ვექტორებს უწოდებენ წრფივად დამოკიდებულ თუ. ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულება და წრფივი დამოუკიდებლობა

ჩვენ მიერ გააცნო ხაზოვანი მოქმედებები ვექტორებზეშესაძლებელს გახდის შედგენას სხვადასხვა გამონათქვამებიამისთვის ვექტორული რაოდენობები და გარდაქმნას ისინი ამ ოპერაციებისთვის მითითებული თვისებების გამოყენებით.

მოცემული ვექტორების a 1, ..., a n სიმრავლის საფუძველზე შეგიძლიათ შექმნათ ფორმის გამოხატულება

სადაც a 1, ..., და n არის თვითნებური რეალური რიცხვები. ამ გამოთქმას ე.წ ვექტორების წრფივი კომბინაცია a 1, ..., a n. რიცხვები α i, i = 1, n, წარმოადგენს ხაზოვანი კომბინაციის კოეფიციენტები. ვექტორთა სიმრავლეს ასევე უწოდებენ ვექტორთა სისტემა.

ვექტორთა წრფივი კომბინაციის შემოღებულ კონცეფციასთან დაკავშირებით ჩნდება ვექტორთა სიმრავლის აღწერის პრობლემა, რომელიც შეიძლება დაიწეროს ვექტორთა მოცემული სისტემის წრფივი კომბინაცია a 1, ..., a n. გარდა ამისა, არსებობს ბუნებრივი კითხვები იმის შესახებ, თუ რა პირობებში არის ვექტორის წარმოდგენა წრფივი კომბინაციის სახით და ასეთი წარმოდგენის უნიკალურობის შესახებ.

განმარტება 2.1.ვექტორებს a 1, ..., და n ეწოდება წრფივად დამოკიდებული, თუ არსებობს α 1 , ... , α n კოეფიციენტების ნაკრები ისეთი, რომ

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

და ამ კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც არ არის ნულოვანი. თუ მითითებული კოეფიციენტების ნაკრები არ არსებობს, მაშინ ვექტორებს უწოდებენ წრფივი დამოუკიდებელი.

თუ α 1 = ... = α n = 0, მაშინ, ცხადია, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. ამის გათვალისწინებით, შეგვიძლია ვთქვათ: ვექტორები a 1, ..., და n წრფივად დამოუკიდებელია, თუ ტოლობიდან (2.2) ირკვევა, რომ α 1 , ... , α n ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

შემდეგი თეორემა განმარტავს, თუ რატომ ჰქვია ახალ კონცეფციას ტერმინი "დამოკიდებულება" (ან "დამოუკიდებლობა") და იძლევა ხაზოვანი დამოკიდებულების მარტივ კრიტერიუმს.

თეორემა 2.1.იმისათვის, რომ ვექტორები a 1, ..., და n, n > 1 იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ერთი მათგანი იყოს სხვების წრფივი კომბინაცია.

◄ აუცილებლობა. დავუშვათ, რომ a 1, ..., და n ვექტორები წრფივად არიან დამოკიდებული. წრფივი დამოკიდებულების 2.1 განმარტების მიხედვით, ტოლობაში (2.2) მარცხნივ არის მინიმუმ ერთი არანულოვანი კოეფიციენტი, მაგალითად α 1. პირველი ტერმინი ტოლობის მარცხენა მხარეს რომ დავტოვოთ, დანარჩენს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეიცვლებოდა მათი ნიშნები, როგორც ყოველთვის. მიღებული ტოლობის α 1-ზე გაყოფით მივიღებთ

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

იმათ. ვექტორ a 1-ის წარმოდგენა, როგორც დარჩენილი ვექტორების წრფივი კომბინაცია a 2, ..., a n.

ადეკვატურობა. მაგალითად, პირველი ვექტორი a 1 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს დარჩენილი ვექტორების წრფივი კომბინაციად: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. ყველა ტერმინი მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ გადავიტანოთ, მივიღებთ 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, ე.ი. a 1, ..., a n ვექტორების წრფივი კომბინაცია α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, ტოლი ნულოვანი ვექტორი.ამ წრფივ კომბინაციაში ყველა კოეფიციენტი არ არის ნული. განმარტება 2.1-ის მიხედვით, a 1, ..., და n ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

წრფივი დამოკიდებულების განმარტება და კრიტერიუმი ჩამოყალიბებულია ორი ან მეტი ვექტორის არსებობაზე. თუმცა შეგვიძლია ვისაუბროთ ერთი ვექტორის წრფივ დამოკიდებულებაზეც. ამ შესაძლებლობის გასაცნობად, ნაცვლად იმისა, რომ „ვექტორები წრფივია დამოკიდებული“, თქვენ უნდა თქვათ „ვექტორების სისტემა წრფივად დამოკიდებული“. ადვილი მისახვედრია, რომ გამოთქმა „ერთი ვექტორის სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული“ ნიშნავს, რომ ეს ერთი ვექტორი არის ნული (წრფივ კომბინაციაში არის მხოლოდ ერთი კოეფიციენტი და ის არ უნდა იყოს ნულის ტოლი).

ხაზოვანი დამოკიდებულების კონცეფციას აქვს მარტივი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. შემდეგი სამი განცხადება განმარტავს ამ ინტერპრეტაციას.

თეორემა 2.2.ორი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული თუ და მხოლოდ მაშინ კოლინარული.

◄ თუ a და b ვექტორები წრფივად არიან დამოკიდებული, მაშინ ერთი მათგანი, მაგალითად a, გამოიხატება მეორის მეშვეობით, ე.ი. a = λb ზოგიერთი რეალური რიცხვისთვის λ. განმარტების მიხედვით 1.7 მუშაობსვექტორები თითო რიცხვზე, ვექტორები a და b არის კოლინარული.

მოდით, ვექტორები a და b იყოს კოლინარული. თუ ორივე ნულის ტოლია, მაშინ აშკარაა, რომ ისინი წრფივად არიან დამოკიდებულნი, ვინაიდან მათი ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლია. ამ ვექტორებიდან ერთ-ერთი არ იყოს 0-ის ტოლი, მაგალითად b ვექტორი. λ-ით აღვნიშნოთ ვექტორის სიგრძეების შეფარდება: λ = |a|/|b|. კოლინარული ვექტორები შეიძლება იყოს ცალმხრივიან საპირისპიროდ მიმართული. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში ვცვლით λ-ის ნიშანს. შემდეგ, 1.7 განმარტების შემოწმებით, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ a = λb. თეორემა 2.1-ის მიხედვით, a და b ვექტორები წრფივად არიან დამოკიდებული.

შენიშვნა 2.1.ორი ვექტორის შემთხვევაში, წრფივი დამოკიდებულების კრიტერიუმის გათვალისწინებით, დადასტურებული თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: ორი ვექტორი არის კოლინარული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანი წარმოდგენილია მეორის ნამრავლად რიცხვით. ეს არის მოსახერხებელი კრიტერიუმი ორი ვექტორის კოლინარობისთვის.

თეორემა 2.3.სამი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული თუ და მხოლოდ მაშინ თანაპლენარული.

◄ თუ სამი ვექტორი a, b, c წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ, თეორემა 2.1-ის მიხედვით, ერთი მათგანი, მაგალითად a, არის სხვების წრფივი კომბინაცია: a = βb + γc. მოდით გავაერთიანოთ b და c ვექტორების საწყისები A წერტილში. მაშინ βb, γс ვექტორებს ექნებათ საერთო საწყისი წერტილი A წერტილში და გასწვრივ. პარალელოგრამის წესით მათი ჯამი არისიმათ. ვექტორი a იქნება ვექტორი საწყისი A და დასასრული, რომელიც კომპონენტ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის წვეროა. ამრიგად, ყველა ვექტორი დევს ერთ სიბრტყეში, ანუ თანაპლენარული.

მოდით ვექტორები a, b, c თანაპლანტარული იყოს. თუ ამ ვექტორებიდან ერთ-ერთი არის ნული, მაშინ აშკარაა, რომ ეს იქნება სხვების წრფივი კომბინაცია. საკმარისია აიღოთ წრფივი კომბინაციის ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლი. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ სამივე ვექტორი არ არის ნული. თავსებადი დაიწყოამ ვექტორებში საერთო წერტილი O. მათი ბოლოები იყოს A, B, C წერტილები, შესაბამისად (ნახ. 2.1). C წერტილის გავლით ვხატავთ ხაზებს პარალელურად ხაზების, რომლებიც გადიან წყვილებს O, A და O, B. + OB". ვექტორი OA" და არანულოვანი ვექტორი a = OA არის კოლინარული და ამიტომ პირველი მათგანი შეიძლება მივიღოთ მეორის გამრავლებით რეალური რიცხვიα:OA" = αOA. ანალოგიურად, OB" = βOB, β ∈ R. შედეგად ვიღებთ, რომ OC" = α OA + βOB, ანუ ვექტორი c არის a და b ვექტორების წრფივი კომბინაცია. თეორემის მიხედვით 2.1. , a , b, c ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

თეორემა 2.4.ნებისმიერი ოთხი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული.

◄ ჩვენ ვახორციელებთ მტკიცებულებას იმავე სქემის მიხედვით, როგორც თეორემა 2.3-ში. განვიხილოთ თვითნებური ოთხი ვექტორი a, b, c და d. თუ ოთხი ვექტორიდან ერთი არის ნულოვანი, ან მათ შორის არის ორი კოლინარული ვექტორი, ან ოთხი ვექტორიდან სამი თანაპლენარულია, მაშინ ეს ოთხი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული. მაგალითად, თუ a და b ვექტორები წრფივია, მაშინ მათი წრფივი კომბინაცია შეგვიძლია გავაკეთოთ αa + βb = 0 არანულოვანი კოეფიციენტებით, შემდეგ კი ამ კომბინაციას დავუმატოთ დარჩენილი ორი ვექტორი, კოეფიციენტებად ავიღოთ ნულები. ვიღებთ 0-ის ტოლი ოთხი ვექტორის წრფივ კომბინაციას, რომელშიც არის არანულოვანი კოეფიციენტები.

ამრიგად, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ შერჩეულ ოთხ ვექტორს შორის არცერთი ვექტორი არ არის ნულოვანი, არც ერთი არ არის კოლინარული და არც სამი არ არის თანაპლენარული. ავირჩიოთ წერტილი O, როგორც მათი საერთო დასაწყისი, მაშინ a, b, c, d ვექტორების ბოლოები იქნება რამდენიმე წერტილი A, B, C, D (ნახ. 2.2). D წერტილის გავლით ვხატავთ სამ სიბრტყეს, თვითმფრინავების პარალელურად OBC, OCA, OAB და მოდით A", B", C" იყოს ამ სიბრტყეების გადაკვეთის წერტილები შესაბამისად OA, OB, OS სწორი ხაზებით. ვიღებთ პარალელეპიპედს OA"C"B"C"B"DA. ", და ვექტორები a, b, c დევს მის კიდეებზე, რომლებიც გამოდიან O წვეროდან. ვინაიდან ოთხკუთხედი OC"DC" არის პარალელოგრამი, მაშინ OD = OC" + OC" . თავის მხრივ, სეგმენტი OC" არის დიაგონალი. პარალელოგრამი OA"C"B", ასე რომ OC" = OA" + OB" და OD = OA" + OB" + OC" .

უნდა აღინიშნოს, რომ ვექტორების წყვილი OA ≠ 0 და OA" , OB ≠ 0 და OB" , OC ≠ 0 და OC" კოლინარულია და, მაშასადამე, შესაძლებელია α, β, γ კოეფიციენტების შერჩევა ისე, რომ OA" = αOA, OB" = βOB და OC" = γOC. საბოლოოდ მივიღებთ OD = αOA + βOB + γOC. შესაბამისად, OD ვექტორი გამოიხატება დანარჩენი სამი ვექტორის მეშვეობით და ოთხივე ვექტორი, თეორემა 2.1-ის მიხედვით, წრფივია დამოკიდებული.

ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ:

• რა არის კოლინარული ვექტორები;
• როგორია ვექტორების კოლინარობის პირობები;
• რა თვისებები არსებობს კოლინარული ვექტორები;
• რა არის კოლინარული ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება.

კოლინარული ვექტორები არის ვექტორები, რომლებიც პარალელურია ერთი ხაზის ან დევს ერთ წრფეზე.

მაგალითი 1

ვექტორების კოლინარობის პირობები

ორი ვექტორი თანასწორია, თუ რომელიმე ქვემოთ ჩამოთვლილი პირობა მართალია:

• მდგომარეობა 1 . ვექტორები a და b არის კოლინარული, თუ არის რიცხვი λ ისეთი, რომ a = λ b;
• მდგომარეობა 2 . a და b ვექტორები თანამიმართულია როცა თანაბარი მოპყრობაკოორდინატები:

a = (a 1 ; a 2), b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• მდგომარეობა 3 . ვექტორები a და b არის კოლინარული იმ პირობით, რომ ჯვარედინი ნამრავლი და ნულოვანი ვექტორი ტოლია:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

შენიშვნა 1

მდგომარეობა 2 არ გამოიყენება, თუ ერთ-ერთი ვექტორული კოორდინატი ნულის ტოლია.

შენიშვნა 2

მდგომარეობა 3 ვრცელდება მხოლოდ იმ ვექტორებზე, რომლებიც მითითებულია სივრცეში.

ამოცანების მაგალითები ვექტორების კოლინარობის შესასწავლად

ჩვენ განვიხილავთ ვექტორებს a = (1; 3) და b = (2; 1) კოლინარობისთვის.

როგორ მოვაგვაროთ?

ამ შემთხვევაში აუცილებელია მე-2 კოლინარობის პირობის გამოყენება. მოცემული ვექტორებისთვის ასე გამოიყურება:

თანასწორობა მცდარია. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ a და b ვექტორები არასწორხაზოვანია.

უპასუხე : a | | ბ

მაგალითი 2

a = (1; 2) და b = (- 1; m) ვექტორის m რა მნიშვნელობაა საჭირო იმისათვის, რომ ვექტორები იყოს კოლინარული?

როგორ მოვაგვაროთ?

მეორე კოლინარობის პირობის გამოყენებით, ვექტორები იქნება კოლინარული, თუ მათი კოორდინატები პროპორციულია:

ეს აჩვენებს, რომ m = - 2.

პასუხი: მ = - 2 .

ვექტორული სისტემების წრფივი დამოკიდებულებისა და წრფივი დამოუკიდებლობის კრიტერიუმები

ვექტორთა სისტემა ვექტორულ სივრცეში წრფივად არის დამოკიდებული მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი შეიძლება გამოიხატოს ამ სისტემის დარჩენილი ვექტორებით.

მტკიცებულება

მოდით სისტემა e 1 , e 2 , . . . , e n არის წრფივი დამოკიდებული. მოდით დავწეროთ ამ სისტემის წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლი:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

რომელშიც კომბინაციის კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი.

მოდით a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

ტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ არანულოვანი კოეფიციენტით:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

აღვნიშნოთ:

A k - 1 a m , სადაც m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

ამ შემთხვევაში:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ან e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

აქედან გამომდინარეობს, რომ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი გამოიხატება სისტემის ყველა სხვა ვექტორის მეშვეობით. რისი დამტკიცება იყო საჭირო (ა.შ.).

ადეკვატურობა

მოდით, ერთ-ერთი ვექტორი წრფივად იყოს გამოხატული სისტემის ყველა სხვა ვექტორში:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

ვექტორს e k გადავიტანთ ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

ვინაიდან e k ვექტორის კოეფიციენტი უდრის - 1 ≠ 0, ვიღებთ ნულის არატრივიალურ წარმოდგენას e 1, e 2, ვექტორების სისტემით. . . , e n , და ეს, თავის მხრივ, იმას ნიშნავს ამ სისტემასვექტორები წრფივია დამოკიდებული. რისი დამტკიცება იყო საჭირო (ა.შ.).

შედეგი:

• ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, როდესაც მისი არცერთი ვექტორი არ შეიძლება გამოისახოს სისტემის ყველა სხვა ვექტორებით.
• ვექტორთა სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს ან ორს თანაბარი ვექტორიწრფივად დამოკიდებული.

წრფივად დამოკიდებული ვექტორების თვისებები

1. 2- და 3-განზომილებიანი ვექტორებისთვის დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა: ორი წრფივად დამოკიდებული ვექტორი თანამიმართულია. ორი კოლინარული ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული.
2. 3-განზომილებიანი ვექტორებისთვის შემდეგი პირობა დაკმაყოფილებულია: სამი წრფივად დამოკიდებული ვექტორი თანაპლენარულია. (3 თანაპლენარული ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული).
3. n-განზომილებიანი ვექტორებისთვის შემდეგი პირობა დაკმაყოფილებულია: n + 1 ვექტორები ყოველთვის წრფივია დამოკიდებული.

ხაზოვანი დამოკიდებულების ან ვექტორების ხაზოვანი დამოუკიდებლობის ამოცანების ამოხსნის მაგალითები

შევამოწმოთ ვექტორები a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 წრფივი დამოუკიდებლობისთვის.

გამოსავალი. ვექტორები წრფივია დამოკიდებული, რადგან ვექტორების განზომილება ნაკლები რაოდენობითვექტორები.

მაგალითი 4

შევამოწმოთ ვექტორები a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 წრფივი დამოუკიდებლობისთვის.

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ იმ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს, რომლებშიც წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვან ვექტორს:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

ვწერთ ვექტორულ განტოლებას წრფივი სახით:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

ჩვენ ამ სისტემას ვხსნით გაუსის მეთოდით:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

მე-2 სტრიქონს ვაკლებთ 1-ს, მე-3-ს - 1-ს:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1 სტრიქონს ვაკლებთ მე-2-ს, მე-3-ს ვამატებთ მე-2-ს:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

გადაწყვეტიდან გამომდინარეობს, რომ სისტემას აქვს მრავალი გამოსავალი. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ისეთი რიცხვების მნიშვნელობების არანულოვანი კომბინაცია x 1, x 2, x 3, რომლისთვისაც a, b, c წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვან ვექტორს. ამიტომ ვექტორები a, b, c არის წრფივად დამოკიდებული.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ვექტორები, მათი თვისებები და მოქმედებები მათთან

ვექტორები, მოქმედებები ვექტორებთან, წრფივი ვექტორული სივრცე.

ვექტორები არის სასრული რაოდენობის რეალური რიცხვების მოწესრიგებული კოლექცია.

მოქმედებები: 1.ვექტორის გამრავლება რიცხვზე: ლამბდა*ვექტორი x=(ლამდა*x 1, ლამბდა*x 2 ... ლამბდა*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. ვექტორების შეკრება (ეკუთვნება იმავე ვექტორულ სივრცეს) ვექტორი x + ვექტორი y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. ვექტორი 0=(0,0…0)---n E n – n-განზომილებიანი ( ხაზოვანი სივრცე) ვექტორი x + ვექტორი 0 = ვექტორი x

თეორემა. იმისათვის, რომ n ვექტორთა სისტემა, n-განზომილებიანი წრფივი სივრცე იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ერთ-ერთი ვექტორი იყოს სხვების წრფივი კომბინაცია.

თეორემა. ფენომენების n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის n+ 1-ლი ვექტორების ნებისმიერი სიმრავლე. წრფივად დამოკიდებული.

ვექტორების შეკრება, ვექტორების რიცხვებზე გამრავლება. ვექტორების გამოკლება.

ორი ვექტორის ჯამი არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია ვექტორის დასაწყისიდან ვექტორის ბოლომდე, იმ პირობით, რომ დასაწყისი ემთხვევა ვექტორის დასასრულს. თუ ვექტორები მოცემულია მათი გაფართოებებით საბაზისო ერთეულ ვექტორებში, მაშინ ვექტორების დამატებისას ემატება მათი შესაბამისი კოორდინატები.

განვიხილოთ ეს დეკარტის კოორდინატთა სისტემის მაგალითის გამოყენებით. დაე

ეს ვაჩვენოთ

სურათი 3-დან ირკვევა, რომ

ოდენობა ნებისმიერი სასრული რიცხვივექტორების პოვნა შესაძლებელია მრავალკუთხედის წესის გამოყენებით (ნახ. 4): ვექტორების სასრული რაოდენობის ჯამის ასაგებად საკმარისია ყოველი მომდევნო ვექტორის დასაწყისი წინა ვექტორის დასასრულთან გავაერთიანოთ და დასაწყისთან დამაკავშირებელი ვექტორი ავაშენოთ. პირველი ვექტორის ბოლო ბოლო.

ვექტორის დამატების ოპერაციის თვისებები:

ამ გამონათქვამებში m, n რიცხვებია.

ვექტორებს შორის განსხვავებას ეწოდება ვექტორი. მეორე წევრი არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია ვექტორის მიმართ, მაგრამ მისი სიგრძით ტოლია.

ამრიგად, ვექტორების გამოკლების მოქმედება იცვლება მიმატების ოპერაციით

ვექტორს, რომლის დასაწყისიც არის სათავეში და ბოლო A წერტილში (x1, y1, z1) ეწოდება A წერტილის რადიუსის ვექტორი და აღინიშნება უბრალოდ. ვინაიდან მისი კოორდინატები ემთხვევა A წერტილის კოორდინატებს, მის გაფართოებას ერთეულ ვექტორებში აქვს ფორმა

ვექტორი, რომელიც იწყება A(x1, y1, z1) წერტილიდან და მთავრდება B(x2, y2, z2) წერტილში შეიძლება დაიწეროს როგორც

სადაც r 2 არის B წერტილის რადიუსის ვექტორი; r 1 - A წერტილის რადიუსის ვექტორი.

ამრიგად, ვექტორის გაფართოებას ერთეულ ვექტორებში აქვს ფორმა

მისი სიგრძე უდრის A და B წერტილებს შორის მანძილს

გამრავლება

ასე რომ, სიბრტყის ამოცანის შემთხვევაში, ვექტორის ნამრავლი a = (ax; ay) რიცხვით b იპოვება ფორმულით.

a b = (ax b; ay b)

მაგალითი 1. იპოვეთ a = (1; 2) ვექტორის ნამრავლი 3-ზე.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

ასე რომ, სივრცითი ამოცანის შემთხვევაში a = (ax; ay; az) ვექტორის ნამრავლი b რიცხვით გვხვდება ფორმულით.

a b = (ax b; ay b; az b)

მაგალითი 1. იპოვეთ a = (1; 2; -5) ვექტორის ნამრავლი 2-ზე.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და სად არის კუთხე ვექტორებს შორის და ; თუ რომელიმე, მაშინ

სკალარული პროდუქტის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ

სადაც, მაგალითად, არის ვექტორის პროექციის სიდიდე ვექტორის მიმართულებით.

სკალარული კვადრატული ვექტორი:

წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები:

წერტილოვანი პროდუქტი კოორდინატებში

თუ რომ

კუთხე ვექტორებს შორის

კუთხე ვექტორებს შორის - კუთხე ამ ვექტორების მიმართულებებს შორის (უმცირესი კუთხე).

ჯვარედინი პროდუქტი (ორი ვექტორის ჯვარედინი პროდუქტი.) -ეს არის ფსევდოვექტორი, სიბრტყეზე პერპენდიკულარული, აგებულია ორი ფაქტორიდან, რომელიც არის ორგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ვექტორებზე ორობითი ოპერაციის „ვექტორის გამრავლების“ შედეგი. ნამრავლი არც კომუტაციურია და არც ასოციაციური (ის ანტიკომუტატიულია) და განსხვავდება ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლისაგან. ბევრ საინჟინრო და ფიზიკურ პრობლემაში, თქვენ უნდა შეძლოთ ვექტორის აწყობა ორ არსებულზე პერპენდიკულარული - ვექტორული პროდუქტიიძლევა ამ შესაძლებლობას. ჯვარედინი ნამრავლი სასარგებლოა ვექტორების პერპენდიკულარობის „გასაზომად“ - ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე ტოლია მათი სიგრძის ნამრავლის, თუ ისინი პერპენდიკულარულია და ნულამდე მცირდება, თუ ვექტორები პარალელური ან ანტიპარალელურია.

ჯვარედინი პროდუქტი განისაზღვრება მხოლოდ სამგანზომილებიან და შვიდგანზომილებიან სივრცეებში. ვექტორული ნამრავლის შედეგი, ისევე როგორც სკალარული ნამრავლი, დამოკიდებულია ევკლიდური სივრცის მეტრიკაზე.

სამგანზომილებიანი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში წერტილოვანი პროდუქტის ვექტორების კოორდინატების გამოთვლის ფორმულისგან განსხვავებით, ჯვარედინი ნამრავლის ფორმულა დამოკიდებულია ორიენტაციაზე. მართკუთხა სისტემაკოორდინატები ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მისი „კირალიზმი“

ვექტორთა კოლინარულობა.

ორ არანულოვან (არ არის 0-ის ტოლი) ვექტორს კოლინარული ეწოდება, თუ ისინი დევს პარალელურ წრფეებზე ან ერთსა და იმავე წრფეზე. მისაღები, მაგრამ არა რეკომენდებული სინონიმი არის „პარალელური“ ვექტორები. კოლინარული ვექტორები შეიძლება იყოს იდენტურად მიმართული ("თანმიმართული") ან საპირისპირო მიმართულება (ამ უკანასკნელ შემთხვევაში მათ ზოგჯერ "ანტიკოლინიურ" ან "ანტიპარალელურს" უწოდებენ).

ვექტორების შერეული პროდუქტი ( ა, ბ, გ)- a ვექტორის სკალარული ნამრავლი და b და c ვექტორების ვექტორული ნამრავლი:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

ზოგჯერ უწოდებენ სამმაგს სკალარული პროდუქტივექტორები, სავარაუდოდ იმის გამო, რომ შედეგი არის სკალარი (უფრო ზუსტად, ფსევდოსკალარი).

გეომეტრიული მნიშვნელობა: შერეული პროდუქტის მოდული რიცხობრივად უდრის ვექტორების მიერ წარმოქმნილი პარალელეპიპედის მოცულობას. (ა, ბ, გ) .

თვისებები

შერეული ნაჭერიდახრილ-სიმეტრიული ყველა მისი არგუმენტის მიმართ: ე.ი. ე. ნებისმიერი ორი ფაქტორის გადაკეთება ცვლის პროდუქტის ნიშანს. აქედან გამომდინარეობს, რომ შერეული პროდუქტი მარჯვნივ დეკარტის სისტემაკოორდინატები (ორთონორმალურ საფუძველზე) უდრის ვექტორებისგან შემდგარი მატრიცის განმსაზღვრელს და:

შერეული ნამრავლი მარცხენა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში (ორთონორმალურ საფუძველზე) უდრის ვექტორებისგან შემდგარი მატრიცის განმსაზღვრელს და აღებულია მინუს ნიშნით:

კერძოდ,

თუ რომელიმე ორი ვექტორი პარალელურია, მაშინ რომელიმე მესამე ვექტორთან ისინი ქმნიან შერეულ პროდუქტს ნულის ტოლი.

თუ სამი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული (ანუ თანაპლენარული, დევს იმავე სიბრტყეში), მაშინ მათი შერეული ნამრავლი ნულის ტოლია.

გეომეტრიული გრძნობა - შერეული პროდუქტი აბსოლუტური მნიშვნელობავექტორებით წარმოქმნილი პარალელეპიპედის (იხ. სურათი) მოცულობის ტოლია და; ნიშანი დამოკიდებულია იმაზე, ვექტორების ეს სამეული მემარჯვენეა თუ მემარცხენე.

ვექტორების თანაპლენარულობა.

სამი ვექტორი (ან უფრო დიდი რაოდენობა) ეძახიან კოპლანარს, თუ ისინი მცირდება ზოგადი დასაწყისი, დაწექი იმავე სიბრტყეში

თანაფარდობის თვისებები

თუ ერთი მაინც სამი ვექტორი- ნულოვანი, მაშინ სამი ვექტორი ასევე განიხილება თანაპლანარად.

ვექტორთა სამმაგი, რომელიც შეიცავს წყვილ კოლინურ ვექტორებს, არის თანაპლენარული.

თანაპლენარული ვექტორების შერეული პროდუქტი. ეს არის კრიტერიუმი სამი ვექტორის თანაფარდობისთვის.

თანაპლენარული ვექტორები წრფივია დამოკიდებული. ეს ასევე არის თანაფარდობის კრიტერიუმი.

სამგანზომილებიან სივრცეში 3 არათანაბარი ვექტორი ქმნის საფუძველს

წრფივად დამოკიდებული და წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორები.

ხაზობრივად დამოკიდებული და დამოუკიდებელი ვექტორული სისტემები.განმარტება. ვექტორული სისტემა ე.წ წრფივად დამოკიდებული, თუ არსებობს ამ ვექტორების მინიმუმ ერთი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლი. IN წინააღმდეგ შემთხვევაში, ე.ი. თუ მოცემული ვექტორების მხოლოდ ტრივიალური წრფივი კომბინაცია უდრის ნულ ვექტორს, ვექტორებს ე.წ. წრფივი დამოუკიდებელი.

თეორემა (წრფივი დამოკიდებულების კრიტერიუმი). იმისათვის, რომ ვექტორთა სისტემა ხაზოვან სივრცეში იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ვექტორებიდან ერთი მაინც იყოს სხვების წრფივი კომბინაცია.

1) თუ ვექტორებს შორის არის მინიმუმ ერთი ნულოვანი ვექტორი, მაშინ ვექტორთა მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

სინამდვილეში, თუ, მაგალითად, , მაშინ, თუ ვივარაუდებთ, გვაქვს არატრივიალური წრფივი კომბინაცია .▲

2) თუ ვექტორებს შორის ზოგიერთი წრფივად ყალიბდება დამოკიდებული სისტემა, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

მართლაც, მოდით ვექტორები , , იყოს წრფივი დამოკიდებული. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლი. მაგრამ შემდეგ, ვარაუდით , ასევე ვიღებთ არატრივიალურ წრფივ კომბინაციას, რომელიც ტოლია ნულოვანი ვექტორის.

2. საფუძველი და განზომილება. განმარტება. წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების სისტემა ვექტორული სივრცე ეწოდება საფუძველიამ სივრცის თუ რომელიმე ვექტორი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ამ სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია, ე.ი. თითოეული ვექტორისთვის არის რეალური რიცხვები ისეთი, რომ თანასწორობა იმართება ეს თანასწორობა ე.წ ვექტორის დაშლასაფუძვლისა და რიცხვების მიხედვით ეძახიან ვექტორის კოორდინატები საფუძველთან შედარებით(ან საფუძველში) .

თეორემა (გაფართოების უნიკალურობის შესახებ საფუძველთან მიმართებაში). ყველა ვექტორი სივრცეში შეიძლება გაფართოვდეს საფუძვლად ერთადერთი გზით, ე.ი. თითოეული ვექტორის კოორდინატები ბაზაში განისაზღვრება ცალსახად.

დაე ლარის თვითნებური წრფივი სივრცე, ა მე Î L,- მისი ელემენტები (ვექტორები).

განმარტება 3.3.1.გამოხატულება , სად, - თვითნებური რეალური რიცხვები, რომელსაც უწოდებენ წრფივ კომბინაციას ვექტორები a 1, a 2,…, a ნ.

თუ ვექტორი რ = , მერე ამას ამბობენ რ დაიშალა ვექტორებად a 1, a 2,…, a ნ.

განმარტება 3.3.2.ვექტორების წრფივი კომბინაცია ეწოდება არატრივიალური, თუ რიცხვებს შორის არის მინიმუმ ერთი არა ნული. წინააღმდეგ შემთხვევაში, წრფივი კომბინაცია ეწოდება ტრივიალური.

განმარტება 3.3.3 . ვექტორები a 1 , a 2 ,…, a ნწრფივად დამოკიდებულს უწოდებენ, თუ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ისეთი, რომ

= 0 .

განმარტება 3.3.4. ვექტორები a 1,a 2,…, a ნუწოდებენ წრფივად დამოუკიდებელ თუ თანასწორობას = 0 შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა ნომერი ლ 1, ლ 2,…, ლ ნერთდროულად ნულის ტოლია.

გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერი არანულოვანი ელემენტი a 1 შეიძლება ჩაითვალოს წრფივად დამოუკიდებელ სისტემად, რადგან თანასწორობაა ლ a 1 = 0 შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ლ= 0.

თეორემა 3.3.1.საჭირო და საკმარისი მდგომარეობაწრფივი დამოკიდებულება a 1, a 2,…, a ნარის ამ ელემენტებიდან ერთის დანარჩენში დაშლის შესაძლებლობა.

მტკიცებულება. აუცილებლობა. მოდით ელემენტები a 1 , a 2 ,…, a ნწრფივად დამოკიდებული. ეს იმას ნიშნავს, რომ = 0 და მინიმუმ ერთი ნომერი ლ 1, ლ 2,…, ლ ნგანსხვავდება ნულიდან. დაე, დარწმუნებით ლ 1 ¹ 0. მაშინ

ანუ ელემენტი a 1 იშლება ელემენტებად a 2, a 3,…, a ნ.

ადეკვატურობა. დაე, ელემენტი a 1 დაიშალოს a 2, a 3,…, a ელემენტებად ნ, ანუ a 1 = . მაშინ = 0 მაშასადამე, არსებობს ვექტორების არატრივიალური წრფივი კომბინაცია a 1, a 2,…, a. ნ, თანაბარი 0 ასე რომ, ისინი წრფივად არიან დამოკიდებულნი .

თეორემა 3.3.2. თუ ელემენტებიდან ერთი მაინც a 1 , a 2 ,…, a ნნულოვანი, მაშინ ეს ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

მტკიცებულება . დაე ა ნ= 0 , შემდეგ = 0 , რაც ნიშნავს ამ ელემენტების წრფივ დამოკიდებულებას.

თეორემა 3.3.3. თუ n ვექტორს შორის რომელიმე p (გვ< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

მტკიცებულება. განსაზღვრულობისთვის მოდით, ელემენტები a 1, a 2,…, a გვწრფივად დამოკიდებული. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ისეთი, რომ = 0 . მითითებული თანასწორობა შენარჩუნდება, თუ ელემენტს დავუმატებთ მის ორივე ნაწილს. მაშინ + = 0 და მინიმუმ ერთი ნომერი ლ 1, ლ 2,…, ლპგანსხვავდება ნულიდან. ამიტომ ვექტორები a 1 , a 2 ,…, a ნარიან წრფივი დამოკიდებულები.

დასკვნა 3.3.1.თუ n ელემენტი წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ ნებისმიერი k მათგანი წრფივად დამოუკიდებელია (k< n).

თეორემა 3.3.4. თუ ვექტორები a 1, a 2,…, a n- 1 წრფივად დამოუკიდებელნი არიან და ელემენტები a 1, a 2,…, a n- 1, ა n წრფივია დამოკიდებული, შემდეგ ვექტორია n შეიძლება გაფართოვდეს ვექტორებად a 1, a 2,…, a n- 1 .

მტკიცებულება.ვინაიდან a 1, a პირობით 2 ,…, ა n- 1, ა ნ არიან წრფივად დამოკიდებულნი, მაშინ არის მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია = 0 და (წინააღმდეგ შემთხვევაში, ისინი წრფივი აღმოჩნდებიან დამოკიდებული ვექტორები a 1, a 2,…, a n- 1). მაგრამ შემდეგ ვექტორი

,

ქ.ე.დ.

დავალება 1.გაარკვიეთ არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელი. ვექტორთა სისტემა დაზუსტდება სისტემის მატრიცით, რომლის სვეტები შედგება ვექტორების კოორდინატებისგან.

.

გამოსავალი.მოდით ხაზოვანი კომბინაცია ნულის ტოლი. ამ თანასწორობის კოორდინატებში ჩაწერის შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ განტოლებების შემდეგ სისტემას:

.

განტოლებათა ასეთ სისტემას სამკუთხა ეწოდება. მას აქვს ერთადერთი გამოსავალი . ამიტომ ვექტორები წრფივი დამოუკიდებელი.

დავალება 2.გაარკვიეთ არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელი.

.

გამოსავალი.ვექტორები არიან წრფივად დამოუკიდებლები (იხ. ამოცანა 1). დავამტკიცოთ, რომ ვექტორი არის ვექტორების წრფივი კომბინაცია . ვექტორის გაფართოების კოეფიციენტები განისაზღვრება განტოლებათა სისტემიდან

.

ამ სისტემას, ისევე როგორც სამკუთხას, აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

ამიტომ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული.

კომენტარი. იგივე ტიპის მატრიცები, როგორც ამოცანა 1-ში, ეწოდება სამკუთხა და პრობლემა 2 - საფეხურიანი სამკუთხა . ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების საკითხი ადვილად წყდება, თუ ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი მატრიცა საფეხური სამკუთხაა. თუ მატრიცას არ აქვს სპეციალური ტიპი, შემდეგ გამოიყენეთ სიმებიანი ელემენტარული კონვერტაციები , გადარჩენა ხაზოვანი ურთიერთობებისვეტებს შორის, ის შეიძლება შემცირდეს საფეხურზე სამკუთხა ფორმამდე.

ელემენტარული გარდაქმნებიხაზებიმატრიცები (EPS) შემდეგ ოპერაციებს მატრიცაზე ეწოდება:

1) სიმების გადაწყობა;

2) სტრიქონის გამრავლება არანულოვან რიცხვზე;

3) სტრიქონს კიდევ ერთი სტრიქონის დამატება, გამრავლებული თვითნებური რიცხვით.

დავალება 3.იპოვეთ მაქსიმალური წრფივი დამოუკიდებელი ქვესისტემა და გამოთვალეთ ვექტორთა სისტემის რანგი

.

გამოსავალი.მოდით შევამციროთ სისტემის მატრიცა EPS-ის გამოყენებით ნაბიჯ-სამკუთხა ფორმამდე. პროცედურის ასახსნელად, ჩვენ აღვნიშნავთ ხაზს მატრიცის რიცხვით, რომელიც გარდაიქმნება სიმბოლოთი. ისრის შემდეგ სვეტი მიუთითებს მატრიცის კონვერტაციის მწკრივებზე მოქმედებებზე, რომლებიც უნდა შესრულდეს ახალი მატრიცის რიგების მისაღებად.

.

ცხადია, მიღებული მატრიცის პირველი ორი სვეტი წრფივად დამოუკიდებელია, მესამე სვეტი მათი წრფივი კომბინაციაა, ხოლო მეოთხე არ არის დამოკიდებული პირველ ორზე. ვექტორები ძირითადს უწოდებენ. ისინი ქმნიან სისტემის მაქსიმალურ წრფივ დამოუკიდებელ ქვესისტემას და სისტემის წოდება არის სამი.

საფუძველი, კოორდინატები

დავალება 4.იპოვეთ ამ საფუძველზე ვექტორების საფუძველი და კოორდინატები გეომეტრიული ვექტორების სიმრავლეზე, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს პირობას .

გამოსავალი. კომპლექტი არის თვითმფრინავი, რომელიც გადის საწყისზე. თვითნებური საფუძველი სიბრტყეზე შედგება ორი არასწორხაზოვანი ვექტორისგან. შერჩეულ საფუძველში ვექტორების კოორდინატები განისაზღვრება წრფივი განტოლებათა შესაბამისი სისტემის ამოხსნით.

ამ პრობლემის გადაჭრის კიდევ ერთი გზა არსებობს, როდესაც კოორდინატების გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ საფუძველი.

კოორდინატები სივრცეები არ არის კოორდინატები სიბრტყეზე, რადგან ისინი დაკავშირებულია მიმართებით ანუ დამოუკიდებელნი არ არიან. დამოუკიდებელი ცვლადები და (მათ თავისუფალს უწოდებენ) ცალსახად განსაზღვრავენ ვექტორს სიბრტყეზე და, შესაბამისად, ისინი შეიძლება აირჩიონ კოორდინატებად. შემდეგ საფუძველი შედგება ვექტორებისგან, რომლებიც დევს და შეესაბამება თავისუფალი ცვლადების სიმრავლეს და ეს არის .

დავალება 5.იპოვეთ ამ საფუძველზე ვექტორების საფუძველი და კოორდინატები სივრცეში ყველა ვექტორის სიმრავლეზე, რომელთა კენტი კოორდინატები ერთმანეთის ტოლია.

გამოსავალი. მოდით ავირჩიოთ როგორც შიგნით წინა დავალება, კოორდინატები სივრცეში.

იმიტომ რომ , შემდეგ უფასო ცვლადები ცალსახად განსაზღვრავს ვექტორს და შესაბამისად არის კოორდინატები. შესაბამისი საფუძველი შედგება ვექტორებისგან.

დავალება 6.იპოვეთ ამ საფუძველში ვექტორების საფუძველი და კოორდინატები ფორმის ყველა მატრიცის სიმრავლეზე , სად - თვითნებური რიცხვები.

გამოსავალი. თითოეული მატრიცა ცალსახად წარმოდგენილია სახით:

ეს მიმართება არის ვექტორის გაფართოება საფუძვლის მიმართ
კოორდინატებით .

დავალება 7.იპოვეთ ვექტორთა სისტემის წრფივი კორპუსის განზომილება და საფუძველი

.

გამოსავალი. EPS-ის გამოყენებით, ჩვენ მატრიცას სისტემის ვექტორების კოორდინატებიდან გადავიყვანთ ნაბიჯ-სამკუთხა ფორმაში.

.

სვეტები ბოლო მატრიცები წრფივად დამოუკიდებელია, ხოლო სვეტები მათში წრფივად გამოხატული. ამიტომ ვექტორები საფუძველს ქმნის , და .

კომენტარი. ბაზაში არჩეულია ორაზროვნად. მაგალითად, ვექტორები ასევე ქმნის საფუძველს .