დამსხვრეული სამკუთხა პირამიდა. დამსხვრეული პირამიდა

ამ გაკვეთილზე ჩვენ შევხედავთ შეკვეცილ პირამიდას, გავეცნობით ჩვეულებრივ ჩამოჭრილ პირამიდას და შევისწავლით მათ თვისებებს.

გავიხსენოთ n-გონალური პირამიდის კონცეფცია სამკუთხა პირამიდის მაგალითის გამოყენებით. სამკუთხედი ABC მოცემულია. სამკუთხედის სიბრტყის გარეთ აღებულია წერტილი P, რომელიც დაკავშირებულია სამკუთხედის წვეროებთან. მიღებულ პოლიჰედრულ ზედაპირს პირამიდა ეწოდება (ნახ. 1).

ბრინჯი. 1. სამკუთხა პირამიდა

პირამიდა გავჭრათ პირამიდის ფუძის სიბრტყის პარალელურად. ამ სიბრტყეებს შორის მიღებულ ფიგურას წაკვეთილი პირამიდა ეწოდება (ნახ. 2).

ბრინჯი. 2. შეკვეცილი პირამიდა

ძირითადი ელემენტები:

ზედა ბაზა;

ABC ქვედა ბაზა;

გვერდითი სახე;

თუ PH არის თავდაპირველი პირამიდის სიმაღლე, მაშინ ეს არის შეკვეცილი პირამიდის სიმაღლე.

შეკვეცილი პირამიდის თვისებები წარმოიქმნება მისი აგების მეთოდიდან, კერძოდ, ფუძეების სიბრტყეების პარალელიზმიდან:

დამსხვრეული პირამიდის ყველა გვერდითი სახე ტრაპეციაა. განვიხილოთ, მაგალითად, ზღვარი. მას აქვს პარალელური სიბრტყეების თვისება (რადგან სიბრტყეები პარალელურია, ისინი ჭრიან ორიგინალური AVR პირამიდის გვერდით ნაწილს პარალელური სწორი ხაზების გასწვრივ), მაგრამ ამავე დროს ისინი არ არიან პარალელური. ცხადია, ოთხკუთხედი არის ტრაპეცია, ისევე როგორც დამსხვრეული პირამიდის ყველა გვერდითი სახე.

ფუძეების თანაფარდობა ყველა ტრაპეციისთვის ერთნაირია:

ჩვენ გვაქვს რამდენიმე წყვილი მსგავსი სამკუთხედი იგივე მსგავსების კოეფიციენტით. მაგალითად, სამკუთხედები და RAB მსგავსია სიბრტყეების პარალელურობის და მსგავსების კოეფიციენტის გამო:

ამავდროულად, სამკუთხედები და RVS მსგავსია მსგავსების კოეფიციენტით:

ცხადია, მსგავსი სამკუთხედის სამივე წყვილის მსგავსების კოეფიციენტები ტოლია, ამიტომ ფუძეების თანაფარდობა ყველა ტრაპეციის ერთნაირია.

რეგულარული დამსხვრეული პირამიდა არის დამსხვრეული პირამიდა, რომელიც მიიღება რეგულარული პირამიდის ძირის პარალელურად სიბრტყით მოჭრით (ნახ. 3).

ბრინჯი. 3. რეგულარული შეკვეცილი პირამიდა

განმარტება.

პირამიდას უწოდებენ რეგულარულს, თუ მისი ფუძე არის რეგულარული n-გონი, და მისი წვერო არის დაპროექტებული ამ n-გონის ცენტრში (ჩამოწერილი და შემოხაზული წრის ცენტრი).

ამ შემთხვევაში, პირამიდის ძირში არის კვადრატი, ხოლო ზემოდან არის დაპროექტებული მისი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში. მიღებულ რეგულარულ ოთხკუთხა ჩამოჭრილ პირამიდას ABCD აქვს ქვედა ფუძე და ზედა ფუძე. თავდაპირველი პირამიდის სიმაღლეა RO, შეკვეცილი პირამიდა არის (ნახ. 4).

ბრინჯი. 4. რეგულარული ოთხკუთხა ჩამოჭრილი პირამიდა

განმარტება.

დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც შედგენილია ერთი ფუძის ნებისმიერი წერტილიდან მეორე ფუძის სიბრტყემდე.

თავდაპირველი პირამიდის აპოთემა არის RM (M არის AB-ის შუა), დამსხვრეული პირამიდის აპთემა არის (ნახ. 4).

განმარტება.

დამსხვრეული პირამიდის აპოთემა არის ნებისმიერი გვერდითი სახის სიმაღლე.

ნათელია, რომ დამსხვრეული პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ერთმანეთის ტოლია, ანუ გვერდითი მხარეები თანაბარი ტოლფერდა ტრაპეციაა.

რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძეების პერიმეტრისა და აპოთემის ჯამის ნახევრის ნამრავლს.

მტკიცებულება (რეგულარული ოთხკუთხა ჩამოჭრილი პირამიდისთვის - სურ. 4):

ასე რომ, ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ:

გვერდითი ზედაპირის ფართობი აქ შედგება გვერდითი სახეების ფართობების ჯამისაგან - ტრაპეცია. ვინაიდან ტრაპეცია ერთნაირია, გვაქვს:

ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობი არის ფუძეების ჯამის ნახევრის ნამრავლი და აპოთემა არის ტრაპეციის სიმაღლე. ჩვენ გვაქვს:

ქ.ე.დ.

n-გონალური პირამიდისთვის:

სადაც n არის პირამიდის გვერდითი სახეების რაოდენობა, a და b არის ტრაპეციის ფუძეები და არის აპოთემა.

რეგულარული ჩამოჭრილი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები ტოლია 3 სმ და 9 სმ, სიმაღლე - 4 სმ იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ბრინჯი. 5. ილუსტრაცია 1-ლი პრობლემისთვის

გამოსავალი. მოდით ილუსტრაციულად ვაჩვენოთ მდგომარეობა:

იკითხა: , ,

O წერტილის გავლით ვხაზავთ სწორ ხაზს MN ქვედა ფუძის ორი მხარის პარალელურად და ანალოგიურად წერტილის მეშვეობით ვხაზავთ სწორ ხაზს (სურ. 6). იმის გამო, რომ დამსხვრეული პირამიდის ფუძეებზე კვადრატები და კონსტრუქციები პარალელურია, ვიღებთ ტრაპეციას, რომელიც ტოლია გვერდითი სახეების. უფრო მეტიც, მისი გვერდითი მხარე გაივლის გვერდითი სახეების ზედა და ქვედა კიდეების შუა ნაწილებს და იქნება დამსხვრეული პირამიდის აპოთემა.

ბრინჯი. 6. დამატებითი კონსტრუქციები

განვიხილოთ მიღებული ტრაპეცია (სურ. 6). ამ ტრაპეციაში ცნობილია ზედა ფუძე, ქვედა ფუძე და სიმაღლე. თქვენ უნდა იპოვოთ მხარე, რომელიც არის მოცემული დამსხვრეული პირამიდის აპოთემა. დავხატოთ MN-ზე პერპენდიკულარული. წერტილიდან ჩვენ ვამცირებთ პერპენდიკულარულ NQ-ს. ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ უფრო დიდი ბაზა დაყოფილია სამი სანტიმეტრის სეგმენტებად (). განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი, მასში ფეხები ცნობილია, ეს არის ეგვიპტური სამკუთხედი, პითაგორას თეორემის გამოყენებით განვსაზღვრავთ ჰიპოტენუზის სიგრძეს: 5 სმ.

ახლა არის ყველა ელემენტი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის დასადგენად:

პირამიდა იკვეთება ფუძის პარალელურად სიბრტყით. დაამტკიცეთ სამკუთხა პირამიდის მაგალითით, რომ პირამიდის გვერდითი კიდეები და სიმაღლე ამ სიბრტყით იყოფა პროპორციულ ნაწილებად.

მტკიცებულება. მოდით ილუსტრაციით:

ბრინჯი. 7. ილუსტრაცია მე-2 ამოცანისთვის

მოცემულია RABC პირამიდა. PO - პირამიდის სიმაღლე. პირამიდა იჭრება სიბრტყით, მიიღება დამსხვრეული პირამიდა და. წერტილი - RO-ს სიმაღლის გადაკვეთის წერტილი დამსხვრეული პირამიდის ფუძის სიბრტყესთან. აუცილებელია დაამტკიცოს:

ამოხსნის გასაღები არის პარალელური სიბრტყეების თვისება. ორი პარალელური სიბრტყე კვეთს ნებისმიერ მესამე სიბრტყეს ისე, რომ გადაკვეთის ხაზები პარალელურია. აქედან: . შესაბამისი წრფეების პარალელიზმი გულისხმობს ოთხი წყვილი მსგავსი სამკუთხედის არსებობას:

სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს შესაბამისი გვერდების პროპორციულობა. მნიშვნელოვანი თვისება ის არის, რომ ამ სამკუთხედების მსგავსების კოეფიციენტები იგივეა:

ქ.ე.დ.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდა RABC ფუძის სიმაღლით და გვერდით იშლება სიბრტყით, რომელიც გადის PH სიმაღლის შუაში ABC ფუძის პარალელურად. იპოვნეთ შედეგად დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

გამოსავალი. მოდით ილუსტრაციით:

ბრინჯი. 8. ილუსტრაცია მე-3 პრობლემისთვის

ACB არის რეგულარული სამკუთხედი, H არის ამ სამკუთხედის ცენტრი (ჩამოწერილი და შემოხაზული წრეების ცენტრი). RM არის მოცემული პირამიდის აპოთემა. - დამსხვრეული პირამიდის აპოთემა. პარალელური სიბრტყეების თვისების მიხედვით (ორი პარალელური სიბრტყე ჭრის ნებისმიერ მესამე სიბრტყეს ისე, რომ გადაკვეთის ხაზები პარალელური იყოს), გვაქვს რამდენიმე წყვილი მსგავსი სამკუთხედი თანაბარი მსგავსების კოეფიციენტით. კერძოდ, ჩვენ გვაინტერესებს ურთიერთობა:

მოდი ვიპოვოთ NM. ეს არის ფუძეში ჩაწერილი წრის რადიუსი, ჩვენ ვიცით შესაბამისი ფორმულა:

ახლა მარჯვენა სამკუთხედიდან PHM, პითაგორას თეორემის გამოყენებით, ვპოულობთ RM - ორიგინალური პირამიდის აპოთემას:

საწყისი თანაფარდობიდან:

ახლა ჩვენ ვიცით ყველა ელემენტი დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის საპოვნელად:

ასე რომ, ჩვენ გავეცანით დამსხვრეული პირამიდის ცნებებს, მივეცით ძირითადი განმარტებები, განვიხილეთ თვისებები და დავამტკიცეთ თეორემა გვერდითი ზედაპირის ფართობზე. შემდეგი გაკვეთილი ყურადღებას გაამახვილებს პრობლემის გადაჭრაზე.

ცნობები

1. I. M. სმირნოვა, V. A. სმირნოვი. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (საბაზო და სპეციალიზებული დონეები) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - მე-5 გამოცემა, რევ. და დამატებითი - მ.: მნემოსინე, 2008. - 288 გვ.: ილ.
2. შარიგინი I.F. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 გვ.: ill.
3. ე.ვ.პოტოსკუევი, ლ.ი.ზვალიჩი. გეომეტრია. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული და სპეციალიზებული შესწავლით /E. ვ.პოტოსკუევი, ლ.ი.ზვალიჩი. - მე-6 გამოცემა, სტერეოტიპი. - M.: Bustard, 2008. - 233გვ.: ავად.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

საშინაო დავალება

როგორ შეიძლება პირამიდის აშენება? თვითმფრინავში რავაშენოთ მრავალკუთხედი, მაგალითად ხუთკუთხედი ABCDE. თვითმფრინავიდან რავიღოთ წერტილი S. S წერტილის სეგმენტებთან მრავალკუთხედის ყველა წერტილთან შეერთებით მივიღებთ SABCDE პირამიდას (ნახ.).

წერტილი S ეწოდება ზედა, და პოლიგონი ABCDE არის საფუძველიეს პირამიდა. ამრიგად, პირამიდა ზედა S და ფუძე ABCDE არის ყველა სეგმენტის გაერთიანება, სადაც M ∈ ABCDE.

სამკუთხედებს SAB, SBC, SCD, SDE, SEA ეწოდება გვერდითი სახეებიპირამიდები, გვერდითი სახეების საერთო მხარეები SA, SB, SC, SD, SE - გვერდითი ნეკნები.

პირამიდები ე.წ სამკუთხა, ოთხკუთხა, p-კუთხოვანიბაზის მხარეთა რაოდენობის მიხედვით. ნახ. მოცემულია სამკუთხა, ოთხკუთხა და ექვსკუთხა პირამიდების გამოსახულებები.

პირამიდის თავზე და ფუძის დიაგონალზე გამავალ სიბრტყეს ეწოდება დიაგონალი, და შედეგად განყოფილება არის დიაგონალი.ნახ. 186 ექვსკუთხა პირამიდის ერთ-ერთი დიაგონალური მონაკვეთი დაჩრდილულია.

პირამიდის ზევით გავლებულ პერპენდიკულარულ სეგმენტს მისი ფუძის სიბრტყემდე ეწოდება პირამიდის სიმაღლე (ამ სეგმენტის ბოლოებია პირამიდის მწვერვალი და პერპენდიკულარულის ფუძე).

პირამიდა ე.წ სწორი, თუ პირამიდის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და პირამიდის წვერო დაპროექტებულია მის ცენტრში.

რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი სახე არის თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედები. ჩვეულებრივ პირამიდაში ყველა გვერდითი კიდე კონგრუენტულია.

მისი წვეროდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემაპირამიდები. რეგულარული პირამიდის ყველა აპოთემა თანმიმდევრულია.

თუ ფუძის მხარეს დავნიშნავთ როგორც ა, და აპოთემის მეშვეობით თ, მაშინ პირამიდის ერთი მხარის ფართობი არის 1/2 აჰ.

პირამიდის ყველა გვერდითი მხარის ფართობების ჯამი ეწოდება გვერდითი ზედაპირის ფართობიპირამიდა და მითითებულია S მხარით.

ვინაიდან რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირი შედგება ნკონგრუენტული სახეები, მაშინ

S მხარე = 1/2 აჰნ= პ თ / 2 ,

სადაც P არის პირამიდის ფუძის პერიმეტრი. აქედან გამომდინარე,

S მხარე = პ თ / 2

ე.ი. რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის ნამრავლის ნახევარს.

პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით

S = S ocn. + S მხარე. .

პირამიდის მოცულობა უდრის მისი ფუძის S ocn ფართობის პროდუქტის მესამედს. H სიმაღლემდე:

V = 1/3 S მთავარი. ნ.

ამ და ზოგიერთი სხვა ფორმულის წარმოშობა იქნება მოცემული ერთ-ერთ მომდევნო თავში.

მოდი ახლა სხვანაირად ავაშენოთ პირამიდა. მიეცით მრავალწახნაგოვანი კუთხე, მაგალითად, ხუთკუთხედი, S წვერით (ნახ.).

მოდით დავხატოთ თვითმფრინავი რისე, რომ იგი კვეთს მოცემული მრავალწახნაგოვანი კუთხის ყველა კიდეს A, B, C, D, E სხვადასხვა წერტილებზე (ნახ.). მაშინ SABCDE პირამიდა შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც მრავალწახნაგოვანი კუთხისა და ნახევრად სივრცის კვეთა საზღვართან. რ, რომელშიც S წვერო დევს.

ცხადია, პირამიდის ყველა სახის რაოდენობა შეიძლება იყოს თვითნებური, მაგრამ არანაკლებ ოთხი. როდესაც სამკუთხედი კვეთს სიბრტყეს, მიიღება სამკუთხა პირამიდა, რომელსაც აქვს ოთხი გვერდი. ნებისმიერ სამკუთხა პირამიდას ზოგჯერ უწოდებენ ტეტრაედონი, რაც ნიშნავს ტეტრაედრონს.

დამსხვრეული პირამიდაშეიძლება მივიღოთ, თუ პირამიდა იკვეთება ფუძის სიბრტყის პარალელურად.

ნახ. მოცემულია ოთხკუთხა ჩამოჭრილი პირამიდის გამოსახულება.

მოკვეთილ პირამიდებსაც უწოდებენ სამკუთხა, ოთხკუთხა, n-გონალურიბაზის მხარეთა რაოდენობის მიხედვით. შეკვეცილი პირამიდის აგებიდან გამომდინარეობს, რომ მას აქვს ორი ფუძე: ზედა და ქვედა. დამსხვრეული პირამიდის ფუძეები ორი მრავალკუთხედია, რომელთა გვერდები წყვილად პარალელურია. დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი სახეები ტრაპეციაა.

სიმაღლედამსხვრეული პირამიდა არის პერპენდიკულარული სეგმენტი, რომელიც გამოყვანილია ზედა ფუძის ნებისმიერი წერტილიდან ქვედა სიბრტყემდე.

რეგულარული შეკვეცილი პირამიდაეწოდება რეგულარული პირამიდის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და ფუძის პარალელურ მონაკვეთის სიბრტყეს შორის. რეგულარული ჩამოჭრილი პირამიდის (ტრაპეციის) გვერდითი სახის სიმაღლეს უწოდებენ აპოთემა.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ რეგულარულ ჩამოსხმულ პირამიდას აქვს თანმიმდევრული გვერდითი კიდეები, ყველა გვერდითი სახე კონგრუენტულია და ყველა აპოთემა თანმიმდევრულია.

თუ სწორად შეკვეცილი ნ- ნახშირის პირამიდის გავლით ადა b nმიუთითეთ ზედა და ქვედა ბაზის გვერდების სიგრძეები და მეშვეობით თარის აპოთემის სიგრძე, მაშინ პირამიდის თითოეული გვერდითი სახის ფართობი უდრის

1 / 2 (ა + b n) თ

პირამიდის ყველა გვერდითი ზედაპირის ფართობების ჯამს ეწოდება მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი და აღინიშნება S მხარე. . ცხადია, სწორი შეკვეცისთვის ნ- ქვანახშირის პირამიდა

S მხარე = ნ 1 / 2 (ა + b n) თ.

იმიტომ რომ პა= P და nb n= P 1 - დამსხვრეული პირამიდის ფუძეების პერიმეტრი, შემდეგ

S მხარე = 1/2 (P + P 1) სთ,

ანუ, რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის მისი ფუძეების პერიმეტრისა და აპოთემის ჯამის ნამრავლის ნახევარს.

განყოფილება პირამიდის ფუძის პარალელურად

1) გვერდითი ნეკნები და სიმაღლე დაყოფილი იქნება პროპორციულ ნაწილებად;

2) კვეთაში მიიღებთ ფუძის მსგავს მრავალკუთხედს;

3) განივი უბნები და ფუძეები დაკავშირებულია ზემოდან მათი მანძილების კვადრატებად.

საკმარისია სამკუთხა პირამიდის თეორემის დამტკიცება.

ვინაიდან პარალელური სიბრტყეები იკვეთება მესამე სიბრტყით პარალელური ხაზების გასწვრივ, მაშინ (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (ნახ.).

პარალელური ხაზები ჭრის კუთხის გვერდებს პროპორციულ ნაწილებად და ამიტომ

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\მარჯვნივ| )=\frac(\მარცხნივ|(SC)\მარჯვნივ|)(\მარცხნივ|(SC_1)\მარჯვნივ|) $$

ამიტომ, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 და

$$ \frac(\მარცხნივ|(AB)\მარჯვნივ|)(\მარცხნივ|(A_(1)B_1)\მარჯვნივ )\მარჯვნივ|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 და

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\მარჯვნივ )\მარჯვნივ|)=\frac(\მარცხნივ|(SC)\მარჯვნივ|)(\მარცხნივ|(SC_1)\მარჯვნივ|) $$

ამრიგად,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\მარჯვნივ (1)C_1)\მარჯვნივ|)=\frac(\მარცხნივ|(AC)\მარჯვნივ|)(\მარცხნივ|(A_(1)C_1)\მარჯვნივ|) $$

ABC და A 1 B 1 C 1 სამკუთხედების შესაბამისი კუთხეები მსგავსია პარალელური და იდენტური გვერდების მქონე კუთხეების მსგავსად. ამიტომაც

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

მსგავსი სამკუთხედების ფართობი დაკავშირებულია შესაბამისი გვერდების კვადრატებად:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\მარცხენა|(AB)\მარჯვნივ|^2)(\მარცხნივ|(A_(1)B_1)\მარჯვნივ|^2 ) $$

$$ \frac(\მარცხენა|(AB)\მარჯვნივ|)(\მარცხნივ|(A_(1)B_1)\მარჯვნივ )\მარჯვნივ|) $$

აქედან გამომდინარე,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\მარცხენა|(SH)\მარჯვნივ|^2)(\მარცხნივ|(SH_1)\მარჯვნივ|^2) $$

თეორემა. თუ თანაბარი სიმაღლის ორი პირამიდა ზემოდან ერთსა და იმავე მანძილზეა მოჭრილი ფუძეების პარალელურად, მაშინ მონაკვეთების ფართობები ფუძეების ფართობების პროპორციულია.

მოდით (ნახ. 84) B და B 1 იყოს ორი პირამიდის ფუძის ფართობი, H იყოს თითოეული მათგანის სიმაღლე, ბდა ბ 1 - სექციური უბნები სიბრტყეების მიერ ბაზების პარალელურად და ამოღებული წვეროებიდან იმავე მანძილზე თ.

წინა თეორემის მიხედვით გვექნება:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: და \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
სადაც
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: ან \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

შედეგი.თუ B = B 1, მაშინ ბ = ბ 1, ე.ი. თუ თანაბარი სიმაღლის ორ პირამიდას აქვს თანაბარი ფუძე, მაშინ ზემოდან თანაბრად დაშორებული მონაკვეთებიც თანაბარია.

პირამიდაარის მრავალკუთხედი, რომლის ერთ-ერთი სახე არის მრავალკუთხედი ( ბაზა ), და ყველა სხვა სახე არის სამკუთხედი საერთო წვერით ( გვერდითი სახეები ) (სურ. 15). პირამიდა ე.წ სწორი , თუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში (სურ. 16). სამკუთხა პირამიდა, რომლის ყველა კიდე ტოლია, ეწოდება ტეტრაედონი .

გვერდითი ნეკნიპირამიდის არის გვერდითი სახის მხარე, რომელიც არ ეკუთვნის ფუძეს სიმაღლე პირამიდა არის მანძილი მისი ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე. რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ერთმანეთის ტოლია, ყველა გვერდითი სახე თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედია. წვეროდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემა . დიაგონალური განყოფილება ეწოდება პირამიდის მონაკვეთს სიბრტყით, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთსა და იმავე სახეს.

გვერდითი ზედაპირის ფართობიპირამიდა არის ყველა გვერდითი სახის ფართობის ჯამი. მთლიანი ზედაპირის ფართობი ეწოდება ყველა მხარისა და ფუძის ფართობების ჯამს.

თეორემები

1. თუ პირამიდაში ყველა გვერდითი კიდეები თანაბრად არის დახრილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ პირამიდის ზევით არის დაპროექტებული ფუძის მახლობლად შემოხაზული წრის ცენტრში.

2. თუ პირამიდის ყველა გვერდითა კიდეს აქვს თანაბარი სიგრძე, მაშინ პირამიდის ზევით არის დაპროექტებული ფუძის მახლობლად შემოხაზული წრის ცენტრში.

3. თუ პირამიდის ყველა სახე თანაბრად არის დახრილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ პირამიდის ზევით არის დაპროექტებული ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრში.

თვითნებური პირამიდის მოცულობის გამოსათვლელად სწორი ფორმულაა:

სად ვ- მოცულობა;

S ბაზა- ბაზის ფართობი;

ჰ- პირამიდის სიმაღლე.

ჩვეულებრივი პირამიდისთვის სწორია შემდეგი ფორმულები:

სად გვ- ბაზის პერიმეტრი;

სთ ა- აპოთემა;

ჰ- სიმაღლე;

S სავსე

S მხარე

S ბაზა- ბაზის ფართობი;

ვ- რეგულარული პირამიდის მოცულობა.

დამსხვრეული პირამიდაეწოდება პირამიდის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და პირამიდის ფუძის პარალელურად საჭრელ სიბრტყეს შორის (სურ. 17). რეგულარული შეკვეცილი პირამიდა ეწოდება რეგულარული პირამიდის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და პირამიდის ფუძის პარალელურად საჭრელ სიბრტყეს შორის.

საფუძვლებიშეკვეცილი პირამიდა - მსგავსი მრავალკუთხედები. გვერდითი სახეები - ტრაპეცია. სიმაღლე შეკვეცილი პირამიდის არის მანძილი მის ფუძეებს შორის. დიაგონალი შეკვეცილი პირამიდა არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მის წვეროებს, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე. დიაგონალური განყოფილება არის ჩამოჭრილი პირამიდის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთსა და იმავე სახეს.

შეკვეცილი პირამიდისთვის მოქმედებს შემდეგი ფორმულები:

(4)

სად ს 1 , ს 2 – ზედა და ქვედა ბაზის უბნები;

S სავსე- მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

S მხარე- გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

ჰ- სიმაღლე;

ვ- დამსხვრეული პირამიდის მოცულობა.

ჩვეულებრივი შეკვეცილი პირამიდისთვის ფორმულა სწორია:

სად გვ 1 , გვ 2 – ბაზების პერიმეტრი;

სთ ა- რეგულარული ჩამოსხმული პირამიდის აპოთემა.

მაგალითი 1.რეგულარულ სამკუთხა პირამიდაში, ფუძეზე ორკუთხა კუთხე არის 60º. იპოვეთ გვერდითი კიდის დახრილობის კუთხის ტანგენსი ფუძის სიბრტყეზე.

გამოსავალი.დავხატოთ ნახატი (სურ. 18).

პირამიდა რეგულარულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ფუძესთან არის ტოლგვერდა სამკუთხედი და ყველა გვერდითი მხარე თანაბარი ტოლგვერდა სამკუთხედია. ძირის დიედრული კუთხე არის პირამიდის გვერდითი სახის დახრილობის კუთხე ფუძის სიბრტყეზე. წრფივი კუთხე არის კუთხე აორ პერპენდიკულარს შორის: ა.შ. პირამიდის მწვერვალი გამოსახულია სამკუთხედის ცენტრში (წრიული წრის ცენტრი და სამკუთხედის ჩაწერილი წრე ABC). გვერდითი კიდის დახრილობის კუთხე (მაგალითად ს.ბ.) არის კუთხე თავად კიდესა და მის პროექციას ფუძის სიბრტყეზე. ნეკნისთვის ს.ბ.ეს კუთხე იქნება კუთხე SBD. ტანგენტის საპოვნელად თქვენ უნდა იცოდეთ ფეხები ასე რომდა ო.ბ.. მიეცით სეგმენტის სიგრძე BDუდრის 3 ა. წერტილი შესახებსეგმენტი BDიყოფა ნაწილებად: და From ჩვენ ვპოულობთ ასე რომ: ჩვენგან ვპოულობთ:

პასუხი:

მაგალითი 2.იპოვეთ რეგულარული ჩამოჭრილი ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა, თუ მისი ფუძეების დიაგონალები უდრის სმ და სმ-ს, ხოლო სიმაღლე 4 სმ.

გამოსავალი.დამსხვრეული პირამიდის მოცულობის საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას (4). ფუძეების ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ ბაზის კვადრატების გვერდები, იცოდეთ მათი დიაგონალები. ფუძის გვერდები ტოლია, შესაბამისად, 2 სმ და 8 სმ, ეს ნიშნავს ფუძის ფართობებს და ყველა მონაცემის ფორმულაში ჩანაცვლებით, ჩვენ გამოვთვალეთ შეკვეცილი პირამიდის მოცულობა:

პასუხი: 112 სმ 3.

მაგალითი 3.იპოვნეთ რეგულარული სამკუთხა ჩამოჭრილი პირამიდის გვერდითი სახის ფართობი, რომლის ფუძის გვერდებია 10 სმ და 4 სმ, ხოლო პირამიდის სიმაღლე 2 სმ.

გამოსავალი.დავხატოთ ნახატი (სურ. 19).

ამ პირამიდის გვერდითი მხარე არის ტოლფერდა ტრაპეცია. ტრაპეციის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ბაზა და სიმაღლე. ბაზები მოცემულია პირობის მიხედვით, უცნობია მხოლოდ სიმაღლე. ჩვენ მას საიდან ვიპოვით ა 1 ეპერპენდიკულარული წერტილიდან ა 1 ქვედა ბაზის სიბრტყეზე, ა 1 დ- პერპენდიკულარულად ა 1 თითო AC. ა 1 ე= 2 სმ, რადგან ეს არის პირამიდის სიმაღლე. საპოვნელად DEდავხატოთ დამატებითი ნახაზი, რომელიც გვიჩვენებს ზედა ხედს (სურ. 20). წერტილი შესახებ– ზედა და ქვედა ფუძის ცენტრების პროექცია. წლიდან (იხ. სურ. 20) და მეორე მხრივ OK– წრეში ჩაწერილი რადიუსი და OM- წრეში ჩაწერილი რადიუსი:

MK = DE.

პითაგორას თეორემის მიხედვით

გვერდითი სახის ფართობი:

პასუხი:

მაგალითი 4.პირამიდის ძირში დევს ტოლფერდა ტრაპეცია, რომლის ფუძეები ადა ბ (ა> ბ). თითოეული გვერდითი სახე ქმნის პირამიდის ფუძის სიბრტყის ტოლ კუთხეს ჯ. იპოვნეთ პირამიდის მთლიანი ზედაპირი.

გამოსავალი.დავხატოთ ნახატი (სურ. 21). პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი SABCDუდრის ფართობების ჯამს და ტრაპეციის ფართობს ABCD.

გამოვიყენოთ განცხადება, რომ თუ პირამიდის ყველა სახე თანაბრად არის დახრილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ წვერო პროეცირდება ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრში. წერტილი შესახებ- წვეროს პროექცია სპირამიდის ძირში. სამკუთხედი SODარის სამკუთხედის ორთოგონალური პროექცია CSDბაზის სიბრტყემდე. სიბრტყე ფიგურის ორთოგონალური პროექციის ფართობზე თეორემის გამოყენებით ვიღებთ:

ანალოგიურად ნიშნავს ამრიგად, პრობლემა შემცირდა ტრაპეციის არეალის პოვნამდე ABCD. დავხატოთ ტრაპეცია ABCDცალკე (სურ. 22). წერტილი შესახებ– ტრაპეციაში ჩაწერილი წრის ცენტრი.

ვინაიდან წრე შეიძლება ჩაიწეროს ტრაპეციაში, მაშინ ან პითაგორას თეორემიდან გვაქვს

განმარტება 1. პირამიდას უწოდებენ რეგულარულს, თუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, ხოლო ასეთი პირამიდის წვერო დაპროექტებულია მისი ფუძის ცენტრში.

განმარტება 2. პირამიდას ეწოდება რეგულარული, თუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და მისი სიმაღლე გადის ფუძის ცენტრში.

რეგულარული პირამიდის ელემენტები

• მისი წვეროდან გამოყვანილი გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემა. ფიგურაში იგი მითითებულია, როგორც სეგმენტი ON
• გვერდითი კიდეების დამაკავშირებელი წერტილი და არ დევს ფუძის სიბრტყეში ეწოდება პირამიდის მწვერვალი(შესახებ)
• სამკუთხედებს, რომლებსაც აქვთ საერთო გვერდი ფუძესთან და ერთ-ერთი წვერო, რომელიც ემთხვევა წვეროს, ეწოდება გვერდითი სახეები(AOD, DOC, COB, AOB)
• პირამიდის ზევით გამოყვანილი პერპენდიკულარული სეგმენტი მისი ფუძის სიბრტყემდე ეწოდება პირამიდის სიმაღლე(კარგი)
• პირამიდის დიაგონალური მონაკვეთი- ეს არის მონაკვეთი, რომელიც გადის ფუძის მწვერვალზე და დიაგონალზე (AOC, BOD)
• მრავალკუთხედს, რომელიც არ ეკუთვნის პირამიდის წვეროს, ეწოდება პირამიდის საფუძველი(ABCD)

თუ ბაზაზე რეგულარული პირამიდადევს სამკუთხედი, ოთხკუთხედი და ა.შ. მაშინ მას ეძახიან რეგულარული სამკუთხა , ოთხკუთხადა ა.შ.

სამკუთხა პირამიდა არის ტეტრაჰედრონი - ტეტრაედონი.

რეგულარული პირამიდის თვისებები

ამოცანების გადასაჭრელად საჭიროა ვიცოდეთ ცალკეული ელემენტების თვისებები, რომლებიც ჩვეულებრივ გამოტოვებულია მდგომარეობაში, ვინაიდან მიჩნეულია, რომ მოსწავლემ ეს თავიდანვე უნდა იცოდეს.

• გვერდითი ნეკნები თანაბარიამათ შორის
• აპოთემები თანაბარია
• გვერდითი სახეები თანაბარიაერთმანეთში (ამ შემთხვევაში მათი ფართობი, გვერდები და ფუძეები შესაბამისად ტოლია), ანუ ტოლი სამკუთხედებია.
• ყველა გვერდითი სახე თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედია
• ნებისმიერ ჩვეულებრივ პირამიდაში შეგიძლიათ მოერგოთ და აღწეროთ სფერო მის გარშემო
• თუ შემოხაზული და შემოხაზული სფეროების ცენტრები ემთხვევა, მაშინ პირამიდის ზედა კუთხეების ჯამი უდრის π და თითოეული მათგანი არის π/n, შესაბამისად, სადაც n არის ფუძის გვერდების რაოდენობა. მრავალკუთხედი
• რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის ნამრავლის ნახევარს.
• წრე შეიძლება შემოიფარგლოს რეგულარული პირამიდის ფუძის გარშემო (იხილეთ აგრეთვე სამკუთხედის შემოხაზული წრის რადიუსი)
• ყველა გვერდითი სახე ქმნის თანაბარ კუთხეებს რეგულარული პირამიდის ფუძის სიბრტყესთან
• გვერდითი სახეების ყველა სიმაღლე ერთმანეთის ტოლია

ინსტრუქციები პრობლემების გადასაჭრელად. ზემოთ ჩამოთვლილი თვისებები უნდა დაეხმაროს პრაქტიკულ გადაწყვეტას. თუ თქვენ უნდა იპოვოთ სახეების დახრილობის კუთხეები, მათი ზედაპირი და ა. საერთოა რამდენიმე ფიგურისთვის.

აუცილებელია მთელი სამგანზომილებიანი ფიგურის დაყოფა ცალკეულ ელემენტებად - სამკუთხედები, კვადრატები, სეგმენტები. შემდეგი, გამოიყენეთ ცოდნა პლანიმეტრიის კურსიდან ცალკეულ ელემენტებზე, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს პასუხის პოვნას.

ჩვეულებრივი პირამიდის ფორმულები

მოცულობის და გვერდითი ზედაპირის ფართობის დასადგენად ფორმულები:

აღნიშვნები:
V - პირამიდის მოცულობა
S - ბაზის ფართობი
h - პირამიდის სიმაღლე
Sb - გვერდითი ზედაპირის ფართობი
a - აპოთემა (არ უნდა აგვერიოს α-სთან)
P - ბაზის პერიმეტრი
n - ფუძის გვერდების რაოდენობა
ბ - გვერდითი ნეკნის სიგრძე
α - ბრტყელი კუთხე პირამიდის ზედა ნაწილში

მოცულობის პოვნის ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდამისთვის სწორი პირამიდა:

, სად

V - რეგულარული პირამიდის მოცულობა
h - რეგულარული პირამიდის სიმაღლე
n არის რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა, რომელიც არის რეგულარული პირამიდის საფუძველი
a - რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდის სიგრძე

რეგულარული შეკვეცილი პირამიდა

თუ პირამიდის ფუძის პარალელურ მონაკვეთს დავხატავთ, მაშინ ამ სიბრტყესა და გვერდით ზედაპირს შორის ჩასმული სხეული ე.წ. შეკვეცილი პირამიდა. შეკვეცილი პირამიდის ეს მონაკვეთი მისი ერთ-ერთი საფუძველია.

გვერდითი სახის სიმაღლეს (რომელიც არის ტოლფერდა ტრაპეცია) ეწოდება - რეგულარული დამსხვრეული პირამიდის აპოთემა.

წაკვეთილ პირამიდას რეგულარულს უწოდებენ, თუ პირამიდა, საიდანაც იგი წარმოიშვა, რეგულარულია.

• წაკვეთილი პირამიდის ფუძეებს შორის მანძილი ეწოდება დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე
• ყველა ჩვეულებრივი ჩამოჭრილი პირამიდის სახეებიარის ტოლგვერდა (ტოლფერდა) ტრაპეცია

შენიშვნები

აგრეთვე იხილეთ:სპეციალური შემთხვევები (ფორმულები) ჩვეულებრივი პირამიდისთვის:

როგორ გამოვიყენოთ აქ მოწოდებული თეორიული მასალებითქვენი პრობლემის გადასაჭრელად:

პირამიდა- ეს არის პოლიედონი, რომელშიც ერთი სახე არის პირამიდის საფუძველი - თვითნებური მრავალკუთხედი, ხოლო დანარჩენი გვერდითი სახეებია - სამკუთხედები საერთო წვერით, რომელსაც პირამიდის მწვერვალი ეწოდება. პირამიდის ზემოდან მის ფუძემდე ჩამოვარდნილ პერპენდიკულარს ე.წ პირამიდის სიმაღლე. პირამიდას უწოდებენ სამკუთხედს, ოთხკუთხედს და ა.შ., თუ ​​პირამიდის ფუძე არის სამკუთხედი, ოთხკუთხედი და ა.შ. სამკუთხა პირამიდა არის ტეტრაჰედრონი - ტეტრაედონი. ოთხკუთხა - ხუთკუთხედი და სხვ.

პირამიდა, დამსხვრეული პირამიდა

სწორი პირამიდა

თუ პირამიდის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და სიმაღლე ეცემა ფუძის ცენტრს, მაშინ პირამიდა რეგულარულია. ჩვეულებრივ პირამიდაში ყველა გვერდითი კიდე ტოლია, ყველა გვერდითი სახე თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედია. რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სამკუთხედის სიმაღლეს ეწოდება - რეგულარული პირამიდის აპოთემა.

დამსხვრეული პირამიდა

პირამიდის ფუძის პარალელური მონაკვეთი პირამიდას ორ ნაწილად ყოფს. პირამიდის ნაწილი მის ფუძესა და ამ მონაკვეთს შორის არის შეკვეცილი პირამიდა . შეკვეცილი პირამიდის ეს მონაკვეთი მისი ერთ-ერთი საფუძველია. წაკვეთილი პირამიდის ფუძეებს შორის მანძილს წაკვეთილი პირამიდის სიმაღლე ეწოდება. შეკვეცილ პირამიდას რეგულარულს უწოდებენ, თუ პირამიდა, საიდანაც იგი წარმოიშვა, იყო რეგულარული. რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის ყველა გვერდითი სახე თანაბარი ტოლფერდა ტრაპეციაა. რეგულარული ჩამოჭრილი პირამიდის გვერდითი სახის ტრაპეციის სიმაღლეს ეწოდება - რეგულარული დამსხვრეული პირამიდის აპოთემა.