ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით ონლაინ. ზოგადად

ჩვენ ვაგრძელებთ სისტემების განხილვას წრფივი განტოლებები. ეს გაკვეთილი მესამეა ამ თემაზე. თუ თქვენ გაქვთ ბუნდოვანი წარმოდგენა იმაზე, თუ რა არის ზოგადად ხაზოვანი განტოლებების სისტემა, თუ თავს ჩაიდანად გრძნობთ, მაშინ გირჩევთ დაიწყოთ საფუძვლები გვერდზე შემდეგი, სასარგებლოა გაკვეთილის შესწავლა.

გაუსის მეთოდი მარტივია!რატომ? ცნობილმა გერმანელმა მათემატიკოსმა იოჰან კარლ ფრიდრიხ გაუსმა აღიარება სიცოცხლეშივე მიიღო. უდიდესი მათემატიკოსიყველა დროის, გენიოსი და თუნდაც მეტსახელად "მათემატიკის მეფე". და ყველაფერი გენიალური, როგორც ვიცით, მარტივია!სხვათა შორის, ფულს არა მარტო მწოვრები იღებენ, არამედ გენიოსებიც - გაუსის პორტრეტი იყო 10 გერმანული მარკის ბანკნოტზე (ევროს შემოღებამდე), ხოლო გაუსი ჯერ კიდევ იდუმალ ეღიმება გერმანელებს ჩვეულებრივი საფოსტო მარკებიდან.

გაუსის მეთოდი მარტივია იმით, რომ მეხუთე კლასის მოსწავლის ცოდნა საკმარისია მის დასაუფლებლად. უნდა იცოდე შეკრება და გამრავლება!შემთხვევითი არ არის, რომ მასწავლებლები ხშირად განიხილავენ უცნობთა თანმიმდევრული გამორიცხვის მეთოდს სკოლის მათემატიკის არჩევით საგანში. ეს პარადოქსია, მაგრამ სტუდენტებისთვის ყველაზე რთული გაუსის მეთოდია. არაფერია გასაკვირი – ეს ყველაფერი ტექნიკის საკითხია და ვეცდები ხელმისაწვდომი ფორმაისაუბრეთ მეთოდის ალგორითმზე.

პირველ რიგში, მოდით, სისტემატიზაცია მოვახდინოთ მცირე ცოდნის შესახებ წრფივი განტოლებების სისტემების შესახებ. წრფივი განტოლებათა სისტემას შეუძლია:

1) აქვს ერთადერთი გამოსავალი. 2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. 3) არ აქვს გადაწყვეტილებები (იყოს არაერთობლივი).

გაუსის მეთოდი არის ყველაზე მძლავრი და უნივერსალური ინსტრუმენტი გამოსავლის მოსაძებნად ნებისმიერიწრფივი განტოლებათა სისტემები. როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცული მეთოდი ისინი შეუფერებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. და უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი ყოველ შემთხვევაშიმიგვიყვანს პასუხამდე! ჩართულია ეს გაკვეთილიჩვენ კვლავ განვიხილავთ გაუსის მეთოდს No1 შემთხვევისთვის (სისტემის ერთადერთი გამოსავალი), სტატია ეძღვნება No2-3 წერტილების სიტუაციებს. აღვნიშნავ, რომ თავად მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს.

დავუბრუნდეთ უმარტივესი სისტემაკლასიდან როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებათა სისტემა?და ამოხსენით გაუსის მეთოდით.

პირველი ნაბიჯი არის ჩაწერა გაფართოებული სისტემის მატრიცა: . მგონი ყველა ხედავს რა პრინციპით იწერება კოეფიციენტები. მატრიცის შიგნით ვერტიკალურ ხაზს არ აქვს რაიმე მათემატიკური მნიშვნელობა - ეს არის უბრალოდ გადაკვეთა დიზაინის სიმარტივისთვის.

მითითება : გირჩევთ გახსოვდეთ პირობები ხაზოვანი ალგებრა. სისტემის მატრიცა არის მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, ამ მაგალითში სისტემის მატრიცა: . გაფართოებული სისტემის მატრიცა - ეს არის სისტემის იგივე მატრიცა პლუს უფასო ტერმინების სვეტი, ამ შემთხვევაში: . მოკლედ, ნებისმიერ მატრიცას შეიძლება ეწოდოს უბრალოდ მატრიცა.

გაფართოებული სისტემის მატრიცის დაწერის შემდეგ აუცილებელია მასთან რამდენიმე მოქმედების შესრულება, რომლებიც ასევე ე.წ. ელემენტარული გარდაქმნები.

არსებობს შემდეგი ელემენტარული გარდაქმნები:

1) სიმებიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაზოგან. მაგალითად, განხილულ მატრიცაში შეგიძლიათ უმტკივნეულოდ გადააწყოთ პირველი და მეორე რიგები:

2) თუ მატრიცას აქვს (ან გამოჩნდა) პროპორციული (მაგ განსაკუთრებული შემთხვევა– იდენტური) ხაზები, შემდეგ მიჰყვება წაშლამატრიციდან ყველა ეს მწკრივი ერთის გარდა. განვიხილოთ, მაგალითად, მატრიცა . ამ მატრიცაში ბოლო სამი მწკრივი პროპორციულია, ამიტომ საკმარისია მხოლოდ ერთი მათგანის დატოვება: .

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში ჩნდება ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ისიც უნდა იყოს წაშლა. მე არ დავხატავ, რა თქმა უნდა, ნულოვანი ხაზი არის ის ხაზი, რომელშიც ყველა ნული.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება იყოს გამრავლება (გაყოფა)ნებისმიერ ნომერზე არანულოვანი. განვიხილოთ, მაგალითად, მატრიცა. აქ მიზანშეწონილია პირველი ხაზი გავყოთ –3-ზე და მეორე ხაზი გავამრავლოთ 2-ზე: . ეს ქმედება ძალიან სასარგებლოა, რადგან ის ამარტივებს მატრიცის შემდგომ ტრანსფორმაციას.

5) ეს ტრანსფორმაცია იწვევს ყველაზე დიდ სირთულეებს, მაგრამ სინამდვილეში არც არაფერია რთული. მატრიცის მწკრივამდე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან. განვიხილოთ ჩვენი მატრიცა პრაქტიკული მაგალითი: . პირველ რიგში დეტალურად აღვწერ ტრანსფორმაციას. გავამრავლოთ პირველი ხაზი –2-ზე: , და მეორე სტრიქონს ვუმატებთ პირველ სტრიქონს -2-ზე გამრავლებული: . ახლა პირველი ხაზი შეიძლება დაიყოს „უკან“ –2: . როგორც ხედავთ, ხაზი, რომელიც დამატებულია LI – არ შეცვლილა. ყოველთვისიცვლება ხაზი, რომელსაც დაემატა UT.

პრაქტიკაში, რა თქმა უნდა, ისინი არ წერენ მას ასე დეტალურად, მაგრამ წერენ მოკლედ: კიდევ ერთხელ: მეორე ხაზამდე დაამატა პირველი ხაზი გამრავლებული –2-ზე. ხაზი ჩვეულებრივ მრავლდება ზეპირად ან მონახაზზე, გონებრივი გამოთვლის პროცესი ასე მიმდინარეობს:

”მე ვწერ მატრიცას და თავიდან ვწერ პირველ სტრიქონს: »

„პირველი სვეტი. ბოლოში უნდა მივიღო ნული. მაშასადამე, ზევით მყოფს ვამრავლებ –2: ზე და პირველს ვამატებ მეორე სტრიქონს: 2 + (–2) = 0. შედეგს მეორე სტრიქონში ვწერ: »

„ახლა მეორე სვეტი. ზევით ვამრავლებ -1 -2-ზე: . პირველს ვამატებ მეორე სტრიქონს: 1 + 2 = 3. შედეგს მეორე სტრიქონში ვწერ: »

„და მესამე სვეტი. ზევით -5-ს ვამრავლებ -2-ზე: . პირველს ვამატებ მეორე სტრიქონს: –7 + 10 = 3. შედეგს მეორე სტრიქონში ვწერ: »

გთხოვთ, ყურადღებით გაიგოთ ეს მაგალითი და გაიგოთ თანმიმდევრული გამოთვლის ალგორითმი, თუ ეს გესმით, მაშინ გაუსის მეთოდი პრაქტიკულად თქვენს ჯიბეშია. მაგრამ, რა თქმა უნდა, ჩვენ მაინც ვიმუშავებთ ამ ტრანსფორმაციაზე.

ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამოხსნას

! ყურადღება: განიხილება მანიპულაციები არ შეიძლება გამოყენებული, თუ შემოგთავაზებთ დავალებას, სადაც მატრიცები მოცემულია „თვითონ“. მაგალითად, "კლასიკურთან" ოპერაციები მატრიცებითარავითარ შემთხვევაში არ უნდა გადააწყოთ რაიმე მატრიცების შიგნით! დავუბრუნდეთ ჩვენს სისტემას. ის პრაქტიკულად ნაჭრებად არის გადაღებული.

მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით შევიყვანოთ იგი საფეხურიანი ხედი:

(1) პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -2-ზე. და კიდევ: რატომ ვამრავლებთ პირველ სტრიქონს –2-ზე? იმისათვის, რომ მივიღოთ ნული ბოლოში, რაც ნიშნავს მეორე სტრიქონში ერთი ცვლადის მოშორებას.

(2) გაყავით მეორე ხაზი 3-ზე.

ელემენტარული გარდაქმნების მიზანი – შეამცირეთ მატრიცა ეტაპობრივად: . დავალების დიზაინში ისინი უბრალოდ აღნიშნავენ "კიბეებს" მარტივი ფანქრით და ასევე შემოხაზავენ ნომრებს, რომლებიც მდებარეობს "ნაბიჯებზე". თავად ტერმინი „საფეხურიანი ხედვა“ არ არის მთლად თეორიული, სამეცნიერო და საგანმანათლებლო ლიტერატურამას ხშირად უწოდებენ ტრაპეციული ხედიან სამკუთხა ხედი.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მივიღეთ ექვივალენტიგანტოლების ორიგინალური სისტემა:

ახლა სისტემას საპირისპირო მიმართულებით „გაშლა“ სჭირდება - ქვემოდან ზევით, ამ პროცესს ე.წ გაუსის მეთოდის შებრუნებული.

ქვედა განტოლებაში უკვე გვაქვს მზა შედეგი: .

განვიხილოთ სისტემის პირველი განტოლება და ჩავანაცვლოთ უკვე მასში ცნობილი ღირებულება"Y":

განვიხილოთ ყველაზე გავრცელებული სიტუაცია, როდესაც გაუსის მეთოდი მოითხოვს ამოხსნას სისტემა სამიწრფივი განტოლებები სამი უცნობით.

მაგალითი 1

ამოხსენით განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით:

მოდით დავწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა:

ახლა მე მაშინვე დავხატავ შედეგს, რომელსაც გადაწყვეტის დროს მივალთ: და ვიმეორებ, ჩვენი მიზანია მივიყვანოთ მატრიცა ეტაპობრივ ფორმამდე ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით. სად უნდა დაიწყოს?

პირველ რიგში, შეხედეთ ზედა მარცხენა ნომერს: თითქმის ყოველთვის აქ უნდა იყოს ერთეული. ზოგადად რომ ვთქვათ, –1 (და ზოგჯერ სხვა რიცხვები) გამოდგება, მაგრამ რატომღაც ტრადიციულად ხდება, რომ ერთი ჩვეულებრივ იქ არის განთავსებული. როგორ მოვაწყოთ ერთეული? ჩვენ ვუყურებთ პირველ სვეტს - ჩვენ გვაქვს დასრულებული ერთეული! ტრანსფორმაცია პირველი: შეცვალეთ პირველი და მესამე სტრიქონები:

ახლა პირველი ხაზი უცვლელი დარჩება ხსნარის დასრულებამდე. უკვე უფრო ადვილია.

ზედა მარცხენა კუთხეში განყოფილება ორგანიზებულია. ახლა თქვენ უნდა მიიღოთ ნულები ამ ადგილებში:

ჩვენ ვიღებთ ნულებს "რთული" ტრანსფორმაციის გამოყენებით. პირველ რიგში საქმე გვაქვს მეორე ხაზთან (2, –1, 3, 13). რა უნდა გაკეთდეს პირველ პოზიციაზე ნულის მისაღებად? საჭიროა მეორე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული –2-ზე. გონებრივად ან მონახაზზე გაამრავლეთ პირველი ხაზი –2-ზე: (–2, –4, 2, –18). და ჩვენ თანმიმდევრულად ვახორციელებთ (ისევ გონებრივად ან პროექტზე) დამატებას, მეორე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, უკვე გამრავლებული –2-ზე:

ჩვენ ვწერთ შედეგს მეორე სტრიქონში:

მესამე სტრიქონსაც ანალოგიურად ვაკეთებთ (3, 2, -5, -1). პირველ პოზიციაზე ნულის მისაღებად საჭიროა მესამე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული –3-ზე. გონებრივად ან მონახაზზე გაამრავლეთ პირველი ხაზი –3-ზე: (–3, –6, 3, –27). და მესამე სტრიქონს ვუმატებთ პირველ სტრიქონს გამრავლებული –3-ზე:

ჩვენ ვწერთ შედეგს მესამე სტრიქონში:

პრაქტიკაში, ეს მოქმედებები, როგორც წესი, შესრულებულია ზეპირად და იწერება ერთი ნაბიჯით:

არ არის საჭირო ყველაფრის დათვლა ერთდროულად და ერთდროულად. გამოთვლების თანმიმდევრობა და შედეგების „ჩაწერა“. თანმიმდევრულიდა, როგორც წესი, ასეა: ჯერ გადავწერთ პირველ სტრიქონს და ნელ-ნელა ვეხებით საკუთარ თავს - თანმიმდევრულად და ყურადღებით:
და მე უკვე განვიხილეთ თავად გამოთვლების გონებრივი პროცესი ზემოთ.

IN ამ მაგალითშიამის გაკეთება მარტივია, გაყავით მეორე სტრიქონი –5-ზე (რადგან ყველა რიცხვი ნაშთის გარეშე იყოფა 5-ზე). ამავდროულად მესამე ხაზს ვყოფთ –2-ზე, რადგან რა ნაკლები რაოდენობა, იმ უფრო მარტივი გამოსავალი:

ჩართულია საბოლოო ეტაპიელემენტარული გარდაქმნები თქვენ უნდა მიიღოთ კიდევ ერთი ნული აქ:

ამისთვის მესამე სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს გამრავლებული –2-ზე:
შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ ეს მოქმედება - გონებრივად გაამრავლეთ მეორე ხაზი –2-ზე და შეასრულეთ შეკრება.

ბოლო შესრულებული მოქმედება არის შედეგის ვარცხნილობა, გაყავით მესამე ხაზი 3-ზე.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიღებული იქნა წრფივი განტოლებათა ეკვივალენტური სისტემა: მაგარია.

ახლა ამოქმედდება გაუსის მეთოდის საპირისპირო მხარე. განტოლებები „იხსნება“ ქვემოდან ზევით.

მესამე განტოლებაში ჩვენ უკვე გვაქვს მზა შედეგი:

ვნახოთ მეორე განტოლება: . "ზეტის" მნიშვნელობა უკვე ცნობილია, ასე რომ:

და ბოლოს, პირველი განტოლება: . "იგრეკი" და "ზეტი" ცნობილია, ეს მხოლოდ წვრილმანებზეა:

უპასუხე:

როგორც უკვე არაერთხელ აღინიშნა, განტოლებათა ნებისმიერი სისტემისთვის შესაძლებელია და აუცილებელია ნაპოვნი ამოხსნის შემოწმება, საბედნიეროდ, ეს მარტივი და სწრაფია.

მაგალითი 2

ეს არის მაგალითი ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება, ნიმუშის დასრულება და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

უნდა აღინიშნოს, რომ თქვენი გადაწყვეტილების პროგრესიშეიძლება არ ემთხვეოდეს ჩემი გადაწყვეტილების პროცესს, და ეს არის გაუსის მეთოდის თავისებურება. მაგრამ პასუხები იგივე უნდა იყოს!

მაგალითი 3

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით

ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არ არის ერთეული, ამიტომ რიგების გადაწყობა ვერაფერს გადაჭრის. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მე გავაკეთე ეს: (1) პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –1-ზე. ანუ გონებრივად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი –1-ზე და დავამატეთ პირველი და მეორე სტრიქონები, ხოლო მეორე ხაზი არ შეცვლილა.

ახლა ზედა მარცხენა მხარეს არის "მინუს ერთი", რომელიც საკმაოდ კარგად გვერგება. ვისაც სურს მიიღოს +1, შეუძლია შეასრულოს დამატებითი მოძრაობა: გაამრავლოს პირველი ხაზი –1-ზე (შეცვალეთ მისი ნიშანი).

(2) 5-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს.

(3) პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში, ეს არის სილამაზისთვის. მესამე ხაზმაც შეცვალა ნიშანი და გადაიყვანა მეორე ადგილზე, ამიტომ მეორე „საფეხურზე“ მივიღეთ საჭირო ერთეული.

(4) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.

(5) მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.

ცუდი ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გამოთვლების შეცდომაზე (უფრო იშვიათად, ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ მივიღეთ მსგავსი რამ, ქვემოთ და, შესაბამისად, , მაშინ დიდი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დროს მოხდა შეცდომა.

ჩვენ ვამუხტავთ საპირისპიროს, მაგალითების დიზაინში ისინი ხშირად არ წერენ თავად სისტემას, მაგრამ განტოლებები "მიღებულია პირდაპირ მოცემული მატრიციდან". საპირისპირო ინსულტი, შეგახსენებთ, მუშაობს ქვემოდან ზევით. დიახ, აქ არის საჩუქარი:

უპასუხე: .

მაგალითი 4

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი თავი, ეს გარკვეულწილად უფრო რთულია. კარგია, თუ ვინმე დაიბნევა. სრული გადაწყვეტა და ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს. თქვენი გამოსავალი შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩემი გადაწყვეტილებისგან.

ბოლო ნაწილში განვიხილავთ გაუსის ალგორითმის რამდენიმე მახასიათებელს. პირველი თვისება ის არის, რომ ზოგჯერ ზოგიერთი ცვლადი აკლია სისტემის განტოლებებს, მაგალითად: როგორ სწორად დავწეროთ გაფართოებული სისტემის მატრიცა? ამ საკითხზე უკვე ვისაუბრე კლასში. კრამერის წესი. მატრიცული მეთოდი. სისტემის გაფართოებულ მატრიცაში გამოტოვებული ცვლადების ნაცვლად ნულებს ვათავსებთ: სხვათა შორის, ეს მშვენიერია მარტივი მაგალითი, რადგან პირველ სვეტში უკვე არის ერთი ნული და ნაკლები ელემენტარული კონვერტაციაა შესასრულებელი.

მეორე თვისება არის ეს. ყველა განხილულ მაგალითში ჩვენ დავაყენეთ ან –1 ან +1 „საფეხურებზე“. შეიძლება იქ სხვა ნომრები იყოს? ზოგიერთ შემთხვევაში მათ შეუძლიათ. განვიხილოთ სისტემა: .

აქ ზედა მარცხენა „საფეხურზე“ გვაქვს ორი. მაგრამ ჩვენ ვამჩნევთ იმ ფაქტს, რომ პირველი სვეტის ყველა რიცხვი იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე - ხოლო მეორე არის ორი და ექვსი. და ზევით მარცხნივ ორი მოგვწონს! პირველ ეტაპზე თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი გარდაქმნები: მეორე სტრიქონს დაუმატეთ პირველი ხაზი გამრავლებული –1-ზე; მესამე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული –3-ზე. ამ გზით ჩვენ მივიღებთ პირველ სვეტში საჭირო ნულებს.

ან რამე ამდაგვარი პირობითი მაგალითი: . აი, მეორე „საფეხურზე“ სამიც გვიწყობს, რადგან 12 (ადგილი, სადაც უნდა მივიღოთ ნული) ნაშთების გარეშე იყოფა სამზე. აუცილებელია შემდეგი ტრანსფორმაციის განხორციელება: მესამე სტრიქონს დავუმატოთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული –4-ზე, რის შედეგადაც მიიღება ჩვენთვის საჭირო ნული.

გაუსის მეთოდი უნივერსალურია, მაგრამ არის ერთი თავისებურება. თქვენ შეგიძლიათ თავდაჯერებულად ისწავლოთ სისტემების ამოხსნა სხვა მეთოდების გამოყენებით (კრამერის მეთოდი, მატრიცის მეთოდი) სიტყვასიტყვით პირველად - მათ აქვთ ძალიან მკაცრი ალგორითმი. მაგრამ იმისათვის, რომ გაუსის მეთოდში დარწმუნებული იყოთ, უნდა „კბილებში ჩასვათ“ და გადაჭრათ მინიმუმ 5-10 ათი სისტემა. ამიტომ, თავიდან შეიძლება იყოს დაბნეულობა და შეცდომები გამოთვლებში და ამაში არაფერია უჩვეულო ან ტრაგიკული.

წვიმიანი შემოდგომის ამინდი ფანჯრის მიღმა.... ამიტომ ყველასთვის ვისაც მეტი უნდა რთული მაგალითიდამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

ამოხსენით 4 წრფივი განტოლების სისტემა ოთხი უცნობით გაუსის მეთოდით.

ასეთი დავალება პრაქტიკაში არც ისე იშვიათია. ვფიქრობ, ჩაიდანიც კი, რომელმაც საფუძვლიანად შეისწავლა ეს გვერდი, გაიგებს ასეთი სისტემის ინტუიციურად გადაჭრის ალგორითმს. პრინციპში, ყველაფერი იგივეა - უბრალოდ მეტი ქმედებაა.

გაკვეთილზე განიხილება შემთხვევები, როდესაც სისტემას არ აქვს ამონახსნები (არათანმიმდევრული) ან აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. შეუთავსებელი სისტემები და სისტემები საერთო გადაწყვეტით. აქ შეგიძლიათ დააფიქსიროთ გაუსის მეთოდის განხილული ალგორითმი.

წარმატებებს გისურვებ!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2: გამოსავალი : მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე.
შესრულებული ელემენტარული გარდაქმნები: (1) პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული –1-ზე. ყურადღება! აქ შეიძლება გაგიჩნდეთ ცდუნება, გამოაკლოთ პირველი მესამე სტრიქონიდან. უბრალოდ დაკეცეთ! (2) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი (გამრავლებული –1-ზე). მეორე და მესამე ხაზი გაცვალეს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ , რომ "ნაბიჯებზე" ვკმაყოფილდებით არა მხოლოდ ერთით, არამედ -1-ითაც, რაც კიდევ უფრო მოსახერხებელია. (3) მეორე სტრიქონი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული 5-ზე. (4) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი (გამრავლებული –1-ზე). მესამე ხაზი იყოფა 14-ზე.

უკუ:

უპასუხე : .

მაგალითი 4: გამოსავალი : მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე:

შესრულებული კონვერტაციები: (1) პირველ სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი. ამრიგად, სასურველი ერთეული ორგანიზებულია ზედა მარცხენა "ნაბიჯზე". (2) 7-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს.

მეორე „ნაბიჯით“ ყველაფერი უარესდება , მისთვის "კანდიდატები" არიან ნომრები 17 და 23 და გვჭირდება ერთი ან -1. ტრანსფორმაციები (3) და (4) მიმართული იქნება სასურველი ერთეულის მისაღებად (3) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული –1-ზე. (4) მესამე სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –3-ზე. მეორე საფეხურზე საჭირო ნივთი მიღებულია. . (5) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 6-ზე. (6) მეორე სტრიქონი გამრავლდა –1-ზე, მესამე ხაზი გაყოფილი იყო -83-ზე.

უკუ:

უპასუხე :

მაგალითი 5: გამოსავალი : მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე:

შესრულებული კონვერტაციები: (1) პირველი და მეორე სტრიქონები შეიცვალა. (2) პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული -2-ზე. მეოთხე სტრიქონს დაემატა პირველი ხაზი, გამრავლებული –3-ზე. (3) მეორე სტრიქონი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული 4-ით. მეორე სტრიქონი დაემატა მეოთხე სტრიქონს, გამრავლებული –1-ზე. (4) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი. მეოთხე ხაზი იყოფა 3-ზე და მოთავსდა მესამე ხაზის ადგილზე. (5) მეოთხე სტრიქონს დაემატა მესამე სტრიქონი, გამრავლებული –5-ზე.

უკუ:

უპასუხე :

გაუსის მეთოდი მარტივია!რატომ? ცნობილმა გერმანელმა მათემატიკოსმა იოჰან კარლ ფრიდრიხ გაუსმა სიცოცხლეშივე მიიღო აღიარება ყველა დროის უდიდეს მათემატიკოსად, გენიოსად და მეტსახელად "მათემატიკის მეფეც". და ყველაფერი გენიალური, როგორც ვიცით, მარტივია!სხვათა შორის, ფულს არა მარტო მწოვრები იღებენ, არამედ გენიოსებიც - გაუსის პორტრეტი იყო 10 გერმანული მარკის ბანკნოტზე (ევროს შემოღებამდე), ხოლო გაუსი ჯერ კიდევ იდუმალ ეღიმება გერმანელებს ჩვეულებრივი საფოსტო მარკებიდან.

გაუსის მეთოდი მარტივია იმით, რომ მეხუთე კლასის მოსწავლის ცოდნა საკმარისია მის დასაუფლებლად. უნდა იცოდე შეკრება და გამრავლება!შემთხვევითი არ არის, რომ მასწავლებლები ხშირად განიხილავენ უცნობთა თანმიმდევრული გამორიცხვის მეთოდს სკოლის მათემატიკის არჩევით საგანში. ეს პარადოქსია, მაგრამ სტუდენტებისთვის ყველაზე რთული გაუსის მეთოდია. გასაკვირი არაფერია - ეს ყველაფერი მეთოდოლოგიას ეხება და მე შევეცდები ვისაუბროთ მეთოდის ალგორითმზე ხელმისაწვდომი ფორმით.

1) გქონდეთ უნიკალური გადაწყვეტა.
2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.
3) არ აქვს გადაწყვეტილებები (იყოს არაერთობლივი).

გაუსის მეთოდი არის ყველაზე მძლავრი და უნივერსალური ინსტრუმენტი გამოსავლის მოსაძებნად ნებისმიერიწრფივი განტოლებათა სისტემები. როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცის მეთოდიისინი შეუფერებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. და უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი ყოველ შემთხვევაშიმიგვიყვანს პასუხამდე! ამ გაკვეთილზე კვლავ განვიხილავთ გაუსის მეთოდს No1 შემთხვევისთვის (სისტემის ერთადერთი გამოსავალი), სტატია ეძღვნება No2-3 წერტილების სიტუაციებს. აღვნიშნავ, რომ თავად მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს.

გაკვეთილიდან უმარტივეს სისტემას დავუბრუნდეთ როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებათა სისტემა?
და ამოხსნას გაუსის მეთოდით.

პირველი ნაბიჯი არის ჩაწერა გაფართოებული სისტემის მატრიცა:
. მგონი ყველა ხედავს რა პრინციპით იწერება კოეფიციენტები. მატრიცის შიგნით ვერტიკალურ ხაზს არ აქვს რაიმე მათემატიკური მნიშვნელობა - ეს არის უბრალოდ გადაკვეთა დიზაინის სიმარტივისთვის.

მითითება :გირჩევთ გახსოვდეთ პირობები წრფივი ალგებრა. სისტემის მატრიცაარის მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, ამ მაგალითში სისტემის მატრიცა: . გაფართოებული სისტემის მატრიცა– ეს არის სისტემის იგივე მატრიცა პლუს უფასო ტერმინების სვეტი, ამ შემთხვევაში: . მოკლედ, ნებისმიერ მატრიცას შეიძლება ეწოდოს უბრალოდ მატრიცა.

არსებობს შემდეგი ელემენტარული გარდაქმნები:

2) თუ მატრიცაში არის (ან გამოჩნდა) პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იდენტური) რიგები, მაშინ უნდა წაშლამატრიციდან ყველა ეს მწკრივი ერთის გარდა. განვიხილოთ, მაგალითად, მატრიცა . ამ მატრიცაში ბოლო სამი მწკრივი პროპორციულია, ამიტომ საკმარისია მხოლოდ ერთი მათგანის დატოვება: .

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება იყოს გამრავლება (გაყოფა)ნებისმიერ ნომერზე არანულოვანი. განვიხილოთ, მაგალითად, მატრიცა. აქ მიზანშეწონილია პირველი ხაზი გავყოთ –3-ზე და მეორე ხაზი გავამრავლოთ 2-ზე: . ეს მოქმედება ძალიან სასარგებლოა, რადგან ამარტივებს მატრიცის შემდგომ ტრანსფორმაციას.

5) ეს ტრანსფორმაცია იწვევს ყველაზე დიდ სირთულეებს, მაგრამ სინამდვილეში არც არაფერია რთული. მატრიცის მწკრივამდე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან. მოდით შევხედოთ ჩვენს მატრიცას პრაქტიკული მაგალითიდან: . პირველ რიგში დეტალურად აღვწერ ტრანსფორმაციას. გავამრავლოთ პირველი ხაზი –2-ზე: , და მეორე სტრიქონს ვუმატებთ პირველ სტრიქონს -2-ზე გამრავლებული: . ახლა პირველი ხაზი შეიძლება დაიყოს „უკან“ –2: . როგორც ხედავთ, ხაზი, რომელიც დამატებულია LI – არ შეცვლილა. ყოველთვისიცვლება ხაზი, რომელსაც დაემატა UT.

პრაქტიკაში, რა თქმა უნდა, ისინი არ წერენ მას ასე დეტალურად, მაგრამ წერენ მოკლედ:

კიდევ ერთხელ: მეორე ხაზამდე დაამატა პირველი ხაზი გამრავლებული –2-ზე. ხაზი ჩვეულებრივ მრავლდება ზეპირად ან მონახაზზე, გონებრივი გამოთვლის პროცესი ასე მიმდინარეობს:

”მე ვწერ მატრიცას და თავიდან ვწერ პირველ სტრიქონს: »

„და მესამე სვეტი. ზევით ვამრავლებ -5 -2-ზე: . პირველს ვამატებ მეორე სტრიქონს: –7 + 10 = 3. შედეგს მეორე სტრიქონში ვწერ: »

ელემენტარული გარდაქმნებიარ შეცვალოს განტოლებათა სისტემის ამონახსნი

დავუბრუნდეთ ჩვენს სისტემას. ის პრაქტიკულად ნაჭრებად არის გადაღებული.

(2) გაყავით მეორე ხაზი 3-ზე.

ელემენტარული გარდაქმნების მიზანი – შეამცირეთ მატრიცა ეტაპობრივად: . დავალების დიზაინში ისინი უბრალოდ აღნიშნავენ "კიბეებს" მარტივი ფანქრით და ასევე შემოხაზავენ ნომრებს, რომლებიც მდებარეობს "ნაბიჯებზე". თავად ტერმინი „საფეხურიანი ხედვა“ არ არის მთლად თეორიული სამეცნიერო და საგანმანათლებლო ლიტერატურაში მას ხშირად უწოდებენ ტრაპეციული ხედიან სამკუთხა ხედი.

ახლა სისტემა საჭიროებს "გაშლას". საპირისპირო მიმართულება– ქვემოდან ზევით ამ პროცესს ე.წ საპირისპიროდგაუსის მეთოდი.

ქვედა განტოლებაში უკვე გვაქვს მზა შედეგი: .

მოდით განვიხილოთ სისტემის პირველი განტოლება და ჩავანაცვლოთ მასში უკვე ცნობილი "y" მნიშვნელობა:

განვიხილოთ ყველაზე გავრცელებული სიტუაცია, როდესაც გაუსის მეთოდი მოითხოვს სამი წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნას სამი უცნობით.

მაგალითი 1

ამოხსენით განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით:

მოდით დავწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა:

ახლა მე მაშინვე დავხატავ შედეგს, რომელსაც გადაწყვეტის დროს მივალთ:

და ვიმეორებ, ჩვენი მიზანია მივიყვანოთ მატრიცა ეტაპობრივ ფორმამდე ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით. სად უნდა დაიწყოს?

პირველ რიგში, გადახედეთ ზედა მარცხენა ნომერს:

თითქმის ყოველთვის აქ უნდა იყოს ერთეული. ზოგადად რომ ვთქვათ, –1 (და ზოგჯერ სხვა რიცხვები) გამოდგება, მაგრამ რატომღაც ტრადიციულად ხდება, რომ ერთი ჩვეულებრივ იქ არის განთავსებული. როგორ მოვაწყოთ ერთეული? ჩვენ ვუყურებთ პირველ სვეტს - ჩვენ გვაქვს დასრულებული ერთეული! ტრანსფორმაცია პირველი: შეცვალეთ პირველი და მესამე სტრიქონები:

ჩვენ ვწერთ შედეგს მეორე სტრიქონში:

ჩვენ ვწერთ შედეგს მესამე სტრიქონში:

არ არის საჭირო ყველაფრის დათვლა ერთდროულად და ერთდროულად. გამოთვლების თანმიმდევრობა და შედეგების „ჩაწერა“. თანმიმდევრულიდა, როგორც წესი, ასეა: ჯერ გადავწერთ პირველ სტრიქონს და ნელ-ნელა ვეხებით საკუთარ თავს - თანმიმდევრულად და ყურადღებით:

და მე უკვე განვიხილეთ თავად გამოთვლების გონებრივი პროცესი ზემოთ.

ამ მაგალითში ამის გაკეთება ადვილია, ჩვენ ვყოფთ მეორე ხაზს –5-ზე (რადგან ყველა რიცხვი იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე). ამავდროულად, მესამე ხაზს ვყოფთ –2-ზე, რადგან რაც უფრო მცირეა რიცხვები, მით უფრო მარტივია გამოსავალი:

ელემენტარული გარდაქმნების დასკვნით ეტაპზე, თქვენ უნდა მიიღოთ კიდევ ერთი ნული აქ:

ამისთვის მესამე სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს გამრავლებული –2-ზე:

შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ ეს მოქმედება - გონებრივად გაამრავლეთ მეორე ხაზი –2-ზე და შეასრულეთ შეკრება.

მესამე განტოლებაში ჩვენ უკვე გვაქვს მზა შედეგი:

ვნახოთ მეორე განტოლება: . "ზეტის" მნიშვნელობა უკვე ცნობილია, ასე რომ:

უპასუხე:

მაგალითი 2

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, საბოლოო დიზაინის ნიმუში და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 3

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით

მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე:

ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არ არის ერთეული, ამიტომ რიგების გადაწყობა ვერაფერს გადაჭრის. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მე გავაკეთე ეს:
(1) პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –1-ზე. ანუ გონებრივად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი –1-ზე და დავამატეთ პირველი და მეორე სტრიქონები, ხოლო მეორე ხაზი არ შეცვლილა.

(2) 5-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს.

(3) პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში, ეს არის სილამაზისთვის. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, ისე რომ მეორე „საფეხურზე“ გვქონდა საჭირო ერთეული.

(4) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.

(5) მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.

უპასუხე: .

მაგალითი 4

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი თავი, ეს გარკვეულწილად უფრო რთულია. კარგია, თუ ვინმე დაიბნევა. სრული გადაწყვეტადა დიზაინის ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს. თქვენი გამოსავალი შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩემი გადაწყვეტილებისგან.

ბოლო ნაწილში განვიხილავთ გაუსის ალგორითმის რამდენიმე მახასიათებელს.
პირველი თვისება ის არის, რომ ზოგჯერ ზოგიერთი ცვლადი აკლია სისტემის განტოლებებს, მაგალითად:

როგორ სწორად დავწეროთ გაფართოებული სისტემის მატრიცა? ამ საკითხზე უკვე ვისაუბრე კლასში. კრამერის წესი. მატრიცული მეთოდი. სისტემის გაფართოებულ მატრიცაში გამოტოვებული ცვლადების ნაცვლად ნულებს ვათავსებთ:

სხვათა შორის, ეს საკმაოდ მარტივი მაგალითია, რადგან პირველ სვეტს უკვე აქვს ერთი ნული და ნაკლები ელემენტარული გარდაქმნებია შესასრულებელი.

ან სხვა ჩვეულებრივი მაგალითი: . აი, მეორე „საფეხურზე“ სამიც გვიწყობს, რადგან 12 (ადგილი, სადაც უნდა მივიღოთ ნული) ნაშთების გარეშე იყოფა სამზე. აუცილებელია შემდეგი ტრანსფორმაციის განხორციელება: მესამე სტრიქონს დავუმატოთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული –4-ზე, რის შედეგადაც მიიღება ჩვენთვის საჭირო ნული.

გაუსის მეთოდი უნივერსალურია, მაგრამ არის ერთი თავისებურება. თქვენ შეგიძლიათ თავდაჯერებულად ისწავლოთ სისტემების ამოხსნა სხვა მეთოდების გამოყენებით (კრამერის მეთოდი, მატრიცის მეთოდი) სიტყვასიტყვით პირველად - მათ აქვთ ძალიან მკაცრი ალგორითმი. მაგრამ იმისათვის, რომ თავი დარწმუნებულმა იგრძნოთ გაუსის მეთოდში, თქვენ უნდა გაიაროთ მასში კარგად და გადაჭრათ მინიმუმ 5-10 სისტემა. ამიტომ, თავიდან შეიძლება იყოს დაბნეულობა და შეცდომები გამოთვლებში და ამაში არაფერია უჩვეულო ან ტრაგიკული.

წვიმიანი შემოდგომის ამინდი ფანჯრის მიღმა.... ამიტომ, ყველას, ვისაც სურს უფრო რთული მაგალითის გადაჭრა დამოუკიდებლად:

მაგალითი 5

ამოხსენით ოთხი წრფივი განტოლების სისტემა ოთხი უცნობით გაუსის მეთოდით.

გაკვეთილზე განხილულია შემთხვევები, როდესაც სისტემას არ აქვს ამონახსნები (არათანმიმდევრული) ან აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. შეუთავსებელი სისტემები და სისტემები ზოგადი ამოხსნით. აქ შეგიძლიათ დააფიქსიროთ გაუსის მეთოდის განხილული ალგორითმი.

წარმატებებს გისურვებ!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2: გამოსავალი : მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე.

შესრულებული ელემენტარული გარდაქმნები:
(1) პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული –1-ზე. ყურადღება!აქ შეიძლება გაგიჩნდეთ ცდუნება, გამოაკლოთ პირველი მესამე სტრიქონიდან. უბრალოდ დაკეცეთ!
(2) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი (გამრავლებული –1-ზე). მეორე და მესამე ხაზი გაცვალეს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ "ნაბიჯებზე" ვკმაყოფილდებით არა მხოლოდ ერთით, არამედ -1-ითაც, რაც კიდევ უფრო მოსახერხებელია.
(3) მეორე სტრიქონი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული 5-ზე.
(4) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი (გამრავლებული –1-ზე). მესამე ხაზი იყოფა 14-ზე.

უკუ:

უპასუხე: .

მაგალითი 4: გამოსავალი : მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე:

შესრულებული კონვერტაციები:
(1) პირველ სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი. ამრიგად, სასურველი ერთეული ორგანიზებულია ზედა მარცხენა "ნაბიჯზე".
(2) 7-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს.

მეორე „ნაბიჯით“ ყველაფერი უარესდება , მისთვის "კანდიდატები" არიან ნომრები 17 და 23 და გვჭირდება ერთი ან -1. ტრანსფორმაციები (3) და (4) მიმართული იქნება სასურველი ერთეულის მისაღებად

(3) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული –1-ზე.
(4) მესამე სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –3-ზე.
(3) მეორე სტრიქონი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული 4-ით. მეორე სტრიქონი დაემატა მეოთხე სტრიქონს, გამრავლებული –1-ზე.
(4) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი. მეოთხე ხაზი იყოფა 3-ზე და მოთავსდა მესამე ხაზის ადგილზე.
(5) მეოთხე სტრიქონს დაემატა მესამე სტრიქონი, გამრავლებული –5-ზე.

უკუ:

მოდით სისტემა ხაზოვანი ალგებრული განტოლებები, რომელიც უნდა გადაიჭრას (იპოვეთ xi უცნობის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც სისტემის თითოეულ განტოლებას ტოლობაში აქცევს).

ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას შეუძლია:

1) არ აქვს გადაწყვეტილებები (იყოს არაერთობლივი).
2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.
3) გქონდეთ ერთი გამოსავალი.

როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცული მეთოდი არ არის შესაფერისი იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. გაუსის მეთოდი – ყველაზე მძლავრი და მრავალმხრივი ინსტრუმენტი ნებისმიერი წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნის საპოვნელად, რომელიც ყოველ შემთხვევაშიმიგვიყვანს პასუხამდე! თავად მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს. თუ კრამერისა და მატრიცის მეთოდები მოითხოვს დეტერმინანტების ცოდნას, მაშინ გაუსის მეთოდის გამოსაყენებლად საჭიროა მხოლოდ ცოდნა. არითმეტიკული ოპერაციები, რაც მას ხელმისაწვდომს ხდის დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებისთვისაც კი.

გაძლიერებული მატრიცის გარდაქმნები ( ეს არის სისტემის მატრიცა - მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, პლუს თავისუფალი ტერმინების სვეტი)წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები გაუსის მეთოდით:

1) თან ტროკიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაზოგან.

2) თუ პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იდენტური) რიგები გამოჩნდება (ან არსებობს) მატრიცაში, მაშინ თქვენ უნდა წაშლამატრიციდან ყველა ეს მწკრივი ერთის გარდა.

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში ჩნდება ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ის ასევე უნდა იყოს წაშლა.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება იყოს გამრავლება (გაყოფა)ნულის გარდა ნებისმიერ რიცხვზე.

5) მატრიცის მწკრივზე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან.

გაუსის მეთოდში ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამონახსნებს.

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან:

"პირდაპირი მოძრაობა" - ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მიიტანეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გაფართოებული მატრიცა "სამკუთხა" საფეხურის ფორმამდე: ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ მდებარე გაფართოებული მატრიცის ელემენტები ნულის ტოლია (ზემოდან ქვევით მოძრაობა). მაგალითად, ამ ტიპისთვის:

ამისათვის შეასრულეთ შემდეგი ნაბიჯები:

1) განვიხილოთ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის პირველი განტოლება და x 1-ის კოეფიციენტი უდრის K. მეორე, მესამე და ა.შ. განტოლებებს ვცვლით შემდეგნაირად: თითოეულ განტოლებას (კოეფიციენტები უცნობისთვის, თავისუფალი ტერმინების ჩათვლით) ვყოფთ უცნობი x 1-ის კოეფიციენტზე, რომელიც არის თითოეულ განტოლებაში და ვამრავლებთ K-ზე. ამის შემდეგ პირველს გამოვაკლებთ მეორეს. განტოლება (კოეფიციენტები უცნობი და თავისუფალი ტერმინებისთვის). მეორე განტოლებაში x 1-ს ვიღებთ კოეფიციენტს 0. მესამე გარდაქმნილ განტოლებას ვაკლებთ პირველ განტოლებას, სანამ პირველის გარდა ყველა განტოლებას, უცნობი x 1-ისთვის არ ექნება კოეფიციენტი 0.

2) გადადით შემდეგ განტოლებაზე. მოდით ეს იყოს მეორე განტოლება და კოეფიციენტი x 2-ის ტოლი M-ის. ჩვენ ვაგრძელებთ ყველა „ქვედა“ განტოლებას, როგორც ზემოთ იყო აღწერილი. ამრიგად, უცნობი x 2-ის ქვეშ, ყველა განტოლებაში იქნება ნულები.

3) გადადით შემდეგ განტოლებაზე და ასე შემდეგ, სანამ არ დარჩება ბოლო უცნობი და გარდაქმნილი თავისუფალი წევრი.

გაუსის მეთოდის „უკუ სვლა“ არის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის მიღება (სვლა „ქვემოდან ზევით“). ბოლო "ქვედა" განტოლებიდან ვიღებთ ერთ პირველ ამონახს - უცნობი x n. ამისათვის ჩვენ გადავწყვიტეთელემენტარული განტოლება

A*x n = B. ზემოთ მოცემულ მაგალითში x 3 = 4. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას „ზედა“ მომდევნო განტოლებაში და ვხსნით მას შემდეგი უცნობის მიმართ. მაგალითად, x 2 – 4 = 1, ე.ი. x 2 = 5. და ასე შემდეგ სანამ არ ვიპოვით ყველა უცნობს.

მაგალითი.

ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არ არის ერთეული, ამიტომ რიგების გადაწყობა ვერაფერს გადაჭრის. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მოდით გავაკეთოთ ეს:
1 ნაბიჯი . პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –1-ზე. ანუ გონებრივად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი –1-ზე და დავამატეთ პირველი და მეორე სტრიქონები, ხოლო მეორე ხაზი არ შეცვლილა.

ახლა ზედა მარცხენა მხარეს არის "მინუს ერთი", რომელიც საკმაოდ კარგად გვერგება. ვისაც სურს +1-ის მიღება შეუძლია დამატებითი მოქმედება: გაამრავლეთ პირველი სტრიქონი –1-ზე (შეცვალეთ მისი ნიშანი).

ნაბიჯი 2 . პირველი სტრიქონი, გამრავლებული 5-ით, დაემატა მეორე სტრიქონს.

ნაბიჯი 3 . პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში, ეს არის სილამაზისთვის. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, ისე რომ მეორე „საფეხურზე“ გვქონდა საჭირო ერთეული.

ნაბიჯი 4 . მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.

ნაბიჯი 5 . მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.

ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გამოთვლების შეცდომაზე (უფრო იშვიათად, ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ ქვემოთ მივიღეთ მსგავსი რამ (0 0 11 |23) და, შესაბამისად, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, მაშინ დიდი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ შეცდომა დაშვებულია ელემენტარულ პერიოდში. გარდაქმნები.

მოდით გავაკეთოთ პირიქით, მაგალითების დიზაინში, თავად სისტემა ხშირად არ არის გადაწერილი, მაგრამ განტოლებები "აღებულია უშუალოდ მოცემული მატრიციდან". საპირისპირო მოძრაობა, შეგახსენებთ, მუშაობს ქვემოდან ზევით. ამ მაგალითში შედეგი იყო საჩუქარი:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, შესაბამისად x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

უპასუხე:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

მოდით გადავჭრათ იგივე სისტემა შემოთავაზებული ალგორითმის გამოყენებით. ვიღებთ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

მეორე განტოლება გავყოთ 5-ზე, ხოლო მესამე 3-ზე. მივიღებთ:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

მეორე და მესამე განტოლების 4-ზე გამრავლებით მივიღებთ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

თუ გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას მეორე და მესამე განტოლებებს, მივიღებთ:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

მესამე განტოლება გავყოთ 0,64-ზე:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

გავამრავლოთ მესამე განტოლება 0.4-ზე

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

მესამე განტოლებიდან მეორეს გამოვაკლებთ, მივიღებთ „ნაბიჯ“ გაფართოებულ მატრიცას:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ამრიგად, რადგან გამოთვლების დროს დაგროვილი შეცდომა, ჩვენ ვიღებთ x 3 = 0.96 ან დაახლოებით 1.

x 2 = 3 და x 1 = –1.

ამგვარად ამოხსნით არასოდეს დაიბნევით გამოთვლებში და, მიუხედავად გაანგარიშების შეცდომებისა, მიიღებთ შედეგს.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ეს მეთოდი მარტივი დასაპროგრამებელია და არ ითვალისწინებს სპეციფიკური მახასიათებლებიკოეფიციენტები უცნობისთვის, რადგან პრაქტიკაში (ეკონომიკურ და ტექნიკურ გამოთვლებში) საქმე გვაქვს არამთლიანი კოეფიციენტებთან.

წარმატებებს გისურვებ! შევხვდებით კლასში! დამრიგებელი.

blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.

ამ სტატიაში მეთოდი განიხილება, როგორც წრფივი განტოლებების სისტემების (SLAEs) ამოხსნის მეთოდი. მეთოდი არის ანალიტიკური, ანუ ის საშუალებას გაძლევთ ჩაწეროთ ამოხსნის ალგორითმი ზოგადი ხედიდა შემდეგ ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობები კონკრეტული მაგალითებიდან. მატრიცული მეთოდისგან ან კრამერის ფორმულებისგან განსხვავებით, გაუსის მეთოდით წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას, ასევე შეგიძლიათ იმუშაოთ მათთან, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ან საერთოდ არ აქვთ.

რას ნიშნავს ამოხსნა გაუსის მეთოდით?

პირველ რიგში, ჩვენ უნდა ჩავწეროთ ჩვენი განტოლებების სისტემა. ეს ასე გამოიყურება. მიიღეთ სისტემა:

კოეფიციენტები იწერება ცხრილის სახით, ხოლო თავისუფალი ტერმინები იწერება ცალკე სვეტში მარჯვნივ. თავისუფალი წევრების მქონე სვეტი გამოყოფილია მოხერხებულობისთვის მატრიცას, რომელიც მოიცავს ამ სვეტს, ეწოდება გაფართოებული.

შემდეგი, ძირითადი მატრიცა კოეფიციენტებით უნდა შემცირდეს ზედა სამკუთხა ფორმამდე. ეს არის გაუსის მეთოდით სისტემის ამოხსნის მთავარი პუნქტი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შემდეგ გარკვეული მანიპულაციებიმატრიცა ასე უნდა გამოიყურებოდეს, რომ მისი ქვედა მარცხენა ნაწილი მხოლოდ ნულებს შეიცავს:

შემდეგ, თუ ახალ მატრიცას კვლავ დავწერთ განტოლებათა სისტემის სახით, შეგვიძლია შევამჩნიოთ, რომ ქ ბოლო ხაზიუკვე შეიცავს ერთ-ერთი ფესვის მნიშვნელობას, რომელიც შემდეგ ჩანაცვლებულია ზემოთ მოცემულ განტოლებაში, იპოვება მეორე ფესვი და ა.შ.

ეს არის ყველაზე მეტად გაუსის მეთოდით ამოხსნის აღწერა ზოგადი მონახაზი. რა მოხდება, თუ მოულოდნელად სისტემას გამოსავალი არ აქვს? ან უსასრულოდ ბევრია? ამ და ბევრ სხვა კითხვაზე პასუხის გასაცემად აუცილებელია ცალ-ცალკე განიხილოს ყველა ის ელემენტი, რომლებიც გამოიყენება გაუსის მეთოდის ამოხსნისას.

მატრიცები, მათი თვისებები

მატრიცაში ფარული მნიშვნელობა არ არის. ეს მარტივია მოსახერხებელი გზამათთან შემდგომი ოპერაციების მონაცემების ჩაწერა. სკოლის მოსწავლეებსაც არ სჭირდებათ მათი შიში.

მატრიცა ყოველთვის მართკუთხაა, რადგან ის უფრო მოსახერხებელია. გაუსის მეთოდშიც კი, სადაც ყველაფერი სამკუთხა ფორმის მატრიცის აგებამდე მიდის, ჩანაწერში ჩნდება მართკუთხედი, მხოლოდ ნულებით იმ ადგილას, სადაც რიცხვები არ არის. ნულები შეიძლება არ იწერებოდეს, მაგრამ ისინი იგულისხმება.

მატრიცას აქვს ზომა. მისი "სიგანე" არის რიგების რაოდენობა (მ), "სიგრძე" არის სვეტების რაოდენობა (n). შემდეგ A მატრიცის ზომა (მათ აღსანიშნავად ჩვეულებრივ გამოიყენება დიდი ასოები) ლათინური ასოები) აღინიშნა როგორც A m×n. თუ m=n, მაშინ ეს მატრიცა არის კვადრატი, ხოლო m=n არის მისი რიგი. შესაბამისად, A მატრიცის ნებისმიერი ელემენტი შეიძლება აღინიშნოს მისი მწკრივისა და სვეტის ნომრებით: a xy ; x - რიგის ნომერი, ცვლილებები, y - სვეტის ნომერი, ცვლილებები.

B არ არის გადაწყვეტილების მთავარი წერტილი. პრინციპში, ყველა ოპერაცია შეიძლება შესრულდეს უშუალოდ განტოლებით, მაგრამ აღნიშვნა ბევრად უფრო რთული იქნება და მასში დაბნეულობა ბევრად უფრო ადვილი იქნება.

განმსაზღვრელი

მატრიცას ასევე აქვს განმსაზღვრელი. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი მახასიათებელია. ახლა არ არის საჭირო მისი მნიშვნელობის გარკვევა, შეგიძლიათ უბრალოდ აჩვენოთ, თუ როგორ არის გამოთვლილი და შემდეგ თქვათ, თუ რა თვისებებს განსაზღვრავს იგი. დეტერმინანტის პოვნის უმარტივესი გზაა დიაგონალები. მატრიცაში გამოსახულია წარმოსახვითი დიაგონალები; თითოეულ მათგანზე მდებარე ელემენტები მრავლდება, შემდეგ კი მიღებულ პროდუქტებს ემატება: დიაგონალები ფერდობზე მარჯვნივ - პლუს ნიშნით, მარცხნივ დახრილობით - მინუს ნიშნით.

ძალზე მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ განმსაზღვრელი შეიძლება გამოითვალოს მხოლოდ კვადრატული მატრიცისთვის. ამისთვის მართკუთხა მატრიცათქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ შემდეგი: სტრიქონების და სვეტების რიცხვიდან აირჩიეთ ყველაზე პატარა (დაეცეს k) და შემდეგ შემთხვევით მონიშნეთ k სვეტი და k სტრიქონი მატრიცაში. არჩეული სვეტებისა და რიგების კვეთაზე მდებარე ელემენტები ქმნიან ახალს კვადრატული მატრიცა. თუ ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი არის არანულოვანი რიცხვი, მას უწოდებენ ორიგინალური მართკუთხა მატრიცის საფუძველს.

სანამ გაუსიანი მეთოდით განტოლებათა სისტემის ამოხსნას დაიწყებდეთ, დეტერმინანტის გამოთვლა არაფერ შუაშია. თუ აღმოჩნდება ნული, მაშინვე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მატრიცას აქვს ან უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები, ან საერთოდ არცერთი. ასეთ სამწუხარო შემთხვევაში, თქვენ უნდა წახვიდეთ უფრო შორს და გაიგოთ მატრიცის რანგის შესახებ.

სისტემის კლასიფიკაცია

არსებობს ისეთი რამ, როგორიცაა მატრიცის წოდება. ეს არის მისი არანულოვანი დეტერმინანტის მაქსიმალური რიგი (თუ ჩვენ გავიხსენებთ საბაზისო მინორის შესახებ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მატრიცის რანგი არის საბაზისო მინორის რიგი).

რანგთან დაკავშირებული სიტუაციიდან გამომდინარე, SLAE შეიძლება დაიყოს:

ერთობლივი. უერთობლივ სისტემებში მთავარი მატრიცის რანგი (რომელიც მხოლოდ კოეფიციენტებისგან შედგება) ემთხვევა გაფართოებული მატრიცის რანგის (თავისუფალი ტერმინების სვეტით). ასეთ სისტემებს აქვთ გამოსავალი, მაგრამ არა აუცილებლად ერთი, ასე რომ დამატებით ერთობლივი სისტემებიიყოფა:
- გარკვეული- აქვს ერთი გამოსავალი. გარკვეულ სისტემებში მატრიცის რანგი და უცნობის რაოდენობა (ან სვეტების რაოდენობა, რაც იგივეა) ტოლია;
- განუსაზღვრელი -უსასრულო რაოდენობის ამონახსნებით. მატრიცების რანგი ასეთი სისტემებისთვის ნაკლები რაოდენობითუცნობი.
შეუთავსებელი. უასეთ სისტემებში ძირითადი და გაფართოებული მატრიცების რიგები ერთმანეთს არ ემთხვევა. შეუთავსებელ სისტემებს გამოსავალი არ აქვს.

გაუსის მეთოდი კარგია, რადგან ამოხსნის დროს ის საშუალებას იძლევა მივიღოთ ან სისტემის შეუსაბამობის ცალსახა მტკიცებულება (დიდი მატრიცების განმსაზღვრელების გამოთვლის გარეშე), ან ამონახსნის ზოგადი ფორმით სისტემისთვის, უსასრულო რაოდენობის ამონახსნებით.

ელემენტარული გარდაქმნები

სანამ პირდაპირ გადაწყვეტთ სისტემას, შეგიძლიათ გახადოთ ის ნაკლებად რთული და უფრო მოსახერხებელი გამოთვლებისთვის. ეს მიიღწევა ელემენტარული გარდაქმნებით – ისეთი, რომ მათი განხორციელება არანაირად არ ცვლის საბოლოო პასუხს. უნდა აღინიშნოს, რომ ზოგიერთი მოცემული ელემენტარული ტრანსფორმაცია მოქმედებს მხოლოდ მატრიცებისთვის, რომელთა წყარო იყო SLAE. აქ არის ამ გარდაქმნების სია:

ხაზების გადაწყობა. ცხადია, თუ სისტემურ ჩანაწერში შეცვლით განტოლებების თანმიმდევრობას, ეს არანაირად არ იმოქმედებს ამოხსნაზე. შესაბამისად, ამ სისტემის მატრიცის რიგები ასევე შეიძლება შეიცვალოს, რა თქმა უნდა, არ დაივიწყოს თავისუფალი ტერმინების სვეტი.
სტრიქონის ყველა ელემენტის გამრავლება გარკვეულ კოეფიციენტზე. ძალიან სასარგებლო! მისი გამოყენება შესაძლებელია შესამცირებლად დიდი რიცხვებიმატრიცაში ან ამოიღეთ ნულები. ბევრი გადაწყვეტილება, როგორც ყოველთვის, არ შეიცვლება, მაგრამ შემდგომი ოპერაციები უფრო მოსახერხებელი გახდება. მთავარია, რომ კოეფიციენტი არ იყოს ნულის ტოლი.
პროპორციული ფაქტორებით რიგების ამოღება. ეს ნაწილობრივ გამომდინარეობს წინა პუნქტიდან. თუ მატრიცაში ორ ან მეტ სტრიქონს აქვს პროპორციული კოეფიციენტები, მაშინ როდესაც ერთ-ერთი მწკრივი გამრავლდება/იყოფა პროპორციულობის კოეფიციენტზე, მიიღება ორი (ან კიდევ მეტი) აბსოლუტურად იდენტური მწკრივი, ხოლო დამატებითი შეიძლება ამოღებულ იქნეს და დატოვონ მხოლოდ ერთი.
ნულოვანი ხაზის ამოღება. თუ ტრანსფორმაციის დროს სადმე მიიღება მწკრივი, რომელშიც ყველა ელემენტი, მათ შორის თავისუფალი ვადა, არის ნულოვანი, მაშინ ასეთ მწკრივს შეიძლება ეწოდოს ნული და გადააგდეს მატრიციდან.
ერთი რიგის ელემენტებს ემატება მეორის ელემენტები (შესაბამის სვეტებში), გამრავლებული გარკვეულ კოეფიციენტზე. ყველაზე გაუგებარი და ყველაზე მნიშვნელოვანი ტრანსფორმაცია. ღირს ამაზე უფრო დეტალურად საუბარი.

კოეფიციენტზე გამრავლებული სტრიქონის დამატება

გასაგებად, ღირს ამ პროცესის ეტაპობრივად დაშლა. ორი სტრიქონი აღებულია მატრიციდან:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | ბ 2

ვთქვათ, თქვენ უნდა დაამატოთ პირველი მეორეს, გამრავლებული კოეფიციენტზე "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

შემდეგ მატრიცაში მეორე რიგი იცვლება ახლით და პირველი უცვლელი რჩება.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

გასათვალისწინებელია, რომ გამრავლების კოეფიციენტი შეიძლება შეირჩეს ისე, რომ ორი მწკრივის მიმატების შედეგად ახალი მწკრივის ერთ-ერთი ელემენტი ნულის ტოლი იყოს. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია განტოლების მიღება სისტემაში, სადაც იქნება ერთი ნაკლები უცნობი. და თუ თქვენ მიიღებთ ორ ასეთ განტოლებას, მაშინ ოპერაცია შეიძლება განმეორდეს და მიიღოთ განტოლება, რომელიც შეიცავს ორ ნაკლებ უცნობს. და თუ ყოველ ჯერზე გადააქცევთ ერთ კოეფიციენტს ნულში ყველა მწკრივისთვის, რომელიც თავდაპირველის ქვემოთაა, მაშინ შეგიძლიათ, კიბეების მსგავსად, ჩახვიდეთ მატრიცის ბოლოში და მიიღოთ განტოლება ერთი უცნობით. ამას ჰქვია სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ზოგადად

დაე, იყოს სისტემა. მას აქვს m განტოლებები და n უცნობი ფესვები. შეგიძლიათ დაწეროთ შემდეგნაირად:

ძირითადი მატრიცა შედგენილია სისტემის კოეფიციენტებიდან. უფასო ტერმინების სვეტი ემატება გაფართოებულ მატრიცას და, მოხერხებულობისთვის, გამოყოფილია ხაზით.

მატრიცის პირველი მწკრივი მრავლდება კოეფიციენტით k = (-a 21 /a 11);
ემატება მატრიცის პირველი შეცვლილი მწკრივი და მეორე მწკრივი;
მეორე რიგის ნაცვლად მატრიცაში ჩასმულია წინა აბზაცის დამატების შედეგი;
ახლა პირველი კოეფიციენტი ახალი წამიხაზი არის 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

ახლა შესრულებულია გარდაქმნების იგივე სერია, ჩართულია მხოლოდ პირველი და მესამე რიგები. შესაბამისად, ალგორითმის თითოეულ საფეხურზე ელემენტი a 21 იცვლება 31-ით. შემდეგ ყველაფერი მეორდება 41, ... m1-ისთვის. შედეგი არის მატრიცა, სადაც პირველი ელემენტი რიგებში არის ნული. ახლა თქვენ უნდა დაივიწყოთ ხაზი ნომერი პირველი და შეასრულოთ იგივე ალგორითმი, დაწყებული ხაზიდან მეორედან:

კოეფიციენტი k = (-a 32 /a 22);
მეორე შეცვლილი ხაზი ემატება „მიმდინარე“ ხაზს;
დამატების შედეგი ჩანაცვლებულია მესამე, მეოთხე და ასე შემდეგ ხაზებში, ხოლო პირველი და მეორე უცვლელი რჩება;
მატრიცის რიგებში პირველი ორი ელემენტი უკვე ნულის ტოლია.

ალგორითმი უნდა განმეორდეს მანამ, სანამ არ გამოჩნდება კოეფიციენტი k = (-a m,m-1 /a mm). ეს ნიშნავს, რომ ბოლო დროს ალგორითმი შესრულდა მხოლოდ ქვედა განტოლებისთვის. ახლა მატრიცა სამკუთხედს ჰგავს, ან აქვს საფეხურიანი ფორმა. ქვედა ხაზში არის ტოლობა a mn × x n = b m. კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ცნობილია და მათი მეშვეობით ძირი გამოიხატება: x n = b m /a mn. შედეგად ფესვი ჩანაცვლებულია ზედა ხაზში, რათა იპოვონ x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. და ასე შემდეგ ანალოგიით: ყოველ მომდევნო სტრიქონში არის ახალი ფესვი და, სისტემის "ზევით" მიღწევის შემდეგ, შეგიძლიათ იპოვოთ მრავალი გამოსავალი. ეს იქნება ერთადერთი.

როცა გამოსავალი არ არის

თუ მატრიცის ერთ-ერთ მწკრივში თავისუფალი ტერმინის გარდა ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ ამ მწკრივის შესაბამისი განტოლება გამოიყურება 0 = b. გამოსავალი არ აქვს. და რადგან ასეთი განტოლება შედის სისტემაში, მაშინ მთელი სისტემის ამონახსნთა სიმრავლე ცარიელია, ანუ დეგენერირებულია.

როცა ამონახსნების უსასრულო რაოდენობაა

შეიძლება მოხდეს, რომ მოცემულ სამკუთხა მატრიცაში არ იყოს რიგები განტოლების ერთი კოეფიციენტის ელემენტით და ერთი თავისუფალი წევრით. არსებობს მხოლოდ სტრიქონები, რომლებიც გადაწერისას გამოიყურებიან განტოლებას ორი ან მეტი ცვლადით. ეს ნიშნავს, რომ სისტემას აქვს უსასრულო რიცხვიგადაწყვეტილებები. ამ შემთხვევაში პასუხის გაცემა შესაძლებელია ზოგადი ამოხსნის სახით. როგორ გავაკეთოთ ეს?

მატრიცაში ყველა ცვლადი იყოფა ძირითად და თავისუფალებად. ძირითადი არის ის, ვინც დგას ნაბიჯების მატრიცის რიგების "კიდეზე". დანარჩენი უფასოა. ზოგად ამოხსნაში ძირითადი ცვლადები იწერება უფასო ცვლადების მეშვეობით.

მოხერხებულობისთვის, მატრიცა პირველად გადაიწერება განტოლებების სისტემაში. შემდეგ მათგან ბოლოში, სადაც ზუსტად არის დარჩენილი ერთი ძირითადი ცვლადი, ის რჩება ერთ მხარეს, დანარჩენი კი მეორეზე გადადის. ეს კეთდება ყველა განტოლებისთვის ერთი ძირითადი ცვლადით. შემდეგ, დარჩენილ განტოლებებში, სადაც შესაძლებელია, მასზე მიღებული გამოხატულება ჩანაცვლებულია ძირითადი ცვლადის ნაცვლად. თუ შედეგი ისევ არის გამოხატულება, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ ძირითად ცვლადს, ის ისევ იქიდან არის გამოხატული და ასე შემდეგ, სანამ თითოეული ძირითადი ცვლადი არ დაიწერება, როგორც გამოხატვის თავისუფალი ცვლადები. ეს არის ის ზოგადი გადაწყვეტა SLAU.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ სისტემის ძირითადი გადაწყვეტა - მიეცით უფასო ცვლადებს რაიმე მნიშვნელობა და შემდეგ ამ კონკრეტული შემთხვევისთვის გამოთვალეთ ძირითადი ცვლადების მნიშვნელობები. არსებობს უსასრულო რაოდენობის კონკრეტული გადაწყვეტილებების მიცემა.

გამოსავალი კონკრეტული მაგალითებით

აქ არის განტოლებათა სისტემა.

მოხერხებულობისთვის, უმჯობესია დაუყოვნებლივ შექმნათ მისი მატრიცა

ცნობილია, რომ გაუსის მეთოდით ამოხსნისას პირველი რიგის შესაბამისი განტოლება უცვლელი დარჩება გარდაქმნების ბოლოს. ამიტომ, უფრო მომგებიანი იქნება, თუ მატრიცის ზედა მარცხენა ელემენტი ყველაზე პატარაა - მაშინ ოპერაციების შემდეგ დარჩენილი რიგების პირველი ელემენტები გადაიქცევა ნულამდე. ეს ნიშნავს, რომ შედგენილ მატრიცაში ხელსაყრელი იქნება მეორე რიგის დაყენება პირველის ნაცვლად.

მეორე ხაზი: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

მესამე ხაზი: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

ახლა, იმისათვის, რომ არ დაიბნეთ, თქვენ უნდა ჩამოწეროთ მატრიცა ტრანსფორმაციების შუალედური შედეგებით.

ცხადია, ასეთი მატრიცა შეიძლება უფრო მოსახერხებელი გახდეს აღქმისთვის გარკვეული ოპერაციების გამოყენებით. მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ ყველა "მინუსები" მეორე სტრიქონიდან თითოეული ელემენტის "-1"-ზე გამრავლებით.

აღსანიშნავია ისიც, რომ მესამე სტრიქონში ყველა ელემენტი არის სამის ჯერადი. შემდეგ შეგიძლიათ შეამციროთ ხაზი ამ რიცხვით, გაამრავლოთ თითოეული ელემენტი "-1/3"-ით (მინუს - ამავე დროს, ამოსაღებად უარყოფითი მნიშვნელობები).

ბევრად ლამაზად გამოიყურება. ახლა ჩვენ უნდა დავტოვოთ პირველი ხაზი და ვიმუშაოთ მეორეზე და მესამეზე. ამოცანაა მესამე სტრიქონს დავუმატოთ მეორე ხაზი, გამრავლებული ისეთ კოეფიციენტზე, რომ ელემენტი a 32 გახდეს ნულის ტოლი.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (თუ ზოგიერთი გარდაქმნის დროს პასუხი არ აღმოჩნდება მთელი რიცხვი, რეკომენდებულია გამოთვლების სიზუსტის შენარჩუნება გასასვლელად. ის „როგორც არის“, სახით საერთო წილადიდა მხოლოდ ამის შემდეგ, როდესაც მიიღებთ პასუხებს, გადაწყვიტეთ დამრგვალოთ და გადაიყვანოთ ჩაწერის სხვა ფორმაზე)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

მატრიცა კვლავ იწერება ახალი მნიშვნელობებით.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

როგორც ხედავთ, მიღებულ მატრიცას უკვე აქვს საფეხურიანი ფორმა. ამიტომ, სისტემის შემდგომი გარდაქმნები გაუსის მეთოდით არ არის საჭირო. რა შეიძლება გაკეთდეს აქ არის მესამე ხაზიდან ამოღება საერთო კოეფიციენტი "-1/7".

ახლა ყველაფერი მშვენიერია. რჩება მხოლოდ მატრიცას ხელახლა ჩაწერა განტოლებათა სისტემის სახით და გამოთვალეთ ფესვები

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

ალგორითმს, რომლითაც ახლა ვიპოვით ფესვებს, გაუსის მეთოდით საპირისპირო მოძრაობა ეწოდება. განტოლება (3) შეიცავს z მნიშვნელობას:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

და პირველი განტოლება საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

ჩვენ გვაქვს უფლება ვუწოდოთ ასეთ სისტემას ერთობლივი და თუნდაც გარკვეული, ანუ უნიკალური გადაწყვეტის მქონე. პასუხი იწერება შემდეგი ფორმით:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

გაურკვეველი სისტემის მაგალითი

გაანალიზებულია გარკვეული სისტემის ამოხსნის ვარიანტი გაუსის მეთოდით, ახლა საჭიროა განიხილოს შემთხვევა, თუ სისტემა გაურკვეველია, ანუ უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი შეიძლება მოიძებნოს მისთვის.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

სისტემის გარეგნობა უკვე საგანგაშოა, რადგან უცნობების რაოდენობაა n = 5, ხოლო სისტემის მატრიცის რანგი უკვე ზუსტად ამ რიცხვზე ნაკლებია, რადგან მწკრივების რაოდენობაა m = 4, ანუ, განმსაზღვრელი კვადრატის უმაღლესი რიგია 4. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ამონახსნები უსასრულო ნაკრებიდა ჩვენ უნდა ვეძებოთ მისი ზოგადი გარეგნობა. ხაზოვანი განტოლებისთვის გაუსის მეთოდი ამის საშუალებას გაძლევთ.

პირველ რიგში, ჩვეულებისამებრ, შედგენილია გაფართოებული მატრიცა.

მეორე ხაზი: კოეფიციენტი k = (-a 21 /a 11) = -3. მესამე სტრიქონში პირველი ელემენტი არის ტრანსფორმაციების წინ, ასე რომ თქვენ არ გჭირდებათ რაიმეს შეხება, თქვენ უნდა დატოვოთ ის, როგორც არის. მეოთხე ხაზი: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

პირველი რიგის ელემენტების თითოეულ კოეფიციენტზე რიგრიგობით გამრავლებით და საჭირო მწკრივებთან მიმატებით, მივიღებთ შემდეგი ფორმის მატრიცას:

როგორც ხედავთ, მეორე, მესამე და მეოთხე რიგები შედგება ერთმანეთის პროპორციული ელემენტებისაგან. მეორე და მეოთხე ზოგადად იდენტურია, ამიტომ ერთი მათგანი შეიძლება ამოღებულ იქნას დაუყოვნებლივ, ხოლო დარჩენილი შეიძლება გავამრავლოთ კოეფიციენტზე „-1“ და მივიღოთ ხაზი ნომერი 3. და ისევ, ორი იდენტური ხაზიდან, დავტოვოთ ერთი.

შედეგი არის ასეთი მატრიცა. მიუხედავად იმისა, რომ სისტემა ჯერ არ არის ჩამოწერილი, აქ აუცილებელია ძირითადი ცვლადების დადგენა - ისინი, რომლებიც დგანან კოეფიციენტებზე a 11 = 1 და 22 = 1, ხოლო თავისუფალი - ყველა დანარჩენი.

მეორე განტოლებაში არის მხოლოდ ერთი ძირითადი ცვლადი - x 2. ეს ნიშნავს, რომ მისი გამოხატვა შესაძლებელია იქიდან მისი ჩაწერით x 3 , x 4 , x 5 ცვლადების საშუალებით, რომლებიც უფასოა.

ჩვენ ვცვლით შედეგად გამოსახულებას პირველ განტოლებაში.

შედეგი არის განტოლება, რომელშიც ერთადერთი ძირითადი ცვლადი არის x 1. მოდით, იგივე მოვიქცეთ, როგორც x 2.

ყველა ძირითადი ცვლადი, რომელთაგან ორია, გამოხატულია სამი თავისუფალი მნიშვნელობით, ახლა შეგვიძლია პასუხი დავწეროთ ზოგადი ფორმით.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიუთითოთ სისტემის ერთ-ერთი კონკრეტული გადაწყვეტა. ასეთ შემთხვევებში, ნულები, როგორც წესი, არჩეულია უფასო ცვლადების მნიშვნელობებად. მაშინ პასუხი იქნება:

16, 23, 0, 0, 0.

არაკოოპერატიული სისტემის მაგალითი

გაუსის მეთოდით განტოლებათა შეუთავსებელი სისტემების ამოხსნა ყველაზე სწრაფია. ის მაშინვე მთავრდება, როგორც კი ერთ-ერთ საფეხურზე მიიღება განტოლება, რომელსაც არ აქვს ამონახსნი. ანუ ფესვების გამოთვლის ეტაპი, რომელიც საკმაოდ გრძელი და დამღლელია, აღმოფხვრილია. განიხილება შემდეგი სისტემა:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

ჩვეულებისამებრ, მატრიცა შედგენილია:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

და ის მცირდება ეტაპობრივ ფორმამდე:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

პირველი ტრანსფორმაციის შემდეგ, მესამე ხაზი შეიცავს ფორმის განტოლებას

გამოსავლის გარეშე. შესაბამისად, სისტემა არათანმიმდევრულია და პასუხი იქნება ცარიელი ნაკრები.

მეთოდის უპირატესობები და უარყოფითი მხარეები

თუ აირჩევთ რომელი მეთოდით გადაჭრით SLAE-ები ქაღალდზე კალმით, მაშინ მეთოდი, რომელიც ამ სტატიაში იყო განხილული, ყველაზე მიმზიდველად გამოიყურება. გაცილებით რთულია ელემენტარულ გარდაქმნებში დაბნეულობა, ვიდრე თუ ხელით მოგიწევთ დეტერმინანტის ან რაიმე რთული ინვერსიული მატრიცის ძიება. ამასთან, თუ იყენებთ პროგრამებს ამ ტიპის მონაცემებთან მუშაობისთვის, მაგალითად, ცხრილები, მაშინ გამოდის, რომ ასეთი პროგრამები უკვე შეიცავს მატრიცების ძირითადი პარამეტრების გამოთვლის ალგორითმებს - განმსაზღვრელი, მცირე, ინვერსიული და ა.შ. და თუ დარწმუნებული ხართ, რომ მანქანა თავად გამოთვლის ამ მნიშვნელობებს და არ დაუშვებს შეცდომებს, მიზანშეწონილია გამოიყენოთ მატრიცის მეთოდი ან კრამერის ფორმულები, რადგან მათი გამოყენება იწყება და მთავრდება დეტერმინანტებისა და გამოთვლებით. ინვერსიული მატრიცები.

განაცხადი

ვინაიდან გაუსის ამოხსნა არის ალგორითმი, ხოლო მატრიცა რეალურად არის ორგანზომილებიანი მასივი, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას პროგრამირებაში. მაგრამ იმის გამო, რომ სტატია პოზიციონირებს როგორც გზამკვლევი „მაგებისთვის“, უნდა ითქვას, რომ მეთოდის ჩასმის ყველაზე მარტივი ადგილი არის ცხრილები, მაგალითად, Excel. ისევ, ნებისმიერი SLAE, რომელიც შეყვანილია ცხრილში მატრიცის სახით, განიხილება Excel-ის მიერ, როგორც ორგანზომილებიანი მასივი. და მათთან ოპერაციებისთვის არის ბევრი ლამაზი ბრძანება: დამატება (შეგიძლიათ მხოლოდ მატრიცების დამატება იგივე ზომები!), რიცხვზე გამრავლება, მატრიცების გამრავლება (ასევე გარკვეული შეზღუდვებით), შებრუნებული და ტრანსპონირებული მატრიცების პოვნა და რაც მთავარია, დეტერმინანტის გამოთვლა. თუ ეს შრომატევადი დავალება ჩანაცვლდება ერთი ბრძანებით, შესაძლებელია მატრიცის რანგის ბევრად უფრო სწრაფად დადგენა და, შესაბამისად, მისი თავსებადობის ან შეუთავსებლობის დადგენა.

ამ სტატიაში მეთოდი განიხილება, როგორც წრფივი განტოლებების სისტემების (SLAEs) ამოხსნის მეთოდი. მეთოდი არის ანალიტიკური, ანუ ის საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ გადაწყვეტის ალგორითმი ზოგადი ფორმით, შემდეგ კი შეცვალოთ მნიშვნელობები კონკრეტული მაგალითებიდან. მატრიცული მეთოდისგან ან კრამერის ფორმულებისგან განსხვავებით, გაუსის მეთოდით წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას, ასევე შეგიძლიათ იმუშაოთ მათთან, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ან საერთოდ არ აქვთ.

რას ნიშნავს ამოხსნა გაუსის მეთოდით?

შემდეგი, ძირითადი მატრიცა კოეფიციენტებით უნდა შემცირდეს ზედა სამკუთხა ფორმამდე. ეს არის გაუსის მეთოდით სისტემის ამოხსნის მთავარი პუნქტი. მარტივად რომ ვთქვათ, გარკვეული მანიპულაციების შემდეგ, მატრიცა უნდა გამოიყურებოდეს ისე, რომ მისი ქვედა მარცხენა ნაწილი შეიცავდეს მხოლოდ ნულებს:

შემდეგ, თუ ახალ მატრიცას კვლავ დაწერთ განტოლებათა სისტემის სახით, შეამჩნევთ, რომ ბოლო მწკრივი უკვე შეიცავს ერთ-ერთი ფესვის მნიშვნელობას, რომელიც შემდეგ ჩანაცვლებულია ზემოთ განტოლებაში, იპოვება სხვა ფესვი და ა.შ.

ეს არის გაუსის მეთოდით ამოხსნის აღწერა ყველაზე ზოგადი თვალსაზრისით. რა მოხდება, თუ მოულოდნელად სისტემას გამოსავალი არ აქვს? ან უსასრულოდ ბევრია? ამ და ბევრ სხვა კითხვაზე პასუხის გასაცემად აუცილებელია ცალ-ცალკე განიხილოს ყველა ის ელემენტი, რომლებიც გამოიყენება გაუსის მეთოდის ამოხსნისას.

მატრიცები, მათი თვისებები

მატრიცაში ფარული მნიშვნელობა არ არის. ეს უბრალოდ მოსახერხებელი გზაა მონაცემების ჩასაწერად მასთან შემდგომი ოპერაციებისთვის. სკოლის მოსწავლეებსაც არ სჭირდებათ მათი შიში.

მატრიცას აქვს ზომა. მისი "სიგანე" არის რიგების რაოდენობა (მ), "სიგრძე" არის სვეტების რაოდენობა (n). მაშინ A მატრიცის ზომა (მათ აღსანიშნავად ჩვეულებრივ გამოიყენება დიდი ლათინური ასოები) აღინიშნა როგორც A m×n. თუ m=n, მაშინ ეს მატრიცა არის კვადრატი, ხოლო m=n არის მისი რიგი. შესაბამისად, A მატრიცის ნებისმიერი ელემენტი შეიძლება აღინიშნოს მისი მწკრივისა და სვეტის ნომრებით: a xy ; x - რიგის ნომერი, ცვლილებები, y - სვეტის ნომერი, ცვლილებები.

განმსაზღვრელი

ძალზე მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ განმსაზღვრელი შეიძლება გამოითვალოს მხოლოდ კვადრატული მატრიცისთვის. მართკუთხა მატრიცისთვის შეგიძლიათ გააკეთოთ შემდეგი: შეარჩიეთ ყველაზე პატარა მწკრივების და სვეტების რიცხვიდან (დავცეთ k), და შემდეგ შემთხვევით მონიშნეთ k სვეტი და k სტრიქონი მატრიცაში. არჩეული სვეტებისა და მწკრივების გადაკვეთაზე არსებული ელემენტები შექმნიან ახალ კვადრატულ მატრიცას. თუ ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი არის არანულოვანი რიცხვი, მას უწოდებენ ორიგინალური მართკუთხა მატრიცის საფუძველს.

სისტემის კლასიფიკაცია

რანგთან დაკავშირებული სიტუაციიდან გამომდინარე, SLAE შეიძლება დაიყოს:

ერთობლივი. უერთობლივ სისტემებში მთავარი მატრიცის რანგი (რომელიც მხოლოდ კოეფიციენტებისგან შედგება) ემთხვევა გაფართოებული მატრიცის რანგის (თავისუფალი ტერმინების სვეტით). ასეთ სისტემებს აქვთ გამოსავალი, მაგრამ არა აუცილებლად ერთი, ამიტომ ერთობლივი სისტემები დამატებით იყოფა:
- გარკვეული- აქვს ერთი გამოსავალი. გარკვეულ სისტემებში მატრიცის რანგი და უცნობის რაოდენობა (ან სვეტების რაოდენობა, რაც იგივეა) ტოლია;
- განუსაზღვრელი -უსასრულო რაოდენობის ამონახსნებით. ასეთ სისტემებში მატრიცების რანგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე.
შეუთავსებელი. უასეთ სისტემებში ძირითადი და გაფართოებული მატრიცების რიგები ერთმანეთს არ ემთხვევა. შეუთავსებელ სისტემებს გამოსავალი არ აქვს.

ელემენტარული გარდაქმნები

ხაზების გადაწყობა. ცხადია, თუ სისტემურ ჩანაწერში შეცვლით განტოლებების თანმიმდევრობას, ეს არანაირად არ იმოქმედებს ამოხსნაზე. შესაბამისად, ამ სისტემის მატრიცის რიგები ასევე შეიძლება შეიცვალოს, რა თქმა უნდა, არ დაივიწყოს თავისუფალი ტერმინების სვეტი.
სტრიქონის ყველა ელემენტის გამრავლება გარკვეულ კოეფიციენტზე. ძალიან სასარგებლო! ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას მატრიცაში დიდი რიცხვების შესამცირებლად ან ნულების მოსაშორებლად. ბევრი გადაწყვეტილება, როგორც ყოველთვის, არ შეიცვლება, მაგრამ შემდგომი ოპერაციები უფრო მოსახერხებელი გახდება. მთავარია, რომ კოეფიციენტი არ იყოს ნულის ტოლი.
პროპორციული ფაქტორებით რიგების ამოღება. ეს ნაწილობრივ გამომდინარეობს წინა პუნქტიდან. თუ მატრიცაში ორ ან მეტ სტრიქონს აქვს პროპორციული კოეფიციენტები, მაშინ როდესაც ერთ-ერთი მწკრივი გამრავლდება/იყოფა პროპორციულობის კოეფიციენტზე, მიიღება ორი (ან კიდევ მეტი) აბსოლუტურად იდენტური მწკრივი, ხოლო დამატებითი შეიძლება ამოღებულ იქნეს და დატოვონ მხოლოდ ერთი.
ნულოვანი ხაზის ამოღება. თუ ტრანსფორმაციის დროს სადმე მიიღება მწკრივი, რომელშიც ყველა ელემენტი, მათ შორის თავისუფალი ვადა, არის ნულოვანი, მაშინ ასეთ მწკრივს შეიძლება ეწოდოს ნული და გადააგდეს მატრიციდან.
ერთი რიგის ელემენტებს ემატება მეორის ელემენტები (შესაბამის სვეტებში), გამრავლებული გარკვეულ კოეფიციენტზე. ყველაზე გაუგებარი და ყველაზე მნიშვნელოვანი ტრანსფორმაცია. ღირს ამაზე უფრო დეტალურად საუბარი.

კოეფიციენტზე გამრავლებული სტრიქონის დამატება

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | ბ 2

ვთქვათ, თქვენ უნდა დაამატოთ პირველი მეორეს, გამრავლებული კოეფიციენტზე "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

შემდეგ მატრიცაში მეორე რიგი იცვლება ახლით და პირველი უცვლელი რჩება.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

ზოგადად

მატრიცის პირველი მწკრივი მრავლდება კოეფიციენტით k = (-a 21 /a 11);
ემატება მატრიცის პირველი შეცვლილი მწკრივი და მეორე მწკრივი;
მეორე რიგის ნაცვლად მატრიცაში ჩასმულია წინა აბზაცის დამატების შედეგი;
ახლა პირველი კოეფიციენტი ახალ მეორე რიგში არის 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

კოეფიციენტი k = (-a 32 /a 22);
მეორე შეცვლილი ხაზი ემატება „მიმდინარე“ ხაზს;
დამატების შედეგი ჩანაცვლებულია მესამე, მეოთხე და ასე შემდეგ ხაზებში, ხოლო პირველი და მეორე უცვლელი რჩება;
მატრიცის რიგებში პირველი ორი ელემენტი უკვე ნულის ტოლია.

როცა გამოსავალი არ არის

როცა ამონახსნების უსასრულო რაოდენობაა

შეიძლება მოხდეს, რომ მოცემულ სამკუთხა მატრიცაში არ იყოს რიგები განტოლების ერთი კოეფიციენტის ელემენტით და ერთი თავისუფალი წევრით. არსებობს მხოლოდ სტრიქონები, რომლებიც გადაწერისას გამოიყურებიან განტოლებას ორი ან მეტი ცვლადით. ეს ნიშნავს, რომ სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები. ამ შემთხვევაში პასუხის გაცემა შესაძლებელია ზოგადი ამოხსნის სახით. როგორ გავაკეთოთ ეს?

მოხერხებულობისთვის, მატრიცა პირველად გადაიწერება განტოლებების სისტემაში. შემდეგ მათგან ბოლოში, სადაც ზუსტად არის დარჩენილი ერთი ძირითადი ცვლადი, ის რჩება ერთ მხარეს, დანარჩენი კი მეორეზე გადადის. ეს კეთდება ყველა განტოლებისთვის ერთი ძირითადი ცვლადით. შემდეგ, დარჩენილ განტოლებებში, სადაც შესაძლებელია, მასზე მიღებული გამოხატულება ჩანაცვლებულია ძირითადი ცვლადის ნაცვლად. თუ შედეგი ისევ არის გამოხატულება, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ ძირითად ცვლადს, ის ისევ იქიდან არის გამოხატული და ასე შემდეგ, სანამ თითოეული ძირითადი ცვლადი არ დაიწერება, როგორც გამოხატვის თავისუფალი ცვლადები. ეს არის SLAE-ის ზოგადი გადაწყვეტა.

გამოსავალი კონკრეტული მაგალითებით

აქ არის განტოლებათა სისტემა.

მოხერხებულობისთვის, უმჯობესია დაუყოვნებლივ შექმნათ მისი მატრიცა

მეორე ხაზი: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

მესამე ხაზი: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

აღსანიშნავია ისიც, რომ მესამე სტრიქონში ყველა ელემენტი არის სამის ჯერადი. შემდეგ შეგიძლიათ შეამციროთ სტრიქონი ამ რიცხვით, გაამრავლოთ თითოეული ელემენტი "-1/3"-ით (მინუს - ამავე დროს, უარყოფითი მნიშვნელობების მოსაშორებლად).

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (თუ ზოგიერთი გარდაქმნის დროს პასუხი არ აღმოჩნდება მთელი რიცხვი, რეკომენდებულია გამოთვლების სიზუსტის შენარჩუნება გასასვლელად. ის "როგორც არის", ჩვეულებრივი წილადების სახით და მხოლოდ ამის შემდეგ, როდესაც პასუხები მიიღება, გადაწყვიტეთ დამრგვალოთ და გადაიყვანოთ ჩაწერის სხვა ფორმაში)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

მატრიცა კვლავ იწერება ახალი მნიშვნელობებით.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

როგორც ხედავთ, მიღებულ მატრიცას უკვე აქვს საფეხურიანი ფორმა. ამიტომ, სისტემის შემდგომი გარდაქმნები გაუსის მეთოდით არ არის საჭირო. რისი გაკეთება შეგიძლიათ აქ არის მესამე ხაზიდან საერთო კოეფიციენტის "-1/7" ამოღება.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

და პირველი განტოლება საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

გაურკვეველი სისტემის მაგალითი

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

სისტემის გარეგნობა უკვე საგანგაშოა, რადგან უცნობების რაოდენობაა n = 5, ხოლო სისტემის მატრიცის რანგი უკვე ზუსტად ამ რიცხვზე ნაკლებია, რადგან მწკრივების რაოდენობაა m = 4, ანუ, განმსაზღვრელი კვადრატის უმაღლესი რიგი არის 4. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა და თქვენ უნდა მოძებნოთ მისი ზოგადი გარეგნობა. ხაზოვანი განტოლებისთვის გაუსის მეთოდი ამის საშუალებას გაძლევთ.

პირველ რიგში, ჩვეულებისამებრ, შედგენილია გაფართოებული მატრიცა.

ჩვენ ვცვლით შედეგად გამოსახულებას პირველ განტოლებაში.

16, 23, 0, 0, 0.

არაკოოპერატიული სისტემის მაგალითი

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

ჩვეულებისამებრ, მატრიცა შედგენილია:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

და ის მცირდება ეტაპობრივ ფორმამდე:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

პირველი ტრანსფორმაციის შემდეგ, მესამე ხაზი შეიცავს ფორმის განტოლებას

მეთოდის უპირატესობები და უარყოფითი მხარეები

თუ აირჩევთ რომელი მეთოდით გადაჭრით SLAE-ები ქაღალდზე კალმით, მაშინ მეთოდი, რომელიც ამ სტატიაში იყო განხილული, ყველაზე მიმზიდველად გამოიყურება. გაცილებით რთულია ელემენტარულ გარდაქმნებში დაბნეულობა, ვიდრე თუ ხელით მოგიწევთ დეტერმინანტის ან რაიმე რთული ინვერსიული მატრიცის ძიება. ამასთან, თუ იყენებთ პროგრამებს ამ ტიპის მონაცემებთან მუშაობისთვის, მაგალითად, ცხრილები, მაშინ გამოდის, რომ ასეთი პროგრამები უკვე შეიცავს მატრიცების ძირითადი პარამეტრების გამოთვლის ალგორითმებს - განმსაზღვრელი, მცირე, ინვერსიული და ა.შ. და თუ დარწმუნებული ხართ, რომ მანქანა თავად გამოთვლის ამ მნიშვნელობებს და შეცდომას არ დაუშვებს, უფრო მიზანშეწონილია გამოიყენოთ მატრიცის მეთოდი ან კრამერის ფორმულები, რადგან მათი გამოყენება იწყება და მთავრდება დეტერმინანტებისა და ინვერსიული მატრიცების გაანგარიშებით.

განაცხადი

ვინაიდან გაუსის ამოხსნა არის ალგორითმი, ხოლო მატრიცა რეალურად არის ორგანზომილებიანი მასივი, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას პროგრამირებაში. მაგრამ იმის გამო, რომ სტატია პოზიციონირებს როგორც გზამკვლევი „მაგებისთვის“, უნდა ითქვას, რომ მეთოდის ჩასმის ყველაზე მარტივი ადგილი არის ცხრილები, მაგალითად, Excel. ისევ, ნებისმიერი SLAE, რომელიც შევიდა ცხრილში მატრიცის სახით, განიხილება Excel-ის მიერ, როგორც ორგანზომილებიანი მასივი. მათთან ოპერაციებისთვის კი ბევრი კარგი ბრძანებაა: დამატება (შეგიძლიათ მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცების დამატება!), რიცხვზე გამრავლება, მატრიცების გამრავლება (ასევე გარკვეული შეზღუდვებით), შებრუნებული და ტრანსპონირებული მატრიცების პოვნა და რაც მთავარია. , დეტერმინანტის გამოთვლა. თუ ეს შრომატევადი დავალება ჩანაცვლდება ერთი ბრძანებით, შესაძლებელია მატრიცის რანგის ბევრად უფრო სწრაფად დადგენა და, შესაბამისად, მისი თავსებადობის ან შეუთავსებლობის დადგენა.