სამკუთხედის კუთხეების ჯამი. სრული გაკვეთილები – ცოდნის ჰიპერმარკეტი

მტკიცებულება

დაე ABC" - თვითნებური სამკუთხედი. მოდით ვიხელმძღვანელოთ ზევით ბ ხაზი წრფის პარალელურად A.C. (ასეთ სწორ ხაზს ევკლიდეს სწორ ხაზს უწოდებენ). მოდით აღვნიშნოთ მასზე წერტილიდ ისე რომ ქულებია დად დაწექი სწორი ხაზის მოპირდაპირე მხარეს ძვ.წ..კუთხები DBCდა ACBტოლია, როგორც შიდა ჯვარედინი ტყუილი, რომელიც წარმოიქმნება სეკანტით ძვ.წ.პარალელური ხაზებით A.C.და BD. მაშასადამე, სამკუთხედის კუთხეების ჯამი წვეროებზე ბდა თანკუთხის ტოლი ABD.სამკუთხედის სამივე კუთხის ჯამი უდრის კუთხეების ჯამს ABDდა BAC. ვინაიდან ეს კუთხეები შიდა ცალმხრივია პარალელურად A.C.და BDსეკანტზე AB, მაშინ მათი ჯამი არის 180°. თეორემა დადასტურდა.

შედეგები

თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერ სამკუთხედს აქვს ორი მახვილი კუთხე. მართლაც, წინააღმდეგობრივი მტკიცებულების გამოყენებით, დავუშვათ, რომ სამკუთხედს აქვს მხოლოდ ერთი მახვილი კუთხე ან საერთოდ არ არის მახვილი კუთხე. მაშინ ამ სამკუთხედს აქვს მინიმუმ ორი კუთხე, რომელთაგან თითოეული არის მინიმუმ 90°. ამ კუთხეების ჯამი არ არის 180°-ზე ნაკლები. მაგრამ ეს შეუძლებელია, რადგან სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი არის 180°. ქ.ე.დ.

განზოგადება სიმპლექსის თეორიაში

სად არის კუთხე სიმპლექსის i და j სახეებს შორის.

შენიშვნები

• სფეროზე სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის აღემატება 180°-ს, განსხვავებას ეწოდება სფერული ჭარბი და პროპორციულია სამკუთხედის ფართობისა.
• ლობაჩევსკის სიბრტყეში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180°-ზე ნაკლებია. განსხვავება ასევე პროპორციულია სამკუთხედის ფართობისა.

იხილეთ ასევე

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

ნახეთ, რა არის „თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ“ სხვა ლექსიკონებში:

მრავალკუთხედების თვისება ევკლიდეს გეომეტრიაში: სამკუთხედის n კუთხეების ჯამი არის 180°(n 2). სარჩევი 1 მტკიცებულება 2 შენიშვნა ... ვიკიპედია

პითაგორას თეორემა არის ევკლიდეს გეომეტრიის ერთ-ერთი ფუნდამენტური თეორემა, რომელიც ადგენს მიმართებას მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის. სარჩევი 1 ... ვიკიპედია

პითაგორას თეორემა არის ევკლიდეს გეომეტრიის ერთ-ერთი ფუნდამენტური თეორემა, რომელიც ადგენს მიმართებას მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის. სარჩევი 1 განცხადებები 2 მტკიცებულებები ... ვიკიპედია

კოსინუსების თეორემა არის პითაგორას თეორემის განზოგადება. სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის მისი ორი სხვა გვერდის კვადრატების ჯამს ამ გვერდების ორჯერ ნამრავლის გარეშე მათ შორის კუთხის კოსინუსზე. სიბრტყის სამკუთხედისთვის a,b,c გვერდებით და კუთხით α... ... ვიკიპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ სამკუთხედი (მნიშვნელობები). სამკუთხედი (ევკლიდეს სივრცეში) არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც ჩამოყალიბებულია სამი სეგმენტით, რომლებიც აკავშირებს სამ წერტილს, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე. სამი წერტილი,... ...ვიკიპედია

სტანდარტული აღნიშვნა სამკუთხედი არის უმარტივესი მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს 3 წვერო (კუთხე) და 3 გვერდი; სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი წერტილით, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე ხაზზე და სამი სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში. სამკუთხედის წვეროები ... ვიკიპედია

ძველი ბერძენი მათემატიკოსი. III საუკუნეში მოღვაწეობდა ალექსანდრიაში. ძვ.წ ე. მთავარი ნაშრომი „პრინციპები“ (15 წიგნი), რომელიც შეიცავს ანტიკური მათემატიკის საფუძვლებს, ელემენტარულ გეომეტრიას, რიცხვთა თეორიას, ურთიერთობათა ზოგად თეორიას და ფართობებისა და მოცულობების განსაზღვრის მეთოდს,... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

- (გარდაიცვალა ძვ. წ. 275-270 წლებში) ძველი ბერძენი მათემატიკოსი. მისი დაბადების დროისა და ადგილის შესახებ ინფორმაცია ჩვენამდე არ მოაღწია, მაგრამ ცნობილია, რომ ევკლიდე ცხოვრობდა ალექსანდრიაში და მისი მოღვაწეობის აყვავება დადგა ეგვიპტეში პტოლემე I-ის მეფობის დროს... ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

გეომეტრია ევკლიდეს გეომეტრიის მსგავსია იმით, რომ ის განსაზღვრავს ფიგურების მოძრაობას, მაგრამ განსხვავდება ევკლიდური გეომეტრიისგან იმით, რომ მისი ხუთი პოსტულატიდან ერთ-ერთი (მეორე ან მეხუთე) იცვლება მისი უარყოფით. ევკლიდეს ერთ-ერთი პოსტულატის უარყოფა... ... კოლიერის ენციკლოპედია

>>გეომეტრია: სამკუთხედის კუთხეების ჯამი. სრული გაკვეთილები

გაკვეთილის თემა: სამკუთხედის კუთხეების ჯამი.

გაკვეთილის მიზნები:

• მოსწავლეთა ცოდნის კონსოლიდაცია და შემოწმება თემაზე: „სამკუთხედის კუთხეების ჯამი“;
• სამკუთხედის კუთხეების თვისებების დადასტურება;
• ამ თვისების გამოყენება მარტივი პრობლემების გადაჭრაში;
• ისტორიული მასალის გამოყენება მოსწავლეთა შემეცნებითი აქტივობის გასავითარებლად;
• ნახატების აგებისას სიზუსტის უნარის დანერგვა.

გაკვეთილის მიზნები:

• შეამოწმეთ მოსწავლეთა პრობლემის გადაჭრის უნარები.

Გაკვეთილის გეგმა:

1. სამკუთხედი;
2. თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ;
3. დავალებების მაგალითები.

სამკუთხედი.

ფაილი:O.gif სამკუთხედი- უმარტივესი მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს 3 წვერო (კუთხე) და 3 გვერდი; სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი წერტილით და სამი სეგმენტით, რომლებიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში.
სივრცეში სამი წერტილი, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე, შეესაბამება ერთ და მხოლოდ ერთ სიბრტყეს.
ნებისმიერი მრავალკუთხედი შეიძლება დაიყოს სამკუთხედებად - ამ პროცესს ე.წ სამკუთხედი.
არსებობს მათემატიკის ნაწილი, რომელიც მთლიანად ეძღვნება სამკუთხედების კანონების შესწავლას - ტრიგონომეტრია.

თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ.

ფაილი:T.gif სამკუთხედის კუთხის ჯამის თეორემა არის ევკლიდეს გეომეტრიის კლასიკური თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°.

მტკიცებულება" :

მიეცით Δ ABC. B წვეროზე გავავლოთ (AC) პარალელურ წრფე და მოვნიშნოთ მასზე D წერტილი ისე, რომ A და D წერტილები იყოს BC წრფის მოპირდაპირე მხარეს. მაშინ კუთხე (DBC) და კუთხე (ACB) ტოლია, როგორც შიდა ჯვარედინი მდგომი პარალელური ხაზებით BD და AC და სეკანტი (BC). მაშინ B და C წვეროებზე სამკუთხედის კუთხეების ჯამი უდრის კუთხეს (ABD). მაგრამ კუთხე (ABD) და კუთხე (BAC) ABC სამკუთხედის A წვეროსთან არის შიდა ცალმხრივი პარალელური ხაზებით BD და AC და სეკანტი (AB), და მათი ჯამი არის 180°. მაშასადამე, სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°. თეორემა დადასტურდა.

შედეგები.

სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არიან მის გვერდით.

მტკიცებულება:

მიეცით Δ ABC. წერტილი D დევს AC წრფეზე ისე, რომ A დევს C და D შორის. მაშინ BAD არის სამკუთხედის კუთხის გარე A წვეროზე და A + BAD = 180°. მაგრამ A + B + C = 180° და, შესაბამისად, B + C = 180° - A. აქედან გამომდინარე, BAD = B + C. შედეგი დადასტურებულია.

შედეგები.

სამკუთხედის გარე კუთხე მეტია სამკუთხედის ნებისმიერ კუთხეზე, რომელიც არ არის მის მიმდებარედ.

დავალება.

სამკუთხედის გარე კუთხე არის კუთხე ამ სამკუთხედის ნებისმიერი კუთხის მიმდებარედ. დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე ტოლია სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამის, რომლებიც არ არიან მიმდებარე.
(ნახ.1)

გამოსავალი:

მოდით Δ ABC ∠DAС იყოს გარე (ნახ. 1). შემდეგ ∠DAC = 180°-∠BAC (მიმდებარე კუთხეების თვისებით), სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემით ∠B+∠C = 180°-∠BAC. ამ ტოლობებიდან ვიღებთ ∠DAС=∠В+∠С

Საინტერესო ფაქტი:

სამკუთხედის კუთხეების ჯამი" :

ლობაჩევსკის გეომეტრიაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180-ზე ნაკლებია.ევკლიდიუს გეომეტრიაში ის ყოველთვის უდრის 180-ს. რიმანის გეომეტრიაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180-ზე მეტია.

მათემატიკის ისტორიიდან:

ევკლიდე (ძვ. წ. III ს.) თავის ნაშრომში "ელემენტები" იძლევა შემდეგ განმარტებას: "პარალელური ხაზები არის ხაზები, რომლებიც ერთსა და იმავე სიბრტყეში არიან და განუსაზღვრელი ვადით ორივე მიმართულებით გაშლილნი, არ ხვდებიან ერთმანეთს".
პოსიდონიუსი (ძვ. წ. I ს.) "ორი სწორი ხაზი დევს ერთ სიბრტყეში, ერთმანეთისგან თანაბრად დაშორებული"
ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა პაპუსმა (ძვ. წ. III ს.) შემოიტანა პარალელური ხაზების სიმბოლო - ნიშანი =. შემდგომში ინგლისელმა ეკონომისტმა რიკარდომ (1720-1823) გამოიყენა ეს სიმბოლო ტოლობის ნიშნად.
მხოლოდ მე-18 საუკუნეში დაიწყეს პარალელური ხაზებისთვის სიმბოლოს გამოყენება - ნიშანი ||.
თაობებს შორის ცოცხალი კავშირი ერთი წუთითაც არ წყდება. ძველი ბერძნები, დაკვირვებებისა და პრაქტიკული გამოცდილების საფუძველზე, გამოიტანეს დასკვნები, გამოთქვეს ჰიპოთეზები, შემდეგ კი, მეცნიერთა შეხვედრებზე - სიმპოზიუმებზე (სიტყვასიტყვით "დღესასწაული") - ისინი ცდილობდნენ ამ ჰიპოთეზების დასაბუთებას და დამტკიცებას. ამ დროს გაჩნდა განცხადება: "სიმართლე იბადება კამათში".

კითხვები:

1. რა არის სამკუთხედი?
2. რას ამბობს თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ?
3. რა არის სამკუთხედის გარე კუთხე?

სამკუთხედის კუთხეების ჯამი- მნიშვნელოვანი, მაგრამ საკმაოდ მარტივი თემა, რომელიც ისწავლება მე-7 კლასის გეომეტრიაში. თემა შედგება თეორემისგან, მოკლე დადასტურებისა და რამდენიმე ლოგიკური შედეგისგან. ამ თემის ცოდნა გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნაში გეხმარებათ საგნის შემდგომ შესწავლაში.

თეორემა - რა არის თვითნებური სამკუთხედის კუთხეები შეკრებილი?

თეორემა ამბობს, რომ თუ აიღებთ ნებისმიერ სამკუთხედს, განურჩევლად მისი ტიპისა, ყველა კუთხის ჯამი უცვლელად იქნება 180 გრადუსი. ეს დასტურდება შემდეგნაირად:

• მაგალითად, აიღეთ სამკუთხედი ABC, დახაზეთ სწორი ხაზი B წერტილის გავლით, რომელიც მდებარეობს მწვერვალზე და მიუთითეთ ის, როგორც "a", სწორი ხაზი "a" მკაცრად პარალელურია AC მხარის;
• სწორ ხაზს "a" და AB და BC გვერდებს შორის, აღინიშნება კუთხეები, რომლებიც აღნიშნავენ მათ რიცხვებს 1 და 2;
• კუთხე 1 ითვლება A კუთხის ტოლად, ხოლო კუთხე 2 ითვლება C კუთხის ტოლად, ვინაიდან ეს კუთხეები განიხილება ჯვარედინად;
• ამრიგად, 1, 2 და 3 კუთხეებს შორის ჯამი (რომელიც მითითებულია B კუთხის ადგილზე) აღიარებულია, როგორც გაშლილი კუთხის ტოლი B წვეროსთან - და არის 180 გრადუსი.

თუ რიცხვებით მითითებული კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი, მაშინ A, B და C კუთხეების ჯამი აღიარებულია, როგორც 180 გრადუსი. ეს წესი მართალია ნებისმიერი სამკუთხედისთვის.

რაც გამომდინარეობს გეომეტრიული თეორემიდან

მიღებულია ზემოაღნიშნული თეორემიდან რამდენიმე დასკვნის ხაზგასმა.

• თუ პრობლემა განიხილავს სამკუთხედს მართი კუთხით, მაშინ მისი ერთ-ერთი კუთხე ნაგულისხმევად იქნება 90 გრადუსის ტოლი, ხოლო მახვილი კუთხეების ჯამი ასევე იქნება 90 გრადუსი.
• თუ ვსაუბრობთ მართკუთხა ტოლფერდა სამკუთხედზე, მაშინ მისი მახვილი კუთხეები, რომლებიც ჯამდება 90 გრადუსამდე, ინდივიდუალურად იქნება 45 გრადუსის ტოლი.
• ტოლგვერდა სამკუთხედი შედგება სამი თანაბარი კუთხისგან, შესაბამისად, თითოეული მათგანი იქნება 60 გრადუსის ტოლი, ხოლო მთლიანობაში იქნება 180 გრადუსი.
• ნებისმიერი სამკუთხედის გარე კუთხე ტოლი იქნება ჯამის ორ შიდა კუთხეს შორის, რომელიც არ არის მიმდებარე.

შეიძლება გამოვიდეს შემდეგი წესი: ნებისმიერ სამკუთხედს აქვს მინიმუმ ორი მახვილი კუთხე. ზოგიერთ შემთხვევაში, სამკუთხედი შედგება სამი მახვილი კუთხისგან და თუ მხოლოდ ორია, მაშინ მესამე კუთხე იქნება ბლაგვი ან მართი.

სექციები: მათემატიკა

პრეზენტაცია . (სლაიდი 1)

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის შესწავლის გაკვეთილი.

გაკვეთილის მიზნები:

• საგანმანათლებლო:
  • განვიხილოთ თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ,
  • აჩვენეთ თეორემის გამოყენება ამოცანების ამოხსნაში.
• საგანმანათლებლო:
  • მოსწავლეებში ცოდნისადმი პოზიტიური დამოკიდებულების ჩამოყალიბება,
  • გაკვეთილების საშუალებით მოსწავლეებში ჩაუნერგეთ თავდაჯერებულობა.
• განმავითარებელი:
  • ანალიტიკური აზროვნების განვითარება,
  • „სწავლის უნარების“ განვითარება: ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების გამოყენება სასწავლო პროცესში,
  • ლოგიკური აზროვნების განვითარება, საკუთარი აზრების მკაფიოდ ჩამოყალიბების უნარი.

აღჭურვილობა:ინტერაქტიული დაფა, პრეზენტაცია, ბარათები.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი

– დღეს კლასში გავიხსენებთ მართკუთხა, ტოლგვერდა და ტოლგვერდა სამკუთხედების განმარტებებს. გავიმეოროთ სამკუთხედის კუთხეების თვისებები. შიდა ცალმხრივი და შიდა ჯვარედინი კუთხეების თვისებების გამოყენებით დავამტკიცებთ თეორემას სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ და ვისწავლით როგორ გამოვიყენოთ ის ამოცანების ამოხსნისას.

II. ზეპირად(სლაიდი 2)

1) იპოვეთ ნახატებზე მართკუთხა, ტოლგვერდა, ტოლგვერდა სამკუთხედები.
2) განსაზღვრეთ ეს სამკუთხედები.
3) ჩამოაყალიბეთ ტოლგვერდა და ტოლგვერდა სამკუთხედის კუთხეების თვისებები.

4) სურათზე KE II NH. (სლაიდი 3)

– მიუთითეთ სექანტები ამ ხაზებისთვის
– იპოვეთ შიდა ცალმხრივი კუთხეები, ჯვარედინი მდებარე შიდა კუთხეები, დაასახელეთ მათი თვისებები

III. ახალი მასალის ახსნა

თეორემა.სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°

თეორემის ფორმულირების მიხედვით, ბიჭები ქმნიან ნახატს, წერენ პირობას და დასკვნას. კითხვებზე პასუხის გაცემით ისინი დამოუკიდებლად ამტკიცებენ თეორემას.

მოცემული: დაამტკიცე:

მტკიცებულება:

1. სამკუთხედის B წვერის გავლით ვხაზავთ სწორ ხაზს BD II AC.
2. მიუთითეთ სეკანტები პარალელური ხაზებისთვის.
3. რა შეიძლება ითქვას CBD და ACB კუთხეებზე? (გააკეთე შენიშვნა)
4. რა ვიცით CAB და ABD კუთხეების შესახებ? (გააკეთე შენიშვნა)
5. შეცვალეთ კუთხე CBD კუთხით ACB
6. გამოიტანე დასკვნა.

IV. დაასრულე წინადადება.(სლაიდი 4)

1. სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის...
2. სამკუთხედში ერთი კუთხე ტოლია, მეორე მესამე კუთხე ტოლია...
3. მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამი არის...
4. ტოლკუთხა მართკუთხა სამკუთხედის კუთხეები ტოლია...
5. ტოლგვერდა სამკუთხედის კუთხეები ტოლია...
6. თუ ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდებს შორის კუთხე 1000-ია, მაშინ ფუძის კუთხეები ტოლია...

V. ცოტა ისტორია.(სლაიდები 5-7)

სამკუთხედი . მახვილი, ბლაგვი და მართკუთხა სამკუთხედი.

ფეხები და ჰიპოტენუზა. ტოლგვერდა და ტოლგვერდა სამკუთხედი.

სამკუთხედის კუთხეების ჯამი.

სამკუთხედის გარე კუთხე. სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

ღირსშესანიშნავი ხაზები და წერტილები სამკუთხედში: სიმაღლეები, მედიანა,

ბისექტრები, მედიანაე პერპენდიკულარები, ორთოცენტრი,

სიმძიმის ცენტრი, შემოხაზული წრის ცენტრი, ჩაწერილი წრის ცენტრი.

Პითაგორას თეორემა. ასპექტის თანაფარდობა თვითნებურ სამკუთხედში.

სამკუთხედი არის მრავალკუთხედი სამი გვერდით (ან სამი კუთხით). სამკუთხედის გვერდები ხშირად აღინიშნება პატარა ასოებით, რომლებიც შეესაბამება საპირისპირო წვეროების წარმომადგენლ მთავრულ ასოებს.

თუ სამივე კუთხე მწვავეა (სურ. 20), მაშინ ეს მწვავე სამკუთხედი . თუ რომელიმე კუთხე სწორია(C, სურ.21), ანუ მართკუთხა სამკუთხედი; მხარეებია, ბმართი კუთხის ფორმირებას უწოდებენ ფეხები; მხარეგმოპირდაპირე მართი კუთხე ეწოდება ჰიპოტენუზა. თუ ერთ-ერთიბლაგვი კუთხეები (B, სურ. 22), ანუ ბლაგვი სამკუთხედი.


სამკუთხედი ABC (ნახ. 23) - ტოლფერდა, თუ ორიმისი გვერდები ტოლია (ა= გ); ეს თანაბარი მხარეები ეწოდება გვერდითი, მესამე მხარე ე.წ საფუძველისამკუთხედი. სამკუთხედი ABC (ნახ. 24) – ტოლგვერდა, თუ ყველამისი გვერდები ტოლია (ა = ბ = გ). Ზოგადად ( ა ≠ ბ ≠ გ) ჩვენ გვაქვს სკალენისამკუთხედი .

სამკუთხედების ძირითადი თვისებები. ნებისმიერ სამკუთხედში:

1. დიდი მხარის საპირისპიროდ არის უფრო დიდი კუთხე და პირიქით.

2. თანაბარი კუთხეები განლაგებულია თანაბარი გვერდების საპირისპიროდ და პირიქით.

კერძოდ, ყველა კუთხეში ტოლგვერდასამკუთხედი ტოლია.

3. სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 º .

ბოლო ორი თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ყველა კუთხე ტოლგვერდში

სამკუთხედი არის 60 º.

4. სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის გაგრძელება (AC, სურ. 25), ვიღებთ გარე

კუთხე BCD . სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის შიდა კუთხეების ჯამს,

არა მის მიმდებარედ : BCD = A + B.

5. ნებისმიერი სამკუთხედის გვერდი დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე ნაკლები და მეტია

მათი განსხვავებები (ა < ბ + გ, ა > ბ – გ;ბ < ა + გ, ბ > ა – გ;გ < ა + ბ,გ > ა – ბ).

სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

სამკუთხედები თანმიმდევრულია, თუ ისინი ტოლია:

ა ) ორი გვერდი და კუთხე მათ შორის;

ბ ) ორი კუთხე და მათ მიმდებარე მხარე;

გ) სამი მხარე.

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

ორი მართკუთხასამკუთხედები ტოლია, თუ ერთ-ერთი შემდეგი პირობა მართალია:

1) მათი ფეხები თანაბარია;

2) ერთი სამკუთხედის ფეხი და ჰიპოტენუზა ტოლია მეორის ფეხისა და ჰიპოტენუზას;

3) ერთი სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და მახვილი კუთხე უდრის მეორის ჰიპოტენუზასა და მახვილ კუთხეს;

4) ერთი სამკუთხედის ფეხი და მიმდებარე მახვილი კუთხე ტოლია მეორის ფეხისა და მიმდებარე მახვილი კუთხისა;

5) ერთი სამკუთხედის ფეხი და მოპირდაპირე მახვილი კუთხე ტოლია ფეხის და მეორის საპირისპირო მწვავე კუთხე.

მშვენიერი ხაზები და წერტილები სამკუთხედში.

სიმაღლე სამკუთხედი არისპერპენდიკულარული,დაშვებულია ნებისმიერი წვეროდან მოპირდაპირე მხარეს ( ან მისი გაგრძელება). ამ მხარეს ე.წსამკუთხედის საფუძველი . სამკუთხედის სამი სიმაღლე ყოველთვის იკვეთებაერთ მომენტში, დაურეკა ორთოცენტრისამკუთხედი. მწვავე სამკუთხედის ორთოცენტრი (წერტილიო , სურ. 26) მდებარეობს სამკუთხედის შიგნით დაბლაგვი სამკუთხედის ორთოცენტრი (წერტილიო , სურ.27) – გარეთ; მართკუთხა სამკუთხედის ორთოცენტრი ემთხვევა მართი კუთხის წვეროს.

მედიანური - ეს ხაზის სეგმენტი , აკავშირებს სამკუთხედის ნებისმიერ წვეროს მოპირდაპირე მხარის შუათან. სამკუთხედის სამი შუალედი (AD, BE, CF, სურ.28) იკვეთება ერთ წერტილში ო , ყოველთვის წევს სამკუთხედის შიგნითდა მისი ყოფნა გრავიტაციის ცენტრი. ეს წერტილი ყოფს თითოეულ მედიანას 2:1 თანაფარდობით, დათვლის წვეროდან.

ბისექტორი - ეს ბისექტრული სეგმენტიკუთხე წვეროდან წერტილამდე კვეთა მოპირდაპირე მხარეს. სამკუთხედის სამი ბისექტორი (AD, BE, CF, სურ.29) იკვეთება ერთ წერტილში ოჰ, ყოველთვის იწვა სამკუთხედის შიგნითდა ყოფნა ჩაწერილი წრის ცენტრი(იხ. განყოფილება „ჩაწერილიდა შემოხაზული მრავალკუთხედები").

ბისექტორი მოპირდაპირე მხარეს ყოფს მიმდებარე გვერდების პროპორციულ ნაწილებად ; მაგალითად, ნახ. 29-ში AE: CE = AB: ძვ.წ.

მედიანა პერპენდიკულარული არის შუაზე გამოყვანილი პერპენდიკულარისეგმენტის წერტილები (გვერდები). ABC სამკუთხედის სამი პერპენდიკულარული ბისექტორი(KO, MO, NO, სურ. 30 ) იკვეთება ერთ წერტილში O, რაც არის ცენტრი შემოხაზული წრე (ქულები K, M, N - სამკუთხედის გვერდების შუა წერტილები ABC).

მწვავე სამკუთხედში ეს წერტილი სამკუთხედის შიგნით დევს; ბლაგვში - გარეთ; მართკუთხაში - ჰიპოტენუზის შუაში. ორთოცენტრი, სიმძიმის ცენტრი, წრე და ჩაწერილი წრე ემთხვევა მხოლოდ ტოლგვერდა სამკუთხედს.

Პითაგორას თეორემა. მართკუთხა სამკუთხედში სიგრძის კვადრატიჰიპოტენუზა უდრის ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამს.

პითაგორას თეორემის მტკიცებულება აშკარად გამომდინარეობს ნახაზი 31-დან. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC ფეხებით ა, ბდა ჰიპოტენუზა გ.

ავაშენოთ მოედანი AKMB ჰიპოტენუზის გამოყენებით AB როგორც მხარე. მაშინგააგრძელეთ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდები ABC რათა მივიღოთ კვადრატი CDEF , რომლის მხარე ტოლიაa + b .ახლა ნათელია, რომ მოედნის ფართობი CDEF უდრის ( ა+ბ) 2 . მეორე მხრივ, ეს ფართობი უდრის ჯამსტერიტორიები ოთხი მართკუთხა სამკუთხედიდა კვადრატი AKMB, ანუ

გ 2 + 4 (აბ / 2) = გ 2 + 2 აბ,

აქედან,

გ 2 + 2 აბ= (ა+ბ) 2 ,

და ბოლოს გვაქვს:

გ 2 =ა 2 +ბ 2 .

ასპექტის თანაფარდობა თვითნებურ სამკუთხედში.

ზოგად შემთხვევაში (თვითნებური სამკუთხედისთვის) გვაქვს:

გ 2 =ა 2 +ბ 2 – 2აბ· cos C,

სადაც C - კუთხე გვერდებს შორისადა ბ .