მიუთითეთ წერტილების მდებარეობის ძირითადი თვისება სწორ ხაზზე. სწორი ხაზი თვითმფრინავზე - საჭირო ინფორმაცია

სწორი ხაზი თვითმფრინავზე - საჭირო ინფორმაცია.

ამ სტატიაში დეტალურად ვისაუბრებთ გეომეტრიის ერთ-ერთ ძირითად ცნებაზე - სიბრტყეზე სწორი ხაზის კონცეფციაზე. პირველი, მოდით განვსაზღვროთ ძირითადი ტერმინები და აღნიშვნები. შემდეგ განვიხილავთ წრფისა და წერტილის, აგრეთვე ორი წრფის ფარდობით მდგომარეობას სიბრტყეზე და წარმოგიდგენთ აუცილებელ აქსიომებს. დასასრულს, განვიხილავთ სიბრტყეზე სწორი ხაზის განსაზღვრის გზებს და გრაფიკულ ილუსტრაციებს.

გვერდის ნავიგაცია.

• სიბრტყეზე სწორი ხაზი არის კონცეფცია.
• ხაზისა და წერტილის ფარდობითი პოზიცია.
• ხაზების ფარდობითი პოზიცია სიბრტყეზე.
• სიბრტყეზე სწორი ხაზის განსაზღვრის მეთოდები.

სიბრტყეზე სწორი ხაზი არის კონცეფცია.

სანამ სიბრტყეზე სწორი ხაზის კონცეფციას მივცემთ, ნათლად უნდა გესმოდეთ რა არის თვითმფრინავი. თვითმფრინავის კონცეფციასაშუალებას გაძლევთ მიიღოთ, მაგალითად, ბინა ზედაპირზე მაგიდაზე ან კედელზე სახლში. თუმცა უნდა გავითვალისწინოთ, რომ მაგიდის ზომები შეზღუდულია და სიბრტყე ამ საზღვრებს მიღმა უსასრულობამდე ვრცელდება (თითქოს ჩვენ გვქონდა თვითნებურად დიდი მაგიდა).

თუ ავიღებთ კარგად გამოკვეთილ ფანქარს და მის წვერს შევეხებით „მაგიდის“ ზედაპირს, მივიღებთ წერტილის გამოსახულებას. ასე ვიღებთ წერტილის წარმოდგენა სიბრტყეზე.

ახლა შეგიძლიათ გადახვიდეთ სიბრტყეზე სწორი ხაზის კონცეფცია.

დადეთ სუფთა ქაღალდის ფურცელი მაგიდის ზედაპირზე (თვითმფრინავზე). სწორი ხაზის დასახაზად საჭიროა ავიღოთ სახაზავი და ფანქრით გავავლოთ ხაზი, რამდენადაც ჩვენ მიერ გამოყენებული სახაზავი და ფურცლის ზომა გვაძლევს საშუალებას. უნდა აღინიშნოს, რომ ამ გზით ჩვენ მხოლოდ ხაზის ნაწილს მივიღებთ. ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ წარმოვიდგინოთ მთელი სწორი ხაზი, რომელიც ვრცელდება უსასრულობაში.

გვერდის ზედა

ხაზისა და წერტილის ფარდობითი პოზიცია.

უნდა დავიწყოთ აქსიომით: ყველა სწორ ხაზზე და ყველა სიბრტყეში არის წერტილები.

წერტილები ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით, მაგალითად, წერტილებით ადა ფ. თავის მხრივ, სწორი ხაზები აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით, მაგალითად, სწორი ხაზები ადა დ.

შესაძლებელია სიბრტყეზე წრფის და წერტილის ფარდობითი პოზიციის ორი ვარიანტი: ან წერტილი დევს წრფეზე (ამ შემთხვევაში ასევე ნათქვამია, რომ წრფე გადის წერტილში), ან წერტილი არ დევს ხაზზე (ასევე ამბობენ, რომ წერტილი არ ეკუთვნის წრფეს ან ხაზი არ გადის წერტილს).

იმისათვის, რომ მიუთითოთ, რომ წერტილი ეკუთვნის გარკვეულ ხაზს, გამოიყენება სიმბოლო " ". მაგალითად, თუ წერტილი ადევს სწორ ხაზზე ამაშინ შეგვიძლია დავწეროთ. თუ წერტილი აარ ეკუთვნის ხაზს ა, შემდეგ ჩაწერეთ.

შემდეგი განცხადება მართალია: არის მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი, რომელიც გადის ნებისმიერ ორ წერტილს.

ეს განცხადება არის აქსიომა და უნდა მივიღოთ როგორც ფაქტი. გარდა ამისა, ეს სავსებით აშკარაა: ჩვენ ქაღალდზე ვნიშნავთ ორ წერტილს, მივმართავთ მათ სახაზავს და ვხაზავთ სწორ ხაზს. სწორი ხაზი, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში (მაგალითად, წერტილებში ადა IN), შეიძლება აღვნიშნოთ ამ ორი ასოთი (ჩვენს შემთხვევაში სწორი ხაზით ABან VA).

უნდა გვესმოდეს, რომ სიბრტყეზე განსაზღვრულ სწორ ხაზზე არის უსასრულოდ ბევრი განსხვავებული წერტილი და ყველა ეს წერტილი ერთ სიბრტყეში დევს. ეს დებულება დგინდება აქსიომით: თუ წრფის ორი წერტილი დევს გარკვეულ სიბრტყეში, მაშინ ამ წრფის ყველა წერტილი დევს ამ სიბრტყეში.

წრფეზე მოცემულ ორ წერტილს შორის მდებარე ყველა წერტილის სიმრავლე, ამ წერტილებთან ერთად, ეწოდება სწორი ხაზის სეგმენტიან უბრალოდ სეგმენტი. სეგმენტის შემზღუდველ წერტილებს სეგმენტის ბოლოები ეწოდება. სეგმენტი აღინიშნება ორი ასოებით, რომლებიც შეესაბამება სეგმენტის ბოლო წერტილებს. მაგალითად, დაუშვით ქულები ადა INარის სეგმენტის ბოლოები, მაშინ ეს სეგმენტი შეიძლება აღინიშნოს ABან VA. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ სეგმენტის ეს აღნიშვნა ემთხვევა სწორი ხაზის აღნიშვნას. დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად, ჩვენ გირჩევთ დაამატოთ სიტყვა "სეგმენტი" ან "პირდაპირი" აღნიშვნაში.

მოკლედ ჩასაწერად არის თუ არა გარკვეული წერტილი ეკუთვნის თუ არა გარკვეულ სეგმენტს, გამოიყენება იგივე სიმბოლოები და. იმის საჩვენებლად, რომ გარკვეული სეგმენტი დევს ან არ დევს ხაზზე, გამოიყენეთ სიმბოლოები და, შესაბამისად. მაგალითად, თუ სეგმენტი ABხაზს ეკუთვნის ა, შეიძლება მოკლედ ჩაიწეროს.

ასევე უნდა შევჩერდეთ იმ შემთხვევაზე, როდესაც სამი განსხვავებული წერტილი ერთსა და იმავე წრფეს ეკუთვნის. ამ შემთხვევაში, ერთი და მხოლოდ ერთი წერტილი დევს დანარჩენ ორს შორის. ეს განცხადება კიდევ ერთი აქსიომაა. დაუშვით ქულები ა, INდა თანდაწექი იმავე სწორ ხაზზე და წერტილი INდევს წერტილებს შორის ადა თან. მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ქულები ადა თანწერტილის საპირისპირო მხარეს არიან IN. ისიც შეიძლება ითქვას, რომ ქულები INდა თანწერტილები ერთ მხარეს დევს ადა ქულები ადა INდაწექი წერტილის ერთ მხარეს თან.

სურათის დასასრულებლად აღვნიშნავთ, რომ ხაზის ნებისმიერი წერტილი ყოფს ამ ხაზს ორ ნაწილად - ორ ნაწილად სხივი. ამ შემთხვევისთვის მოცემულია აქსიომა: თვითნებური წერტილი შესახებ, რომელიც ეკუთვნის წრფეს, ყოფს ამ წრფეს ორ სხივად და ერთი სხივის ნებისმიერი ორი წერტილი მდებარეობს წერტილის ერთსა და იმავე მხარეს შესახებდა სხვადასხვა სხივების ნებისმიერი ორი წერტილი არის წერტილის მოპირდაპირე მხარეს შესახებ.

გვერდის ზედა

ტესტის კითხვები §1-ისთვის.

უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურების ძირითადი თვისებები.

Კითხვა 1.მიეცით გეომეტრიული ფორმების მაგალითები.
პასუხი:გეომეტრიული ფორმების მაგალითები: სამკუთხედი, კვადრატი, წრე.

კითხვა 2.დაასახელეთ სიბრტყის ძირითადი გეომეტრიული ფიგურები.
პასუხი:მთავარი გეომეტრიული ფიგურები სიბრტყეზე არის წერტილი და სწორი ხაზი.

კითხვა 3.როგორ არის მითითებული წერტილები და ხაზები?
პასუხი:ქულები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით: A, B, C, D, .... პირდაპირი ხაზები აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით: a, b, c, d, ....
სწორი ხაზი შეიძლება აღინიშნოს მასზე ორი წერტილით. მაგალითად, ხაზს a სურათზე 4 შეიძლება ეწოდოს AC, ხოლო b სტრიქონს BC. ნახ.4

კითხვა 4.ჩამოაყალიბეთ წერტილებისა და ხაზების წევრობის ძირითადი თვისებები.
პასუხი:როგორიც არ უნდა იყოს ხაზი, არის წერტილები, რომლებიც ეკუთვნის ამ წრფეს და წერტილები, რომლებიც მას არ ეკუთვნის.
ნებისმიერი ორი წერტილიდან შეგიძლიათ დახაზოთ სწორი ხაზი და მხოლოდ ერთი.
კითხვა 5.ახსენით რა არის წრფის სეგმენტი ბოლოებით ამ წერტილებში.
პასუხი:სეგმენტი არის წრფის ნაწილი, რომელიც შედგება ამ ხაზის ყველა წერტილისგან, რომელიც მდებარეობს ორ მოცემულ წერტილს შორის. ამ წერტილებს სეგმენტის ბოლოები ეწოდება. სეგმენტი მითითებულია მისი ბოლოების მითითებით. როდესაც ისინი ამბობენ ან წერენ: "სეგმენტი AB", ისინი გულისხმობენ სეგმენტს ბოლოებით A და B წერტილებში.

კითხვა 6.მიუთითეთ წერტილების მდებარეობის ძირითადი თვისება სწორ ხაზზე.
პასუხი:ხაზის სამი წერტილიდან ერთი და მხოლოდ ერთი დევს დანარჩენ ორს შორის.

კითხვა 7.ჩამოაყალიბეთ საზომი სეგმენტების ძირითადი თვისებები.
პასუხი:თითოეულ სეგმენტს აქვს გარკვეული სიგრძე ნულზე მეტი. სეგმენტის სიგრძე უდრის იმ ნაწილების სიგრძის ჯამს, რომლებშიც ის იყოფა მის რომელიმე წერტილზე.
კითხვა 8.რა არის მანძილი ორ მოცემულ წერტილს შორის?
პასუხი: AB სეგმენტის სიგრძეს A და B წერტილებს შორის მანძილი ეწოდება.
კითხვა 9.რა თვისებები აქვს სიბრტყის ორ ნახევრად სიბრტყეზე დაყოფას?
პასუხი:თვითმფრინავის ორ ნახევრად სიბრტყეზე დაყოფას აქვს შემდეგი თვისება. თუ სეგმენტის ბოლოები ეკუთვნის იმავე ნახევრად სიბრტყეს, მაშინ სეგმენტი არ კვეთს ხაზს. თუ სეგმენტის ბოლოები ეკუთვნის სხვადასხვა ნახევარ სიბრტყეს, მაშინ სეგმენტი კვეთს წრფეს.

კითხვა 10.ჩამოაყალიბეთ წერტილების მდებარეობის ძირითადი თვისება სიბრტყეზე სწორ ხაზთან მიმართებაში.
პასუხი:სწორი ხაზი ყოფს თვითმფრინავს ორ ნახევრად სიბრტყეზე.

კითხვა 11.რა არის ნახევარხაზი ან სხივი? რომელ ნახევარხაზებს ეწოდება შემავსებელი?
პასუხი:ნახევარხაზი ან სხივი არის წრფის ნაწილი, რომელიც შედგება ამ ხაზის ყველა წერტილისგან, რომელიც მდებარეობს მოცემული წერტილის ერთ მხარეს. ამ წერტილს ნახევარწრფის საწყისი წერტილი ეწოდება. ერთი და იგივე წრფის სხვადასხვა ნახევარხაზებს, რომლებსაც აქვთ საერთო საწყისი წერტილი, ეწოდებათ დამატებითი.

კითხვა 12.როგორ არის მითითებული ნახევარხაზები?
პასუხი:ნახევრად სწორი ხაზები, ისევე როგორც სწორი ხაზები, აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით.
კითხვა 13.რომელ ფიგურას ეწოდება კუთხე?
პასუხი:კუთხე არის ფიგურა, რომელიც შედგება წერტილისგან - კუთხის წვეროსგან - და ამ წერტილიდან გამომავალი ორი განსხვავებული ნახევარწრისაგან - კუთხის გვერდებისგან.

კითხვა 14.როგორ არის მითითებული კუთხე?
პასუხი:კუთხე აღინიშნება ან მისი წვერის მითითებით, ან მისი გვერდების მითითებით, ან სამი წერტილის მითითებით: წვერო და ორი წერტილი კუთხის გვერდებზე. სიტყვა „კუთხე“ ზოგჯერ ცვლის ნიშნით.
კითხვა 15.რომელ კუთხეს ეწოდება სწორი კუთხე?
პასუხი:თუ კუთხის გვერდები ერთი სწორი ხაზის დამატებითი ნახევარხაზებია, მაშინ კუთხეს განვითარებული ეწოდება.

კითხვა 16.ახსენით, რას ნიშნავს გამოთქმა: „ნახევარი ხაზი გადის კუთხის გვერდებს შორის“.
პასუხი:ჩვენ ვიტყვით, რომ სხივი გადის მოცემული კუთხის გვერდებს შორის, თუ ის გამოდის მისი წვეროდან და კვეთს ზოგიერთ სეგმენტს კუთხის გვერდებზე ბოლოებით.
კითხვა 17.რა ერთეულებით იზომება კუთხეები და რა ხელსაწყოთი? ახსენით როგორ ხდება გაზომვა.
პასუხი:კუთხეები იზომება გრადუსით პროტრატორის გამოყენებით.

კითხვა 18.ჩამოაყალიბეთ კუთხეების საზომი ძირითადი თვისებები.
პასუხი:თითოეულ კუთხეს აქვს გარკვეული ხარისხის ზომა ნულზე მეტი. ბრუნვის კუთხე არის 180°. კუთხის ხარისხიანი ზომა უდრის იმ კუთხეების გრადუსული ზომების ჯამს, რომლებშიც იგი იყოფა მის გვერდებს შორის გამავალ ნებისმიერ სხივზე.
კითხვა 19.ჩამოაყალიბეთ სეგმენტების და კუთხეების განლაგების ძირითადი თვისებები.
პასუხი:ნებისმიერ ნახევარხაზზე მისი საწყისი წერტილიდან შეგიძლიათ დახაზოთ მოცემული სიგრძის სეგმენტი და მხოლოდ ერთი. ნებისმიერი ნახევრად ხაზიდან მოცემულ ნახევრად სიბრტყეში შეგიძლიათ დააყენოთ კუთხე მოცემული გრადუსით 180°-ზე ნაკლები და მხოლოდ ერთი.
კითხვა 20.რა არის სამკუთხედი?
პასუხი:სამკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც შედგება სამი წერტილისგან, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე ხაზზე, და სამი სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში. წერტილებს უწოდებენ სამკუთხედის წვეროებს, ხოლო სეგმენტებს - გვერდებს.

კითხვა 21.რა არის სამკუთხედის კუთხე მოცემულ წვეროზე?
პასუხი: ABC სამკუთხედის კუთხე A წვეროზე არის კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება AB და AC ნახევარ ხაზებით. ასევე განისაზღვრება სამკუთხედის კუთხეები B და C წვეროებზე.

კითხვა 22.რომელ სეგმენტებს უწოდებენ ტოლს?
პასუხი:სეგმენტებს ტოლი ეწოდება, თუ მათი სიგრძე ტოლია.
კითხვა 23.რომელ კუთხეებს უწოდებენ ტოლს?
პასუხი:კუთხეებს ტოლი ეწოდება, თუ მათი ხარისხის ზომები ტოლია.
კითხვა 24.რომელ სამკუთხედებს უწოდებენ ტოლს?
პასუხი:სამკუთხედებს კონგრუენტები ეწოდებათ, თუ მათი შესაბამისი გვერდები ტოლია და შესაბამისი კუთხეები ტოლია. ამ შემთხვევაში, შესაბამისი კუთხეები უნდა იყოს შესაბამისი გვერდების საპირისპიროდ.
კითხვა 25.როგორ არის აღნიშნული ფიგურაში შესაბამისი გვერდები და კუთხეები ტოლი სამკუთხედებისთვის?
პასუხი:ნახაზში თანაბარი სეგმენტები ჩვეულებრივ აღინიშნება ერთი, ორი ან სამი ხაზით, ხოლო თანაბარი კუთხეები ერთი, ორი ან სამი რკალით.

კითხვა 26.ნახაზი 23-ის გამოყენებით ახსენი სამკუთხედის ტოლი ამ სამკუთხედის არსებობა.
პასუხი:გვქონდეს სამკუთხედი ABC და სხივი a (სურ. 23, ა). გადავიტანოთ ABC სამკუთხედი ისე, რომ მისი A წვერო გასწორებული იყოს a სხივის დასაწყისთან, B წვერო არის a სხივზე, ხოლო წვერო C მოცემულ ნახევარ სიბრტყეში a სხივთან და მის გაფართოებასთან შედარებით. ჩვენ აღვნიშნავთ ჩვენი სამკუთხედის წვეროებს ამ ახალ პოზიციაში, როგორც A 1, B 1, C 1 (ნახ. 23, ბ).
სამკუთხედი A 1 B 1 C 1 უდრის ABC სამკუთხედს.
კითხვა 27.რომელ წრფეებს ეწოდება პარალელური? რა ნიშანი გამოიყენება პარალელური ხაზების აღსანიშნავად?
პასუხი:ორ წრფეს უწოდებენ პარალელურს, თუ ისინი არ იკვეთება. ხაზების პარალელურობის აღსანიშნავად გამოიყენება ნიშანი ||. ა||ბ.

კითხვა 28.მიუთითეთ პარალელური წრფეების ძირითადი თვისება.
პასუხი:მოცემულ წრფეზე არ მყოფი წერტილის მეშვეობით შესაძლებელია სიბრტყეზე მოცემულის პარალელურად მაქსიმუმ ერთი სწორი ხაზის დახაზვა.
კითხვა 29.მიეცით თეორემის მაგალითი.
პასუხი:თუ წრფე, რომელიც არ გადის სამკუთხედის არცერთ წვეროზე, კვეთს მის ერთ გვერდს, მაშინ ის კვეთს მხოლოდ ერთს დანარჩენი ორი გვერდიდან.

ტესტის კითხვები §-ისთვის2. მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეები.

Კითხვა 1.რომელ კუთხეებს უწოდებენ მიმდებარედ?
პასუხი:ორ კუთხეს მეზობლად უწოდებენ, თუ მათ ერთი გვერდი აქვთ საერთო, ხოლო ამ კუთხის მეორე მხარე არის დამატებითი ნახევარხაზები.
სურათზე 31, კუთხეები (a 1 b) და (a 2 b) მიმდებარეა. მათ საერთო აქვთ b მხარე, ხოლო გვერდები a 1 და a 2 დამატებითი ნახევარხაზებია.

კითხვა 2.დაამტკიცეთ, რომ მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°.
პასუხი: თეორემა 2.1.მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°.
მტკიცებულება.მიეცით კუთხე (a 1 b) და კუთხე (a 2 b) მიმდებარე კუთხეები (იხ. სურ. 31). სხივი b გადის სწორი კუთხის a 1 და 2 გვერდებს შორის. მაშასადამე, კუთხეების (a 1 b) და (a 2 b) ჯამი უდრის გაშლილ კუთხეს, ანუ 180°. ქ.ე.დ.

კითხვა 3.დაამტკიცეთ, რომ თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ მათი მიმდებარე კუთხეც ტოლია.
პასუხი:

თეორემიდან 2.1 აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ მათი მიმდებარე კუთხეები ტოლია.
ვთქვათ, კუთხეები (a 1 b) და (c 1 d) ტოლია. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ კუთხეები (a 2 b) და (c 2 d) ასევე ტოლია. მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°. აქედან გამომდინარეობს, რომ a 1 b + a 2 b = 180° და c 1 d + c 2 d = 180°. აქედან გამომდინარე, a 2 b = 180° - a 1 b და c 2 d = 180° - c 1 d. ვინაიდან კუთხეები (a 1 b) და (c 1 d) ტოლია, მივიღებთ, რომ a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. ტოლობის ნიშნის გარდამავალობის თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ a 2 b = c 2 d. ქ.ე.დ.

კითხვა 4.რომელ კუთხეს ეწოდება მართალი (მწვავე, ბლაგვი)?
პასუხი: 90°-ის ტოლ კუთხეს მართი კუთხე ეწოდება. 90°-ზე ნაკლებ კუთხეს მახვილი კუთხე ეწოდება. 90°-ზე მეტ და 180°-ზე ნაკლებ კუთხეს ბლაგვი ეწოდება.

კითხვა 5.დაამტკიცეთ, რომ მართი კუთხის მიმდებარე კუთხე მართია.
პასუხი:მიმდებარე კუთხეების ჯამის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ მართი კუთხის მიმდებარე კუთხე არის მართი კუთხე: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

კითხვა 6.რომელ კუთხეებს უწოდებენ ვერტიკალურს?
პასუხი:ორ კუთხეს ეწოდება ვერტიკალური, თუ ერთი კუთხის გვერდები ავსებს მეორის გვერდების ნახევარხაზებს.

კითხვა 7.დაამტკიცეთ, რომ ვერტიკალური კუთხეები ტოლია.
პასუხი: თეორემა 2.2. ვერტიკალური კუთხეები ტოლია.
მტკიცებულება.მოდით (a 1 b 1) და (a 2 b 2) მოცემული ვერტიკალური კუთხეები (ნახ. 34). კუთხე (a 1 b 2) არის მიმდებარე კუთხესთან (a 1 b 1) და კუთხესთან (a 2 b 2). აქედან, მიმდებარე კუთხეების ჯამის თეორემის გამოყენებით, დავასკვნით, რომ თითოეული კუთხე (a 1 b 1) და (a 2 b 2) ავსებს კუთხეს (a 1 b 2) 180°-მდე, ე.ი. კუთხეები (a 1 b 1) და (a 2 b 2) ტოლია. ქ.ე.დ.

კითხვა 8.დაამტკიცეთ, რომ თუ ორი წრფის გადაკვეთისას ერთი კუთხე მართებულია, მაშინ დანარჩენი სამი კუთხეც მართია.
პასუხი:დავუშვათ AB და CD წრფეები ერთმანეთს კვეთენ O წერტილში. დავუშვათ AOD კუთხე არის 90°. ვინაიდან მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°, მივიღებთ, რომ AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. კუთხე COB არის ვერტიკალური AOD კუთხის მიმართ, ამიტომ ისინი ტოლია. ანუ კუთხე COB = 90°. კუთხე COA ვერტიკალურია BOD კუთხის მიმართ, ამიტომ ისინი ტოლია. ანუ კუთხე BOD = 90°. ამრიგად, ყველა კუთხე უდრის 90°-ს, ანუ ისინი ყველა მართი კუთხეა. ქ.ე.დ.

კითხვა 9.რომელ წრფეებს უწოდებენ პერპენდიკულურს? რა ნიშანი გამოიყენება ხაზების პერპენდიკულარობის აღსანიშნავად?
პასუხი:ორ წრფეს უწოდებენ პერპენდიკულურს, თუ ისინი იკვეთება სწორი კუთხით. ხაზების პერპენდიკულარულობა აღინიშნება ნიშნით ⊥.. ჩაწერა ა⊥ბნათქვამია: "წრფე a პერპენდიკულარულია b წრფეზე."

კითხვა 10.დაამტკიცეთ, რომ წრფის ნებისმიერ წერტილში შეგიძლიათ დახაზოთ მასზე პერპენდიკულარული ხაზი და მხოლოდ ერთი.
პასუხი: თეორემა 2.3.თითოეული ხაზის საშუალებით შეგიძლიათ დახაზოთ მასზე პერპენდიკულარული ხაზი და მხოლოდ ერთი.
მტკიცებულება.მოდით a იყოს მოცემული წრფე და A მოცემული წერტილი მასზე. 1-ით ავღნიშნოთ a სწორი ხაზის ერთ-ერთი ნახევარწრფი A საწყისი წერტილით (სურ. 38). გამოვაკლოთ კუთხე (a 1 b 1) 90°-ის ტოლი a 1-ის ნახევარწრფეს. მაშინ b 1 სხივის შემცველი სწორი ხაზი იქნება a სწორი ხაზის პერპენდიკულარული.

დავუშვათ, რომ არსებობს კიდევ ერთი წრფე, რომელიც ასევე გადის A წერტილზე და პერპენდიკულარულია a წრფეზე. c 1-ით ავღნიშნოთ ამ წრფის ნახევარსტრიქონი, რომელიც მდებარეობს იმავე ნახევარსიბრტყეში b 1 სხივთან. კუთხეები (a 1 b 1) და (a 1 c 1), თითოეული ტოლია 90°-ის, განლაგებულია ნახევარ სიბრტყეში a 1-ის ნახევარხაზიდან. მაგრამ ნახევარწრფიდან 1 მხოლოდ 90°-ის ტოლი კუთხის მოთავსება შეიძლება მოცემულ ნახევარსიბრტყეში. მაშასადამე, არ შეიძლება იყოს სხვა ხაზი, რომელიც გადის A წერტილში და პერპენდიკულარულია a წრფეზე. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 11.რა არის წრფის პერპენდიკულარული?
პასუხი:მოცემული წრფის პერპენდიკულარი არის მოცემული წრფის პერპენდიკულარული წრფის სეგმენტი, რომელსაც აქვს მისი ერთ-ერთი ბოლო მათი გადაკვეთის წერტილში. სეგმენტის ამ ბოლოს ე.წ საფუძველიპერპენდიკულარული.

კითხვა 12.ახსენით, რისგან შედგება წინააღმდეგობრივი მტკიცებულება.
პასუხი:მტკიცების მეთოდს, რომელიც ჩვენ გამოვიყენეთ თეორემა 2.3-ში, ეწოდება მტკიცება წინააღმდეგობით. მტკიცების ეს მეთოდი მოიცავს პირველ რიგში დაშვების გაკეთებას იმის საპირისპიროდ, რასაც თეორემა ამბობს. შემდეგ, მსჯელობით, აქსიომებსა და დადასტურებულ თეორემებზე დაყრდნობით მივდივართ დასკვნამდე, რომელიც ეწინააღმდეგება ან თეორემის პირობებს, ან ერთ-ერთ აქსიომას, ან ადრე დადასტურებულ თეორემას. ამის საფუძველზე ჩვენ ვასკვნით, რომ ჩვენი ვარაუდი მცდარი იყო და, შესაბამისად, თეორემის განცხადება მართალია.

კითხვა 13.რა არის კუთხის ბისექტრი?
პასუხი:კუთხის ბისექტორი არის სხივი, რომელიც გამოდის კუთხის წვეროდან, გადის მის გვერდებს შორის და ყოფს კუთხეს შუაზე.

ტესტის კითხვები § 3-ისთვის.სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

Კითხვა 1.დაამტკიცეთ სამკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშანი. რა აქსიომები გამოიყენება თეორემა 3.1-ის დასამტკიცებლად?
პასუხი: სამკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშანი არის თეორემა 3.1. (ორ მხარეს სამკუთხედების თანასწორობის ნიშანი და მათ შორის კუთხის ნიშანი). თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე ტოლია, შესაბამისად, ორი გვერდის და მათ შორის სხვა სამკუთხედის კუთხე, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.
მტკიცებულება.სამკუთხედებს ABC და A 1 B 1 C 1 ჰქონდეთ კუთხე A= კუთხე A 1, AB=A 1 B 1, AC=A 1 C 1 (სურ. 44). ბრინჯი. 44.
დავამტკიცოთ, რომ სამკუთხედები თანმიმდევრულია. მოდით A 1 B 2 C 2 იყოს სამკუთხედი ABC სამკუთხედის ტოლი, B 2 წვერით A 1 B 1 სხივზე და წვერო C 2 იმავე ნახევრად სიბრტყეში A 1 B 1 სწორი ხაზის მიმართ, სადაც არის წვერო C 1 ( სურ. 45, ა). ვინაიდან A 1 B 1 = A 1 B 2, B 2 წვერო ემთხვევა B 1 წვეროს (ნახ. 45, ბ). ვინაიდან კუთხე B 1 A 1 C 1 = კუთხე B 2 A 1 C 2, მაშინ სხივი A 1 C 2 ემთხვევა A 1 C 1 სხივს (ნახ. 45, გ). ვინაიდან A 1 C 1 = A 1 C 2, C 2 წვერო ემთხვევა C 1 წვეროს (ნახ. 45, d).
ასე რომ, სამკუთხედი A 1 B 1 C 1 ემთხვევა სამკუთხედს A 1 B 2 C 2, რაც ნიშნავს, რომ ის უდრის სამკუთხედს ABC. თეორემა დადასტურდა.
დასტურის დასაწყისში დახაზეთ სამკუთხედი A 1 B 2 C 2, რომელიც ტოლია ABC სამკუთხედს B 2 წვერით A 1 B 1 სხივზე და წვერო C 2 იმავე ნახევარსიბრტყეში A 1 B 1 წრფესთან მიმართებაში. სადაც დგას წვერო C 1 (ნახ. 45, a ). ასეთი სამკუთხედი არსებობს მოცემულის ტოლი სამკუთხედის არსებობის აქსიომის მიხედვით (რაც არ უნდა იყოს სამკუთხედი, მოცემულ ადგილას არის მის ტოლი სამკუთხედი მოცემული ნახევარწრფის მიმართ).
შემდეგ B 1 და B 2 წვეროების დამთხვევა დამტკიცებულია იმის საფუძველზე, რომ A 1 B 1 = A 1 B 2. აქ გამოიყენება სეგმენტების დაყოვნების აქსიომა (მისი საწყისი წერტილიდან ნებისმიერ ნახევრად ხაზზე შეგიძლიათ გამოყოთ მოცემული სიგრძის სეგმენტი და მხოლოდ ერთი).
შემდეგი, A 1 C 2 და A 1 C 1 სხივების დამთხვევა დამტკიცებულია იმის საფუძველზე, რომ ∠B 2 A 1 C 1 = ∠B 2 A 1 C 2 . აქ ჩვენ ვიყენებთ კუთხეების დალაგების აქსიომას (ნებისმიერი ნახევრად წრფედან მოცემულ ნახევარსიბრტყემდე შეგიძლიათ გადადოთ კუთხე მოცემული გრადუსით 180°-ზე ნაკლები, და მხოლოდ ერთი). საბოლოოდ, დადასტურებულია C 1 და C 2 წვეროების დამთხვევა, რადგან A 1 C 1 = A 2 C 2. აქ კვლავ გამოიყენება სეგმენტების დაყოვნების აქსიომა (ნებისმიერ ნახევარხაზზე მისი საწყისი წერტილიდან შეგიძლიათ გამოყოთ მოცემული სიგრძის სეგმენტი და მხოლოდ ერთი).
ასე რომ, თეორემა 3.1-ის მტკიცებულებაში გამოყენებულია აქსიომები სეგმენტების და კუთხეების განზე და სამკუთხედის არსებობის აქსიომები მოცემულის ტოლი.

კითხვა 2.ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ სამკუთხედების ტოლობის მეორე კრიტერიუმი.
პასუხი: სამკუთხედების ტოლობის მეორე კრიტერიუმია თეორემა 3.2 (სამკუთხედების ტოლობის კრიტერიუმი გვერდის და მიმდებარე კუთხის გასწვრივ). თუ ერთი სამკუთხედის გვერდი და მისი მიმდებარე კუთხეები, შესაბამისად, ტოლია მეორე სამკუთხედის გვერდის და მისი მიმდებარე კუთხეების, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.
მტკიცებულება.მოდით ABC და A 1 B 1 C 1 იყოს ორი სამკუთხედი, რომლებშიც AB = A 1 B 1 , კუთხე A = კუთხე A 1 და კუთხე B = კუთხე B 1 (ნახ. 47). დავამტკიცოთ, რომ სამკუთხედები თანმიმდევრულია.
მოდით A 1 B 2 C 2 იყოს სამკუთხედი ABC სამკუთხედის ტოლი, B 2 წვერით A 1 B 1 სხივზე და წვერო C 2 იმავე ნახევრად სიბრტყეში A 1 B 1 წრფესთან მიმართებაში, სადაც დგას წვერო C 1.
ვინაიდან A 1 B 2 =A 1 B 1, მაშინ B 2 წვერო ემთხვევა B 1 წვეროს. ვინაიდან კუთხე B 1 A 1 C 2 = კუთხე B 1 A 1 C 1 და კუთხე A 1 B 1 C 2 = კუთხე A 1 B 1 C 1, მაშინ სხივი A 1 C 2 ემთხვევა A 1 C 1 სხივს და B სხივს. 1 C 2 ემთხვევა სხივს B 1 C 1. აქედან გამომდინარეობს, რომ წვერო C 2 ემთხვევა წვერო C 1-ს.
ასე რომ, სამკუთხედი A 1 B 1 C 1 ემთხვევა სამკუთხედს A 1 B 2 C 2 და, შესაბამისად, უდრის სამკუთხედს ABC. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 3.რომელ სამკუთხედს ეწოდება ტოლფერდა? ტოლფერდა სამკუთხედის რომელ გვერდებს ეწოდება გვერდითი გვერდები? რომელ მხარეს ჰქვია ფუძე?
პასუხი:სამკუთხედს ტოლფერდა ეწოდება, თუ მისი ორი გვერდი ტოლია. ამ ტოლ გვერდებს ეწოდება გვერდები, ხოლო მესამე მხარეს - სამკუთხედის ფუძე.

კითხვა 4.დაამტკიცეთ, რომ ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია.
პასუხი: თეორემა 3.3 (ტოლფერდა სამკუთხედის კუთხეების თვისება).ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია.
მტკიცებულება.დავუშვათ, რომ ABC იყოს ტოლკუთხედი სამკუთხედი AB ფუძით (სურ. 48). დავამტკიცოთ, რომ მისი კუთხე A = კუთხე B.

სამკუთხედი CAB უდრის სამკუთხედს CBA სამკუთხედების ტოლობის პირველი კრიტერიუმის მიხედვით. მართლაც, CA= CB, CB= CA, კუთხე C= კუთხე C. სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ კუთხე A= კუთხე B. თეორემა დადასტურებულია.

კითხვა 5.რომელ სამკუთხედს ეწოდება ტოლგვერდა?
პასუხი:სამკუთხედს, რომელშიც ყველა გვერდი ტოლია, ტოლგვერდა ეწოდება.

კითხვა 6.დაამტკიცეთ, რომ თუ სამკუთხედში ორი კუთხე ტოლია, მაშინ ის ტოლფერდაა.
პასუხი: თეორემა 3.4 (ტოლფერდა სამკუთხედის ტესტი).თუ სამკუთხედში ორი კუთხე ტოლია, მაშინ ის ტოლფერდაა.
მტკიცებულება.მოდით ABC იყოს სამკუთხედი, რომელშიც A = კუთხე B (ნახ. 50). დავამტკიცოთ, რომ ის არის AB ფუძის მქონე ტოლფერდა.

სამკუთხედი ABC უდრის BAC სამკუთხედს სამკუთხედების ტოლობის მეორე კრიტერიუმის მიხედვით. მართლაც, AB=BA, კუთხე B= კუთხე A, კუთხე A= კუთხე B. სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ AC= BC. ასე რომ, განმარტებით, სამკუთხედი ABC არის ტოლფერდა. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 7.ახსენით რა არის საპირისპირო თეორემა. მიეცი მაგალითი. მართალია საპირისპირო ყველა თეორემისთვის?
პასუხი:თეორემა 3.4 ეწოდება თეორემა 3.3-ის საპირისპიროს. თეორემა 3.3-ის დასკვნა არის თეორემა 3.4-ის პირობა. და თეორემა 3.3-ის პირობა არის თეორემა 3.4-ის დასკვნა. ყველა თეორემას არ აქვს საპირისპირო, ანუ თუ მოცემული თეორემა ჭეშმარიტია, მაშინ საპირისპირო თეორემა შეიძლება იყოს მცდარი. მოდით ავხსნათ ეს ვერტიკალური კუთხეების თეორემის მაგალითის გამოყენებით. ეს თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: თუ ორი კუთხე ვერტიკალურია, მაშინ ისინი ტოლია. საპირისპირო თეორემა იქნება: თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ ისინი ვერტიკალურია. და ეს, რა თქმა უნდა, სიმართლეს არ შეესაბამება. ორი თანაბარი კუთხე არ უნდა იყოს ვერტიკალური.

კითხვა 8.რა არის სამკუთხედის სიმაღლე?
პასუხი:სიმაღლემოცემული წვეროდან ამოვარდნილ სამკუთხედს ეწოდება პერპენდიკულური, რომელიც შედგენილია ამ წვეროდან სწორ ხაზთან, რომელიც შეიცავს სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს (სურ. 51, a-b).

კითხვა 9.რა არის სამკუთხედის ბისექტრი?
პასუხი:ბისექტორიმოცემული წვეროდან გამოყვანილ სამკუთხედს ეწოდება სამკუთხედის კუთხის ბისექტრის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წვეროს მოპირდაპირე მხარეს არსებულ წერტილთან (სურ. 52, ა).

კითხვა 10.რა არის სამკუთხედის მედიანა?
პასუხი:მედიანურიმოცემული წვეროდან გამოყვანილ სამკუთხედს ეწოდება სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წვეროს სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარის შუათან (სურ. 52, ბ).

კითხვა 11.დაამტკიცეთ, რომ ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძესთან მიყვანილი მედიანა არის ბისექტორი და სიმაღლე.
პასუხი: თეორემა 3.5 (ტოლფერდა სამკუთხედის შუალედის თვისება).ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძისკენ მიზიდული მედიანა არის ბისექტორი და სიმაღლე.
მტკიცებულება.მოდით ABC იყოს მოცემული ტოლფერდა სამკუთხედი ფუძით AB და CD ფუძემდე მიყვანილი მედიანა (სურ. 53). სამკუთხედები CAD და CBD ტოლია სამკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშნის მიხედვით. (მათი გვერდები AC და BC ტოლია, რადგან სამკუთხედი ABC არის ტოლფერდა. კუთხეები CAD და CBD ტოლია ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძის კუთხეებისა. გვერდები AD და BD ტოლია, რადგან D არის AB სეგმენტის შუა წერტილი.)
სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს კუთხეების ტოლობა: კუთხე ACD = კუთხე BCD, კუთხე ADC = კუთხე BDC. ვინაიდან ACD და BCD კუთხეები ტოლია, CD არის ბისექტორი. ვინაიდან ADC და BDC კუთხეები მიმდებარე და ტოლია, ისინი მართი კუთხეებია, ამიტომ CD არის სამკუთხედის სიმაღლე.

კითხვა 12.დაამტკიცეთ სამკუთხედების ტოლობის მესამე კრიტერიუმი.
პასუხი: სამკუთხედების ტოლობის მესამე კრიტერიუმია თეორემა 3.6 (სამ გვერდის სამკუთხედების ტოლობის ტესტი). თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი უდრის მეორე სამკუთხედის სამ გვერდს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები თანმიმდევრულია.

მტკიცებულება.მოდით ABC და A 1 B 1 C 1 იყოს ორი სამკუთხედი, რომლებშიც AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 (ნახ. 55). თქვენ უნდა დაამტკიცოთ, რომ სამკუთხედები თანმიმდევრულია.
ვთქვათ, სამკუთხედები არ არის ტოლი. მაშინ მათი კუთხე A არ = კუთხე A 1, კუთხე B არა = კუთხე B 1, კუთხე C არ არის = კუთხე C 1. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ისინი პირველ რიგში თანაბარი იქნებოდნენ.
დავუშვათ A 1 B 1 C 2 სამკუთხედის ტოლი ABC სამკუთხედის ტოლი, რომლის წვერო C 2 დევს იმავე ნახევარ სიბრტყეში წვეროსთან C 1 სწორი A 1 B 1-ის მიმართ (იხ. სურ. 55).
ვთქვათ D იყოს C 1 C 2 სეგმენტის შუა წერტილი. სამკუთხედები A 1 C 1 C 2 და B 1 C 1 C 2 არის ტოლფერდა C ​​1 C 2 საერთო ფუძით. ამიტომ მათი მედიანა A 1 D და B 1 D არის სიმაღლეები. ეს ნიშნავს, რომ ხაზები A 1 D და B 1 D პერპენდიკულარულია C 1 C 2 წრფეზე. ხაზები A 1 D და B 1 D არ ემთხვევა ერთმანეთს, რადგან წერტილები A 1, B 1, D არ დევს იმავე წრფეზე. მაგრამ C 1 C 2 სწორი ხაზის D წერტილის მეშვეობით თქვენ შეგიძლიათ დახაზოთ მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი მასზე პერპენდიკულარული. ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივედით. თეორემა დადასტურდა.

ტესტის კითხვები §4.სამკუთხედის კუთხეების ჯამი.

Კითხვა 1.დაამტკიცეთ, რომ მესამეს პარალელურად ორი წრფე პარალელურია.
პასუხი: თეორემა 4.1. მესამეს პარალელურად ორი წრფე პარალელურია.
მტკიცებულება.მოდით, a და b წრფეები იყოს c წრფის პარალელურად. დავუშვათ, რომ a და b არ არიან პარალელები (სურ. 69). მაშინ ისინი არ იკვეთებიან რაღაც C წერტილში. ეს ნიშნავს, რომ ორი წრფე გადის C წერტილში c წრფის პარალელურად. მაგრამ ეს შეუძლებელია, რადგან მოცემულ წრფეზე არ დევს წერტილის მეშვეობით, შეგიძლიათ მოცემული პარალელურად ერთი სწორი ხაზის დახატვა. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 2.ახსენით რომელ კუთხეებს უწოდებენ ცალმხრივ შიდა კუთხეებს. რომელ კუთხეებს უწოდებენ შიდა ჯვარედინი ცრუებს?
პასუხი:კუთხეების წყვილებს, რომლებიც წარმოიქმნება AB და CD ხაზების გადაკვეთისას AC სეკანტთან, აქვთ სპეციალური სახელები.
თუ B და D წერტილები ერთსა და იმავე ნახევრად სიბრტყეში დევს სწორი ხაზის AC-ის მიმართ, მაშინ BAC და DCA კუთხეებს უწოდებენ ცალმხრივ შიდა კუთხეებს (ნახ. 71, ა).
თუ B და D წერტილები განლაგებულია სხვადასხვა ნახევარ სიბრტყეში სწორი ხაზის მიმართ AC, მაშინ BAC და DCA კუთხეებს უწოდებენ შიდა ჯვარედინი დაწოლის კუთხეებს (ნახ. 71, ბ).

კითხვა 3.დაამტკიცეთ, რომ თუ ერთი წყვილის შიდა კუთხეები ტოლია, მაშინ მეორე წყვილის შიდა კუთხეებიც ტოლია და თითოეული წყვილის შიდა კუთხეების ჯამი არის 180°.
პასუხი:სეკანტური AC AB და CD ხაზებით ქმნის ორ წყვილ შიდა ცალმხრივ კუთხეს და ორ წყვილ შიდა ჯვარედინი კუთხით. ერთი წყვილის შიდა ჯვარედინი კუთხეები, მაგალითად, კუთხე 1 და კუთხე 2, ესაზღვრება მეორე წყვილის შიდა ჯვარედინი კუთხეებს: კუთხე 3 და კუთხე 4 (ნახ. 72). ბრინჯი. 72

ამიტომ, თუ ერთი წყვილის შიდა კუთხეები თანმიმდევრულია, მაშინ მეორე წყვილის შიდა კუთხეებიც ტოლია.
შიდა ჯვარედინი კუთხის წყვილს, მაგალითად, კუთხე 1 და კუთხე 2, და წყვილი შიდა ცალმხრივი კუთხეები, მაგალითად კუთხე 2 და კუთხე 3, აქვთ ერთი საერთო კუთხე - კუთხე 2, ხოლო ორი სხვა კუთხე მიმდებარეა. : კუთხე 1 და კუთხე 3.
ამიტომ, თუ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, მაშინ შიდა კუთხეების ჯამი არის 180°. და პირიქით: თუ შიდა გადამკვეთი კუთხეების ჯამი უდრის 180°-ს, მაშინ გადამკვეთი შიდა კუთხეები ტოლია. ქ.ე.დ.

კითხვა 4.დაამტკიცეთ ტესტი პარალელური წრფეებისთვის.
პასუხი: თეორემა 4.2 (ტესტი პარალელური წრფეებისთვის).თუ შიდა განივი კუთხეები ტოლია ან შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 180°-ს, მაშინ წრფეები პარალელურია.
მტკიცებულება.სწორმა ხაზებმა a და b შექმნან თანაბარი შიდა ჯვარედინი კუთხეები AB სეკანტით (სურ. 73, ა). ვთქვათ, a და b წრფეები არ არიან პარალელური, რაც ნიშნავს, რომ ისინი იკვეთებიან C რაღაც წერტილში (სურ. 73, b). ბრინჯი. 73

სეკანტი AB ყოფს თვითმფრინავს ორ ნახევრად სიბრტყეზე. წერტილი C დევს ერთ-ერთ მათგანში ავაშენოთ სამკუთხედი BAC 1, ტოლი სამკუთხედის ABC, C 1 წვერით მეორე ნახევარსიბრტყეში. პირობით, შიდა ჯვარედინ კუთხეები a, b და სეკანტი AB ტოლია. ვინაიდან A და B წვეროებით ABC და BAC 1 სამკუთხედების შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ისინი ემთხვევა ჯვარედინი მდებარე შიდა კუთხეებს. ეს ნიშნავს, რომ AC 1 წრფე ემთხვევა a წრფეს, ხოლო BC 1 წრფე ემთხვევა b წრფეს. გამოდის, რომ ორი განსხვავებული სწორი ხაზი a და b გადის C და C 1 წერტილებზე. და ეს შეუძლებელია. ეს ნიშნავს, რომ a და b წრფეები პარალელურია.
თუ a და b წრფეებსა და განივი AB-ს აქვს შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი 180°-ის, მაშინ, როგორც ვიცით, ჯვარედინი მდებარე შიდა კუთხეები ტოლია. ეს ნიშნავს, როგორც ზემოთ დადასტურდა, a და b წრფეები პარალელურია. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 5.ახსენით რომელ კუთხეებს უწოდებენ შესაბამის კუთხეებს. დაამტკიცეთ, რომ თუ შიდა განივი კუთხეები ტოლია, მაშინ შესაბამისი კუთხეებიც ტოლია და პირიქით.

პასუხი:თუ შიდა ჯვარედინი კუთხისთვის ერთი კუთხე ჩანაცვლებულია ვერტიკალურით, მაშინ მივიღებთ კუთხეების წყვილს, რომლებსაც ამ წრფეების შესაბამისი კუთხეები ეწოდება. რისი ახსნა იყო საჭირო.
ჯვარედინად დაწოლილი შიდა კუთხეების ტოლობიდან გამომდინარეობს შესაბამისი კუთხეების ტოლობა და პირიქით. ვთქვათ, გვაქვს ორი პარალელური წრფე (რადგან პირობითად, ერთმანეთზე განლაგებული შიდა კუთხეები ტოლია) და განივი, რომლებიც ქმნიან კუთხეებს 1, 2, 3. კუთხეები 1 და 2 ტოლია, როგორც ერთმანეთზე განლაგებული შიდა კუთხეები. და კუთხეები 2 და 3 ტოლია ვერტიკალური. ვიღებთ: ∠1 = ∠2 და ∠2 = ∠3. ტოლობის ნიშნის გარდამავალობის თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ∠1 = ∠3.

3. საპირისპირო დებულება დასტურდება ანალოგიურად.
აქედან ვიღებთ ნიშანს, რომ სწორი ხაზები პარალელურია შესაბამისი კუთხით. კერძოდ: სწორი ხაზები პარალელურია, თუ შესაბამისი კუთხეები ტოლია. ქ.ე.დ.

კითხვა 6.დაამტკიცეთ, რომ წერტილის მეშვეობით, რომელიც არ არის მოცემულ წრფეზე, შეგიძლიათ დახაზოთ მის პარალელურად. მოცემული წრფის პარალელურად რამდენი წრფე შეიძლება გაივლოს ამ წრფეზე არ მდებარე წერტილიდან?

პასუხი:პრობლემა (8). მოცემულია AB წრფე და C წერტილი, რომელიც არ დევს ამ წრფეზე. დაამტკიცეთ, რომ C წერტილის გავლით შეგიძლიათ AB წრფის პარალელურად დახაზვა.
გამოსავალი. ხაზი AC ყოფს სიბრტყეს ორ ნახევრად სიბრტყეზე (სურ. 75). წერტილი B დევს ერთ-ერთ მათგანში. მოდით დავამატოთ ACD კუთხე CA ნახევარწრფივიდან მეორე ნახევარსიბრტყეზე, ტოლი CAB კუთხით. მაშინ AB და CD წრფეები პარალელური იქნება. ფაქტობრივად, ამ ხაზებისა და AC სექანტისთვის, შიდა კუთხეები BAC და DCA ჯვარედინზეა. და რადგან ისინი ტოლია, AB და CD წრფეები პარალელურია. ქ.ე.დ. მე-8 ამოცანის დებულებასა და IX აქსიომას (პარალელური წრფეების ძირითადი თვისება) შევადარებთ, მივდივართ მნიშვნელოვან დასკვნამდე: მოცემულ წრფეზე არ დევს წერტილის მეშვეობით, შესაძლებელია მის პარალელურად და მხოლოდ ერთი წრფის გავლება.

კითხვა 7.დაამტკიცეთ, რომ თუ ორი წრფე იკვეთება მესამე წრფით, მაშინ გადამკვეთი შიდა კუთხეები ტოლია, ხოლო შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.

პასუხი: თეორემა 4.3(თეორემის საპირისპირო 4.2). თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება მესამე წრფესთან, მაშინ გადამკვეთი შიდა კუთხეები ტოლია, ხოლო შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.
მტკიცებულება.დავუშვათ a და b იყოს პარალელური წრფეები და c იყოს წრფე, რომელიც კვეთს მათ A და B წერტილებს. მოდით გავავლოთ a 1 წრფე A წერტილამდე ისე, რომ c განივი კუთხეები, რომლებიც წარმოიქმნება c განივი წრფეებით a 1 და b ტოლი იყოს. (სურ. 76). წრფეების პარალელურობის პრინციპის მიხედვით, a 1 და b წრფეები პარალელურია. და რადგან მხოლოდ ერთი წრფე გადის A წერტილში, ბ წრფის პარალელურად, მაშინ a წრფე ემთხვევა a 1 წრფეს. ეს ნიშნავს, რომ შიდა ჯვარედინი კუთხეები, რომლებიც წარმოიქმნება a და b პარალელური ხაზებით განივი, ტოლია. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 8.დაამტკიცეთ, რომ მესამეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე პარალელურია. თუ წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური წრფედან ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.
პასუხი:თეორემა 4.2-დან გამომდინარეობს, რომ მესამეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე პარალელურია.
დავუშვათ, რომ ნებისმიერი ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე. ეს ნიშნავს, რომ ეს ხაზები იკვეთება მესამე წრფესთან 90°-ის ტოლი კუთხით. პარალელური წრფეების გადაკვეთისას წარმოქმნილი კუთხეების თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ წრფე პერპენდიკულარულია ერთ-ერთ პარალელურ წრფეზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.

კითხვა 9.დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°.

პასუხი: თეორემა 4.4.სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°.
მტკიცებულება.მოდით ABC იყოს მოცემული სამკუთხედი. მოდით გავავლოთ ხაზი B წვეროზე AC წრფის პარალელურად. მონიშნეთ მასზე D წერტილი ისე, რომ A და D წერტილები BC სწორი ხაზის მოპირდაპირე მხარეს იყოს (სურ. 78). კუთხეები DBC და ACB თანმიმდევრულია, როგორც შიდა ჯვარედინი კუთხეები, რომლებიც წარმოიქმნება განივი BC პარალელური ხაზებით AC და BD. მაშასადამე, B და C წვეროებზე სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ABD კუთხის ტოლია.
ხოლო სამკუთხედის სამივე კუთხის ჯამი უდრის ABD და BAC კუთხეების ჯამს. ვინაიდან ეს არის ცალმხრივი შიდა კუთხეები პარალელური AC და BD და სეკანტური AB-სთვის, მათი ჯამი არის 180°. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 10.დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერ სამკუთხედს აქვს მინიმუმ ორი მახვილი კუთხე.
პასუხი:მართლაც, დავუშვათ, რომ სამკუთხედს აქვს მხოლოდ ერთი მახვილი კუთხე ან საერთოდ არ არის მკვეთრი კუთხე. მაშინ ამ სამკუთხედს აქვს ორი კუთხე, რომელთაგან თითოეული არის მინიმუმ 90°. ამ ორი კუთხის ჯამი არანაკლებ 180°-ია. მაგრამ ეს შეუძლებელია, რადგან სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი არის 180°. ქ.ე.დ.

კითხვა 11.რა არის სამკუთხედის გარე კუთხე?
პასუხი:სამკუთხედის გარე კუთხე მოცემულ წვეროზე არის სამკუთხედის კუთხის მიმდებარე კუთხე ამ წვეროზე (სურ. 79).

კითხვა 12.დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის ორი შიდა კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არიან მის გვერდით.

პასუხი: თეორემა 4.5.სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის ორი შიდა კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არის მის გვერდით.
მტკიცებულება. ABC იყოს მოცემული სამკუთხედი (სურ. 80). სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემით ∠A + ∠B + ∠C = 180°. აქედან გამომდინარეობს, რომ ∠A + ∠B = 180° - ∠C. ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს არის სამკუთხედის გარე კუთხის ხარისხი C წვეროზე. თეორემა დადასტურებულია.

კითხვა 13.დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე მეტია ნებისმიერ შიდა კუთხეზე, რომელიც არ არის მის მიმდებარედ.
პასუხი:თეორემა 4.5-დან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე აღემატება მის მიმდებარე ნებისმიერ შიდა კუთხეს.

კითხვა 14.რომელ სამკუთხედს ეწოდება მართკუთხა სამკუთხედი?
პასუხი:სამკუთხედს მართკუთხა ეწოდება, თუ მას აქვს მართი კუთხე.

კითხვა 15.რა არის მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამი?
პასუხი:ვინაიდან სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°, მართკუთხა სამკუთხედს აქვს მხოლოდ ერთი მართი კუთხე. მართკუთხა სამკუთხედის დანარჩენი ორი კუთხე მახვილია. მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამია 180° - 90° = 90°.

კითხვა 16.მართკუთხა სამკუთხედის რომელ გვერდს ეწოდება ჰიპოტენუზა? რომელ გვერდებს უწოდებენ ფეხებს?

პასუხი:მართი კუთხის მოპირდაპირე მართკუთხა სამკუთხედის გვერდს ჰიპოტენუზა ეწოდება, დანარჩენ ორ გვერდს კი ფეხები (სურ. 82).

კითხვა 17.ჩამოაყალიბეთ ტესტი ჰიპოტენუზისა და ფეხის გასწვრივ მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობისთვის.

პასუხი:თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და ფეხი, შესაბამისად, ტოლია მეორე სამკუთხედის ჰიპოტენუზასა და ფეხი, მაშინ ასეთი სამკუთხედები თანმიმდევრულია.

კითხვა 18.დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ არის მოცემულ წრფეზე, შეგიძლიათ ჩამოაგდოთ პერპენდიკულარული ამ წრფეზე და მხოლოდ ერთი.

პასუხი: თეორემა 4.6.ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ არის მოცემულ ხაზზე, შეგიძლიათ ჩამოაგდოთ პერპენდიკულარული ამ წრფეზე და მხოლოდ ერთი.
მტკიცებულება.ვთქვათ a არის მოცემული წრფე და A წერტილი, რომელიც არ დევს მასზე (სურ. 85). მოდით გავავლოთ პერპენდიკულარული ხაზი a წრფის რაღაც წერტილში. ახლა გავავლოთ ბ წრფე მის პარალელურად A წერტილის გავლით. ის პერპენდიკულარული იქნება a წრფეზე, ვინაიდან წრფე a, რომელიც პერპენდიკულარულია ერთ-ერთ პარალელურ წრფეზე, ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ. b წრფის AB სეგმენტი არის A წერტილიდან a წრფემდე შედგენილი პერპენდიკულური.
დავამტკიცოთ AB პერპენდიკულარულის უნიკალურობა. ვთქვათ არის კიდევ ერთი პერპენდიკულარული AC. მაშინ სამკუთხედს ABC ექნება ორი მართი კუთხე. და ეს, როგორც ვიცით, შეუძლებელია. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 19.რა ჰქვია მანძილს წერტილიდან ხაზამდე?
პასუხი:მოცემული წერტილიდან სწორ ხაზამდე დახატული პერპენდიკულარის სიგრძეს ეწოდება მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე.

კითხვა 20.ახსენით რა მანძილია პარალელურ წრფეებს შორის.
პასუხი:მანძილი პარალელურ ხაზებს შორის არის მანძილი ერთი ხაზის ნებისმიერი წერტილიდან მეორე ხაზამდე.

ტესტის კითხვები §5. გეომეტრიული კონსტრუქციები.

Კითხვა 1.რა არის წრე, წრის ცენტრი, რადიუსი?
პასუხი:წრე არის ფიგურა, რომელიც შედგება სიბრტყის ყველა წერტილისგან, რომლებიც თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილიდან. ამ წერტილს წრის ცენტრს უწოდებენ. მანძილს წრის წერტილებიდან მის ცენტრამდე ეწოდება რადიუსი. რადიუსს ასევე უწოდებენ ნებისმიერ სეგმენტს, რომელიც აკავშირებს წრის წერტილს მის ცენტრთან.

კითხვა 2.რა არის წრის აკორდი? რომელ აკორდს ეწოდება დიამეტრი?
პასუხი:წრეზე ორი წერტილის დამაკავშირებელ სეგმენტს აკორდი ეწოდება. ცენტრში გამავალ აკორდს დიამეტრი ეწოდება.

კითხვა 3.რომელ წრეს უწოდებენ სამკუთხედის შემოხაზულ წრეს?
პასუხი:წრეს უწოდებენ სამკუთხედის გარშემო შემოხაზულს, თუ ის გადის მის ყველა წვეროზე.

კითხვა 4.დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი დგას სამკუთხედის გვერდების პერპენდიკულარული ბისექტორების გადაკვეთაზე.
პასუხი: თეორემა 5.1.სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი არის პერპენდიკულარების გადაკვეთის წერტილი სამკუთხედის გვერდებზე, რომლებიც შედგენილია ამ გვერდების შუა წერტილებში.
მტკიცებულება.მოდით ABC იყოს მოცემული სამკუთხედი და O იყოს მის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი (სურ. 93). სამკუთხედი AOC არის ტოლფერდა: მისი გვერდები OA და OC რადიუსის ტოლია. ამ სამკუთხედის მედიანა OD არის ასევე მისი სიმაღლე. მაშასადამე, წრის ცენტრი დევს ხაზზე, რომელიც პერპენდიკულარულია AC მხარის მიმართ და გადის მის შუა წერტილში. ანალოგიურად, დადასტურდა, რომ წრის ცენტრი დგას სამკუთხედის დანარჩენი ორი მხარის პერპენდიკულარებზე. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 5.რომელ წრფეს ეწოდება წრის ტანგენსი?
პასუხი:სწორ ხაზს, რომელიც გადის წრის წერტილზე, რომელიც პერპენდიკულარულია ამ წერტილის რადიუსზე, ეწოდება ტანგენსი. ამ შემთხვევაში წრის ამ წერტილს ტანგენციის წერტილი ეწოდება.

კითხვა 6.რას ნიშნავს: წრეები ეხებიან მოცემულ წერტილს?
პასუხი:ამბობენ, რომ ორი წრე, რომელსაც აქვს საერთო წერტილი, ეხება ამ წერტილს, თუ მათ აქვთ საერთო ტანგენსი ამ წერტილში (სურ. 97).

კითხვა 7.წრეების რომელ კონტაქტს ეწოდება გარეგანი და რომელს შიდა?
პასუხი:წრეების ტანგენციას უწოდებენ შიდა, თუ წრეების ცენტრები დევს მათი საერთო ტანგენტის ერთ მხარეს (სურ. 97, ა). წრეების ტანგენსს უწოდებენ გარე, თუ წრეების ცენტრები დევს მათი საერთო ტანგენტის მოპირდაპირე მხარეს (სურ. 97, ბ).

კითხვა 8.რომელ წრეს უწოდებენ სამკუთხედში ჩაწერილს?
პასუხი:ამბობენ, რომ წრე იწერება სამკუთხედში, თუ ის ეხება მის ყველა მხარეს.

კითხვა 9.დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი მდებარეობს მისი ბისექტრების გადაკვეთაზე.
პასუხი: თეორემა 5.2.სამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი არის მისი ბისექტორების გადაკვეთის წერტილი.
მტკიცებულება.მოდით ABC იყოს მოცემული სამკუთხედი, O მასში ჩაწერილი წრის ცენტრი, D, E და F წრის გვერდებთან შეხების წერტილები (სურ. 98). მართკუთხა სამკუთხედები AOD და AOE ტოლია ჰიპოტენუზასა და ფეხიში. მათ აქვთ საერთო ჰიპოტენუზა AO, ხოლო ფეხები OD და OE უდრის რადიუსს. სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ OAD და OAE კუთხეები ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ O წერტილი დევს A წვეროდან გამოყვანილი სამკუთხედის ბისექტრზე. დამტკიცებულია, რომ წერტილი O დევს სამკუთხედის დანარჩენ ორ ბისექტორზე. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 10.ახსენით, როგორ ავაშენოთ სამკუთხედი სამი გვერდის გამოყენებით.
პასუხი: პრობლემა 5.1.ააგეთ სამკუთხედი მოცემული გვერდებით a, b, c (სურ. 99, ა).
გამოსავალი.სახაზავის გამოყენებით დახაზეთ თვითნებური სწორი ხაზი და მონიშნეთ მასზე თვითნებური წერტილი B (სურ. 99, ბ). a-ს ტოლი კომპასის გახსნის გამოყენებით, ჩვენ აღვწერთ წრეს B ცენტრით და a რადიუსით. მოდით C იყოს წრფესთან მისი გადაკვეთის წერტილი. ახლა, c-ის ტოლი კომპასის გახსნით, ჩვენ აღვწერთ წრეს B ცენტრიდან, ხოლო კომპასის ტოლი b-ის გახსნით, ჩვენ აღვწერთ წრეს C ცენტრიდან. მოდით A იყოს ამ წრეების გადაკვეთის წერტილი. დავხატოთ AB და AC სეგმენტები. ABC სამკუთხედს აქვს გვერდები a, b, c-ის ტოლი. რისი ახსნა იყო საჭირო.

კითხვა 11.ახსენით, როგორ გამოვსახოთ მოცემული კუთხის ტოლი კუთხე მოცემული ნახევარწრფიდან მოცემულ ნახევარსიბრტყეში.
პასუხი: ამოცანა 5.2.მოცემული ნახევარწრფისაგან გამოვაკლოთ მოცემული კუთხის ტოლი კუთხე მოცემულ ნახევარსიბრტყეში.
გამოსავალი.დავხატოთ თვითნებური წრე თავისი ცენტრით მოცემული კუთხის A წვეროსთან (სურ. 100,a). მოდით B და C იყოს წრის გადაკვეთის წერტილები კუთხის გვერდებთან. AB რადიუსით ვხატავთ წრეს ცენტრით O წერტილში - ამ ნახევარწრფის საწყისი წერტილი (სურ. 100, ბ). ამ წრის გადაკვეთის წერტილი ამ ნახევარწრფესთან ავღნიშნოთ როგორც B 1 . მოდით აღვწეროთ წრე B 1 ცენტრით და BC რადიუსით. მითითებული ნახევარსიბრტყეში აგებული წრეების გადაკვეთის წერტილი C 1 დევს სასურველი კუთხის მხარეს. ამის დასამტკიცებლად საკმარისია აღინიშნოს, რომ სამკუთხედები ABC და OB 1 C 1 თანმიმდევრულია, როგორც სამკუთხედები, შესაბამისად ტოლი გვერდებით. A და O კუთხეები ამ სამკუთხედების შესაბამისი კუთხეებია. რისი ახსნა იყო საჭირო.

კითხვა 12.ახსენით, როგორ გავყოთ ეს კუთხე შუაზე.
პასუხი: ამოცანა 5.3.ააგეთ მოცემული კუთხის ბისექტრი.
გამოსავალი.მოცემული კუთხის A წვეროდან, როგორც ცენტრიდან, ჩვენ აღწერს თვითნებური რადიუსის წრეს (ნახ. 101). მოდით B და C იყოს მისი გადაკვეთის წერტილები კუთხის გვერდებთან. B და C წერტილებიდან ჩვენ აღვწერთ წრეებს იგივე რადიუსით. მოდით, D იყოს მათი გადაკვეთის წერტილი, განსხვავებული A-სგან. დახაზეთ ნახევარწრფი AD. Ray AD არის ბისექტორი, რადგან ის ყოფს BAC კუთხეს. ეს გამომდინარეობს სამკუთხედების ABD და ACD ტოლობიდან, რომელთა კუთხეები DAB და DAC შესაბამისია. რისი ახსნა იყო საჭირო.

კითხვა 13.ახსენით, როგორ გავყოთ ხაზის სეგმენტი შუაზე.
პასუხი: ამოცანა 5.4.გაყავით სეგმენტი შუაზე.
გამოსავალი. AB იყოს მოცემული სეგმენტი (სურ. 102). A და B წერტილებიდან AB რადიუსით აღვწერთ წრეებს. მოდით C და C 1 იყოს ამ წრეების გადაკვეთის წერტილები. ისინი განლაგებულნი არიან სხვადასხვა ნახევრად სიბრტყეში AB სწორ ხაზთან შედარებით. სეგმენტი CC 1 კვეთს AB წრფეს რაღაც O წერტილში. ეს წერტილი არის AB სეგმენტის შუა წერტილი. მართლაც, სამკუთხედები CAC 1 და CBC 1 ტოლია სამკუთხედების ტოლობის მესამე კრიტერიუმის მიხედვით. ეს ნიშნავს, რომ კუთხეები ACO და BCO ტოლია. სამკუთხედები ACO და BCO ტოლია სამკუთხედების ტოლობის პირველი კრიტერიუმის მიხედვით. ამ სამკუთხედების AO და BO გვერდები შესაბამისია და ამიტომ ისინი ტოლია. ამრიგად, O არის AB სეგმენტის შუა წერტილი. რისი ახსნა იყო საჭირო.

კითხვა 14.ახსენით, როგორ გავავლოთ მოცემული წრფის პერპენდიკულარული წრფე მოცემულ წერტილში.
პასუხი: ამოცანა 5.5.მოცემული წერტილის გავლით O გაავლეთ წრფე მოცემული წრფის პერპენდიკულარული a.
გამოსავალი.არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა:
1) წერტილი O დევს a წრფეზე;
2) წერტილი O არ დევს a წრფეზე.
განვიხილოთ პირველი შემთხვევა (სურ. 103).
O წერტილიდან ვხატავთ თვითნებური რადიუსის წრეს. ის კვეთს a წრფეს ორ წერტილზე: A და B. A და B წერტილებიდან ვხატავთ AB რადიუსის წრეებს. მოდით C იყოს მათი გადაკვეთის წერტილი. საჭირო ხაზი გადის O და C წერტილებზე.
OC და AB წრფეების პერპენდიკულურობა გამომდინარეობს ACO და BCO სამკუთხედების O წვეროზე კუთხეების ტოლობიდან. ეს სამკუთხედები ჭრილობებია სამკუთხედების თანასწორობის მესამე ნიშნის მიხედვით.
განვიხილოთ მეორე შემთხვევა (სურ. 104).
O წერტილიდან ვხატავთ a-ს გადამკვეთ წრფეს. A და B წერტილებიდან ვხატავთ წრეებს იგივე რადიუსით. დაე, O1 იყოს მათი გადაკვეთის წერტილი, რომელიც განსხვავებულ ნახევრად სიბრტყეშია, რომელშიც O წერტილი დევს საჭირო სწორი ხაზი O და O1 წერტილებზე. დავამტკიცოთ.
C-ით ავღნიშნოთ AB და OO1 წრფეების გადაკვეთის წერტილი. სამკუთხედები AOB და AO1B ტოლია მესამე კრიტერიუმის მიხედვით. ამიტომ კუთხე OAC უდრის O1AC კუთხეს. და მაშინ სამკუთხედები OAC და O1AC ტოლია პირველი კრიტერიუმის მიხედვით. ეს ნიშნავს, რომ მათი კუთხეები ACO და ACO1 ტოლია. და რადგან ისინი მიმდებარედ არიან, ისინი სწორია. ამრიგად, OC არის პერპენდიკულური, რომელიც ჩამოშვებულია O წერტილიდან a სწორ წრფეზე. რისი ახსნა იყო საჭირო.

კითხვა 15.რა არის წერტილების ლოკუსი, რომლებიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული ორი მოცემული წერტილიდან?
პასუხი: თეორემა 5.3.ორი მოცემული წერტილიდან თანაბრად დაშორებული წერტილების ლოკუსი არის სწორი ხაზი, რომელიც პერპენდიკულარულია ამ წერტილების დამაკავშირებელ და მის შუა წერტილში გამავალ სეგმენტზე.
მტკიცებულება.მიეცით A და B წერტილები, a არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის AB სეგმენტის O შუა წერტილში მასზე პერპენდიკულარული (სურ. 105). ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ:
1) a წრფის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული A და B წერტილებისგან;
2) სიბრტყის თითოეული წერტილი D, A და B წერტილებისგან თანაბარი მანძილით, მდებარეობს a წრფეზე.
AOC და BOC სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს ის ფაქტი, რომ a წრფის C თითოეული წერტილი ერთსა და იმავე მანძილზეა A და B წერტილებიდან. ამ სამკუთხედებს აქვთ მართი კუთხე O წვეროზე, გვერდი OC საერთოა და AO = OB, რადგან O არის AB სეგმენტის შუა წერტილი.
ახლა ვაჩვენოთ, რომ სიბრტყის ყველა D წერტილი, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული A და B წერტილებისგან, მდებარეობს a წრფეზე. განვიხილოთ სამკუთხედი ADB. ის ტოლფერდაა, ვინაიდან AD=BD. მასში DO არის მედიანა. ტოლფერდა სამკუთხედის თვისების მიხედვით, ფუძემდე მიყვანილი მედიანა არის სიმაღლე. ეს ნიშნავს, რომ წერტილი D დევს a წრფეზე. თეორემა დადასტურდა.