კუთხის ტანგენსი არის 0,5 რისი ტოლია კუთხე. მართკუთხა სამკუთხედი: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კუთხის კოტანგენსი

მოპირდაპირე მხარის შეფარდება ჰიპოტენუზას ეწოდება სინუსური მწვავე კუთხე მართკუთხა სამკუთხედი.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის კოსინუსი

მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან ე.წ მწვავე კუთხის კოსინუსიმართკუთხა სამკუთხედი.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის ტანგენსი

მოპირდაპირე მხარის შეფარდება მეზობელ მხარეს ეწოდება მწვავე კუთხის ტანგენსიმართკუთხა სამკუთხედი.

tg \alpha = \frac(a)(b)

მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის კოტანგენსი

მიმდებარე მხარის შეფარდება მოპირდაპირე მხარეს ეწოდება მწვავე კუთხის კოტანგენსიმართკუთხა სამკუთხედი.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

თვითნებური კუთხის სინუსი

იმ წერტილის ორდინატი იმ ერთეულ წრეზე, რომელსაც შეესაბამება \alpha კუთხე, ეწოდება სინუსური თვითნებური კუთხე როტაცია \ალფა.

\sin \alpha=y

თვითნებური კუთხის კოსინუსი

აბსცისის წერტილი ერთეული წრე, რომელსაც შეესაბამება \alpha კუთხე ეწოდება თვითნებური კუთხის კოსინუსიროტაცია \ალფა.

\cos \alpha=x

თვითნებური კუთხის ტანგენტი

თვითნებური ბრუნვის კუთხის \ალფას სინუსის შეფარდება მის კოსინუსთან ეწოდება თვითნებური კუთხის ტანგენსიროტაცია \ალფა.

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

თვითნებური კუთხის კოტანგენსი

თვითნებური ბრუნვის კუთხის \ალფას კოსინუსის შეფარდება მის სინუსთან ეწოდება თვითნებური კუთხის კოტანგენსიროტაცია \ალფა.

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

თვითნებური კუთხის პოვნის მაგალითი

თუ \alpha არის რაღაც AOM კუთხის AOM, სადაც M არის წერტილი ერთეული წრეზე, მაშინ

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

მაგალითად, თუ \კუთხე AOM = -\frac(\pi)(4), მაშინ: M წერტილის ორდინატი უდრის -\frac(\sqrt(2))(2), აბსცისა უდრის \frac(\sqrt(2))(2)და ამიტომ

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \მარჯვნივ)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \მარჯვნივ)=\frac(\sqrt(2))(2);

ტგ;

ctg \მარცხნივ (-\frac(\pi)(4) \მარჯვნივ)=-1.

კოტანგენტების ტანგენტების კოსინუსების სიდიდეების ცხრილი

ძირითადი ხშირად წარმოქმნილი კუთხეების მნიშვნელობები მოცემულია ცხრილში:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\მარჯვნივ)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\მარჯვნივ)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\მარჯვნივ)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\მარჯვნივ)	180^(\circ)\მარცხნივ(\pi\მარჯვნივ)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\მარჯვნივ)	360^(\circ)\მარცხნივ(2\pi\მარჯვნივ)
\sin\ალფა	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

ამ სტატიაში განვიხილავთ კონცეფციას კუთხის ტანგენსი. დავიწყოთ კონცეფციით სწორი კუთხე. მართი კუთხე არის 90 0-ის ტოლი კუთხე. კუთხეს, რომელიც 90 გრადუსზე ნაკლებია, მწვავე ეწოდება. კუთხეს, რომელიც 90 გრადუსზე მეტია, ბლაგვი ეწოდება. 180 გრადუსიანი კუთხით.

ვხატავთ სამკუთხედს C მართი კუთხით, ხოლო მოპირდაპირე მხარეს იგივე აღნიშვნა ექნება (c იქნება ჰიპოტენუზა), იგივეს ვაკეთებთ სხვა კუთხეებთან. მწვავე კუთხის მოპირდაპირე მხარეს ფეხი ეწოდება.

სინუსი და კოსინუსი გვხვდება ფეხისა და ჰიპოტენუზის გამოყენებით, კერძოდ:
sinA = a/c
cosA = b/c

ტანგენტის ფორმულა

tan A = a/b

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ ტანგენტის განსაზღვრა- არის მოპირდაპირე მხარის დაყოფა მიმდებარე გვერდით
არსებობს კიდევ ერთი ეკვივალენტური ტანგენტის ფორმულა

tan A = sinA/cosA

ნიშნავს ცოდვას გაყოფილი cos-ით.

კოტანგენსითითქმის იგივეა, მხოლოდ მნიშვნელობები იცვლება.

cot A = cosA/sinA

ყურადღება! დავეხმაროთ GDZ-ს მშობლებსა და მასწავლებლებს მე-5 კლასის მათემატიკაში (http://spisaly.ru/gdz/5_klass/math). საიტზე შემოთავაზებული ყველა წიგნის ჩამოტვირთვა ან შესწავლა შესაძლებელია ონლაინ. მიჰყევით ბმულს და გაიგეთ მეტი.

მონაცემები ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მნიშვნელოვნად უწყობს ხელს კუთხეების გამოთვლას. სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის წყალობით შესაძლებელი გახდა ყველა უცნობი კუთხის დადგენა სამკუთხედში, ერთი ცნობილით.

ძირითადი კუთხეების აღნიშვნები:
ტანგენტი 30 - 0,577
ტანგენტი 45 - 1,000
ტანგენტი 60 - 1,732

არსებობს სპეციალური, რომლის მნიშვნელობების მიღება შესაძლებელია სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილების მნიშვნელობების გაყოფით, მაგრამ რადგან ეს საკმაოდ შრომატევადი პროცესია, საჭიროა ტანგენტების ეს ცხრილი.

ბევრი პრობლემაა, რომელშიც სამკუთხედს აქვს 90, 30, 60 გრადუსიანი კუთხე. ან 90, 45, 45 გრადუსი. ასეთი ფიგურებისთვის უმჯობესია დაიმახსოვროთ მათი თანაფარდობა, რათა მოგვიანებით ეს უფრო ადვილი იყოს.

პირველ შემთხვევაში 30 გრადუსის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის 1/2-ს.
მეორე შემთხვევაში, ჰიპოტენუზა აჭარბებს ფეხს დაახლოებით 2-ჯერ.

ამ სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა მივცეთ კუთხისა და რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება ტრიგონომეტრიაში. აქ ვისაუბრებთ აღნიშვნებზე, მოვიყვანთ ჩანაწერების მაგალითებს და მივიღებთ გრაფიკულ ილუსტრაციებს. დასასრულს, მოდით გავავლოთ პარალელი სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებებს შორის ტრიგონომეტრიასა და გეომეტრიაში.

გვერდის ნავიგაცია.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტება

ვნახოთ, როგორ ყალიბდება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის იდეა სკოლის კურსიმათემატიკა. გეომეტრიის გაკვეთილებზე მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება. მოგვიანებით კი შესწავლილია ტრიგონომეტრია, რომელიც საუბრობს ბრუნვის კუთხისა და რიცხვის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე. მოდით წარმოვადგინოთ ყველა ეს განმარტება, მოვიყვანოთ მაგალითები და გავაკეთოთ საჭირო კომენტარები.

მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში

გეომეტრიის კურსიდან ჩვენ ვიცით მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები. ისინი მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობით. მოდით მივცეთ მათი ფორმულირებები.

განმარტება.

მახვილი კუთხის სინუსი მართკუთხა სამკუთხედშიარის მოპირდაპირე მხარის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მახვილი კუთხის კოსინუსი მართკუთხა სამკუთხედშიარის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი- ეს არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოტანგენსი- ეს არის მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს.

იქვეა შემოტანილი სინუს, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის აღნიშვნები - შესაბამისად sin, cos, tg და ctg.

მაგალითად, თუ ABC არის მართკუთხა სამკუთხედი C მართი კუთხით, მაშინ A მწვავე კუთხის სინუსი თანაფარდობის ტოლი AB ჰიპოტენუზის მოპირდაპირე მხარე BC, ანუ sin∠A=BC/AB.

ეს განმარტებები საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მწვავე კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები. ცნობილი სიგრძემართკუთხა სამკუთხედის გვერდები, აგრეთვე სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტისა და ერთ-ერთი გვერდის სიგრძის ცნობილი მნიშვნელობების გამოყენება სხვა გვერდების სიგრძის საპოვნელად. მაგალითად, თუ ვიცოდით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში AC ფეხი უდრის 3-ს და ჰიპოტენუზა AB უდრის 7-ს, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ A მწვავე კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა განმარტებით: cos∠A=AC/ AB=3/7.

ბრუნვის კუთხე

ტრიგონომეტრიაში ისინი იწყებენ კუთხის უფრო ფართო ყურებას - შემოაქვთ ბრუნვის კუთხის კონცეფცია. ბრუნვის კუთხის სიდიდე, მწვავე კუთხისგან განსხვავებით, არ შემოიფარგლება 0-დან 90 გრადუსამდე ბრუნვის კუთხე გრადუსებში (და რადიანებში) შეიძლება გამოისახოს ნებისმიერი რეალური რიცხვით −∞-დან +∞-მდე.

ამ თვალსაზრისით, სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებები მოცემულია არა მწვავე კუთხის, არამედ თვითნებური ზომის კუთხის - ბრუნვის კუთხის. ისინი მოცემულია A 1 წერტილის x და y კოორდინატების მეშვეობით, სადაც ე.წ. საწყისი წერტილი A(1, 0) მიდის O წერტილის გარშემო α კუთხით ბრუნვის შემდეგ - მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის დასაწყისი. და ერთეული წრის ცენტრი.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის სინუსიα არის A 1 წერტილის ორდინატი, ანუ sinα=y.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოსინუსიα ეწოდება A 1 წერტილის აბსცისა, ანუ cosα=x.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის ტანგენსიα არის A 1 წერტილის ორდინატის შეფარდება მის აბსცისასთან, ანუ tanα=y/x.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოტანგენსიα არის A 1 წერტილის აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან, ანუ ctgα=x/y.

სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი α კუთხისთვის, ვინაიდან ყოველთვის შეგვიძლია განვსაზღვროთ წერტილის აბსცისა და ორდინატი, რომელიც მიიღება საწყისი წერტილის α კუთხით ბრუნვით. მაგრამ ტანგენსი და კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული რომელიმე კუთხისთვის. ტანგენსი არ არის განსაზღვრული α კუთხისთვის, რომლებზეც საწყისი წერტილი მიდის წერტილამდე ნულოვანი აბსცისით (0, 1) ან (0, −1), და ეს ხდება 90°+180° k, k∈Z (π) კუთხეებზე. /2+π·კ რად). მართლაც, ბრუნვის ასეთი კუთხით გამოხატვას tgα=y/x აზრი არ აქვს, რადგან ის შეიცავს გაყოფას ნულზე. რაც შეეხება კოტანგენტს, ის არ არის განსაზღვრული α კუთხეებისთვის, რომლებშიც საწყისი წერტილი მიდის წერტილამდე ნულოვანი ორდინატით (1, 0) ან (−1, 0), და ეს ხდება 180° k, k ∈Z კუთხეებისთვის. (π·კ რად).

ასე რომ, სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ბრუნვის ნებისმიერი კუთხისთვის, ტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), ხოლო კოტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა 180°·k. , k∈Z (π·k რად).

განმარტებები მოიცავს ჩვენთვის უკვე ცნობილ აღნიშვნებს sin, cos, tg და ctg, ისინი ასევე გამოიყენება ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის აღსანიშნავად (ზოგჯერ შეგიძლიათ იპოვოთ აღნიშვნები tan და cot, რომლებიც შეესაბამება ტანგენტს და კოტანგენტს). . ასე რომ, 30 გრადუსიანი ბრუნვის კუთხის სინუსი შეიძლება დაიწეროს, როგორც sin30°, ჩანაწერები tg(−24°17′) და ctgα შეესაბამება ბრუნვის კუთხის ტანგენტს −24 გრადუსი 17 წუთი და კოტანგენსს ბრუნვის კუთხის α. . შეგახსენებთ, რომ კუთხის რადიანის ზომის დაწერისას აღნიშვნა „რად“ ხშირად გამოტოვებულია. მაგალითად, სამი პი რადის ბრუნვის კუთხის კოსინუსი ჩვეულებრივ აღინიშნება cos3·π.

ამ პუნქტის დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ბრუნვის კუთხის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე საუბრისას ხშირად გამოტოვებულია ფრაზა „ბრუნის კუთხე“ ან სიტყვა „ბრუნვა“. ანუ, ფრაზის ნაცვლად "ბრუნვის კუთხის ალფა სინუსი", ჩვეულებრივ გამოიყენება ფრაზა "ალფა კუთხის სინუსი" ან, უფრო მოკლე, "სინუს ალფა". იგივე ეხება კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს.

ჩვენ ასევე ვიტყვით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება 0-დან 90 გრადუსამდე ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. ჩვენ ამას გავამართლებთ.

ნომრები

განმარტება.

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი t არის ნომერი სინუსის ტოლიბრუნვის კუთხის კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი t რადიანებში, შესაბამისად.

მაგალითად, 8 π რიცხვის კოსინუსი განსაზღვრებით არის რიცხვი კოსინუსის ტოლიკუთხე 8·π რად. და კუთხის კოსინუსი არის 8 π rad ერთის ტოლიმაშასადამე, 8·π რიცხვის კოსინუსი 1-ის ტოლია.

არსებობს კიდევ ერთი მიდგომა რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის დასადგენად. ის მდგომარეობს იმაში, რომ ყველას რეალური რიცხვი t ენიჭება ერთეული წრის წერტილს, რომლის ცენტრია დასაწყისში მართკუთხა სისტემაკოორდინატები და სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ამ წერტილის კოორდინატებით. მოდით შევხედოთ ამას უფრო დეტალურად.

მოდით ვნახოთ, როგორ მყარდება კორესპონდენცია წრეზე ნამდვილ რიცხვებსა და წერტილებს შორის:

რიცხვს 0 ენიჭება საწყისი წერტილი A(1, 0);
დადებითი რიცხვი t ენიჭება ერთეული წრის წერტილს, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრის გასწვრივ ამოვალთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით და ვივლით t სიგრძის გზას;
უარყოფითი რიცხვი t ასოცირდება ერთეული წრის წერტილთან, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრის გასწვრივ ამოვალთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის მიმართულებით და ვივლით სიგრძის |t| .

ახლა გადავდივართ t რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებზე. დავუშვათ, რომ რიცხვი t შეესაბამება A 1 წრის წერტილს (x, y) (მაგალითად, რიცხვი &pi/2; შეესაბამება A 1 (0, 1) წერტილს).

განმარტება.

რიცხვის სინუსი t არის წერტილის ორდინატი ერთეულ წრეზე, რომელიც შეესაბამება t რიცხვს, ანუ sint=y.

განმარტება.

რიცხვის კოსინუსი t ეწოდება t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსცისა, ანუ ღირებულება=x.

განმარტება.

რიცხვის ტანგენტი t არის ორდინატის შეფარდება წერტილის აბსცისასთან ერთეულ წრეზე, რომელიც შეესაბამება t რიცხვს, ანუ tgt=y/x. სხვა ეკვივალენტურ ფორმულირებაში, t რიცხვის ტანგენსი არის ამ რიცხვის სინუსის შეფარდება კოსინუსთან, ანუ tgt=sint/cost.

განმარტება.

რიცხვის კოტანგენსი t არის აბსცისის შეფარდება წერტილის ორდინატთან ერთეულ წრეზე t რიცხვის შესაბამისი, ანუ ctgt=x/y. კიდევ ერთი ფორმულირება ასეთია: t რიცხვის ტანგენსი არის t რიცხვის კოსინუსის შეფარდება t რიცხვის სინუსთან: ctgt=cost/sint.

აქვე აღვნიშნავთ, რომ ახლახან მოცემული განმარტებები შეესაბამება ამ პუნქტის დასაწყისში მოცემულ განმარტებას. მართლაც, t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილი ემთხვევა წერტილს, რომელიც მიღებულ იქნა საწყისი წერტილის t რადიანების კუთხით ბრუნვით.

ჯერ კიდევ ღირს ამ პუნქტის გარკვევა. ვთქვათ, გვაქვს ჩანაწერი sin3. როგორ გავიგოთ, საუბარია 3 რიცხვის სინუსზე თუ 3 რადიანის ბრუნვის კუთხის სინუსზე? ეს ჩვეულებრივ ნათელია კონტექსტიდან წინააღმდეგ შემთხვევაშიამას დიდი ალბათობით არ აქვს ფუნდამენტური მნიშვნელობა.

კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

წინა აბზაცში მოცემული განმარტებების მიხედვით, α ბრუნვის თითოეული კუთხე შეესაბამება ძალიან სპეციფიკურ მნიშვნელობას sinα, ასევე cos ღირებულებაα. გარდა ამისა, ყველა ბრუნვის კუთხე, გარდა 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) შეესაბამება tgα მნიშვნელობებს და მნიშვნელობებს 180°k, k∈Z (πk rad) გარდა - ctg მნიშვნელობებიα. ამიტომ sinα, cosα, tanα და ctgα არის α კუთხის ფუნქციები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის კუთხური არგუმენტის ფუნქციები.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ სინუს, კოსინუს, ტანგენტს და კოტანგენტის ფუნქციებზე რიცხვითი არგუმენტი. მართლაც, თითოეული რეალური რიცხვი t შეესაბამება ძალიან სპეციფიკურ მნიშვნელობას sint, ისევე როგორც ღირებულება. გარდა ამისა, ყველა რიცხვი, გარდა π/2+π·k, k∈Z შეესაბამება tgt მნიშვნელობებს, ხოლო რიცხვები π·k, k∈Z - ctgt მნიშვნელობებს.

ფუნქციებს სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ეწოდება ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა, საქმე გვაქვს კუთხოვანი არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან თუ რიცხვითი არგუმენტის. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ დამოუკიდებელი ცვლადი, როგორც კუთხის საზომი ( კუთხის არგუმენტი), და რიცხვითი არგუმენტი.

თუმცა სკოლაში ძირითადად სწავლობენ რიცხვითი ფუნქციები, ანუ ფუნქციები, რომელთა არგუმენტები, ისევე როგორც მათი შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები, არის რიცხვები. ამიტომ, თუ ჩვენ ვსაუბრობთკონკრეტულად ფუნქციების შესახებ, მიზანშეწონილია განიხილოს ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, როგორც რიცხვითი არგუმენტების ფუნქციები.

გეომეტრიისა და ტრიგონომეტრიის განმარტებებს შორის კავშირი

თუ განვიხილავთ α ბრუნვის კუთხეს 0-დან 90 გრადუსამდე, მაშინ ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები ტრიგონომეტრიის კონტექსტში სრულად შეესაბამება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს. მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში, რომლებიც მოცემულია გეომეტრიის კურსში. გავამართლოთ ეს.

მართკუთხედად გამოვსახოთ დეკარტის სისტემაკოორდინატები Oxy ერთეული წრე. მოდი აღვნიშნოთ საწყისი წერტილი A(1, 0) . მოვატრიალოთ ის α კუთხით, რომელიც მერყეობს 0-დან 90 გრადუსამდე, მივიღებთ A 1 წერტილს (x, y). მოდით ჩამოვაგდოთ A 1 H პერპენდიკულარული A 1 წერტილიდან Ox ღერძზე.

ადვილი დასანახია, რომ მართკუთხა სამკუთხედში A 1 OH კუთხე უდრის α ბრუნვის კუთხეს, ამ კუთხის მიმდებარე ფეხის OH სიგრძე უდრის A 1 წერტილის აბსცისას, ანუ |OH. |=x, A 1 H კუთხის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძე უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ |A 1 H|=y და ჰიპოტენუზის OA 1 სიგრძე უდრის ერთს, ვინაიდან ეს არის ერთეული წრის რადიუსი. შემდეგ, გეომეტრიის განმარტებით, მართკუთხა სამკუთხედში α მწვავე კუთხის სინუსი A 1 OH უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან, ანუ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. ხოლო ტრიგონომეტრიის განმარტებით, α ბრუნვის კუთხის სინუსი უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ sinα=y. ეს გვიჩვენებს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსის განსაზღვრა უდრის ბრუნვის α კუთხის სინუსის განსაზღვრას, როდესაც α არის 0-დან 90 გრადუსამდე.

ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ α მწვავე კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება α ბრუნვის კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს.

ცნობები.

გეომეტრია. 7-9 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [ლ. ს. ატანასიანი, ვ.ფ.ბუტუზოვი, ს.ბ.კადომცევი და სხვ.]. - მე-20 გამოცემა. მ.: განათლება, 2010. - 384გვ.: ავად. - ISBN 978-5-09-023915-8.
პოგორელოვი A.V.გეომეტრია: სახელმძღვანელო. 7-9 კლასებისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A.V. Pogorelov. - მე-2 გამოცემა - მ.: განათლება, 2001. - 224 გვ.: ავად. - ISBN 5-09-010803-X.
ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები : სახელმძღვანელომე-9 კლასის მოსწავლეებისთვის საშუალო სკოლა/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორის რედაქტირებულია O.N. Golovin - 4th ed. მ.: განათლება, 1969 წ.
ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის. საშ. სკოლა/იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky - M.: განათლება, 1990. - 272 გვ.: ISBN 5-09-002727-7
ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 კლასებისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn და სხვ. რედ. A. N. Kolmogorov - 14th ed - M.: განათლება, 2004. - 384 pp.
მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი. 2 გვ. ნაწილი 1: სახელმძღვანელო ამისთვის საგანმანათლებლო დაწესებულებები (პროფილის დონე)/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - მე-4 გამოცემა, დაამატეთ. - მ.: მნემოსინე, 2007. - 424 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-00792-0.
ალგებრადა დაიწყო მათემატიკური ანალიზი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები /[იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედაქტირებულია A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - I .: განათლება, 2010.- 368გვ.: ავადმყოფი.- ISBN 978-5-09-022771-1.
ბაშმაკოვი M.I.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო. 10-11 კლასებისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 1993. - 351გვ.: ავად. - ISBN 5-09-004617-4.
გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

ტანგენტი არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც რიცხობრივად უდრის მოპირდაპირე და მიმდებარე ფეხების სიგრძის თანაფარდობას. ტანგენტი ფართოდ გამოიყენება მრავალ თანამედროვე გამოყენებაში.

ფონი

ტრიგონომეტრია თარიღდება იმ დროიდან, როდესაც მეცნიერებმა შეისწავლეს მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თვისებები. სწორედ მაშინ ჩამოყალიბდა თეორემა, რომელიც ამტკიცებდა ფეხებსა და ჰიპოტენუზას შორის ურთიერთობას, რაც მხოლოდ ათასნახევარი წლის შემდეგ დაამტკიცა სამიანმა მათემატიკოსმა პითაგორამ. თავდაპირველად გამოიყენებოდა მხოლოდ სინუსი, რომელიც გამოითვლებოდა, როგორც ირგვლივ შემოხაზული წრის აკორდის ნახევარი.

ტანგენტი გაცილებით გვიან გაჩნდა, როდესაც მეცნიერებს დავალება შეექმნათ დაედგინათ დედამიწის ზედაპირზე პერპენდიკულარულად მდგომი ობიექტების ჩრდილის სიგრძის განსაზღვრა. ტანგენტი შემოიღო არაბმა მათემატიკოსმა აბულ-ვაფამ მეათე საუკუნეში. აღმოსავლურმა მეცნიერმა შეადგინა სპეციალური ცხრილები ტანგენტებისა და კოტანგენტების დასადგენად, მაგრამ ეს აღმოჩენა არასოდეს ყოფილა ევროპის კონტინენტზე.

ევროპაში ტანგენტები ხელახლა აღმოაჩინეს მხოლოდ მე-14 საუკუნეში: გერმანელმა მათემატიკოსმა იოჰან მიულერ რეგიომონტანუსმა ეს ფუნქცია გამოიყენა ასტრონომიულ გამოთვლებში. ტერმინი "ტანგენტი" მომდინარეობს ლათინური სიტყვა tanger, რაც ნიშნავს "შეხებას" და გამოიგონეს გვიანი XVIსაუკუნეში. ეს ტერმინიგამოიყენებოდა ტანგენტების ხაზის აღსაწერად, ანუ ერთეული წრის ტანგენსი. Regiomontan-მა დაამტკიცა ტანგენტის თეორემა და ასევე შეადგინა ფუნქციის მნიშვნელობების სპეციალური ცხრილები, რომლებიც შესაფერისი იყო როგორც სიბრტყის, ასევე სფერული გეომეტრიისთვის.

ტანგენტის განმარტება

გეომეტრიულად, ტანგენტი განისაზღვრება, როგორც მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან. ფუნქცია ყოველთვის გამოითვლება კუთხისთვის და არ არის დამოკიდებული გვერდების სიგრძეზე. მოდით გვქონდეს სამკუთხედი A, B და C გვერდებით, სადაც C არის ჰიპოტენუზა. AC კუთხის ტანგენსი გამოითვლება, როგორც მოპირდაპირე B მხარის თანაფარდობა მიმდებარე A მხარეს ან tgAC = B/A. BC კუთხისთვის ტანგენსი გამოითვლება წილადის სახით, რომლის მრიცხველი არის სიგრძე მოპირდაპირე კუთხეფეხი A მიმდებარე B-ს, რომელიც მათემატიკურად იწერება, როგორც tgBC = A/B. კუთხე AB ჩამოყალიბებულია ორი ფეხით, ამიტომ მისი გამოთვლა შეუძლებელია. ფეხები არის მხარეები, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ამიტომ არ არსებობს ტანგენსი 90 გრადუსიანი კუთხისთვის.

გარდა ამისა გეომეტრიული განმარტება, ტანგენტი ადვილად გამოხატულია სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. ასე რომ, A კუთხისთვის, ტანგენსი შეიძლება გამოიხატოს სინუსისა და კოსინუსის თანაფარდობის გამოყენებით:

tgA = sinA / cosA.

ჩვენი პროგრამა საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ ტანგენსის რიცხვითი მნიშვნელობა ნებისმიერი კუთხის მნიშვნელობისთვის. ამისათვის უბრალოდ აირჩიეთ მენიუში შესაბამისი ფუნქცია და შეიყვანეთ კუთხის მნიშვნელობა გრადუსებში ან რადიანებში "კუთხის" უჯრედში. თუ კუთხის პოვნა გჭირდებათ ცნობილი ღირებულებატრიგონომეტრიული ფუნქცია, გამოიყენეთ არქტანგენტის ფუნქცია. ამისათვის შეიყვანეთ ტანგენტის მნიშვნელობა შესაბამის უჯრედში, რის შემდეგაც კალკულატორი დაგიბრუნებთ კუთხის მნიშვნელობას.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს

კუთხის გაანგარიშება

მოდით, სკოლის ამოცანამ მოგვცეს მართკუთხა სამკუთხედი გვერდებით A = 5 სმ, B = 12 სმ, C = 13 სმ. თქვენ უნდა იპოვოთ ყველა კუთხის მნიშვნელობა. ასე რომ, აშკარაა, რომ კუთხე AB, ანუ კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება ორი ფეხით, არის სწორი ხაზი. ეს ცნობილია ფეხების განმარტებიდან. ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ BC კუთხის ტანგენსი, რომელიც რიცხობრივად ტოლი იქნება წილადისა, რომლის მრიცხველი არის მოპირდაპირე მხარე A, ხოლო მნიშვნელი არის მიმდებარე მხარე B. ამიტომ, tanBC = A/B = 5/12 = 0,416 . თუ ვიცით ტანგენსი, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოვთვალოთ შესაბამისი კუთხე ონლაინ კალკულატორის გამოყენებით. ამისათვის აირჩიეთ ტანგენტის ფუნქცია მენიუში და შეიყვანეთ მნიშვნელობა 0.416 tgα უჯრედში. პროგრამა მყისიერად აჩვენებს კუთხის მნიშვნელობას, როგორც 22,58 გრადუსს. ბოლო კუთხის გამოთვლა არ არის რთული, რადგან პოსტულატის მიხედვით სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ კუთხე AC = 180 − 90 − 22,58 = 67,42 გრადუსი.

ტანგენტის გაანგარიშება

IN სკოლის დავალებებისტანდარტული კუთხეები ყველაზე ხშირად გამოიყენება, ამიტომ სკოლის მოსწავლეებისთვის მნიშვნელოვანია ამ კუთხისთვის ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები სიტყვასიტყვით ზეპირად იცოდნენ. მოდით გამოვიყენოთ კალკულატორი პრობლემების ყველაზე გავრცელებული კუთხისთვის ტანგენტების მნიშვნელობების დასადგენად:

tg30 = 0.577;
tg45 = 1;
tg60 = 1.732;
tg90 - არ არის გათვლილი;
tg120 = -1.732;
tg150 = -0,577;
tg180 = 0.

ზემოთ ჩვენ გავარკვიეთ, რატომ არ არის გამოთვლილი ტანგენსი 90 გრადუსიანი მნიშვნელობებისთვის. კიდევ ერთი რამ საინტერესო მნიშვნელობა- კუთხე 45 გრადუსი. რატომ არის ტანგენსი 1-ის ტოლი? პასუხი აშკარაა, რადგან თუ მართკუთხა სამკუთხედში ერთი კუთხე უდრის 45 გრადუსს, მაშინ მეორეს იგივე მნიშვნელობა აქვს. მაშასადამე, სამკუთხედი ტოლფერდაა, მისი ფეხები აქვს იგივე სიგრძე, და მათი თანაფარდობა ნებისმიერ შემთხვევაში 1-ის ტოლი იქნება.

დასკვნა

ტრიგონომეტრია - რთული მეცნიერება, რომელიც პრაქტიკულად არ პოულობს აპლიკაციას ყოველდღიური ცხოვრება. თუმცა, ტრიგონომეტრიის გარეშე არ იქნებოდა თანამედროვე ტექნოლოგიები, ასე რომ სპეციალისტები გამოყენებითი მეცნიერებებიმის გარეშე არსად. გამოიყენეთ ჩვენი ონლაინ კალკულატორები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

კუთხის ტანგენსი, ისევე როგორც სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, გამოხატავს მიმართებას მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენება შესაძლებელს ხდის გამოთვლებში ხარისხების გაზომვის რაოდენობების შეცვლას ხაზოვანი პარამეტრები.

ინსტრუქციები

თუ თქვენ გაქვთ პროტრატორი, სამკუთხედის მოცემული კუთხე შეიძლება გაიზომოს და ტანგენტის მნიშვნელობა შეიძლება მოიძებნოს ბრედისის ცხრილის გამოყენებით. თუ შეუძლებელია კუთხის ხარისხის მნიშვნელობის დადგენა, განსაზღვრეთ მისი ტანგენსი გაზომვების გამოყენებით წრფივი რაოდენობებიფიგურები. ამისათვის გააკეთეთ დამხმარე კონსტრუქციები: კუთხის ერთ მხარეს თვითნებური წერტილიდან ჩამოწიეთ პერპენდიკულარული მეორე მხარეს. გაზომეთ მანძილი კუთხის გვერდებზე პერპენდიკულარულის ბოლოებს შორის, ჩაწერეთ გაზომვის შედეგი წილადის მრიცხველში. ახლა გაზომეთ მანძილი ზემოდან მოცემული კუთხემართი კუთხის წვერომდე, ანუ იმ კუთხის იმ წერტილამდე, რომელზეც პერპენდიკულარი იყო ჩამოშვებული. მიღებული რიცხვი ჩაწერეთ წილადის მნიშვნელში. გაზომვის შედეგებიდან შედგენილი წილადი უდრის კუთხის ტანგენტს.

კუთხის ტანგენსი შეიძლება განისაზღვროს გაანგარიშებით, როგორც მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოთვალოთ ტანგენსი მოცემული კუთხის პირდაპირი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების საშუალებით - სინუსი და კოსინუსი. კუთხის ტანგენსი უდრის ამ კუთხის სინუსის შეფარდებას მის კოსინუსთან. განსხვავებით უწყვეტი ფუნქციებისინუსსა და კოსინუსს, ტანგენტს აქვს უწყვეტობა და არ არის განსაზღვრული 90 გრადუსიანი კუთხით. ზე ნულოვანი ღირებულებამისი ტანგენტური კუთხე ნულის ტოლი. მართკუთხა სამკუთხედის მიმართებებიდან აშკარაა, რომ 45 გრადუსიან კუთხეს აქვს ტანგენსი, ერთის ტოლი, ვინაიდან ასეთი მართკუთხა სამკუთხედის ფეხები ტოლია.