y 3 ფუნქციის თვისებები x-ის ხარისხზე. ფუნქციები და გრაფიკები

ფუნქცია სად X- ცვლადი რაოდენობა, ა- იწოდება მოცემული ნომერი დენის ფუნქცია .

თუ მაშინ არის წრფივი ფუნქცია, მისი გრაფიკი არის სწორი ხაზი (იხ. პარაგრაფი 4.3, ნახ. 4.7).

თუ მაშინ არის კვადრატული ფუნქცია, მისი გრაფიკი არის პარაბოლა (იხ. პუნქტი 4.3, ნახ. 4.8).

თუ მაშინ მისი გრაფიკი არის კუბური პარაბოლა (იხ. პუნქტი 4.3, სურ. 4.9).

დენის ფუნქცია

ეს არის შებრუნებული ფუნქცია ამისთვის

1. ფარგლები:

2. მრავალი მნიშვნელობა:

3. ლუწი და კენტი:ფუნქცია უცნაურია.

4. ფუნქციის სიხშირე:არა პერიოდული.

5. ფუნქციის ნულები: X= 0 - ერთადერთი ნული.

6. ფუნქციას არ აქვს მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა.

7.

8. ფუნქციის გრაფიკისიმეტრიულია კუბური პარაბოლის გრაფიკის მიმართ სწორი ხაზის მიმართ Y=Xდა ნაჩვენებია ნახ. 5.1.

დენის ფუნქცია

1. ფარგლები:

2. მრავალი მნიშვნელობა:

3. ლუწი და კენტი:ფუნქცია თანაბარია.

4. ფუნქციის სიხშირე:არა პერიოდული.

5. ფუნქციის ნულები:ერთჯერადი ნული X = 0.

6. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები:იღებს უმცირეს მნიშვნელობას X= 0, ის უდრის 0-ს.

7. გაზრდისა და კლების ინტერვალები:ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე და იზრდება ინტერვალზე

8. ფუნქციის გრაფიკი(თითოეულისთვის ნ Î ნ) არის კვადრატული პარაბოლის გრაფიკის „მსგავსი“ (ფუნქციის გრაფიკები ნაჩვენებია ნახ. 5.2-ზე).

დენის ფუნქცია

1. ფარგლები:

2. მრავალი მნიშვნელობა:

3. ლუწი და კენტი:ფუნქცია უცნაურია.

4. ფუნქციის სიხშირე:არა პერიოდული.

5. ფუნქციის ნულები: X= 0 - ერთადერთი ნული.

6. უმაღლესი და ყველაზე დაბალი მნიშვნელობები:

7. გაზრდისა და კლების ინტერვალები:ფუნქცია იზრდება განმარტების მთელ დომენზე.

8. ფუნქციის გრაფიკი(თითოეულისთვის) არის კუბური პარაბოლის გრაფიკის „მსგავსი“ (ფუნქციის გრაფიკები ნაჩვენებია ნახ. 5.3-ზე).

დენის ფუნქცია

1. ფარგლები:

2. მრავალი მნიშვნელობა:

3. ლუწი და კენტი:ფუნქცია უცნაურია.

4. ფუნქციის სიხშირე:არა პერიოდული.

5. ფუნქციის ნულები:არ აქვს ნულები.

6. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები:ფუნქციას არ აქვს ყველაზე დიდი და პატარა მნიშვნელობები რომელიმესთვის

7. გაზრდისა და კლების ინტერვალები:ფუნქცია მცირდება მისი განმარტების დომენში.

8. ასიმპტოტები:(ღერძი ოჰ) – ვერტიკალური ასიმპტოტი;

(ღერძი ოჰ) – ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

9. ფუნქციის გრაფიკი(ნებისმიერი ნ) არის ჰიპერბოლის გრაფიკის „მსგავსი“ (ფუნქციის გრაფიკები ნაჩვენებია ნახ. 5.4-ზე).

დენის ფუნქცია

1. ფარგლები:

2. მრავალი მნიშვნელობა:

3. ლუწი და კენტი:ფუნქცია თანაბარია.

4. ფუნქციის სიხშირე:არა პერიოდული.

5. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები:ფუნქციას არ აქვს ყველაზე დიდი და პატარა მნიშვნელობები რომელიმესთვის

6. გაზრდისა და კლების ინტერვალები:ფუნქცია იზრდება და მცირდება

7. ასიმპტოტები: X= 0 (ღერძი ოჰ) – ვერტიკალური ასიმპტოტი;

ი= 0 (ღერძი ოჰ) – ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

8. ფუნქციების გრაფიკებიისინი კვადრატული ჰიპერბოლებია (სურ. 5.5).

დენის ფუნქცია

1. ფარგლები:

2. მრავალი მნიშვნელობა:

3. ლუწი და კენტი:ფუნქციას არ აქვს ლუწი და კენტი თვისება.

4. ფუნქციის სიხშირე:არა პერიოდული.

5. ფუნქციის ნულები: X= 0 - ერთადერთი ნული.

6. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები:ფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას 0-ის ტოლი წერტილში X= 0; არ აქვს ყველაზე დიდი მნიშვნელობა.

7. გაზრდისა და კლების ინტერვალები:ფუნქცია იზრდება განმარტების მთელ დომენზე.

8. თითოეული ასეთი ფუნქცია გარკვეული მაჩვენებლისთვის არის მოცემული ფუნქციის შებრუნებული

9. ფუნქციის გრაფიკი"ემსგავსება" ნებისმიერი ფუნქციის გრაფიკს ნდა ნაჩვენებია ნახ. 5.6.

დენის ფუნქცია

1. ფარგლები:

2. მრავალი მნიშვნელობა:

3. ლუწი და კენტი:ფუნქცია უცნაურია.

4. ფუნქციის სიხშირე:არა პერიოდული.

5. ფუნქციის ნულები: X= 0 - ერთადერთი ნული.

6. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები:ფუნქციას არ აქვს ყველაზე დიდი და პატარა მნიშვნელობები რომელიმესთვის

7. გაზრდისა და კლების ინტერვალები:ფუნქცია იზრდება განმარტების მთელ დომენზე.

8. ფუნქციის გრაფიკინაჩვენებია ნახ. 5.7.

დენის ფუნქციაფორმის ფუნქციაა y = xp, სადაც p არის მოცემული რეალური რიცხვი.

დენის ფუნქციის თვისებები

1. თუ მაჩვენებელი p = 2n- ლუწი ნატურალური რიცხვი:
   • განსაზღვრების დომენი - ყველა რეალური რიცხვი, ანუ სიმრავლე R;
   • მნიშვნელობების ნაკრები - არაუარყოფითი რიცხვები, ანუ y ≥ 0;
   • ფუნქცია თანაბარია;
   • ფუნქცია მცირდება x ≤ 0 ინტერვალზე და იზრდება x ≥ 0 ინტერვალზე.
   ფუნქციის მაგალითი მაჩვენებლით p = 2n: y = x 4.


2. თუ მაჩვენებელი p = 2n - 1- კენტი ბუნებრივი რიცხვი:
   • განსაზღვრების დომენი - ნაკრები R;
   • მნიშვნელობების ნაკრები - ნაკრები R;
   • ფუნქცია უცნაურია;
   • ფუნქცია იზრდება მთელ რეალურ ღერძზე.
   ფუნქციის მაგალითი მაჩვენებლით p = 2n - 1: y = x 5.


3. თუ მაჩვენებელი p = -2n, სად ნ- ბუნებრივი რიცხვი:
   • მნიშვნელობების ნაკრები - დადებითი რიცხვები y > 0;
   • ფუნქცია თანაბარია;
   • ფუნქცია იზრდება x 0 ინტერვალზე.
   ფუნქციის მაგალითი მაჩვენებლით p = -2n: y = 1/x 2.


4. თუ მაჩვენებელი p = -(2n - 1), სად ნ- ბუნებრივი რიცხვი:
   • განსაზღვრების დომენი - კომპლექტი R, გარდა x = 0;
   • მნიშვნელობების ნაკრები - ნაკრები R, გარდა y = 0;
   • ფუნქცია უცნაურია;
   • ფუნქცია მცირდება x 0 ინტერვალებით.
   ფუნქციის მაგალითი მაჩვენებლით p = -(2n - 1): y = 1/x 3.


5. თუ მაჩვენებელი გვ- დადებითი რეალური არა მთელი რიცხვი:
   • განსაზღვრების დომენი - არაუარყოფითი რიცხვები x ≥ 0;
   • მნიშვნელობების ნაკრები - არაუარყოფითი რიცხვები y ≥ 0;
   • ფუნქცია იზრდება x ≥ 0 ინტერვალზე.
   ფუნქციის მაგალითი p მაჩვენებლით, სადაც p არის დადებითი რეალური არა მთელი რიცხვი: y = x 4/3.


6. თუ მაჩვენებელი გვ- უარყოფითი რეალური არა მთელი რიცხვი:
   • განსაზღვრების დომენი - დადებითი რიცხვები x > 0;
   • მნიშვნელობების ნაკრები - დადებითი რიცხვები y > 0;
   • ფუნქცია მცირდება x > 0 ინტერვალზე.
   ფუნქციის მაგალითი p მაჩვენებლით, სადაც p არის უარყოფითი რეალური არა მთელი რიცხვი: y = x -1/3.

იცნობთ თუ არა ფუნქციებს y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/xდა ა.შ. ყველა ეს ფუნქცია არის დენის ფუნქციის, ანუ ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევები y=xp, სადაც p არის მოცემული რეალური რიცხვი.
სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები და გრაფიკი მნიშვნელოვნად არის დამოკიდებული რეალური მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის თვისებებზე და განსაკუთრებით იმ მნიშვნელობებზე, რომელთათვისაც xდა გვხარისხი აქვს აზრი x გვ. მოდით გადავიდეთ სხვადასხვა შემთხვევის მსგავს განხილვაზე იმის მიხედვით
ექსპონენტი გვ.

1. ინდიკატორი p=2n-თუნდაც ნატურალური რიცხვი.

თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - ყველა რეალური რიცხვი, ანუ სიმრავლე R;
• მნიშვნელობების ნაკრები - არაუარყოფითი რიცხვები, ანუ y მეტია ან ტოლია 0-ზე;
• ფუნქცია y=x2nთუნდაც იმიტომ x 2n=(- x) 2n
• ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე x<0 და იზრდება ინტერვალით x>0.

2. ინდიკატორი p=2n-1- კენტი ნატურალური რიცხვი
ამ შემთხვევაში დენის ფუნქცია y=x2n-1სადაც არის ნატურალური რიცხვი, აქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - ნაკრები R;
• მნიშვნელობების ნაკრები - ნაკრები R;
• ფუნქცია y=x2n-1უცნაურია, რადგან (- x) 2n-1=x2n-1;
• ფუნქცია იზრდება მთელ რეალურ ღერძზე.

3.ინდიკატორი p=-2n, სად n-ბუნებრივი რიცხვი.

ამ შემთხვევაში, დენის ფუნქცია y=x -2n =1/x 2nაქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - ნაკრები R, გარდა x=0;
• მნიშვნელობების ნაკრები - დადებითი რიცხვები y>0;
• ფუნქცია y =1/x2nთუნდაც იმიტომ 1/(-x)2n=1/x 2n;
• ფუნქცია იზრდება x ინტერვალზე<0 и убывающей на промежутке x>0.

პრეზენტაციის გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში და შედით მასში: https://accounts.google.com

სლაიდის წარწერები:

გაკვეთილის თემა: სიმძლავრის ფუნქცია და მისი გრაფიკი.

როგორც ალგებრისტები წერენ A 2, A 3, ... ნაცვლად AA, AAA, ..., მეც ვწერ -1, a -2, a -3, ... ნიუტონ I-ის ნაცვლად.

y = x x y y = x 2 x y y = x 3 x y x y პირდაპირი პარაბოლა კუბური პარაბოლა ჰიპერბოლა ჩვენ ვიცნობთ ფუნქციებს: ყველა ეს ფუნქცია არის სიმძლავრის ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა.

სადაც p არის მოცემული რეალური რიცხვი განმარტება: სიმძლავრის ფუნქცია არის y = x p ფორმის ფუნქცია. x-დან და p-დან, რომლებისთვისაც ხარისხს x p აქვს აზრი.

ფუნქცია y=x 2 n არის ლუწი, რადგან (– x) 2 n = x 2 n ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე სიმძლავრის ფუნქცია: მაჩვენებელი p = 2n – ლუწი ნატურალური რიცხვი y = x 2, y = x 4, y = x 6, y = x 8 , ... 1 0 x y y = x 2

y x - 1 0 1 2 y = x 2 y = x 6 y = x 4 სიმძლავრის ფუნქცია: მაჩვენებელი p = 2n – ლუწი ნატურალური რიცხვი y = x 2, y = x 4, y = x 6, y = x 8, . ..

ფუნქცია y=x 2 n -1 კენტია, რადგან (– x) 2 n -1 = – x 2 n -1 ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე სიმძლავრის ფუნქცია: მაჩვენებელი p = 2n-1 – უცნაური ნატურალური რიცხვი y = x 3, y = x 5, y = x 7, y = x 9, … 1 0

სიმძლავრის ფუნქცია: y x ​​- 1 0 1 2 y = x 3 y = x 7 y = x 5 მაჩვენებელი p = 2n-1 – უცნაური ნატურალური რიცხვი y = x 3, y = x 5, y = x 7, y = x 9,...

ფუნქცია y=x- 2 n ლუწია, რადგან (– x) -2 n = x -2 n ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე სიმძლავრის ფუნქცია: მაჩვენებელი p = -2n – სადაც n არის ბუნებრივი რიცხვი y = x -2, y = x -4 , y = x -6 , y = x -8 , … 0 1

1 0 1 2 y = x -4 y = x -2 y = x -6 სიმძლავრის ფუნქცია: მაჩვენებელი p = -2n – სადაც n არის ნატურალური რიცხვი y = x -2, y = x -4, y = x - 6, y = x -8, ... y x

ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე ფუნქცია y=x -(2 n -1) კენტია, რადგან (– x) –(2 n -1) = – x –(2 n -1) ფუნქცია მცირდება ინტერვალის სიმძლავრის ფუნქციაზე: მაჩვენებელი p = -(2n-1) – სადაც n არის ნატურალური რიცხვი y = x - 3, y = x -5, y = x -7, y = x -9, ... 1 0

y = x -1 y = x -3 y = x -5 სიმძლავრის ფუნქცია: მაჩვენებელი p = -(2n-1) – სადაც n არის ნატურალური რიცხვი y = x -3, y = x -5, y = x - 7, y = x -9 , … y x - 1 0 1 2

სიმძლავრის ფუნქცია: მაჩვენებლის p – დადებითი რეალური არამთლიანი რიცხვი y = x 1.3, y = x 0.7, y = x 2.2, y = x 1/3,... 0 1 x y ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე.

y = x 0,7 სიმძლავრის ფუნქცია: მაჩვენებლის p – დადებითი რეალური არა მთელი რიცხვი y = x 1,3, y = x 0,7, y = x 2,2, y = x 1/3,… y x - 1 0 1 2 y = x 0,5 y = x 0.84

სიმძლავრის ფუნქცია: მაჩვენებელი p – დადებითი რეალური არამთლიანი რიცხვი y = x 1.3, y = x 0.7, y = x 2.2, y = x 1/3,… y x - 1 0 1 2 y = x 1, 5 y = x 3.1 y = x 2.5

სიმძლავრის ფუნქცია: მაჩვენებლის p – უარყოფითი რეალური არამთლიანი რიცხვი y= x -1.3, y= x -0.7, y= x -2.2, y = x -1/3,… 0 1 x y ფუნქცია მცირდება შორის

y = x -0.3 y = x -2.3 y = x -3.8 სიმძლავრის ფუნქცია: მაჩვენებლის p – უარყოფითი რეალური არამთლიანი რიცხვი y= x -1.3, y= x -0.7, y= x -2.2, y = x -1 /3,… y x - 1 0 1 2 y = x -1.3

თემაზე: მეთოდოლოგიური განვითარება, პრეზენტაციები და შენიშვნები

სასწავლო პროცესში ინტეგრაციის გამოყენება, როგორც ანალიტიკური და შემოქმედებითი შესაძლებლობების განვითარების საშუალება....

ლექცია: სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი მაჩვენებლით, მისი გრაფიკი

ჩვენ მუდმივად ვმუშაობთ ფუნქციებთან, სადაც არგუმენტს აქვს გარკვეული ხარისხი:
y = x 1, y = x 2, y = x 3, y = x -1 და ა.შ.

დენის ფუნქციების გრაფიკები

ახლა ჩვენ განვიხილავთ დენის ფუნქციის რამდენიმე შესაძლო შემთხვევას.

1) y = x 2 ნ .

ეს ნიშნავს, რომ ახლა განვიხილავთ ფუნქციებს, რომლებშიც მაჩვენებელი ლუწი რიცხვია.

ფუნქციის მახასიათებელი:

1. ყველა რეალური რიცხვი მიიღება მნიშვნელობების დიაპაზონად.

2. ფუნქციას შეუძლია მიიღოს ყველა დადებითი მნიშვნელობა და რიცხვი ნული.

3. ფუნქცია კი იმიტომ არის, რომ ის არ არის დამოკიდებული არგუმენტის ნიშანზე, არამედ დამოკიდებულია მხოლოდ მის მოდულზე.

4. დადებითი არგუმენტისთვის ფუნქცია იზრდება, ხოლო უარყოფითი არგუმენტისთვის მცირდება.

ამ ფუნქციების გრაფიკები პარაბოლას წააგავს. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულია y = x 4 ფუნქციის გრაფიკი.

2) ფუნქციას აქვს უცნაური მაჩვენებელი: y = x 2 n +1.

1. ფუნქციის დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები.

2. ფუნქციის მნიშვნელობის ფართობი - შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი რეალური რიცხვის ფორმა.

3. ეს ფუნქცია უცნაურია.

4. მონოტონურად იზრდება ფუნქციის განხილვის მთელი ინტერვალით.

5. ყველა სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი კენტი მაჩვენებლით იდენტურია ფუნქციის y = x 3.

3) ფუნქციას აქვს თუნდაც უარყოფითი ბუნებრივი მაჩვენებელი: y = x -2 n.

ყველამ ვიცით, რომ უარყოფითი მაჩვენებელი გვაძლევს საშუალებას გამოვტოვოთ ხარისხი მნიშვნელიდან და შევცვალოთ მაჩვენებლის ნიშანი, ანუ მივიღოთ ფორმა y = 1/x 2 n.

1. ამ ფუნქციის არგუმენტმა შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ნულის გარდა, რადგან ცვლადი არის მნიშვნელში.

2. ვინაიდან მაჩვენებელი ლუწი რიცხვია, ფუნქციას არ შეუძლია უარყოფითი მნიშვნელობების მიღება. და რადგან არგუმენტი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, მაშინ ასევე უნდა გამოირიცხოს ნულის ტოლი ფუნქციის მნიშვნელობა. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციას შეუძლია მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობების მიღება.

3. ეს ფუნქცია თანაბარია.

4. უარყოფითი არგუმენტისთვის ფუნქცია მონოტონურად იზრდება, დადებითი არგუმენტისთვის კი მცირდება.

y = x -2 ფუნქციის გრაფიკის ტიპი:

4) ფუნქცია უარყოფითი კენტი მაჩვენებლით y = x -(2 n +1) .

1. ეს ფუნქცია არსებობს ყველა არგუმენტის მნიშვნელობებისთვის ნულის გარდა.

2. ფუნქცია იღებს ყველა რეალურ მნიშვნელობას ნულის გარდა.

3. ეს ფუნქცია უცნაურია.

4. მცირდება განხილულ ორ ინტერვალზე.

განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკის მაგალითი უარყოფითი კენტი მაჩვენებლით y = x -3 მაგალითის გამოყენებით.