

და ასევე ისწავლეთ ამ წესის გამოყენება უთანასწორობის დადასტურების პრობლემების გადასაჭრელად. IV.განახლება

ფონური ცოდნა

და მოსწავლეთა უნარები

ორალური ვარჯიშები

1) a - b = -5;

2) a - b = 4.5;

3) a - b = -19,8;

2. წარმოადგინე გამონათქვამი ბინომის კვადრატის სახით:

1) x2 - 2x + 1;

2) მ 2 + 10 მ + 25;

3) x2 - 6მ + 9;

4) m 2 - mn + n 2 - mn;

5) x - 2+ b (x > 0; b > 0).

3. შეადარეთ გამოთქმის მნიშვნელობა ნულთან:

1) მ 2;

2) მ 2 + 1;

3) (მ + 1) 2;

4) m 2 + 2mn + n 2 + 1.

ვ. ცოდნის გენერირება

დაგეგმეთ ახალი მასალის შესწავლა

1. უთანასწორობის მიყვანა a > 0, b > 0-მდე.

2. მისი არათანაბარი დაყენება , a ≥ 0, b ≥ 0.

3. დადასტურებული უტოლობების გამოყენების მაგალითები.

დამხმარე შენიშვნა No2

უთანასწორობის დადასტურება

1. დაამტკიცეთ უტოლობა: თუ a > 0; ბ > 0.

ვინაიდან a > 0, b > 0, ab > 0. ვინაიდან (a - b)2 ≥ 0, მაშინ მაშასადამე, უთანასწორობა დადასტურებულია. პოზიტიური ურთიერთობის ჯამი საპასუხო ნომრებიარანაკლებ 2.

შენიშვნა: თანასწორობა ხდება მაშინ, როდესაც a = b.

2. დაამტკიცეთ უტოლობა: , თუ a ≥ 0; b ≥ 0.

მიწოდება. ვიპოვოთ განსხვავება უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს შორის: . იმიტომ რომ (ყველა a ≥ 0; b ≥ 0), მაშინ , ე.ი. უთანასწორობა დადასტურებული. ორი არაუარყოფითი რიცხვის საშუალო არითმეტიკული არ არის მათ გეომეტრიულ საშუალოზე ნაკლები.

შენიშვნა: თანასწორობა ხდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც a = b ან a = b = 0.

მაგალითი. დავამტკიცოთ უთანასწორობა .

მიწოდება. გამოვხატოთ გამოხატულება ფორმაში . ამიტომ არის საშუალო არითმეტიკული რიცხვები b 2 + 4 და 1, b 2 + 4 1, შესაბამისად, დადასტურებული უტოლობით 2, ეს მნიშვნელობა მეტია ამ რიცხვების გეომეტრიულ საშუალოზე, ანუ , ანუ .

მეთოდური კომენტარი

უტოლობების დადასტურება უტოლობების გამოყენებით ორი არაუარყოფითი რიცხვის საშუალო არითმეტიკული რიცხვისთვის და გამოსახულების ნულთან შედარების გზით, რომელიც ტოლია უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეებს შორის სხვაობის ტოლი, ბინომის კვადრატის წინასწარი იზოლაციით. გამოხატულება არის ერთ-ერთი კითხვა, რომელიც მათემატიკის პროგრამაშია გათვალისწინებული და საკმაოდ ფართო დიაპაზონშია პრაქტიკული გამოყენება. ამიტომ უკვე ამ მეორე გაკვეთილზე, რომელიც ეძღვნება უთანასწორობის შექმნის გზების შესწავლას, განიხილება შემდეგი კითხვები:

· უტოლობების დადასტურების შესახებ იმ შემთხვევაში, როდესაც უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს შორის განსხვავება ასოების შემცველი გამოთქმაა;

· ორი არაუარყოფითი რიცხვის საშუალო არითმეტიკისა და გეომეტრიული საშუალოს და ორი ურთიერთშებრუნებული დადებითი რიცხვის ჯამის მიმართების გამოყენების შესახებ უტოლობების დასამტკიცებლად.

მოსწავლეთა საბაზისო ცოდნისა და უნარების განახლების ეტაპზე საგაკვეთილო მასალის წარმატებით გააზრებისთვის რეკომენდებულია შევსება ზეპირი ვარჯიშებინულთან შედარებისთვის პირდაპირი გამოთქმადა შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამეორება, კერძოდ, ბინომის კვადრატი (იხ. ზემოთ). ამ სავარჯიშოების ამოხსნის შემდეგ, სავსებით ლოგიკურია, განვავითაროთ უტოლობა ორი დადებითი საპასუხო რიცხვის ჯამისთვის და ორი არაუარყოფითი რიცხვის საშუალო არითმეტიკული და გეომეტრიული საშუალოსთვის (შესრულებისას მოსწავლეთა ყურადღებას ვამახვილებთ იმაზე, რომ როდესაც უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარის სხვაობის ნულთან შედარებისას გამოვყოფთ ბინომის კვადრატს). ასევე მნიშვნელოვანია მოსწავლეთა ყურადღების მიქცევა იმ ფაქტზე, რომ გარდა ილუსტრაციისა ზოგადი მეთოდიუტოლობების მტკიცებულებები (გამოხატვაში ბინომის კვადრატის იზოლირებით, წარმოდგენილი როგორც სხვაობა მოცემული უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეებს შორის) დადასტურებული უტოლობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვა უტოლობების დასადასტურებლად. ამისათვის განიხილება მაგალითი, რომელიც ასახავს მსჯელობის ხერხს ასეთი მაგალითების ამოხსნისას.

VI. უნარების ჩამოყალიბება

ფონური ცოდნა

1. შეადარეთ რიცხვები a და bif:

1) a - b = m 2;

2) a - b = (m + 1)2;

3) a = ; ბ = ; მ ≥ 0.

2. მონიშნეთ იდეალური მოედანიგამოთქმაში:

1) b 2 - 2b c + c2;

2) 4 b 2 - 4b c + c2;

3) -4b 2 + 4b c - c2;

4) -4b 2 + 4b - 2.

წერითი სავარჯიშოები

გაკვეთილის დიდაქტიკური მიზნის განსახორციელებლად უნდა ამოხსნათ სავარჯიშოები შემდეგი შინაარსით:

1) დაამტკიცოს უტოლობა (გამოსახულებიდან ბინომის კვადრატის ამოღების გამოყენებით, სხვაობის ტოლიამ უთანასწორობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეები);

2) დაამტკიცეთ უტოლობა (დადასტურებული დამხმარე უტოლობაების გამოყენებით).

მეთოდური კომენტარი

გაკვეთილის მიზნიდან გამომდინარე, ტარდება მუშაობა ნოტაციის გამოყენებით უტოლობების დამტკიცების უნარის გამომუშავებაზე (იხ. წინა გაკვეთილზე შედგენილი ალგორითმი), ასევე დადასტურებული უტოლობების გამოყენების უნარი უტოლობების დასამტკიცებლად (რადგან ეს მასალა მოითხოვს მოსწავლეებს რომ ჰქონდეს საკმარისი და მაღალი დონეებიცოდნა და უნარ-ჩვევები, სავალდებულოა მხოლოდ განათლების შესაბამისი დონის სტუდენტებისთვის).

VII. გაკვეთილის შეჯამება

სატესტო დავალებები

1. შეავსეთ ცარიელი ადგილები:

1) m + ... > 2, m > 0; 2) , m ≥ 0, n ≥ 0.

2. შეადარეთ სხეულების გამონათქვამები, თუ:

1) m - n = a2;

2) m - n = a2 + 4;

3) m - n = a2 - 2a + 1;

4) m - n = a2 - 2a + 2.

VIII. საშინაო დავალება

1. გაკვეთილზე განხილული უტოლობების დადასტურების სქემის შესწავლა.

2. სავარჯიშოების ამოხსნა: გაკვეთილზე განხილულის მსგავსი უტოლობების დასამტკიცებლად.

3. გაიმეორეთ რიცხვითი ტოლობების თვისებები.

უტოლობების დადასტურების მეთოდები.

უტოლობების ამოხსნა. ეკვივალენტური უტოლობა.

ინტერვალის მეთოდი. უტოლობების სისტემები.

უთანასწორობის დადასტურება. მტკიცებულების რამდენიმე მეთოდი არსებობსუთანასწორობები. ჩვენ მათ შევხედავთ უთანასწორობის მაგალითის გამოყენებით:

სად ა - დადებითი რიცხვი.

1). ცნობილი ან ადრე დადასტურებული უტოლობის გამოყენება.

ცნობილია, რომ ( ა– 1 )² 0 .

2). უტოლობის ნაწილებს შორის სხვაობის ნიშნის შეფასება .

განვიხილოთ განსხვავება მარცხენა და მარჯვენა მხარეს შორის:

უფრო მეტიც, თანასწორობა ხდება მხოლოდ მაშინ, როდესაცa = 1 .

3). დამტკიცება წინააღმდეგობით.

დავუშვათ პირიქით:

ა, ვიღებთ: ა 2 + 1 < 2 ა, ე.ი.

ა 2 + 1 – 2 ა < 0 , ან ( ა– 1 ) 2 < 0, რაც სიმართლეს არ შეესაბამება. (რატომ?) .

შედეგად წარმოქმნილი წინააღმდეგობა ადასტურებს მართებულობას

განსახილველი უთანასწორობა.

4). განუსაზღვრელი უტოლობის მეთოდი.

უთანასწორობა ეწოდება გაურკვეველითუ მას აქვს ნიშანი\/ ან /\ ,

იმათ. როცა არ ვიცით რომელი გზითეს ნიშანი უნდა შემობრუნდეს

სამართლიანი უთანასწორობის მისაღებად.

აქაც იგივე წესები მოქმედებსდა ჩვეულებრივი უტოლობებით.

განვიხილოთ განუსაზღვრელი უტოლობა:

უტოლობის ორივე მხარის გამრავლებაა, ვიღებთ: ა 2 + 1 \/ 2 ა, ე.ი.

ა 2 + 1 – 2 ა \/ 0 , ან ( ა– 1) 2 \/ 0 , მაგრამ აქ ჩვენ უკვე ვიცით როგორ მოვიქცეთ

ნიშანი \/ სწორი უტოლობის მისაღებად (როგორ?). შემობრუნება

სწორი მიმართულებით უტოლობების მთელი ჯაჭვის გასწვრივ ქვემოდან ზევით, ჩვენ
ვიღებთ საჭირო უტოლობას.

უტოლობების ამოხსნა. ორი უტოლობა, რომელიც შეიცავს ერთსა და იმავე უცნობებს, ეწოდება ექვივალენტი , თუ ისინი მოქმედებს ამ უცნობი მნიშვნელობებისთვის. იგივე განმარტება გამოიყენება უტოლობის ორი სისტემის ეკვივალენტობისთვის. უტოლობების ამოხსნა არის ერთი უტოლობიდან მეორეზე გადასვლის პროცესი, რომელიც უტოლდება უტოლობას. ამ მიზნით ისინი გამოიყენება უტოლობების ძირითადი თვისებები(სმ.). გარდა ამისა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი გამონათქვამის შეცვლა სხვა, რომელიც იდენტურია მოცემული. უთანასწორობა შეიძლება იყოს ალგებრული(შემცველი მხოლოდ პოლინომები) და ტრანსცენდენტული(მაგალითად ლოგარითმული ანტრიგონომეტრიული). აქ განვიხილავთ ერთ ძალიან მნიშვნელოვან მეთოდს,ხშირად გამოიყენება ამოხსნაში ალგებრულიუთანასწორობები

ინტერვალის მეთოდი. უტოლობის ამოხსნა: ( x – 3)( x – 5) < 2( x – 3). აქ ჩვენ არ შეგვიძლია გავყოთ უტოლობის ორივე მხარე (x – 3), რადგან ჩვენ არ ვიცით ამ ბინომის ნიშანი (ის შეიცავს უცნობს x ). ამიტომ ჩვენ განვაახლებთმარცხენა მხარის უტოლობის ყველა პირობა:

(x – 3)( x – 5) – 2( x – 3) < 0 ,

მოდით ფაქტორიზაცია:

(x – 3)( x – 5 – 2) < 0 ,

და მივიღებთ: ( x – 3)( x – 7) < 0. Теперь определим знак произведения в левой части неравенства в различных числовых интервалах. Заметим, что x= 3 და x = 7 - ამ გამოთქმის ფესვები. აქედან გამომდინარე, მთელი რიცხვითი წრფე გაიყოფა მათზეფესვები შემდეგ სამ ინტერვალში:

ინტერვალში მე(x < 3 ) ორივე ფაქტორი უარყოფითია, შესაბამისად, მათი მუშაობა დადებითად; ვინტერვალი II (3 < x< 7 ) პირველი მულტიპლიკატორი(x– 3 ) დადებითია, ხოლო მეორე ( x - 7) უარყოფითია, ამიტომ მათი მუშაობა უარყოფითი; ინტერვალშიIII(x> 7) ორივე ფაქტორი დადებითია, შესაბამისად, მათი მუშაობა ასევე დადებითად. ახლა რჩება მხოლოდ ის ინტერვალის არჩევა, რომელშიც ჩვენი პროდუქტია უარყოფითი. ეს არის ინტერვალიIIმაშასადამე, უტოლობის ამოხსნა: 3 < x< 7. ბოლო გამოთქმა- ე.წ ორმაგი უთანასწორობა. ეს იმას ნიშნავსx უნდა იყოს 3-ზე მეტი და 7-ზე ნაკლები.

მაგალითი ამოიღეთ შემდეგი უტოლობა ინტერვალის მეთოდით:

(x – 1)(x – 2)(x – 3) … (x –100) > 0 .

ამოხსნა უტოლობის მარცხენა მხარის ფესვები აშკარაა: 1, 2, 3, ..., 100.

ისინი ყოფენ რიცხვითი წრფეს 101 ინტერვალად:

რადგან მარცხენა მხარეს ფრჩხილების რაოდენობა თუნდაც(უდრის 100), შემდეგ

ზე x < 1, когда все множители отрицательны, их произведение

პოზიტიურად. ფესვის გავლისას ხდება ცვლილება

ნაწარმოების ნიშანი. ამიტომ, მომდევნო ინტერვალში, შიგნით

რომელი პროდუქტია დადებითი, იქნება (2, 3), შემდეგ (4, 5),

შემდეგ (6, 7), ... , (98, 99) და ბოლოს, x >100.

ამრიგად, ამ უთანასწორობას აქვს გამოსავალი:

x < 1, 2 < x < 3, 4 < x < 5 ,…, x >100.

ასე რომ, ალგებრული უტოლობის ამოხსნა, მე უნდა გადავიტანო ეს ყველაფერიწევრები მარცხნივ (ანმარჯვენა მხარე) და გადაჭრითშესაბამისი განტოლება.შემდეგ აღმოჩენილი ფესვების გამოსახვა რიცხვთა ღერძზე; შედეგად, იგი იყოფა გარკვეული რაოდენობის ინტერვალებად. ამოხსნის ბოლო ეტაპზე თქვენ უნდა დაადგინოთ რა ნიშანი აქვს მრავალწევრს თითოეული ამ ინტერვალის შიგნით და შეარჩიოთ საჭირო ინტერვალები ამოხსნილი უტოლობის ნიშნის შესაბამისად.

გაითვალისწინეთ, რომ ტრანსცენდენტული უტოლობების უმეტესობა დაყვანილია ალგებრულ უტოლობამდე უცნობის ჩანაცვლებით. ის უნდა გადაწყდეს ახალი უცნობის მიმართ და შემდეგ, საპირისპირო ჩანაცვლებით, იპოვონ გამოსავალი თავდაპირველი უტოლობისთვის.

უტოლობების სისტემები. უტოლობათა სისტემის ამოსახსნელად საჭიროა თითოეული მათგანის ამოხსნა და მათი ამონახსნების გაერთიანება. ეს კომბინაცია იწვევს ორი შესაძლო შემთხვევიდან ერთი: ან სისტემას აქვს გამოსავალი ან არა.

მაგალითი 1. ამოხსენით უტოლობათა სისტემა:

პირველი უტოლობის ამოხსნა:x < 4 ; а второго: x > 6.

ამრიგად, უთანასწორობის ამ სისტემას გამოსავალი არ აქვს.

(რატომ?)

მაგალითი 2. ამოხსენით უტოლობათა სისტემა:

ამოხსნა: პირველი უტოლობა, როგორც ადრე, იძლევა:x < 4; но решение

მეორე უტოლობა ამ მაგალითში:x > 1.

ამრიგად, უტოლობების სისტემის ამოხსნა: 1< x < 4.

საგანმანათლებლო დაწესებულება: მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება ლიცეუმი No1, კომსომოლსკი-ამური

ხელმძღვანელი: ბუდლიანსკაია ნატალია ლეონიდოვნა

თუ გსურთ მონაწილეობა მიიღოთ დიდი ცხოვრება, მაშინ შეავსეთ თავი მათემატიკით, სანამ შესაძლებლობა გაქვთ. შემდეგ ის დიდ დახმარებას გაგიწევთ თქვენს ყველა საქმეში. (M.I. კალინინი)

უტოლობის მარცხენა მხარის წარმოდგენა არაუარყოფითი ტერმინების ჯამის სახით (მარჯვენა მხარე არის 0) იდენტობების გამოყენებით.

მაგალითი 1. დაამტკიცეთ ეს ნებისმიერი xϵR

მტკიცებულება . 1 გზა.

მეთოდი 2.

კვადრატული ფუნქციისთვის

რაც ნიშნავს მის პოზიტიურობას ნებისმიერი რეალურისთვის X.

მაგალითი 2. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი x და y

მტკიცებულება.

მაგალითი 3. დაამტკიცე რომ

მტკიცებულება.

მაგალითი 4. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი a და b

მტკიცებულება.

2. საპირისპირო მეთოდი

აქ მოცემულია ამ მეთოდის გამოყენების კარგი მაგალითი.

დაამტკიცეთ, რომ a, b ϵ R.

მტკიცებულება.

დავუშვათ, რომ.

მაგრამ ეს აშკარად ადასტურებს, რომ ჩვენი ვარაუდი არასწორია.

C.T.D.

მაგალითი 5.დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი რიცხვისთვის A, B, C შემდეგი უტოლობა მართალია:

მტკიცებულება.ცხადია, საკმარისია ამ უთანასწორობის დადგენა არაუარყოფითისთვის A, Bდა თან,რადგან ჩვენ გვექნება შემდეგი ურთიერთობა:

, რაც არის თავდაპირველი უთანასწორობის დასაბუთება .

ახლა მოდით იყოს ასეთი არაუარყოფითი რიცხვები A, Bდა თან, რისთვისაც უთანასწორობა მოქმედებს

, რაც შეუძლებელია ნებისმიერი რეალურის პირობებში A, Bდა თან. ზემოაღნიშნული ვარაუდი უარყოფილია, რაც დასტურდება შესწავლილი ორიგინალური უთანასწორობით.

კვადრატული ტრინომის თვისებების გამოყენება

მეთოდი ეფუძნება კვადრატული ტრინომის არანეგატიურობის თვისებას, თუ

და.

მაგალითი 6. დაამტკიცე რომ

მტკიცებულება.

დაე a=2, 2>0

=>

მაგალითი 7. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი რეალური x და y უტოლობა მოქმედებს

მტკიცებულება. განვიხილოთ უტოლობის მარცხენა მხარე, როგორც კვადრატული ტრინომი X:

, a>0, დ

D= => P(x)>0და

მართალია ნებისმიერი რეალური ღირებულებისთვის Xდა u.

მაგალითი 8. დაამტკიცე რომ

x და y-ის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობებისთვის.

მტკიცებულება. დაე ,

ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი რეალური ზედა უთანასწორობა

კმაყოფილია ნებისმიერი რეალური Xდა u.

ახალი ცვლადების შემოღების მეთოდი ან ჩანაცვლების მეთოდი

მაგალითი 9. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვისთვის x, y, z

მტკიცებულება. მოდით გამოვიყენოთ სწორი უტოლობა,

.

ჩვენ ვიღებთ შესასწავლ უთანასწორობას

ფუნქციის თვისებების გამოყენება.

მაგალითი 10. დავამტკიცოთ უთანასწორობა

ნებისმიერი a და b-სთვის.

მტკიცებულება. განვიხილოთ 2 შემთხვევა:

• თუ a=b მაშინ მართალია

უფრო მეტიც, თანასწორობა მიიღწევა მხოლოდ მაშინ, როდესაც a=b=0.

2) თუ

, R =>-ზე

()* ()>0, რაც ადასტურებს უტოლობას

მაგალითი 11. მოდით დავამტკიცოთ ეს ნებისმიერისთვის

მტკიცებულება.

რ.

თუ, მაშინ რიცხვების ნიშნები ემთხვევა, რაც ნიშნავს, რომ შესწავლილი სხვაობა დადებითია =>

მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის გამოყენება

ეს მეთოდი გამოიყენება ნატურალური რიცხვების უტოლობების დასამტკიცებლად.

მაგალითი 12. დაამტკიცეთ ეს ნებისმიერი nϵN-ისთვის

• შევამოწმოთ განცხადების სიმართლე როდის

- (მარჯვნივ)

2) ვივარაუდოთ განცხადების ჭეშმარიტება როცა

(k>1)

3) დავამტკიცოთ დებულების ჭეშმარიტება, როცა n=k+1.

შევადაროთ და:

ჩვენ გვაქვს:

დასკვნა: განცხადება მართალია ვინმესთვის nϵN.

შესამჩნევი უტოლობების გამოყენება

• თეორემა საშუალოზე (კოშის უტოლობა)

• კოში-ბუნიაკოვსკის უთანასწორობა

• ბერნულის უტოლობა

განვიხილოთ თითოეული ჩამოთვლილი უტოლობა ცალ-ცალკე.

საშუალო მნიშვნელობის თეორემის გამოყენება (კოშის უტოლობა)

რამდენიმე არაუარყოფითი რიცხვის საშუალო არითმეტიკული რიცხვი მეტია ან ტოლია მათ გეომეტრიულ საშუალოზე

, სად

ტოლობის ნიშანი მიიღწევა თუ და მხოლოდ მაშინ

განვიხილოთ ამ თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევები:

• მოდით n=2, მაშინ

• მოდით n=2, a>0, მაშინ

• მოდით n=3, მაშინ

მაგალითი 13. დაამტკიცეთ, რომ ყველა არაუარყოფით a,b,c-ს უტოლობა ძალაშია

მტკიცებულება.

კოში-ბუნიაკოვსკის უთანასწორობა

კოში-ბუნიაკოვსკის უთანასწორობა აცხადებს, რომ ნებისმიერისთვის; თანაფარდობა მოქმედებს

დადასტურებულ უტოლობას აქვს გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. n=2,3-ისთვის იგი გამოხატავს ცნობილ ფაქტს, რომ სიბრტყეზე და სივრცეში ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არ აღემატება მათი სიგრძის ნამრავლს. n=2-ისთვის უტოლობას აქვს ფორმა: . n=3-ისთვის ვიღებთ

მაგალითი 14.

მტკიცებულება. მოდით დავწეროთ შესასწავლი უტოლობა შემდეგი ფორმით:

ეს აშკარად ჭეშმარიტი უთანასწორობაა, რადგან ეს არის კოში-ბუნიაკოვსკის უთანასწორობის განსაკუთრებული შემთხვევა.

მაგალითი 15. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი a,b,c ϵ R არის შემდეგი უტოლობა:

მტკიცებულება. საკმარისია ამ უტოლობის ჩაწერა ფორმაში

და მიუთითეთ კოში-ბუნიაკოვსკის უთანასწორობა.

ბერნულის უტოლობა

ბერნულის უტოლობა ამბობს, რომ თუ x>-1, მაშინ n-ის ყველა ბუნებრივი მნიშვნელობისთვის მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

უტოლობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფორმის გამოსახატავად

გარდა ამისა, უტოლობების ძალიან დიდი ჯგუფი შეიძლება ადვილად დადასტურდეს ბერნულის თეორემის გამოყენებით.

მაგალითი 16.

მტკიცებულება. აყენებს x=0.5 დაბერნულის თეორემის გამოყენება გამოსახატავად

ჩვენ ვიღებთ საჭირო უტოლობას.

მაგალითი 17. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი n ϵ N

მტკიცებულება.

ბერნულის თეორემით, როგორც საჭიროა.

დევიდ გილბერტს ჰკითხეს მისი ერთ-ერთის შესახებ ყოფილი სტუდენტები. "ოჰ, ასე და ასე?" იხსენებს: "მას ძალიან ცოტა ფანტაზია ჰქონდა მათემატიკისთვის.