რაოდენობა არის სკალარული და არა ვექტორული. ვექტორული და სკალარული რაოდენობა - როგორ განსხვავდებიან ისინი

ვექტორი ჩვეულებრივ გაგებულია, როგორც სიდიდე, რომელსაც აქვს 2 ძირითადი მახასიათებელი:

1. მოდული;
2. მიმართულება.

ამრიგად, ორი ვექტორი ითვლება ტოლად, თუ მოდულები, ისევე როგორც ორივეს მიმართულებები ემთხვევა. განსახილველი მნიშვნელობა ყველაზე ხშირად იწერება ასოს სახით, რომელზეც ზემოთ არის დახატული ისარი.

შესაბამისი ტიპის ყველაზე გავრცელებულ რაოდენობებს შორის არის სიჩქარე, ძალა და ასევე, მაგალითად, აჩქარება.

თან გეომეტრიული წერტილიხედვის თვალსაზრისით, ვექტორი შეიძლება იყოს მიმართული სეგმენტი, რომლის სიგრძე კორელაციაშია მის მოდულთან.

თუ გავითვალისწინებთ ვექტორული რაოდენობამიმართულების გარდა, პრინციპში შესაძლებელია მისი გაზომვა. მართალია, ეს ასე თუ ისე იქნება შესაბამისი რაოდენობის ნაწილობრივი მახასიათებელი. სრული - მიიღწევა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ იგი დამატებულია მიმართულების სეგმენტის პარამეტრებით.

რა არის სკალარული რაოდენობა?

სკალარში ჩვეულებრივ ვგულისხმობთ რაოდენობას, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი მახასიათებელი, კერძოდ, რიცხვითი მნიშვნელობა. ამ შემთხვევაში, განხილულმა მნიშვნელობამ შეიძლება მიიღოს დადებითი ან უარყოფითი მნიშვნელობა.

საერთო სკალარული სიდიდეები მოიცავს მასას, სიხშირეს, ძაბვას და ტემპერატურას. მათთან ერთად შესაძლებელია სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებების შესრულება - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა.

მიმართულება (როგორც მახასიათებელი) არ არის დამახასიათებელი სკალარული სიდიდეებისთვის.

შედარება

მთავარი განსხვავება ვექტორულ რაოდენობასა და სკალარულ რაოდენობას შორის არის ის, რომ პირველს აქვს ძირითადი მახასიათებლები - სიდიდე და მიმართულება, ხოლო მეორეს აქვს რიცხვითი მნიშვნელობა. აღსანიშნავია, რომ ვექტორული რაოდენობა, ისევე როგორც სკალარული რაოდენობა, პრინციპში შეიძლება გაიზომოს, თუმცა, ამ შემთხვევაში მისი მახასიათებლები მხოლოდ ნაწილობრივ განისაზღვრება, რადგან იქნება მიმართულების ნაკლებობა.

იმის დადგენის შემდეგ, თუ რა განსხვავებაა ვექტორსა და სკალარულ რაოდენობას შორის, ჩვენ გამოვყოფთ დასკვნებს პატარა ცხრილში.

ორი სიტყვა, რომელიც აშინებს სკოლის მოსწავლეებს - ვექტორი და სკალარი - სინამდვილეში არ არის საშინელი. თუ თემას ინტერესით მიუდგები, მაშინ ყველაფრის გაგება შეიძლება. ამ სტატიაში განვიხილავთ, რომელი რაოდენობა არის ვექტორული და რომელი სკალარული. უფრო ზუსტად, ჩვენ მოვიყვანთ მაგალითებს. ყველა სტუდენტმა ალბათ შენიშნა, რომ ფიზიკაში ზოგიერთი სიდიდე აღინიშნება არა მხოლოდ სიმბოლოთი, არამედ ისრითაც ზევით. Რას გულისხმობენ? ეს ქვემოთ იქნება განხილული. შევეცადოთ გაერკვნენ, თუ რით განსხვავდება იგი სკალარულისგან.

ვექტორების მაგალითები. როგორ არის დანიშნული?

რა იგულისხმება ვექტორში? რაც ახასიათებს მოძრაობას. არ აქვს მნიშვნელობა კოსმოსში თუ თვითმფრინავში. რა სიდიდეა ზოგადად ვექტორული სიდიდე? მაგალითად, თვითმფრინავი დაფრინავს გარკვეული სიჩქარით გარკვეულ სიმაღლეზე, აქვს კონკრეტული მასა და დაიწყო მოძრაობა აეროპორტიდან საჭირო აჩქარებით. როგორია თვითმფრინავის მოძრაობა? რამ აიძულა ის გაფრინდეს? რა თქმა უნდა, აჩქარება, სიჩქარე. ვექტორული სიდიდეები ფიზიკის კურსიდან არის ნათელი მაგალითები. პირდაპირ რომ ვთქვათ, ვექტორული სიდიდე ასოცირდება მოძრაობასთან, გადაადგილებასთან.

წყალიც გარკვეული სიჩქარით მოძრაობს მთის სიმაღლიდან. ხედავ? მოძრაობა ხორციელდება არა მოცულობით ან მასით, არამედ სიჩქარით. ჩოგბურთელი საშუალებას აძლევს ბურთს გადაადგილდეს რაკეტის დახმარებით. ის ადგენს აჩქარებას. სხვათა შორის, ამ შემთხვევაში გამოყენებული ძალაც არის ვექტორული სიდიდე. რადგან იგი მიღებულია მოცემული სიჩქარისა და აჩქარების შედეგად. ძალა ასევე შეიძლება შეიცვალოს, ვარჯიში კონკრეტული ქმედებები. მაგალითად შეიძლება ჩაითვალოს ქარი, რომელიც ხეებზე ფოთლებს აძრობებს. რადგან არის სიჩქარე.

დადებითი და უარყოფითი რაოდენობა

ვექტორული სიდიდე არის სიდიდე, რომელსაც აქვს მიმართულება მიმდებარე სივრცეში და სიდიდე. საშინელი სიტყვა კვლავ გამოჩნდა, ამჯერად მოდული. წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ უნდა გადაჭრათ პრობლემა, სადაც დაფიქსირდება აჩქარების უარყოფითი მნიშვნელობა. Ბუნებაში უარყოფითი მნიშვნელობებიროგორც ჩანს, არ არსებობს. როგორ შეიძლება სიჩქარე იყოს უარყოფითი?

ვექტორს აქვს ასეთი კონცეფცია. ეს ეხება, მაგალითად, ძალებს, რომლებიც ვრცელდება სხეულზე, მაგრამ აქვთ სხვადასხვა მიმართულება. გაიხსენეთ მესამე, სადაც მოქმედება უდრის რეაქციას. ბიჭები ჭიშკარს თამაშობენ. ერთ გუნდს ლურჯი მაისურები აცვია, მეორე გუნდს ყვითელი მაისურები. ეს უკანასკნელი უფრო ძლიერი აღმოჩნდება. დავუშვათ, რომ მათი ძალის ვექტორი დადებითად არის მიმართული. ამავდროულად, პირველები თოკს ვერ ჭიმობენ, მაგრამ ცდილობენ. ჩნდება მოწინააღმდეგე ძალა.

ვექტორული თუ სკალარული რაოდენობა?

მოდით ვისაუბროთ იმაზე, თუ როგორ განსხვავდება ვექტორული სიდიდე სკალარული სიდიდისგან. რომელ პარამეტრს არ აქვს მიმართულება, მაგრამ აქვს თავისი მნიშვნელობა? მოდით ჩამოვთვალოთ რამდენიმე სკალარული რაოდენობა ქვემოთ:

ყველას აქვს მიმართულება? არა. რომელი სიდიდე არის ვექტორული და რომელი სკალარული, მხოლოდ ვიზუალური მაგალითებით არის ნაჩვენები. ფიზიკაში ასეთი ცნებები არსებობს არა მხოლოდ განყოფილებაში "მექანიკა, დინამიკა და კინემატიკა", არამედ პუნქტში "ელექტროენერგია და მაგნეტიზმი". ლორენცის ძალა ასევე არის ვექტორული სიდიდე.

ვექტორი და სკალარი ფორმულებში

ფიზიკის სახელმძღვანელოები ხშირად შეიცავს ფორმულებს, რომლებსაც ზედა ისარი აქვს. გაიხსენეთ ნიუტონის მეორე კანონი. ძალა („F“ ისარი ზევით) უდრის მასის („მ“) და აჩქარების ნამრავლს („ა“ ისრით თავზე). როგორც ზემოთ აღინიშნა, ძალა და აჩქარება ვექტორული სიდიდეებია, მაგრამ მასა სკალარულია.

სამწუხაროდ, ყველა პუბლიკაციას არ აქვს ამ რაოდენობის აღნიშვნა. ეს გაკეთდა ალბათ იმისთვის, რომ გამარტივებულიყო, რომ სკოლის მოსწავლეები შეცდომაში არ შეიყვანონ. უმჯობესია შეიძინოთ ის წიგნები და საცნობარო წიგნები, რომლებიც მიუთითებენ ვექტორებს ფორმულებში.

ილუსტრაცია აჩვენებს, რომელი რაოდენობაა ვექტორული. ფიზიკის გაკვეთილებზე მიზანშეწონილია ყურადღება მიაქციოთ სურათებს და დიაგრამებს. ვექტორულ სიდიდეებს აქვთ მიმართულება. სად არის მიმართული, რა თქმა უნდა, ქვემოთ. ეს ნიშნავს, რომ ისარი ნაჩვენები იქნება იმავე მიმართულებით.

ფიზიკას სიღრმისეულად სწავლობენ ტექნიკურ უნივერსიტეტებში. ბევრ დისციპლინაში მასწავლებლები საუბრობენ იმაზე, თუ რა სიდიდეებია სკალარული და ვექტორული. ასეთი ცოდნა საჭიროა შემდეგ მიმართულებებში: მშენებლობა, ტრანსპორტი, საბუნებისმეტყველო მეცნიერებები.

სიდიდეებს ეწოდება სკალარული (სკალარები), თუ საზომი ერთეულის არჩევის შემდეგ ისინი მთლიანად ხასიათდება ერთი რიცხვით. სკალარული სიდიდეების მაგალითებია კუთხე, ზედაპირი, მოცულობა, მასა, სიმკვრივე, ელექტრული მუხტი, წინააღმდეგობა, ტემპერატურა.

აუცილებელია განასხვავოთ სკალარული სიდიდეების ორი ტიპი: სუფთა სკალარი და ფსევდოსკალარი.

3.1.1. სუფთა სკალარები.

სუფთა სკალარები მთლიანად განისაზღვრება ერთი რიცხვით, საცნობარო ღერძების არჩევისგან დამოუკიდებლად. სუფთა სკალარების მაგალითებია ტემპერატურა და მასა.

3.1.2. ფსევდოსკალარები.

სუფთა სკალარების მსგავსად, ფსევდოსკალარები განისაზღვრება ერთი რიცხვის გამოყენებით, აბსოლუტური მნიშვნელობარომელიც არ არის დამოკიდებული საცნობარო ღერძების არჩევანზე. თუმცა, ამ რიცხვის ნიშანი დამოკიდებულია კოორდინატთა ღერძებზე დადებითი მიმართულებების არჩევაზე.

განვიხილოთ, მაგალითად, კუბოიდური, რომლის კიდეების პროექცია მართკუთხა კოორდინატთა ღერძებზე შესაბამისად ტოლია ამ პარალელეპიპედის მოცულობა განმსაზღვრელი

რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული მართკუთხა კოორდინატთა ღერძების არჩევანზე. თუმცა, თუ თქვენ შეცვლით დადებით მიმართულებას ერთ-ერთ კოორდინატთა ღერძზე, განმსაზღვრელი შეიცვლის ნიშანს. მოცულობა არის ფსევდოსკალარი. კუთხე, ფართობი და ზედაპირი ასევე ფსევდოსკალარია. ქვემოთ (სექცია 5.1.8) დავინახავთ, რომ ფსევდოსკალარი რეალურად არის სპეციალური ტიპის ტენსორი.

ვექტორული რაოდენობები

3.1.3. ღერძი.

ღერძი არის უსასრულო სწორი ხაზი, რომელზეც არჩეულია დადებითი მიმართულება. მოდით ასეთი სწორი ხაზი და მიმართულება

დადებითად ითვლება. განვიხილოთ სეგმენტი ამ წრფეზე და დავუშვათ, რომ სიგრძის საზომი რიცხვი უდრის a-ს (ნახ. 3.1). მაშინ სეგმენტის ალგებრული სიგრძე უდრის a-ს, სეგმენტის ალგებრული სიგრძე უდრის - a.

თუ ავიღებთ რამდენიმე პარალელურ ხაზს, მაშინ, როდესაც ერთ-ერთ მათგანზე დადებითი მიმართულება დავადგინეთ, ამით განვსაზღვრავთ მას დანარჩენზე. სიტუაცია განსხვავებულია, თუ ხაზები არ არის პარალელური; მაშინ საჭიროა კონკრეტულად შეთანხმდეთ თითოეული სწორი ხაზისთვის დადებითი მიმართულების არჩევაზე.

3.1.4. ბრუნვის მიმართულება.

დაუშვით ღერძი. ღერძის გარშემო ბრუნვას დავარქმევთ დადებითს ან პირდაპირს, თუ იგი ხორციელდება ღერძის დადებითი მიმართულებით მდგომი დამკვირვებლისთვის, მარჯვნივ და მარცხნივ (ნახ. 3.2). IN წინააღმდეგ შემთხვევაშიმას ნეგატიური ან ინვერსიული ეწოდება.

3.1.5. პირდაპირი და შებრუნებული ტრიედრები.

დაე ეს იყოს რაღაც სამკუთხა (მართკუთხა ან არამართკუთხა). დადებითი მიმართულებები შეირჩევა ღერძებზე შესაბამისად O-დან x-მდე, O-დან y-მდე და O-დან z-მდე.

ფიზიკაში არსებობს სიდიდეების რამდენიმე კატეგორია: ვექტორული და სკალარული.

რა არის ვექტორული რაოდენობა?

ვექტორულ რაოდენობას აქვს ორი ძირითადი მახასიათებელი: მიმართულება და მოდული. ორი ვექტორი ერთნაირი იქნება, თუ მათი აბსოლუტური მნიშვნელობა და მიმართულება იგივეა. ვექტორული სიდიდის აღსანიშნავად ყველაზე ხშირად გამოიყენება ასოები მათ ზემოთ ისრებით. ვექტორული სიდიდის მაგალითია ძალა, სიჩქარე ან აჩქარება.

იმისათვის, რომ გავიგოთ ვექტორული სიდიდის არსი, უნდა განვიხილოთ იგი გეომეტრიული თვალსაზრისით. ვექტორი არის ხაზის სეგმენტი, რომელსაც აქვს მიმართულება. ასეთი სეგმენტის სიგრძე კორელაციაშია მისი მოდულის მნიშვნელობასთან. ფიზიკური მაგალითივექტორული რაოდენობა არის გადაადგილება მატერიალური წერტილი, სივრცეში მოძრაობს. პარამეტრები, როგორიცაა ამ წერტილის აჩქარება, სიჩქარე და მასზე მოქმედი ძალები, ელექტრომაგნიტური ველიასევე ნაჩვენები იქნება ვექტორული რაოდენობით.

თუ განვიხილავთ ვექტორულ რაოდენობას მიმართულების მიუხედავად, მაშინ ასეთი სეგმენტი შეიძლება გავზომოთ. მაგრამ შედეგად მიღებული შედეგი ასახავს რაოდენობის მხოლოდ ნაწილობრივ მახასიათებლებს. Მისთვის სრული გაზომვამნიშვნელობა უნდა დაემატოს მიმართულების სეგმენტის სხვა პარამეტრებს.

ვექტორულ ალგებრაში არის ცნება ნულოვანი ვექტორი. ეს კონცეფცია ნიშნავს წერტილს. რაც შეეხება ნულოვანი ვექტორის მიმართულებას, ის გაურკვეველად ითვლება. ნულოვანი ვექტორის აღსანიშნავად გამოიყენება არითმეტიკული ნული, აკრეფილი თამამად.

თუ გავაანალიზებთ ყოველივე ზემოთქმულს, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ყველა მიმართული სეგმენტი განსაზღვრავს ვექტორებს. ორი სეგმენტი განსაზღვრავს ერთ ვექტორს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი ტოლია. ვექტორების შედარებისას მოქმედებს იგივე წესი, რაც სკალარული სიდიდეების შედარებისას. თანასწორობა ნიშნავს სრულ შეთანხმებას ყველა ასპექტში.

რა არის სკალარული რაოდენობა?

ვექტორისგან განსხვავებით, სკალარული რაოდენობააქვს მხოლოდ ერთი პარამეტრი - ეს მისი რიცხვითი მნიშვნელობა. აღსანიშნავია, რომ გაანალიზებულ მნიშვნელობას შეიძლება ჰქონდეს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვითი მნიშვნელობა.

მაგალითები მოიცავს მასას, ძაბვას, სიხშირეს ან ტემპერატურას. ასეთი ღირებულებებით შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა არითმეტიკული მოქმედებები: შეკრება, გაყოფა, გამოკლება, გამრავლება. სკალარული რაოდენობას არ აქვს ისეთი მახასიათებელი, როგორიც მიმართულებაა.

სკალარული რაოდენობა იზომება რიცხვითი მნიშვნელობა, ასე რომ შეიძლება იყოს ნაჩვენები კოორდინატთა ღერძი. მაგალითად, ძალიან ხშირად აგებულია გავლილი მანძილის, ტემპერატურის ან დროის ღერძი.

ძირითადი განსხვავებები სკალარულ და ვექტორულ რაოდენობებს შორის

ზემოთ მოცემული აღწერებიდან ირკვევა, რომ ძირითადი განსხვავება ვექტორულ სიდიდეებსა და სკალარ სიდიდეებს შორის არის მათი მახასიათებლები. ვექტორულ სიდიდეს აქვს მიმართულება და სიდიდე, ხოლო სკალარულ რაოდენობას აქვს მხოლოდ რიცხვითი მნიშვნელობა. რა თქმა უნდა, ვექტორული სიდიდე, ისევე როგორც სკალარული რაოდენობა, შეიძლება გაიზომოს, მაგრამ ასეთი მახასიათებელი არ იქნება სრული, რადგან არ არსებობს მიმართულება.

იმისათვის, რომ უფრო ნათლად წარმოვიდგინოთ განსხვავება სკალარულ რაოდენობასა და ვექტორულ რაოდენობას შორის, მაგალითი უნდა იყოს მოყვანილი. ამისათვის ავიღოთ ცოდნის ისეთი სფერო, როგორიცაა კლიმატოლოგია. თუ ვიტყვით, რომ ქარი უბერავს წამში 8 მეტრი სიჩქარით, მაშინ დაინერგება სკალარული სიდიდე. მაგრამ თუ ვიტყვით, რომ ჩრდილოეთის ქარი წამში 8 მეტრი სიჩქარით უბერავს, მაშინ ჩვენ ვისაუბრებთვექტორის მნიშვნელობის შესახებ.

ვექტორები დიდ როლს თამაშობენ თანამედროვე მათემატიკა, ისევე როგორც მექანიკისა და ფიზიკის ბევრ სფეროში. უმრავლესობა ფიზიკური რაოდენობითშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ვექტორების სახით. ეს საშუალებას გვაძლევს განვაზოგადოთ და მნიშვნელოვნად გავამარტივოთ გამოყენებული ფორმულები და შედეგები. ხშირად ვექტორული მნიშვნელობები და ვექტორები იდენტიფიცირებულია ერთმანეთთან. მაგალითად, ფიზიკაში შეიძლება გაიგოთ, რომ სიჩქარე ან ძალა არის ვექტორი.

 ვექტორი- სუფთა მათემატიკური კონცეფცია, რომელიც გამოიყენება მხოლოდ ფიზიკაში ან სხვა გამოყენებითი მეცნიერებებიდა რომელიც საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ ზოგიერთი რთული პრობლემის გადაწყვეტა.
 ვექტორი− მიმართული სწორი სეგმენტი.
  მე ვიცი ელემენტარული ფიზიკაჩვენ უნდა ვიმოქმედოთ ორი კატეგორიის რაოდენობით − სკალარული და ვექტორული.
 Სკალარულირაოდენობა (სკალარები) არის სიდიდეები, რომლებიც ხასიათდება რიცხვითი მნიშვნელობითა და ნიშნით. სკალარები სიგრძეა − ლ, მასა − მ, ბილიკი − ს, დრო − ტ, ტემპერატურა − თ, ელექტრული მუხტი − ქ, ენერგია − ვ, კოორდინატები და ა.შ.
  ყველაფერი ვრცელდება სკალარული რაოდენობით ალგებრული ოპერაციები(შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და ა.შ.).

 მაგალითი 1.
  განსაზღვრეთ სისტემის მთლიანი მუხტი, რომელიც შედგება მასში შემავალი მუხტებისაგან, თუ q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
სისტემის სრული დატენვა
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.

 მაგალითი 2.
  ამისთვის კვადრატული განტოლებაკეთილი
ცული 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 ვექტორისიდიდეები (ვექტორები) არის სიდიდეები, რომელთა დასადგენად აუცილებელია რიცხვითი მნიშვნელობის გარდა, მიმართულების მითითება. ვექტორები − სიჩქარე ვ, ძალა ფ, იმპულსი გვ, დაძაბულობა ელექტრული ველი ე, მაგნიტური ინდუქცია ბდა ა.შ.
  ვექტორის რიცხვითი მნიშვნელობა (მოდული) აღინიშნება ასოთი ვექტორის სიმბოლოს გარეშე ან ვექტორი ჩასმულია ვერტიკალურ ზოლებს შორის. r = |r|.
  გრაფიკულად, ვექტორი წარმოდგენილია ისრით (ნახ. 1),

რომლის სიგრძე მოცემულ შკალაზე უდრის მის სიდიდეს და მიმართულება ემთხვევა ვექტორის მიმართულებას.
ორი ვექტორი ტოლია, თუ მათი სიდიდეები და მიმართულებები ერთმანეთს ემთხვევა.
  ვექტორული სიდიდეები ემატება გეომეტრიულად (ვექტორული ალგებრის წესის მიხედვით).
  მოცემული კომპონენტის ვექტორებიდან ვექტორული ჯამის პოვნას ვექტორული შეკრება ეწოდება.
  ორი ვექტორის დამატება ხორციელდება პარალელოგრამის ან სამკუთხედის წესის მიხედვით. ჯამის ვექტორი
c = a + b
ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის დიაგონალის ტოლია ადა ბ. მოდული
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (ნახ. 2).


α = 90°-ზე c = √(a 2 + b 2 ) არის პითაგორას თეორემა.

იგივე ვექტორი c შეიძლება მივიღოთ სამკუთხედის წესის გამოყენებით, თუ ვექტორის ბოლოდან აგანზე გადადებული ვექტორი ბ. მიმავალი ვექტორი c (ვექტორის დასაწყისის დამაკავშირებელი ადა ვექტორის დასასრული ბ) არის ტერმინების ვექტორული ჯამი (კომპონენტის ვექტორები ადა ბ).
  შედეგად მიღებული ვექტორი გვხვდება გატეხილი ხაზის უკანა ხაზის სახით, რომლის რგოლი არის კომპონენტის ვექტორები (ნახ. 3).


 მაგალითი 3.
  დაამატეთ ორი ძალა F 1 = 3 N და F 2 = 4 N, ვექტორები F 1და F 2შექმენით კუთხეები α 1 = 10° და α 2 = 40° ჰორიზონტთან, შესაბამისად
 F = F 1 + F 2(ნახ. 4).

  ამ ორი ძალის მიმატების შედეგი არის ძალა, რომელსაც ეწოდება შედეგი. ვექტორი ფმიმართულია ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის დიაგონალის გასწვრივ F 1და F 2, ორივე მხარეს და ტოლია მისი სიგრძის მოდულით.
  ვექტორული მოდული ფიპოვეთ კოსინუსების თეორემით
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
თუ
(α 2 − α 1) = 90°, შემდეგ F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

კუთხე, რომელიც არის ვექტორი ფუდრის Ox ღერძს, მას ვპოულობთ ფორმულის გამოყენებით
α = არქტანი((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = არქტანი((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = არქტანი0.51, α ≈ 0.47 რად.

ვექტორის a პროექცია Ox (Oy) ღერძზე არის სკალარული სიდიდე, რომელიც დამოკიდებულია α კუთხეზე ვექტორის მიმართულებას შორის. ადა Ox (Oy) ღერძი. (ნახ. 5)


  ვექტორული პროგნოზები ა Ox და Oy ღერძზე მართკუთხა სისტემაკოორდინატები (ნახ. 6)


  ღერძზე ვექტორული პროექციის ნიშნის განსაზღვრისას შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, სასარგებლოა გახსოვდეთ შემდეგი წესი: თუ კომპონენტის მიმართულება ემთხვევა ღერძის მიმართულებას, მაშინ ვექტორის პროექცია ამ ღერძზე დადებითია, მაგრამ თუ კომპონენტის მიმართულება ღერძის მიმართულების საპირისპიროა, მაშინ ვექტორის პროექცია არის უარყოფითი. (ნახ. 7)


  ვექტორების გამოკლება არის დამატება, რომლის დროსაც ვექტორი ემატება პირველ ვექტორს, რიცხობრივად მეორეს ტოლი, საპირისპირო მიმართულებით.
a − b = a + (−b) = d(ნახ. 8).

  დაე საჭირო იყოს ვექტორიდან აგამოვაკლოთ ვექტორი ბ, მათი განსხვავება − დ. ორი ვექტორის სხვაობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გადახვიდეთ ვექტორზე ადაამატეთ ვექტორი ( −ბ), ანუ ვექტორი d = a − bიქნება ვექტორის დასაწყისიდან მიმართული ვექტორი ავექტორის ბოლომდე ( −ბ) (სურ. 9).

  ვექტორებზე აგებულ პარალელოგრამაში ადა ბორივე მხარე, ერთი დიაგონალი გაქვს ჯამის მნიშვნელობა და სხვა დ− ვექტორული განსხვავებები ადა ბ(ნახ. 9).
  ვექტორის პროდუქტი ასკალარულით k უდრის ვექტორს ბ= კ ა, რომლის მოდული k-ჯერ მეტია ვექტორის მოდულზე ადა მიმართულება ემთხვევა მიმართულებას ადადებითი k-სთვის და საპირისპირო უარყოფითი k-სთვის.

 მაგალითი 4.
  განსაზღვრეთ სხეულის იმპულსი, რომლის წონაა 2 კგ, რომელიც მოძრაობს 5 მ/წმ სიჩქარით. (ნახ. 10)

სხეულის იმპულსი გვ= მ ვ; p = 2 კგ.მ/წ = 10 კგ.მ/წმ და მიმართულია სიჩქარისკენ ვ.

 მაგალითი 5.
  მუხტი q = −7,5 nC მოთავსებულია E = 400 ვ/მ სიძლიერის ელექტრულ ველში. იპოვეთ მუხტზე მოქმედი ძალის სიდიდე და მიმართულება.

ძალა არის ფ= q ე. ვინაიდან მუხტი უარყოფითია, ძალის ვექტორი მიმართულია ვექტორის საწინააღმდეგო მიმართულებით ე. (ნახ. 11)


 განყოფილებავექტორი ასკალარულით k უდრის გამრავლებას ა 1/კ-ით.
 წერტილოვანი პროდუქტივექტორები ადა ბუწოდა სკალარი "c", პროდუქტის ტოლიამ ვექტორების მოდულები მათ შორის კუთხის კოსინუსის მიხედვით
(ა.ბ) = (ბ.ა) = გ,
с = ab.cosα (სურ. 12)


 მაგალითი 6.
  იპოვეთ F = 20 N მუდმივი ძალის მიერ შესრულებული სამუშაო, თუ გადაადგილება არის S = 7,5 მ, და კუთხე α ძალასა და გადაადგილებას შორის არის α = 120°.

ძალით შესრულებული სამუშაო განსაზღვრებით თანაბარია სკალარული პროდუქტიძალები და მოძრაობები
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 მ × cos120° = −150 × 1/2 = −75 ჯ.

 ვექტორული ნამუშევარივექტორები ადა ბვექტორად წოდებული გრიცხობრივად ტოლია a და b ვექტორების აბსოლუტური მნიშვნელობების ნამრავლის გამრავლებული მათ შორის კუთხის სინუსზე:
c = a × b = ,
с = ab × sinα.
  ვექტორი გპერპენდიკულარული სიბრტყის, რომელშიც ვექტორები დევს ადა ბდა მისი მიმართულება დაკავშირებულია ვექტორების მიმართულებასთან ადა ბმარჯვენა ხრახნიანი წესი (სურ. 13).


 მაგალითი 7.
  დაადგინეთ ძალა, რომელიც მოქმედებს 0,2 მ სიგრძის გამტარზე, რომელიც მოთავსებულია მაგნიტურ ველში, რომლის ინდუქცია არის 5 ტ, თუ დირიჟორში დენი არის 10 A და ის ქმნის კუთხეს α = 30° ველის მიმართულებით. .

ამპერის სიმძლავრე
dF = I = Idl × B ან F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 მ × 1/2 = 5 ნ.

 იფიქრეთ პრობლემის გადაჭრაზე.
  1. როგორ არის მიმართული ორი ვექტორი, რომელთა მოდულები იდენტური და ტოლია a-ს, თუ მათი ჯამის მოდული უდრის: ა) 0-ს; ბ) 2ა; გ) ა; დ) a√(2); ე) a√(3)?

 გამოსავალი.
  ა) ორი ვექტორი მიმართულია ერთი სწორი ხაზის გასწვრივ მოპირდაპირე მხარეები. ამ ვექტორების ჯამი არის ნული.

  ბ) ორი ვექტორი მიმართულია ერთი სწორი ხაზის გასწვრივ იმავე მიმართულებით. ამ ვექტორების ჯამი არის 2a.

  გ) ორი ვექტორი მიმართულია ერთმანეთის მიმართ 120° კუთხით. ვექტორების ჯამი არის a. მიღებული ვექტორი ნაპოვნია კოსინუსების თეორემის გამოყენებით:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2,
cosα = −1/2 და α = 120°.
  დ) ორი ვექტორი მიმართულია ერთმანეთის მიმართ 90°-იანი კუთხით. ჯამის მოდული ტოლია
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2,
cosα = 0 და α = 90°.

  ე) ორი ვექტორი მიმართულია ერთმანეთის მიმართ 60° კუთხით. ჯამის მოდული ტოლია
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2,
cosα = 1/2 და α = 60°.
 უპასუხე: კუთხე α ვექტორებს შორის უდრის: ა) 180°; ბ) 0; გ) 120°; დ) 90°; ე) 60°.

2. თუ a = a 1 + a 2ვექტორების ორიენტაცია, რა შეიძლება ითქვას ვექტორების ურთიერთორიენტაციაზე a 1და a 2, თუ: ა) a = a 1 + a 2; ბ) a 2 = a 1 2 + a 2 2; გ) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?

 გამოსავალი.
  ა) თუ ვექტორების ჯამი აღმოჩნდება ამ ვექტორების მოდულების ჯამად, მაშინ ვექტორები მიმართულია ერთი სწორი ხაზის გასწვრივ, ერთმანეთის პარალელურად. a 1 ||a 2.
  ბ) თუ ვექტორები მიმართულია ერთმანეთის მიმართ კუთხით, მაშინ მათი ჯამი გვხვდება კოსინუსების თეორემის გამოყენებით პარალელოგრამისთვის.
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2,
cosα = 0 და α = 90°.
ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია a 1 ⊥ a 2.
  გ) მდგომარეობა a 1 + a 2 = a 1 - a 2შეიძლება შესრულდეს თუ a 2− ნულოვანი ვექტორი, შემდეგ a 1 + a 2 = a 1.
 პასუხები. ა) a 1 ||a 2; ბ) a 1 ⊥ a 2; V) a 2− ნულოვანი ვექტორი.

3. 1,42 ნ-იანი ორი ძალა მიემართება სხეულის ერთ წერტილს ერთმანეთის მიმართ 60° კუთხით. რა კუთხით უნდა იქნას გამოყენებული 1,75 ნ-იანი ორი ძალა სხეულის ერთსა და იმავე წერტილზე, რათა მათი მოქმედება დააბალანსოს პირველი ორი ძალის მოქმედებას?

გამოსავალი.
  ამოცანის პირობების მიხედვით, 1,75 N-ის ორი ძალა აწონასწორებს თითო 1,42 N-ს, ეს შესაძლებელია, თუ მიღებული ძალის წყვილების ვექტორების მოდულები ტოლია. მიღებულ ვექტორს ვადგენთ პარალელოგრამისთვის კოსინუსების თეორემის გამოყენებით. ძალების პირველი წყვილისთვის:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2,
ძალების მეორე წყვილისთვის, შესაბამისად
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
განტოლებების მარცხენა გვერდების გათანაბრება
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
ვიპოვოთ ვექტორებს შორის საჭირო β კუთხე
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
გათვლების შემდეგ,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° - 2.1.752)/(2.1.752) = -0.0124,
β ≈ 90,7°.

 მეორე გამოსავალი.
  განვიხილოთ ვექტორების პროექცია კოორდინატთა ღერძზე OX (ნახ.).

  მხარეებს შორის ურთიერთობის გამოყენება მართკუთხა სამკუთხედი, ვიღებთ
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
სადაც
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) და β ≈ 90.7°.

4. ვექტორი a = 3i − 4j. რა უნდა იყოს სკალარული რაოდენობა c-სთვის |c ა| = 7,5?
 გამოსავალი.
გ ა= გ( 3i − 4j) = 7,5
ვექტორული მოდული ათანაბარი იქნება
a 2 = 3 2 + 4 2, და a = ±5,
შემდეგ დან
c.(±5) = 7.5,
მოდი ვიპოვოთ ეს
c = ±1,5.

5. ვექტორები a 1და a 2დატოვოს წარმოშობა და აქვს დეკარტის კოორდინატებიბოლოები (6, 0) და (1, 4), შესაბამისად. იპოვეთ ვექტორი a 3ისეთი რომ: ა) a 1 + a 2 + a 3= 0; ბ) a 1 − a 2 + a 3 = 0.

 გამოსავალი.
  წარმოვადგენთ ვექტორებს დეკარტის სისტემაკოორდინატები (ნახ.)

  ა) მიღებული ვექტორი Ox ღერძის გასწვრივ არის
a x = 6 + 1 = 7.
მიღებული ვექტორი Oy ღერძის გასწვრივ არის
a y = 4 + 0 = 4.
იმისათვის, რომ ვექტორთა ჯამი იყოს ნულის ტოლი, აუცილებელია პირობის დაკმაყოფილება
a 1 + a 2 = −a 3.
ვექტორი a 3მოდული ტოლი იქნება მთლიან ვექტორთან a 1 + a 2, მაგრამ მიმართულია საპირისპირო მიმართულებით. ვექტორის ბოლო კოორდინატი a 3უდრის (−7, −4) და მოდული
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8.1.

ბ) Ox ღერძის გასწვრივ მიღებული ვექტორი ტოლია
a x = 6 − 1 = 5,
და მიღებული ვექტორი Oy ღერძის გასწვრივ
a y = 4 − 0 = 4.
როცა პირობა დაკმაყოფილებულია
a 1 − a 2 = −a 3,
ვექტორი a 3ექნება ვექტორის ბოლოს კოორდინატები a x = –5 და a y = −4 და მისი მოდული უდრის
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6.4.

6. მესინჯერი მიდის ჩრდილოეთით 30 მ, აღმოსავლეთით 25 მ, სამხრეთით 12 მ, შემდეგ კი ლიფტით 36 მ სიმაღლეზე მიდის შენობაში რა არის მანძილი L მის მიერ გავლილი და გადაადგილება S ?

 გამოსავალი.
  მოდით გამოვსახოთ პრობლემაში აღწერილი სიტუაცია თვითმფრინავზე თვითნებური მასშტაბით (ნახ.).

ვექტორის დასასრული ო.ა.აქვს კოორდინატები აღმოსავლეთით 25 მ, ჩრდილოეთით 18 მ და 36 ზევით (25; 18; 36). ადამიანის მიერ გავლილი მანძილი ტოლია
L = 30 მ + 25 მ + 12 მ +36 მ = 103 მ.
ჩვენ ვპოულობთ გადაადგილების ვექტორის სიდიდეს ფორმულის გამოყენებით
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
სადაც x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47.4 (მ).
 უპასუხე: L = 103 მ, S = 47,4 მ.

7. კუთხე α ორ ვექტორს შორის ადა ბუდრის 60°-ს. განსაზღვრეთ ვექტორის სიგრძე c = a + bდა β კუთხე ვექტორებს შორის ადა გ. ვექტორების სიდიდეებია a = 3.0 და b = 2.0.

 გამოსავალი.
  ვექტორის სიგრძე, თანხის ტოლივექტორები ადა ბგანვსაზღვროთ პარალელოგრამისთვის კოსინუსების თეორემის გამოყენებით (ნახ.).

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
ჩანაცვლების შემდეგ
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
β კუთხის დასადგენად ვიყენებთ სინუსების თეორემას სამკუთხედი ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
ამავე დროს, თქვენ უნდა იცოდეთ ეს
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
  მარტივის ამოხსნა ტრიგონომეტრიული განტოლება, გამოთქმამდე მივდივართ
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
აქედან გამომდინარე,
β = არქტანი (bsinα/(a + bcosα)),
β = არქტანი (2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
  მოდით შევამოწმოთ კოსინუსების თეორემის გამოყენებით სამკუთხედისთვის:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2,
სადაც
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
და
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
 უპასუხე: c ≈ 4.4; β ≈ 23°.

 Პობლემების მოგვარება.
  8. ვექტორებისთვის ადა ბმე-7 მაგალითში განსაზღვრული, იპოვეთ ვექტორის სიგრძე d = a − bკუთხე γ შორის ადა დ.

9. იპოვეთ ვექტორის პროექცია a = 4.0i + 7.0jსწორ ხაზამდე, რომლის მიმართულება ქმნის კუთხეს α = 30° Ox ღერძთან. ვექტორი ადა სწორი ხაზი xOy სიბრტყეშია.

10. ვექტორი ააკეთებს კუთხეს α = 30° AB სწორი ხაზით, a = 3.0. რა კუთხით β სწორი AB-ის მიმართ უნდა იყოს ვექტორი მიმართული? ბ(b = √(3)) ისე, რომ ვექტორი c = a + bიყო AB-ის პარალელურად? იპოვეთ ვექტორის სიგრძე გ.

11. მოცემულია სამი ვექტორი: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = i + 3j. იპოვე ა) ა+ბ; ბ) ა+გ; V) (ა, ბ); გ) (a, c)b − (a, b)c.

12. კუთხე ვექტორებს შორის ადა ბუდრის α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. იპოვეთ ვექტორების სიგრძეები c = (a, b)a + bდა d = 2b − a/2.

13. დაამტკიცეთ, რომ ვექტორები ადა ბპერპენდიკულარულია, თუ a = (2, 1, −5) და b = (5, −5, 1).

14. იპოვეთ α კუთხე ვექტორებს შორის ადა ბ, თუ a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. ვექტორი ააკეთებს კუთხეს α = 30° Ox ღერძით, ამ ვექტორის პროექცია Oy ღერძზე უდრის a y = 2.0. ვექტორი ბვექტორზე პერპენდიკულარული ადა b = 3.0 (იხ. სურათი).

ვექტორი c = a + b. იპოვეთ: ა) ვექტორის პროექციები ბ Ox და Oy ღერძზე; ბ) c-ის მნიშვნელობა და β კუთხე ვექტორს შორის გდა Ox ღერძი; ტაქსი); დ) (ა, გ).

 პასუხები:
  9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7.0.
  10. β = 300°; c = 3.5.
  11. ა) 5i + j; ბ) i + 3j − 2k; გ) 15i − 18j + 9 კ.
  12. c = 2.6; d = 1.7.
  14. α = 44.4°.
  15. ა) b x = −1,5; b y = 2.6; ბ) c = 5; β ≈ 67°; გ) 0; დ) 16.0.
  ფიზიკის შესწავლით, თქვენ გაქვთ დიდი შესაძლებლობებიგანაგრძეთ განათლება ტექნიკური უნივერსიტეტი. ამას დასჭირდება ცოდნის პარალელურად გაღრმავება მათემატიკაში, ქიმიაში, ენაში და ნაკლებად ხშირად სხვა საგნებში. რესპუბლიკური ოლიმპიადის გამარჯვებული სავიჩ ეგორი ამთავრებს MIPT-ის ერთ-ერთ ფაკულტეტს, სადაც დიდი მოთხოვნები დგება ქიმიის ცოდნაზე. თუ დახმარება გჭირდებათ მეცნიერებათა სახელმწიფო აკადემიაში ქიმიაში, მაშინ დაუკავშირდით პროფესიონალებს, აუცილებლად მიიღებთ კვალიფიციურ და დროულ დახმარებას.