ამოხსენით კვადრატული განტოლებები ონლაინ მოდულით. რიცხვის მოდული (რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა), განმარტებები, მაგალითები, თვისებები

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებებით, აქციებით და სხვა ღონისძიებებით და მომავალი ღონისძიებებით.
დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

აუცილებლობის შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცედურების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის სამთავრობო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - თქვენი პირადი ინფორმაციის გამჟღავნება. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

მოდული ერთ-ერთია იმ საკითხთაგან, რომლის შესახებ თითქოს ყველას სმენია, მაგრამ სინამდვილეში არავის ესმის. ამიტომ, დღეს იქნება დიდი გაკვეთილი, რომელიც მიეძღვნება მოდულებით განტოლებების ამოხსნას.

მაშინვე ვიტყვი: გაკვეთილი არ იქნება რთული. და საერთოდ, მოდულები შედარებით მარტივი თემაა. ”დიახ, რა თქმა უნდა, ეს არ არის რთული! გონებას მაბნევს!” - იტყვის ბევრი სტუდენტი, მაგრამ ყველა ეს ტვინის რღვევა ხდება იმის გამო, რომ ადამიანების უმეტესობას არ აქვს ცოდნა თავის თავში, მაგრამ რაღაც სისულელეა. და ამ გაკვეთილის მიზანია სისულელეების გადაქცევა ცოდნად.

ცოტა თეორია

მაშ, წავიდეთ. დავიწყოთ ყველაზე მნიშვნელოვანით: რა არის მოდული? შეგახსენებთ, რომ რიცხვის მოდული უბრალოდ იგივე რიცხვია, მაგრამ აღებული მინუს ნიშნის გარეშე. ეს არის, მაგალითად, $\left| -5 \მარჯვნივ|=5$. ან $\მარცხენა| -129.5 \მარჯვნივ|=129.5$.

ასე მარტივია? დიახ, მარტივი. მაშინ რა არის დადებითი რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა? აქ კიდევ უფრო მარტივია: დადებითი რიცხვის მოდული უდრის თავად ამ რიცხვს: $\left| 5 \მარჯვნივ|=5$; $\მარცხნივ| 129.5 \მარჯვნივ|=129.5$ და ა.შ.

\[\მარცხნივ| -a \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| a\ უფლება|\]

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ფაქტი: მოდული არასოდეს არის უარყოფითი. როგორი რიცხვიც არ უნდა ავიღოთ - იქნება ეს დადებითი თუ უარყოფითი - მისი მოდული ყოველთვის დადებითი (ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ნული) გამოდის. ამიტომ მოდულს ხშირად უწოდებენ რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას.

გარდა ამისა, თუ გავაერთიანებთ მოდულის განმარტებას დადებითი და უარყოფითი რიცხვისთვის, მივიღებთ მოდულის გლობალურ განმარტებას ყველა რიცხვისთვის. კერძოდ: რიცხვის მოდული უდრის თავად რიცხვს, თუ რიცხვი დადებითია (ან ნული), ან საპირისპირო რიცხვის ტოლია, თუ რიცხვი უარყოფითია. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ეს ფორმულის სახით:

ასევე არსებობს ნულის მოდული, მაგრამ ის ყოველთვის ნულის ტოლია. გარდა ამისა, ნული ერთადერთი რიცხვია, რომელსაც საპირისპირო არ აქვს.

ამრიგად, თუ გავითვალისწინებთ ფუნქციას $y=\left| x \right|$ და სცადეთ დახატოთ მისი გრაფიკი, მიიღებთ მსგავს რაღაცას:

მოდულის გრაფიკი და განტოლების ამოხსნის მაგალითი

ამ სურათიდან დაუყოვნებლივ ირკვევა, რომ $\left| -m \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| m \right|$ და მოდულის გრაფიკი არასდროს ცდება x ღერძს ქვემოთ. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის: წითელი ხაზი აღნიშნავს სწორ ხაზს $y=a$, რომელიც დადებითი $a$-ისთვის გვაძლევს ერთდროულად ორ ფესვს: $((x)_(1))$ და $((x) _(2)) $, მაგრამ ამაზე მოგვიანებით ვისაუბრებთ.

გარდა წმინდა ალგებრული განმარტებისა, არსებობს გეომეტრიული. ვთქვათ, რიცხვთა წრფეზე არის ორი წერტილი: $((x)_(1))$ და $((x)_(2))$. ამ შემთხვევაში გამოთქმა $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ არის უბრალოდ მანძილი მითითებულ წერტილებს შორის. ან, თუ გსურთ, ამ წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე:

მოდული არის მანძილი რიცხვთა ხაზის წერტილებს შორის

ეს განმარტება ასევე გულისხმობს, რომ მოდული ყოველთვის არაუარყოფითია. მაგრამ საკმარისი განმარტებები და თეორია - მოდით გადავიდეთ რეალურ განტოლებაზე :)

ძირითადი ფორმულა

კარგი, ჩვენ დავალაგეთ განმარტება. მაგრამ ამან არ გააადვილა. როგორ ამოხსნათ განტოლებები, რომლებიც შეიცავს ამ მოდულს?

დამშვიდდი, უბრალოდ დამშვიდდი. დავიწყოთ უმარტივესი ნივთებით. განიხილეთ მსგავსი რამ:

\[\მარცხნივ| x\მარჯვნივ|=3\]

ასე რომ, $x$-ის მოდული არის 3. რისი შეიძლება იყოს $x$? კარგად, თუ ვიმსჯელებთ განმარტებით, ჩვენ საკმაოდ კმაყოფილი ვართ $x=3$-ით. ნამდვილად:

\[\მარცხნივ| 3\მარჯვნივ|=3\]

არის სხვა ნომრები? Cap, როგორც ჩანს, მიანიშნებს, რომ არსებობს. მაგალითად, $x=-3$ ასევე არის $\left| -3 \მარჯვნივ|=3$, ე.ი. დაკმაყოფილებულია საჭირო თანასწორობა.

ასე რომ, იქნებ თუ მოვძებნოთ და დავფიქრდეთ, მეტი რიცხვი ვიპოვოთ? მაგრამ მოდი, ვაღიაროთ: მეტი რიცხვი არ არის. განტოლება $\მარცხენა| x \right|=3$-ს აქვს მხოლოდ ორი ფესვი: $x=3$ და $x=-3$.

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. მოდით, $f\left(x \right)$ ფუნქცია $x$ ცვლადის ნაცვლად მოდულის ნიშნის ქვეშ ჩამოკიდებული იყოს, ხოლო სამმაგის ნაცვლად მარჯვნივ დავაყენოთ თვითნებური რიცხვი $a$. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

\[\მარცხნივ| f\ მარცხენა (x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=a\]

მაშ, როგორ მოვაგვაროთ ეს? შეგახსენებთ: $f\left(x \right)$ არის თვითნებური ფუნქცია, $a$ არის ნებისმიერი რიცხვი. იმათ. Არც არაფერი! Მაგალითად:

\[\მარცხნივ| 2x+1 \მარჯვნივ|=5\]

\[\მარცხნივ| 10x-5 \მარჯვნივ|=-65\]

მივაქციოთ ყურადღება მეორე განტოლებას. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ თქვათ მასზე: მას ფესვები არ აქვს. რატომ? ყველაფერი სწორია: რადგან ის მოითხოვს, რომ მოდული იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი, რაც არასდროს ხდება, რადგან უკვე ვიცით, რომ მოდული ყოველთვის დადებითი რიცხვია ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ნულოვანი.

მაგრამ პირველი განტოლებით ყველაფერი უფრო სახალისოა. არსებობს ორი ვარიანტი: ან არის დადებითი გამოხატულება მოდულის ნიშნის ქვეშ და შემდეგ $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ან ეს გამონათქვამი მაინც უარყოფითია და შემდეგ $\left| 2x+1 \მარჯვნივ|=-\მარცხნივ(2x+1 \მარჯვნივ)=-2x-1$. პირველ შემთხვევაში, ჩვენი განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[\მარცხნივ| 2x+1 \მარჯვნივ|=5\მარჯვენა ისარი 2x+1=5\]

და უცებ აღმოჩნდება, რომ სუბმოდულური გამოხატულება $2x+1$ ნამდვილად დადებითია - ის უდრის რიცხვს 5. ანუ ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ამოხსნათ ეს განტოლება - შედეგად მიღებული ფესვი იქნება პასუხის ნაწილი:

მათ, ვინც განსაკუთრებით უნდობელია, შეუძლიათ შეეცადონ შეცვალონ ნაპოვნი ფესვი თავდაპირველ განტოლებაში და დარწმუნდნენ, რომ ნამდვილად არის დადებითი რიცხვი მოდულის ქვეშ.

ახლა მოდით შევხედოთ ნეგატიური სუბმოდულური გამოხატვის შემთხვევას:

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& \მარცხნივ| 2x+1 \მარჯვნივ|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვნივ ისარი -2x-1=5 \მარჯვენა ისარი 2x+1=-5\]

უი! ისევ ყველაფერი ნათელია: ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ $2x+1 \lt 0$, და შედეგად მივიღეთ ეს $2x+1=-5$ - მართლაც, ეს გამოხატულება ნულზე ნაკლებია. ჩვენ ვხსნით მიღებულ განტოლებას, მაშინ როდესაც უკვე ვიცით, რომ ნაპოვნი ფესვი მოგვწონს:

ჯამში ისევ მივიღეთ ორი პასუხი: $x=2$ და $x=3$. დიახ, გამოთვლების რაოდენობა ოდნავ მეტი აღმოჩნდა, ვიდრე ძალიან მარტივ განტოლებაში $\left| x \right|=3$, მაგრამ ძირეულად არაფერი შეცვლილა. იქნებ არსებობს რაიმე სახის უნივერსალური ალგორითმი?

დიახ, ასეთი ალგორითმი არსებობს. და ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ მას.

მოდულის ნიშნის მოშორება

მოდით მივცეთ განტოლება $\left| f\left(x \right) \right|=a$ და $a\ge 0$ (წინააღმდეგ შემთხვევაში, როგორც უკვე ვიცით, ფესვები არ არსებობს). შემდეგ შეგიძლიათ მოიცილოთ მოდულის ნიშანი შემდეგი წესის გამოყენებით:

\[\მარცხნივ| f\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ

ამრიგად, ჩვენი განტოლება მოდულით იყოფა ორად, მაგრამ მოდულის გარეშე. სულ ეს არის ტექნოლოგია! შევეცადოთ ამოხსნათ რამდენიმე განტოლება. დავიწყოთ ამით

\[\მარცხნივ| 5x+4 \მარჯვნივ|=10\მარჯვენა ისარი 5x+4=\pm 10\]

განვიხილოთ ცალ-ცალკე, როცა მარჯვნივ არის ათი პლუსი და ცალკე, როცა არის მინუსი. Ჩვენ გვაქვს:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\მარჯვენა ისარი 5x=-14\მარჯვენა ისარი x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! მივიღეთ ორი ფესვი: $x=1.2$ და $x=-2.8$. მთელი გამოსავალი სიტყვასიტყვით ორ სტრიქონს დასჭირდა.

კარგი, არავითარი კითხვა, მოდით შევხედოთ რაღაც უფრო სერიოზულს:

\[\მარცხნივ| 7-5x\მარჯვნივ|=13\]

ჩვენ კვლავ ვხსნით მოდულს პლუს-მინუსებით:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\ბოლო (გასწორება)\]

კიდევ რამდენიმე ხაზი - და პასუხი მზად არის! როგორც ვთქვი, არაფერია რთული მოდულების შესახებ. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ რამდენიმე წესი. ამიტომ, ჩვენ მივდივართ და ვიწყებთ მართლაც უფრო რთული ამოცანებით.

მარჯვენა მხარის ცვლადის შემთხვევა

ახლა განიხილეთ ეს განტოლება:

\[\მარცხნივ| 3x-2 \მარჯვნივ|=2x\]

ეს განტოლება ფუნდამენტურად განსხვავდება ყველა წინაგან. Როგორ? და ის ფაქტი, რომ ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ არის გამონათქვამი $2x$ - და წინასწარ ვერ გავიგებთ დადებითია თუ უარყოფითი.

რა უნდა გააკეთოს ამ შემთხვევაში? პირველ რიგში, ეს ერთხელ და სამუდამოდ უნდა გავიგოთ თუ განტოლების მარჯვენა მხარე უარყოფითი აღმოჩნდება, მაშინ განტოლებას ფესვები არ ექნება- უკვე ვიცით, რომ მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი.

და მეორეც, თუ მარჯვენა ნაწილი კვლავ დადებითია (ან ნულის ტოლია), მაშინ შეგიძლიათ იმოქმედოთ ზუსტად ისე, როგორც ადრე: უბრალოდ გახსენით მოდული ცალკე პლუს ნიშნით და ცალკე მინუს ნიშნით.

ამრიგად, ჩვენ ვაყალიბებთ წესს თვითნებური ფუნქციებისთვის $f\left(x \right)$ და $g\left(x \right)$:

\[\მარცხნივ| f\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ ), \\& g\left(x \მარჯვნივ)\ge 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენს განტოლებასთან დაკავშირებით ვიღებთ:

\[\მარცხნივ| 3x-2 \მარჯვნივ|=2x\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

კარგად, ჩვენ როგორმე გავუმკლავდებით მოთხოვნას $2x\ge 0$. საბოლოო ჯამში, ჩვენ შეგვიძლია სულელურად შევცვალოთ ფესვები, რომლებიც მივიღეთ პირველი განტოლებიდან და შევამოწმოთ, მოქმედებს თუ არა უტოლობა.

მაშ, მოდით, თავად გადავჭრათ განტოლება:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აბა, ამ ორი ფესვიდან რომელი აკმაყოფილებს $2x\ge 0$ მოთხოვნას? დიახ ორივე! ამიტომ, პასუხი იქნება ორი რიცხვი: $x=(4)/(3)\;$ და $x=0$. ეგაა გამოსავალი.

მეეჭვება, რომ ზოგიერთი სტუდენტი უკვე იწყებს მოწყენას? მოდით შევხედოთ კიდევ უფრო რთულ განტოლებას:

\[\მარცხნივ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \მარჯვნივ|=x-((x)^(3))\]

მიუხედავად იმისა, რომ ბოროტად გამოიყურება, სინამდვილეში ის მაინც იგივე განტოლებაა ფორმის "მოდული უდრის ფუნქციას":

\[\მარცხნივ| f\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=g\მარცხნივ(x \მარჯვნივ)\]

და ის წყდება ზუსტად იგივე გზით:

\[\მარცხნივ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \მარჯვნივ|=x-((x)^(3))\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \მარცხნივ(x-((x)^(3)) \მარჯვნივ), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

უთანასწორობას მოგვიანებით გავუმკლავდებით - ის რაღაცნაირად ზედმეტად ბოროტია (სინამდვილეში მარტივია, მაგრამ ვერ მოვაგვარებთ). ამ დროისთვის, სჯობს მივიღოთ მიღებული განტოლებები. მოდით განვიხილოთ პირველი შემთხვევა - ეს არის მაშინ, როდესაც მოდული გაფართოვდება პლუს ნიშნით:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

მაშ, უაზრობაა, რომ ყველაფერი მარცხნიდან უნდა შეაგროვო, მსგავსები მოიტანო და ნახე რა მოხდება. და აი რა ხდება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\ბოლო (გასწორება)\]

ფრჩხილებიდან ვიღებთ საერთო ფაქტორს $((x)^(2))$ და ვიღებთ ძალიან მარტივ განტოლებას:

\[((x)^(2))\მარცხნივ(2x-3 \მარჯვნივ)=0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[((x)_(1))=0;\ოთხი ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

აქ ჩვენ ვისარგებლეთ პროდუქტის მნიშვნელოვანი თვისებით, რისთვისაც გამოვყავით ორიგინალური პოლინომი: ნამრავლი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.

ახლა ზუსტად ანალოგიურად მოვეკიდოთ მეორე განტოლებას, რომელიც მიიღება მინუს ნიშნით მოდულის გაფართოებით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\მარცხნივ(x-((x)^(3)) \მარჯვნივ); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\ მარცხენა (-3x+2 \მარჯვნივ)=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ისევ იგივე: ნამრავლი ნულის ტოლია, როცა ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. Ჩვენ გვაქვს:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ მივიღეთ სამი ფესვი: $x=0$, $x=1.5$ და $x=(2)/(3)\;$. აბა, ამ ნაკრებიდან რომელი გადავა საბოლოო პასუხში? ამისათვის გახსოვდეთ, რომ ჩვენ გვაქვს დამატებითი შეზღუდვა უთანასწორობის სახით:

როგორ გავითვალისწინოთ ეს მოთხოვნა? მოდით, უბრალოდ შევცვალოთ ნაპოვნი ფესვები და შევამოწმოთ, მოქმედებს თუ არა უტოლობა ამ $x$-ზე. Ჩვენ გვაქვს:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\მარჯვენა ისარი x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\მარჯვენა ისარი x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, ფესვი $x=1,5$ არ გვიწყობს. და საპასუხოდ მხოლოდ ორი ფესვი იქნება:

\[((x)_(1))=0;\ quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

როგორც ხედავთ, ამ შემთხვევაშიც კი არაფერი იყო რთული - მოდულებთან განტოლებები ყოველთვის წყდება ალგორითმის გამოყენებით. თქვენ უბრალოდ უნდა გქონდეთ კარგად გაგება მრავალწევრებისა და უტოლობების შესახებ. ამიტომ, ჩვენ გადავდივართ უფრო რთულ ამოცანებზე - უკვე იქნება არა ერთი, არამედ ორი მოდული.

განტოლებები ორი მოდულით

აქამდე მხოლოდ უმარტივესი განტოლებები შევისწავლეთ - იყო ერთი მოდული და სხვა. ჩვენ გავაგზავნეთ ეს „რაღაც სხვა“ უტოლობის სხვა ნაწილზე, მოდულიდან მოშორებით, რათა საბოლოოდ ყველაფერი დაყვანილიყო $\left| ფორმის განტოლებამდე. f\left(x \right) \right|=g\left(x \მარჯვნივ)$ ან კიდევ უფრო მარტივი $\left| f\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=a$.

მაგრამ საბავშვო ბაღი დასრულდა - დროა განიხილოთ რაიმე უფრო სერიოზული. დავიწყოთ ასეთი განტოლებებით:

\[\მარცხნივ| f\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| g\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|\]

ეს არის ფორმის "მოდული უდრის მოდულის" განტოლება. ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანი წერტილი არის სხვა ტერმინებისა და ფაქტორების არარსებობა: მხოლოდ ერთი მოდული მარცხნივ, კიდევ ერთი მოდული მარჯვნივ - და მეტი არაფერი.

ვიღაც ახლა იფიქრებს, რომ ასეთი განტოლებების ამოხსნა უფრო რთულია, ვიდრე აქამდე შევისწავლეთ. მაგრამ არა: ამ განტოლებების ამოხსნა კიდევ უფრო ადვილია. აი ფორმულა:

\[\მარცხნივ| f\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| g\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ

ყველა! ჩვენ უბრალოდ ვაიგივებთ სუბმოდულურ გამონათქვამებს ერთ-ერთის წინ პლუსის ან მინუს ნიშნის დაყენებით. შემდეგ ჩვენ ვხსნით მიღებულ ორ განტოლებას - და ფესვები მზად არის! არანაირი დამატებითი შეზღუდვა, არანაირი უთანასწორობა და ა.შ. ყველაფერი ძალიან მარტივია.

შევეცადოთ ამ პრობლემის მოგვარება:

\[\მარცხნივ| 2x+3 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| 2x-7 \მარჯვნივ|\]

ელემენტარული უოტსონი! მოდულების გაფართოება:

\[\მარცხნივ| 2x+3 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| 2x-7 \მარჯვნივ|\მარჯვნივ ისარი 2x+3=\pm \მარცხნივ(2x-7 \მარჯვნივ)\]

განვიხილოთ თითოეული შემთხვევა ცალკე:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\მარცხნივ(2x-7 \მარჯვნივ)\მარჯვენა ისარი 2x+3=-2x+7. \\\ბოლო (გასწორება)\]

პირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები. რადგან როდის არის $3=-7$? რა ღირებულებით $x$? „რა ჯანდაბა $x$? ჩაქოლეს? იქ საერთოდ არ არის $x$”, - ამბობთ თქვენ. და მართალი იქნები. ჩვენ მივიღეთ ტოლობა, რომელიც არ არის დამოკიდებული $x$ ცვლადზე და ამავე დროს თავად ტოლობა არასწორია. ამიტომაც არ არის ფესვები.

მეორე განტოლებით, ყველაფერი ცოტა უფრო საინტერესოა, მაგრამ ასევე ძალიან, ძალიან მარტივი:

როგორც ხედავთ, ყველაფერი მოგვარდა სიტყვასიტყვით რამდენიმე სტრიქონში - სხვას არ ველოდით წრფივი განტოლებისგან.

შედეგად, საბოლოო პასუხია: $x=1$.

მაშ როგორ? რთული? Რათქმაუნდა არა. სხვა რამე ვცადოთ:

\[\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| ((x)^(2))-3x+2 \მარჯვნივ|\]

ისევ გვაქვს $\left| ფორმის განტოლება f\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| g\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|$. ამიტომ, ჩვენ დაუყოვნებლივ გადავწერთ მას, გამოვავლენთ მოდულის ნიშანს:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\]

იქნებ ახლა ვინმემ იკითხოს: „აი, რა სისულელეა? რატომ ჩნდება „პლუს-მინუსი“ მარჯვენა გამოსახულებაში და არა მარცხნივ? დამშვიდდი, ახლავე აგიხსნი ყველაფერს. მართლაც, კარგი თვალსაზრისით, ჩვენ უნდა გადაგვეწერა ჩვენი განტოლება შემდეგნაირად:

შემდეგ თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები, გადაიტანოთ ყველა ტერმინი ტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს (რადგან განტოლება, ცხადია, ორივე შემთხვევაში კვადრატული იქნება) და შემდეგ იპოვეთ ფესვები. მაგრამ თქვენ უნდა აღიაროთ: როდესაც „პლუს-მინუს“ ჩნდება სამი ტერმინის წინ (განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ამ ტერმინებიდან ერთ-ერთი კვადრატული გამოხატულებაა), ეს გარკვეულწილად უფრო რთული ჩანს, ვიდრე სიტუაცია, როდესაც „პლუს-მინუს“ მხოლოდ ორი ტერმინის წინ ჩნდება.

მაგრამ არაფერი გვიშლის ხელს თავდაპირველი განტოლების შემდეგნაირად გადაწერაში:

Რა მოხდა? არაფერი განსაკუთრებული: მათ უბრალოდ შეცვალეს მარცხენა და მარჯვენა მხარეები. პატარა რამ, რაც საბოლოოდ ცოტათი გაგვიადვილებს ცხოვრებას.

ზოგადად, ჩვენ ვხსნით ამ განტოლებას, განვიხილავთ პლიუს და მინუს ვარიანტებს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\მარჯვენა ისარი ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\მარჯვენა ისარი ((x)^(2))-2x+1=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

პირველ განტოლებას აქვს ფესვები $x=3$ და $x=1$. მეორე არის ზოგადად ზუსტი კვადრატი:

\[((x)^(2))-2x+1=((\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ))^(2))\]

აქედან გამომდინარე, მას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი: $x=1$. მაგრამ ჩვენ უკვე მივიღეთ ეს ფესვი ადრე. ამრიგად, მხოლოდ ორი რიცხვი შევა საბოლოო პასუხში:

\[((x)_(1))=3;\ოთხი ((x)_(2))=1.\]

Მისია შესრულებულია! შეგიძლიათ ღვეზელი თაროდან აიღოთ და მიირთვათ. არის 2 მათგანი, შენი შუაშია :)

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი. მოდულის გაფართოების სხვადასხვა ვარიანტებისთვის იდენტური ფესვების არსებობა ნიშნავს, რომ ორიგინალური პოლინომები ფაქტორიზებულია და ამ ფაქტორებს შორის აუცილებლად იქნება საერთო. ნამდვილად:

\[\ დასაწყისი (გასწორება)& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| ((x)^(2))-3x+2 \მარჯვნივ|; \\& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| \მარცხენა(x-1 \მარჯვნივ)\მარცხენა(x-2 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|. \\\ბოლო (გასწორება)\]

მოდულის ერთ-ერთი თვისება: $\left| a\cdot b \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| a \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| b \right|$ (ანუ პროდუქტის მოდული უდრის მოდულის ნამრავლს), ამიტომ თავდაპირველი განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| x-2 \მარჯვნივ|\]

როგორც ხედავთ, ჩვენ ნამდვილად გვაქვს საერთო ფაქტორი. ახლა, თუ თქვენ შეაგროვებთ ყველა მოდულს ერთ მხარეს, შეგიძლიათ ამოიღოთ ეს ფაქტორი ფრჩხილიდან:

\[\ დასაწყისი (გასწორება)& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| x-2 \მარჯვნივ|; \\& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|-\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| x-2 \მარჯვნივ|=0; \\& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\cdot \left(1-\left| x-2 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ)=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

კარგად, ახლა გახსოვდეთ, რომ პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=0, \\& \მარცხნივ| x-2 \მარჯვნივ|=1. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ამრიგად, ორიგინალური განტოლება ორი მოდულით შემცირდა ორ უმარტივეს განტოლებამდე, რომლებზეც გაკვეთილის დასაწყისში ვისაუბრეთ. ასეთი განტოლებები შეიძლება ამოხსნას სიტყვასიტყვით რამდენიმე სტრიქონში.

ეს შენიშვნა შეიძლება ზედმეტად რთული და პრაქტიკაში შეუსაბამო ჩანდეს. თუმცა, სინამდვილეში, თქვენ შეიძლება შეგხვდეთ ბევრად უფრო რთული პრობლემები, ვიდრე დღეს ჩვენ განვიხილავთ. მათში მოდულები შეიძლება გაერთიანდეს მრავალწევრებთან, არითმეტიკულ ფესვებთან, ლოგარითმებთან და ა.შ. და ასეთ სიტუაციებში, განტოლების საერთო ხარისხის შემცირების შესაძლებლობა ფრჩხილებიდან რაღაცის ამოღებით შეიძლება ძალიან, ძალიან სასარგებლო იყოს.

ახლა მინდა გავაანალიზო კიდევ ერთი განტოლება, რომელიც ერთი შეხედვით შეიძლება გიჟურად მოგეჩვენოთ. ბევრი სტუდენტი ჩერდება მასზე, თუნდაც ისინი, ვინც ფიქრობს, რომ კარგად ესმით მოდულები.

თუმცა, ეს განტოლება კიდევ უფრო ადვილად ამოსახსნელია, ვიდრე ადრე ვნახეთ. და თუ გესმით რატომ, თქვენ მიიღებთ კიდევ ერთ ხრიკს მოდულით განტოლებების სწრაფად ამოხსნისთვის.

ასე რომ, განტოლება არის:

\[\მარცხნივ| x-((x)^(3)) \მარჯვნივ|+\მარცხნივ| ((x)^(2))+x-2 \მარჯვნივ|=0\]

არა, ეს არ არის შეცდომა: მოდულებს შორის არის პლუსი. და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რა $x$-ზეა ორი მოდულის ჯამი ნულის ტოლი.

მაინც რა პრობლემაა? მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ თითოეული მოდული არის დადებითი რიცხვი, ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ნულოვანი. რა მოხდება, თუ დაამატებთ ორ დადებით რიცხვს? აშკარად ისევ დადებითი რიცხვია:

\[\ დასაწყისი (გასწორება)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]

ბოლო სტრიქონი მოგცემთ წარმოდგენას: ერთადერთი, როდესაც მოდულების ჯამი არის ნული, არის თუ თითოეული მოდული ნულის ტოლია:

და როდის არის მოდული ნულის ტოლი? მხოლოდ ერთ შემთხვევაში - როდესაც სუბმოდულური გამოხატულება ნულის ტოლია:

\[((x)^(2))+x-2=0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)=0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=-2 \\& x=1 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ამრიგად, გვაქვს სამი წერტილი, რომლებშიც პირველი მოდული გადატვირთულია ნულამდე: 0, 1 და −1; ასევე ორი წერტილი, რომლებზეც მეორე მოდული გადატვირთულია ნულამდე: −2 და 1. თუმცა, ჩვენ გვჭირდება ორივე მოდული ერთდროულად გადატვირთვის ნულამდე, ამიტომ აღმოჩენილ რიცხვებს შორის უნდა ავირჩიოთ ის, რაც შედის ორივე კომპლექტი. ცხადია, ასეთი რიცხვი მხოლოდ ერთია: $x=1$ - ეს იქნება საბოლოო პასუხი.

გაყოფის მეთოდი

კარგად, ჩვენ უკვე გადავხედეთ რამდენიმე პრობლემას და ვისწავლეთ ბევრი ტექნიკა. გგონია სულ ესაა? Მაგრამ არა! ახლა ჩვენ გადავხედავთ საბოლოო ტექნიკას - და ამავე დროს ყველაზე მნიშვნელოვანს. ჩვენ ვისაუბრებთ მოდულით განტოლებების გაყოფაზე. რაზე ვილაპარაკოთ საერთოდ? მოდით ცოტა უკან დავბრუნდეთ და შევხედოთ მარტივ განტოლებას. მაგალითად ეს:

\[\მარცხნივ| 3x-5 \მარჯვნივ|=5-3x\]

პრინციპში, ჩვენ უკვე ვიცით როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლება, რადგან ეს არის $\left| ფორმის სტანდარტული კონსტრუქცია. f\left(x \right) \right|=g\left(x \მარჯვნივ)$. მაგრამ შევეცადოთ შევხედოთ ამ განტოლებას ოდნავ განსხვავებული კუთხით. უფრო ზუსტად, განიხილეთ გამოხატულება მოდულის ნიშნის ქვეშ. შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი რიცხვის მოდული შეიძლება იყოს თავად რიცხვის ტოლი, ან შეიძლება იყოს ამ რიცხვის საპირისპირო:

\[\მარცხნივ| a \მარჯვნივ|=\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სინამდვილეში, ეს გაურკვევლობა არის მთელი პრობლემა: ვინაიდან რიცხვი მოდულის ქვეშ იცვლება (ეს დამოკიდებულია ცვლადზე), ჩვენთვის უცნობია დადებითია თუ უარყოფითი.

მაგრამ რა მოხდება, თუ თავდაპირველად მოითხოვთ, რომ ეს რიცხვი იყოს დადებითი? მაგალითად, მოვითხოვოთ, რომ $3x-5 \gt 0$ - ამ შემთხვევაში გარანტირებული გვაქვს დადებითი რიცხვის მიღება მოდულის ნიშნის ქვეშ და ჩვენ შეგვიძლია მთლიანად მოვიშოროთ ეს მოდული:

ამრიგად, ჩვენი განტოლება გადაიქცევა წრფივ, რომლის ამოხსნაც მარტივად შეიძლება:

მართალია, ყველა ამ აზრს აზრი აქვს მხოლოდ იმ პირობით, $3x-5 \gt 0$ - ჩვენ თვითონ შემოვიღეთ ეს მოთხოვნა მოდულის ცალსახად გამოსავლენად. ამიტომ, შევცვალოთ ნაპოვნი $x=\frac(5)(3)$ ამ მდგომარეობაში და შევამოწმოთ:

გამოდის, რომ $x$-ის მითითებული მნიშვნელობისთვის ჩვენი მოთხოვნა არ არის დაკმაყოფილებული, რადგან გამოთქმა აღმოჩნდა ნულის ტოლი და ჩვენ გვჭირდება, რომ ის მკაცრად მეტი იყოს ნულზე. სამწუხაროა :(

მაგრამ არაუშავს! ყოველივე ამის შემდეგ, არის კიდევ ერთი ვარიანტი $3x-5 \lt 0$. მეტიც: არის შემთხვევაც $3x-5=0$ - ესეც გასათვალისწინებელია, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოსავალი არასრული იქნება. ასე რომ, განიხილეთ შემთხვევა $3x-5 \lt 0$:

ცხადია, მოდული გაიხსნება მინუს ნიშნით. მაგრამ შემდეგ წარმოიქმნება უცნაური სიტუაცია: როგორც მარცხნივ, ასევე მარჯვნივ თავდაპირველ განტოლებაში ერთი და იგივე გამონათქვამი გამოიკვეთება:

მაინტერესებს $x$-ში $5-3x$ გამოთქმის $5-3x$ ტოლი იქნება? კაპიტანი ცხადიობაც კი ნერწყვს ახრჩობდა ასეთი განტოლებიდან, მაგრამ ვიცით: ეს განტოლება არის იდენტობა, ე.ი. ეს მართალია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის!

ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი $x$ მოგვწონს. თუმცა, ჩვენ გვაქვს შეზღუდვა:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პასუხი არ იქნება ერთი რიცხვი, არამედ მთელი ინტერვალი:

დაბოლოს, გასათვალისწინებელია კიდევ ერთი შემთხვევა: $3x-5=0$. აქ ყველაფერი მარტივია: მოდულის ქვეშ იქნება ნული, ხოლო ნულის მოდული ასევე უდრის ნულს (ეს პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს):

მაგრამ შემდეგ ორიგინალური განტოლება $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ გადაიწერება შემდეგნაირად:

ჩვენ უკვე მივიღეთ ეს ფესვი ზემოთ, როდესაც განვიხილეთ შემთხვევა $3x-5 \gt 0$. უფრო მეტიც, ეს ფესვი არის $3x-5=0$ განტოლების ამოხსნა - ეს არის შეზღუდვა, რომელიც ჩვენ თვითონ შემოვიღეთ მოდულის გადატვირთვისთვის.

ამრიგად, ინტერვალის გარდა, ჩვენ ასევე დავკმაყოფილდებით ამ ინტერვალის ბოლოში მყოფი რიცხვით:

ფესვების გაერთიანება მოდულის განტოლებებში

მთლიანი საბოლოო პასუხი: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ არც ისე ხშირია ასეთი სისულელეების დანახვა საკმაოდ მარტივ (ძირითადად წრფივ) განტოლებაზე მოდულით, მართლაც, შეეგუე ამას: მოდულის სირთულე ის არის, რომ პასუხები ასეთ განტოლებებში შეიძლება იყოს სრულიად არაპროგნოზირებადი.

ბევრად უფრო მნიშვნელოვანია სხვა რამ: ჩვენ ახლახან გავაანალიზეთ უნივერსალური ალგორითმი განტოლების მოდულით ამოხსნისთვის! და ეს ალგორითმი შედგება შემდეგი ნაბიჯებისგან:

განტოლებაში თითოეული მოდული გაატოლეთ ნულთან. ვიღებთ რამდენიმე განტოლებას;
ამოხსენით ყველა ეს განტოლება და მონიშნეთ ფესვები რიცხვთა წრფეზე. შედეგად, სწორი ხაზი დაიყოფა რამდენიმე ინტერვალად, რომელთაგან თითოეულში ყველა მოდული ცალსახად ვლინდება;
ამოხსენით ორიგინალური განტოლება თითოეული ინტერვალისთვის და გააერთიანეთ თქვენი პასუხები.

Სულ ეს არის! დარჩა მხოლოდ ერთი კითხვა: რა ვუყოთ პირველ ეტაპზე მიღებულ ფესვებს? ვთქვათ, გვაქვს ორი ფესვი: $x=1$ და $x=5$. ისინი დაყოფენ რიცხვით ხაზს 3 ნაწილად:

რიცხვითი წრფის დაყოფა ინტერვალებად წერტილების გამოყენებით

ასე რომ, რა არის ინტერვალები? ნათელია, რომ სამი მათგანია:

ყველაზე მარცხენა: $x \lt 1$ — თავად ერთეული არ შედის ინტერვალში;
ცენტრალური: $1\le x \lt 5$ - აქ ერთი შედის ინტერვალში, მაგრამ ხუთი არ შედის;
ყველაზე სწორი: $x\ge 5$ - ხუთი მხოლოდ აქ შედის!

ვფიქრობ, თქვენ უკვე გესმით ნიმუში. თითოეული ინტერვალი მოიცავს მარცხენა ბოლოს და არ მოიცავს მარჯვენას.

ერთი შეხედვით, ასეთი ჩანაწერი შეიძლება მოგეჩვენოთ მოუხერხებელი, ალოგიკური და ზოგადად რაღაც გიჟური. მაგრამ დამიჯერეთ: მცირე ვარჯიშის შემდეგ აღმოაჩენთ, რომ ეს მიდგომა ყველაზე საიმედოა და არ უშლის ხელს მოდულების ცალსახად გახსნას. უმჯობესია გამოიყენოთ ასეთი სქემა, ვიდრე იფიქროთ ყოველ ჯერზე: მიეცით მარცხენა/მარჯვენა ბოლო მიმდინარე ინტერვალს ან „გადააგდეთ“ შემდეგში.

მათ შორის მაგალითები თითო მოდულზეხშირად არის განტოლებები, სადაც უნდა იპოვოთ მოდულის ფესვები მოდულში, ანუ ფორმის განტოლება
||a*x-b|-c|=k*x+m .
თუ k=0, ანუ მარჯვენა მხარე უდრის მუდმივას (m), მაშინ უფრო ადვილია ამონახსნის ძებნა. განტოლებები მოდულებით გრაფიკულად.ქვემოთ მოცემულია მეთოდი ორმაგი მოდულების გახსნაპრაქტიკაში გავრცელებული მაგალითების გამოყენებით. კარგად გაიგეთ მოდულებით განტოლებების გამოთვლის ალგორითმი, რათა არ შეგექმნათ პრობლემები ვიქტორინებზე, ტესტებზე და უბრალოდ იცოდეთ.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლების მოდული |3|x|-5|=-2x-2.
გამოსავალი: ყოველთვის დაიწყეთ განტოლებების გახსნა შიდა მოდულიდან
|x|=0 <->x=0.
x=0 წერტილში მოდულის განტოლება იყოფა 2-ზე.
x-ზე< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
x>0 ან ტოლისთვის, ჩვენ ვიღებთ მოდულის გაფართოებას
|3x-5|=-2x-2 .
მოდი ამოვხსნათ განტოლებაუარყოფითი ცვლადებისთვის (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

პირველი განტოლებიდან ვიღებთ, რომ ამონახსნი არ უნდა აღემატებოდეს (-1), ე.ი.

ეს შეზღუდვა მთლიანად ეკუთვნის იმ სფეროს, რომელშიც ჩვენ ვაგვარებთ. გადავიტანოთ ცვლადები და მუდმივები ტოლობის საპირისპირო მხარეებზე პირველ და მეორე სისტემებში

და იპოვნეთ გამოსავალი

ორივე მნიშვნელობა ეკუთვნის განხილულ ინტერვალს, ანუ ისინი ფესვებია.
განვიხილოთ განტოლება დადებითი ცვლადების მოდულით
|3x-5|=-2x-2.
მოდულის გაფართოებისას ვიღებთ განტოლების ორ სისტემას

პირველი განტოლებიდან, რომელიც საერთოა ორი სისტემისთვის, ვიღებთ ნაცნობ მდგომარეობას

რომელიც იმ სიმრავლესთან გადაკვეთისას, რომელზეც ჩვენ ვეძებთ ამონახს, იძლევა ცარიელ სიმრავლეს (გადაკვეთის წერტილები არ არის). ასე რომ, მოდულის ერთადერთი ფესვები მოდულით არის მნიშვნელობები
x=-3; x=-1.4.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება მოდულით ||x-1|-2|=3x-4.
გამოსავალი: დავიწყოთ შიდა მოდულის გახსნით
|x-1|=0 <=>x=1.
სუბმოდულური ფუნქცია ერთჯერადად ცვლის ნიშანს. მცირე მნიშვნელობებისთვის ის უარყოფითია, უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის დადებითია. ამის შესაბამისად, შიდა მოდულის გაფართოებისას მოდულთან ვიღებთ ორ განტოლებას
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
დარწმუნდით, რომ შეამოწმეთ მოდულის განტოლების მარჯვენა მხარე, ის უნდა იყოს ნულზე მეტი.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
ეს ნიშნავს, რომ არ არის საჭირო პირველი განტოლების ამოხსნა, რადგან ის დაიწერა x-ზე< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4ან x-3=4-3x;
4-3=3x-x ან x+3x=4+3;
2x=1 ან 4x=7;
x=1/2 ან x=7/4.
ჩვენ მივიღეთ ორი მნიშვნელობა, რომელთაგან პირველი უარყოფილია, რადგან ის არ მიეკუთვნება საჭირო ინტერვალს. საბოლოოდ, განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი x=7/4.

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება მოდულით ||2x-5|-1|=x+3.
გამოსავალი: მოდით გავხსნათ შიდა მოდული
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2.5.
წერტილი x=2.5 ყოფს რიცხვით წრფეს ორ ინტერვალად. შესაბამისად, სუბმოდულური ფუნქციაიცვლის ნიშანს 2.5-ის გავლისას. მოდით ჩავწეროთ ამოხსნის პირობა განტოლების მარჯვენა მხარეს მოდულით.
x+3>=0 -> x>=-3.
ასე რომ, გამოსავალი შეიძლება იყოს არანაკლებ (-3) მნიშვნელობები. მოდით გავაფართოვოთ მოდული შიდა მოდულის უარყოფითი მნიშვნელობისთვის
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
ეს მოდული ასევე მისცემს 2 განტოლებას გაფართოებისას
-2x+4=x+3 ან 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 ან 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 ან x=7.
ჩვენ უარვყოფთ მნიშვნელობას x=7, რადგან ვეძებდით გამოსავალს [-3;2.5] ინტერვალში. ახლა ჩვენ ვხსნით შიდა მოდულს x>2.5-ისთვის. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას ერთი მოდულით
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
მოდულის გაფართოებისას ვიღებთ შემდეგ წრფივ განტოლებებს
-2x+6=x+3 ან 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 ან 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 ან x=9.
პირველი მნიშვნელობა x=1 არ აკმაყოფილებს x>2.5 პირობას. ასე რომ, ამ ინტერვალზე გვაქვს განტოლების ერთი ფესვი x=9 მოდულით და არის ორი ჯამში (x=1/3).
პასუხი: x=1/3; x=9.

მაგალითი 4. იპოვეთ ამონახსნები ორმაგი მოდულის ||3x-1|-5|=2x-3.
ამოხსნა: გავაფართოვოთ განტოლების შიდა მოდული
|3x-1|=0 <=>x=1/3.
წერტილი x=2.5 რიცხვთა წრფეს ყოფს ორ შუალედად და მოცემულ განტოლებას ორ შემთხვევად. ჩვენ ვწერთ ამოხსნის პირობას მარჯვენა მხარეს განტოლების ფორმის მიხედვით
2x-3>=0 -> x>=3/2=1.5.
აქედან გამომდინარეობს, რომ ჩვენ გვაინტერესებს მნიშვნელობები >=1.5. ამგვარად მოდულური განტოლებაგანიხილეთ ორ ინტერვალზე
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
შედეგად მიღებული მოდული, როდესაც გაფართოებულია, იყოფა 2 განტოლებად
-3x-4=2x-3 ან 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 ან 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 ან x=-7.
ორივე მნიშვნელობა არ ხვდება ინტერვალში, ანუ ისინი არ არიან მოდულით განტოლების ამონახსნები. შემდეგი, ჩვენ გავაფართოვებთ მოდულს x>2.5-ისთვის. ვიღებთ შემდეგ განტოლებას
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
მოდულის გაფართოებით, მივიღებთ 2 წრფივ განტოლებას
3x-6=2x-3 ან –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6ან 2x+3x=6+3;
x=3 ან 5x=9; x=9/5=1,8.
ნაპოვნი მეორე მნიშვნელობა არ შეესაბამება x>2.5 პირობას, ჩვენ უარვყოფთ მას.
საბოლოოდ გვაქვს განტოლების ერთი ფესვი x=3 მოდულებით.
შემოწმების ჩატარება
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
განტოლების ფესვი მოდულით სწორად იყო გამოთვლილი.
პასუხი: x=1/3; x=9.

ინსტრუქციები

თუ მოდული წარმოდგენილია როგორც უწყვეტი ფუნქცია, მაშინ მისი არგუმენტის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

ადვილი მისახვედრია, რომ კომპლექსური რიცხვების შეკრება და გამოკლება იგივე წესს მიჰყვება, როგორც შეკრება და .

ორი რთული რიცხვის ნამრავლი უდრის:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

ვინაიდან i^2 = -1, საბოლოო შედეგი არის:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

კომპლექსური რიცხვებისთვის სიმძლავრის და ფესვის ამოღების ოპერაციები განისაზღვრება ისევე, როგორც რეალური რიცხვებისთვის. თუმცა, კომპლექსურ რეგიონში, ნებისმიერი რიცხვისთვის, არის ზუსტად n რიცხვი b ისეთი, რომ b^n = a, ანუ n-ე ხარისხის ფესვები.

კერძოდ, ეს ნიშნავს, რომ n ხარისხის ნებისმიერ ალგებრულ განტოლებას ერთი ცვლადით აქვს ზუსტად n რთული ფესვი, რომელთაგან ზოგიერთი შეიძლება იყოს .

ვიდეო თემაზე

წყაროები:

ლექცია „კომპლექსური რიცხვები“ 2019 წ

ფესვი არის ხატი, რომელიც აღნიშნავს რიცხვის პოვნის მათემატიკურ ოპერაციას, რომლის ამაღლება ძირის ნიშნის წინ მითითებულ ძალამდე უნდა იყოს სწორედ ამ ნიშნით მითითებულ რიცხვს. ხშირად, პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც მოიცავს ფესვებს, საკმარისი არ არის მხოლოდ მნიშვნელობის გამოთვლა. აუცილებელია დამატებითი ოპერაციების განხორციელება, რომელთაგან ერთ-ერთი არის რიცხვის, ცვლადის ან გამოხატვის შეყვანა ძირის ნიშნის ქვეშ.

ინსტრუქციები

განსაზღვრეთ ფესვის მაჩვენებელი. მაჩვენებელი არის მთელი რიცხვი, რომელიც მიუთითებს იმ სიმძლავრეზე, რომლითაც უნდა გაიზარდოს ფესვის გამოთვლის შედეგი, რათა მივიღოთ რადიკალური გამოხატულება (რიცხვი, საიდანაც ეს ფესვი არის ამოღებული). ძირეული მაჩვენებელი, როგორც ზედწერილი ძირის ხატის წინ. თუ ეს არ არის მითითებული, ეს არის კვადრატული ფესვი, რომლის სიმძლავრე არის ორი. მაგალითად, √3 ფესვის მაჩვენებელი არის ორი, ³√3-ის მაჩვენებელი არის სამი, ფესვის ⁴√3 არის ოთხი და ა.შ.

აწიეთ რიცხვი, რომლის შეყვანაც გსურთ ფესვის ნიშნის ქვეშ, ამ ძირის მაჩვენებლის ტოლ ხარისხზე, რომელიც თქვენ მიერ არის განსაზღვრული წინა ეტაპზე. მაგალითად, თუ თქვენ უნდა შეიყვანოთ რიცხვი 5 ძირის ნიშნის ქვეშ ⁴√3, მაშინ ფესვის ხარისხის ინდექსი არის ოთხი და გჭირდებათ 5-ის მეოთხე ხარისხზე აყვანის შედეგი 5⁴=625. ამის გაკეთება შეგიძლიათ თქვენთვის მოსახერხებელი ნებისმიერი გზით - თქვენს თავში, კალკულატორის ან შესაბამისი სერვისების გამოყენებით.

შეიყვანეთ წინა ეტაპზე მიღებული მნიშვნელობა ძირეული ნიშნის ქვეშ, როგორც რადიკალური გამოხატვის მულტიპლიკატორი. წინა საფეხურში გამოყენებული მაგალითისთვის ძირის ქვეშ ⁴√3 5 (5*4√3) დამატებით, ეს მოქმედება შეიძლება შესრულდეს ასე: 5*4√3=⁴√(625*3).

თუ შესაძლებელია, გაამარტივეთ მიღებული რადიკალური გამოხატულება. მაგალითად, წინა ნაბიჯებიდან, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ რიცხვები ფესვის ნიშნის ქვეშ: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. ეს ასრულებს ძირის ქვეშ ნომრის შეყვანის ოპერაციას.

თუ პრობლემა შეიცავს უცნობ ცვლადებს, მაშინ ზემოთ აღწერილი ნაბიჯები შეიძლება შესრულდეს ზოგადი ფორმით. მაგალითად, თუ თქვენ უნდა შეიყვანოთ უცნობი ცვლადი x მეოთხე ფესვის ქვეშ და რადიკალური გამოხატულება არის 5/x³, მაშინ მოქმედებების მთელი თანმიმდევრობა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: x*4√(5/x³)=4. √(x4*5/x³)= ⁴√(x*5).

წყაროები:

რა ჰქვია ფესვის ნიშანს?

რეალური რიცხვები არ არის საკმარისი ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად. უმარტივესი კვადრატული განტოლება, რომელსაც ფესვები არ აქვს ნამდვილ რიცხვებს შორის არის x^2+1=0. ამოხსნისას გამოდის, რომ x=±sqrt(-1) და ელემენტარული ალგებრის კანონების მიხედვით გამოყავით ლუწი ხარისხის ფესვი უარყოფითიდან. ნომრებიაკრძალულია.

სტუდენტებისთვის ერთ-ერთი ყველაზე რთული თემაა მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი განტოლებების ამოხსნა. ჯერ გავარკვიოთ, რას უკავშირდება ეს? მაგალითად, რატომ არღვევს ბავშვების უმეტესობა კვადრატულ განტოლებებს, როგორც კაკალი, მაგრამ აქვს ამდენი პრობლემა ისეთი რთული კონცეფციისგან, როგორიცაა მოდული?

ჩემი აზრით, ყველა ეს სირთულე დაკავშირებულია მოდულით განტოლებების ამოხსნის მკაფიოდ ჩამოყალიბებული წესების ნაკლებობასთან. ასე რომ, კვადრატული განტოლების ამოხსნისას მოსწავლემ ზუსტად იცის, რომ ჯერ უნდა გამოიყენოს დისკრიმინაციული ფორმულა, შემდეგ კი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები. რა უნდა გააკეთოს, თუ განტოლებაში ნაპოვნია მოდული? შევეცდებით ნათლად აღვწეროთ საჭირო სამოქმედო გეგმა იმ შემთხვევისთვის, როდესაც განტოლება შეიცავს უცნობს მოდულის ნიშნის ქვეშ. თითოეული შემთხვევისთვის რამდენიმე მაგალითს მოვიყვანთ.

მაგრამ ჯერ გავიხსენოთ მოდულის განმარტება. ასე რომ, მოდული ნომერი აამ ნომერს თავად ჰქვია თუ აარაუარყოფითი და -ათუ ნომერი ანულზე ნაკლები. შეგიძლიათ დაწეროთ ასე:

|ა| = a თუ a ≥ 0 და |a| = -a თუ ა< 0

მოდულის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე საუბრისას, უნდა გვახსოვდეს, რომ თითოეული რეალური რიცხვი შეესაბამება რიცხვთა ღერძის გარკვეულ წერტილს - მისი კოორდინაცია. ამრიგად, რიცხვის მოდული ან აბსოლუტური მნიშვნელობა არის მანძილი ამ წერტილიდან რიცხვითი ღერძის საწყისამდე. მანძილი ყოველთვის მითითებულია როგორც დადებითი რიცხვი. ამრიგად, ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვის მოდული არის დადებითი რიცხვი. სხვათა შორის, ამ ეტაპზეც ბევრი სტუდენტი იწყებს დაბნეულობას. მოდული შეიძლება შეიცავდეს ნებისმიერ რიცხვს, მაგრამ მოდულის გამოყენების შედეგი ყოველთვის დადებითი რიცხვია.

ახლა პირდაპირ გადავიდეთ განტოლებების ამოხსნაზე.

1. განვიხილოთ ფორმის განტოლება |x| = c, სადაც c არის რეალური რიცხვი. ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას მოდულის განსაზღვრის გამოყენებით.

ყველა ნამდვილ რიცხვს ვყოფთ სამ ჯგუფად: ნულზე მეტი, ნულზე ნაკლები და მესამე ჯგუფი არის რიცხვი 0. ამონახსანს ვწერთ დიაგრამის სახით:

(±c, თუ c > 0

თუ |x| = c, მაშინ x = (0, თუ c = 0

(ძირები არ არის, თუ აქვს< 0

1) |x| = 5, რადგან 5 > 0, შემდეგ x = ±5;

2) |x| = -5, რადგან -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, შემდეგ x = 0.

2. |f(x)| ფორმის განტოლება = b, სადაც b > 0. ამ განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა მოდულის მოშორება. ჩვენ ვაკეთებთ ასე: f(x) = b ან f(x) = -b. ახლა თქვენ უნდა ამოხსნათ თითოეული მიღებული განტოლება ცალკე. თუ თავდაპირველ განტოლებაში ბ< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, რადგან 4 > 0, მაშინ

x + 2 = 4 ან x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, რადგან 11 > 0, მაშინ

x 2 – 5 = 11 ან x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ფესვების გარეშე

3) |x 2 – 5x| = -8, რადგან -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)|-ის ფორმის განტოლება = g(x). მოდულის მნიშვნელობის მიხედვით, ასეთ განტოლებას ექნება ამონახსნები, თუ მისი მარჯვენა მხარე მეტია ან ტოლია ნულზე, ე.ი. g(x) ≥ 0. მაშინ გვექნება:

f(x) = g(x)ან f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. ამ განტოლებას ექნება ფესვები, თუ 5x – 10 ≥ 0. აქედან იწყება ასეთი განტოლებების ამოხსნა.

1. ო.დ.ზ. 5x – 10 ≥ 0

2. გამოსავალი:

2x – 1 = 5x – 10 ან 2x – 1 = -(5x – 10)

3. ვაერთებთ O.D.Z. და გამოსავალს ვიღებთ:

ფესვი x = 11/7 არ შეესაბამება O.D.Z.-ს, ის 2-ზე ნაკლებია, მაგრამ x = 3 აკმაყოფილებს ამ პირობას.

პასუხი: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2.

1. ო.დ.ზ. 1 – x 2 ≥ 0. ამ უტოლობას ამოვხსნათ ინტერვალის მეთოდით:

(1 – x) (1 + x) ≥ 0

2. გამოსავალი:

x – 1 = 1 – x 2 ან x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 ან x = 1 x = 0 ან x = 1

3. ვაერთებთ ხსნარს და O.D.Z.:

მხოლოდ ფესვები x = 1 და x = 0 არის შესაფერისი.

პასუხი: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| ფორმის განტოლება = |g(x)|. ასეთი განტოლება უდრის შემდეგ ორ განტოლებას f(x) = g(x) ან f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. ეს განტოლება უდრის შემდეგ ორს:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ან x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 ან x = 4 x = 2 ან x = 1

პასუხი: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. ჩანაცვლების მეთოდით ამოხსნილი განტოლებები (ცვლადის ჩანაცვლება). გადაწყვეტის ამ მეთოდის ახსნა ყველაზე მარტივია კონკრეტული მაგალითით. მაშ ასე, მოგვცეს კვადრატული განტოლება მოდულით:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. მოდულის თვისებით x 2 = |x| 2, ასე რომ განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. გავაკეთოთ ჩანაცვლება |x| = t ≥ 0, მაშინ გვექნება:

t 2 – 6t + 5 = 0. ამ განტოლების ამოხსნით ვხვდებით, რომ t = 1 ან t = 5. დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას:

|x| = 1 ან |x| = 5

x = ±1 x = ±5

პასუხი: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს:

x 2 + |x| – 2 = 0. მოდულის თვისებით x 2 = |x| 2, შესაბამისად

|x| 2 + |x| – 2 = 0. გავაკეთოთ ჩანაცვლება |x| = t ≥ 0, მაშინ:

t 2 + t – 2 = 0. ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთ t = -2 ან t = 1. დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას:

|x| = -2 ან |x| = 1

არ არის ფესვები x = ± 1

პასუხი: x = -1, x = 1.

6. განტოლების კიდევ ერთი ტიპია განტოლებები "კომპლექსური" მოდულით. ასეთი განტოლებები მოიცავს განტოლებებს, რომლებსაც აქვთ „მოდულები მოდულში“. ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია მოდულის თვისებების გამოყენებით.

1) |3 – |x|| = 4. ჩვენ ვიმოქმედებთ ისევე, როგორც მეორე ტიპის განტოლებებში. იმიტომ რომ 4 > 0, მაშინ მივიღებთ ორ განტოლებას:

3 – |x| = 4 ან 3 – |x| = -4.

ახლა გამოვხატოთ x მოდული თითოეულ განტოლებაში, შემდეგ |x| = -1 ან |x| = 7.

ჩვენ ვხსნით თითოეულ მიღებულ განტოლებას. პირველ განტოლებაში ფესვები არ არის, რადგან -1< 0, а во втором x = ±7.

უპასუხეთ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. ჩვენ ამ განტოლებას ვხსნით ანალოგიურად:

3 + |x + 1| = 5 ან 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ან x + 1 = -2. არავითარი ფესვები.

პასუხი: x = -3, x = 1.

ასევე არსებობს განტოლებების მოდულით ამოხსნის უნივერსალური მეთოდი. ეს არის ინტერვალის მეთოდი. მაგრამ ჩვენ მოგვიანებით განვიხილავთ.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.