მოდულური განტოლებების ამოხსნა. ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა
მათემატიკის ამოსახსნელად. იპოვეთ სწრაფად მათემატიკური განტოლების ამოხსნარეჟიმში ონლაინ. ვებგვერდი www.site იძლევა საშუალებას განტოლების ამოხსნათითქმის ნებისმიერი მოცემული ალგებრული, ტრიგონომეტრიულიან ტრანსცენდენტული განტოლება ონლაინ. მათემატიკის თითქმის ნებისმიერი დარგის შესწავლისას სხვადასხვა ეტაპებიუნდა გადაწყვიტოს განტოლებები ონლაინ. იმისთვის, რომ დაუყოვნებლივ მიიღოთ პასუხი და რაც მთავარია ზუსტი პასუხი, გჭირდებათ რესურსი, რომელიც ამის საშუალებას მოგცემთ. მადლობა საიტს www.site ონლაინ განტოლებების ამოხსნარამდენიმე წუთი დასჭირდება. www.site-ის მთავარი უპირატესობა მათემატიკური ამოხსნისას განტოლებები ონლაინ- ეს არის მოწოდებული პასუხის სიჩქარე და სიზუსტე. საიტს შეუძლია ნებისმიერის გადაჭრა ალგებრული განტოლებები ონლაინ, ტრიგონომეტრიული განტოლებები ონლაინ, ტრანსცენდენტული განტოლებები ონლაინ, და განტოლებებიუცნობი პარამეტრებით რეჟიმში ონლაინ. განტოლებებიემსახურება როგორც მძლავრ მათემატიკურ აპარატს გადაწყვეტილებები პრაქტიკული პრობლემები. დახმარებით მათემატიკური განტოლებებიშესაძლებელია ფაქტებისა და ურთიერთობების გამოხატვა, რომლებიც ერთი შეხედვით შეიძლება დამაბნეველი და რთული ჩანდეს. უცნობი რაოდენობით განტოლებებიშეიძლება მოიძებნოს პრობლემის ფორმულირებით მათემატიკურიენა ფორმაში განტოლებებიდა გადაწყვიტოსმიიღო დავალება რეჟიმში ონლაინვებგვერდზე www.site. ნებისმიერი ალგებრული განტოლება, ტრიგონომეტრიული განტოლებაან განტოლებებიშემცველი ტრანსცენდენტულიფუნქციები, რომლებიც შეგიძლიათ მარტივად გადაწყვიტოსონლაინ და მიიღეთ ზუსტი პასუხი. Სწავლა ნატურალური მეცნიერება, თქვენ აუცილებლად აწყდებით საჭიროებას განტოლებების ამოხსნა. ამ შემთხვევაში პასუხი ზუსტი უნდა იყოს და დაუყოვნებლივ უნდა მიიღოთ რეჟიმი ონლაინ. ამიტომ ამისთვის მათემატიკური განტოლებების ონლაინ გადაჭრაჩვენ გირჩევთ საიტს www.site, რომელიც გახდება თქვენი შეუცვლელი კალკულატორი გადაწყვეტილებები ალგებრული განტოლებებიონლაინ, ტრიგონომეტრიული განტოლებებიონლაინ, და ტრანსცენდენტული განტოლებები ონლაინან განტოლებებიუცნობი პარამეტრებით. სხვადასხვას ფესვების პოვნის პრაქტიკული პრობლემებისთვის მათემატიკური განტოლებებირესურსი www.. ამოხსნა განტოლებები ონლაინთქვენთვის სასარგებლოა მიღებული პასუხის შემოწმება გამოყენებით ონლაინ გადაწყვეტაგანტოლებებივებგვერდზე www.site. თქვენ უნდა დაწეროთ განტოლება სწორად და მყისიერად მიიღოთ ონლაინ გადაწყვეტა, რის შემდეგაც რჩება მხოლოდ პასუხის შედარება განტოლების ამოხსნასთან. პასუხის შემოწმებას დასჭირდება არაუმეტეს ერთი წუთი, ეს საკმარისია განტოლების გადაჭრა ონლაინდა შეადარეთ პასუხები. ეს დაგეხმარებათ თავიდან აიცილოთ შეცდომები გადაწყვეტილებადა დროულად შეასწორეთ პასუხი განტოლებების ონლაინ გადაჭრაან ალგებრული, ტრიგონომეტრიული, ტრანსცენდენტულიან განტოლებაუცნობი პარამეტრებით.
განტოლებების და უტოლობების ამოხსნა მოდულითხშირად იწვევს სირთულეებს. თუმცა თუ კარგად გესმის რა არის რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა, და როგორ გავაფართოვოთ მოდულის ნიშნის შემცველი გამონათქვამები, შემდეგ განტოლებაში ყოფნა გამოხატვა მოდულის ნიშნის ქვეშ, წყვეტს მისი გადაწყვეტის დაბრკოლებას.
ცოტა თეორია. თითოეულ ნომერს აქვს ორი მახასიათებელი: აბსოლუტური მნიშვნელობანომერი და მისი ნიშანი.
მაგალითად, რიცხვს +5, ან უბრალოდ 5, აქვს "+" ნიშანი და აბსოლუტური მნიშვნელობა 5.
რიცხვს -5 აქვს "-" ნიშანი და აბსოლუტური მნიშვნელობა 5.
5 და -5 რიცხვების აბსოლუტური მნიშვნელობები არის 5.
x რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას ეწოდება რიცხვის მოდული და აღინიშნება |x|-ით.
როგორც ვხედავთ, რიცხვის მოდული უდრის თავად რიცხვს, თუ ეს რიცხვი მეტია ან ტოლია ნულისა და ეს რიცხვი საპირისპირო ნიშანითუ ეს რიცხვი უარყოფითია.
იგივე ეხება ნებისმიერ გამონათქვამს, რომელიც გამოჩნდება მოდულის ნიშნის ქვეშ.
მოდულის გაფართოების წესი ასე გამოიყურება:
|f(x)|= f(x) თუ f(x) ≥ 0 და
|f(x)|= - f(x), თუ f(x)< 0
მაგალითად |x-3|=x-3, თუ x-3≥0 და |x-3|=-(x-3)=3-x, თუ x-3<0.
მოდულის ნიშნის ქვეშ გამოსახულების შემცველი განტოლების ამოსახსნელად, ჯერ უნდა მოდულის გაფართოება მოდულის გაფართოების წესის მიხედვით.
მაშინ ჩვენი განტოლება ან უტოლობა ხდება ორ განსხვავებულ განტოლებად, რომლებიც არსებობს ორი განსხვავებული რიცხვითი ინტერვალით.
ერთი განტოლება არსებობს რიცხვით ინტერვალზე, რომელზედაც მოდულის ნიშნის ქვეშ გამოხატული გამოხატულება არის არაუარყოფითი.
ხოლო მეორე განტოლება არსებობს იმ ინტერვალზე, რომელზედაც მოდულის ნიშნის ქვეშ გამოხატვა უარყოფითია.
მოდით შევხედოთ მარტივ მაგალითს.
მოდი ამოვხსნათ განტოლება:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. გავხსნათ მოდული.
|x-3|=x-3, თუ x-3≥0, ე.ი. თუ x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x თუ x-3<0, т.е. если х<3
2. მივიღეთ ორი რიცხვითი ინტერვალი: x≥3 და x<3.
განვიხილოთ, რომელ განტოლებებში გარდაიქმნება თავდაპირველი განტოლება თითოეულ ინტერვალზე:
ა) x≥3 |x-3|=x-3-სთვის და ჩვენს დაჭრას აქვს ფორმა:
ყურადღება! ეს განტოლება არსებობს მხოლოდ x≥3 ინტერვალზე!
გავხსნათ ფრჩხილები და წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები:
და ამოხსენით ეს განტოლება.
ამ განტოლებას აქვს ფესვები:
x 1 =0, x 2 =3
ყურადღება! ვინაიდან განტოლება x-3=-x 2 +4x-3 არსებობს მხოლოდ x≥3 ინტერვალზე, ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ ის ფესვები, რომლებიც ეკუთვნის ამ ინტერვალს. ეს პირობა აკმაყოფილებს მხოლოდ x 2 =3.
ბ) x-ზე<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
ყურადღება! ეს განტოლება არსებობს მხოლოდ x ინტერვალზე<3!
გავხსნათ ფრჩხილები და წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:
x 1 =2, x 2 =3
ყურადღება! ვინაიდან განტოლება 3-x=-x 2 +4x-3 არსებობს მხოლოდ x ინტერვალზე<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
ასე რომ: პირველი ინტერვალიდან ვიღებთ მხოლოდ ფესვს x=3, მეორიდან - ფესვს x=2.
მიზნები:
- ცოდნისა და უნარების სისტემატიზაცია და განზოგადება თემაზე: მესამე და მეოთხე ხარისხის განტოლებათა ამონახსნები.
- გაიღრმავეთ თქვენი ცოდნა რიგი ამოცანების შესრულებით, რომელთაგან ზოგიერთი უცნობია არც ტიპისა და არც გადაწყვეტის მეთოდით.
- მათემატიკისადმი ინტერესის ჩამოყალიბება მათემატიკის ახალი თავების შესწავლით, გრაფიკული კულტურის აღზრდა განტოლებათა გრაფიკების აგების გზით.
გაკვეთილის ტიპი: კომბინირებული.
აღჭურვილობა:გრაფიკული პროექტორი.
ხილვადობა:ცხრილი "ვიეტის თეორემა".
გაკვეთილების დროს
1. ზეპირი დათვლა
ა) რა არის ნარჩენი პოლინომის p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 x-a ბინომით?
ბ) რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს კუბურ განტოლებას?
გ) როგორ ვხსნით მესამე და მეოთხე ხარისხის განტოლებებს?
დ) თუ b არის ლუწი რიცხვი კვადრატულ განტოლებაში, მაშინ რა არის D და x 1-ის მნიშვნელობა;
2. დამოუკიდებელი მუშაობა (ჯგუფურად)
დაწერეთ განტოლება, თუ ფესვები ცნობილია (დავალებების პასუხები დაშიფრულია) გამოიყენება „ვიეტას თეორემა“
1 ჯგუფი
ფესვები: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
შეადგინეთ განტოლება:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(ეს განტოლება იხსნება დაფაზე 2 ჯგუფის მიერ)
გამოსავალი . ჩვენ ვეძებთ მთელ ფესვებს 36 რიცხვის გამყოფებს შორის.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 რიცხვი 1 აკმაყოფილებს განტოლებას, შესაბამისად =1 არის განტოლების ფესვი. ჰორნერის სქემის მიხედვით
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
p 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 =-3, x 4 =6
პასუხი: 1;-2;-3;6 ფესვების ჯამი 2 (P)
მე-2 ჯგუფი
ფესვები: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5
შეადგინეთ განტოლება:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (მე-3 ჯგუფი ხსნის ამ განტოლებას დაფაზე)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5
პასუხი: -1;2;2;5 ფესვების ჯამი 8(P)
3 ჯგუფი
ფესვები: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3
შეადგინეთ განტოლება:
В=-1+1-2+3=1;В=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(4 ჯგუფი ხსნის ამ განტოლებას მოგვიანებით დაფაზე)
გამოსავალი. ჩვენ ვეძებთ მთელ ფესვებს რიცხვის 6-ის გამყოფებს შორის.
р = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3
პასუხი: -1;1;-2;3 ფესვების ჯამი 1(O)
4 ჯგუფი
ფესვები: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
შეადგინეთ განტოლება:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(ეს განტოლება იხსნება დაფაზე 5 ჯგუფის მიერ)
გამოსავალი. -36 რიცხვის გამყოფებს შორის ვეძებთ მთელ ფესვებს
р = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
პასუხი: -2; -2; -3; 3 ფესვების ჯამი-4 (F)
5 ჯგუფი
ფესვები: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
დაწერეთ განტოლება
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(ეს განტოლება იხსნება დაფაზე 6 ჯგუფის მიერ)
გამოსავალი . ჩვენ ვეძებთ მთელ ფესვებს 24 რიცხვის გამყოფებს შორის.
р = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
პასუხი: -1;-2;-3;-4 ჯამი-10 (I)
6 ჯგუფი
ფესვები: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
დაწერეთ განტოლება
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (ეს განტოლება იხსნება დაფაზე 1 ჯგუფის მიერ)
გამოსავალი . -24 რიცხვის გამყოფებს შორის ვეძებთ მთელ ფესვებს.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x) = x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
პასუხი: 1;1;-3;8 ჯამი 7 (ლ)
3. განტოლებების ამოხსნა პარამეტრით
1. ამოხსენით განტოლება x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; თუ ერთ-ერთი ფესვი უდრის (-1)
დაწერეთ პასუხი ზრდადი თანმიმდევრობით
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
პირობით x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
პასუხი: - 1; 3
ზრდადი მიმდევრობით: -5;-1;3. (b N S)
2. იპოვეთ x 3 - 3x 2 + ცული - 2a + 6 მრავალწევრის ყველა ფესვი, თუ მისი დაყოფის ნაშთები x-1 და x +2 ორწევრებად ტოლია.
ამოხსნა: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3) -6 (x-3) = 0
(x-3) (x 2 -6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. დაწერეთ განტოლება
1 ჯგუფი. ფესვები: -4; -2; 1; 7;
მე-2 ჯგუფი. ფესვები: -3; -2; 1; 2;
3 ჯგუფი. ფესვები: -1; 2; 6; 10;
4 ჯგუფი. ფესვები: -3; 2; 2; 5;
5 ჯგუფი. ფესვები: -5; -2; 2; 4;
6 ჯგუფი. ფესვები: -8; -2; 6; 7.
ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.
ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")
Რა მოხდა ექსპონენციალური განტოლება? ეს არის განტოლება, რომელშიც არის უცნობი (x-ები) და გამოსახულებები მათთან ერთად ინდიკატორებირამდენიმე გრადუსი. და მხოლოდ იქ! Ეს არის მნიშვნელოვანი.
აი შენ ხარ ექსპონენციალური განტოლების მაგალითები:
3 x 2 x = 8 x+3
Შენიშვნა! გრადუსების საფუძვლებში (ქვემოთ) - მხოლოდ ნომრები. IN ინდიკატორებიგრადუსი (ზემოთ) - გამოთქმების ფართო სპექტრი X-ით. თუ უეცრად X გამოჩნდება განტოლებაში ინდიკატორის გარდა სხვა ადგილას, მაგალითად:
ეს უკვე შერეული ტიპის განტოლება იქნება. ასეთ განტოლებებს არ აქვთ მათი ამოხსნის მკაფიო წესები. ჩვენ მათ ჯერ არ განვიხილავთ. აქ ჩვენ შევეხებით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნამისი სუფთა სახით.
სინამდვილეში, სუფთა ექსპონენციალური განტოლებებიც კი ყოველთვის ნათლად არ წყდება. მაგრამ არსებობს გარკვეული ტიპის ექსპონენციალური განტოლებები, რომლებიც შეიძლება და უნდა გადაწყდეს. ეს ის ტიპებია, რომლებსაც განვიხილავთ.
მარტივი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა.
პირველი, მოდით გადავწყვიტოთ რაღაც ძალიან ძირითადი. Მაგალითად:
ყოველგვარი თეორიის გარეშეც კი, მარტივი შერჩევით ცხადია, რომ x = 2. მეტი არაფერი, არა!? X-ის სხვა მნიშვნელობა არ მუშაობს. ახლა მოდით შევხედოთ ამ რთული ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნას:
რა გავაკეთეთ? ჩვენ, ფაქტობრივად, უბრალოდ გამოვყარეთ იგივე ბაზები (სამები). მთლიანად ამოაგდეს. და კარგი ამბავი ის არის, რომ ლურსმანი თავზე დავარტყით!
მართლაც, თუ ექსპონენციალურ განტოლებაში არის მარცხენა და მარჯვენა იგივერიცხვები ნებისმიერ ხარისხში, ეს რიცხვები შეიძლება ამოღებულ იქნეს და მაჩვენებლების გათანაბრება. მათემატიკა იძლევა საშუალებას. რჩება გაცილებით მარტივი განტოლების ამოხსნა. მშვენიერია, არა?)
თუმცა, მტკიცედ გვახსოვდეს: თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ ბაზები მხოლოდ მაშინ, როდესაც მარცხნივ და მარჯვნივ ბაზის ნომრები ბრწყინვალე იზოლაციაშია!ყოველგვარი მეზობლებისა და კოეფიციენტების გარეშე. განტოლებებში ვთქვათ:
2 x +2 x+1 = 2 3, ან
ორის ამოღება შეუძლებელია!
ისე, ჩვენ ავითვისეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი. როგორ გადავიდეთ ბოროტი ექსპონენციალური გამონათქვამებიდან მარტივ განტოლებამდე.
"ეს დროა!" - შენ ამბობ. ვინ ჩაატარებს ასეთ პრიმიტიულ გაკვეთილს ტესტებსა და გამოცდებზე!?
უნდა დავეთანხმო. არავინ მისცემს. მაგრამ ახლა თქვენ იცით, სად უნდა დამიზნოთ რთული მაგალითების ამოხსნისას. ის უნდა მიიყვანოთ ფორმაში, სადაც ერთი და იგივე საბაზისო ნომერია მარცხნივ და მარჯვნივ. მაშინ ყველაფერი უფრო ადვილი იქნება. სინამდვილეში, ეს მათემატიკის კლასიკაა. ჩვენ ვიღებთ ორიგინალურ მაგალითს და გარდაქმნით მას სასურველზე ჩვენგონება. რა თქმა უნდა, მათემატიკის წესების მიხედვით.
მოდით შევხედოთ მაგალითებს, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით ძალისხმევას, რათა შემცირდეს ისინი უმარტივესამდე. მოდით დავურეკოთ მათ მარტივი ექსპონენციალური განტოლებები.
მარტივი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.
ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას ძირითადი წესებია მოქმედებები გრადუსით.ამ ქმედებების ცოდნის გარეშე არაფერი იმუშავებს.
ხარისხების მქონე მოქმედებებს უნდა დაემატოს პირადი დაკვირვება და გამომგონებლობა. გვჭირდება იგივე საბაზისო ნომრები? ასე რომ, ჩვენ ვეძებთ მათ მაგალითში აშკარა ან დაშიფრული ფორმით.
ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს პრაქტიკაში?
მოვიყვანოთ მაგალითი:
2 2x - 8 x+1 = 0
პირველი მახვილი მზერა არის საფუძველი.ისინი... განსხვავებულები არიან! ორი და რვა. მაგრამ ძალიან ადრეა იმედგაცრუება. დროა გავიხსენოთ ეს
ორი და რვა ხარისხით ნათესავები არიან.) სავსებით შესაძლებელია დაწეროთ:
8 x+1 = (2 3) x+1
თუ გავიხსენებთ ფორმულას გრადუსიანი ოპერაციებიდან:
(a n) m = a nm,
ეს მშვენივრად მუშაობს:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
ორიგინალური მაგალითი ასე დაიწყო:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
გადავიტანთ 2 3 (x+1)მარჯვნივ (არავის გაუუქმებია მათემატიკის ელემენტარული მოქმედებები!), ვიღებთ:
2 2x = 2 3(x+1)
ეს პრაქტიკულად ყველაფერია. ბაზების ამოღება:
ჩვენ ამ ურჩხულს მოვაგვარებთ და ვიღებთ
ეს არის სწორი პასუხი.
ამ მაგალითში ორი ძალის ცოდნა დაგვეხმარა. ჩვენ იდენტიფიცირებულირვაში არის დაშიფრული ორი. ეს ტექნიკა (საერთო ფუძეების დაშიფვრა სხვადასხვა რიცხვებში) ძალიან პოპულარული ტექნიკაა ექსპონენციალურ განტოლებებში! დიახ, და ლოგარითმებშიც. თქვენ უნდა შეგეძლოთ სხვა რიცხვების სიმძლავრის ამოცნობა რიცხვებში. ეს ძალზე მნიშვნელოვანია ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად.
ფაქტია, რომ ნებისმიერი რიცხვის ნებისმიერ ძალაზე აწევა პრობლემა არ არის. გაამრავლეთ, თუნდაც ქაღალდზე და ეს არის ის. მაგალითად, ნებისმიერს შეუძლია აწიოს 3 მეხუთე ხარისხამდე. 243 გამოვა, თუ იცით გამრავლების ცხრილი.) მაგრამ ექსპონენციალურ განტოლებებში ბევრად უფრო ხშირად არაა საჭირო ხარისხზე აწევა, არამედ პირიქით... გაიგეთ. რა რიცხვი რა ხარისხით 243-ის, ანუ, ვთქვათ, 343-ის მიღმა იმალება... აქ არც ერთი კალკულატორი არ დაგეხმარება.
მხედველობით უნდა იცოდე ზოგიერთი რიცხვის ძალა, არა... ვივარჯიშოთ?
დაადგინეთ რა ძალა და რა რიცხვია ეს რიცხვები:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
პასუხები (არეულად, რა თქმა უნდა!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
თუ კარგად დააკვირდებით, უცნაურ ფაქტს შეამჩნევთ. გაცილებით მეტი პასუხია, ვიდრე დავალება! ისე, ეს ხდება... მაგალითად, 2 6, 4 3, 8 2 - სულ ეს არის 64.
დავუშვათ, რომ თქვენ გაითვალისწინეთ ინფორმაცია რიცხვების გაცნობის შესახებ.) ასევე შეგახსენებთ, რომ ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად ვიყენებთ ყველამათემატიკური ცოდნის მარაგი. მათ შორის უმცროსი და საშუალო კლასებიდან. თქვენ პირდაპირ არ წახვედით საშუალო სკოლაში, არა?)
მაგალითად, ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას, საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება ხშირად გვეხმარება (გამარჯობა მე-7 კლასს!). მოდით შევხედოთ მაგალითს:
3 2x+4 -11 9 x = 210
და ისევ, პირველი შეხედვა არის საფუძვლები! გრადუსების საფუძვლები განსხვავებულია... სამი და ცხრა. მაგრამ ჩვენ გვინდა, რომ ისინი იგივე იყვნენ. ისე, ამ შემთხვევაში სურვილი მთლიანად სრულდება!) რადგან:
9 x = (3 2) x = 3 2x
იგივე წესების გამოყენება ხარისხებთან დაკავშირებით:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
მშვენიერია, შეგიძლიათ დაწეროთ:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
იგივე მიზეზების გამო მოვიყვანეთ მაგალითი. მაშ, რა არის შემდეგი!? სამეულს ვერ აგდებ... ჩიხი?
Არაფერს. გახსოვდეთ გადაწყვეტილების ყველაზე უნივერსალური და ძლიერი წესი ყველასმათემატიკური ამოცანები:
თუ არ იცი რა გჭირდება, გააკეთე რაც შეგიძლია!
შეხედე, ყველაფერი გამოვა).
რა არის ამ ექსპონენციალურ განტოლებაში შეუძლიაკეთება? დიახ, მარცხენა მხარეს ის უბრალოდ ითხოვს ფრჩხილებიდან ამოღებას! საერთო მულტიპლიკატორი 3 2x აშკარად მიანიშნებს ამაზე. ვცადოთ და მერე ვნახოთ:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
მაგალითი სულ უფრო და უფრო უმჯობესდება!
გვახსოვს, რომ საფუძვლების აღმოსაფხვრელად გვჭირდება სუფთა ხარისხი, ყოველგვარი კოეფიციენტების გარეშე. რიცხვი 70 გვაწუხებს. ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს 70-ზე, მივიღებთ:
უი! ყველაფერი უკეთესი გახდა!
ეს არის საბოლოო პასუხი.
თუმცა ხდება ისე, რომ იმავე საფუძველზე ტაქსაცია მიიღწევა, მაგრამ მათი აღმოფხვრა შეუძლებელია. ეს ხდება სხვა ტიპის ექსპონენციალურ განტოლებებში. მოდით დავეუფლოთ ამ ტიპს.
ცვლადის ჩანაცვლება ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას. მაგალითები.
მოდი ამოვხსნათ განტოლება:
4 x - 3 2 x +2 = 0
პირველი - როგორც ყოველთვის. მოდით გადავიდეთ ერთ ბაზაზე. დუმს.
4 x = (2 2) x = 2 2x
ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
და ეს არის სადაც ჩვენ დაკიდება. წინა ტექნიკა არ იმუშავებს, როგორც არ უნდა შეხედოთ მას. ჩვენ უნდა ამოვიღოთ კიდევ ერთი ძლიერი და უნივერსალური მეთოდი ჩვენი არსენალიდან. ჰქვია ცვლადი ჩანაცვლება.
მეთოდის არსი საოცრად მარტივია. ერთი რთული ხატის ნაცვლად (ჩვენს შემთხვევაში - 2 x) ვწერთ მეორეს, უფრო მარტივს (მაგალითად - t). ასეთი ერთი შეხედვით უაზრო ჩანაცვლება იწვევს საოცარ შედეგებს!) ყველაფერი უბრალოდ ნათელი და გასაგები ხდება!
ასე რომ მოდით
შემდეგ 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
ჩვენს განტოლებაში ჩვენ ვცვლით ყველა ძალას x-ებით t-ით:
აბა, გათენდება?) ჯერ ხომ არ დაგავიწყდათ კვადრატული განტოლებები? დისკრიმინანტის ამოხსნისას მივიღებთ:
აქ მთავარია არ გავჩერდეთ, როგორც ხდება... ეს ჯერ არ არის პასუხი, x გვჭირდება და არა t. დავუბრუნდეთ X-ებს, ე.ი. ჩვენ ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას. პირველი t 1-ისთვის:
ანუ
ნაპოვნია ერთი ფესვი. ჩვენ ვეძებთ მეორეს t 2-დან:
ჰმ... 2 x მარცხნივ, 1 მარჯვნივ... პრობლემა? Არაფერს! საკმარისია გვახსოვდეს (ძალების მქონე ოპერაციებიდან, დიახ...), რომ ერთეული არის ნებისმიერირიცხვი ნულოვანი სიმძლავრისკენ. ნებისმიერი. რაც საჭიროა, ჩვენ დავამონტაჟებთ. ჩვენ გვჭირდება ორი. ნიშნავს:
ეს არის ახლა. ჩვენ მივიღეთ 2 ფესვი:
ეს არის პასუხი.
ზე ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნაბოლოს ხანდახან რაღაც უხერხული გამომეტყველებით ხვდები. ტიპი:
შვიდი არ შეიძლება ორად გადაიზარდოს მარტივი სიმძლავრის საშუალებით. ნათესავები არ არიან... როგორ ვიყოთ? შეიძლება ვინმე დაიბნოს... მაგრამ ვინც ამ საიტზე კითხულობს თემას "რა არის ლოგარითმი?" , უბრალოდ იღიმება ზომიერად და მტკიცე ხელით იწერს აბსოლუტურად სწორ პასუხს:
ასეთი პასუხი არ შეიძლება იყოს "B" დავალებაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის შესახებ. იქ კონკრეტული ნომერია საჭირო. მაგრამ დავალებებში "C" ადვილია.
ამ გაკვეთილზე მოცემულია ყველაზე გავრცელებული ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მაგალითები. მოდი გამოვყოთ ძირითადი პუნქტები.
პრაქტიკული რჩევები:
1. პირველ რიგში ვუყურებთ საფუძველიგრადუსი. ჩვენ გვაინტერესებს შესაძლებელია თუ არა მათი დამზადება იდენტური.შევეცადოთ ამის გაკეთება აქტიური გამოყენებით მოქმედებები გრადუსით.ნუ დაგავიწყდებათ, რომ რიცხვები x-ების გარეშე ასევე შეიძლება გარდაიქმნას ხარისხებად!
2. ვცდილობთ ექსპონენციალური განტოლება მივიყვანოთ ფორმამდე, როცა მარცხნივ და მარჯვნივ არის იგივერიცხვები ნებისმიერი ძალაუფლებით. Ჩვენ ვიყენებთ მოქმედებები გრადუსითდა ფაქტორიზაცია.რისი დათვლაც შეიძლება რიცხვებში, ჩვენ ვითვლით.
3. თუ მეორე წვერი არ მუშაობდა, სცადეთ გამოიყენოთ ცვლადი ჩანაცვლება. შედეგი შეიძლება იყოს განტოლება, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია. ყველაზე ხშირად - კვადრატი. ან წილადი, რომელიც ასევე მცირდება კვადრატამდე.
4. ექსპონენციალური განტოლებების წარმატებით ამოსახსნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის სიმძლავრე მხედველობით.
ჩვეულებისამებრ, გაკვეთილის ბოლოს გიწვევთ ცოტა გადასაწყვეტად.) დამოუკიდებლად. მარტივიდან რთულამდე.
ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა:
Უფრო რთული:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0
იპოვნეთ ფესვების პროდუქტი:
2 3 + 2 x = 9
მოხდა?
კარგი, მაშინ ძალიან რთული მაგალითი (თუმცა მისი მოგვარება შესაძლებელია გონებაში ...):
7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3
რა არის უფრო საინტერესო? მაშინ აქ არის ცუდი მაგალითი თქვენთვის. საკმაოდ მაცდური გაზრდილი სირთულისთვის. ნება მომეცით მინიშნება, რომ ამ მაგალითში, რაც გიშველის არის გამომგონებლობა და ყველაზე უნივერსალური წესი ყველა მათემატიკური ამოცანის გადასაჭრელად.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
უფრო მარტივი მაგალითი, დასვენებისთვის):
9 2 x - 4 3 x = 0
და დესერტად. იპოვეთ განტოლების ფესვების ჯამი:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Დიახ დიახ! ეს შერეული ტიპის განტოლებაა! რაც ამ გაკვეთილზე არ გავითვალისწინეთ. რატომ განვიხილავთ მათ, ისინი უნდა ამოხსნან!) ეს გაკვეთილი სავსებით საკმარისია განტოლების ამოსახსნელად. ჰოდა, ჭკუა გჭირდება... და შეიძლება მეშვიდე კლასი დაგეხმაროს (ეს მინიშნებაა!).
პასუხები (არეულად, გამოყოფილი მძიმით):
1; 2; 3; 4; არ არსებობს გადაწყვეტილებები; 2; -2; -5; 4; 0.
ყველაფერი წარმატებულია? დიდი.
Პრობლემაა? Არაა პრობლემა! სპეციალური განყოფილება 555 ხსნის ყველა ამ ექსპონენციალურ განტოლებას დეტალური განმარტებებით. რა, რატომ და რატომ. და, რა თქმა უნდა, არის დამატებითი ღირებული ინფორმაცია ყველა სახის ექსპონენციალურ განტოლებასთან მუშაობის შესახებ. არა მხოლოდ ესენი.)
გასათვალისწინებელია ბოლო სახალისო კითხვა. ამ გაკვეთილზე ვიმუშავეთ ექსპონენციალური განტოლებებით. რატომ არ ვთქვი სიტყვა აქ ODZ-ზე?განტოლებებში ეს ძალიან მნიშვნელოვანია, სხვათა შორის...
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
