განტოლება პარამეტრთან ერთად ერთადერთი გამოსავალია. განტოლებები პარამეტრებით

TO ამოცანები პარამეტრითეს შეიძლება მოიცავდეს, მაგალითად, ხაზოვანი და კვადრატული განტოლებების ამონახსნების ძიებას ზოგადი ფორმით, განტოლების შესწავლას ფესვების რაოდენობის შესახებ, პარამეტრის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

დეტალური განმარტებების გარეშე, განიხილეთ შემდეგი განტოლებები მაგალითებად:

y = kx, სადაც x, y არის ცვლადები, k არის პარამეტრი;

y = kx + b, სადაც x, y არის ცვლადები, k და b არის პარამეტრები;

ax 2 + bx + c = 0, სადაც x არის ცვლადები, a, b და c არის პარამეტრი.

განტოლების (უტოლობა, სისტემა) პარამეტრით ამოხსნა ნიშნავს, როგორც წესი, განტოლებათა უსასრულო სიმრავლის ამოხსნას (უტოლობა, სისტემები).

პარამეტრის მქონე ამოცანები შეიძლება დაიყოს ორ ტიპად:

ა)პირობა ამბობს: გადაწყვიტე განტოლება (უტოლობა, სისტემა) - ეს ნიშნავს, რომ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის იპოვეთ ყველა ამონახსნები. თუ ერთი შემთხვევა მაინც გამოუძიებელია, ასეთი გამოსავალი არ შეიძლება ჩაითვალოს დამაკმაყოფილებლად.

ბ)საჭიროა მიუთითოთ პარამეტრის შესაძლო მნიშვნელობები, რომლებზეც განტოლებას (უტოლობა, სისტემა) აქვს გარკვეული თვისებები. მაგალითად, მას აქვს ერთი ამონახსნი, არ აქვს ამონახსნები, აქვს ამონახსნები, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს და ა.შ. ასეთ ამოცანებში აუცილებელია ნათლად მიეთითოს რა პარამეტრის მნიშვნელობაზეა დაკმაყოფილებული საჭირო პირობა.

პარამეტრს, როგორც უცნობი ფიქსირებული რიცხვი, აქვს ერთგვარი განსაკუთრებული ორმაგი. უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია გავითვალისწინოთ, რომ სავარაუდო პოპულარობა მიუთითებს იმაზე, რომ პარამეტრი უნდა იყოს აღქმული როგორც რიცხვი. მეორეც, პარამეტრით მანიპულირების თავისუფლება შეზღუდულია მისი გაურკვევლობით. მაგალითად, გამონათქვამზე გაყოფის ოპერაციები, რომელიც შეიცავს პარამეტრს, ან ასეთი გამოსახულებიდან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღება მოითხოვს წინასწარ კვლევას. ამიტომ, პარამეტრის დამუშავებისას საჭიროა სიფრთხილე.

მაგალითად, ორი რიცხვის -6a და 3a შესადარებლად, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ სამი შემთხვევა:

1) -6a იქნება 3a-ზე მეტი, თუ a უარყოფითი რიცხვია;

2) -6a = 3a იმ შემთხვევაში, როდესაც a = 0;

3) -6a იქნება 3a-ზე ნაკლები, თუ a არის დადებითი რიცხვი 0.

გამოსავალი იქნება პასუხი.

მოცემული იყოს განტოლება kx = b. ეს განტოლება არის მოკლე ფორმა უსასრულო რაოდენობის განტოლებისთვის ერთი ცვლადით.

ასეთი განტოლებების ამოხსნისას შეიძლება იყოს შემთხვევები:

1. ვთქვათ k არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი და b იყოს ნებისმიერი რიცხვი R-დან, შემდეგ x = b/k.

2. ვთქვათ k = 0 და b ≠ 0, საწყისი განტოლება მიიღებს 0 x = b ფორმას. ცხადია, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

3. დავუშვათ k და b ნულის ტოლი რიცხვები, მაშინ გვაქვს ტოლობა 0 x = 0. მისი ამონახსნი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

ამ ტიპის განტოლების ამოხსნის ალგორითმი:

1. განსაზღვრეთ პარამეტრის „საკონტროლო“ მნიშვნელობები.

2. ამოხსენით ორიგინალური განტოლება x-სთვის იმ პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც განისაზღვრა პირველ აბზაცში.

3. ამოხსენით x-ის ორიგინალური განტოლება პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც განსხვავდება პირველ აბზაცში არჩეულიდან.

4. პასუხი შეგიძლიათ დაწეროთ შემდეგი ფორმით:

1) ...-სთვის (პარამეტრის მნიშვნელობები), განტოლებას აქვს ფესვები ...;

2) ...-სთვის (პარამეტრის მნიშვნელობები), განტოლებაში არ არის ფესვები.

მაგალითი 1.

ამოხსენით განტოლება |6 – x| პარამეტრით = ა.

გამოსავალი.

ადვილი მისახვედრია, რომ ≥ 0 აქ.

მე-6 მოდულის წესის მიხედვით – x = ±a, გამოვხატავთ x:

პასუხი: x = 6 ± a, სადაც a ≥ 0.

მაგალითი 2.

ამოხსენით განტოლება a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 x ცვლადის მიმართ.

გამოსავალი.

გავხსნათ ფრჩხილები: aх – а + 2х – 2 = 0

დავწეროთ განტოლება სტანდარტული ფორმით: x(a + 2) = a + 2.

თუ გამოხატულება a + 2 არ არის ნული, ანუ თუ a ≠ -2, გვაქვს ამონახსნი x = (a + 2) / (a ​​+ 2), ე.ი. x = 1.

თუ a + 2 უდრის ნულს, ე.ი. a = -2, მაშინ გვაქვს სწორი ტოლობა 0 x = 0, ამიტომ x არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

პასუხი: x = 1 a ≠ -2-სთვის და x € R a = -2-ისთვის.

მაგალითი 3.

ამოხსენით განტოლება x/a + 1 = a + x x ცვლადის მიმართ.

გამოსავალი.

თუ a = 0, მაშინ განტოლებას ვცვლით ფორმაში a + x = a 2 + ax ან (a – 1)x = -a(a – 1). a = 1-ის ბოლო განტოლებას აქვს ფორმა 0 x = 0, ამიტომ x არის ნებისმიერი რიცხვი.

თუ a ≠ 1, მაშინ ბოლო განტოლება მიიღებს x = -a ფორმას.

ეს გამოსავალი შეიძლება ილუსტრირებული იყოს კოორდინატთა ხაზზე (ნახ. 1)

პასუხი: არ არსებობს ამონახსნები a = 0-სთვის; x – ნებისმიერი რიცხვი a = 1-ით; x = -a ≠ 0-ისთვის და a ≠ 1-ისთვის.

გრაფიკული მეთოდი

განვიხილოთ პარამეტრით განტოლებების ამოხსნის სხვა გზა - გრაფიკულად. ეს მეთოდი საკმაოდ ხშირად გამოიყენება.

მაგალითი 4.

a პარამეტრიდან გამომდინარე რამდენ ფესვს შეიცავს განტოლება ||x| – 2| = ა?

გამოსავალი.

გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით ამოხსნისთვის ვაშენებთ y = ||x| ფუნქციების გრაფიკებს – 2| და y = a (ნახ. 2).

ნახაზზე ნათლად არის ნაჩვენები სწორი ხაზის y = a მდებარეობის შესაძლო შემთხვევები და თითოეულ მათგანში ფესვების რაოდენობა.

პასუხი: განტოლებას არ ექნება ფესვები, თუ ა< 0; два корня будет в случае, если a >2 და a = 0; განტოლებას ექნება სამი ფესვი a = 2-ის შემთხვევაში; ოთხი ფესვი - 0-ზე< a < 2.

მაგალითი 5.

რა არის განტოლება 2|x| + |x – 1| = a-ს აქვს ერთი ფესვი?

გამოსავალი.

გამოვსახოთ y = 2|x| ფუნქციების გრაფიკები + |x – 1| და y = a. y = 2-ისთვის | x| + |x – 1|, ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით მოდულების გაფართოებით, ვიღებთ:

(-3x + 1, x-ზე< 0,

y = (x + 1, 0 ≤ x ≤ 1-ისთვის,

(3x - 1, x > 1-ისთვის.

ჩართულია სურათი 3აშკარად ჩანს, რომ განტოლებას ექნება ერთი ფესვი მხოლოდ მაშინ, როდესაც a = 1.

პასუხი: a = 1.

მაგალითი 6.

განტოლების |x + 1| ამონახსნების რაოდენობის განსაზღვრა + |x + 2| = a დამოკიდებულია a პარამეტრზე?

გამოსავალი.

y = |x + 1 ფუნქციის გრაფიკი + |x + 2| გატეხილი ხაზი იქნება. მისი წვეროები განთავსდება წერტილებზე (-2; 1) და (-1; 1) (სურათი 4).

პასუხი: თუ პარამეტრი a არის ერთზე ნაკლები, მაშინ განტოლებას არ ექნება ფესვები; თუ a = 1, მაშინ განტოლების ამონახსნი არის რიცხვების უსასრულო ნაკრები [-2; -1]; თუ პარამეტრის a მნიშვნელობები ერთზე მეტია, მაშინ განტოლებას ექნება ორი ფესვი.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ განტოლებები პარამეტრით?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

1. წრფივი განტოლებათა სისტემები პარამეტრით

პარამეტრით წრფივი განტოლებათა სისტემები წყდება იგივე ძირითადი მეთოდებით, როგორც განტოლებების ჩვეულებრივი სისტემები: ჩანაცვლების მეთოდი, განტოლებების დამატების მეთოდი და გრაფიკული მეთოდი. ხაზოვანი სისტემების გრაფიკული ინტერპრეტაციის ცოდნა აადვილებს პასუხის გაცემას ფესვების რაოდენობისა და მათი არსებობის შესახებ.

მაგალითი 1.

იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

გამოსავალი.

მოდით შევხედოთ ამ ამოცანის გადაჭრის რამდენიმე გზას.

1 გზა.ჩვენ ვიყენებთ თვისებას: სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ x-ის წინ კოეფიციენტების თანაფარდობა უდრის y-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდებას, მაგრამ არა თავისუფალი წევრების შეფარდებას (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). მაშინ გვაქვს:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ან სისტემა

(და 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

პირველი განტოლებიდან a 2 = 4, შესაბამისად, იმ პირობის გათვალისწინებით, რომ a ≠ 2, მივიღებთ პასუხს.

პასუხი: a = -2.

მეთოდი 2.ვხსნით ჩანაცვლების მეთოდით.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 - y.

პირველი განტოლების ფრჩხილებიდან y საერთო ფაქტორის ამოღების შემდეგ მივიღებთ:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 - y.

სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ანუ

(და 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

ცხადია, a = ± 2, მაგრამ მეორე პირობის გათვალისწინებით, პასუხი მოდის მხოლოდ მინუს პასუხით.

პასუხი: a = -2.

მაგალითი 2.

იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

(8x + ay = 2,
(ცული + 2y = 1.

გამოსავალი.

თვისების მიხედვით, თუ x და y კოეფიციენტების თანაფარდობა ერთნაირია და უდრის სისტემის თავისუფალი წევრების შეფარდებას, მაშინ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა (ე.ი. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). ამიტომ 8/a = a/2 = 2/1. თითოეული მიღებული განტოლების ამოხსნით, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ a = 4 არის პასუხი ამ მაგალითში.

პასუხი: a = 4.

2. რაციონალური განტოლებათა სისტემები პარამეტრით

მაგალითი 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

გამოსავალი.

მოდით გავამრავლოთ სისტემის პირველი განტოლება 2-ზე:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

თუ გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას პირველს, მივიღებთ 5|x| = 4 – ა. ამ განტოლებას ექნება უნიკალური ამონახსნი a = 4-ისთვის. სხვა შემთხვევებში, ამ განტოლებას ექნება ორი ამონახსნები (ა.< 4) или ни одного (при а > 4).

პასუხი: a = 4.

მაგალითი 4.

იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

გამოსავალი.

ამ სისტემას გრაფიკული მეთოდით მოვაგვარებთ. ამრიგად, სისტემის მეორე განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც ამაღლებულია Oy ღერძის გასწვრივ ერთი ერთეული სეგმენტით ზემოთ. პირველი განტოლება განსაზღვრავს წრფეთა ერთობლიობას y = -x წრფის პარალელურად (სურათი 1). ნახატიდან ნათლად ჩანს, რომ სისტემას აქვს ამონახსნი, თუ სწორი წრფე y = -x + a არის პარაბოლის ტანგენსი კოორდინატებით (-0.5, 1.25) წერტილში. ამ კოორდინატების ჩანაცვლებით სწორი ხაზის განტოლებაში x და y-ის ნაცვლად, ვპოულობთ a პარამეტრის მნიშვნელობას:

1,25 = 0,5 + ა;

პასუხი: a = 0.75.

მაგალითი 5.

ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით გაარკვიეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

გამოსავალი.

პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ y-ს და ვცვლით მეორეში:

(y = ცული - a - 1,
(ცული + (a + 2) (ცული – a – 1) = 2.

მეორე განტოლება შევამციროთ kx = b ფორმამდე, რომელსაც ექნება უნიკალური ამონახსნი k ≠ 0-ისთვის. გვაქვს:

ცული + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

ჩვენ წარმოვადგენთ კვადრატულ ტრინომს a 2 + 3a + 2, როგორც ფრჩხილების ნამრავლი

(a + 2)(a + 1), ხოლო მარცხნივ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2) (a + 1).

ცხადია, 2 + 3a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, რაც ნიშნავს a ≠ 0 და ≠ -3.

პასუხი: a ≠ 0; ≠ -3.

მაგალითი 6.

გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის გამოყენებით დაადგინეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

გამოსავალი.

მდგომარეობიდან გამომდინარე, ჩვენ ვაშენებთ წრეს საწყისზე ცენტრით და 3 ერთეული სეგმენტის რადიუსით ეს არის მითითებული სისტემის პირველი განტოლებით

x 2 + y 2 = 9. სისტემის მეორე განტოლება (y = |x| + a) არის გატეხილი ხაზი. გამოყენებით სურათი 2ჩვენ განვიხილავთ მისი მდებარეობის ყველა შესაძლო შემთხვევას წრესთან შედარებით. ადვილი მისახვედრია, რომ a = 3.

პასუხი: a = 3.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით განტოლების სისტემების ამოხსნა?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

1. დავალება.
რა პარამეტრის მნიშვნელობებზე აგანტოლება ( ა - 1)x 2 + 2x + ა- 1 = 0-ს აქვს ზუსტად ერთი ფესვი?

1. გამოსავალი.
ზე ა= 1 განტოლება არის 2 x= 0 და აშკარად აქვს ერთი ფესვი x= 0. თუ ა No1, მაშინ ეს განტოლება არის კვადრატული და აქვს ერთი ფესვი იმ პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებშიც კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ნულის ტოლია. დისკრიმინანტის ნულთან გათანაბრებით, ვიღებთ პარამეტრის განტოლებას ა 4ა 2 - 8ა= 0, საიდანაც ა= 0 ან ა = 2.

1. პასუხი:განტოლებას აქვს ერთი ფესვი ა O (0; 1; 2).

2. დავალება.
იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლის განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს x 2 +4ცული+8ა+3 = 0.
2. გამოსავალი.
განტოლება x 2 +4ცული+8ა+3 = 0-ს აქვს ორი განსხვავებული ფესვი, თუ და მხოლოდ თუ დ = 16ა 2 -4(8ა+3) > 0. ვიღებთ (4 საერთო კოეფიციენტით შემცირების შემდეგ) 4 ა 2 -8ა-3 > 0, საიდანაც

2. პასუხი:

3. დავალება.
ცნობილია, რომ
ვ 2 (x) = 6x-x 2 -6.
ა) ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვა ვ 1 (x) ზე ა = 1.
ბ) რა ღირებულებით აფუნქციების გრაფიკები ვ 1 (x) და ვ 2 (x) გაქვთ ერთი საერთო წერტილი?

3. გამოსავალი.
3.ა.მოდით გარდავქმნათ ვ 1 (x) შემდეგნაირად
ამ ფუნქციის გრაფიკი ზე ა= 1 ნაჩვენებია ფიგურაში მარჯვნივ.
3.ბ.დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ ფუნქციების გრაფიკები წ = kx+ბდა წ = ცული 2 +bx+გ (ა No 0) იკვეთება ერთ წერტილში თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ კვადრატული განტოლება kx+ბ = ცული 2 +bx+გაქვს ერთი ფესვი. ხედის გამოყენებით ვ 1 of 3.ა, გავაიგივოთ განტოლების დისკრიმინანტი ა = 6x-x 2-6 ნულამდე. 36-24-4 განტოლებიდან ა= 0 ვიღებთ ა= 3. იგივე გააკეთე მე-2 განტოლებით x-ა = 6x-x 2 -6 ვიპოვით ა= 2. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ეს პარამეტრის მნიშვნელობები აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს. პასუხი: ა= 2 ან ა = 3.

4. დავალება.
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე x 2 -2ცული-3ა i 0 შეიცავს სეგმენტს.

4. გამოსავალი.
პარაბოლის წვეროს პირველი კოორდინატი ვ(x) = x 2 -2ცული-3ატოლია x 0 = ა. კვადრატული ფუნქციის თვისებებიდან მდგომარეობა ვ(x) і 0 სეგმენტზე უდრის სამი სისტემის კომპლექტს
აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი?

5. გამოსავალი.
მოდით გადავწეროთ ეს განტოლება ფორმაში x 2 + (2ა-2)x - 3ა+7 = 0. ეს არის კვადრატული განტოლება, მას აქვს ზუსტად ორი ამონახსნი, თუ მისი დისკრიმინანტი ნულზე მეტია. დისკრიმინანტის გამოთვლისას აღმოვაჩენთ, რომ ზუსტად ორი ფესვის არსებობის პირობა არის უტოლობის შესრულება. ა 2 +ა-6 > 0. უტოლობის ამოხსნა ვპოულობთ ა < -3 или ა> 2. უტოლობებიდან პირველს, ცხადია, არ აქვს ამონახსნები ნატურალურ რიცხვებში, ხოლო მეორის ყველაზე პატარა ნატურალური ამონახსნები არის რიცხვი 3.

5. პასუხი: 3.

6. პრობლემა (10 გასაღები)
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც ფუნქციის გრაფიკი ან აშკარა გარდაქმნების შემდეგ, ა-2 = | 2-ა| . ბოლო განტოლება უდრის უტოლობას ამე 2.

6. პასუხი: ა O სადაც \ არის ცვლადები, \ არის პარამეტრი;

\[y = kx + b,\] სადაც \ არის ცვლადები, \ არის პარამეტრი;

\[аx^2 + bх + с = 0,\] სადაც \ არის ცვლადი, \[а, b, с\] არის პარამეტრი.

პარამეტრით განტოლების ამოხსნა ნიშნავს, როგორც წესი, განტოლებათა უსასრულო სიმრავლის ამოხსნას.

თუმცა, გარკვეული ალგორითმის დაცვით, შეგიძლიათ მარტივად ამოხსნათ შემდეგი განტოლებები:

1. განსაზღვრეთ პარამეტრის „საკონტროლო“ მნიშვნელობები.

2. ამოხსენით ორიგინალური განტოლება [\x\]-ისთვის პირველ აბზაცში განსაზღვრული პარამეტრის მნიშვნელობებით.

3. ამოხსენით თავდაპირველი განტოლება [\x\] პარამეტრების მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც განსხვავდება პირველ აბზაცში არჩეულიდან.

ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი განტოლება:

\[\შუა 6 - x \შუა = a.\]

საწყისი მონაცემების გაანალიზების შემდეგ ირკვევა, რომ \[\ge 0.\]

მოდულის წესის მიხედვით გამოვხატავთ \

პასუხი: \სად\

სად შემიძლია ამოვხსნა განტოლება პარამეტრით ონლაინ?

განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https://site. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლებები რამდენიმე წამში. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ არის უბრალოდ შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გამხსნელში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ ვიდეო ინსტრუქციები და ისწავლოთ განტოლების ამოხსნა ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს VKontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.