ჩამოაყალიბეთ სიჩქარის დამატების კანონი. გადაადგილებისა და სიჩქარის დამატების კანონი

« ფიზიკა - მე-10 კლასი“

შეიცვლება თუ არა მოძრაობა, თუ მას სხვადასხვა კოორდინატულ სისტემაში აღვწერთ?
მოსახერხებელია თუ არა მოძრაობის აღწერა რომელიმე კოორდინატულ სისტემაში?

მოდით, მოტორიანი ნავი იცუროს მდინარის გასწვრივ და ჩვენ ვიცით მისი სიჩქარე 1 წყალთან მიმართებაში, უფრო ზუსტად, წყალთან მოძრავი K 1 კოორდინატთა სისტემის მიმართ (ნახ. 1.19).

ასეთი კოორდინატთა სისტემა შეიძლება ასოცირებული იყოს, მაგალითად, ნავიდან გადმოვარდნილ ბურთს და ნაკადთან მიცურვასთან. თუ ცნობილია აგრეთვე მდინარის დინების სიჩქარე ნაპირთან დაკავშირებული K 2 კოორდინატთა სისტემასთან მიმართებაში, ანუ კოორდინატთა სისტემის Kx სიჩქარე კოორდინატთა სისტემასთან K 2 , მაშინ ნავის 2 სიჩქარე ნაპირთან მიმართებაში. შეიძლება განისაზღვროს.

დროში Δt ნავისა და ბურთის მოძრაობები ნაპირთან მიმართებით უდრის Δ 2 და Δ (ნახ. 1.20), ხოლო ნავის მოძრაობა ბურთთან მიმართებაში უდრის Δ 1-ს. სურათი 1.20-დან ჩანს, რომ

Δ 2 = Δ 1 + Δ. (1.7)

(1.7) განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეების Δt-ზე გაყოფით მივიღებთ

გავითვალისწინოთ ისიც, რომ გადაადგილების შეფარდება დროის ინტერვალებთან უდრის სიჩქარეებს. Ამიტომაც

სიჩქარეები ემატება გეომეტრიულად, როგორც ყველა სხვა ვექტორი. განტოლება (1.8) ეწოდება სიჩქარის დამატების კანონი.

სიჩქარის დამატების კანონი

თუ სხეული მოძრაობს გარკვეულ კოორდინატულ სისტემასთან შედარებით K 1 სიჩქარით და თავად სისტემა K 1 მოძრაობს სხვა კოორდინატულ სისტემასთან შედარებით K 2 სიჩქარით 1, მაშინ სხეულის სიჩქარე მეორე სისტემასთან მიმართებაში უდრის. 1 და სიჩქარის გეომეტრიული ჯამი.

როგორ დაიწერება სიჩქარის მიმატების კლასიკური კანონი, თუ (1.9) ბურთთან დაკავშირებული სისტემა ჩაითვლება უძრავად, ხოლო ნაპირთან დაკავშირებული სისტემა მოძრავად?

ნებისმიერი ვექტორული განტოლების მსგავსად, განტოლება (1.8) არის სკალარული განტოლებების კომპაქტური წარმოდგენა, ამ შემთხვევაში სიბრტყეზე მოძრაობის სიჩქარის პროგნოზების დასამატებლად:

υ 2x = υ 1x + υ x,
υ 2y = υ 1y + υ y. (1.9)

სიჩქარის პროგნოზები დამატებულია ალგებრულად.

სიჩქარის დამატების კანონი საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ სხეულის სიჩქარე ერთმანეთის მიმართ მოძრავი სხვადასხვა საცნობარო სისტემებთან მიმართებაში.

სიჩქარის დამატების კლასიკური კანონი მოქმედებს სხეულებისთვის, რომლებიც მოძრაობენ სინათლის სიჩქარეზე გაცილებით დაბალი სიჩქარით.

ხშირად სხეულის სიჩქარეს ფიქსირებულ კოორდინატულ სისტემასთან მიმართებაში უწოდებენ აბსოლუტური სიჩქარემოძრავი კოორდინატულ სისტემასთან შედარებით - ფარდობითი, და მითითების სხეულის სიჩქარე, რომელიც დაკავშირებულია მოძრავ სისტემასთან, ფიქსირებულთან შედარებით - პორტატული სიჩქარე.

მაშინ სიჩქარის დამატების კანონს აქვს ფორმა a = rel + per.

წყარო: „ფიზიკა - მე-10 კლასი“, 2014წ., სახელმძღვანელო Myakishev, Bukhovtsev, Sotsky.

კინემატიკა - ფიზიკა, სახელმძღვანელო მე-10 კლასისთვის - მაგარი ფიზიკა

ფიზიკა და სამყაროს ცოდნა --- რა არის მექანიკა ---

ლორენცის გარდაქმნები გვაძლევს შესაძლებლობას გამოვთვალოთ მოვლენის კოორდინატების ცვლილება ერთი საცნობარო სისტემიდან მეორეზე გადასვლისას. ახლა დავსვათ კითხვა, თუ როგორ შეიცვლება საცნობარო სისტემა, იგივე სხეულის სიჩქარე?

კლასიკურ მექანიკაში, როგორც ცნობილია, სხეულის სიჩქარე უბრალოდ ემატება საცნობარო ჩარჩოს სიჩქარეს. ახლა დავინახავთ, რომ ფარდობითობის თეორიაში სიჩქარე გარდაიქმნება უფრო რთული კანონის მიხედვით.

ჩვენ კვლავ შემოვიფარგლებით ერთგანზომილებიანი შემთხვევის განხილვით. მოდით, ორი საორიენტაციო სისტემა S და S` „დაიცვან“ სხეულის მოძრაობა, რომელიც მოძრაობს ერთნაირად და სწორხაზოვნად ღერძების პარალელურად. Xდა x`ორივე საცნობარო სისტემა. მოდით სხეულის სიჩქარე, რომელიც იზომება საცნობარო სისტემით ს, Იქ არის და; იგივე სხეულის სიჩქარე, რომელიც იზომება S სისტემით, აღინიშნა და` . წერილი ვჩვენ გავაგრძელებთ სისტემის სიჩქარის აღნიშვნას ს` დაკავშირებით ს.

დავუშვათ, რომ ორი მოვლენა ხდება ჩვენს სხეულთან, რომელთა კოორდინატებიც სისტემაშია ს არსი x 1, t 1, დაX 2 , ტ 2 . სისტემაში იგივე მოვლენების კოორდინატები ს` დაე იყოს ისინი x` 1, ტ` 1 ; x` 2 , t` 2 . მაგრამ სხეულის სიჩქარე არის სხეულის მიერ გავლილი მანძილის თანაფარდობა დროის შესაბამის მონაკვეთთან; ამიტომ, იმისთვის, რომ ვიპოვოთ სხეულის სიჩქარე ერთ და მეორე საცნობარო სისტემაში, აუცილებელია ორივე მოვლენის სივრცითი კოორდინატების სხვაობა გავყოთ დროის კოორდინატთა სხვაობაზე.

რომელიც, როგორც ყოველთვის, შეიძლება მივიღოთ რელატივისტურიდან, თუ სინათლის სიჩქარე ჩაითვლება უსასრულოდ. იგივე ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც

მცირე, "ჩვეულებრივი" სიჩქარისთვის, ორივე ფორმულა - რელატივისტური და კლასიკური - იძლევა თითქმის იდენტურ შედეგებს, რაც მკითხველს შეუძლია ადვილად გადაამოწმოს, თუ სასურველია. მაგრამ სინათლის სიჩქარესთან მიახლოებული სიჩქარით განსხვავება ძალიან შესამჩნევი ხდება. ასე რომ, თუ v=150,000 კმ/წმ, u`=200 000 კმ/თანეკ, კმ/წმრელატივისტური ფორმულა იძლევა u = 262 500 კმ/თანეკ.

ს სიჩქარით v = 150000 კმ/წმ. ს` იძლევა შედეგს u =200 000 კმ/წმ. კმ/თანეკ.


კმ/წმ,ხოლო მეორე - 200 000 კმ/წმ, კმ.

თან.ამ განცხადების საკმაოდ მკაცრად დამტკიცება არ არის რთული. ამის შემოწმება ნამდვილად ადვილია.

მცირე, "ჩვეულებრივი" სიჩქარისთვის, ორივე ფორმულა - რელატივისტური და კლასიკური - იძლევა თითქმის იდენტურ შედეგებს, რაც მკითხველს შეუძლია ადვილად გადაამოწმოს, თუ სასურველია. მაგრამ სინათლის სიჩქარესთან მიახლოებული სიჩქარით განსხვავება ძალიან შესამჩნევი ხდება. ასე რომ, თუ v=150,000 კმ/წმ, u`=200 000 კმ/თანეკ,მაშინ კლასიკური შედეგის ნაცვლად u = 350000 კმ/წმრელატივისტური ფორმულა იძლევა u = 262 500 კმ/თანეკ.სიჩქარის დამატების ფორმულის მნიშვნელობის მიხედვით, ეს შედეგი ნიშნავს შემდეგს.

მიეცით საცნობარო სისტემა S` გადაადგილდეს საცნობარო სისტემასთან შედარებით ს სიჩქარით v = 150000 კმ/წმ.ნება მიეცით სხეულს მოძრაობდეს იმავე მიმართულებით და მისი სიჩქარე იზომება საცნობარო სისტემით ს` შედეგებს იძლევა u` =200 000 კმ/წმ.თუ ახლა გავზომავთ იგივე სხეულის სიჩქარეს საცნობარო ჩარჩო S-ის გამოყენებით, მივიღებთ u=262,500 კმ/თანეკ.


ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ ჩვენ მიერ მიღებული ფორმულა სპეციალურად განკუთვნილია ერთი და იგივე სხეულის სიჩქარის ხელახალი გამოსათვლელად ერთი საცნობარო სისტემიდან მეორეზე, და საერთოდ არა ორი სხეულის "მიახლოების სიჩქარის" ან "ამოღების" გამოსათვლელად. თუ დავაკვირდებით ორ სხეულს, რომლებიც მოძრაობენ ერთმანეთისკენ ერთი და იგივე საცნობარო ჩარჩოდან და ერთი სხეულის სიჩქარე იქნება 150000 კმ/წმ,ხოლო მეორე - 200 000 კმ/წმ,მაშინ ამ სხეულებს შორის მანძილი ყოველ წამში 350000-ით შემცირდება კმ. ფარდობითობის თეორია არ აუქმებს არითმეტიკის კანონებს.

მკითხველმა უკვე გაიგო, რა თქმა უნდა, რომ ამ ფორმულის გამოყენებისას სინათლის სიჩქარეს არ აღემატება, ჩვენ კვლავ მივიღებთ არაუმეტეს სიჩქარეს. თან.ამ განცხადების საკმაოდ მკაცრად დამტკიცება არ არის რთული. მართლაც, ადვილია იმის შემოწმება, რომ თანასწორობა დაცულია

იმიტომ რომ u` ≤ с და ვ < გ, მაშინ ტოლობის მარჯვენა მხარეს მრიცხველი და მნიშვნელი და მათთან ერთად მთელი წილადი არაუარყოფითია. მაშასადამე, კვადრატული ფრჩხილი ერთზე ნაკლებია და ამიტომ და ≤ გ .
თუ და` = თან, შემდეგ და და =თან.ეს სხვა არაფერია, თუ არა სინათლის სიჩქარის მუდმივობის კანონი. რა თქმა უნდა, არ უნდა მივიჩნიოთ ეს დასკვნა სინათლის სიჩქარის მუდმივობის პოსტულატის „მტკიცებულებად“ ან სულ მცირე „დადასტურებად“. ჩვენ ხომ თავიდანვე დავიწყეთ ამ პოსტულატიდან და გასაკვირი არ არის, რომ მივედით შედეგამდე, რომელიც არ ეწინააღმდეგება, თორემ ეს პოსტულატი უარყოფილი იქნებოდა მტკიცებით წინააღმდეგობით. ამავდროულად, ჩვენ ვხედავთ, რომ სიჩქარის დამატების კანონი ექვივალენტურია სინათლის სიჩქარის მუდმივობის პოსტულატისა.

სიჩქარის დამატების კანონის გამოყვანისას ვივარაუდეთ, რომ სხეულის სიჩქარე პარალელურია საცნობარო სისტემების ფარდობითი სიჩქარის. ეს ვარაუდი შეუძლებელი იყო, მაგრამ მაშინ ჩვენი ფორმულა ეხებოდა მხოლოდ სიჩქარის იმ კომპონენტს, რომელიც მიმართულია x ღერძის გასწვრივ და ფორმულა უნდა დაიწეროს ფორმით

ამ ფორმულების გამოყენებით ჩვენ გავაანალიზებთ ფენომენს აბერაციები(იხ. § 3). შემოვიფარგლოთ უმარტივესი შემთხვევით. დაუშვით საცნობარო სისტემაში რამდენიმე მნათობი ს უმოძრაო, მოდით, შემდგომში, საცნობარო სისტემა ს` მოძრაობს სისტემასთან შედარებით ს სისწრაფით ვ და ნება მიეცით დამკვირვებელს, რომელიც S`-ით მოძრაობს, მიიღოს სინათლის სხივები ვარსკვლავიდან ზუსტად იმ მომენტში, როდესაც ის ზუსტად მის თავზეა (სურ. 21). ამ სხივის სიჩქარის კომპონენტები სისტემაში ს ნება
u x = 0, u y = 0, u x = -c.

S` საცნობარო ჩარჩოსთვის ჩვენი ფორმულები მოცემულია
u` x = -v, u` წ = 0,
u` ზ = -გ√ (1 - ვ 2 /გ 2 )
ვიღებთ სხივის დახრილობის კუთხის ტანგენტს z` ღერძზე, თუ გავყოფთ და`X on u` z:
tan α = და`X / და`ზ = (v/c) / √(1 - v 2 /c 2)

თუ სიჩქარე ვ არ არის ძალიან დიდი, მაშინ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ჩვენთვის ცნობილი სავარაუდო ფორმულა, რომლის დახმარებითაც ვიღებთ
tg α = v/c + 1/2*v 2 /c 2 .
პირველი ტერმინი ცნობილი კლასიკური შედეგია; მეორე ტერმინი არის რელატივისტური კორექტირება.

დედამიწის ორბიტალური სიჩქარე დაახლოებით 30-ია კმ/წმ,Ისე (ვ/ გ) = 1 0 -4 . მცირე კუთხისთვის ტანგენსი უდრის თავად კუთხეს, რომელიც იზომება რადიანებში; ვინაიდან რადიანი შეიცავს მრგვალ 200000 რკალ წამს, აბერაციის კუთხისთვის ვიღებთ:
α = 20°
რელატივისტური შესწორება 20 000 000 ჯერ უფრო მცირეა და ასტრონომიული გაზომვების სიზუსტეს სცილდება. აბერაციის გამო, ვარსკვლავები ყოველწლიურად აღწერენ ცაში ელიფსებს, რომელთა ნახევრად ძირითადი ღერძი 20"-ია.

როდესაც ჩვენ ვუყურებთ მოძრავ სხეულს, ჩვენ ვხედავთ მას არა იქ, სადაც არის ამ მომენტში, არამედ იქ, სადაც ცოტა ადრე იყო, რადგან სინათლეს სხეულიდან ჩვენს თვალამდე მისვლას გარკვეული დრო სჭირდება. ფარდობითობის თეორიის თვალსაზრისით, ეს ფენომენი აბერაციის ტოლფასია და მასზე მცირდება, როდესაც გადადის საცნობარო სისტემაზე, რომელშიც მოცემული სხეული უმოძრაოა. ამ მარტივი განხილვის საფუძველზე, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ აბერაციის ფორმულა სრულიად ელემენტარული გზით, სიჩქარის დამატების რელატივისტური კანონის გამოყენების გარეშე.

მოდით, ჩვენი ვარსკვლავი მოძრაობდეს დედამიწის ზედაპირის პარალელურად მარჯვნიდან მარცხნივ (სურ. 22). როცა ის წერტილში მივა A, C წერტილში ზუსტად მის ქვემოთ მდებარე დამკვირვებელი ხედავს მას ჯერ კიდევ წერტილში IN.თუ ვარსკვლავის სიჩქარე ტოლია ვ, და დროის მონაკვეთი, რომლის განმავლობაშიც ის გადის სეგმენტს აIN, უდრის Δt, რომ

AB =Δt ,
ძვ.წ. = გΔt ,

ცოდვაα = AB/BC = v/c.

მაგრამ შემდეგ, ტრიგონომეტრიის ფორმულის მიხედვით,

ქ.ე.დ. გაითვალისწინეთ, რომ კლასიკურ კინემატიკაში ეს ორი თვალსაზრისი არ არის ეკვივალენტური.

საინტერესოა შემდეგი კითხვაც. როგორც ცნობილია, კლასიკურ კინემატიკაში სიჩქარეები ემატება პარალელოგრამის წესით. ჩვენ შევცვალეთ ეს კანონი სხვა, უფრო რთული კანონით. ნიშნავს თუ არა ეს, რომ ფარდობითობის თეორიაში სიჩქარე აღარ არის ვექტორი?

პირველ რიგში, ის ფაქტი, რომ u≠ u`+ ვ (ვექტორებს თამამი ასოებით აღვნიშნავთ), თავისთავად არ იძლევა სიჩქარის ვექტორული ბუნების უარყოფის საფუძველს. ორი მოცემული ვექტორიდან მესამე ვექტორის მიღება შესაძლებელია არა მხოლოდ მათი მიმატებით, არამედ, მაგალითად, ვექტორული გამრავლებით და საერთოდ უთვალავი ხერხებით. არსად არ გამომდინარეობს, რომ როდესაც საცნობარო სისტემა იცვლება, ვექტორები და`და ვ ზუსტად უნდა დაემატოს. მართლაც, არსებობს გამოხატვის ფორმულა და მეშვეობით და` და ვ ვექტორული გამოთვლების ოპერაციების გამოყენებით:

ამასთან დაკავშირებით, უნდა ვაღიაროთ, რომ სახელწოდება „სიჩქარეების დამატების კანონი“ სრულებით არ არის შესაფერისი; უფრო სწორია საუბარი, როგორც ამას ზოგიერთი ავტორი აკეთებს, არა დამატებაზე, არამედ სიჩქარის ტრანსფორმაციაზე საცნობარო სისტემის შეცვლისას.

მეორეც, ფარდობითობის თეორიაში შესაძლებელია აღვნიშნოთ შემთხვევები, როდესაც სიჩქარეები მაინც გროვდება ვექტორულად. მოდით, მაგალითად, სხეული მოძრაობდეს გარკვეული პერიოდის განმავლობაში Δt სისწრაფით შენ 1, შემდეგ კი - დროის იგივე პერიოდი სიჩქარით u 2. ეს რთული მოძრაობა შეიძლება შეიცვალოს მოძრაობით მუდმივი სიჩქარით u = u 1+ u 2. აი სიჩქარე u 1 და შენ 2 ვექტორების მსგავსად შეკრება, პარალელოგრამის წესის მიხედვით; ფარდობითობის თეორია აქ არანაირ ცვლილებას არ ახდენს.
ზოგადად, უნდა აღინიშნოს, რომ ფარდობითობის თეორიის „პარადოქსების“ უმეტესობა ამა თუ იმ გზით უკავშირდება საცნობარო ჩარჩოს ცვლილებას. თუ ჩვენ განვიხილავთ ფენომენებს იმავე საცნობარო ჩარჩოში, მაშინ ფარდობითობის თეორიის მიერ შემოტანილი ცვლილებები მათ შაბლონებში შორს არის ისეთი დრამატულისგან, როგორც ხშირად ფიქრობენ.

აქვე აღვნიშნოთ, რომ ფარდობითობის თეორიაში ჩვეულებრივი სამგანზომილებიანი ვექტორების ბუნებრივი განზოგადება არის ოთხგანზომილებიანი ვექტორები; როდესაც საცნობარო სისტემა იცვლება, ისინი გარდაიქმნება ლორენცის ფორმულების მიხედვით. სამი სივრცითი კომპონენტის გარდა, მათ აქვთ დროითი კომპონენტი. კერძოდ, შეიძლება განვიხილოთ ოთხგანზომილებიანი სიჩქარის ვექტორი. ამასთან, ამ ვექტორის სივრცითი „ნაწილი“ არ ემთხვევა ჩვეულებრივ სამგანზომილებიან სიჩქარეს და ზოგადად, ოთხგანზომილებიანი სიჩქარე შესამჩნევად განსხვავდება თავისი თვისებებით სამგანზომილებიანისაგან. კერძოდ, ორი ოთხგანზომილებიანი სიჩქარის ჯამი, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ იქნება სიჩქარე.

1.4. მოძრაობის ფარდობითობა

1.4.1. გადაადგილების დამატების კანონი და სიჩქარის შეკრების კანონი

ერთი და იგივე სხეულის მექანიკური მოძრაობა განსხვავებულად გამოიყურება სხვადასხვა საცნობარო სისტემებისთვის.

სიზუსტისთვის გამოვიყენებთ ორ საცნობარო სისტემას (ნახ. 1.33):

• K - ფიქსირებული მითითების ჩარჩო;
• K - მოძრავი მითითების ჩარჩო.

ბრინჯი. 1.33

სისტემა K ′ მოძრაობს K საცნობარო სისტემასთან შედარებით Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით u → .

საცნობარო სისტემაში K მატერიალური წერტილი (სხეული) მოძრაობდეს v → სიჩქარით და დროის ინტერვალში ∆t განახორციელოს მოძრაობა Δ r → . საანგარიშო ჩარჩოს K ′-ის მიმართ ამ მატერიალურ წერტილს აქვს სიჩქარე v → ′ და მითითებულ დროში ∆t მოძრაობს Δ r → →.

გადაადგილების დამატების კანონი

მატერიალური წერტილის გადაადგილებები სტაციონარული (K) და მოძრავი (K ′) საცნობარო სისტემებში (Δ r → და Δ r ′ → შესაბამისად) განსხვავდება ერთმანეთისგან და დაკავშირებულია. გადაადგილების დამატების კანონი:

Δ r → = Δ r ′ → + u → Δ t,

სადაც Δ r → არის მატერიალური წერტილის (სხეულის) მოძრაობა დროის ინტერვალზე ∆t სტაციონარული საცნობარო ჩარჩოში K; Δ r ′ → - მატერიალური წერტილის (სხეულის) მოძრაობა დროის ინტერვალზე ∆t მოძრავი საცნობარო ჩარჩოში K ′; u → არის K საორიენტაციო ჩარჩოს სიჩქარე, რომელიც მოძრაობს K საცნობარო ჩარჩოსთან შედარებით.

გადაადგილების დამატების კანონი შეესაბამება " გადაადგილების სამკუთხედი„(სურ. 1.34).

პრობლემების გადაჭრისას გადაადგილების დამატების კანონი ზოგჯერ მიზანშეწონილია ჩაწეროთ კოორდინატთა ფორმა:

Δ x = Δ x ′ + u x Δ t, Δ y = Δ y ′ + u y Δ t, )

სადაც ∆x და ∆y არის მატერიალური წერტილის (სხეულის) x და y კოორდინატების ცვლილება Δt დროის ინტერვალში K საცნობარო სისტემაში; ∆x ′ და ∆y ′ - მატერიალური წერტილის (სხეულის) შესაბამისი კოორდინატების ცვლილება ∆t დროის ინტერვალში K ′ საცნობარო სისტემაში; u x და u y არის სიჩქარის პროგნოზები u → საცნობარო სისტემა K ′, რომელიც მოძრაობს K საცნობარო სისტემასთან შედარებით, კოორდინატთა ღერძებზე.

სიჩქარის დამატების კანონი

მატერიალური წერტილის სიჩქარეები სტაციონარული (K) და მოძრავი (K ′) საცნობარო სისტემებში (v → და v → ′, შესაბამისად) ასევე განსხვავდება ერთმანეთისგან და დაკავშირებულია. სიჩქარის დამატების კანონი:

v → = v → ′ + u →,

სადაც u → არის K საცნობარო ჩარჩოს სიჩქარე, რომელიც მოძრაობს K საცნობარო ჩარჩოსთან შედარებით.

სიჩქარის დამატების კანონი შეესაბამება " სიჩქარის სამკუთხედი„(სურ. 1.35).

ბრინჯი. 1.35

პრობლემების გადაჭრისას ზოგჯერ მიზანშეწონილია ჩაწეროთ სიჩქარის დამატების კანონი პროგნოზები კოორდინატულ ღერძებზე:

v x = v ′ x + u x, v y = v ′ y + u y, )

ორი სხეულის შედარებითი სიჩქარე

დადგენისთვის შედარებითი სიჩქარეორი სხეულის მოძრაობა მოსახერხებელია შემდეგი ალგორითმის გამოყენება:

4) xOy კოორდინატთა სისტემაში v → , v → ′ და u → ვექტორების გამოსახვა;

5) ჩაწერეთ სიჩქარის შეკრების კანონი ფორმაში

v → = v → ′ + u → ან v x = v ′ x + u x, v y = v ′ y + u y; )

6) გამოხატეთ v → ′:

v → ′ = v → − u →

v ′ x = v x − u x , v ′ y = v y − u y ; )

7) იპოვეთ ფარდობითი სიჩქარის ვექტორის სიდიდე v → ' ფორმულის გამოყენებით

v ′ = v ′ x 2 + v′ y 2,

სადაც v x და v y არის სიჩქარის ვექტორის v → მატერიალური წერტილი (სხეული) საანგარიშო სისტემაში კოორდინატთა ღერძებზე; v ′ x და v ′ y - მატერიალური წერტილის (სხეულის) v → ′ სიჩქარის ვექტორის პროგნოზები საცნობარო სისტემაში K ′ კოორდინატთა ღერძებზე; u x და u y არის სიჩქარის პროგნოზები u → საცნობარო სისტემა K ′, რომელიც მოძრაობს K საცნობარო სისტემასთან შედარებით, კოორდინატთა ღერძებზე.

ორი სხეულის მოძრაობის შედარებითი სიჩქარის დასადგენად ერთი კოორდინატთა ღერძის გასწვრივ, მოსახერხებელია შემდეგი ალგორითმის გამოყენება:

1) გაარკვიეთ რომელი ორგანო ითვლება საცნობარო სისტემად; ამ სხეულის სიჩქარე აღინიშნება u → ;

2) აღვნიშნოთ მეორე სხეულის სიჩქარე v → ;

3) სხეულების ფარდობითი სიჩქარე აღინიშნება როგორც v → ′;

4) ვექტორები v → , v → ′ და u → გამოსახული Ox კოორდინატთა ღერძზე;

5) ჩაწერეთ სიჩქარის დამატების კანონი სახით:

v x = v ′ x + u x ;

6) გამოხატეთ v 'x:

v ′ x = v x − u x ;

7) იპოვეთ ფარდობითი სიჩქარის ვექტორის სიდიდე v → ფორმულის გამოყენებით

v ′ = | v ′ x | ,

სადაც v x და v y არის სიჩქარის ვექტორის v → მატერიალური წერტილი (სხეული) საანგარიშო სისტემაში კოორდინატთა ღერძებზე; v ′ x და v ′ y - მატერიალური წერტილის (სხეულის) v → ′ სიჩქარის ვექტორის პროგნოზები საცნობარო სისტემაში K ′ კოორდინატთა ღერძებზე; u x და u y არის სიჩქარის პროგნოზები u → საცნობარო სისტემა K ′, რომელიც მოძრაობს K საცნობარო სისტემასთან შედარებით, კოორდინატთა ღერძებზე.

მაგალითი 26. პირველი სხეული ოქსი ღერძის დადებითი მიმართულებით მოძრაობს 6,0 მ/წმ სიჩქარით, ხოლო მეორე სხეული თავისი უარყოფითი მიმართულებით 8,0 მ/წმ სიჩქარით. დაადგინეთ პირველი სხეულის სიჩქარის მოდული მეორე სხეულთან დაკავშირებულ საცნობარო ჩარჩოში.

გამოსავალი.

მოძრავი მითითების ჩარჩო არის მეორე სხეული; მოძრავი მიმართვის ჩარჩოს u → სიჩქარის პროექცია Ox ღერძზე უდრის:

ვინაიდან მეორე სხეულის მოძრაობა ხდება მითითებული ღერძის უარყოფითი მიმართულებით.

პირველ სხეულს აქვს სიჩქარე v → ფიქსირებულ ათვლის სისტემასთან მიმართებაში; მისი პროექცია Ox ღერძზე უდრის:

ვინაიდან პირველი სხეულის მოძრაობა ხდება მითითებული ღერძის დადებითი მიმართულებით.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად მიზანშეწონილია დაწეროთ კოორდინატთა ღერძზე პროექციაში სიჩქარის დამატების კანონი, ე.ი. შემდეგი ფორმით:

v x = v ′ x + u x,

სადაც v ′ x არის პირველი სხეულის სიჩქარის პროექცია მოძრავი ათვლის ჩარჩოსთან (მეორე სხეული).

რაოდენობა v ′ x არის სასურველი; მისი ღირებულება განისაზღვრება ფორმულით

v ′ x = v x − u x .

მოდით გავაკეთოთ გაანგარიშება:

v ′ x = 6,0 − (− 8,0) = 14 მ/წმ.

მაგალითი 29. სპორტსმენები 46 მ სიგრძის ჯაჭვით დარბიან ერთმანეთს იმავე სიჩქარით. მწვრთნელი მათკენ გარბის სპორტსმენების სიჩქარეზე სამჯერ ნაკლები სიჩქარით. თითოეული სპორტსმენი, რომელიც დაეწია მწვრთნელს, ბრუნდება და იმავე სიჩქარით გარბის უკან. რა იქნება ჯაჭვის სიგრძე, როცა ყველა სპორტსმენი საპირისპირო მიმართულებით დარბის?

• გამოსავალი.

  მოდით, სპორტსმენების და მწვრთნელის მოძრაობა მოხდეს Ox ღერძის გასწვრივ, რომლის დასაწყისი ემთხვევა ბოლო სპორტსმენის პოზიციას. მაშინ დედამიწის მიმართ მოძრაობის განტოლებებს აქვს შემდეგი ფორმა:

• ბოლო სპორტსმენი -

  x 1 (t) = vt;

• მწვრთნელი -

  x 2 (t) = L − 1 3 v t;

  პირველი სპორტსმენი -

x 3 (t) = L − vt,

მოდი ბოლო სპორტსმენის მოძრაობის განტოლება მოძრავი საცნობარო სისტემის (მწვრთნელი) მიმართ ავღნიშნოთ x ′(t) და ვიპოვოთ იგი კოორდინატების სახით დაწერილი გადაადგილების დამატების კანონიდან:

x (t) = x ′(t) + X (t), ე.ი. x ′(t) = x(t) - X(t),

X (t) = x 2 (t) = L − 1 3 v t -

ტრენერის მოძრაობის განტოლება (მიმართვის მოძრავი ჩარჩო) დედამიწასთან მიმართებაში;

x (t) = x 1 (t) = vt;

x (t), X (t) გამონათქვამების ჩანაცვლება წერილობით განტოლებაში იძლევა:

x ′ (t) = x 1 (t) − x 2 (t) = v t − (L − 1 3 v t) = 4 3 v t − L .

ეს განტოლება წარმოადგენს ბოლო სპორტსმენის მოძრაობის განტოლებას მწვრთნელთან მიმართებაში. ბოლო სპორტსმენისა და მწვრთნელის შეხვედრის მომენტში (t = t 0), მათი ფარდობითი კოორდინატი x ′(t 0) ხდება ნული:

4 3 v t 0 − L = 0.

განტოლება საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ დროში მითითებული წერტილი:

დროის ამ მომენტში ყველა სპორტსმენი იწყებს საპირისპირო მიმართულებით სირბილს. სპორტსმენთა ჯაჭვის სიგრძე განისაზღვრება პირველი x 3 (t 0) და ბოლო x 1 (t 0) სპორტსმენის კოორდინატების სხვაობით მითითებულ დროს:

l = | x 3 (t 0) − x 1 (t 0) | ,

l = | (L − v t 0) − v t 0 | = | L − 2 v t 0 | = | L − 2 v 3 L 4 v | = 0,5 ლ = 0,5 ⋅ 46 = 23 მ.

კინემატიკა - მარტივია!

კანონის განცხადება:

როგორც ბუხოვცევის სახელმძღვანელოში მე-10 კლასისთვის:

თუ სხეულიმოძრაობს საცნობარო სისტემასთან შედარებით K 1სისწრაფით V 1,
და თავად საცნობარო სისტემა K 1მოძრაობს სხვა მითითების ჩარჩოსთან შედარებით K 2სისწრაფით ვ,
შემდეგ სიჩქარე სხეული (V 2) მეორე საცნობარო ჩარჩოსთან შედარებით K 2
ვექტორების გეომეტრიული ჯამის ტოლია V 1და ვ.

მოდით გავამარტივოთ ფორმულირება მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე:

სხეულის სიჩქარე ფიქსირებულ საცნობარო სისტემასთან მიმართებაში უდრის სხეულის სიჩქარის ვექტორულ ჯამს მოძრავ საცნობარო სისტემასთან და მოძრავი საცნობარო სისტემის სიჩქარე სტაციონარული საცნობარო სისტემასთან მიმართებაში.

მეორე ფორმულირება უფრო ადვილი დასამახსოვრებელია, თქვენი გადასაწყვეტია რომელი გამოიყენოთ!

სადაც ყოველთვის
K 2- ფიქსირებული მითითების ჩარჩო
V 2- სიჩქარე სხეულიფიქსირებული მითითების ჩარჩოსთან შედარებით ( K 2)

K 1- მოძრავი საცნობარო სისტემა
V 1- სიჩქარე სხეულიმოძრავი მითითების ჩარჩოსთან შედარებით ( K 1)

ვ- მოძრავი საცნობარო ჩარჩოს სიჩქარე ( K 1) ფიქსირებული მითითების ჩარჩოსთან შედარებით ( K 2)

სიჩქარის შეკრების კანონის ამოცანის ამოხსნის ალგორითმი

1. განსაზღვრეთ სხეული- ჩვეულებრივ, ეს არის სხეული, რომლის სიჩქარეც იკითხება პრობლემაში.
2. აირჩიეთ სტაციონარული საცნობარო სისტემა (გზა, სანაპირო) და მოძრავი საცნობარო სისტემა (ჩვეულებრივ მეორე მოძრავი სხეული).

P.S. პრობლემის პირობებში, სხეულების სიჩქარე ჩვეულებრივ მოცემულია ფიქსირებულ საცნობარო სისტემასთან (მაგალითად, გზა ან სანაპირო)

3. შეიყვანეთ სიჩქარის აღნიშვნები ( V 1, V 2, ვ).
4. გააკეთეთ ნახატი, სადაც ნაჩვენებია კოორდინატთა ღერძი ოჰდა სიჩქარის ვექტორები.
უკეთესია თუ ოჰმიმართულებით დაემთხვევა არჩეული სიჩქარის ვექტორს სხეული.
5. დაწერეთ ვექტორული სახით სიჩქარის დამატების კანონის ფორმულა.
6. გამოთქვით საჭირო სიჩქარე ფორმულიდან ვექტორული სახით.
7. გამოთქვით საჭირო სიჩქარე პროგნოზებში.
8. ნახატიდან განსაზღვრეთ პროექციის ნიშნები.
9. გაანგარიშება პროგნოზებში.
10. თქვენს პასუხში არ დაგავიწყდეთ პროექციიდან მოდულზე გადასვლა.

სიჩქარის შეკრების კანონის უმარტივესი ამოცანის ამოხსნის მაგალითი

დავალება

ორი მანქანა ერთნაირად მოძრაობს გზატკეცილზე ერთმანეთისკენ. მათი სიჩქარის მოდულებია 10 მ/წმ და 20 მ/წმ.
დაადგინეთ პირველი მანქანის სიჩქარე მეორესთან შედარებით.

გამოსავალი:

ისევ!თუ ყურადღებით წაიკითხავთ ფორმულის განმარტებებს, მაშინ ნებისმიერი პრობლემის გადაწყვეტა წავა "ავტომატურად"!

1. პრობლემა კითხულობს პირველი მანქანის სიჩქარეს - რაც ნიშნავს სხეული- პირველი მანქანა.
2. პრობლემის პირობების მიხედვით აირჩიეთ:
K 1- მოძრავი საცნობარო სისტემა დაკავშირებულია მეორე მანქანასთან
K 2- ფიქსირებული საცნობარო ჩარჩო უკავშირდება გზას

3. შეიყვანეთ სიჩქარის აღნიშვნები:
V 1- სიჩქარე სხეული(პირველი მანქანა) მოძრავი საცნობარო ჩარჩოს მიმართ (მეორე მანქანა) - იპოვე!
V 2- სიჩქარე სხეული(პირველი მანქანა) სტაციონარული საცნობარო სისტემის მიმართ (გზა) - მოცემული 10მ/წმ
ვ- მოძრავი საცნობარო სისტემის (მეორე მანქანის) სიჩქარე სტაციონარულ საცნობარო სისტემასთან (გზა) - 20 მოცემულია ორი განტოლება: მ/წმ.

ახლა გასაგებია, რომ პრობლემაში უნდა განვსაზღვროთ V 1.
4. ვაკეთებთ ნახატს და ვწერთ ფორმულას:

ყველა, ყველა ისვენებს!)))

P.S.თუ მოძრაობა ხდება არა სწორ ხაზზე, არამედ სიბრტყეში, მაშინ ვექტორული ფორმულის პროექციაში გადაყვანისას სხვა განტოლება ემატება პროგნოზებში OY ღერძთან მიმართებაში, მაშინ ჩვენ ვხსნით ორი განტოლების სისტემას:
V 2x = V 1x + V x
V 2y = V 1y + V y

ჩვენ ვთქვით, რომ სინათლის სიჩქარე არის სიგნალის გავრცელების მაქსიმალური შესაძლო სიჩქარე. მაგრამ რა მოხდება, თუ სინათლე გამოიყოფა მოძრავი წყაროს მიერ მისი სიჩქარის მიმართულებით? ვ? სიჩქარის დამატების კანონის მიხედვით, გალილეოს გარდაქმნების მიხედვით, სინათლის სიჩქარე ტოლი უნდა იყოს c + V. მაგრამ ფარდობითობის თეორიაში ეს შეუძლებელია. ვნახოთ, სიჩქარის მიმატების რა კანონი მოჰყვება ლორენცის გარდაქმნებს. ამისათვის ჩვენ ვწერთ მათ უსასრულოდ მცირე რაოდენობით:

სიჩქარის განსაზღვრით, მისი კომპონენტები საცნობარო ჩარჩოში კგვხვდება როგორც შესაბამისი მოძრაობების თანაფარდობა დროის ინტერვალებთან:

მოძრავი საცნობარო ჩარჩოში ობიექტის სიჩქარე ანალოგიურად განისაზღვრება K", მხოლოდ სივრცითი დისტანციები და დროის ინტერვალები უნდა იქნას მიღებული ამ სისტემის მიმართ:

ამიტომ, გამოხატვის გაყოფა dxგამოხატვისადმი dt, ვიღებთ:

მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა dt", ჩვენ ვპოულობთ კავშირს x- სიჩქარის კომპონენტი სხვადასხვა საცნობარო სისტემაში, რომელიც განსხვავდება სიჩქარის დამატების გალილეის წესისგან:

გარდა ამისა, კლასიკური ფიზიკისგან განსხვავებით, იცვლება მოძრაობის მიმართულების ორთოგონალური სიჩქარის კომპონენტებიც. მსგავსი გამოთვლები სხვა სიჩქარის კომპონენტებისთვის იძლევა:

ამრიგად, მიიღება სიჩქარის ტრანსფორმაციის ფორმულები რელატივისტურ მექანიკაში. ინვერსიული ტრანსფორმაციის ფორმულები მიიღება პრაიმირებული მნიშვნელობების ჩანაცვლებით და პირიქით და ჩანაცვლებით ვ on – ვ.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვუპასუხოთ ამ განყოფილების დასაწყისში დასმულ კითხვას. დაუშვით წერტილში 0" მოძრავი საცნობარო ჩარჩო K"დამონტაჟებულია ლაზერი, რომელიც აგზავნის სინათლის პულსს დადებითი ღერძის მიმართულებით 0"x". რა იქნება იმპულსის სიჩქარე საცნობარო ჩარჩოში სტაციონარული დამკვირვებლისთვის TO? ამ შემთხვევაში, სინათლის პულსის სიჩქარე საცნობარო ჩარჩოში TO"აქვს კომპონენტები

სიჩქარის რელატივისტური დამატების კანონის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ იმპულსის სიჩქარის კომპონენტებს სტაციონარული სისტემის მიმართ TO :

ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ სინათლის პულსის სიჩქარე სტაციონარული საცნობარო ჩარჩოში, რომლის მიმართაც სინათლის წყარო მოძრაობს, ტოლია

იგივე შედეგი მიიღება პულსის გავრცელების ნებისმიერი მიმართულებით. ეს ბუნებრივია, ვინაიდან სინათლის სიჩქარის დამოუკიდებლობა წყაროსა და დამკვირვებლის მოძრაობისგან თანდაყოლილია ფარდობითობის თეორიის ერთ-ერთ პოსტულატში. სიჩქარის დამატების რელატივისტური კანონი ამ პოსტულატის შედეგია.

მართლაც, როცა მოძრავი საცნობარო ჩარჩოს მოძრაობის სიჩქარე ვ<<გ, ლორენცის გარდაქმნები გადაიქცევა გალილეურ გარდაქმნებში, ვიღებთ სიჩქარეთა დამატების ჩვეულებრივ კანონს

ამ შემთხვევაში, დროის მსვლელობა და მმართველის სიგრძე ერთნაირი იქნება ორივე საცნობარო სისტემაში. ამრიგად, კლასიკური მექანიკის კანონები მოქმედებს, თუ ობიექტების სიჩქარე გაცილებით ნაკლებია, ვიდრე სინათლის სიჩქარე. ფარდობითობის თეორიამ არ წაშალა კლასიკური ფიზიკის მიღწევები, დაადგინა მათი მოქმედების ჩარჩო.

მაგალითი.სხეული სისწრაფით ვ 0 პერპენდიკულარულად ეჯახება მისკენ მიმავალ კედელს სიჩქარით ვ. სიჩქარის რელატივისტური დამატების ფორმულების გამოყენებით ვპოულობთ სიჩქარეს ვ 1 სხეული მოხსნის შემდეგ. ზემოქმედება აბსოლუტურად ელასტიურია, კედლის მასა სხეულის მასაზე ბევრად მეტია.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულები, რომლებიც გამოხატავს სიჩქარის შეკრების რელატივისტურ კანონს.

მივმართოთ ღერძი Xსხეულის საწყისი სიჩქარის გასწვრივ ვ 0 და დააკავშირეთ საცნობარო სისტემა K"კედლით. მერე v x= ვ 0 და ვ= –ვ. კედელთან დაკავშირებული საცნობარო ჩარჩოში, საწყისი სიჩქარე v" 0 სხეული ტოლია

ახლა დავუბრუნდეთ ლაბორატორიულ საცნობარო ჩარჩოს TO. ჩანაცვლება სიჩქარის დამატების რელატივისტურ კანონში v" 1 ნაცვლად v"xდა კვლავ განიხილავს V = –v, გარდაქმნების შემდეგ ვხვდებით: