ვექტორული სიგრძის თვისებები ევკლიდეს სივრცეში. ევკლიდური სივრცეები

თავი 4
EUCLIDAN SPACES

ანალიტიკური გეომეტრიის კურსიდან მკითხველი იცნობს ორი თავისუფალი ვექტორის სკალარული ნამრავლის კონცეფციას და მითითებული სკალარული პროდუქტის ოთხ ძირითად თვისებას. ამ თავში შესწავლილია ნებისმიერი ბუნების წრფივი სივრცეები, რომელთა ელემენტებისთვის გარკვეული გზით არის განსაზღვრული წესი (და არ აქვს მნიშვნელობა რომელი), რომელიც აკავშირებს ნებისმიერ ორ ელემენტს რიცხვთან, რომელსაც ეწოდება ამ ელემენტების სკალარული ნამრავლი. ამ შემთხვევაში მხოლოდ მნიშვნელოვანია, რომ ამ წესს ჰქონდეს იგივე ოთხი თვისება, როგორც წესი ორი თავისუფალი ვექტორის სკალარული ნამრავლის შედგენისთვის. წრფივ სივრცეებს, რომლებშიც მითითებული წესია განსაზღვრული, ეწოდება ევკლიდური სივრცეები. ეს თავი განმარტავს თვითნებური ევკლიდური სივრცეების ძირითად თვისებებს.

§ 1. უძრავი ევკლიდური სივრცე და მისი უმარტივესი თვისებები

1. რეალური ევკლიდური სივრცის განმარტება.ნამდვილ წრფივ სივრცეს R ეწოდება რეალური ევკლიდური სივრცე(ან უბრალოდ ევკლიდური სივრცე) თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი ორი მოთხოვნა.
I. არსებობს წესი, რომლითაც x და y სივრცის ნებისმიერი ორი ელემენტი ასოცირდება გამოძახებულ ნამდვილ რიცხვთან სკალარული პროდუქტიამ ელემენტების და აღინიშნება სიმბოლოთი (x, y).
P. ეს წესი ექვემდებარება შემდეგ ოთხ აქსიომას:
1°. (x, y) = (y, x) (კომუტაციური თვისება ან სიმეტრია);
2°. (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (განაწილების თვისება);
3°. (λ x, y) = λ (x, y) ნებისმიერი რეალური λ;
4°. (x, x) > 0 თუ x არის არანულოვანი ელემენტი; (x, x) = 0 თუ x არის ნულოვანი ელემენტი.
ხაზს ვუსვამთ, რომ ევკლიდური სივრცის ცნების შემოღებისას ჩვენ აბსტრაქტულნი ვართ არა მხოლოდ შესასწავლი ობიექტების ბუნებიდან, არამედ ელემენტების ჯამის, ელემენტის ნამრავლის ფორმირების სპეციფიკური ტიპის წესებიდანაც. ელემენტების სკალარული ნამრავლი (მხოლოდ მნიშვნელოვანია, რომ ეს წესები აკმაყოფილებდეს წრფივი სივრცის რვა აქსიომას და ოთხი აქსიომას სკალარული ნამრავლს).
თუ მითითებულია შესასწავლი ობიექტების ბუნება და ჩამოთვლილი წესების ტიპი, მაშინ ევკლიდეს სივრცე ე.წ. კონკრეტული.
მოვიყვანოთ კონკრეტული ევკლიდური სივრცეების მაგალითები.
მაგალითი 1. განვიხილოთ ყველა თავისუფალი ვექტორის წრფივი სივრცე B 3. ჩვენ განვსაზღვრავთ ნებისმიერი ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლს, როგორც ეს გაკეთდა ანალიტიკურ გეომეტრიაში (ანუ, როგორც ამ ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლი). ანალიტიკური გეომეტრიის მსვლელობისას დამტკიცდა 1° - 4° აქსიომების ასე განსაზღვრული სკალარული ნამრავლის მართებულობა (იხ. საკითხი „ანალიტიკური გეომეტრია“, თავი 2, §2, პუნქტი 3). მაშასადამე, B 3 სივრცე ასე განსაზღვრული სკალარული ნამრავლით არის ევკლიდური სივრცე.
მაგალითი 2. განვიხილოთ ყველა x(t) ფუნქციის უსასრულო განზომილებიანი წრფივი სივრცე C [a, b], განსაზღვრული და უწყვეტი a ≤ t ≤ b სეგმენტზე. ჩვენ განვსაზღვრავთ ორი ასეთი ფუნქციის სკალარულ ნამრავლს x(t) და y(t), როგორც ამ ფუნქციების ნამრავლის ინტეგრალი (a-დან b დიაპაზონში).

1°-4° აქსიომების ასე განსაზღვრული სკალარული ნამრავლის მართებულობა მოწმდება ელემენტარული გზით. მართლაც, აქსიომ 1°-ის მართებულობა აშკარაა; 2° და 3° აქსიომების მართებულობა გამომდინარეობს განსაზღვრული ინტეგრალის წრფივი თვისებებიდან; აქსიომ 4°-ის მართებულობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ უწყვეტი არაუარყოფითი ფუნქციის ინტეგრალი x 2 (t) არაუარყოფითია და ქრება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ეს ფუნქცია იდენტურად ნულის ტოლია a ≤ t ≤ b სეგმენტზე (იხ. საკითხი „მათემატიკური ანალიზის საფუძვლები“, ნაწილი I, თვისებები 1° და 2° პუნქტიდან 1 §6 თავი 10) (ანუ განსახილველი სივრცის ნულოვანი ელემენტია).
ამრიგად, სივრცე C[a, b] ასე განსაზღვრული სკალარული ნამრავლით არის უსასრულო განზომილებიანი ევკლიდური სივრცე.
მაგალითი 3. ევკლიდეს სივრცის შემდეგი მაგალითი იძლევა n-განზომილებიან წრფივ სივრცეს A n n რეალური რიცხვის მოწესრიგებული კრებულის, ნებისმიერი ორი ელემენტის სკალარული ნამრავლი x = (x 1, x 2,..., x n) და y. = (y 1, y 2 ,...,y n) რომელიც განისაზღვრება ტოლობით

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)

1°-ის აქსიომას მართებულობა ასეთი განსაზღვრული სკალარული პროდუქტისთვის აშკარაა; 2° და 3° აქსიომების მართებულობა მარტივად შეიძლება გადამოწმდეს ელემენტების დამატების ოპერაციების განმარტების გახსენებით და მათი რიცხვებით გამრავლებით:

(x 1 , x 2 ,...,x n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n) ,

λ (x 1, x 2,..., x n) = (λ x 1, λ x 2,..., λ x n);

საბოლოოდ, 4°-ის აქსიომას მართებულობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ...+ x n 2 ყოველთვის არაუარყოფითი რიცხვია და ქრება მხოლოდ x 1 = x პირობით. 2 = .. = x n = 0.
ამ მაგალითში განხილული ევკლიდური სივრცე ხშირად აღინიშნება სიმბოლოთ E n.
მაგალითი 4. იმავე წრფივ სივრცეში A n, შემოგვაქვს ნებისმიერი ორი ელემენტის სკალარული ნამრავლი x = (x 1, x 2,..., x n) და y = (y 1, y 2,..., y n ) არა მიმართება (4.2), არამედ სხვა, უფრო ზოგადი გზით.
ამისათვის განიხილეთ კვადრატული მატრიცა რიგით n

მატრიცის (4.3) გამოყენებით შევადგინოთ მეორე რიგის ერთგვაროვანი პოლინომი n ცვლადის მიმართ x 1, x 2,..., x n.

წინ რომ ვუყურებთ, აღვნიშნავთ, რომ ასეთ მრავალწევრს ე.წ კვადრატული ფორმა(გენერირდება მატრიცით (4.3)) (კვადრატული ფორმები სისტემატურად არის შესწავლილი ამ წიგნის მე-7 თავში).
კვადრატული ფორმა (4.4) ე.წ დადებითი გარკვეულითუ იგი იღებს მკაცრად დადებით მნიშვნელობებს x 1, x 2,..., x n ცვლადების ყველა მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც არ არის ნულის ტოლი ამავე დროს (ამ წიგნის მე-7 თავში აუცილებელია და საკმარისი მითითებული იქნება კვადრატული ფორმის დადებითი განსაზღვრულობის პირობა).
ვინაიდან x 1 = x 2 = ... = x n = 0-ისთვის კვადრატული ფორმა (4.4) აშკარად ნულის ტოლია, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ დადებითი გარკვეული
კვადრატული ფორმა ქრება მხოლოდ x პირობით 1 = x 2 = ... = x ნ = 0.
ჩვენ ვითხოვთ, რომ მატრიცა (4.3) აკმაყოფილებდეს ორ პირობას.
1°. გენერირებულია დადებითი განსაზღვრული კვადრატული ფორმა (4.4).
2°. იგი იყო სიმეტრიული (მთავარ დიაგონალთან შედარებით), ე.ი. დააკმაყოფილა პირობა a ik = a ki ყველა i = 1, 2,..., n და k = I, 2,..., n.
მატრიცის (4.3) გამოყენებით, რომელიც აკმაყოფილებს 1° და 2° პირობებს, ჩვენ განვსაზღვრავთ ნებისმიერი ორი ელემენტის სკალარული ნამრავლს x = (x 1, x 2,..., x n) და y = (y 1, y 2,.. ,y n) სივრცის A n მიმართებით

მარტივია ყველა აქსიომების ასე განსაზღვრული სკალარული ნამრავლის მართებულობის შემოწმება 1°-4°. მართლაც, აქსიომები 2° და 3° აშკარად მოქმედებს სრულიად თვითნებური მატრიცისთვის (4.3); 1°-ის აქსიომას მართებულობა გამომდინარეობს მატრიცის სიმეტრიის მდგომარეობიდან (4.3), ხოლო აქსიომა 4°-ის ვალიდობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ კვადრატული ფორმა (4.4), რომელიც არის სკალარული ნამრავლი (x, x), დადებითია. გარკვეული.
ამრიგად, სივრცე A n ტოლობით (4.5) განსაზღვრული სკალარული ნამრავლით, იმ პირობით, რომ მატრიცა (4.3) სიმეტრიულია და მის მიერ წარმოქმნილი კვადრატული ფორმა დადებითი განსაზღვრულია, არის ევკლიდური სივრცე.
თუ იდენტობის მატრიცას ავიღებთ მატრიცად (4.3), მაშინ მიმართება (4.4) გადაიქცევა (4.2) და მივიღებთ ევკლიდეს სივრცეს E n , განხილულ მაგალითში 3.
2. თვითნებური ევკლიდური სივრცის უმარტივესი თვისებები.ამ პარაგრაფში დადგენილი თვისებები მოქმედებს როგორც სასრულ, ისე უსასრულო განზომილებების სრულიად თვითნებური ევკლიდური სივრცისთვის.
თეორემა 4.1.თვითნებური ევკლიდური სივრცის ნებისმიერი ორი ელემენტისთვის, x და y, მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

(x, y) 2 ≤ (x, x)(y, y), (4.6)

უწოდა კოში-ბუნიაკოვსკის უთანასწორობა.
მტკიცებულება.ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის, სკალარული ნამრავლის 4°-ის მიხედვით, უტოლობა (λ x - y, λ x - y) მართებულია 1°-3° აქსიომების მიხედვით, ბოლო უტოლობა შეიძლება იყოს გადაწერილი როგორც

λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

ბოლო კვადრატული ტრინომის არანეგატიურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა მისი დისკრიმინანტის არაპოზიტიურობა, ანუ უტოლობა (შემთხვევაში (x, x) = 0, კვადრატული ტრინომი გადაგვარდება წრფივ ფუნქციაში, მაგრამ ამ შემთხვევაში ელემენტი x არის ნული, ამიტომ (x, y ) = 0 და უტოლობა (4.7) ასევე მართალია)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

უტოლობა (4.6) დაუყოვნებლივ მოდის (4.7). თეორემა დადასტურებულია.
ჩვენი შემდეგი ამოცანაა კონცეფციის გაცნობა ნორმები(ან სიგრძე) თითოეული ელემენტის. ამისათვის ჩვენ შემოგთავაზებთ ხაზოვანი ნორმირებული სივრცის კონცეფციას.
განმარტება.წრფივი სივრცე R ეწოდება ნორმალიზებულითუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი ორი მოთხოვნა.
I. არსებობს წესი, რომლითაც R სივრცის ყოველი x ელემენტი ასოცირდება ნამდვილ რიცხვთან, რომელსაც ეწოდება ნორმა(ან სიგრძე) მითითებული ელემენტის და აღინიშნება სიმბოლო ||x||.
P. ეს წესი ექვემდებარება შემდეგ სამ აქსიომას:
1°. ||x|| > 0 თუ x არის არანულოვანი ელემენტი; ||x|| = 0 თუ x არის ნულოვანი ელემენტი;
2°. ||λ x|| = |λ | ||x|| ნებისმიერი x ელემენტისთვის და ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის λ;
3°. ნებისმიერი ორი ელემენტისთვის x და y შემდეგი უტოლობა მართალია

||x + y || ≤ ||х|| + ||y ||, (4.8)

ეწოდება სამკუთხედის უტოლობა (ან მინკოვსკის უტოლობა).
თეორემა 4.2. ნებისმიერი ევკლიდური სივრცე ნორმალიზდება, თუ მასში x ელემენტის ნორმა განისაზღვრება ტოლობით

მტკიცებულება.საკმარისია დავამტკიცოთ, რომ (4.9) მიმართებით განსაზღვრული ნორმისთვის მოქმედებს აქსიომები ნორმირებული სივრცის განმარტებიდან 1°-3°.
აქსიომ 1°-ის ნორმის მართებულობა დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს სკალარული ნამრავლის აქსიომიდან 4°. აქსიომ 2°-ის ნორმის მართებულობა თითქმის პირდაპირ გამომდინარეობს სკალარული პროდუქტის 1° და 3° აქსიომებიდან.
რჩება აქსიომ 3°-ის მართებულობის გადამოწმება ნორმისთვის, ანუ უტოლობისთვის (4.8). ჩვენ დავეყრდნობით კოში-ბუნიაკოვსკის უტოლობას (4.6), რომელსაც გადავწერთ სახით

ბოლო უტოლობის, სკალარული ნამრავლის აქსიომების 1°-4° და ნორმის განსაზღვრის გამოყენებით ვიღებთ

თეორემა დადასტურებულია.
შედეგი.ნებისმიერ ევკლიდეს სივრცეში (4.9) მიმართებით განსაზღვრული ელემენტების ნორმით, ნებისმიერი ორი ელემენტისთვის x და y მოქმედებს სამკუთხედის უტოლობა (4.8).

ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ ნებისმიერ რეალურ ევკლიდეს სივრცეში შეგვიძლია შემოვიტანოთ კუთხის კონცეფცია ამ სივრცის ორ თვითნებურ ელემენტებს შორის x და y. ვექტორულ ალგებრასთან სრული ანალოგიით ვუწოდებთ კუთხეφ ელემენტებს შორის Xდა ზეის (იცვლის 0-დან π) კუთხეს, რომლის კოსინუსი განისაზღვრება მიმართებით

კუთხის ჩვენი განმარტება სწორია, რადგან კოში-ბუნიაკოვსკის უტოლობის გამო (4.7"), ბოლო ტოლობის მარჯვენა მხარეს წილადი მოდულში ერთს არ აღემატება.
შემდეგი, ჩვენ შევთანხმდებით, რომ E ევკლიდური სივრცის ორ თვითნებურ ელემენტს x და y ვუწოდოთ ორთოგონალური, თუ ამ ელემენტების სკალარული ნამრავლი (x, y) ნულის ტოლია (ამ შემთხვევაში, კუთხის კოსინუსი (φ ელემენტებს შორის. x და y იქნება ნულის ტოლი).
კვლავ მივმართავთ ვექტორულ ალგებრას, მოდით ვუწოდოთ x და y ორთოგონალური ელემენტის x + y ჯამს x და y ელემენტებზე აგებული მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა.
გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერ ევკლიდეს სივრცეში მოქმედებს პითაგორას თეორემა: ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს. სინამდვილეში, რადგან x და y ორთოგონალურია და (x, y) = 0, მაშინ აქსიომების და ნორმის განსაზღვრის ძალით

||x + y || 2 = ( x+y, x+y ) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = (x,x) + (y, y) =||x|| 2 + ||y || 2.

ეს შედეგი განზოგადებულია n წყვილში ორთოგონალურ ელემენტებზე x 1, x 2,..., x n: თუ z = x 1 + x 2 + ...+ x n, მაშინ

||x|| 2 = (x 1 + x 2 + ...+ x n, x 1 + x 2 + ...+ x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( x n,x n) = ||x 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.

დასასრულს, ჩვენ ვწერთ ნორმას, კოში-ბუნიაკოვსკის უტოლობას და სამკუთხედის უტოლობას წინა აბზაცში განხილულ თითოეულ კონკრეტულ ევკლიდეს სივრცეში.
ყველა თავისუფალი ვექტორის ევკლიდეს სივრცეში სკალარული ნამრავლის ჩვეულებრივი განსაზღვრებით, ვექტორის a ნორმა ემთხვევა მის სიგრძეს |a|, კოში-ბუნიაკოვსკის უტოლობა მცირდება ფორმამდე ((a,b) 2 ≤ | 2 |b |. ის, რომ სამკუთხედის ერთი გვერდი არ აღემატება მისი ორი გვერდის ჯამს).
ევკლიდეს სივრცეში C [a, b] ყველა ფუნქციის x = x(t) უწყვეტი a ≤ t ≤ b სეგმენტზე სკალარული ნამრავლით (4.1), x = x(t) ელემენტის ნორმა უდრის, და კოში-ბუნიაკოვსკის და სამკუთხედის უტოლობას აქვს ფორმა

ორივე ეს უტოლობა მნიშვნელოვან როლს თამაშობს მათემატიკური ანალიზის სხვადასხვა დარგში.
ევკლიდეს სივრცეში E n n რეალური რიცხვის დალაგებული კრებულის სკალარული ნამრავლით (4.2), ნებისმიერი ელემენტის ნორმა x = (x 1 , x 2 ,..., x n) ტოლია.

დაბოლოს, n რეალური რიცხვის დალაგებული კრებულების ევკლიდეს სივრცეში სკალარული ნამრავლით (4.5), x = (x 1, x 2,..., x n) ნებისმიერი ელემენტის ნორმა 0-ის ტოლია (შეგახსენებთ, რომ ქ. ამ შემთხვევის მატრიცა (4.3) არის სიმეტრიული და წარმოქმნის დადებით განსაზღვრულ კვადრატულ ფორმას (4.4)).

და კოში-ბუნიაკოვსკის და სამკუთხედის უტოლობას აქვს ფორმა

ევკლიდური სივრცის განმარტება

განმარტება 1. რეალური წრფივი სივრცე ეწოდება ევკლიდეს, თუ ის განსაზღვრავს ოპერაციას, რომელიც აკავშირებს ნებისმიერ ორ ვექტორს xდა წაქედან სივრცის ნომერი, რომელსაც ეწოდება ვექტორების სკალარული ნამრავლი xდა წდა დანიშნული(x,y)რისთვისაც დაცულია შემდეგი პირობები:

1. (x,y) = (y,x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , სადაც ზ- მოცემული წრფივი სივრცის კუთვნილი ნებისმიერი ვექტორი;

3. (?x,y) = ? (x,y), სადაც ? - ნებისმიერი ნომერი;

4. (x,x) ? 0 და (x,x) = 0 x = 0.

მაგალითად, ერთსვეტიანი მატრიცების წრფივ სივრცეში, ვექტორების სკალარული ნამრავლი

შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით

ევკლიდური განზომილების სივრცე ნაღვნიშნავთ En. გაითვალისწინეთ რომ არსებობს როგორც სასრულ-განზომილებიანი, ასევე უსასრულო-განზომილებიანი ევკლიდური სივრცეები.

განმარტება 2. x ვექტორის სიგრძე (მოდული). ევკლიდეს სივრცეშიენ დაურეკა (x,x)და აღნიშნეთ ასე: |x| = (x,x). ევკლიდური სივრცის ნებისმიერი ვექტორისთვისარის სიგრძე და ნულოვან ვექტორს აქვს ის ნულის ტოლი.

ნულოვანი ვექტორის გამრავლება xთითო რიცხვზე , ვიღებთ ვექტორს, სიგრძე რომელიც უდრის ერთს. ამ ოპერაციას ე.წ რაციონირება ვექტორი x.

მაგალითად, ერთსვეტიანი მატრიცების სივრცეში ვექტორის სიგრძე შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით:

კოში-ბუნიაკოვსკის უთანასწორობა

მოდით x? En და y? En - ნებისმიერი ორი ვექტორი. მოდით დავამტკიცოთ, რომ უთანასწორობა მოქმედებს მათთვის:

(კოში-ბუნიაკოვსკის უთანასწორობა)

მტკიცებულება. დაუშვას? - ნებისმიერი რეალური ნომერი. აშკარაა რომ (?x ? y,?x ? y) ? 0. მეორე მხრივ, სკალარული პროდუქტის თვისებებიდან გამომდინარე შეგვიძლიადაწერე

მივხვდი

ამ კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი არ შეიძლება იყოს დადებითი, ე.ი. , საიდანაც გამომდინარეობს:

უთანასწორობა დადასტურდა.

სამკუთხედის უტოლობა

დაე xდა წ- ევკლიდური სივრცის თვითნებური ვექტორები En, ე.ი. x? ენ და წ? ენ.

ეს დავამტკიცოთ . (სამკუთხედის უტოლობა).

მტკიცებულება. აშკარაა რომ მეორე მხარეს,. კოში-ბუნიაკოვსკის უთანასწორობის გათვალისწინებით მივიღებთ

სამკუთხედის უტოლობა დადასტურებულია.

ევკლიდური სივრცის ნორმა

განმარტება 1 . ხაზოვანი სივრცე?დაურეკა მეტრიკა, ასეთის არსებობის შემთხვევაში ამ სივრცის ორი ელემენტი xდა წშეესაბამება არაუარყოფითსნომერი? (x,y)შორის მანძილს უწოდებენ xდა წ , (? (x,y)? 0), და შესრულებულიაპირობები (აქსიომები):

1) ? (x,y) = 0 x = წ

2) ? (x,y) = ? (y, x)(სიმეტრია);

3) ნებისმიერი სამი ვექტორისთვის x, წდა ზეს სივრცე? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z, y).

კომენტარი. მეტრულ სივრცის ელემენტებს ჩვეულებრივ წერტილებს უწოდებენ.

ევკლიდური სივრცე En არის მეტრიკა და როგორც მანძილი შორის ვექტორები x? En და y? En შეიძლება იქნას მიღებული x ? წ.

ასე, მაგალითად, ერთსვეტიანი მატრიცების სივრცეში, სადაც

აქედან გამომდინარე

განმარტება 2 . ხაზოვანი სივრცე?დაურეკა ნორმალიზებული, თუ თითოეული ვექტორი xამ სივრციდან ასოცირდება არაუარყოფითთან ნომერმა დარეკა ნორმა x. ამ შემთხვევაში აქსიომები დაკმაყოფილებულია:

ადვილი მისახვედრია, რომ ნორმირებული სივრცე არის მეტრული სივრცე stvom. სინამდვილეში, როგორც მანძილი შორის xდა წმიღება შეიძლება. ევკლიდესშისივრცე En როგორც x ვექტორის ნორმა? En არის მისი სიგრძე,იმათ. .

ასე რომ, ევკლიდური სივრცე En არის მეტრული სივრცე და, უფრო მეტიც, ევკლიდური სივრცე En არის ნორმატიული სივრცე.

კუთხე ვექტორებს შორის

განმარტება 1 . კუთხე არანულოვან ვექტორებს შორის ადა ბევკლიდური სივრცეხარისხი E ნდაასახელეთ ნომერი, რომლისთვისაც

განმარტება 2 . ვექტორები xდა წევკლიდური სივრცე Enეძახიან ორთოგონითეთრეულითუ მათთვის თანასწორობაა (x,y) = 0.

თუ xდა წ- არ არიან ნულოვანი, მაშინ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მათ შორის კუთხე ტოლია

გაითვალისწინეთ, რომ ნულოვანი ვექტორი, განსაზღვრებით, განიხილება ორთოგონალურად ნებისმიერი ვექტორის მიმართ.

მაგალითი . გეომეტრიულ (კოორდინატულ) სივრცეში?3, რომელიც არის ევკლიდური სივრცის განსაკუთრებული შემთხვევა, ერთეული ვექტორები მე, ჯდა კორმხრივი ორთოგონალური.

ორთონორალური საფუძველი

განმარტება 1 . საფუძველი ე1,e2 ,...,en ევკლიდეს სივრცეს En ეწოდება ორთოგონითეთრეული, თუ ამ საფუძვლის ვექტორები წყვილი ორთოგონალურია, ე.ი. თუ

განმარტება 2 . თუ ორთოგონალური საფუძვლის ყველა ვექტორი e1, e2 ,...,en არის ერთიანი, ე.ი. ე i = 1 (i = 1,2,...,n) , მაშინ საფუძველი ეწოდება ორთონორმალური, ე.ი. ამისთვისორთონორალური საფუძველი

თეორემა. (ორთონორმალური ბაზის აგების შესახებ)

ნებისმიერ ევკლიდეს სივრცეში E n არსებობს ორთონორმალური ფუძეები.

მტკიცებულება . მოდით დავამტკიცოთ თეორემა საქმისთვის ნ = 3.

დაე E1,E2,E3 იყოს E3 ევკლიდური სივრცის რაიმე თვითნებური საფუძველი მოდით ავაშენოთ ორთონორმალური საფუძველიამ სივრცეში.სად დავაყენოთ ? - რამდენიმე რეალური რიცხვი, რომელსაც ჩვენ ვირჩევთასე რომ (e1 ,e2 ) = 0, მაშინ მივიღებთ

და რა არის აშკარა? = 0 თუ E1 და E2 ორთოგონალურია, ე.ი. ამ შემთხვევაში e2 = E2 და , იმიტომ ეს არის საბაზისო ვექტორი.

იმის გათვალისწინებით, რომ (e1 ,e2 ) = 0, მივიღებთ

აშკარაა, რომ თუ e1 და e2 ორთოგონალურია E3 ვექტორის მიმართ, ე.ი. ამ შემთხვევაში უნდა ავიღოთ e3 = E3. ვექტორი E3? 0 იმიტომ E1, E2 და E3 წრფივად დამოუკიდებელია,ამიტომ e3? 0.

გარდა ამისა, ზემოაღნიშნული მსჯელობიდან გამომდინარეობს, რომ e3 არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფორმით e1 და e2 ვექტორების წრფივი კომბინაცია, შესაბამისად ვექტორები e1, e2, e3 წრფივად დამოუკიდებელიაsims და არის წყვილი ორთოგონალური, ამიტომ ისინი შეიძლება იქნას მიღებული ევკლიდეს საფუძვლადსივრცე E3. რჩება მხოლოდ აშენებული ბაზის ნორმალიზება, რისთვისაც ეს საკმარისიაგაყავით თითოეული აგებული ვექტორი სიგრძით. შემდეგ მივიღებთ

ასე რომ, ჩვენ შევქმენით საფუძველი - ორთონორმალური საფუძველი. თეორემა დადასტურებულია.

გამოყენებული მეთოდი თვითნებურიდან ორთონორმალური ბაზის ასაგებად საფუძველი ეწოდება ორთოგონალიზაციის პროცესი . გაითვალისწინეთ, რომ მტკიცების პროცესშითეორემა, დავადგინეთ, რომ წყვილი ორთოგონალური ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია. გარდათუ არის ორთონორმალური საფუძველი En-ში, მაშინ რომელიმე ვექტორისთვის x? ენარის მხოლოდ ერთი დაშლა

სადაც x1, x2,..., xn არის x ვექტორის კოორდინატები ამ ორთონორმალურ საფუძველზე.

იმიტომ რომ

შემდეგ ტოლობის (*) მასშტაბურად გამრავლება, ვიღებთ .

შემდგომში განვიხილავთ მხოლოდ ორთონორმალურ ფუძეებს და შესაბამისად ჩაწერის სიმარტივისთვის, ნულები არის საბაზისო ვექტორების თავზეჩვენ გამოვტოვებთ.

სკოლაშიც კი ყველა მოსწავლეს ეცნობა „ევკლიდური გეომეტრიის“ კონცეფცია, რომლის ძირითადი დებულებები ორიენტირებულია რამდენიმე აქსიომაზე, რომელიც დაფუძნებულია ისეთ გეომეტრიულ ელემენტებზე, როგორიცაა წერტილი, სიბრტყე, სწორი ხაზი და მოძრაობა. ყველა მათგანი ერთად ქმნის იმას, რაც დიდი ხანია ცნობილია როგორც "ევკლიდური სივრცე".

ევკლიდური, რომელიც ეფუძნება ვექტორების სკალარული გამრავლების პრინციპს, არის წრფივი (აფინური) სივრცის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც აკმაყოფილებს რიგ მოთხოვნებს. ჯერ ერთი, ვექტორების სკალარული ნამრავლი აბსოლუტურად სიმეტრიულია, ანუ ვექტორი კოორდინატებით (x;y) რაოდენობრივად იდენტურია ვექტორის კოორდინატებით (y;x), მაგრამ მიმართულების საწინააღმდეგოდ.

მეორეც, თუ ვექტორის სკალარული პროდუქტი შესრულებულია თავისთან, მაშინ ამ მოქმედების შედეგი დადებითი იქნება. ერთადერთი გამონაკლისი იქნება შემთხვევა, როდესაც ამ ვექტორის საწყისი და საბოლოო კოორდინატები ნულის ტოლია: ამ შემთხვევაში მისი ნამრავლი თავისთანაც იქნება ნულის ტოლი.

მესამე, სკალარული პროდუქტი არის გამანაწილებელი, ანუ მისი ერთ-ერთი კოორდინატის დაშლის შესაძლებლობა ორი მნიშვნელობის ჯამად, რაც არ გამოიწვევს რაიმე ცვლილებას ვექტორების სკალარული გამრავლების საბოლოო შედეგში. და ბოლოს, მეოთხე, ვექტორების ერთსა და იმავეზე გამრავლებისას მათი სკალარული ნამრავლი ასევე გაიზრდება იმავე ოდენობით.

თუ ეს ოთხივე პირობა დაკმაყოფილებულია, შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ ეს არის ევკლიდური სივრცე.

პრაქტიკული თვალსაზრისით, ევკლიდეს სივრცე შეიძლება დახასიათდეს შემდეგი კონკრეტული მაგალითებით:

1. უმარტივესი შემთხვევაა ვექტორთა სიმრავლის არსებობა გეომეტრიის ძირითადი კანონების მიხედვით განსაზღვრული სკალარული ნამრავლით.
2. ევკლიდური სივრცე ასევე მიიღება, თუ ვექტორებით გავიგებთ რეალური რიცხვების გარკვეულ სასრულ სიმრავლეს მოცემული ფორმულით, რომელიც აღწერს მათ სკალარული ჯამს ან ნამრავლს.
3. ევკლიდური სივრცის განსაკუთრებული შემთხვევა უნდა იქნას აღიარებული, როგორც ეგრეთ წოდებული ნულოვანი სივრცე, რომელიც მიიღება თუ ორივე ვექტორის სკალარული სიგრძე ნულის ტოლია.

ევკლიდეს სივრცეს აქვს მთელი რიგი სპეციფიკური თვისებები. პირველ რიგში, სკალარული ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილებიდან სკალარული პროდუქტის როგორც პირველი, ასევე მეორე ფაქტორებიდან, შედეგი არ განიცდის რაიმე ცვლილებას. მეორეც, სკალარული პროდუქტის პირველი ელემენტის განაწილებასთან ერთად მოქმედებს მეორე ელემენტის განაწილებაც. გარდა ამისა, ვექტორთა სკალარული ჯამის გარდა, განაწილება ხდება ვექტორების გამოკლების შემთხვევაშიც. დაბოლოს, მესამე, ვექტორის ნულზე სკალარული გამრავლებისას შედეგიც ნულის ტოლი იქნება.

ამრიგად, ევკლიდური სივრცე არის ყველაზე მნიშვნელოვანი გეომეტრიული კონცეფცია, რომელიც გამოიყენება ვექტორების შედარებითი პოზიციის პრობლემების გადასაჭრელად, რომელიც ხასიათდება სკალარული პროდუქტის კონცეფციით.

§3. ვექტორული სივრცის ზომა და საფუძველი

ვექტორთა წრფივი კომბინაცია

ტრივიალური და არატრივიალური ხაზოვანი კომბინაცია

წრფივად დამოკიდებული და წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორები

ვექტორული სივრცის თვისებები, რომლებიც დაკავშირებულია ვექტორების წრფივ დამოკიდებულებასთან

ნ- განზომილებიანი ვექტორული სივრცე

ვექტორული სივრცის განზომილება

ვექტორის დაშლა საფუძვლად

§4. ახალ ბაზაზე გადასვლა

გარდამავალი მატრიცა ძველიდან ახალზე

ვექტორული კოორდინატები ახალ ბაზაში

§5. ევკლიდური სივრცე

წერტილოვანი პროდუქტი

ევკლიდური სივრცე

ვექტორის სიგრძე (ნორმა).

ვექტორის სიგრძის თვისებები

კუთხე ვექტორებს შორის

ორთოგონალური ვექტორები

ორთონორალური საფუძველი

§ 3. ვექტორული სივრცის ზომა და საფუძველი

განვიხილოთ ვექტორული სივრცე (V, Å, ∘) ველზე რ. მოდით იყოს V სიმრავლის ზოგიერთი ელემენტი, ე.ი. ვექტორები.

ხაზოვანი კომბინაციავექტორები არის ნებისმიერი ვექტორი, რომელიც ტოლია ამ ვექტორების ნამრავლების ჯამს ველის თვითნებური ელემენტებით რ(ანუ სკალარებზე):

თუ ყველა სკალარი ნულის ტოლია, მაშინ ასეთი წრფივი კომბინაცია ეწოდება ტრივიალური(უმარტივესი) და .

თუ ერთი სკალარი მაინც არ არის ნულოვანი, წრფივი კომბინაცია ეწოდება არატრივიალური.

ვექტორები ე.წ წრფივი დამოუკიდებელი, თუ მხოლოდ ამ ვექტორების ტრივიალური წრფივი კომბინაცია უდრის:

ვექტორები ე.წ წრფივად დამოკიდებული, თუ არსებობს ამ ვექტორების მინიმუმ ერთი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ტოლი .

მაგალითი. განვიხილოთ ნამდვილი რიცხვების ოთხმაგთა მოწესრიგებული სიმრავლეების სიმრავლე - ეს არის ვექტორული სივრცე რეალური რიცხვების ველზე. ამოცანა: გაარკვიეთ არის თუ არა ვექტორები , და წრფივად დამოკიდებული.

გამოსავალი.

მოდით გავაკეთოთ ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია: , სადაც უცნობი რიცხვებია. ჩვენ მოვითხოვთ, რომ ეს წრფივი კომბინაცია იყოს ნულოვანი ვექტორის ტოლი: .

ამ თანასწორობაში ვწერთ ვექტორებს რიცხვების სვეტებად:

თუ არის რიცხვები, რომლებისთვისაც ეს ტოლობა მოქმედებს და რიცხვებიდან ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ეს არის არატრივიალური წრფივი კომბინაცია და ვექტორები წრფივად არის დამოკიდებული.

მოდით გავაკეთოთ შემდეგი:

ამრიგად, პრობლემა მცირდება წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით:

მისი გადაჭრით მივიღებთ:

სისტემის გაფართოებული და მთავარი მატრიცების რიგები ტოლია და ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე, შესაბამისად, სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

მოდით, მაშინ და.

ასე რომ, ამ ვექტორებისთვის არის არატრივიალური წრფივი კომბინაცია, მაგალითად at , რომელიც უდრის ნულოვან ვექტორს, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

შევნიშნოთ რამდენიმე ვექტორული სივრცის თვისებები, რომლებიც დაკავშირებულია ვექტორების წრფივ დამოკიდებულებასთან:

1. თუ ვექტორები წრფივადაა დამოკიდებული, მაშინ მათგან ერთი მაინც არის სხვების წრფივი კომბინაცია.

2. თუ ვექტორებს შორის არის ნულოვანი ვექტორი, მაშინ ეს ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

3. თუ ზოგიერთი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ყველა ეს ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული.

ვექტორული სივრცე V ეწოდება ნ- განზომილებიანი ვექტორული სივრცე, თუ შეიცავს ნწრფივად დამოუკიდებელი ვექტორები და ნებისმიერი სიმრავლე ( ნ+ 1) ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

ნომერი ნდაურეკა ვექტორული სივრცის განზომილება, და აღინიშნება dim (V)ინგლისური "განზომილებიდან" - განზომილება (გაზომვა, ზომა, განზომილება, ზომა, სიგრძე და ა.შ.).

მთლიანობა ნწრფივი დამოუკიდებელი ვექტორები ნ-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე ეწოდება საფუძველი.

ფორმულა (*) ეწოდება ვექტორის დაშლა საფუძველზედა ნომრები – ვექტორული კოორდინატებიამ საფუძველზე .

ვექტორულ სივრცეს შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ან თუნდაც უსასრულოდ ბევრი ფუძე. ყოველ ახალ საფუძველზე, ერთსა და იმავე ვექტორს ექნება განსხვავებული კოორდინატები.

§ 4. ახალ ბაზაზე გადასვლა

წრფივ ალგებრაში ხშირად ჩნდება ვექტორის კოორდინატების ახალ საფუძველში პოვნის პრობლემა, თუ ცნობილია მისი კოორდინატები ძველ საფუძველში.

მოდით შევხედოთ ზოგიერთს ნ-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე (V, +, ·) ველზე რ. ამ სივრცეში ორი საფუძველი იყოს: ძველი და ახალი .

ამოცანა: იპოვნეთ ვექტორის კოორდინატები ახალ საფუძველში.

დაე, ძველ საფუძველში ახალი ბაზის ვექტორებს ჰქონდეთ გაფართოება:

,

მოდით ჩავწეროთ ვექტორების კოორდინატები მატრიცაში არა სტრიქონებში, როგორც ისინი იწერება სისტემაში, არამედ სვეტებში:

შედეგად მიღებული მატრიცა ე.წ გარდამავალი მატრიცაძველიდან ახალამდე.

გარდამავალი მატრიცა აკავშირებს ნებისმიერი ვექტორის კოორდინატებს ძველ და ახალ საფუძველზე შემდეგი მიმართებით:

,

სადაც არის ვექტორის სასურველი კოორდინატები ახალ საფუძველში.

ამრიგად, ვექტორული კოორდინატების ახალ საფუძველში პოვნის ამოცანა მცირდება მატრიცული განტოლების ამოხსნით: , სადაც X- ვექტორული კოორდინატების მატრიცა-სვეტი ძველ საფუძველზე, ა- გადასვლის მატრიცა ძველიდან ახალზე, X* – ვექტორული კოორდინატების საჭირო მატრიცა-სვეტი ახალ ბაზაში. მატრიცული განტოლებიდან ვიღებთ:

ასე რომ, ვექტორული კოორდინატები ახალ ბაზაზენაპოვნია თანასწორობიდან:

.

მაგალითი.გარკვეულ საფუძველზე, ვექტორული დაშლა მოცემულია:

იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები ბაზაში.

გამოსავალი.

1. ჩავწეროთ გადასვლის მატრიცა ახალ საფუძველზე, ე.ი. ვექტორების კოორდინატებს ძველ საფუძველში დავწერთ სვეტებში:

2. იპოვეთ მატრიცა ა –1:

3. შეასრულეთ გამრავლება, სადაც არის ვექტორის კოორდინატები:

უპასუხე: .

§ 5. ევკლიდური სივრცე

მოდით შევხედოთ ზოგიერთს ნ-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე (V, +, ·) რეალური რიცხვების ველზე რ. იყოს ამ სივრცის რაიმე საფუძველი.

მოდით შემოვიტანოთ ამ ვექტორულ სივრცეში მეტრიკა, ე.ი. მოდით განვსაზღვროთ სიგრძისა და კუთხეების გაზომვის მეთოდი. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ სკალარული პროდუქტის კონცეფციას.

ევკლიდური სივრცე

ევკლიდური სივრცე(ასევე ევკლიდური სივრცე) - თავდაპირველი გაგებით სივრცე, რომლის თვისებები აღწერილია ევკლიდეს გეომეტრიის აქსიომებით. ამ შემთხვევაში, ვარაუდობენ, რომ სივრცეს აქვს განზომილება 3.

თანამედროვე გაგებით, უფრო ზოგადი გაგებით, მას შეუძლია მიუთითოს ქვემოთ განსაზღვრული ერთ-ერთი მსგავსი და მჭიდროდ დაკავშირებული ობიექტი. ჩვეულებრივ, განზომილებიანი ევკლიდური სივრცე აღინიშნა - ით, თუმცა ხშირად გამოიყენება არა მთლად მისაღები აღნიშვნა.

უმარტივეს შემთხვევაში ( ევკლიდეს ნორმა):

სადაც (ევკლიდეს სივრცეში ყოველთვის შეგიძლიათ აირჩიოთ საფუძველი, რომლითაც ეს უმარტივესი ვერსია მართალია).

2. მეტრული სივრცე, ზემოთ აღწერილი სივრცის შესაბამისი. ანუ ფორმულის მიხედვით შეყვანილი მეტრიკით:

დაკავშირებული განმარტებები

• ქვეშ ევკლიდეს მეტრიკაშეიძლება გავიგოთ როგორც ზემოთ აღწერილი მეტრიკა, ასევე შესაბამისი რიმანის მეტრიკა.

• ლოკალურ ევკლიდესში ჩვენ ჩვეულებრივ ვგულისხმობთ, რომ რიმანის მრავალფეროვნების ყოველი ტანგენტური სივრცე არის ევკლიდური სივრცე ყველა თანმდევი თვისებით, მაგალითად, შესაძლებლობა (მეტრიკის სიგლუვის გამო) კოორდინატების შეყვანის წერტილის მცირე სამეზობლოში. მანძილი გამოხატულია (სიდიდის გარკვეულ ბრძანებამდე) ) როგორც ზემოთ იყო აღწერილი.

• მეტრულ სივრცეს ასევე უწოდებენ ლოკალურად ევკლიდესს, თუ შესაძლებელია მასზე კოორდინატების შემოღება, რომლებშიც მეტრიკა იქნება ევკლიდური (მეორე განმარტების გაგებით) ყველგან (ან თუნდაც სასრულ დომენზე) - რაც, მაგალითად, არის ნულოვანი გამრუდების რიმანის მრავალფეროვნება.

მაგალითები

ევკლიდური სივრცის საილუსტრაციო მაგალითებია შემდეგი სივრცეები:

უფრო აბსტრაქტული მაგალითი:

ვარიაციები და განზოგადებები

აგრეთვე

ბმულები

ფონდი ვიკიმედია.

2010 წელი.

სასრულ-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე დადებითი განსაზღვრული სკალარული პროდუქტით. არის პირდაპირი. ჩვეულებრივი სამგანზომილებიანი სივრცის განზოგადება. E. სივრცეში არის დეკარტის კოორდინატები, რომლებშიც (xy)ვექტორების სკალარული ნამრავლი x... ფიზიკური ენციკლოპედია

სივრცე, რომლის თვისებები შესწავლილია ევკლიდეს გეომეტრიაში. უფრო ფართო გაგებით, ევკლიდური სივრცე არის n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე, რომელშიც სკალარული პროდუქტი ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ევკლიდური სივრცე- სივრცე, რომლის თვისებები აღწერილია ევკლიდეს გეომეტრიის აქსიომებით. გამარტივებული გზით, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ევკლიდური სივრცე, როგორც სივრცე სიბრტყეზე ან სამგანზომილებიან მოცულობაში, რომელშიც მოცემულია მართკუთხა (კარტეზიული) კოორდინატები და... ... თანამედროვე საბუნებისმეტყველო მეცნიერების დასაწყისი

ევკლიდური სივრცე- იხილეთ მრავალგანზომილებიანი (n-განზომილებიანი) ვექტორული სივრცე, ვექტორული (წრფივი) სივრცე... ეკონომიკური და მათემატიკური ლექსიკონი

ევკლიდური სივრცე- - [ლ.გ.სუმენკო. ინგლისურ-რუსული ლექსიკონი საინფორმაციო ტექნოლოგიების შესახებ. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] თემები საინფორმაციო ტექნოლოგიები ზოგადად EN დეკარტის სივრცეში ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

სივრცე, რომლის თვისებები შესწავლილია ევკლიდეს გეომეტრიაში. უფრო ფართო გაგებით, ევკლიდური სივრცე არის n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე, რომელშიც განისაზღვრება სკალარული პროდუქტი. * * * ევკლიდეური სივრცე ევკლიდეური... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

სივრცე, რომლის თვისებები შესწავლილია ევკლიდეს გეომეტრიაში. უფრო ფართო გაგებით ე.წ. n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე, რომელშიც სკალარული ნამრავლი ... ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

სივრცე, რომლის თვისებები აღწერილია ევკლიდეს გეომეტრიის აქსიომებით. უფრო ზოგადი გაგებით, E. სივრცე არის სასრული განზომილებიანი რეალური ვექტორული სივრცე Rn სკალარული ნამრავლით (x, y), x, სათანადოდ შერჩეულ კოორდინატებში... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

- (მათემატიკაში) სივრცე, რომლის თვისებები აღწერილია ევკლიდეს გეომეტრიის აქსიომებით (იხ. ევკლიდეს გეომეტრია). უფრო ზოგადი გაგებით, E. სივრცეს ეწოდება n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე, რომელშიც შესაძლებელია რაიმე განსაკუთრებული... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

- [სხვა ბერძნულის სახელით. ევკლიდეს მათემატიკა (Eukleides; ძვ. წ. III ს.)] სივრცე, მათ შორის მრავალგანზომილებიანი, რომელშიც შესაძლებელია კოორდინატების შეყვანა x1,..., xn ისე, რომ მანძილი p (M, M) წერტილებს შორის M (x1 ..., x n) და M (x 1, .... xn) შესაძლოა... ... დიდი ენციკლოპედიური პოლიტექნიკური ლექსიკონი