ჩამოაყალიბეთ ძალაუფლების ძალაუფლებაზე აყვანის წესი. ხარისხი და მისი თვისებები
გაკვეთილის თემა: პროდუქტის სიმძლავრემდე ამაღლება, კოეფიციენტი და სიმძლავრე
გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი ცოდნის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის შესახებ
გენერირებული შედეგები:
საგანი. ხარისხების თვისებების ბუნებრივი მაჩვენებლებით გამოყენების უნარ-ჩვევების გაძლიერება
პირადი. განავითარეთ თქვენი მოქმედებების დაგეგმვის უნარი საგანმანათლებლო დავალების შესაბამისად
მეტასუბიექტი. განავითარეთ ალგებრული რეცეპტების არსის გაგება და შემოთავაზებული ალგორითმის შესაბამისად მოქმედების უნარი
მოსალოდნელი შედეგები: მოსწავლეები ისწავლიან ბუნებრივი მაჩვენებლების მქონე მაჩვენებლების თვისებების გამოყენებას გამოთვლების მნიშვნელობის გამოსათვლელად და მაჩვენებლების შემცველი გამონათქვამების გადაქცევისთვის.
აღჭურვილობა: ბარათები, მულტიმედიური პროექტორი, სიგნალის ბარათები რეფლექსიისთვის.
გაკვეთილის ორგანიზაციული სტრუქტურა:
1 . ორგანიზების დრო.
გამარჯობა, ძვირფასო ბიჭებო! ძალიან მიხარია შენი ნახვა. დავიწყოთ მათემატიკის გაკვეთილი
რა სირთულეები შეგხვდათ დავალების შესრულებისას?
ანარეკლი.
თითოეული მოსწავლის წინ არის სამი ფერის ჭიქები: წითელი, მწვანე, ლურჯი.
მომიყევი შენი განწყობის შესახებ ფერადი წრეების გამოყენებით (წითელი– მხიარული, დარწმუნებული ვარ, რომ გაკვეთილზე ბევრ ახალს ვისწავლი, დარწმუნებული ვარ ჩემს ცოდნაში.
მწვანე -სიმშვიდე; დარწმუნებული ვარ ჩემს ცოდნაში.
ლურჯი- საგანგაშო; საკუთარ თავში დარწმუნებული არ ვარ).
ცოტას გაგამხიარულებ პუასონის სიტყვებით: „ცხოვრებას ორი რამ ამშვენებს: მათემატიკის კეთება და მისი სწავლება“.
მოდით დაამშვენებს ჩვენს ცხოვრებას!
2. გაკვეთილის თემისა და მიზნის განცხადება.
დღეს განვაგრძობთ თემის შესწავლას: „რაოდენობისა და ხარისხის ნამრავლის გაძლიერება“.
ჩვენ გავაერთიანებთ ყველა ნასწავლ ქმედებას ხარისხებით,
ჩვენ ვისწავლით მსჯელობას, ლოგიკურად აზროვნებას და ჩვენი აზრის დამტკიცებას.
3. ბლიც გამოკითხვა თემის წესების მიხედვით.
როგორ გავამრავლოთ სიმძლავრეები ერთიდაიგივე ფუძეებით? მიეცით მაგალითები.
როგორ გავყოთ გრადუსები ერთი და იგივე ფუძეებით?
რა სიძლიერეა რიცხვი a, რომელიც არ უდრის 0-ს, ნულოვანი მაჩვენებლით?
როგორ გავზარდოთ პროდუქტი სიმძლავრემდე?
როგორ ავიმაღლოთ ხარისხი ძალაუფლებამდე?
4. ზეპირი დათვლა.
ვის ეკუთვნის ეს სიტყვები?
"ყველა მეცნიერებას შორის, რომელიც გზას უხსნის ადამიანს ბუნების კანონების გასაგებად, ყველაზე ძლიერი, უდიდესი მეცნიერებაა მათემატიკა."
/სოფია ვასილიევნა კოვალევსკაია/
პირველი ქალი მათემატიკოსია.
თქვენ შეისწავლით გონებრივი გამოთვლის ამოცანების შესრულებით.
K – რა არის კვადრატის გვერდი, თუ მისი ფართობია 49 სმ 2. (7 სმ)
O – რა რიცხვის კვადრატი უდრის? ()
B – x 3 x 4 (x 7)
A – x 6 : x 2 (x 4)
L – (x 3) 3 (x 9)
E - 
(მ 3
)
IN - 
(მ 8
)
თან - 
(მ 10
)
K – (- 2) 3 (-8)
A - - 2 2 (-4)
I - 2 0 (1)
5. ნასწავლის კონსოლიდაცია.
ჩვენ გავიმეორეთ პროდუქტის ძალაზე აყვანის წესები და ძალაუფლება ძალამდე.
ახლა მოდით გავამახვილოთ ყურადღება პრაქტიკულ ამოცანებზე.
რამდენიმე ადამიანი იზრუნებსკვლევა. (სლაიდი)
მუშაობა წყვილებში.
1) დაამტკიცეთ, რომ საპირისპირო რიცხვების კვადრატები ტოლია.
2) დაამტკიცეთ, რომ საპირისპირო რიცხვების კუბურები საპირისპიროა.
3) როგორ შეიცვლება კვადრატის ფართობი, თუ მისი მხარე გაორმაგებულია; 3 - ჯერ; 10 ჯერ; n ჯერ?
4) როგორ შეიცვლება კუბის მოცულობა, თუ მისი კიდე გაორმაგებულია; 3 - ჯერ; 10 ჯერ; n ჯერ?
6. რეფლექსია: მაჩვენე შენი განწყობა.
7. ფიზიკური ვარჯიში: „ვეთანხმები - არ ვეთანხმები“
თავი დაუქნიე მეთანხმები თუ არა.
1) (y 2) 3 = y 5 (არა)
2) (-3) 3 = -27 (დიახ)
3) (-x) 2 = -x 2 (არა)
4) y = 1.3x ფუნქციის გრაფიკი გადის საწყისზე. (დიახ)
8.
3 · () 2 – 0,5 2
ა) -1; ბ) - 1 
; 1-ში 
; დ) 1 
2) გაამარტივე გამოთქმა: 
ა) მ 10; ბ)მ 4; გ) მ 2; დ) მ 8.
3) გამოთვალეთ: 
ა) 3; ბ) 9; გ) :დ)
4) რომელი გამოთქმა უნდა შეიცვალოს (*)-ის ნაცვლად იდენტურობის მისაღებად:
X 8 : (*) = x 4
ა) x 4; ბ) x 2; გ) x 8; დ) x 12
სლაიდ ტესტის შემოწმება:
9. ვითამაშოთ "იპოვე შეცდომა!"
1) 15 : a 3 = a 5
2) –z · z 5 · ზ 0 = - ზ 6 - მართალია
3) 
=
4)(y 4 y) 2 = y 10 - მართალია
ჩაწერეთ არასწორი ამოცანები და სწორად ამოიღეთ ისინი.
10. გაკვეთილის შეჯამება.
რა ისწავლეთ გაკვეთილზე?
11. დ/ზ
No. 458, 457 (სლაიდი)
მოხსენებები ს.ვ. კოვალევსკაია.
12. რეფლექსია.
მაჩვენე რას გრძნობ გაკვეთილიდან გასვლისას?
სლაიდი: წარმატებებს გისურვებთ!
FI:დამოუკიდებელი მუშაობა. (ტესტი)
1) იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
3· () 2 – 0,5 2
ა) -1; ბ) - 1 ; 1-ში ; დ) 1
2) გაამარტივე გამოთქმა:
ა) მ 10; ბ)მ 4; გ) მ 2; დ) მ 8.
3) გამოთვალეთ:
ა) 3; ბ) 9; გ) :დ)
4) რომელი გამოთქმა უნდა შეიცვალოს (*)-ის ნაცვლად იდენტურობის მისაღებად:
x 8 : (*) = x 4
ა) x 4; ბ) x 2; გ) x 8; დ) x 12
შეფასება:
დამოუკიდებელი მუშაობა. (ტესტი)
1) იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
3· () 2 – 0,5 2
ა) -1; ბ) - 1 ; 1-ში ; დ) 1
2) გაამარტივე გამოთქმა:
ჩვენ გავარკვიეთ, რა არის სინამდვილეში რიცხვის ძალა. ახლა ჩვენ უნდა გავიგოთ, როგორ გამოვთვალოთ ის სწორად, ე.ი. რიცხვების ძალამდე აყვანა. ამ მასალაში გავაანალიზებთ გრადუსების გამოთვლის ძირითად წესებს მთელი რიცხვის, ბუნებრივი, წილადი, რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლების შემთხვევაში. ყველა განმარტება ილუსტრირებული იქნება მაგალითებით.
ექსპონენტაციის კონცეფცია
დავიწყოთ ძირითადი განმარტებების ჩამოყალიბებით.
განმარტება 1
ექსპონენტაცია- ეს არის გარკვეული რიცხვის სიმძლავრის მნიშვნელობის გაანგარიშება.
ანუ სიტყვები „ძალაუფლების ღირებულების გამოთვლა“ და „ძალაუფლებამდე ამაღლება“ ერთსა და იმავეს ნიშნავს. ასე რომ, თუ პრობლემა ამბობს: "აწიეთ რიცხვი 0, 5 მეხუთე ხარისხამდე", ეს უნდა იქნას გაგებული, როგორც "გამოთვალეთ სიმძლავრის მნიშვნელობა (0, 5) 5.
ახლა წარმოგიდგენთ ძირითად წესებს, რომლებიც უნდა დაიცვან ასეთი გამოთვლების გაკეთებისას.
გავიხსენოთ, რა არის რიცხვი ბუნებრივი მაჩვენებლით. a ფუძის მქონე სიმძლავრისთვის და n მაჩვენებლით, ეს იქნება n-ე რაოდენობის ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ეს შეიძლება დაიწეროს ასე:
ხარისხის მნიშვნელობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა შეასრულოთ გამრავლების მოქმედება, ანუ გაამრავლოთ ხარისხის საფუძვლები მითითებულ რაოდენობაზე. ხარისხის ცნება ბუნებრივი მაჩვენებლით ემყარება სწრაფად გამრავლების უნარს. მოვიყვანოთ მაგალითები.
მაგალითი 1
მდგომარეობა: აწევა - 2 სიმძლავრემდე 4.
გამოსავალი
ზემოთ მოცემული განმარტების გამოყენებით ვწერთ: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . შემდეგი, ჩვენ უბრალოდ უნდა მივყვეთ ამ ნაბიჯებს და მივიღოთ 16.
ავიღოთ უფრო რთული მაგალითი.
მაგალითი 2
გამოთვალეთ მნიშვნელობა 3 2 7 2
გამოსავალი
ეს ჩანაწერი შეიძლება გადაიწეროს როგორც 3 2 7 · 3 2 7 . ადრე განვიხილეთ, თუ როგორ უნდა გავამრავლოთ პირობითში აღნიშნული შერეული რიცხვები.
მოდით შევასრულოთ ეს ნაბიჯები და მივიღოთ პასუხი: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
თუ პრობლემა მიუთითებს ირაციონალური რიცხვების ბუნებრივ ხარისხზე აყვანის აუცილებლობაზე, ჩვენ დაგვჭირდება ჯერ მათი ფუძეების დამრგვალება ციფრამდე, რომელიც მოგვცემს საჭირო სიზუსტის პასუხის მიღების საშუალებას. მოდით შევხედოთ მაგალითს.
მაგალითი 3
შეასრულეთ π-ის კვადრატი.
გამოსავალი
ჯერ დავამრგვალოთ იგი მეასედებად. შემდეგ π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. თუ π ≈ 3. 14159, მაშინ მივიღებთ უფრო ზუსტ შედეგს: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
გაითვალისწინეთ, რომ ირაციონალური რიცხვების სიმძლავრის გამოთვლის აუცილებლობა პრაქტიკაში შედარებით იშვიათად ჩნდება. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ პასუხი, როგორც თავად ძალა (ln 6) 3, ან გადავიტანოთ, თუ ეს შესაძლებელია: 5 7 = 125 5 .
ცალკე უნდა მიეთითოს რა არის რიცხვის პირველი ხარისხში. აქ შეგიძლიათ უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ პირველ ხარისხზე ამაღლებული ნებისმიერი რიცხვი თავისთავად დარჩება:
ეს ირკვევა ჩანაწერიდან 
.
ეს არ არის დამოკიდებული ხარისხზე.
მაგალითი 4
ასე რომ, (− 9) 1 = − 9 და 7 3 ამაღლებული პირველ ხარისხზე დარჩება 7 3-ის ტოლი.
მოხერხებულობისთვის განვიხილავთ სამ შემთხვევას ცალ-ცალკე: თუ მაჩვენებელი დადებითი მთელი რიცხვია, თუ არის ნული და თუ არის უარყოფითი მთელი რიცხვი.
პირველ შემთხვევაში, ეს იგივეა, რაც ბუნებრივ ხარისხზე აწევა: ბოლოს და ბოლოს, დადებითი მთელი რიცხვები მიეკუთვნება ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს. ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ იმაზე, თუ როგორ უნდა ვიმუშაოთ ასეთ ხარისხებთან.
ახლა ვნახოთ, როგორ სწორად გავზარდოთ ნულოვანი სიმძლავრე. ნულის გარდა სხვა ბაზისთვის, ეს გაანგარიშება ყოველთვის გამოსცემს 1-ს. ჩვენ ადრე ავუხსენით, რომ a-ს 0-ე ხარისხი შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის, რომელიც არ არის 0-ის ტოლი, და a 0 = 1.
მაგალითი 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - არ არის განსაზღვრული.
ჩვენ დაგვრჩენია მხოლოდ ხარისხის შემთხვევა მთელი რიცხვის უარყოფითი მაჩვენებლით. ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ, რომ ასეთი გრადუსები შეიძლება დაიწეროს წილადად 1 a z, სადაც a არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი. ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ წილადის მნიშვნელი სხვა არაფერია, თუ არა ჩვეულებრივი სიმძლავრე დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით და უკვე ვისწავლეთ მისი გამოთვლა. მოდით მივცეთ დავალებების მაგალითები.
მაგალითი 6
აწიეთ 2 ძალაზე - 3.
გამოსავალი
ზემოთ მოცემული განმარტების გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ: 2 - 3 = 1 2 3
გამოვთვალოთ ამ წილადის მნიშვნელი და მივიღოთ 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.
მაშინ პასუხია: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
მაგალითი 7
აწიეთ 1.43 -2 სიმძლავრემდე.
გამოსავალი
მოდით გადავაფორმოთ: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2
გამოვთვლით კვადრატს მნიშვნელში: 1,43·1,43. ათწილადები შეიძლება გამრავლდეს ამ გზით: 
შედეგად მივიღეთ (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. საკმარისია ეს შედეგი ჩვეულებრივი წილადის სახით დავწეროთ, რისთვისაც ის 10 ათასზე უნდა გავამრავლოთ (იხილეთ მასალა წილადების გარდაქმნის შესახებ).
პასუხი: (1, 43) - 2 = 10000 20449
განსაკუთრებული შემთხვევაა რიცხვის აწევა მინუს პირველ ხარისხზე. ამ ხარისხის მნიშვნელობა უდრის ფუძის თავდაპირველი მნიშვნელობის ორმხრივს: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.
მაგალითი 8
მაგალითი: 3 − 1 = 1/3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
როგორ გავზარდოთ რიცხვი წილადის ხარისხამდე
ასეთი ოპერაციის შესასრულებლად უნდა გვახსოვდეს ხარისხის ძირითადი განმარტება წილადის მაჩვენებლით: a m n = a m n ნებისმიერი დადებითი a, მთელი რიცხვი m და ბუნებრივი n.
განმარტება 2
ამრიგად, წილადური სიმძლავრის გამოთვლა უნდა განხორციელდეს ორ ეტაპად: აწევა მთელ რიცხვამდე და იპოვნეთ n-ე ხარისხის ფესვი.
გვაქვს ტოლობა a m n = a m n , რომელიც, ფესვების თვისებების გათვალისწინებით, ჩვეულებრივ გამოიყენება ამოცანების ამოსახსნელად m n = a n m სახით. ეს ნიშნავს, რომ თუ რიცხვს ავზრდით წილად ხარისხად m/n, მაშინ ჯერ ავიღებთ a-ს n-ე ფესვს, შემდეგ მივიღებთ შედეგს ხარისხამდე, რომელსაც აქვს მთელი რიცხვი მაჩვენებლით.
ილუსტრირებას მოდი მაგალითით.
მაგალითი 9
გამოთვალეთ 8 - 2 3 .
გამოსავალი
მეთოდი 1. ძირითადი განმარტების მიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ეს: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
ახლა მოდით გამოვთვალოთ ხარისხი ფესვის ქვეშ და გამოვყოთ მესამე ფესვი შედეგიდან: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
მეთოდი 2. ძირითადი ტოლობის გარდაქმნა: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
ამის შემდეგ გამოვყავით ფესვი 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 და კვადრატში გამოვყავით შედეგი: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
ჩვენ ვხედავთ, რომ გადაწყვეტილებები იდენტურია. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის, როგორც გსურთ.
არის შემთხვევები, როცა ხარისხს აქვს შერეული რიცხვის ან ათობითი წილადის სახით გამოხატული ინდიკატორი. გამოთვლების გასამარტივებლად, უმჯობესია შეცვალოთ იგი ჩვეულებრივი წილადით და გამოვთვალოთ როგორც ზემოთ იყო მითითებული.
მაგალითი 10
აწიეთ 44, 89 2, 5-ის ხარისხზე.
გამოსავალი
გადავიყვანოთ ინდიკატორის მნიშვნელობა ჩვეულებრივ წილადად: 44, 89 2, 5 = 44, 89 5 2.
ახლა ჩვენ ვასრულებთ ზემოთ მითითებულ ყველა მოქმედებას თანმიმდევრობით: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 50 = 251 = 1305 13 501, 25107
პასუხი: 13 501, 25107.
თუ წილადი მაჩვენებლის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს დიდ რიცხვებს, მაშინ ასეთი მაჩვენებლების რაციონალური მაჩვენებლებით გამოთვლა საკმაოდ რთული სამუშაოა. ეს ჩვეულებრივ მოითხოვს კომპიუტერულ ტექნოლოგიას.
მოდით ცალ-ცალკე ვისაუბროთ სიმძლავრეებზე ნულოვანი ფუძით და წილადის მაჩვენებლით. 0 m n ფორმის გამოხატულებას შეიძლება მივცეთ შემდეგი მნიშვნელობა: თუ m n > 0, მაშინ 0 m n = 0 m n = 0; თუ მ ნ< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
როგორ ავიყვანოთ რიცხვი ირაციონალურ ძალამდე
სიმძლავრის მნიშვნელობის გამოთვლის აუცილებლობა, რომლის მაჩვენებელია ირაციონალური რიცხვი, არც ისე ხშირად ჩნდება. პრაქტიკაში, ამოცანა ჩვეულებრივ შემოიფარგლება მიახლოებითი მნიშვნელობის გამოთვლით (ათწილადების გარკვეულ რაოდენობამდე). ეს ჩვეულებრივ გამოითვლება კომპიუტერზე ასეთი გამოთვლების სირთულის გამო, ამიტომ ჩვენ ამაზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, მხოლოდ მთავარ დებულებებს მივუთითებთ.
თუ უნდა გამოვთვალოთ a სიმდიდრის მნიშვნელობა a ირაციონალური მაჩვენებლით, მაშინ ავიღებთ მაჩვენებლის ათობითი მიახლოებას და ვითვლით მისგან. შედეგი იქნება სავარაუდო პასუხი. რაც უფრო ზუსტია ათობითი მიახლოება, მით უფრო ზუსტია პასუხი. მაგალითით ვაჩვენოთ:
მაგალითი 11
გამოთვალეთ 2-ის მიახლოება 1,174367 ხარისხზე....
გამოსავალი
მოდით შემოვიფარგლოთ ათობითი მიახლოებით a n = 1, 17. მოდით, გამოთვლები განვახორციელოთ ამ რიცხვის გამოყენებით: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. თუ ავიღებთ, მაგალითად, მიახლოებას a n = 1, 1743, მაშინ პასუხი ცოტა უფრო ზუსტი იქნება: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
პირველადი მიზანი
გააცნოს მოსწავლეებს ხარისხების თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლებით და ასწავლოს, როგორ შეასრულონ მოქმედებები გრადუსით.
თემა "ხარისხი და მისი თვისებები"მოიცავს სამ კითხვას:
- ხარისხის განსაზღვრა ბუნებრივი მაჩვენებლით.
- ძალაუფლების გამრავლება და გაყოფა.
- პროდუქტისა და ხარისხის ექსპონენტაცია.
საკონტროლო კითხვები
- ჩამოაყალიბეთ ხარისხის განმარტება 1-ზე მეტი ბუნებრივი მაჩვენებლით. მოიყვანეთ მაგალითი.
- ჩამოაყალიბეთ ხარისხის განმარტება მაჩვენებლით 1. მოიყვანეთ მაგალითი.
- როგორია მოქმედებების თანმიმდევრობა ძალაუფლების შემცველი გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლისას?
- ჩამოაყალიბეთ ხარისხის ძირითადი თვისება. მიეცი მაგალითი.
- ჩამოაყალიბეთ ძალაუფლების გამრავლების წესი იმავე ფუძეებით. მიეცი მაგალითი.
- ჩამოაყალიბეთ ძალაუფლების გაყოფის წესი ერთი და იგივე საფუძვლებით. მიეცი მაგალითი.
- ჩამოაყალიბეთ პროდუქტის ექსპონენტაციის წესი. მიეცი მაგალითი. დაამტკიცეთ იდენტურობა (ab) n = a n b n .
- ჩამოაყალიბეთ ძალაუფლების ძალაუფლებაზე აყვანის წესი. მიეცი მაგალითი. დაამტკიცეთ იდენტობა (a m) n = a m n .
ხარისხის განსაზღვრა.
რიცხვის ძალა აბუნებრივი მაჩვენებლით ნ 1-ზე მეტი არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული ტოლია ა. რიცხვის ძალა ამაჩვენებლით 1 არის თავად რიცხვი ა.
ხარისხი ბაზით ადა მაჩვენებელი ნწერია ასე: და ნ. მასში ნათქვამია " ახარისხით ნ”; " რიცხვის n ხარისხოვანი ა ”.
ხარისხის განმარტებით:
a 4 = a a a a
. . . . . . . . . . . .
ხარისხის მნიშვნელობის პოვნა ეწოდება ექსპონენტაციის გზით .
1. ექსპონენტაციის მაგალითები:
3 3 = 3 3 3 = 27
0 4 = 0 0 0 0 = 0
(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125
25 ; 0,09 ;
25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .
27 ; 0,001 ; 8 .
27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .
4. იპოვე გამოთქმების მნიშვნელობები:
ა) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000
ბ) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7
ვარიანტი 1
ა) 0,3 0,3 0,3
გ) ბ ბ ბ ბ ბ ბ ბ
დ) (-x) (-x) (-x) (-x)
ე) (აბ) (აბ) (აბ)
2. წარმოადგინე რიცხვი კვადრატის სახით:
3. წარმოადგინე რიცხვები კუბის სახით:
4. იპოვე გამოთქმების მნიშვნელობები:
გ) -1 4 + (-2) 3
დ) -4 3 + (-3) 2
ე) 100 - 5 2 4
ძალაუფლების გამრავლება.
ნებისმიერი a და თვითნებური რიცხვებისთვის m და n მოქმედებს შემდეგი:
a m a n = a m + n.
მტკიცებულება:
წესი : ძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძეებთან გამრავლებისას ფუძეები იგივე რჩება და ძალაუფლების მაჩვენებლები ემატება.
a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k
ა) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9
ბ) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7
გ) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11
დ) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6
ე) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5
ა) 2 3 2 = 2 4 = 16
ბ) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187
ვარიანტი 1
1. წარადგინე როგორც ხარისხი:
ა) x 3 x 4 ე) x 2 x 3 x 4
ბ) a 6 a 2 g) 3 3 9
გ) y 4 y h) 7 4 49
დ) a a 8 i) 16 2 7
ე) 2 3 2 4 კ) 0.3 3 0.09
2. წარმოადგინეთ ხარისხით და იპოვეთ მნიშვნელობა ცხრილიდან:
ა) 2 2 2 3 გ) 8 2 5
ბ) 3 4 3 2 დ) 27 243
ხარისხების დაყოფა.
ნებისმიერი a0 რიცხვისთვის და თვითნებური ნატურალური რიცხვებისთვის m და n, ისეთი, რომ m>n მოქმედებს შემდეგი:
a m: a n = a m - n
მტკიცებულება:
a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m
კოეფიციენტის განმარტებით:
a m: a n = a m - n .
წესი: ერთნაირი ფუძით ძალების გაყოფისას ფუძე იგივე რჩება და გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს.
განმარტება: რიცხვი a, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, ნულოვანი მაჩვენებლით არის ერთის ტოლი:
რადგან a n: a n = 1 a0-ზე.
ა) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2
ბ) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5
გ) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6
დ) 5-დან: 0-დან = 5:1-დან = 5-დან
ა) 5 7:5 5 = 5 2 = 25
ბ) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000
V)
გ)
დ)
ვარიანტი 1
1. წარმოადგინე კოეფიციენტი ხარისხად:
2. იპოვე გამოთქმების მნიშვნელობები:
პროდუქტის ძალაუფლების ამაღლება.
ნებისმიერი a და b და თვითნებური ნატურალური რიცხვისთვის n:
(აბ) n = a n b n
მტკიცებულება:
ხარისხის განსაზღვრით
(ab)n= 
ა და b ფაქტორების ცალკე დაჯგუფებით მივიღებთ:
= 
პროდუქტის სიმძლავრის დადასტურებული თვისება ვრცელდება სამი ან მეტი ფაქტორის პროდუქტის ძალაზე.
Მაგალითად:
(a b c) n = a n b n c n;
(a b c d) n = a n b n c n d n.
წესი: პროდუქტის სიმძლავრემდე აყვანისას, თითოეული ფაქტორი ამაღლებულია ამ სიმძლავრემდე და შედეგი მრავლდება.
1. ამაღლება ძალამდე:
ა) (ა ბ) 4 = a 4 b 4
ბ) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3
გ) (3 ა) 4 = 3 4 ა 4 = 81 ა 4
დ) (-5 წ) 3 = (-5) 3 y 3 = -125 y 3
ე) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 y 2
ე) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4
2. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
ა) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000
ბ) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000
გ) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000
დ) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1
დ)
ვარიანტი 1
1. ამაღლება ძალამდე:
ბ) (2 ა გ) 4
ე) (-0,1 x წ) 3
2. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
ბ) (5 7 20) 2
ამაღლება ძალაუფლების ძალამდე.
ნებისმიერი a რიცხვისთვის და თვითნებური ნატურალური რიცხვებისთვის m და n:
(a m) n = a m n
მტკიცებულება:
ხარისხის განსაზღვრით
(a m) n = 
წესი: სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, ბაზა იგივე რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება.
1. ამაღლება ძალამდე:
(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20
(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9
2. გაამარტივე გამოთქმები:
ა) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13
ბ) (ბ 3) 2 ბ 7 = ბ 6 ბ 7 = ბ 13
გ) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14
დ) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24
ა)
ბ)
ვარიანტი 1
1. ამაღლება ძალამდე:
ა) (a 4) 2 ბ) (x 4) 5
გ) (y 3) 2 d) (b 4) 4
2. გაამარტივე გამოთქმები:
ა) a 4 (a 3) 2
ბ) (ბ 4) 3 ბ 5+
გ) (x 2) 4 (x 4) 3
დ) (y 9) 2
3. იპოვე გამოთქმების მნიშვნელობა:
განაცხადი
ხარისხის განსაზღვრა.
ვარიანტი 2
1 დაწერეთ პროდუქტი ძალაუფლების სახით:
ა) 0,4 0,4 0,4
გ) ა ა ა ა ა ა ა
დ) (-y) (-y) (-y) (-y)
ე) (bс) (bс) (bс)
2. წარმოადგინე რიცხვი კვადრატის სახით:
3. წარმოადგინე რიცხვები კუბის სახით:
4. იპოვე გამოთქმების მნიშვნელობები:
გ) -1 3 + (-2) 4
დ) -6 2 + (-3) 2
ე) 4 5 2 – 100
ვარიანტი 3
1. ჩაწერეთ პროდუქტი ძალაუფლების სახით:
ა) 0,5 0,5 0,5
გ) ერთად ერთად ერთად ერთად ერთად ერთად
დ) (-x) (-x) (-x) (-x)
ე) (აბ) (აბ) (აბ)
2. რიცხვი წარმოადგინე კვადრატის სახით: 100; 0,49; .
3. წარმოადგინე რიცხვები კუბის სახით:
4. იპოვე გამოთქმების მნიშვნელობები:
გ) -1 5 + (-3) 2
დ) -5 3 + (-4) 2
ე) 5 4 2 - 100
ვარიანტი 4
1. ჩაწერეთ პროდუქტი ძალაუფლების სახით:
ა) 0,7 0,7 0,7
გ) x x x x x x
დ) (-ა) (-ა) (-ა)
ე) (bс) (bс) (bс) (bc)
2. წარმოადგინე რიცხვი კვადრატის სახით:
3. წარმოადგინე რიცხვები კუბის სახით:
4. იპოვე გამოთქმების მნიშვნელობები:
გ) -1 4 + (-3) 3
დ) -3 4 + (-5) 2
ე) 100 - 3 2 5
ძალაუფლების გამრავლება.
ვარიანტი 2
1. წარადგინე როგორც ხარისხი:
ა) x 4 x 5 ე) x 3 x 4 x 5
ბ) a 7 ა 3 გ) 2 3 4
გ) y 5 y h) 4 3 16
დ) a 7 i) 4 2 5
ე) 2 2 2 5 კ) 0.2 3 0.04
2. წარმოადგინეთ ხარისხით და იპოვეთ მნიშვნელობა ცხრილიდან:
ა) 3 2 3 3 გ) 16 2 3
ბ) 2 4 2 5 დ) 9 81
ვარიანტი 3
1. წარადგინე როგორც ხარისხი:
ა) a 3 a 5 ვ) y 2 y 4 y 6
ბ) x 4 x 7 გ) 3 5 9
გ) ბ 6 ბ თ) 5 3 25
დ) y 8 ი) 49 7 4
ე) 2 3 2 6 კ) 0.3 4 0.27
2. წარმოადგინეთ ხარისხით და იპოვეთ მნიშვნელობა ცხრილიდან:
ა) 3 3 3 4 გ) 27 3 4
ბ) 2 4 2 6 დ) 16 64
ვარიანტი 4
1. წარადგინე როგორც ხარისხი:
ა) a 6 a 2 e) x 4 x x 6
ბ) x 7 x 8 გ) 3 4 27
გ) y 6 y h) 4 3 16
დ) x x 10 ი) 36 6 3
ე) 2 4 2 5 კ) 0.2 2 0.008
2. წარმოადგინეთ ხარისხით და იპოვეთ მნიშვნელობა ცხრილიდან:
ა) 2 6 2 3 გ) 64 2 4
ბ) 3 5 3 2 დ) 81 27
ხარისხების დაყოფა.
ვარიანტი 2
1. წარმოადგინე კოეფიციენტი ხარისხად:
2. იპოვე გამოთქმების მნიშვნელობები:
გამრავლება არის ოპერაცია, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული გამრავლებასთან. წარმოვადგენთ ფორმულით: a1 * a2 * … * an = an.
მაგალითად, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8.
ზოგადად, ექსპონენტაცია ხშირად გამოიყენება მათემატიკასა და ფიზიკაში სხვადასხვა ფორმულებში. ამ ფუნქციას აქვს უფრო მეცნიერული მიზანი, ვიდრე ოთხი ძირითადი: დამატება , გამოკლება , გამრავლება , განყოფილება.
რიცხვის ძლიერებამდე აწევა
რიცხვის სიმძლავრემდე აყვანა არ არის რთული ოპერაცია. იგი დაკავშირებულია გამრავლებასთან გამრავლებისა და შეკრების მიმართების ანალოგიურად. აღნიშვნა an არის ერთმანეთზე გამრავლებული რიცხვების n-ე რიცხვის მოკლე აღნიშვნა.
განვიხილოთ სიძლიერე უმარტივესი მაგალითების გამოყენებით, გადადით რთულზე.
მაგალითად, 42. 42 = 4 * 4 = 16. ოთხი კვადრატში (მეორე ხარისხამდე) უდრის თექვსმეტს. თუ არ გესმით გამრავლება 4 * 4, წაიკითხეთ ჩვენი სტატია გამრავლება.
მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . ხუთი კუბი (მესამე ხარისხამდე) უდრის ას ოცდახუთს.
კიდევ ერთი მაგალითი: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . ცხრა კუბი უდრის შვიდას ოცდაცხრამეტს.
ექსპონენტაციის ფორმულები
სიმძლავრის სწორად ასამაღლებლად, თქვენ უნდა გახსოვდეთ და იცოდეთ ქვემოთ მოცემული ფორმულები. ამაში ზედმეტი ბუნებრივი არაფერია, მთავარია გაიგოთ არსი და მაშინ ისინი არამარტო დაიმახსოვრონ, არამედ მარტივადაც მოგეჩვენოთ.
მონომის ძალაუფლებაზე ამაღლება
რა არის მონომია? ეს არის რიცხვებისა და ცვლადების ნამრავლი ნებისმიერი რაოდენობით. მაგალითად, ორი არის მონომია. და ეს სტატია სწორედ ასეთი მონომიების ძალაუფლებაზე ამაღლებას ეხება.
გაძლიერების ფორმულების გამოყენებით, რთული არ იქნება მონომის სიმძლავრის გამოთვლა.
Მაგალითად, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; თუ თქვენ ამაღლებთ მონომს სიმძლავრემდე, მაშინ მონომის თითოეული კომპონენტი ამაღლებულია სიმძლავრემდე.
ცვლადის აწევით, რომელსაც უკვე აქვს სიმძლავრე, ძალა მრავლდება. მაგალითად, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
ამაღლება უარყოფით ძალამდე
უარყოფითი ძალა არის რიცხვის ორმხრივი. რა არის საპასუხო ნომერი? ნებისმიერი X რიცხვის ორმხრივი არის 1/X. ანუ X-1=1/X. ეს არის უარყოფითი ხარისხის არსი.
განვიხილოთ მაგალითი (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Რატომ არის, რომ? ვინაიდან ხარისხში არის მინუსი, ჩვენ უბრალოდ გადავიტანთ ამ გამონათქვამს მნიშვნელზე და შემდეგ ავწევთ მას მესამე ხარისხზე. მარტივია არა?
წილადის ხარისხზე აწევა
დავიწყოთ საკითხის კონკრეტული მაგალითით განხილვით. 43/2. რას ნიშნავს ხარისხი 3/2? 3 – მრიცხველი, ნიშნავს რიცხვის (ამ შემთხვევაში 4) კუბზე აწევას. რიცხვი 2 არის მნიშვნელი, ეს არის რიცხვის მეორე ფესვის ამოღება (ამ შემთხვევაში, 4).
შემდეგ მივიღებთ კვადრატულ ფესვს 43 = 2^3 = 8. პასუხი: 8.
ასე რომ, წილადის მნიშვნელობის მნიშვნელი შეიძლება იყოს 3 ან 4 და უსასრულობამდე ნებისმიერი რიცხვი და ეს რიცხვი განსაზღვრავს მოცემული რიცხვიდან აღებული კვადრატული ფესვის ხარისხს. რა თქმა უნდა, მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნული.
ფესვის ამაღლება ძალამდე
თუ ფესვი ამაღლებულია იმ ხარისხით, რაც უდრის თავად ფესვის ხარისხს, მაშინ პასუხი იქნება რადიკალური გამოხატულება. მაგალითად, (√x)2 = x. ასე რომ, ნებისმიერ შემთხვევაში, ფესვის ხარისხი და ფესვის აწევის ხარისხი თანაბარია.
თუ (√x)^4. შემდეგ (√x)^4=x^2. ამოხსნის შესამოწმებლად, ჩვენ გადავიყვანთ გამოსახულებას წილადის სიმძლავრის გამოსახატავად. ვინაიდან ფესვი კვადრატია, მნიშვნელი არის 2. ხოლო თუ ფესვი ამაღლებულია მეოთხე ხარისხში, მაშინ მრიცხველი არის 4. მივიღებთ 4/2=2. პასუხი: x = 2.
ნებისმიერ შემთხვევაში, საუკეთესო ვარიანტია უბრალოდ გადაიყვანოთ გამოხატულება წილადის სიმძლავრის გამოხატულებად. თუ წილადი არ გააუქმებს, მაშინ ეს არის პასუხი, იმ პირობით, რომ მოცემული რიცხვის ფესვი არ არის იზოლირებული.
კომპლექსური რიცხვის გაზრდა ძალამდე
რა არის რთული რიცხვი? რთული რიცხვი არის გამონათქვამი, რომელსაც აქვს ფორმულა a + b * i; a, b არის რეალური რიცხვები. i არის რიცხვი, რომელიც კვადრატში იძლევა რიცხვს -1.
მოდით შევხედოთ მაგალითს. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
დარეგისტრირდით კურსზე "დააჩქარეთ გონებრივი არითმეტიკა და არა გონებრივი არითმეტიკა", რათა ისწავლოთ სწრაფად და სწორად შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, კვადრატული რიცხვები და თუნდაც ფესვების ამოღება. 30 დღეში თქვენ ისწავლით, თუ როგორ გამოიყენოთ მარტივი ხრიკები არითმეტიკული მოქმედებების გასამარტივებლად. თითოეული გაკვეთილი შეიცავს ახალ ტექნიკას, ნათელ მაგალითებს და სასარგებლო დავალებებს.
Exponentiation ონლაინ რეჟიმში
ჩვენი კალკულატორის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ რიცხვის აწევა ძალამდე:
ექსპონენტაცია მე-7 კლასი
სკოლის მოსწავლეები ძალაუფლების ამაღლებას მხოლოდ მეშვიდე კლასში იწყებენ.
გამრავლება არის ოპერაცია, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული გამრავლებასთან. წარმოვადგენთ ფორმულით: a1 * a2 * … * an=an.
Მაგალითად, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
გადაწყვეტის მაგალითები:
ექსპონაციური პრეზენტაცია
პრეზენტაცია ძალაუფლების ამაღლებაზე, განკუთვნილია მეშვიდე კლასელებისთვის. პრეზენტაციამ შეიძლება ახსნას რამდენიმე გაუგებარი პუნქტი, მაგრამ ეს პუნქტები, ალბათ, არ გაირკვევა ჩვენი სტატიის წყალობით.
ქვედა ხაზი
ჩვენ შევხედეთ მხოლოდ აისბერგის მწვერვალს, მათემატიკის უკეთ გასაგებად - დარეგისტრირდით ჩვენს კურსზე: გონებრივი არითმეტიკის დაჩქარება - არა გონებრივი არითმეტიკა.
კურსიდან თქვენ ისწავლით არა მხოლოდ გამარტივებული და სწრაფი გამრავლების, შეკრების, გამრავლების, გაყოფისა და პროცენტების გამოთვლის ათეულ ტექნიკას, არამედ ივარჯიშებთ მათ სპეციალურ დავალებებსა და საგანმანათლებლო თამაშებში! გონებრივი არითმეტიკა ასევე მოითხოვს დიდ ყურადღებას და კონცენტრაციას, რომლებიც აქტიურად ვარჯიშობენ საინტერესო პრობლემების გადაჭრისას.
