სტატიკა არის თეორიული მექანიკის განყოფილება. თეორიული მექანიკა

როგორც ნებისმიერი სასწავლო კურსის ნაწილი, ფიზიკის შესწავლა იწყება მექანიკით. არა თეორიული, არა გამოყენებითი ან გამოთვლითი, არამედ კარგი ძველი კლასიკური მექანიკიდან. ამ მექანიკას ასევე უწოდებენ ნიუტონის მექანიკას. ლეგენდის თანახმად, მეცნიერი ბაღში სეირნობდა და დაინახა, რომ ვაშლი ცვიოდა და სწორედ ამ ფენომენმა უბიძგა მას უნივერსალური მიზიდულობის კანონის აღმოჩენაში. რა თქმა უნდა, კანონი ყოველთვის არსებობდა და ნიუტონმა მას მხოლოდ ხალხისთვის გასაგები ფორმა მისცა, მაგრამ მისი დამსახურება ფასდაუდებელია. ამ სტატიაში ჩვენ არ აღვწერთ ნიუტონის მექანიკის კანონებს რაც შეიძლება დეტალურად, მაგრამ გამოვყოფთ საფუძვლებს, საბაზისო ცოდნას, განმარტებებს და ფორმულებს, რომლებიც ყოველთვის თქვენს ხელშია.

მექანიკა არის ფიზიკის დარგი, მეცნიერება, რომელიც სწავლობს მატერიალური სხეულების მოძრაობას და მათ შორის ურთიერთქმედებას.

თავად სიტყვა ბერძნული წარმოშობისაა და ითარგმნება როგორც „მანქანების მშენებლობის ხელოვნება“. მაგრამ სანამ მანქანებს ავაშენებთ, ჩვენ ისევ მთვარეს ვგავართ, ამიტომ მივყვეთ ჩვენი წინაპრების კვალს და შევისწავლოთ ჰორიზონტის კუთხით დაგდებული ქვების მოძრაობა და თავზე ჩამოვარდნილი ვაშლები h სიმაღლიდან.

რატომ იწყება ფიზიკის შესწავლა მექანიკით? რადგან ეს სრულიად ბუნებრივია, თერმოდინამიკური წონასწორობით ხომ არ უნდა დავიწყოთ?!

მექანიკა ერთ-ერთი უძველესი მეცნიერებაა და ისტორიულად ფიზიკის შესწავლა მექანიკის საფუძვლებით დაიწყო. დროისა და სივრცის ჩარჩოებში მოთავსებული ადამიანები, ფაქტობრივად, სხვა რამით ვერ დაიწყებდნენ, რაც არ უნდა უნდოდათ. მოძრავი სხეულები პირველია, რასაც ყურადღებას ვაქცევთ.

რა არის მოძრაობა?

მექანიკური მოძრაობა არის დროთა განმავლობაში სივრცეში სხეულების პოზიციის ცვლილება ერთმანეთთან შედარებით.

სწორედ ამ განსაზღვრების შემდეგ ჩვენ სრულიად ბუნებრივად მივდივართ მითითების ჩარჩოს კონცეფციამდე. სხეულების პოზიციის შეცვლა სივრცეში ერთმანეთთან შედარებით.საკვანძო სიტყვები აქ: ერთმანეთთან შედარებით . ბოლოს და ბოლოს, მანქანაში მყოფი მგზავრი მოძრაობს გზის პირას მდგომ ადამიანთან შედარებით გარკვეული სიჩქარით და ისვენებს მეზობელთან შედარებით მის გვერდით სავარძელში და მოძრაობს სხვა სიჩქარით მგზავრთან შედარებით. მანქანაში, რომელიც მათ გაუსწრებს.

სწორედ ამიტომ, იმისათვის, რომ ნორმალურად გავზომოთ მოძრავი ობიექტების პარამეტრები და არ დავიბნეთ, გვჭირდება საცნობარო სისტემა - ხისტი ურთიერთდაკავშირებული საცნობარო ორგანო, კოორდინატთა სისტემა და საათი. მაგალითად, დედამიწა მზის გარშემო მოძრაობს ჰელიოცენტრული საცნობარო ჩარჩოში. ყოველდღიურ ცხოვრებაში ჩვენ თითქმის ყველა გაზომვას ვახორციელებთ დედამიწასთან ასოცირებულ გეოცენტრულ საცნობარო სისტემაში. დედამიწა არის საცნობარო ორგანო, რომლის მიმართაც მოძრაობენ მანქანები, თვითმფრინავები, ადამიანები და ცხოველები.

მექანიკას, როგორც მეცნიერებას, თავისი ამოცანა აქვს. მექანიკის ამოცანაა იცოდეს სხეულის პოზიცია სივრცეში ნებისმიერ დროს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მექანიკა აყალიბებს მოძრაობის მათემატიკურ აღწერას და პოულობს კავშირებს ფიზიკურ სიდიდეებს შორის, რომლებიც მას ახასიათებს.

იმისათვის, რომ წინ წავიწიოთ, ჩვენ გვჭირდება კონცეფცია " მატერიალური წერტილი " ისინი ამბობენ, რომ ფიზიკა ზუსტი მეცნიერებაა, მაგრამ ფიზიკოსებმა იციან, რამდენი მიახლოება და ვარაუდი უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ შეთანხმდნენ ამ სიზუსტეზე. არავის არასოდეს უნახავს მატერიალური წერტილი ან იდეალური გაზის სუნი, მაგრამ ისინი არსებობენ! მათთან ცხოვრება უბრალოდ ბევრად უფრო ადვილია.

მატერიალური წერტილი არის სხეული, რომლის ზომა და ფორმა შეიძლება უგულებელყო ამ პრობლემის კონტექსტში.

კლასიკური მექანიკის სექციები

მექანიკა შედგება რამდენიმე განყოფილებისგან

• კინემატიკა
• დინამიკა
• სტატიკა

კინემატიკაფიზიკური თვალსაზრისით, ის ზუსტად სწავლობს, თუ როგორ მოძრაობს სხეული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს განყოფილება ეხება მოძრაობის რაოდენობრივ მახასიათებლებს. იპოვნეთ სიჩქარე, გზა - ტიპიური კინემატიკის პრობლემები

დინამიკაწყვეტს კითხვას, რატომ მოძრაობს ისე, როგორც მოძრაობს. ანუ ის ითვალისწინებს სხეულზე მოქმედ ძალებს.

სტატიკასწავლობს სხეულების ბალანსს ძალების გავლენის ქვეშ, ანუ პასუხობს კითხვას: რატომ საერთოდ არ ეცემა?

კლასიკური მექანიკის გამოყენების საზღვრები.

კლასიკური მექანიკა აღარ აცხადებს, რომ არის მეცნიერება, რომელიც ხსნის ყველაფერს (გასული საუკუნის დასაწყისში ყველაფერი სრულიად განსხვავებული იყო) და აქვს გამოყენების მკაფიო ჩარჩო. ზოგადად, კლასიკური მექანიკის კანონები მოქმედებს მსოფლიოში, რომელსაც ჩვენ შეჩვეული ვართ ზომით (მაკროსამყარო). ისინი წყვეტენ მუშაობას ნაწილაკების სამყაროს შემთხვევაში, როდესაც კვანტური მექანიკა ცვლის კლასიკურ მექანიკას. ასევე, კლასიკური მექანიკა არ გამოიყენება იმ შემთხვევებზე, როდესაც სხეულების მოძრაობა ხდება სინათლის სიჩქარესთან მიახლოებული სიჩქარით. ასეთ შემთხვევებში რელატივისტური ეფექტები მკვეთრად ხდება. უხეშად რომ ვთქვათ, კვანტური და რელატივისტური მექანიკის - კლასიკური მექანიკის ფარგლებში, ეს განსაკუთრებული შემთხვევაა, როცა სხეულის ზომები დიდია, სიჩქარე კი მცირე. ამის შესახებ მეტი შეგიძლიათ გაიგოთ ჩვენი სტატიიდან.

ზოგადად, კვანტური და რელატივისტური ეფექტები არასოდეს ქრება მაკროსკოპული სხეულების ჩვეულებრივი მოძრაობის დროს სინათლის სიჩქარეზე ბევრად დაბალი სიჩქარით. სხვა საქმეა, რომ ამ ეფექტების ეფექტი იმდენად მცირეა, რომ არ სცილდება ყველაზე ზუსტ გაზომვებს. ამრიგად, კლასიკური მექანიკა არასოდეს დაკარგავს თავის ფუნდამენტურ მნიშვნელობას.

ჩვენ გავაგრძელებთ მექანიკის ფიზიკური საფუძვლების შესწავლას მომავალ სტატიებში. მექანიკის უკეთ გასაგებად, ყოველთვის შეგიძლიათ მიმართოთ მათ, რაც ინდივიდუალურად მოჰფენს ნათელს ურთულესი ამოცანის ბნელ წერტილს.

წერტილის კინემატიკა.

1. თეორიული მექანიკის საგანი. ძირითადი აბსტრაქციები.

თეორიული მექანიკა- არის მეცნიერება, რომელშიც შესწავლილია მექანიკური მოძრაობისა და მატერიალური სხეულების მექანიკური ურთიერთქმედების ზოგადი კანონები.

მექანიკური მოძრაობაარის სხეულის მოძრაობა სხვა სხეულთან მიმართებაში, რომელიც ხდება სივრცესა და დროს.

მექანიკური ურთიერთქმედება არის მატერიალური სხეულების ურთიერთქმედება, რომელიც ცვლის მათი მექანიკური მოძრაობის ხასიათს.

სტატიკა არის თეორიული მექანიკის დარგი, რომელშიც შესწავლილია ძალთა სისტემების ეკვივალენტურ სისტემებად გარდაქმნის მეთოდები და დგინდება მყარ სხეულზე მიმართული ძალების წონასწორობის პირობები.

კინემატიკა - არის თეორიული მექანიკის დარგი, რომელიც სწავლობს მატერიალური სხეულების მოძრაობა სივრცეში გეომეტრიული თვალსაზრისით, მიუხედავად მათზე მოქმედი ძალებისა.

დინამიკა არის მექანიკის დარგი, რომელიც სწავლობს მატერიალური სხეულების მოძრაობას სივრცეში მათზე მოქმედი ძალების მიხედვით.

თეორიულ მექანიკაში შესწავლის ობიექტები:

მატერიალური წერტილი,

მატერიალური წერტილების სისტემა,

აბსოლუტურად მყარი სხეული.

აბსოლუტური სივრცე და აბსოლუტური დრო ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია. აბსოლუტური სივრცე - სამგანზომილებიანი, ერთგვაროვანი, უმოძრაო ევკლიდური სივრცე. აბსოლუტური დრო - წარსულიდან მომავლისკენ განუწყვეტლივ მიედინება, ის ერთგვაროვანია, ერთნაირია სივრცის ყველა წერტილში და არ არის დამოკიდებული მატერიის მოძრაობაზე.

2. კინემატიკის საგანი.

კინემატიკა - ეს არის მექანიკის დარგი, რომელშიც სხეულების მოძრაობის გეომეტრიული თვისებები შეისწავლება მათი ინერციის (ანუ მასის) და მათზე მოქმედი ძალების გათვალისწინების გარეშე.

მოძრავი სხეულის (ან წერტილის) პოზიციის დასადგენად სხეულთან, რომლის მიმართაც ამ სხეულის მოძრაობა შეისწავლება, მჭიდროდ არის დაკავშირებული ზოგიერთი კოორდინატთა სისტემა, რომელიც სხეულთან ერთად ქმნის საცნობარო სისტემა.

კინემატიკის მთავარი ამოცანა არის მოცემული სხეულის (წერტილის) მოძრაობის კანონის ცოდნა, განსაზღვროს ყველა კინემატიკური სიდიდე, რომელიც ახასიათებს მის მოძრაობას (სიჩქარე და აჩქარება).

3. წერტილის მოძრაობის დაზუსტების მეთოდები

· ბუნებრივი გზა

ცნობილი უნდა იყოს:

წერტილის ტრაექტორია;

წარმოშობა და მიმართულება;

წერტილის მოძრაობის კანონი მოცემული ტრაექტორიის გასწვრივ (1.1) სახით.

· კოორდინაციის მეთოდი

განტოლებები (1.2) არის M წერტილის მოძრაობის განტოლებები.

M წერტილის ტრაექტორიის განტოლება შეიძლება მივიღოთ დროის პარამეტრის აღმოფხვრით « ტ » განტოლებიდან (1.2)

· ვექტორული მეთოდი

წერტილის მოძრაობის დაზუსტების კოორდინატულ და ბუნებრივ მეთოდებს შორის კავშირი

განსაზღვრეთ წერტილის ტრაექტორია (1.2) განტოლებიდან დროის გამორიცხვით;

-- იპოვნეთ წერტილის მოძრაობის კანონი ტრაექტორიის გასწვრივ (გამოიყენეთ გამოხატულება რკალის დიფერენციალისთვის)

ინტეგრაციის შემდეგ ვიღებთ მოცემული ტრაექტორიის გასწვრივ წერტილის მოძრაობის კანონს:

წერტილის მოძრაობის დაზუსტების კოორდინატულ და ვექტორულ მეთოდებს შორის კავშირი განისაზღვრება (1.4) განტოლებით.

4. წერტილის სიჩქარის განსაზღვრა მოძრაობის დაზუსტების ვექტორული მეთოდით.

ნება მომენტშიტწერტილის პოზიცია განისაზღვრება რადიუსის ვექტორით და დროის მომენტშიტ 1 – რადიუსის ვექტორი, შემდეგ გარკვეული პერიოდის განმავლობაში წერტილი გადავა.

წერტილის სიჩქარე მოცემულ დროს

მოცემულ დროს წერტილის სიჩქარის მისაღებად საჭიროა ლიმიტამდე გადასასვლელი

(1.6)

(1.7)

წერტილის სიჩქარის ვექტორი მოცემულ დროს რადიუსის ვექტორის პირველი წარმოებულის ტოლი დროის მიმართ და მიმართულია მოცემულ წერტილში ტრაექტორიაზე ტანგენციალურად.

(ერთეული¾ მ/წმ, კმ/სთ)

საშუალო აჩქარების ვექტორი აქვს იგივე მიმართულება, რაც ვექტორსΔ ვ , ანუ მიმართულია ტრაექტორიის ჩაზნექილისაკენ.

წერტილის აჩქარების ვექტორი მოცემულ დროს სიჩქარის ვექტორის პირველი წარმოებულის ან წერტილის რადიუსის ვექტორის მეორე წარმოებულის ტოლი დროის მიმართ.

(ერთეული - )

როგორ მდებარეობს ვექტორი წერტილის ტრაექტორიასთან მიმართებაში?

მართკუთხა მოძრაობისას ვექტორი მიმართულია სწორი ხაზის გასწვრივ, რომლის გასწვრივაც მოძრაობს წერტილი. თუ წერტილის ტრაექტორია ბრტყელი მრუდია, მაშინ აჩქარების ვექტორი, ისევე როგორც ვექტორი ср, დევს ამ მრუდის სიბრტყეში და მიმართულია მისი ჩაზნექისკენ. თუ ტრაექტორია არ არის სიბრტყე მრუდი, მაშინ ვექტორი ср მიმართული იქნება ტრაექტორიის ჩაზნექილისაკენ და განთავსდება სიბრტყეში, რომელიც გადის ტრაექტორიის ტანგენტს წერტილში.მ და მიმდებარე წერტილში ტანგენტის პარალელურ წრფესM 1 . IN ლიმიტი, როდესაც წერტილიM 1 ისწრაფვის მ ეს თვითმფრინავი იკავებს ე.წ. მაშასადამე, ზოგად შემთხვევაში, აჩქარების ვექტორი დევს შეხების სიბრტყეში და მიმართულია მრუდის ჩაზნექილისკენ.

1. თეორიული მექანიკის ძირითადი ცნებები.

2. თეორიული მექანიკის კურსის სტრუქტურა.

1. მექანიკა (ფართო გაგებით) არის მეცნიერება მატერიალური სხეულების მოძრაობის შესახებ სივრცესა და დროში. იგი აერთიანებს მთელ რიგ დისციპლინას, რომელთა შესწავლის ობიექტს წარმოადგენს მყარი, თხევადი და აირისებრი სხეულები. თეორიული მექანიკა , ელასტიურობის თეორია, მასალების სიძლიერე, სითხეების მექანიკა, გაზის დინამიკა და აეროდინამიკა- ეს არ არის მექანიკის სხვადასხვა განყოფილების სრული სია.

როგორც მათი სახელებიდან ჩანს, ისინი განსხვავდებიან ერთმანეთისგან, უპირველეს ყოვლისა, კვლევის ობიექტებით. თეორიული მექანიკა სწავლობს მათგან უმარტივესების - ხისტი სხეულების მოძრაობას. თეორიულ მექანიკაში შესწავლილი ობიექტების სიმარტივე შესაძლებელს ხდის მოძრაობის ყველაზე ზოგადი კანონების იდენტიფიცირებას, რომლებიც მოქმედებს ყველა მატერიალური სხეულისთვის, მიუხედავად მათი სპეციფიკური ფიზიკური თვისებებისა. აქედან გამომდინარე, თეორიული მექანიკა შეიძლება ჩაითვალოს ზოგადი მექანიკის საფუძვლად.

2. თეორიული მექანიკის კურსი შედგება სამი განყოფილებისაგან: სტატიკა, კინემატიკადადინამიკები .

INსტატიკაში განიხილება ძალების ზოგადი დოქტრინა და მიღებულია მყარი სხეულების წონასწორობის პირობები.

კინემატიკაშიასახულია სხეულების მოძრაობის დაზუსტების მათემატიკური მეთოდები და მიღებულია ფორმულები, რომლებიც განსაზღვრავენ ამ მოძრაობის ძირითად მახასიათებლებს (სიჩქარე, აჩქარება და ა.შ.).

დინამიკაშიმოცემული მოძრაობით ისინი განსაზღვრავენ ამ მოძრაობის გამომწვევ ძალებს და, პირიქით, მოცემული ძალებით განსაზღვრავენ, თუ როგორ მოძრაობს სხეული.

მატერიალური წერტილიმასით გეომეტრიულ წერტილს უწოდებენ.

მატერიალური წერტილების სისტემამათთა ნაკრები ეწოდება, რომელშიც თითოეული წერტილის პოზიცია და მოძრაობა დამოკიდებულია მოცემული სისტემის ყველა სხვა წერტილის პოზიციასა და მოძრაობაზე. მატერიალური წერტილების სისტემას ხშირად უწოდებენ მექანიკური სისტემა . მექანიკური სისტემის განსაკუთრებული შემთხვევაა აბსოლუტურად ხისტი სხეული.

აბსოლუტურად მყარიარის სხეული, რომელშიც მანძილი ნებისმიერ ორ წერტილს შორის ყოველთვის უცვლელი რჩება (ანუ აბსოლუტურად ძლიერი და არადეფორმირებადი სხეულია).

უფასოეწოდება ხისტი სხეული, რომლის მოძრაობა არ არის შეზღუდული სხვა სხეულებით.

არათავისუფალიმოვუწოდებთ სხეულს, რომლის მოძრაობა, ასე თუ ისე, შეზღუდულია სხვა სხეულებით. ამ უკანასკნელებს მექანიკაში ე.წ კავშირები .

ძალითარის ერთი სხეულის მეორეზე მექანიკური მოქმედების საზომი. ვინაიდან სხეულების ურთიერთქმედება განისაზღვრება არა მხოლოდ მისი ინტენსივობით, არამედ მისი მიმართულებითაც, ძალა არის ვექტორული სიდიდე და ნახატებში გამოსახულია მიმართული სეგმენტით (ვექტორი). სისტემაში ძალის ერთეულზე SI მიღებული ნიუტონი (N) . ძალები აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით (A, Y, Z, J...). ჩვენ აღვნიშნავთ რიცხვით მნიშვნელობებს (ან ვექტორული სიდიდის მოდულებს) იგივე ასოებით, მაგრამ ზედა ისრების გარეშე. (F, S, P, Q...).

ძალის მოქმედების ხაზიეწოდება სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ მიმართულია ძალის ვექტორი.

ძალთა სისტემაარის ძალების ნებისმიერი სასრული ნაკრები, რომელიც მოქმედებს მექანიკურ სისტემაზე. ჩვეულებრივია ძალების სისტემების დაყოფა ბინა (ყველა ძალა მოქმედებს ერთ სიბრტყეში) და სივრცითი . თითოეული მათგანი, თავის მხრივ, შეიძლება იყოს ან თვითნებური ან პარალელურად (ყველა ძალის მოქმედების ხაზები პარალელურია) ან კონვერტაციული ძალების სისტემა (ყველა ძალის მოქმედების ხაზები იკვეთება ერთ წერტილში).

ძალთა ორ სისტემას ე.წ ექვივალენტი , თუ მათი მოქმედებები მექანიკურ სისტემაზე ერთნაირია (ანუ ძალების ერთი სისტემის მეორეთი ჩანაცვლება არ ცვლის მექანიკური სისტემის მოძრაობის ხასიათს).

თუ ძალების გარკვეული სისტემა უდრის ერთ ძალას, მაშინ ეს ძალა ეწოდება შედეგიანი ძალთა ამ სისტემის. აღვნიშნოთ, რომ ძალთა ყველა სისტემას არ გააჩნია შედეგიანი ძალა. ძალა, რომელიც ტოლია სიდიდის შედეგისა, საპირისპირო მიმართულებით და მოქმედებს იმავე სწორი ხაზის გასწვრივ დაბალანსება ძალით.

ძალთა სისტემას, რომლის გავლენითაც თავისუფალი ხისტი სხეული ისვენებს ან მოძრაობს ერთნაირად და სწორხაზოვნად, ეწოდება. დაბალანსებული ან ნულის ტოლფასი.

შინაგანი ძალებითეწოდება ერთი მექანიკური სისტემის მატერიალურ წერტილებს შორის ურთიერთქმედების ძალებს.

გარე ძალები- ეს არის ურთიერთქმედების ძალები მოცემული მექანიკური სისტემის წერტილებსა და სხვა სისტემის მატერიალურ წერტილებს შორის.

ნებისმიერ წერტილში სხეულზე მიყენებულ ძალას ეწოდება კონცენტრირებული .

მოცემული მოცულობის ყველა წერტილზე ან სხეულის ზედაპირის მოცემულ ნაწილზე მოქმედ ძალებს უწოდებენ გავრცელდა (შესაბამისად მოცულობით და ზედაპირით).

ძირითადი ცნებების ზემოთ ჩამოთვლილი სია არ არის ამომწურავი. სხვა, არანაკლებ მნიშვნელოვანი ცნებები დაინერგება და დაზუსტდება სასწავლო მასალის წარდგენის პროცესში.

სტატიკაარის თეორიული მექანიკის დარგი, რომელშიც შესწავლილია მატერიალური სხეულების წონასწორობის პირობები ძალების გავლენის ქვეშ.

სტატიკაში წონასწორობის მდგომარეობა გაგებულია, როგორც მდგომარეობა, რომელშიც მექანიკური სისტემის ყველა ნაწილი მოსვენებულ მდგომარეობაშია (ფიქსირებული კოორდინატულ სისტემასთან შედარებით). მიუხედავად იმისა, რომ სტატიკის მეთოდები გამოიყენება მოძრავ სხეულებზეც და მათი დახმარებით შესაძლებელია დინამიკის პრობლემების შესწავლა, სტატიკის შესწავლის ძირითადი ობიექტებია სტაციონარული მექანიკური სხეულები და სისტემები.

სიძლიერეარის ერთი სხეულის გავლენის საზომი მეორეზე. ძალა არის ვექტორი, რომელსაც აქვს გამოყენების წერტილი სხეულის ზედაპირზე. ძალის ზემოქმედებით თავისუფალი სხეული იღებს აჩქარებას ძალის ვექტორის პროპორციულს და სხეულის მასის უკუპროპორციულს.

მოქმედებისა და რეაქციის თანასწორობის კანონი

ძალა, რომლითაც პირველი სხეული მოქმედებს მეორეზე, ტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით და საპირისპიროა იმ ძალისა, რომლითაც მეორე სხეული მოქმედებს პირველზე.

გამკვრივების პრინციპი

თუ დეფორმირებადი სხეული წონასწორობაშია, მაშინ მისი წონასწორობა არ დაირღვევა, თუ სხეული ჩაითვლება აბსოლუტურად მყარად.

მატერიალური წერტილის სტატიკა

განვიხილოთ მატერიალური წერტილი, რომელიც წონასწორობაშია. და მოდით მასზე მოქმედებდეს n ძალები, k = 1, 2, ..., n.

თუ მატერიალური წერტილი წონასწორობაშია, მაშინ მასზე მოქმედი ძალების ვექტორული ჯამი ნულის ტოლია:
(1) .

წონასწორობაში, წერტილზე მოქმედი ძალების გეომეტრიული ჯამი არის ნული.

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. თუ მეორე ვექტორის დასაწყისს მოათავსებთ პირველი ვექტორის ბოლოს, ხოლო მესამეს დასაწყისს მეორე ვექტორის ბოლოს და შემდეგ განაგრძობთ ამ პროცესს, მაშინ ბოლო, n-ე ვექტორის დასასრული გასწორდება. პირველი ვექტორის დასაწყისით. ანუ ვიღებთ დახურულ გეომეტრიულ ფიგურას, გვერდების სიგრძე უდრის ვექტორების მოდულებს.

თუ ყველა ვექტორი დევს ერთ სიბრტყეში, მაშინ მივიღებთ დახურულ მრავალკუთხედს. ხშირად მოსახერხებელია არჩევანის გაკეთებამართკუთხა კოორდინატთა სისტემა

ოქსიზი.
.
მაშინ ყველა ძალის ვექტორის პროგნოზების ჯამები კოორდინატთა ღერძებზე ნულის ტოლია:
.
თუ აირჩევთ რომელიმე ვექტორით მითითებულ მიმართულებას, მაშინ ამ მიმართულებით ძალის ვექტორების პროგნოზების ჯამი ნულის ტოლია:
მოდით გავამრავლოთ განტოლება (1) სკალარულად ვექტორზე:
.

აქ არის ვექტორების სკალარული ნამრავლი და .

გაითვალისწინეთ, რომ ვექტორის პროექცია ვექტორის მიმართულებით განისაზღვრება ფორმულით:

ხისტი სხეულის სტატიკა

ძალაუფლების მომენტი

, მიმართული სხეულზე A წერტილში, ფიქსირებული O ცენტრის მიმართ, ეწოდება ვექტორს, რომელიც ტოლია ვექტორების ვექტორულ ნამრავლს და:

მოდით ვექტორები და განთავსდეს ნახაზის სიბრტყეში. ჯვარედინი ნაწარმოების თვისების მიხედვით, ვექტორი პერპენდიკულარულია ვექტორებზე და, ანუ პერპენდიკულარულია ნახატის სიბრტყეზე. მისი მიმართულება განისაზღვრება სწორი ხრახნიანი წესით. ფიგურაში ბრუნვის ვექტორი ჩვენსკენ არის მიმართული. ბრუნვის აბსოლუტური მნიშვნელობა:
.
მას შემდეგ
(3) .

გეომეტრიის გამოყენებით შეგვიძლია ძალის მომენტის განსხვავებული ინტერპრეტაცია მივცეთ. ამისათვის დახაზეთ სწორი ხაზი AH ძალის ვექტორში. O ცენტრიდან ჩვენ ვამცირებთ პერპენდიკულარულ OH-ს ამ სწორ ხაზზე. ამ პერპენდიკულარის სიგრძე ეწოდებამხრის ძალა
(4) .
. მერე

ვინაიდან , მაშინ ფორმულები (3) და (4) ექვივალენტურია. ამრიგად,ძალის მომენტის აბსოლუტური მნიშვნელობა O ცენტრთან შედარებით უდრისძალის პროდუქტი მხარზე

ეს ძალა არჩეულ ცენტრთან O.
,
ბრუნვის გაანგარიშებისას ხშირად მოსახერხებელია ძალის ორ კომპონენტად დაშლა:
.
სად . ძალა გადის O წერტილში.
.

ამიტომ მისი მომენტი ნულის ტოლია. მერე

ბრუნვის აბსოლუტური მნიშვნელობა:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
მომენტის კომპონენტები მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში
.
თუ ჩვენ ვირჩევთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას Oxyz, რომელსაც აქვს ცენტრი O წერტილში, მაშინ ძალის მომენტს ექნება შემდეგი კომპონენტები:

აქ არის A წერტილის კოორდინატები შერჩეულ კოორდინატულ სისტემაში:

კომპონენტები წარმოადგენს ღერძების გარშემო ძალის მომენტის მნიშვნელობებს, შესაბამისად.

ძალის მომენტის თვისებები ცენტრთან მიმართებაში

მომენტი O ცენტრის შესახებ, ამ ცენტრში გამავალი ძალის გამო, ნულის ტოლია.
.

თუ ძალის გამოყენების წერტილი გადაადგილდება ძალის ვექტორზე გამავალი ხაზის გასწვრივ, მაშინ ასეთი მოძრაობით მომენტი არ შეიცვლება.

სხეულის ერთ წერტილზე მიმართული ძალების ვექტორული ჯამიდან მომენტი ტოლია იმავე წერტილზე გამოყენებული თითოეული ძალის მომენტების ვექტორული ჯამის:
,
იგივე ეხება ძალებს, რომელთა განგრძობითი ხაზები იკვეთება ერთ წერტილში. ამ შემთხვევაში მათი გადაკვეთის წერტილი ძალების გამოყენების პუნქტად უნდა იქნას მიღებული.
.

თუ ძალების ვექტორული ჯამი ნულია:

მაშინ ამ ძალების მომენტების ჯამი არ არის დამოკიდებული ცენტრის პოზიციაზე, რომლის მიმართაც გამოითვლება მომენტები:ძალების წყვილი

ძალების წყვილი

ძალის მომენტი მოცემულ ღერძზე

ხშირია შემთხვევები, როდესაც ჩვენ არ გვჭირდება ვიცოდეთ ძალის მომენტის ყველა კომპონენტი არჩეულ წერტილზე, არამედ მხოლოდ უნდა ვიცოდეთ ძალის მომენტი არჩეულ ღერძზე.

ძალის მომენტი ღერძის გარშემო, რომელიც გადის O წერტილში არის ძალის მომენტის ვექტორის პროექცია, O წერტილის მიმართ, ღერძის მიმართულებაზე.

ღერძის გარშემო ძალის მომენტის თვისებები

ამ ღერძზე გამავალი ძალის გამო ღერძის გარშემო მომენტი ნულის ტოლია.

ამ ღერძის პარალელურად ძალის გამო ღერძის გარშემო მომენტი ნულის ტოლია.

ღერძის გარშემო ძალის მომენტის გამოთვლა

დაე, სხეულზე მოქმედებდეს ძალა A წერტილში.

ვიპოვოთ ამ ძალის მომენტი O'O' ღერძის მიმართ.
.
ავაშენოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა. დაე, ოზის ღერძი ემთხვეოდეს O'O'-ს.
.

A წერტილიდან ვამცირებთ პერპენდიკულარულ OH-ს O'O′′-მდე.

O და A წერტილების გავლით ვხატავთ Ox ღერძს.

ვხატავთ Oy ღერძს ოქსისა და ოზის პერპენდიკულარულად.
(6.1) ;
(6.2) .

მოდით დავშალოთ ძალა კომპონენტებად კოორდინატთა სისტემის ღერძების გასწვრივ:

ძალა კვეთს O'O' ღერძს.

ამიტომ მისი მომენტი ნულის ტოლია. ძალა პარალელურია O'O' ღერძის.
.
ამიტომ მისი მომენტიც ნულის ტოლია. ფორმულის გამოყენებით (5.3) ვხვდებით:
.

გაითვალისწინეთ, რომ კომპონენტი მიმართულია ტანგენციალურად წრეზე, რომლის ცენტრია წერტილი O.

ვექტორის მიმართულება განისაზღვრება მარჯვენა ხრახნიანი წესით.

ხისტი სხეულის წონასწორობის პირობები წონასწორობაში სხეულზე მოქმედი ყველა ძალის ვექტორული ჯამი ნულის ტოლია და ამ ძალების მომენტების ვექტორული ჯამი თვითნებურ ფიქსირებულ ცენტრთან მიმართებაში ნულის ტოლია:ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ ცენტრი O, რომლის მიმართაც ძალების მომენტები გამოითვლება, შეიძლება თვითნებურად შეირჩეს. წერტილი O შეიძლება ეკუთვნოდეს სხეულს ან მდებარეობდეს მის გარეთ. როგორც წესი, O ცენტრი არჩეულია გამოთვლების გასაადვილებლად.

მოდით იყოს სხეულის უსასრულოდ მცირე ნაწილის მასა. და მოდით A k პუნქტმა განსაზღვროს ამ მონაკვეთის პოზიცია. მოდით ვიპოვოთ გრავიტაციასთან დაკავშირებული სიდიდეები, რომლებიც შედის წონასწორობის განტოლებებში (6).

მოდით ვიპოვოთ სხეულის ყველა ნაწილის მიერ წარმოქმნილი მიზიდულობის ძალების ჯამი:
,
სად არის სხეულის მასა. ამრიგად, სხეულის ცალკეული უსასრულო ნაწილების მიზიდულობის ძალების ჯამი შეიძლება შეიცვალოს მთელი სხეულის მიზიდულობის ძალის ერთი ვექტორით:
.

მოდით ვიპოვოთ სიმძიმის მომენტების ჯამი, შედარებით თვითნებური გზით არჩეული O ცენტრისთვის:

.
აქ შემოვიღეთ C წერტილი, რომელიც ე.წ სიმძიმის ცენტრისხეულები. სიმძიმის ცენტრის პოზიცია კოორდინატთა სისტემაში, რომელიც ორიენტირებულია O წერტილში, განისაზღვრება ფორმულით:
(7) .

ამრიგად, სტატიკური წონასწორობის განსაზღვრისას, სხეულის ცალკეული ნაწილების მიზიდულობის ძალების ჯამი შეიძლება შეიცვალოს შედეგით
,
გამოიყენება C სხეულის მასის ცენტრზე, რომლის პოზიცია განისაზღვრება ფორმულით (7).

სიმძიმის ცენტრის პოზიცია სხვადასხვა გეომეტრიული ფიგურებისთვის შეგიძლიათ იხილოთ შესაბამის საცნობარო წიგნებში. თუ სხეულს აქვს სიმეტრიის ღერძი ან სიბრტყე, მაშინ სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს ამ ღერძზე ან სიბრტყეზე. ამრიგად, სფეროს, წრის ან წრის სიმძიმის ცენტრები განლაგებულია ამ ფიგურების წრეების ცენტრებში. მართკუთხა პარალელეპიპედის, მართკუთხედის ან კვადრატის სიმძიმის ცენტრები ასევე განლაგებულია მათ ცენტრებში - დიაგონალების გადაკვეთის წერტილებში.

ერთნაირად (A) და წრფივად (B) განაწილებული დატვირთვა.

ასევე არის გრავიტაციის მსგავსი შემთხვევები, როდესაც ძალები არ ვრცელდება სხეულის გარკვეულ წერტილებზე, მაგრამ მუდმივად ნაწილდება მის ზედაპირზე ან მოცულობაზე. ასეთ ძალებს ე.წ განაწილებული ძალებიან .

ხახუნის ძალები

მოცურების ხახუნა. დაე, სხეული ბრტყელ ზედაპირზე იყოს. და მოდით იყოს ზედაპირის პერპენდიკულარული ძალა, რომლითაც ზედაპირი მოქმედებს სხეულზე (წნევის ძალა). შემდეგ მოცურების ხახუნის ძალა არის ზედაპირის პარალელურად და მიმართულია გვერდით, რაც ხელს უშლის სხეულის მოძრაობას. მისი ყველაზე დიდი ღირებულებაა:
,
სადაც f არის ხახუნის კოეფიციენტი. ხახუნის კოეფიციენტი არის განზომილებიანი სიდიდე.

მოძრავი ხახუნი. მრგვალი ფორმის სხეული გააბრტყელეთ ან შეძლოთ ზედაპირზე გადახვევა. და მოდით იყოს წნევის ძალა პერპენდიკულარული ზედაპირზე, საიდანაც ზედაპირი მოქმედებს სხეულზე. შემდეგ სხეულზე, ზედაპირთან შეხების ადგილას მოქმედებს ხახუნის ძალების მომენტი, რაც ხელს უშლის სხეულის მოძრაობას. ხახუნის მომენტის უდიდესი მნიშვნელობა უდრის:
,
სადაც δ არის მოძრავი ხახუნის კოეფიციენტი. მას აქვს სიგრძის განზომილება.

გამოყენებული ლიტერატურა:
S. M. Targ, მოკლე კურსი თეორიულ მექანიკაში, "უმაღლესი სკოლა", 2010 წ.

თეორიული და ანალიტიკური მექანიკა

• Aizenberg T.B., Voronkov I.M., Ossetsky V.M.. სახელმძღვანელო თეორიულ მექანიკაში ამოცანების გადაჭრის გზამკვლევი (მე-6 გამოცემა). M.: უმაღლესი სკოლა, 1968 (djvu)
• იზერმან მ.ა. კლასიკური მექანიკა (მე-2 გამოცემა). M.: Nauka, 1980 (djvu)
• ალეშკევიჩი V.A., Dedenko L.G., Karavaev V.A. მყარი ნივთიერებების მექანიკა. ლექციები. მ.: მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ფიზიკის დეპარტამენტი, 1997 (djvu)
• ამელკინი ნ.ი. ხისტი სხეულის კინემატიკა და დინამიკა, MIPT, 2000 (pdf)
• Appel P. თეორიული მექანიკა. ტომი 1. სტატისტიკა. წერტილის დინამიკა. M.: Fizmatlit, 1960 (djvu)
• Appel P. თეორიული მექანიკა. ტომი 2. სისტემის დინამიკა. ანალიტიკური მექანიკა. M.: Fizmatlit, 1960 (djvu)
• არნოლდ V.I. მცირე მნიშვნელები და მოძრაობის მდგრადობის პრობლემები კლასიკურ და ციურ მექანიკაში. Advances in Mathematical Sciences ტ. XVIII, No. 6 (114), გვ.91-192, 1963 (djvu)
• არნოლდ V.I., Kozlov V.V., Neishtadt A.I. კლასიკური და ციური მექანიკის მათემატიკური ასპექტები. M.: VINITI, 1985 (djvu)
• ბარინოვა მ.ფ., გოლუბევა ო.ვ. ამოცანები და სავარჯიშოები კლასიკურ მექანიკაში. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1980 წელი (djvu)
• ბათ მ.ი., ჯანელიძე გ.იუ., კელზონ ა.ს. თეორიული მექანიკა მაგალითებსა და ამოცანებში. ტომი 1: სტატიკა და კინემატიკა (მე-5 გამოცემა). M.: Nauka, 1967 (djvu)
• ბათ მ.ი., ჯანელიძე გ.იუ., კელზონ ა.ს. თეორიული მექანიკა მაგალითებსა და ამოცანებში. ტომი 2: დინამიკა (მე-3 გამოცემა). M.: Nauka, 1966 (djvu)
• ბათ მ.ი., ჯანელიძე გ.იუ., კელზონ ა.ს. თეორიული მექანიკა მაგალითებსა და ამოცანებში. ტომი 3: მექანიკის სპეციალური თავები. M.: Nauka, 1973 (djvu)
• ბექშაევი S.Ya., Fomin V.M. რხევების თეორიის საფუძვლები. ოდესა: OGASA, 2013 (pdf)
• ბელენკი ი.მ. ანალიტიკური მექანიკის შესავალი. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1964 (djvu)
• ბერეზკინი ე.ნ. თეორიული მექანიკის კურსი (მე-2 გამოცემა). მ.: გამომცემლობა. მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, 1974 (djvu)
• ბერეზკინი ე.ნ. თეორიული მექანიკა. გაიდლაინები (მე-3 გამოცემა). მ.: გამომცემლობა. მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, 1970 (djvu)
• ბერეზკინი ე.ნ. ამოცანების ამოხსნა თეორიულ მექანიკაში, ნაწილი 1. მ.: გამომცემლობა. მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, 1973 (djvu)
• ბერეზკინი ე.ნ. ამოცანების ამოხსნა თეორიულ მექანიკაში, ნაწილი 2. მ.: გამომცემლობა. მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, 1974 (djvu)
• ბერეზოვა O.A., Drushlyak G.E., Solodovnikov R.V. თეორიული მექანიკა. პრობლემების კრებული. კიევი: ვიშჩას სკოლა, 1980 (djvu)
• Biderman V.L. მექანიკური ვიბრაციების თეორია. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1980 წელი (djvu)
• ბოგოლიუბოვი N.N., Mitropolsky Yu.A., Samoilenko A.M. აჩქარებული კონვერგენციის მეთოდი არაწრფივი მექანიკაში. კიევი: ნაუკ. დუმკა, 1969 (djvu)
• ბრაჟნიჩენკო ნ.ა., კან ვ.ლ. და სხვათა კრებული თეორიულ მექანიკაში (მე-2 გამოცემა). M.: უმაღლესი სკოლა, 1967 (djvu)
• ბუტენინი ნ.ვ. შესავალი ანალიტიკურ მექანიკაში. M.: Nauka, 1971 (djvu)
• ბუტენინი N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. თეორიული მექანიკის კურსი. ტომი 1. სტატიკა და კინემატიკა (მე-3 გამოცემა). M.: Nauka, 1979 (djvu)
• ბუტენინი N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. თეორიული მექანიკის კურსი. ტომი 2. დინამიკა (მე-2 გამოცემა). M.: Nauka, 1979 (djvu)
• ბუჩგოლცი ნ.ნ. თეორიული მექანიკის საბაზისო კურსი. ტომი 1: კინემატიკა, სტატიკა, მატერიალური წერტილის დინამიკა (მე-6 გამოცემა). M.: Nauka, 1965 (djvu)
• ბუჩგოლცი ნ.ნ. თეორიული მექანიკის საბაზისო კურსი. ტომი 2: მატერიალური წერტილების სისტემის დინამიკა (მე-4 გამოცემა). M.: Nauka, 1966 (djvu)
• ბუჩგოლცი ნ.ნ., ვორონკოვი ი.მ., მინაკოვი ა.პ. თეორიული მექანიკის ამოცანების კრებული (მე-3 გამოცემა). M.-L.: GITTL, 1949 (djvu)
• Vallee-Poussin C.-J. ლექციები თეორიულ მექანიკაზე, ტომი 1. M.: GIIL, 1948 (djvu)
• Vallee-Poussin C.-J. ლექციები თეორიულ მექანიკაზე, ტომი 2. M.: GIIL, 1949 (djvu)
• ვებსტერ ა.გ. მყარი, დრეკადი და თხევადი სხეულების მატერიალური წერტილების მექანიკა (ლექციები მათემატიკური ფიზიკის შესახებ). L.-M.: GTTI, 1933 (djvu)
• ვერეტენნიკოვი V.G., Sinitsyn V.A. ცვლადი მოქმედების მეთოდი (მე-2 გამოცემა). M.: Fizmatlit, 2005 (djvu)
• ვესელოვსკი ი.ნ. დინამიკა. M.-L.: GITTL, 1941 (djvu)
• ვესელოვსკი ი.ნ. თეორიული მექანიკის ამოცანების კრებული. M.: GITTL, 1955 (djvu)
• Wittenburg J. ხისტი სხეულის სისტემების დინამიკა. M.: Mir, 1980 (djvu)
• ვორონკოვი ი.მ. თეორიული მექანიკის კურსი (მე-11 გამოცემა). M.: Nauka, 1964 (djvu)
• განიევი რ.ფ., კონონენკო ვ.ო. მყარი სხეულების ვიბრაცია. M.: Nauka, 1976 (djvu)
• განტმახერი ფ.რ. ლექციები ანალიტიკურ მექანიკაზე. M.: Nauka, 1966 (მე-2 გამოცემა) (djvu)
• გერნეტ მ.მ. თეორიული მექანიკის კურსი. M.: უმაღლესი სკოლა (მე-3 გამოცემა), 1973 (djvu)
• გერონიმუს ია.ლ. თეორიული მექანიკა (ნარკვევები ძირითად პრინციპებზე). M.: Nauka, 1973 (djvu)
• Hertz G. მექანიკის პრინციპები ჩამოყალიბებულია ახალ კავშირში. M.: სსრკ მეცნიერებათა აკადემია, 1959 (djvu)
• Goldstein G. კლასიკური მექანიკა. M.: Gostekhizdat, 1957 (djvu)
• გოლუბევა O.V. თეორიული მექანიკა. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1968 (djvu)
• დიმენტბერგი ფ.მ. სპირალური გამოთვლები და მისი გამოყენება მექანიკაში. M.: Nauka, 1965 (djvu)
• დობრონრავოვი ვ.ვ. ანალიტიკური მექანიკის საფუძვლები. M.: უმაღლესი სკოლა, 1976 (djvu)
• ჟირნოვი ნ.ი. კლასიკური მექანიკა. M.: განათლება, 1980 (djvu)
• ჟუკოვსკი ნ.ე. თეორიული მექანიკა (მე-2 გამოცემა). M.-L.: GITTL, 1952 (djvu)
• ჟურავლევი ვ.ფ. მექანიკის საფუძვლები. მეთოდოლოგიური ასპექტები. მ.: მექანიკის პრობლემების ინსტიტუტი RAS (წინასწარი ბეჭდვა N 251), 1985 (djvu)
• ჟურავლევი ვ.ფ. თეორიული მექანიკის საფუძვლები (მე-2 გამოცემა). M.: Fizmatlit, 2001 (djvu)
• ჟურავლევი ვ.ფ., კლიმოვი დ.მ. გამოყენებული მეთოდები ვიბრაციების თეორიაში. M.: Nauka, 1988 (djvu)
• ზუბოვი V.I., Ermolin V.S. და სხვათა თავისუფალი ხისტი სხეულის დინამიკა და მისი ორიენტაციის განსაზღვრა სივრცეში. L.: ლენინგრადის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, 1968 (djvu)
• ზუბოვი ვ.გ. მექანიკა. სერია "ფიზიკის პრინციპები". M.: Nauka, 1978 (djvu)
• გიროსკოპული სისტემების მექანიკის ისტორია. M.: Nauka, 1975 (djvu)
• იშლინსკი A.Yu. (რედ.). თეორიული მექანიკა. რაოდენობების ასოების აღნიშვნა. ტ. 96. M: Nauka, 1980 (djvu)
• იშლინსკი A.Yu., Borzov V.I., Stepanenko N.P. გიროსკოპების თეორიაზე ამოცანებისა და სავარჯიშოების კრებული. მ.: მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის გამომცემლობა, 1979 (djvu)
• კაბალსკი მ.მ., კრივოშეი ვ.დ., სავიცკი ნ.ი., ჩაიკოვსკი გ.ნ. თეორიული მექანიკის ტიპიური ამოცანები და მათი გადაჭრის მეთოდები. კიევი: GITL უკრაინის სსრ, 1956 (djvu)
• კილჩევსკი ნ.ა. თეორიული მექანიკის კურსი, ტ. 1: კინემატიკა, სტატიკა, წერტილის დინამიკა, (მე-2 გამოცემა), M.: Nauka, 1977 (djvu)
• კილჩევსკი ნ.ა. თეორიული მექანიკის კურსი, ტ. 2: სისტემის დინამიკა, ანალიტიკური მექანიკა, პოტენციალის თეორიის ელემენტები, უწყვეტი მექანიკა, ფარდობითობის სპეციალური და ზოგადი თეორია, M.: Nauka, 1977 (djvu)
• კირიპიჩევი ვ.ლ. საუბრები მექანიკაზე. M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
• კლიმოვი დ.მ. (რედ.). მექანიკური პრობლემები: შა. სტატიები. ა.იუ იშლინსკის დაბადებიდან 90 წლისთავზე. M.: Fizmatlit, 2003 (djvu)
• კოზლოვი V.V. ხარისხობრივი ანალიზის მეთოდები ხისტი სხეულის დინამიკაში (მე-2 გამოცემა). იჟევსკი: კვლევითი ცენტრი "რეგულარული და ქაოტური დინამიკა", 2000 (djvu)
• კოზლოვი V.V. სიმეტრიები, ტოპოლოგია და რეზონანსები ჰამილტონის მექანიკაში. იჟევსკი: უდმურტის სახელმწიფო გამომცემლობა. უნივერსიტეტი, 1995 (djvu)
• კოსმოდემიანსკი ა.ა. თეორიული მექანიკის კურსი. ნაწილი I. M.: განმანათლებლობა, 1965 (djvu)
• კოსმოდემიანსკი ა.ა. თეორიული მექანიკის კურსი. ნაწილი II. M.: განათლება, 1966 (djvu)
• კოტკინი გ.ლ., სერბო ვ.გ. კლასიკურ მექანიკაში ამოცანების კრებული (მე-2 გამოცემა). M.: Nauka, 1977 (djvu)
• კრაგელსკი I.V., Shchedrov V.S. ხახუნის მეცნიერების განვითარება. მშრალი ხახუნა. M.: სსრკ მეცნიერებათა აკადემია, 1956 (djvu)
• Lagrange J. ანალიტიკური მექანიკა, ტომი 1. M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
• Lagrange J. ანალიტიკური მექანიკა, ტომი 2. M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
• Lamb G. თეორიული მექანიკა. ტომი 2. დინამიკა. M.-L.: GTTI, 1935 (djvu)
• Lamb G. თეორიული მექანიკა. ტომი 3. უფრო რთული საკითხები. M.-L.: ONTI, 1936 (djvu)
• Levi-Civita T., Amaldi U. კურსი თეორიულ მექანიკაში. ტომი 1, ნაწილი 1: კინემატიკა, მექანიკის პრინციპები. M.-L.: NKTL სსრკ, 1935 (djvu)
• Levi-Civita T., Amaldi U. კურსი თეორიულ მექანიკაში. ტომი 1, ნაწილი 2: კინემატიკა, მექანიკის პრინციპები, სტატიკა. მ.: უცხოურიდან. ლიტერატურა, 1952 (djvu)
• Levi-Civita T., Amaldi U. კურსი თეორიულ მექანიკაში. ტომი 2, ნაწილი 1: სისტემების დინამიკა სასრული რაოდენობის თავისუფლების ხარისხით. მ.: უცხოურიდან. ლიტერატურა, 1951 (djvu)
• Levi-Civita T., Amaldi U. კურსი თეორიულ მექანიკაში. ტომი 2, ნაწილი 2: სისტემების დინამიკა სასრული რაოდენობის თავისუფლების ხარისხით. მ.: უცხოურიდან. ლიტერატურა, 1951 (djvu)
• ლიჩი ჯ. კლასიკური მექანიკა. მ.: უცხოური. ლიტერატურა, 1961 (djvu)
• ლანტს ია.ლ. შესავალი გიროსკოპების თეორიაში. M.: Nauka, 1972 (djvu)
• Lurie A.I. ანალიტიკური მექანიკა. M.: GIFML, 1961 (djvu)
• ლიაპუნოვი ა.მ. მოძრაობის სტაბილურობის ზოგადი პრობლემა. M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
• მარკეევი A.P. სხეულის დინამიკა მყარ ზედაპირთან კონტაქტში. M.: Nauka, 1992 (djvu)
• მარკეევი A.P. თეორიული მექანიკა, მე-2 გამოცემა. იჟევსკი: RHD, 1999 (djvu)
• მარტინიუკ ა.ა. რთული სისტემების მოძრაობის სტაბილურობა. კიევი: ნაუკ. დუმკა, 1975 (djvu)
• მერკინი დ.რ. შესავალი მოქნილი ძაფის მექანიკაში. M.: Nauka, 1980 (djvu)
• მექანიკა სსრკ-ში 50 წლის განმავლობაში. ტომი 1. ზოგადი და გამოყენებითი მექანიკა. M.: Nauka, 1968 (djvu)
• მეტელიცინი I.I. გიროსკოპის თეორია. სტაბილურობის თეორია. შერჩეული ნამუშევრები. M.: Nauka, 1977 (djvu)
• მეშჩერსკი I.V. თეორიული მექანიკის ამოცანების კრებული (34-ე გამოცემა). M.: Nauka, 1975 (djvu)
• მისიურევი მ.ა. თეორიულ მექანიკაში ამოცანების გადაჭრის მეთოდოლოგია. M.: უმაღლესი სკოლა, 1963 (djvu)
• მოისეევი ნ.ნ. არაწრფივი მექანიკის ასიმპტომური მეთოდები. M.: Nauka, 1969 (djvu)
• ნეიმარკი იუ.ი., ფუფაევი ნ.ა. არაჰოლონომიური სისტემების დინამიკა. M.: Nauka, 1967 (djvu)
• ნეკრასოვი A.I. თეორიული მექანიკის კურსი. ტომი 1. სტატიკა და კინემატიკა (მე-6 გამოცემა) M.: GITTL, 1956 (djvu)
• ნეკრასოვი A.I. თეორიული მექანიკის კურსი. ტომი 2. დინამიკა (მე-2 გამოცემა) M.: GITTL, 1953 (djvu)
• ნიკოლაი ე.ლ. გიროსკოპი და მისი ზოგიერთი ტექნიკური პროგრამა საჯაროდ ხელმისაწვდომ პრეზენტაციაში. M.-L.: GITTL, 1947 (djvu)
• ნიკოლაი ე.ლ. გიროსკოპების თეორია. L.-M.: GITTL, 1948 (djvu)
• ნიკოლაი ე.ლ. თეორიული მექანიკა. ნაწილი I. სტატიკა. კინემატიკა (მეოცე გამოცემა). M.: GIFML, 1962 (djvu)
• ნიკოლაი ე.ლ. თეორიული მექანიკა. ნაწილი II. დინამიკა (მეცამეტე გამოცემა). M.: GIFML, 1958 (djvu)
• ნოვოსელოვი V.S. ვარიაციული მეთოდები მექანიკაში. L.: ლენინგრადის სახელმწიფო უნივერსიტეტის გამომცემლობა, 1966 (djvu)
• ოლხოვსკი I.I. თეორიული მექანიკის კურსი ფიზიკოსებისთვის. M.: MSU, 1978 (djvu)
• ოლხოვსკი I.I., Pavlenko Yu.G., Kuzmenkov L.S. ფიზიკოსებისთვის თეორიული მექანიკის პრობლემები. M.: MSU, 1977 (djvu)
• Pars L.A. ანალიტიკური დინამიკა. M.: Nauka, 1971 (djvu)
• პერელმან ია.ი. გასართობი მექანიკა (მე-4 გამოცემა). M.-L.: ONTI, 1937 (djvu)
• Planck M. შესავალი თეორიულ ფიზიკაში. ნაწილი პირველი. ზოგადი მექანიკა (მე-2 გამოცემა). M.-L.: GTTI, 1932 (djvu)
• პოლაკ ლ.ს. (რედ.) მექანიკის ვარიაციული პრინციპები. მეცნიერების კლასიკოსების სტატიების კრებული. M.: Fizmatgiz, 1959 (djvu)
• Poincare A. ლექციები ციურ მექანიკაზე. M.: Nauka, 1965 (djvu)
• Poincare A. ახალი მექანიკა. კანონების ევოლუცია. M.: თანამედროვე პრობლემები: 1913 (djvu)
• ვარდების ნ.ვ. (რედ.) თეორიული მექანიკა. ნაწილი 1. მატერიალური წერტილის მექანიკა. L.-M.: GTTI, 1932 (djvu)
• ვარდების ნ.ვ. (რედ.) თეორიული მექანიკა. ნაწილი 2. მატერიალური სისტემებისა და მყარი ნივთიერებების მექანიკა. L.-M.: GTTI, 1933 (djvu)
• როზენბლატი გ.მ. მშრალი ხახუნი პრობლემებსა და გადაწყვეტილებებში. M.-Izhevsk: RHD, 2009 (pdf)
• რუბანოვსკი V.N., Samsonov V.A. სტაციონარული მოძრაობების სტაბილურობა მაგალითებსა და ამოცანებში. M.-Izhevsk: RHD, 2003 (pdf)
• სამსონოვი V.A. ლექციის შენიშვნები მექანიკაზე. M.: MSU, 2015 (pdf)
• შაქარი N.F. თეორიული მექანიკის კურსი. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1964 (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 1. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1968 (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 2. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1971 (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 3. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1972 წელი (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 4. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1974 (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 5. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1975 წელი (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 6. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1976 წელი (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 7. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1976 წელი (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 8. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1977 (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 9. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1979 წელი (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 10. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1980 (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 11. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1981 წელი (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 12. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1982 წელი (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 13. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1983 (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 14. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1983 (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 15. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1984 (djvu)
• თეორიული მექანიკის შესახებ სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური სტატიების კრებული. საკითხი 16. მ.: ვისშ. სკოლა, 1986 წ