ტრიგონომეტრიული ფორმულები ონლაინ. ყველაზე საჭირო ტრიგონომეტრიული ფორმულები

ვიდეოკურსი „მიიღე A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. მათემატიკაში პროფილის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ყველა დავალება 1-13 სრულად. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში ძირითადი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად. თუ გსურთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარება 90-100 ქულით, პირველი ნაწილი 30 წუთში და უშეცდომოდ უნდა მოაგვაროთ!

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი, რაც გჭირდებათ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის 1 ნაწილის (პირველი 12 ამოცანის) და მე-13 ამოცანის (ტრიგონომეტრია) გადასაჭრელად. ეს კი ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე 70 ქულაზე მეტია და მათ გარეშე ვერც 100-ქულიანია და ვერც ჰუმანიტარული მეცნიერება.

ყველა საჭირო თეორია. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხარვეზები და საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI Task Bank-ის პირველი ნაწილის ყველა მიმდინარე დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება 2018 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის დავალება. სიტყვის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი ალგორითმები პრობლემების გადასაჭრელად. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. რთული გადაწყვეტილებები, სასარგებლო მოტყუების ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან ამოცანამდე 13. გაგება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების მკაფიო ახსნა. ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის საფუძველი.

საცნობარო ინფორმაცია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სინუსზე (sin x) და კოსინუსზე (cos x). გეომეტრიული განსაზღვრება, თვისებები, გრაფიკები, ფორმულები. სინუსების და კოსინუსების ცხრილი, წარმოებულები, ინტეგრალები, სერიების გაფართოებები, სეკანტი, კოსეკანტი. გამონათქვამები რთული ცვლადების მეშვეობით. კავშირი ჰიპერბოლურ ფუნქციებთან.

სინუსის და კოსინუსის გეომეტრიული განმარტება

|BD|- წრის რკალის სიგრძე წერტილით ცენტრით ა.
α - რადიანებში გამოხატული კუთხე.

განმარტება
სინუსი (sin α)არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, უდრის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |BC| ჰიპოტენუზის სიგრძემდე |AC|.

კოსინუსი (cos α)არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, ტოლია მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობის |AB| ჰიპოტენუზის სიგრძემდე |AC|.

მიღებული აღნიშვნები

;
;
.

;
;
.

სინუსური ფუნქციის გრაფიკი, y = sin x

კოსინუსური ფუნქციის გრაფიკი, y = cos x

სინუსის და კოსინუსის თვისებები

პერიოდულობა

ფუნქციები y = ცოდვა xდა y = cos xპერიოდული პერიოდით 2π.

პარიტეტი

სინუსური ფუნქცია უცნაურია. კოსინუს ფუნქცია ლუწია.

განსაზღვრებისა და მნიშვნელობების დომენი, ექსტრემა, ზრდა, შემცირება

სინუსური და კოსინუსური ფუნქციები უწყვეტია მათი განმარტების დომენში, ანუ ყველა x-ისთვის (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). მათი ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში (n - მთელი რიცხვი).

ძირითადი ფორმულები

სინუსის და კოსინუსების კვადრატების ჯამი

სინუსებისა და კოსინუსების ფორმულები ჯამიდან და სხვაობიდან

;
;

სინუსებისა და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები

ჯამის და სხვაობის ფორმულები

სინუსის გამოხატვა კოსინუსის მეშვეობით

;
;
;
.

კოსინუსის გამოხატვა სინუსის მეშვეობით

;
;
;
.

გამოხატვა ტანგენტის საშუალებით

; .

როდის, გვაქვს:
; .

ზე:
; .

სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილი, ტანგენტები და კოტანგენტები

ეს ცხრილი გვიჩვენებს სინუსების და კოსინუსების მნიშვნელობებს არგუმენტის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის.

გამონათქვამები რთული ცვლადების მეშვეობით

;

ეილერის ფორმულა

{ -∞ < x < +∞ }

სეკანტი, კოსეკანტი

ინვერსიული ფუნქციები

სინუსის და კოსინუსის შებრუნებული ფუნქციებია რკსინი და არკოზინი, შესაბამისად.

არქსინი, რკალი

არკოზინი, არკოზი

გამოყენებული ლიტერატურა:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.

საცნობარო მონაცემები ტანგენსისთვის (tg x) და კოტანგენსისთვის (ctg x). გეომეტრიული განსაზღვრება, თვისებები, გრაფიკები, ფორმულები. ტანგენტებისა და კოტანგენტების ცხრილი, წარმოებულები, ინტეგრალები, სერიების გაფართოებები. გამონათქვამები რთული ცვლადების მეშვეობით. კავშირი ჰიპერბოლურ ფუნქციებთან.

გეომეტრიული განმარტება

|BD|
- წრის რკალის სიგრძე A წერტილში ცენტრით.

α არის რადიანებში გამოხატული კუთხე. ტანგენტი () tan α

არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, უდრის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |BC| მიმდებარე ფეხის სიგრძემდე |AB| .) კოტანგენსი (

ctg α

არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, ტოლია მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობის |AB| მოპირდაპირე ფეხის სიგრძემდე |ძვ.წ.| .ტანგენტი

სად
.
;
;
.

ნ

- მთლიანი.

არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, ტოლია მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობის |AB| მოპირდაპირე ფეხის სიგრძემდე |ძვ.წ.| .ტანგენტი

დასავლურ ლიტერატურაში ტანგენტი შემდეგნაირად აღინიშნება:
.
ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი, y = tan x
;
;
.

კოტანგენსი

დასავლურ ლიტერატურაში კოტანგენტს აღნიშნავენ შემდეგნაირად:

პერიოდულობა

ფუნქციები y = ასევე მიღებულია შემდეგი აღნიშვნები:და y = კოტანგენსი ფუნქციის გრაფიკი, y = ctg xტანგენსის და კოტანგენსის თვისებები

პარიტეტი

tg x

განსაზღვრებისა და ღირებულებების სფეროები, მზარდი, კლებადი

ტანგენსი და კოტანგენსი ფუნქციები უწყვეტია მათი განმარტების სფეროში (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). ტანგენტისა და კოტანგენსის ძირითადი თვისებები მოცემულია ცხრილში ( მოპირდაპირე ფეხის სიგრძემდე |ძვ.წ.| .- მთლიანი).

ფორმულები

გამონათქვამები სინუსის და კოსინუსის გამოყენებით

; ;
; ;
;

ტანგენტებისა და კოტანგენტების ფორმულები ჯამიდან და სხვაობიდან

დანარჩენი ფორმულების მიღება მარტივია, მაგალითად

ტანგენტების პროდუქტი

ტანგენტების ჯამისა და სხვაობის ფორმულა

ამ ცხრილში მოცემულია ტანგენტებისა და კოტანგენტების მნიშვნელობები არგუმენტის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის.

გამოთქმები რთული რიცხვების გამოყენებით

გამოხატვები ჰიპერბოლური ფუნქციების საშუალებით

;
;

წარმოებულები

; .

.
n-ე რიგის წარმოებული ფუნქციის x ცვლადის მიმართ:
.
ტანგენტების ფორმულების გამოყვანა > > > ; კოტანგენტისათვის >>>

ინტეგრალები

სერიის გაფართოება

x-ის სიმძლავრეებში ტანგენსის გაფართოების მისაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ გაფართოების რამდენიმე ტერმინი სიმძლავრის სერიაში ფუნქციებისთვის. ცოდვა xდა cos xდა გავყოთ ეს მრავალწევრები ერთმანეთზე, .

ეს აწარმოებს შემდეგ ფორმულებს.

ზე.
ზე. სადბნ
;
;
- ბერნულის ნომრები. ისინი განისაზღვრება ან განმეორებითი ურთიერთობით:
სად .

ინვერსიული ფუნქციები

ან ლაპლასის ფორმულის მიხედვით:

ტანგენტისა და კოტანგენსის შებრუნებული ფუნქციებია, შესაბამისად, არქტანგენსი და არკოტანგენსი.

არქტანგენტი, არქტგ მოპირდაპირე ფეხის სიგრძემდე |ძვ.წ.| .ტანგენტი

, სად

არქტანგენტი, არქტგ მოპირდაპირე ფეხის სიგრძემდე |ძვ.წ.| .ტანგენტი

გამოყენებული ლიტერატურა:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.
Arccotangent, arcctg

G. Korn, მათემატიკის სახელმძღვანელო მეცნიერთა და ინჟინრებისთვის, 2012 წ.ტრიგონომეტრიული იდენტობები

- ეს არის ტოლობები, რომლებიც ამყარებენ კავშირს ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის, რაც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რომელიმე ამ ფუნქციიდან, იმ პირობით, რომ რომელიმე სხვა ცნობილია.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

ეს იდენტურობა ამბობს, რომ ერთი კუთხის სინუსის კვადრატისა და ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატის ჯამი უდრის ერთს, რაც პრაქტიკაში შესაძლებელს ხდის გამოთვალოს ერთი კუთხის სინუსი, როდესაც ცნობილია მისი კოსინუსი და პირიქით. .

ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაციისას ძალიან ხშირად გამოიყენება ეს იდენტურობა, რაც საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ერთი კუთხის კოსინუსის და სინუსის კვადრატების ჯამი ერთით და ასევე შეასრულოთ ჩანაცვლების ოპერაცია საპირისპირო მიზნით.

ტანგენტისა და კოტანგენსის პოვნა სინუსის და კოსინუსის გამოყენებით

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace ეს იდენტობები ჩამოყალიბებულია სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებებიდან. ბოლოს და ბოლოს, თუ დააკვირდებით, მაშინ განსაზღვრებით y ორდინატი არის სინუსი, ხოლო აბსცისა x არის კოსინუსი. მაშინ ტანგენსი თანაფარდობის ტოლი იქნება\frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- იქნება კოტანგენსი.

დავამატოთ, რომ მხოლოდ ისეთ კუთხეებზე \ალფა, რომლებშიც მათში შემავალი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აზრიანია, იდენტობები შენარჩუნდება, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

მაგალითად: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)მოქმედებს იმ კუთხეებისთვის, რომლებიც განსხვავდება ერთმანეთისგან \frac(\pi)(2)+\pi z, ა ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-ს გარდა \alpha კუთხისთვის, z არის მთელი რიცხვი.

კავშირი ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

ეს იდენტურობა მოქმედებს მხოლოდ \alpha კუთხებისთვის, რომლებიც განსხვავდება \frac(\pi)(2) z. წინააღმდეგ შემთხვევაში, არც კოტანგენსი და არც ტანგენსი არ განისაზღვრება.

ზემოაღნიშნული პუნქტებიდან გამომდინარე, მივიღებთ იმას tg \alpha = \frac(y)(x), ა ctg \alpha=\frac(x)(y). აქედან გამომდინარეობს tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. ამრიგად, ერთი და იგივე კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი, რომლითაც ისინი აზრიანია, ურთიერთშებრუნებული რიცხვებია.

კავშირი ტანგენტსა და კოსინუსს, კოტანგენტსა და სინუსს შორის

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- \ალფა კუთხის ტანგენსის კვადრატის ჯამი უდრის ამ კუთხის კოსინუსის შებრუნებულ კვადრატს. ეს იდენტიფიკაცია მოქმედებს ყველა \alpha-სთვის, გარდა \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1-ისა და კუთხის \ალფას კოტანგენსის კვადრატის ჯამი უდრის მოცემული კუთხის სინუსის შებრუნებულ კვადრატს. ეს იდენტიფიკაცია მოქმედებს ნებისმიერი \alpha-სთვის, რომელიც განსხვავდება \pi z.

მაგალითები პრობლემების გადაწყვეტით ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით

მაგალითი 1

იპოვეთ \sin \alpha და tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12და \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

გამოსავლის ჩვენება

გამოსავალი

ფუნქციები \sin \alpha და \cos \alpha დაკავშირებულია ფორმულით \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. ჩანაცვლება ამ ფორმულაში \cos \alpha = -\frac12, ვიღებთ:

\sin^(2)\alpha + \მარცხნივ (-\frac12 \მარჯვნივ)^2 = 1

ამ განტოლებას აქვს 2 ამონახსნი:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

პირობით \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . მეორე კვარტალში სინუსი დადებითია, ასე რომ \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tan \alpha-ს საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

მაგალითი 2

იპოვეთ \cos \alpha და ctg \alpha თუ და \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

გამოსავლის ჩვენება

გამოსავალი

ჩანაცვლება ფორმულაში \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1მოცემული ნომერი \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), ვიღებთ \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. ამ განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

პირობით \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . მეორე მეოთხედში კოსინუსი უარყოფითია, ასე \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ctg \alpha, ვიყენებთ ფორმულას ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). ჩვენ ვიცით შესაბამისი მნიშვნელობები.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ ყოვლისმომცველ სახეს. ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები არის ტოლობები, რომლებიც ამყარებენ კავშირს ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის და საშუალებას აძლევს ადამიანს იპოვოთ რომელიმე ამ ტრიგონომეტრიული ფუნქციიდან ცნობილი მეორის მეშვეობით.

მოდით დაუყოვნებლივ ჩამოვთვალოთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები, რომლებსაც ამ სტატიაში გავაანალიზებთ. მოდით ჩამოვწეროთ ისინი ცხრილში და ქვემოთ მივცემთ ამ ფორმულების შედეგს და მივაწოდებთ საჭირო განმარტებებს.

გვერდის ნავიგაცია.

კავშირი ერთი კუთხის სინუსსა და კოსინუსს შორის

ზოგჯერ ისინი არ საუბრობენ ზემოთ ცხრილში ჩამოთვლილ მთავარ ტრიგონომეტრიულ იდენტობებზე, არამედ ერთ სინგლზე ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობაკეთილი . ამ ფაქტის ახსნა საკმაოდ მარტივია: ტოლობები მიიღება მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტობიდან მისი ორივე ნაწილის და შესაბამისად, და ტოლობების გაყოფის შემდეგ. და დაიცავით სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებებიდან. ამის შესახებ უფრო დეტალურად შემდეგ აბზაცებში ვისაუბრებთ.

ეს არის ის თანასწორობა, რომელიც განსაკუთრებულ ინტერესს იწვევს, რომელსაც მიენიჭა მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტობის სახელი.

მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტობის დამტკიცებამდე მის ფორმულირებას ვაძლევთ: ერთი კუთხის სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამი იდენტურად უდრის ერთს. ახლა დავამტკიცოთ.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობა ძალიან ხშირად გამოიყენება როცა ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაცია. ის საშუალებას იძლევა ერთი კუთხის სინუსის და კოსინუსების კვადრატების ჯამი შეიცვალოს ერთით. არანაკლებ ხშირად, ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით: ერთეული იცვლება ნებისმიერი კუთხის სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამით.

ტანგენსი და კოტანგენსი სინუსის და კოსინუსის მეშვეობით

იდენტობები, რომლებიც აკავშირებს ტანგენტსა და კოტანგენტს ხედვის ერთი კუთხის სინუსთან და კოსინუსთან და დაუყოვნებლივ დაიცავით სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებებიდან. მართლაც, განმარტებით, სინუსი არის y-ის ორდინატი, კოსინუსი არის x-ის აბსცისა, ტანგენსი არის ორდინატისა და აბსცისის შეფარდება, ანუ, და კოტანგენსი არის აბსცისის შეფარდება ორდინატთან, ანუ .

ვინაობათა ასეთი აშკარაობის წყალობით და ტანგენსი და კოტანგენსი ხშირად განისაზღვრება არა აბსცისა და ორდინატის თანაფარდობით, არამედ სინუსისა და კოსინუსის თანაფარდობით. ასე რომ, კუთხის ტანგენსი არის სინუსის შეფარდება ამ კუთხის კოსინუსთან, ხოლო კოტანგენსი არის კოსინუსის შეფარდება სინუსთან.

ამ პუნქტის დასასრულს უნდა აღინიშნოს, რომ ვინაობა და ადგილი აქვს ყველა კუთხისთვის, რომლებშიც მათში შემავალი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აზრი აქვს. ასე რომ, ფორმულა მოქმედებს ნებისმიერისთვის, გარდა (თორემ მნიშვნელს ექნება ნული, და ჩვენ არ განვსაზღვრეთ გაყოფა ნულზე) და ფორმულა - ყველასთვის, განსხვავებული, სადაც z არის ნებისმიერი.

კავშირი ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის

კიდევ უფრო აშკარა ტრიგონომეტრიული იდენტურობა, ვიდრე წინა ორი, არის იდენტობა, რომელიც აკავშირებს ფორმის ერთი კუთხის ტანგენტსა და კოტანგენტს. . ნათელია, რომ ის მოქმედებს სხვა კუთხისთვის, გარდა , წინააღმდეგ შემთხვევაში არც ტანგენსი და არც კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული.

ფორმულის დადასტურება ძალიან მარტივი. განმარტებით და საიდან . მტკიცებულება შეიძლებოდა ცოტა სხვაგვარად განხორციელებულიყო. მას შემდეგ, რაც , ეს .

მაშასადამე, იგივე კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი, რომლითაც ისინი აზრიანია, არის .