სისტემის განტოლებების ამოხსნა გაუსის მეთოდის მაგალითებით. განტოლებათა ეკვივალენტური სისტემები

მოდით სისტემა ხაზოვანი ალგებრული განტოლებები, რომელიც უნდა გადაიჭრას (იპოვეთ xi უცნობის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც სისტემის თითოეულ განტოლებას ტოლობაში აქცევს).

ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას შეუძლია:

1) არ აქვს გამოსავალი (იყოს არაერთობლივი).
2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.
3) აქვს მხოლოდ გადაწყვეტილება.

როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცული მეთოდი არ არის შესაფერისი იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. გაუსის მეთოდი – ყველაზე ძლიერი და უნივერსალური ინსტრუმენტი ნებისმიერი სისტემის გამოსავლის მოსაძებნად წრფივი განტოლებები , რომელიც ყოველ შემთხვევაშიმიგვიყვანს პასუხამდე! თავად მეთოდის ალგორითმი ყველაში სამი შემთხვევამუშაობს იგივე. თუ კრამერისა და მატრიცის მეთოდები მოითხოვს დეტერმინანტების ცოდნას, მაშინ გაუსის მეთოდის გამოსაყენებლად საჭიროა მხოლოდ ცოდნა. არითმეტიკული მოქმედებები, რაც მას ხელმისაწვდომს ხდის დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებისთვისაც კი.

გაძლიერებული მატრიცის გარდაქმნები ( ეს არის სისტემის მატრიცა - მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, პლუს თავისუფალი ტერმინების სვეტი)წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები გაუსის მეთოდით:

1) თან ტროკიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაზოგან.

2) თუ პროპორციული პირობა გამოჩნდა (ან არსებობს) მატრიცაში (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა– იდენტური) ხაზები, შემდეგ მიჰყვება წაშლაყველა ეს მწკრივი არის მატრიციდან ერთის გარდა.

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში ჩნდება ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ისიც უნდა იყოს წაშლა.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება იყოს გამრავლება (გაყოფა)ნებისმიერ რიცხვზე ნულის გარდა.

5) მატრიცის მწკრივზე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან.

გაუსის მეთოდში ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამონახსნებს.

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან:

1. "პირდაპირი მოძრაობა" - ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მიიტანეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გაფართოებული მატრიცა "სამკუთხა" საფეხურის ფორმამდე: ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ მდებარე გაფართოებული მატრიცის ელემენტები ნულის ტოლია (ზემოდან ქვევით მოძრაობა). მაგალითად, ამ ტიპისთვის:

ამისათვის შეასრულეთ შემდეგი ნაბიჯები:

1) განვიხილოთ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის პირველი განტოლება და x 1-ის კოეფიციენტი უდრის K. მეორე, მესამე და ა.შ. განტოლებებს ვცვლით შემდეგნაირად: თითოეულ განტოლებას (უცნობების კოეფიციენტები, თავისუფალი ტერმინების ჩათვლით) ვყოფთ უცნობის კოეფიციენტზე x 1 თითოეულ განტოლებაში და ვამრავლებთ K-ზე. ამის შემდეგ, პირველს ვაკლებთ მეორე განტოლებას ( უცნობთა და თავისუფალი ტერმინების კოეფიციენტები). მეორე განტოლებაში x 1-ს ვიღებთ კოეფიციენტს 0. მესამე გარდაქმნილ განტოლებას ვაკლებთ პირველ განტოლებას, სანამ პირველის გარდა ყველა განტოლებას, უცნობი x 1-ისთვის არ ექნება კოეფიციენტი 0.

2) გადავიდეთ შემდეგ განტოლებაზე. მოდით ეს იყოს მეორე განტოლება და კოეფიციენტი x 2-ის ტოლი M-ის. ჩვენ ვაგრძელებთ ყველა „ქვედა“ განტოლებას, როგორც ზემოთ იყო აღწერილი. ამრიგად, უცნობი x 2-ის ქვეშ, ყველა განტოლებაში იქნება ნულები.

3) გადადით შემდეგ განტოლებაზე და ასე შემდეგ, სანამ არ დარჩება ბოლო უცნობი და გარდაქმნილი თავისუფალი წევრი.

1. გაუსის მეთოდის „უკუ სვლა“ არის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის მიღება (სვლა „ქვემოდან ზევით“). ბოლო "ქვედა" განტოლებიდან ვიღებთ ერთ პირველ ამონახს - უცნობი x n. ამისათვის ჩვენ გადავწყვიტეთ ელემენტარული განტოლება A*x n = B. ზემოთ მოცემულ მაგალითში x 3 = 4. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას „ზედა“ მომდევნო განტოლებაში და ვხსნით მას შემდეგი უცნობის მიმართ. მაგალითად, x 2 – 4 = 1, ე.ი. x 2 = 5. და ასე შემდეგ სანამ არ ვიპოვით ყველა უცნობს.

მაგალითი.

მოდით გადავჭრათ წრფივი განტოლებების სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით, როგორც ზოგიერთი ავტორი გვირჩევს:

მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე:

ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არ არის ერთეულები, ამიტომ რიგების გადაწყობა ვერაფერს გადაჭრის. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. Მოდი გავაკეთოთ ეს:
1 ნაბიჯი . პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –1-ზე. ანუ გონებრივად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი –1-ზე და დავამატეთ პირველი და მეორე სტრიქონები, ხოლო მეორე სტრიქონი არ შეცვლილა.

ახლა ზედა მარცხენა მხარეს არის "მინუს ერთი", რომელიც საკმაოდ კარგად გვერგება. ვისაც სურს +1-ის მიღება შეუძლია დამატებითი მოქმედება: გავამრავლოთ პირველი სტრიქონი –1-ზე (შეცვალეთ მისი ნიშანი).

ნაბიჯი 2 . პირველი სტრიქონი, გამრავლებული 5-ით, დაემატა მეორე სტრიქონს.

ნაბიჯი 3 . პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში, ეს არის სილამაზისთვის. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, ისე რომ მეორე „საფეხურზე“ გვქონდა საჭირო ერთეული.

ნაბიჯი 4 . მეორე სტრიქონს დაემატა მესამე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.

ნაბიჯი 5 . მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.

ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გამოთვლების შეცდომაზე (უფრო იშვიათად, ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ ქვემოთ მივიღეთ მსგავსი რამ (0 0 11 |23) და, შესაბამისად, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, მაშინ დიდი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ შეცდომა დაშვებულია ელემენტარულ პერიოდში. გარდაქმნები.

ჩვენ ვახორციელებთ საპირისპირო ინსულტიმაგალითების დიზაინში, თავად სისტემა ხშირად არ იწერება, მაგრამ განტოლებები "მიღებულია უშუალოდ მოცემული მატრიციდან". საპირისპირო მოძრაობა, შეგახსენებთ, მუშაობს ქვემოდან ზევით. IN ამ მაგალითშისაჩუქარი აღმოჩნდა:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, შესაბამისად x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

უპასუხე:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

მოდით გადავჭრათ იგივე სისტემა შემოთავაზებული ალგორითმის გამოყენებით. ვიღებთ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

მეორე განტოლება გავყოთ 5-ზე, ხოლო მესამე 3-ზე. მივიღებთ:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

მეორე და მესამე განტოლების 4-ზე გამრავლებით მივიღებთ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

გამოვაკლოთ პირველი განტოლება მეორე და მესამე განტოლებებს, გვაქვს:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

მესამე განტოლება გავყოთ 0,64-ზე:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

გავამრავლოთ მესამე განტოლება 0,4-ზე

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

მეორეს მესამე განტოლებას გამოვაკლებთ, მივიღებთ „ნაბიჯ“ გაფართოებულ მატრიცას:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ამრიგად, რადგან გამოთვლების დროს დაგროვილი შეცდომა, ჩვენ ვიღებთ x 3 = 0.96 ან დაახლოებით 1.

x 2 = 3 და x 1 = –1.

ამგვარად ამოხსნით არასოდეს დაიბნევით გამოთვლებში და, მიუხედავად გაანგარიშების შეცდომებისა, მიიღებთ შედეგს.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ეს მეთოდი მარტივი დასაპროგრამებელია და არ ითვალისწინებს სპეციფიკური მახასიათებლებიკოეფიციენტები უცნობისთვის, რადგან პრაქტიკაში (ეკონომიკურ და ტექნიკურ გამოთვლებში) საქმე გვაქვს არამთლიანი კოეფიციენტებთან.

Წარმატებას გისურვებ! შევხვდებით კლასში! დამრიგებელი დიმიტრი აისტრახანოვი.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

ჩვენ ვაგრძელებთ ხაზოვანი განტოლების სისტემების განხილვას. ეს გაკვეთილი მესამეა თემაზე. თუ თქვენ გაქვთ ბუნდოვანი წარმოდგენა იმაზე, თუ რა არის ზოგადად ხაზოვანი განტოლების სისტემა, თუ თავს ჩაიდანად გრძნობთ, მაშინ გირჩევთ დაიწყოთ საფუძვლები გვერდზე შემდეგი, სასარგებლოა გაკვეთილის შესწავლა.

გაუსის მეთოდი მარტივია!რატომ? ცნობილმა გერმანელმა მათემატიკოსმა იოჰან კარლ ფრიდრიხ გაუსმა აღიარება სიცოცხლეშივე მიიღო. უდიდესი მათემატიკოსიყველა დროის, გენიოსი და თუნდაც მეტსახელად "მათემატიკის მეფე". და ყველაფერი გენიალური, როგორც მოგეხსენებათ, მარტივია!სხვათა შორის, ფულს იღებენ არა მხოლოდ მწოვრები, არამედ გენიოსებიც - გაუსის პორტრეტი იყო 10 გერმანული მარკის ბანკნოტზე (ევროს შემოღებამდე), ხოლო გაუსი ჯერ კიდევ იდუმალ ეღიმება გერმანელებს ჩვეულებრივი საფოსტო მარკებიდან.

გაუსის მეთოდი მარტივია იმით, რომ მეხუთე კლასის მოსწავლის ცოდნა საკმარისია მის დასაუფლებლად. უნდა იცოდე შეკრება და გამრავლება!შემთხვევითი არ არის, რომ მასწავლებლები ხშირად განიხილავენ უცნობთა თანმიმდევრული გამორიცხვის მეთოდს სკოლის მათემატიკის არჩევით საგანში. ეს პარადოქსია, მაგრამ სტუდენტებისთვის ყველაზე რთული გაუსის მეთოდია. გასაკვირი არაფერია - ეს ყველაფერი მეთოდოლოგიას ეხება და მე შევეცდები ვისაუბროთ მეთოდის ალგორითმზე ხელმისაწვდომი ფორმით.

პირველ რიგში, მოდით, სისტემატიზაცია მოვახდინოთ მცირე ცოდნის შესახებ წრფივი განტოლებების სისტემების შესახებ. წრფივი განტოლებათა სისტემას შეუძლია:

1) გქონდეთ უნიკალური გადაწყვეტა. 2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. 3) არ აქვს გადაწყვეტილებები (იყოს არაერთობლივი).

გაუსის მეთოდი არის ყველაზე მძლავრი და უნივერსალური ინსტრუმენტი გამოსავლის მოსაძებნად ნებისმიერიწრფივი განტოლებათა სისტემები. როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცის მეთოდიისინი შეუფერებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. და უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი Მაინცმიგვიყვანს პასუხამდე! ჩართულია ეს გაკვეთილიჩვენ კვლავ განვიხილავთ გაუსის მეთოდს No1 შემთხვევისთვის (სისტემის ერთადერთი გამოსავალი), სტატია ეძღვნება No2-3 წერტილების სიტუაციებს. აღვნიშნავ, რომ თავად მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს.

დავუბრუნდეთ უმარტივესი სისტემაკლასიდან როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებათა სისტემა?და ამოხსენით გაუსის მეთოდით.

პირველი ნაბიჯი არის ჩაწერა გაფართოებული სისტემის მატრიცა: . მგონი ყველა ხედავს რა პრინციპით იწერება კოეფიციენტები. მატრიცის შიგნით ვერტიკალურ ხაზს არ აქვს რაიმე მათემატიკური მნიშვნელობა - ეს არის უბრალოდ გადაკვეთა დიზაინის სიმარტივისთვის.

მითითება : გირჩევთ გახსოვდეთ ვადები ხაზოვანი ალგებრა. სისტემის მატრიცა არის მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, ამ მაგალითში სისტემის მატრიცა: . გაფართოებული სისტემის მატრიცა - ეს არის სისტემის იგივე მატრიცა პლუს უფასო ტერმინების სვეტი, ამ შემთხვევაში: . მოკლედ, ნებისმიერ მატრიცას შეიძლება ეწოდოს უბრალოდ მატრიცა.

გაფართოებული სისტემის მატრიცის დაწერის შემდეგ აუცილებელია მასთან რამდენიმე მოქმედების შესრულება, რომელსაც ასევე ე.წ. ელემენტარული გარდაქმნები.

არსებობს შემდეგი ელემენტარული გარდაქმნები:

1) სიმებიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაზოგან. მაგალითად, განხილულ მატრიცაში შეგიძლიათ უმტკივნეულოდ გადააწყოთ პირველი და მეორე რიგები:

2) თუ მატრიცაში არის (ან გამოჩნდა) პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იდენტური) რიგები, მაშინ უნდა წაშლაყველა ეს მწკრივი არის მატრიციდან ერთის გარდა. განვიხილოთ, მაგალითად, მატრიცა . ამ მატრიცაში ბოლო სამი მწკრივი პროპორციულია, ამიტომ საკმარისია მხოლოდ ერთი მათგანის დატოვება: .

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში ჩნდება ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ისიც უნდა იყოს წაშლა. მე არ დავხატავ, რა თქმა უნდა, ნულოვანი ხაზი არის ის ხაზი, რომელშიც ყველა ნული.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება იყოს გამრავლება (გაყოფა)ნებისმიერ ნომერზე არანულოვანი. განვიხილოთ, მაგალითად, მატრიცა. აქ მიზანშეწონილია პირველი ხაზი გავყოთ –3-ზე და მეორე ხაზი გავამრავლოთ 2-ზე: . ეს მოქმედება ძალიან სასარგებლოა, რადგან ამარტივებს მატრიცის შემდგომ ტრანსფორმაციას.

5) ეს ტრანსფორმაცია იწვევს ყველაზე დიდ სირთულეებს, მაგრამ სინამდვილეში არც არაფერია რთული. მატრიცის მწკრივში შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან. განვიხილოთ ჩვენი მატრიცა პრაქტიკული მაგალითი: . პირველ რიგში დეტალურად აღვწერ ტრანსფორმაციას. გავამრავლოთ პირველი ხაზი –2-ზე: , და მეორე სტრიქონს ვუმატებთ პირველ სტრიქონს -2-ზე გამრავლებული: . ახლა პირველი ხაზი შეიძლება დაიყოს „უკან“ –2: . როგორც ხედავთ, ხაზი, რომელიც დამატებულია LI – არ შეცვლილა. ყოველთვისიცვლება ხაზი, რომელსაც დაემატა UT.

პრაქტიკაში, რა თქმა უნდა, ისინი არ წერენ მას ასე დეტალურად, მაგრამ წერენ მოკლედ: კიდევ ერთხელ: მეორე ხაზამდე დაამატა პირველი ხაზი გამრავლებული –2-ზე. ხაზი ჩვეულებრივ მრავლდება ზეპირად ან მონახაზზე, გონებრივი გამოთვლის პროცესი ასე მიმდინარეობს:

”მე გადავწერ მატრიცას და თავიდან ვწერ პირველ სტრიქონს: »

„პირველი სვეტი. ბოლოში უნდა მივიღო ნული. მაშასადამე, ზევით მყოფს ვამრავლებ –2: ზე და პირველს ვამატებ მეორე სტრიქონს: 2 + (–2) = 0. შედეგს მეორე სტრიქონში ვწერ: »

„ახლა მეორე სვეტი. ზევით ვამრავლებ -1 -2-ზე: . პირველს ვამატებ მეორე სტრიქონს: 1 + 2 = 3. შედეგს მეორე სტრიქონში ვწერ: »

„და მესამე სვეტი. ზევით ვამრავლებ -5 -2-ზე: . პირველს ვამატებ მეორე სტრიქონს: –7 + 10 = 3. შედეგს მეორე სტრიქონში ვწერ: »

გთხოვთ, ყურადღებით გაიგოთ ეს მაგალითი და გაიგოთ თანმიმდევრული გამოთვლის ალგორითმი, თუ ეს გესმით, მაშინ გაუსის მეთოდი პრაქტიკულად თქვენს ჯიბეშია. მაგრამ, რა თქმა უნდა, ჩვენ მაინც ვიმუშავებთ ამ ტრანსფორმაციაზე.

ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამოხსნას

! ყურადღება: განიხილება მანიპულაციები ვერ გამოიყენებს, თუ შემოგთავაზებთ დავალებას, სადაც მატრიცები მოცემულია „თვითონ“. მაგალითად, "კლასიკურთან" ოპერაციები მატრიცებითარავითარ შემთხვევაში არ უნდა გადააწყოთ რაიმე მატრიცების შიგნით! დავუბრუნდეთ ჩვენს სისტემას. ის პრაქტიკულად ნაჭრებად არის გადაღებული.

მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით შევიყვანოთ იგი საფეხურიანი ხედი:

(1) პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -2-ზე. და კიდევ: რატომ ვამრავლებთ პირველ სტრიქონს –2-ზე? იმისათვის, რომ მივიღოთ ნული ბოლოში, რაც ნიშნავს მეორე სტრიქონში ერთი ცვლადის მოშორებას.

(2) გაყავით მეორე ხაზი 3-ზე.

ელემენტარული გარდაქმნების მიზანი – შეამცირეთ მატრიცა ეტაპობრივად: . დავალების დიზაინში ისინი უბრალოდ აღნიშნავენ "კიბეებს" მარტივი ფანქრით და ასევე შემოხაზავენ ნომრებს, რომლებიც მდებარეობს "ნაბიჯებზე". თავად ტერმინი „საფეხურიანი ხედვა“ არ არის მთლად თეორიული, სამეცნიერო და საგანმანათლებლო ლიტერატურამას ხშირად უწოდებენ ტრაპეციული ხედიან სამკუთხა ხედი.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მივიღეთ ექვივალენტიგანტოლების ორიგინალური სისტემა:

ახლა სისტემას საპირისპირო მიმართულებით „გაშლა“ სჭირდება - ქვემოდან ზემოდან, ამ პროცესს ე.წ გაუსის მეთოდის შებრუნებული.

ქვედა განტოლებაში უკვე გვაქვს მზა შედეგი: .

მოდით განვიხილოთ სისტემის პირველი განტოლება და ჩავანაცვლოთ მასში უკვე ცნობილი "y" მნიშვნელობა:

განვიხილოთ ყველაზე გავრცელებული სიტუაცია, როდესაც გაუსის მეთოდი მოითხოვს სამი წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნას სამი უცნობით.

მაგალითი 1

ამოხსენით განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით:

მოდით დავწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა:

ახლა მე მაშინვე დავხატავ შედეგს, რომელსაც გადაწყვეტის დროს მივალთ: და ვიმეორებ, ჩვენი მიზანია მივიყვანოთ მატრიცა ეტაპობრივ ფორმამდე ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით. სად უნდა დაიწყოს?

პირველ რიგში, შეხედეთ ზედა მარცხენა ნომერს: თითქმის ყოველთვის აქ უნდა იყოს ერთეული. ზოგადად რომ ვთქვათ, –1 (და ზოგჯერ სხვა რიცხვები) გამოდგება, მაგრამ რატომღაც ტრადიციულად ხდება, რომ ერთი ჩვეულებრივ იქ არის განთავსებული. როგორ მოვაწყოთ ერთეული? ჩვენ ვუყურებთ პირველ სვეტს - ჩვენ გვაქვს დასრულებული ერთეული! ტრანსფორმაცია პირველი: შეცვალეთ პირველი და მესამე სტრიქონები:

ახლა პირველი ხაზი უცვლელი დარჩება ხსნარის დასრულებამდე. ახლა კარგად.

ზედა მარცხენა კუთხეში განყოფილება ორგანიზებულია. ახლა თქვენ უნდა მიიღოთ ნულები ამ ადგილებში:

ჩვენ ვიღებთ ნულებს "რთული" ტრანსფორმაციის გამოყენებით. პირველ რიგში საქმე გვაქვს მეორე ხაზთან (2, –1, 3, 13). რა უნდა გაკეთდეს პირველ პოზიციაზე ნულის მისაღებად? საჭიროა მეორე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული –2-ზე. გონებრივად ან მონახაზზე გაამრავლეთ პირველი ხაზი –2-ზე: (–2, –4, 2, –18). და ჩვენ თანმიმდევრულად ვახორციელებთ (ისევ გონებრივად ან პროექტზე) დამატებას, მეორე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, უკვე გამრავლებული –2-ზე:

ჩვენ ვწერთ შედეგს მეორე სტრიქონში:

მესამე სტრიქონსაც ანალოგიურად ვაკეთებთ (3, 2, -5, -1). პირველ პოზიციაზე ნულის მისაღებად საჭიროა მესამე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული –3-ზე. გონებრივად ან მონახაზზე გაამრავლეთ პირველი ხაზი –3-ზე: (–3, –6, 3, –27). და მესამე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს გამრავლებული –3-ზე:

ჩვენ ვწერთ შედეგს მესამე სტრიქონში:

პრაქტიკაში, ეს მოქმედებები ჩვეულებრივ სრულდება ზეპირად და იწერება ერთი ნაბიჯით:

არ არის საჭირო ყველაფრის დათვლა ერთდროულად და ერთდროულად. გამოთვლების თანმიმდევრობა და შედეგების „ჩაწერა“. თანმიმდევრულიდა, როგორც წესი, ასეა: ჯერ პირველ სტრიქონს გადავწერთ და ნელ-ნელა თავს ვიყრით - თანმიმდევრულად და ყურადღებით:
და მე უკვე განვიხილეთ თავად გამოთვლების გონებრივი პროცესი ზემოთ.

ამ მაგალითში ამის გაკეთება ადვილია, ჩვენ ვყოფთ მეორე ხაზს –5-ზე (რადგან ყველა რიცხვი იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე). ამავდროულად, მესამე ხაზს ვყოფთ –2-ზე, რადგან რაც უფრო მცირეა რიცხვები, მით უფრო მარტივია გამოსავალი:

ელემენტარული გარდაქმნების დასკვნით ეტაპზე, თქვენ უნდა მიიღოთ კიდევ ერთი ნული აქ:

Ამისთვის მესამე სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს გამრავლებული –2-ზე:
შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ ეს მოქმედება - გონებრივად გაამრავლეთ მეორე ხაზი –2-ზე და შეასრულეთ შეკრება.

ბოლო შესრულებული მოქმედება არის შედეგის ვარცხნილობა, გაყავით მესამე ხაზი 3-ზე.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიღებული იქნა წრფივი განტოლებათა ეკვივალენტური სისტემა: მაგარია.

ახლა ამოქმედდება გაუსის მეთოდის საპირისპირო მხარე. განტოლებები „იხსნება“ ქვემოდან ზევით.

მესამე განტოლებაში ჩვენ უკვე გვაქვს მზა შედეგი:

ვნახოთ მეორე განტოლება: . "ზეტის" მნიშვნელობა უკვე ცნობილია, ასე რომ:

და ბოლოს, პირველი განტოლება: . "იგრეკი" და "ზეტი" ცნობილია, ეს მხოლოდ წვრილმანებზეა:

უპასუხე:

როგორც უკვე არაერთხელ აღინიშნა, განტოლებათა ნებისმიერი სისტემისთვის შესაძლებელია და აუცილებელია ნაპოვნი ამოხსნის შემოწმება, საბედნიეროდ, ეს მარტივი და სწრაფია.

მაგალითი 2

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, საბოლოო დიზაინის ნიმუში და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

უნდა აღინიშნოს, რომ თქვენი გადაწყვეტილების პროგრესიშეიძლება არ ემთხვეოდეს ჩემი გადაწყვეტილების პროცესს, და ეს არის გაუსის მეთოდის თავისებურება. მაგრამ პასუხები იგივე უნდა იყოს!

მაგალითი 3

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით

ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არ არის ერთეულები, ამიტომ რიგების გადაწყობა ვერაფერს გადაჭრის. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მე გავაკეთე ეს: (1) პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –1-ზე. ანუ გონებრივად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი –1-ზე და დავამატეთ პირველი და მეორე სტრიქონები, ხოლო მეორე სტრიქონი არ შეცვლილა.

ახლა ზედა მარცხენა მხარეს არის "მინუს ერთი", რომელიც საკმაოდ კარგად გვერგება. ვისაც სურს მიიღოს +1, შეუძლია შეასრულოს დამატებითი მოძრაობა: გაამრავლოს პირველი ხაზი –1-ზე (შეცვალეთ მისი ნიშანი).

(2) 5-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს.

(3) პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში, ეს არის სილამაზისთვის. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, ისე რომ მეორე „საფეხურზე“ გვქონდა საჭირო ერთეული.

(4) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.

(5) მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.

ცუდი ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გამოთვლების შეცდომაზე (უფრო იშვიათად, ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ მივიღეთ მსგავსი რამ, ქვემოთ და, შესაბამისად, , მაშინ დიდი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დროს მოხდა შეცდომა.

ჩვენ ვამუხტავთ საპირისპიროს, მაგალითების დიზაინში ისინი ხშირად არ წერენ თავად სისტემას, მაგრამ განტოლებები "მიღებულია პირდაპირ მოცემული მატრიციდან". საპირისპირო ინსულტი, შეგახსენებთ, მუშაობს ქვემოდან ზევით. დიახ, აქ არის საჩუქარი:

უპასუხე: .

მაგალითი 4

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი თავი, ეს გარკვეულწილად უფრო რთულია. კარგია, თუ ვინმე დაიბნევა. სრული გადაწყვეტა და ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს. თქვენი გამოსავალი შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩემი გადაწყვეტილებისგან.

ბოლო ნაწილში განვიხილავთ გაუსის ალგორითმის რამდენიმე მახასიათებელს. პირველი თვისება ის არის, რომ ზოგჯერ ზოგიერთი ცვლადი აკლია სისტემის განტოლებებს, მაგალითად: როგორ სწორად დავწეროთ გაფართოებული სისტემის მატრიცა? ამ საკითხზე უკვე ვისაუბრე კლასში. კრამერის წესი. მატრიცული მეთოდი. სისტემის გაფართოებულ მატრიცაში გამოტოვებული ცვლადების ნაცვლად ნულებს ვათავსებთ: სხვათა შორის, ეს მშვენიერია მარტივი მაგალითი, რადგან პირველ სვეტში უკვე არის ერთი ნული და ნაკლები ელემენტარული კონვერტაციაა შესასრულებელი.

მეორე თვისება არის ეს. ყველა განხილულ მაგალითში ჩვენ დავაყენეთ ან –1 ან +1 „საფეხურებზე“. შეიძლება იქ სხვა ნომრები იყოს? ზოგიერთ შემთხვევაში მათ შეუძლიათ. განვიხილოთ სისტემა: .

აქ ზედა მარცხენა „საფეხურზე“ გვაქვს ორი. მაგრამ ჩვენ ვამჩნევთ იმ ფაქტს, რომ პირველი სვეტის ყველა რიცხვი იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე - ხოლო მეორე არის ორი და ექვსი. და ზევით მარცხნივ ორი ​​მოგვწონს! პირველ ეტაპზე თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი გარდაქმნები: მეორე სტრიქონს დაუმატეთ პირველი ხაზი გამრავლებული –1-ზე; მესამე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული –3-ზე. ამ გზით მივიღებთ პირველ სვეტში საჭირო ნულებს.

ან რამე ამდაგვარი პირობითი მაგალითი: . აი, მეორე „საფეხურზე“ სამიც გვიწყობს, რადგან 12 (ადგილი, სადაც უნდა მივიღოთ ნული) იყოფა სამზე ნაშთის გარეშე. აუცილებელია შემდეგი ტრანსფორმაციის განხორციელება: მესამე სტრიქონს დავუმატოთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული –4-ზე, რის შედეგადაც მიიღება ჩვენთვის საჭირო ნული.

გაუსის მეთოდი უნივერსალურია, მაგრამ არის ერთი თავისებურება. თავდაჯერებულად ისწავლეთ სისტემების გადაჭრა სხვა მეთოდების გამოყენებით (კრამერის მეთოდი, მატრიცული მეთოდი) შეგიძლიათ ფაქტიურად პირველად - არის ძალიან მკაცრი ალგორითმი. მაგრამ იმისათვის, რომ გაუსის მეთოდში დარწმუნებული იყოთ, უნდა „კბილებში ჩასვათ“ და ამოხსნათ მინიმუმ 5-10 ათი სისტემა. ამიტომ, თავიდან შეიძლება იყოს დაბნეულობა და შეცდომები გამოთვლებში და ამაში არაფერია უჩვეულო ან ტრაგიკული.

წვიმიანი შემოდგომის ამინდი ფანჯრის მიღმა.... ამიტომ, ყველას, ვისაც მეტი უნდა რთული მაგალითიდამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

ამოხსენით 4 წრფივი განტოლების სისტემა ოთხი უცნობით გაუსის მეთოდით.

ასეთი დავალება პრაქტიკაში არც ისე იშვიათია. ვფიქრობ, ჩაიდანიც კი, რომელმაც საფუძვლიანად შეისწავლა ეს გვერდი, გაიგებს ასეთი სისტემის ინტუიციურად გადაჭრის ალგორითმს. ძირითადად ყველაფერი იგივეა - უბრალოდ მეტი ქმედებაა.

გაკვეთილზე განიხილება შემთხვევები, როდესაც სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები (არათანმიმდევრული) ან აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. შეუთავსებელი სისტემები და სისტემები საერთო გადაწყვეტით. აქ შეგიძლიათ დააფიქსიროთ გაუსის მეთოდის განხილული ალგორითმი.

Წარმატებას გისურვებ!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2: გამოსავალი : მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე.
შესრულებული ელემენტარული გარდაქმნები: (1) პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე. ყურადღება! აქ შეიძლება გაგიჩნდეთ ცდუნება, რომ გამოაკლოთ პირველი მესამე სტრიქონიდან. უბრალოდ დაკეცეთ! (2) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი (გამრავლებული –1-ზე). მეორე და მესამე ხაზი გაცვალეს. შენიშვნა , რომ "ნაბიჯებზე" ვკმაყოფილდებით არა მხოლოდ ერთით, არამედ -1-ითაც, რაც კიდევ უფრო მოსახერხებელია. (3) მეორე სტრიქონი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული 5-ზე. (4) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი (გამრავლებული –1-ზე). მესამე ხაზი იყოფა 14-ზე.

უკუ:

უპასუხე : .

მაგალითი 4: გამოსავალი : მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე:

შესრულებული კონვერტაციები: (1) პირველ სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი. ამრიგად, სასურველი ერთეული ორგანიზებულია ზედა მარცხენა "ნაბიჯზე". (2) 7-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს.

მეორე „ნაბიჯით“ ყველაფერი უარესდება , მისთვის "კანდიდატები" არიან ნომრები 17 და 23 და გვჭირდება ერთი ან -1. ტრანსფორმაციები (3) და (4) მიმართული იქნება სასურველი ერთეულის მისაღებად (3) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული –1-ზე. (4) მესამე სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –3-ზე. მეორე საფეხურზე საჭირო ნივთი მიღებულია. . (5) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 6-ზე. (6) მეორე სტრიქონი გამრავლდა –1-ზე, მესამე ხაზი გაყოფილი იყო -83-ზე.

უკუ:

უპასუხე :

მაგალითი 5: გამოსავალი : მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე:

შესრულებული კონვერტაციები: (1) პირველი და მეორე სტრიქონები შეიცვალა. (2) პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული -2-ზე. მეოთხე სტრიქონს დაემატა პირველი ხაზი, გამრავლებული –3-ზე. (3) მეორე სტრიქონი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული 4-ით. მეორე სტრიქონი დაემატა მეოთხე სტრიქონს, გამრავლებული –1-ზე. (4) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი. მეოთხე ხაზი იყოფა 3-ზე და მოთავსდა მესამე ხაზის ადგილზე. (5) მეოთხე სტრიქონს დაემატა მესამე სტრიქონი, გამრავლებული –5-ზე.

უკუ:

უპასუხე :

1. წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა

1.1 წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის კონცეფცია

განტოლებათა სისტემა არის მდგომარეობა, რომელიც შედგება რამდენიმე განტოლების ერთდროული შესრულებისგან რამდენიმე ცვლადის მიმართ. ხაზოვანი ალგებრული განტოლებათა სისტემას (შემდგომში SLAE), რომელიც შეიცავს m განტოლებებს და n უცნობებს, ეწოდება ფორმის სისტემა:

სადაც a ij რიცხვებს ეწოდება სისტემური კოეფიციენტები, b i რიცხვებს ეწოდება თავისუფალი ტერმინები, იჯდა ბ ი(i=1,…, m; b=1,…, n) წარმოადგენს ზოგიერთს ცნობილი ნომრებიდა x 1,…, x n- უცნობი. კოეფიციენტების აღნიშვნაში იჯპირველი ინდექსი i აღნიშნავს განტოლების რაოდენობას, ხოლო მეორე j არის უცნობის რიცხვი, რომელზეც დგას ეს კოეფიციენტი. უნდა მოიძებნოს რიცხვები x n. მოსახერხებელია ასეთი სისტემის დაწერა კომპაქტური მატრიცის სახით: AX=B.აქ A არის სისტემის კოეფიციენტების მატრიცა, რომელსაც უწოდებენ მთავარ მატრიცას;

A*X მატრიცების ნამრავლი განისაზღვრება, რადგან A მატრიცაში იმდენი სვეტია, რამდენი მწკრივია X მატრიცაში (n ცალი).

სისტემის გაფართოებული მატრიცა არის სისტემის A მატრიცა, რომელსაც ავსებს თავისუფალი ტერმინების სვეტი

1.2 წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

განტოლებათა სისტემის გამოსავალი არის რიცხვების მოწესრიგებული ნაკრები (ცვლადების მნიშვნელობები), როდესაც ცვლადების ნაცვლად მათი ჩანაცვლება, სისტემის თითოეული განტოლება იქცევა ნამდვილ ტოლობაში.

სისტემის ამონახსნი არის უცნობის n მნიშვნელობა x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, რომელთა ჩანაცვლების შემდეგ სისტემის ყველა განტოლება ხდება ნამდვილი ტოლობა. სისტემის ნებისმიერი გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს სვეტის მატრიცის სახით

განტოლებათა სისტემას ეწოდება თანმიმდევრული, თუ მას აქვს ერთი ამონახსნი მაინც და არათანმიმდევრული, თუ მას არ აქვს ამონახსნი.

თანმიმდევრულ სისტემაზე ამბობენ, რომ განსაზღვრულია, თუ მას აქვს ერთი ამონახსნი, და განუსაზღვრელი, თუ მას აქვს ერთზე მეტი ამონახსნი. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, მის თითოეულ გადაწყვეტას სისტემის კონკრეტული გადაწყვეტა ეწოდება. ყველა კონკრეტული ამოხსნის ერთობლიობას ზოგადი ამონახსნები ეწოდება.

სისტემის ამოხსნა ნიშნავს იმის გარკვევას, არის თუ არა ის თავსებადი თუ არათანმიმდევრული. თუ სისტემა თანმიმდევრულია, იპოვეთ იგი საერთო გადაწყვეტილება.

ორ სისტემას ეწოდება ეკვივალენტი (ექვივალენტი), თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ზოგადი ამონახსნები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სისტემები ეკვივალენტურია, თუ ერთი მათგანის ყველა ამოხსნა არის მეორის ამოხსნა და პირიქით.

ტრანსფორმაცია, რომლის გამოყენებაც სისტემას აქცევს ახალი სისტემაორიგინალის ტოლფასი, ექვივალენტი ან ექვივალენტური ტრანსფორმაცია. ეკვივალენტური გარდაქმნების მაგალითები მოიცავს შემდეგ გარდაქმნებს: სისტემის ორი განტოლების შეცვლა, ორი უცნობის გაცვლა ყველა განტოლების კოეფიციენტებთან ერთად, სისტემის ნებისმიერი განტოლების ორივე მხარის გამრავლება არანულოვან რიცხვზე.

წრფივი განტოლებათა სისტემას ეწოდება ერთგვაროვანი, თუ ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია:

ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, რადგან x1=x2=x3=…=xn=0 არის სისტემის ამონახსნი. ამ ამოხსნას უწოდებენ ნულს ან ტრივიალურს.

2. გაუსის ელიმინაციის მეთოდი

2.1 გაუსის ელიმინაციის მეთოდის არსი

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის კლასიკური მეთოდია უცნობის თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი - გაუსის მეთოდი(მას ასევე უწოდებენ გაუსის ელიმინაციის მეთოდს). ეს არის ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი, როდესაც ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, განტოლებათა სისტემა მცირდება საფეხურის (ან სამკუთხა) ფორმის ეკვივალენტურ სისტემამდე, საიდანაც ყველა სხვა ცვლადი მოიძებნება თანმიმდევრობით, დაწყებული ბოლოდან რიცხვი) ცვლადები.

გადაწყვეტის პროცესი გაუსის მეთოდით შედგება ორი ეტაპისგან: წინ და უკან სვლები.

1. პირდაპირი ინსულტი.

პირველ ეტაპზე ხორციელდება ეგრეთ წოდებული პირდაპირი მოძრაობა, როდესაც მწკრივებზე ელემენტარული გარდაქმნებით სისტემა მიიღება საფეხურზე ან სამკუთხა ფორმამდე, ან დგინდება, რომ სისტემა შეუთავსებელია. კერძოდ, მატრიცის პირველი სვეტის ელემენტებს შორის არჩეულია არანულოვანი და გადატანილია ყველაზე გარედან. ზედა პოზიციასტრიქონების პერმუტაცია და პერმუტაციის შემდეგ მიღებული პირველი მწკრივი გამოვაკლოთ დარჩენილი რიგებს, გავამრავლოთ მნიშვნელობაზე თანაფარდობის ტოლითითოეული ამ მწკრივის პირველი ელემენტი პირველი რიგის პირველ ელემენტამდე, რითაც ნულდება მის ქვემოთ სვეტი.

ამ გარდაქმნების დასრულების შემდეგ, პირველი მწკრივი და პირველი სვეტი გონებრივად გადაიკვეთება და გრძელდება მანამ, სანამ არ დარჩება ნულოვანი ზომის მატრიცა. თუ რომელიმე გამეორებისას პირველი სვეტის ელემენტებს შორის არ არის ნულოვანი ელემენტი, გადადით შემდეგ სვეტში და შეასრულეთ მსგავსი ოპერაცია.

პირველ ეტაპზე (პირდაპირი ინსულტი) სისტემა მცირდება საფეხურზე (კერძოდ, სამკუთხა) ფორმამდე.

ქვემოთ მოცემულ სისტემას აქვს ეტაპობრივი ფორმა:

Aii კოეფიციენტებს სისტემის ძირითად (წამყვან) ელემენტებს უწოდებენ.

მოდით გარდავქმნათ სისტემა უცნობი x1-ის აღმოფხვრით ყველა განტოლებაში პირველის გარდა (სისტემის ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით). ამისათვის გაამრავლეთ პირველი განტოლების ორივე მხარე

ამ პროცესის გაგრძელებით, ჩვენ ვიღებთ ექვივალენტურ სისტემას:

ამრიგად, პირველ ეტაპზე, ყველა კოეფიციენტი, რომელიც დევს პირველი წამყვანი ელემენტის ქვეშ 11 განადგურებულია

თუ სისტემის ეტაპობრივ ფორმამდე დაყვანის პროცესში გამოჩნდება ნულოვანი განტოლებები, ე.ი. 0=0 ფორმის ტოლობები, ისინი უგულებელყოფილია. თუ გამოჩნდება ფორმის განტოლება

სწორედ აქ მთავრდება გაუსის მეთოდის პირდაპირი პროგრესი.

2. საპირისპირო ინსულტი.

მეორე ეტაპზე ხორციელდება ეგრეთ წოდებული საპირისპირო სვლა, რომლის არსი არის ყველა მიღებული ძირითადი ცვლადის გამოხატვა არასაბაზისო და კონსტრუქციის თვალსაზრისით. ფუნდამენტური სისტემაამონახსნები, ან, თუ ყველა ცვლადი ძირითადია, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემის უნიკალური ამონახსნის რიცხვით გამოხატვა.

ეს პროცედურა იწყება ბოლო განტოლებით, საიდანაც გამოიხატება შესაბამისი ძირითადი ცვლადი (მასში მხოლოდ ერთია) და ჩანაცვლებულია წინა განტოლებები, და ასე შემდეგ, ზევით ასვლა "საფეხურებით".

თითოეული ხაზი შეესაბამება ზუსტად ერთ საბაზისო ცვლადს, ასე რომ, ყოველ ნაბიჯზე, გარდა ბოლო (უმაღლესი), სიტუაცია ზუსტად იმეორებს ბოლო ხაზის შემთხვევას.

შენიშვნა: პრაქტიკაში უფრო მოსახერხებელია მუშაობა არა სისტემასთან, არამედ მის გაფართოებულ მატრიცასთან, მის მწკრივებზე ყველა ელემენტარული ტრანსფორმაციის შესრულებით. მოსახერხებელია, რომ a11 კოეფიციენტი იყოს 1-ის ტოლი (გადააწყვეთ განტოლებები, ან გაყავით განტოლების ორივე მხარე a11-ზე).

2.2 SLAE-ების ამოხსნის მაგალითები გაუსის მეთოდით

IN ამ განყოფილებასსამზე სხვადასხვა მაგალითებიმოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ შეუძლია გაუსის მეთოდს გადაჭრას SLAE.

მაგალითი 1. ამოხსენით მე-3 რიგის SLAE.

მოდით გადავაყენოთ კოეფიციენტები

The ონლაინ კალკულატორიპოულობს ამონახსნის წრფივი განტოლებათა სისტემის (SLE) გაუსის მეთოდის გამოყენებით. მოცემული დეტალური გადაწყვეტა. გამოსათვლელად აირჩიეთ ცვლადების რაოდენობა და განტოლებების რაოდენობა. შემდეგ შეიყვანეთ მონაცემები უჯრედებში და დააჭირეთ ღილაკს "გამოთვლა".

ნომრის წარმოდგენა:

ადგილების რაოდენობა ათობითი გამყოფის შემდეგ

×

გაფრთხილება

გაასუფთავო ყველა უჯრედი?

დახურვა გასუფთავება

მონაცემთა შეყვანის ინსტრუქციები.რიცხვები შეყვანილია როგორც მთელი რიცხვები (მაგალითები: 487, 5, -7623 და ა.შ.), ათწილადები (მაგ. 67., 102.54 და ა.შ.) ან წილადები. წილადი უნდა შეიტანოს a/b სახით, სადაც a და b (b>0) არის მთელი რიცხვები ან ათობითი რიცხვები. მაგალითები 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 და ა.შ.

გაუსის მეთოდი

გაუსის მეთოდი არის წრფივი განტოლებათა საწყისი სისტემიდან (ეკვივალენტური გარდაქმნების გამოყენებით) გადასვლის მეთოდი, რომელიც უფრო ადვილად ამოსახსნელია, ვიდრე თავდაპირველი სისტემა.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ექვივალენტური გარდაქმნებია:

• სისტემაში ორი განტოლების გაცვლა,
• სისტემის ნებისმიერი განტოლების გამრავლება არანულზე ნამდვილი რიცხვი,
• ერთ განტოლებას დაუმატეთ სხვა განტოლება გამრავლებული თვითნებური რიცხვით.

განვიხილოთ წრფივი განტოლებათა სისტემა:

მოდით დავწეროთ სისტემა (1) მატრიცის სახით:

(3)

ა- ეწოდება სისტემის კოეფიციენტების მატრიცას, ბ − მარჯვენა ნაწილიშეზღუდვები, x− მოსაძებნი ცვლადების ვექტორი. დავასახელოთ ( ა)=გვ.

ეკვივალენტური გარდაქმნები არ ცვლის კოეფიციენტების მატრიცის წოდებას და სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგს. სისტემის ამონახსნების ნაკრები ასევე არ იცვლება ეკვივალენტური გარდაქმნების დროს. გაუსის მეთოდის არსი არის კოეფიციენტების მატრიცის შემცირება ადიაგონალამდე ან საფეხურამდე.

მოდით ავაშენოთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა:

შემდეგ ეტაპზე ჩვენ აღვადგენთ მე-2 სვეტის ყველა ელემენტს, ელემენტის ქვემოთ. თუ ეს ელემენტი არის ნულოვანი, მაშინ ეს მწკრივი შეიცვლება მწკრივით, რომელიც მდებარეობს ამ მწკრივის ქვემოთ და აქვს არანულოვანი ელემენტი მეორე სვეტში. შემდეგი, გადააყენეთ მე-2 სვეტის ყველა ელემენტი წამყვანი ელემენტის ქვემოთ ა 22. ამისათვის დაამატეთ 3 ხაზები, ... მსტრიქონით 2 გამრავლებული −-ზე ა 32 /ა 22 , ..., −ამ2/ ა 22, შესაბამისად. პროცედურის გაგრძელებით ვიღებთ დიაგონალური ან საფეხურიანი ფორმის მატრიცას. დაე, მიღებულ გაფართოებულ მატრიცას ჰქონდეს ფორმა:

იმიტომ რომ rangA=რენგ(ა|ბ), მაშინ ამონახსნების სიმრავლე (7) არის ( n−p)− ჯიში. აქედან გამომდინარე n−pუცნობის არჩევა შეიძლება თვითნებურად. დარჩენილი უცნობები სისტემიდან (7) გამოითვლება შემდეგნაირად. ბოლო განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ x p დარჩენილი ცვლადების გავლით და ჩადეთ წინა გამონათქვამებში. შემდეგი, ჩვენ გამოვხატავთ ბოლო განტოლებიდან x p−1 დარჩენილი ცვლადების მეშვეობით და ჩასვით წინა გამონათქვამებში და ა.შ. განვიხილოთ გაუსის მეთოდი კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

გაუსის მეთოდით წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მაგალითები

მაგალითი 1. იპოვნეთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნი გაუსის მეთოდის გამოყენებით:

მოდით აღვნიშნოთ ა ij ელემენტები მე-მე ხაზი და ჯე სვეტი.

ათერთმეტი . ამისათვის დაამატეთ 2,3 სტრიქონები 1 სტრიქონს, გამრავლებული -2/3,-1/2 შესაბამისად:

მატრიცის ჩაწერის ტიპი: Ax=b, სად

მოდით აღვნიშნოთ ა ij ელემენტები მე-მე ხაზი და ჯე სვეტი.

გამოვრიცხოთ ელემენტის ქვემოთ მატრიცის 1-ლი სვეტის ელემენტები ათერთმეტი . ამისათვის დაამატეთ 2,3 სტრიქონები 1 სტრიქონს, გამრავლებული -1/5,-6/5 შესაბამისად:

მატრიცის თითოეულ მწკრივს ვყოფთ შესაბამის წამყვან ელემენტზე (თუ წამყვანი ელემენტი არსებობს):

სად x 3 , x

ზედა გამონათქვამების ქვედაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ გამოსავალს.

შემდეგ ვექტორული ხსნარი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

სად x 3 , x 4 არის თვითნებური რეალური რიცხვები.

დღეს ჩვენ განვიხილავთ გაუსის მეთოდს ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის. თუ რას წარმოადგენს ეს სისტემები, შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა სტატიაში, რომელიც მიეძღვნა იგივე SLAE-ების ამოხსნას კრამერის მეთოდის გამოყენებით. გაუსის მეთოდი არ საჭიროებს რაიმე კონკრეტულ ცოდნას, საჭიროა მხოლოდ ყურადღება და თანმიმდევრულობა. მიუხედავად იმისა, რომ მათემატიკის თვალსაზრისით, საკმარისია მისი გამოყენება სკოლის მომზადება, მოსწავლეებს ხშირად უჭირთ ამ მეთოდის ათვისება. ამ სტატიაში ჩვენ შევეცდებით ისინი არაფრამდე დავიყვანოთ!

გაუსის მეთოდი

მ გაუსის მეთოდი– ყველაზე უნივერსალური მეთოდი SLAE-ების გადასაჭრელად (გარდა ძალიან დიდი სისტემები). ადრე განხილულისგან განსხვავებით, ის შესაფერისია არა მხოლოდ სისტემებისთვის, რომლებსაც აქვთ ერთი გადაწყვეტა, არამედ სისტემებისთვისაც, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. აქ სამი შესაძლო ვარიანტია.

1. სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი (სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი);
2. სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა;
3. არ არსებობს გადაწყვეტილებები, სისტემა შეუთავსებელია.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს სისტემა (დაე, მას ჰქონდეს ერთი გამოსავალი) და ვაპირებთ მის ამოხსნას გაუსის მეთოდით. Როგორ მუშაობს?

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან - წინ და შებრუნებული.

გაუსის მეთოდის პირდაპირი დარტყმა

პირველ რიგში, მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა. ამისათვის დაამატეთ თავისუფალი წევრების სვეტი მთავარ მატრიცას.

გაუსის მეთოდის მთელი არსი მდგომარეობს იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნებით ამ მატრიცას საფეხურზე (ან, როგორც ამბობენ, სამკუთხა) ფორმამდე მივიყვანოთ. ამ ფორმით, მატრიცის მთავარი დიაგონალის ქვეშ (ან ზემოთ) უნდა იყოს მხოლოდ ნულები.

Რა შეგიძლია გააკეთო:

1. თქვენ შეგიძლიათ გადააწყოთ მატრიცის რიგები;
2. თუ მატრიცაში არის თანაბარი (ან პროპორციული) რიგები, შეგიძლიათ ამოიღოთ ყველა, გარდა ერთისა;
3. შეგიძლიათ სტრიქონი გაამრავლოთ ან გაყოთ ნებისმიერ რიცხვზე (ნულის გარდა);
4. ნულოვანი რიგები ამოღებულია;
5. თქვენ შეგიძლიათ დაურთოთ სტრიქონი, რომელიც გამრავლებულია ნულის გარდა სხვა რიცხვზე.

საპირისპირო გაუსის მეთოდი

მას შემდეგ რაც სისტემას ამ გზით გარდაქმნით, ერთი უცნობია Xn ხდება ცნობილი და თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ყველა დარჩენილი უცნობი საპირისპირო თანმიმდევრობით, ჩაანაცვლოთ უკვე ცნობილი x-ები სისტემის განტოლებებში, პირველამდე.

როდესაც ინტერნეტი ყოველთვის ხელთ არის, თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით ონლაინ.თქვენ უბრალოდ უნდა შეიყვანოთ კოეფიციენტები ონლაინ კალკულატორში. მაგრამ უნდა აღიაროთ, გაცილებით სასიამოვნოა იმის გაცნობიერება, რომ მაგალითი არ მოგვარებულა კომპიუტერული პროგრამაოღონდ საკუთარი ტვინით.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მაგალითი გაუსის მეთოდით

ახლა კი - მაგალითი, რომ ყველაფერი ნათელი და გასაგები გახდეს. მიეცით წრფივი განტოლებათა სისტემა და თქვენ უნდა ამოხსნათ იგი გაუსის მეთოდით:

ჯერ ვწერთ გაფართოებულ მატრიცას:

ახლა მოდით გავაკეთოთ ტრანსფორმაციები. ჩვენ გვახსოვს, რომ ჩვენ უნდა მივაღწიოთ მატრიცის სამკუთხა გარეგნობას. გავამრავლოთ 1-ლი სტრიქონი (3-ზე). გავამრავლოთ მე-2 სტრიქონი (-1-ზე). დაამატეთ მე-2 სტრიქონი პირველს და მიიღეთ:

შემდეგ გავამრავლოთ მე-3 სტრიქონი (-1-ზე). დავუმატოთ მე-3 სტრიქონი მე-2ს:

გავამრავლოთ 1-ლი სტრიქონი (6-ზე). გავამრავლოთ მე-2 სტრიქონი (13-ზე). დავუმატოთ მე-2 სტრიქონი პირველს:

Voila - სისტემა მიყვანილია შესაბამის ფორმაში. რჩება უცნობის პოვნა:

ამ მაგალითში სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. სისტემების ამოხსნა უსასრულო რიცხვიგადაწყვეტილებებს განვიხილავთ ცალკეულ სტატიაში. შესაძლოა თავიდან არ იცოდეთ სად უნდა დაიწყოთ მატრიცის ტრანსფორმაცია, მაგრამ შესაბამისი ვარჯიშის შემდეგ თქვენ მიიღებთ მას და გაანადგურებთ SLAE-ებს გაუსის მეთოდით, როგორც თხილი. და თუ მოულოდნელად წააწყდებით SLA-ს, რომელიც აღმოჩნდება ძალიან ხისტი თხილის გასატეხად, დაუკავშირდით ჩვენს ავტორებს! შეგიძლიათ დატოვოთ მოთხოვნა კორესპონდენციის ოფისში. ჩვენ ერთად მოვაგვარებთ ნებისმიერ პრობლემას!