X-ის სამი ძირის წარმოებული. იპოვეთ წარმოებული: ალგორითმი და ამონახსნების მაგალითები

რომელზედაც ჩვენ შევისწავლეთ უმარტივესი წარმოებულები, ასევე გავეცანით დიფერენციაციის წესებს და წარმოებულების პოვნის ზოგიერთ ტექნიკურ ტექნიკას. ამრიგად, თუ თქვენ არ ხართ ძალიან კარგად ფუნქციების წარმოებულები ან ამ სტატიის ზოგიერთი პუნქტი არ არის ბოლომდე გასაგები, მაშინ ჯერ წაიკითხეთ ზემოთ მოცემული გაკვეთილი. გთხოვ სერიოზულ ხასიათზე დადექი - მასალა მარტივი არ არის, მაგრამ მაინც შევეცდები მარტივად და გარკვევით წარმოვადგინო.

პრაქტიკაში წარმოებულთან რთული ფუნქციაძალიან ხშირად გიწევს, მე ვიტყოდი, თითქმის ყოველთვის, როცა დავალებებს აძლევენ წარმოებულების პოვნას.

ჩვენ ვუყურებთ ცხრილს კომპლექსური ფუნქციის დიფერენცირების წესს (No. 5):

მოდი გავარკვიოთ. პირველ რიგში ყურადღება მივაქციოთ ჩანაწერს. აქ გვაქვს ორი ფუნქცია – და, და ფუნქცია, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ფუნქციის შიგნით არის ჩასმული. ამ ტიპის ფუნქციას (როდესაც ერთი ფუნქცია მეორეშია ჩადგმული) რთული ფუნქცია ეწოდება.

დავრეკავ ფუნქციას გარე ფუნქციადა ფუნქცია - შიდა (ან წყობილი) ფუნქცია.

! ეს განმარტებები არ არის თეორიული და არ უნდა გამოჩნდეს დავალებების საბოლოო დიზაინში. მე ვიყენებ არაფორმალურ გამოთქმებს „გარე ფუნქცია“, „შინაგანი“ ფუნქცია მხოლოდ იმისთვის, რომ გაგიადვილოთ მასალის გაგება.

სიტუაციის გასარკვევად, განიხილეთ:

მაგალითი 1

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

სინუსის ქვეშ გვაქვს არა მხოლოდ ასო "X", არამედ მთელი გამოხატულება, ამიტომ წარმოებულის პოვნა ცხრილიდან მოშორებით არ იმუშავებს. ჩვენ ასევე ვამჩნევთ, რომ აქ პირველი ოთხი წესის გამოყენება შეუძლებელია, როგორც ჩანს, განსხვავებაა, მაგრამ ფაქტია, რომ სინუსის "ნაწილებად დაშლა" შეუძლებელია:

IN ამ მაგალითშიუკვე ჩემი განმარტებებიდან ინტუიციურად ირკვევა, რომ ფუნქცია რთული ფუნქციაა, ხოლო პოლინომი არის შიდა ფუნქცია(ინვესტიცია) და – გარე ფუნქცია.

პირველი ნაბიჯირა უნდა გააკეთოთ რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას არის გააცნობიეროს რომელი ფუნქციაა შიდა და რომელი გარე.

იმ შემთხვევაში მარტივი მაგალითებიაშკარად ჩანს, რომ პოლინომი ჩასმულია სინუსის ქვეშ. მაგრამ რა მოხდება, თუ ყველაფერი აშკარა არ არის? როგორ ზუსტად განვსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა? ამისათვის მე გთავაზობთ შემდეგი ტექნიკის გამოყენებას, რომელიც შეიძლება გაკეთდეს გონებრივად ან მონახაზში.

წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა კალკულატორზე (ერთის ნაცვლად შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი).

რას გამოვთვლით პირველ რიგში? პირველ რიგშითქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი მოქმედება: , შესაბამისად, პოლინომი იქნება შიდა ფუნქცია:

მეორეცუნდა მოიძებნოს, ამიტომ სინუსი - იქნება გარე ფუნქცია:

ჩვენ შემდეგ გაიყიდაშიდა და გარე ფუნქციებით, დროა გამოვიყენოთ რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესი .

დავიწყოთ გადაწყვეტილების მიღება. გაკვეთილიდან როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?ჩვენ გვახსოვს, რომ ნებისმიერი წარმოებულის ამოხსნის დიზაინი ყოველთვის იწყება ასე - ჩვენ ვსვამთ გამონათქვამს ფრჩხილებში და ვათავსებთ შტრიხს ზედა მარჯვნივ:

თავიდანიპოვნეთ წარმოებული გარე ფუნქცია(სინუსი), გადახედეთ წარმოებულთა ცხრილს ელემენტარული ფუნქციებიდა ჩვენ ვამჩნევთ ამას. ცხრილის ყველა ფორმულა ასევე გამოიყენება, თუ "x" ჩანაცვლებულია რთული გამოსახულებით, ამ შემთხვევაში:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ შიდა ფუნქცია არ შეცვლილა, არ ვეხებით.

ისე, ეს სრულიად აშკარაა

ფორმულის გამოყენების შედეგი საბოლოო სახით ასე გამოიყურება:

მუდმივი ფაქტორი ჩვეულებრივ მოთავსებულია გამოხატვის დასაწყისში:

თუ რაიმე გაუგებრობაა, დაწერეთ გამოსავალი ქაღალდზე და ხელახლა წაიკითხეთ განმარტებები.

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 3

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვწერთ:

მოდით გავარკვიოთ სად გვაქვს გარეგანი ფუნქცია და სად გვაქვს შიდა. ამისათვის ჩვენ ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზში) გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა ზე. რა უნდა გააკეთო პირველ რიგში? უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოთვალოთ რისი ტოლია ფუძე: მაშასადამე, მრავალწევრი არის შიდა ფუნქცია:

და, მხოლოდ ამის შემდეგ ხდება გაძლიერება, შესაბამისად, დენის ფუნქცია გარე ფუნქციაა:

ფორმულის მიხედვით , ჯერ უნდა იპოვოთ გარე ფუნქციის წარმოებული, ამ შემთხვევაში ხარისხი. ჩვენ ვეძებთ საჭირო ფორმულას ცხრილში: . კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ: ნებისმიერი ცხრილის ფორმულა მოქმედებს არა მხოლოდ "X", არამედ რთული გამოსახულებისთვის. ამრიგად, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგი:

კიდევ ერთხელ ხაზს ვუსვამ, რომ როდესაც ვიღებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, ჩვენი შინაგანი ფუნქცია არ იცვლება:

ახლა რჩება მხოლოდ შიდა ფუნქციის ძალიან მარტივი წარმოებულის პოვნა და შედეგის ოდნავ შეცვლა:

მაგალითი 4

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება(პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

რთული ფუნქციის წარმოებულის შესახებ თქვენი გაგების გასამყარებლად, მე მივცემ მაგალითს კომენტარების გარეშე, შევეცადოთ თავად გაერკვნენ, ახსნა სად არის გარე და სად არის შიდა ფუნქცია, რატომ წყდება ამოცანები ამ გზით?

მაგალითი 5

ა) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ბ) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 6

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ გვაქვს ფესვი და ფესვის დიფერენცირებისთვის ის ძალაუფლების სახით უნდა იყოს წარმოდგენილი. ამრიგად, ჯერ ფუნქციას მივყავართ დიფერენციაციისთვის შესაბამის ფორმაში:

ფუნქციის გაანალიზებისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ სამი წევრის ჯამი შიდა ფუნქციაა, ხოლო ძალამდე აწევა გარეგანი ფუნქციაა. ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესს :

ჩვენ კვლავ წარმოვადგენთ ხარისხს, როგორც რადიკალს (ფესვე), ხოლო შიდა ფუნქციის წარმოებულს ვიყენებთ ჯამის დიფერენცირების მარტივ წესს:

მზადაა. თქვენ ასევე შეგიძლიათ მისცეთ გამოხატულება ფრჩხილებში საერთო მნიშვნელიდა ჩაწერეთ ყველაფერი ერთ წილადად. მშვენიერია, რა თქმა უნდა, მაგრამ როცა უხერხულ გრძელ წარმოებულებს იღებთ, ჯობია არ გააკეთოთ ეს (ადვილია დაბნეულობა, არასაჭირო შეცდომის დაშვება და მასწავლებლისთვის უხერხული იქნება შემოწმება).

მაგალითი 7

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომლითაც თქვენ თვითონ გადაჭრით (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ზოგჯერ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის ნაცვლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი. , მაგრამ ასეთი გამოსავალი უჩვეულო გარყვნილებას წააგავს. აქ ტიპიური მაგალითი:

მაგალითი 8

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი , მაგრამ ბევრად უფრო მომგებიანია წარმოებულის პოვნა რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესით:

ჩვენ ვამზადებთ ფუნქციას დიფერენციაციისთვის - მინუსს გამოვიყვანთ წარმოებული ნიშნიდან და კოსინუსს ვზრდით მრიცხველში:

კოსინუსი არის შინაგანი ფუნქცია, ექსპონენტაცია გარეგანი ფუნქციაა.
გამოვიყენოთ ჩვენი წესი :

ჩვენ ვპოულობთ შიდა ფუნქციის წარმოებულს და კოსინუსს უკან ვაბრუნებთ:

მზადაა. განხილულ მაგალითში მნიშვნელოვანია, რომ არ დაიბნეთ ნიშნებში. სხვათა შორის, შეეცადეთ მოაგვაროთ იგი წესის გამოყენებით , პასუხები უნდა ემთხვეოდეს.

მაგალითი 9

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომლითაც თქვენ თვითონ გადაჭრით (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

აქამდე ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევები, როდესაც გვქონდა მხოლოდ ერთი ბუდე კომპლექსურ ფუნქციაში. პრაქტიკულ ამოცანებში ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებულები, სადაც მობუდული თოჯინების მსგავსად, ერთი მეორეში, ერთდროულად 3 ან თუნდაც 4-5 ფუნქციაა ჩასმული.

მაგალითი 10

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მოდით გავიგოთ ამ ფუნქციის დანართები. შევეცადოთ გამოვთვალოთ გამოხატულება ექსპერიმენტული მნიშვნელობის გამოყენებით. როგორ ვითვლით კალკულატორს?

ჯერ უნდა იპოვოთ, რაც ნიშნავს, რომ რკალი არის ყველაზე ღრმა ჩადგმა:

ერთის ეს რკალი მაშინ უნდა დაიწიოს კვადრატში:

და ბოლოს, ჩვენ ვზრდით შვიდს ძალამდე:

ანუ ამ მაგალითში გვაქვს სამი სხვადასხვა ფუნქციებიდა ორი ჩაშენება, რომელთაგან ყველაზე შიდა ფუნქციაა რკალი და ყველაზე გარე ფუნქცია არის ექსპონენციალური ფუნქცია.

დავიწყოთ გადაწყვეტილების მიღება

წესის მიხედვით ჯერ უნდა აიღოთ გარე ფუნქციის წარმოებული. ჩვენ ვათვალიერებთ წარმოებულთა ცხრილს და ვპოულობთ წარმოებულს ექსპონენციალური ფუნქცია: განსხვავება მხოლოდ ისაა, რომ „X“-ის ნაცვლად გვაქვს რთული გამოხატულება, რაც არ უარყოფს ამ ფორმულის მართებულობას. ასე რომ, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგი.

წარმოებული ფორმულის წარმოშობა დენის ფუნქცია(x ა-ს ხარისხზე). განიხილება წარმოებულები x-ის ფესვებიდან. სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა უმაღლესი წესრიგი. წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები.

x-ის წარმოებული a-ს ხარისხზე ტოლია x-ის ხარისხზე მინუს ერთი:
(1) .

x-ის n-ე ფესვის წარმოებული mth ხარისხთან არის:
(2) .

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა

შემთხვევა x > 0

განვიხილოთ x ცვლადის სიმძლავრის ფუნქცია a მაჩვენებლით:
(3) .
აქ a არის თვითნებური რეალური რიცხვი. ჯერ საქმე განვიხილოთ.

(3) ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად ვიყენებთ სიმძლავრის ფუნქციის თვისებებს და გარდაქმნით მას შემდეგ ფორმაში:
.

ახლა ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს გამოყენებით:
;
.
აქ .

ფორმულა (1) დადასტურებულია.

x-ის n ხარისხის ფესვის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა m ხარისხამდე

ახლა განიხილეთ ფუნქცია, რომელიც არის შემდეგი ფორმის ფესვი:
(4) .

წარმოებულის საპოვნელად, ფესვს ვაქცევთ ძალაუფლების ფუნქციად:
.
(3) ფორმულასთან შედარება ჩვენ ვხედავთ, რომ
.
მაშინ
.

ფორმულის გამოყენებით (1) ვიპოვით წარმოებულს:
(1) ;
;
(2) .

პრაქტიკაში არ არის საჭირო ფორმულის დამახსოვრება (2). ბევრად უფრო მოსახერხებელია ჯერ ფესვების გადაქცევა ძალაუფლების ფუნქციებად, შემდეგ კი მათი წარმოებულების პოვნა ფორმულის გამოყენებით (1) (იხილეთ მაგალითები გვერდის ბოლოს).

შემთხვევა x = 0

თუ , მაშინ სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება x = ცვლადის მნიშვნელობისთვის 0 . 0 ვიპოვოთ (3) ფუნქციის წარმოებული x =-ზე
.

. 0 :
.
ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ წარმოებულის განმარტებას:

ჩავანაცვლოთ x =
.
ამ შემთხვევაში წარმოებულში ვგულისხმობთ მარჯვენა ზღვარს, რომლისთვისაც .
ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ:
ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ:
აქედან ირკვევა, რომ , .
(1) .
ზე, . 0 .

ეს შედეგი ასევე მიღებულია ფორმულიდან (1):< 0

ამიტომ, ფორმულა (1) ასევე მოქმედებს x =-ისთვის
(3) .
შემთხვევა x კიდევ ერთხელ განვიხილოთ ფუნქცია (3): a მუდმივის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის ის ასევე განისაზღვრება უარყოფითი მნიშვნელობებიცვლადი x.
,
კერძოდ, დაე იყოს რაციონალური რიცხვი.

. მაშინ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შეუქცევადი წილადი: 3 სადაც m და n არის მთელი რიცხვები გარეშე 1 საერთო გამყოფი თუ n კენტია, მაშინ ძალაუფლების ფუნქცია ასევე განისაზღვრება x ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის.მაგალითად, როდესაც n =
.
და m =

გვაქვს რაციონალური ღირებულებებიმუდმივი a, რომლისთვისაც იგი განსაზღვრულია. ამისათვის წარმოვიდგინოთ x შემდეგი ფორმით:
.
მაშინ,
.
წარმოებულს ვპოულობთ წარმოებულის ნიშნის გარეთ მუდმივის მოთავსებით და რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით:

.
აქ . მაგრამ
.
მას შემდეგ
.
მაშინ
.
ანუ, ფორმულა (1) ასევე მოქმედებს:
(1) .

უმაღლესი რიგის წარმოებულები

ახლა ვიპოვოთ სიმძლავრის ფუნქციის უმაღლესი რიგის წარმოებულები
(3) .
ჩვენ უკვე ვიპოვეთ პირველი რიგის წარმოებული:
.

წარმოებულის ნიშნის გარეთ a მუდმივის აღებით, ჩვენ ვპოულობთ მეორე რიგის წარმოებულს:
.
ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მესამე და მეოთხე რიგის წარმოებულებს:
;

.

აქედან ირკვევა, რომ თვითნებური n-ე რიგის წარმოებულიაქვს შემდეგი ფორმა:
.

გაითვალისწინეთ რომ თუ არის ბუნებრივი რიცხვი , მაშინ n-ე წარმოებული მუდმივია:
.
მაშინ ყველა მომდევნო წარმოებული ტოლია ნულის:
,
ზე.

წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები

მაგალითი

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:
.

გამოსავალი

მოდით გადავიყვანოთ ფესვები ძლიერებად:
;
.
შემდეგ ორიგინალური ფუნქცია იღებს ფორმას:
.

ძალაუფლების წარმოებულების პოვნა:
;
.
მუდმივის წარმოებული არის ნული:
.

წარმოებულის პოვნის ოპერაციას დიფერენციაცია ეწოდება.

უმარტივესი (და არც ისე მარტივი) ფუნქციების წარმოებულების პოვნის ამოცანების ამოხსნის შედეგად წარმოებულის განმარტებითროგორც ნამატის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, გამოჩნდა წარმოებულების ცხრილი და ზუსტად გარკვეული წესებიდიფერენციაცია. პირველები, ვინც მუშაობდნენ წარმოებულების პოვნის სფეროში, იყვნენ ისააკ ნიუტონი (1643-1727) და გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცი (1646-1716).

ამიტომ, ჩვენს დროში, რომელიმე ფუნქციის წარმოებულის მოსაძებნად, არ არის საჭირო ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზემოაღნიშნული ლიმიტის გამოთვლა არგუმენტის ზრდასთან, არამედ საჭიროა მხოლოდ ცხრილის გამოყენება. წარმოებულები და დიფერენცირების წესები. შემდეგი ალგორითმი შესაფერისია წარმოებულის მოსაძებნად.

წარმოებულის საპოვნელად, თქვენ გჭირდებათ გამოხატვა ძირითადი ნიშნის ქვეშ მარტივი ფუნქციების დაყოფა კომპონენტებადდა განსაზღვრეთ რა ქმედებები (პროდუქტი, ჯამი, კოეფიციენტი)ეს ფუნქციები დაკავშირებულია. შემდეგი, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულებს ვხვდებით წარმოებულთა ცხრილში, ხოლო ნამრავლის წარმოებულების ფორმულებს, ჯამისა და კოეფიციენტის - დიფერენციაციის წესებში. წარმოებული ცხრილი და დიფერენციაციის წესები მოცემულია პირველი ორი მაგალითის შემდეგ.

მაგალითი 1.იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. დიფერენცირების წესებიდან ვხვდებით, რომ ფუნქციების ჯამის წარმოებული არის ფუნქციათა წარმოებულების ჯამი, ე.ი.

წარმოებულთა ცხრილიდან ვიგებთ, რომ „x“-ის წარმოებული უდრის ერთს, ხოლო სინუსის წარმოებული კოსინუსის. ჩვენ ამ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ წარმოებულთა ჯამს და ვპოულობთ წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის მდგომარეობით:

მაგალითი 2.იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ჩვენ განვასხვავებთ, როგორც იმ ჯამის წარმოებულს, რომელშიც მეორე წევრს აქვს მუდმივი კოეფიციენტი;

თუ ჯერ კიდევ ჩნდება კითხვები იმის შესახებ, თუ საიდან მოდის რაღაც, ისინი ჩვეულებრივ ირკვევა მას შემდეგ, რაც გაეცანით წარმოებულთა ცხრილს და დიფერენციაციის უმარტივეს წესებს. ჩვენ ახლა მათზე გადავდივართ.

მარტივი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი

1. მუდმივის (რიცხვის) წარმოებული. ნებისმიერი რიცხვი (1, 2, 5, 200...), რომელიც არის ფუნქციის გამოხატულებაში. ყოველთვის ნულის ტოლია. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ, რადგან ეს ძალიან ხშირად არის საჭირო
2. დამოუკიდებელი ცვლადის წარმოებული. ყველაზე ხშირად "X". ყოველთვის ერთის ტოლია. ეს ასევე მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს დიდი ხნის განმავლობაში
3. ხარისხის წარმოებული. პრობლემების გადაჭრისას, თქვენ უნდა გადააქციოთ არაკვადრატული ფესვები ძალად.
4. ცვლადის წარმოებული ძალა -1
5. წარმოებული კვადრატული ფესვი
6. სინუსის წარმოებული
7. კოსინუსის წარმოებული
8. ტანგენსის წარმოებული
9. კოტანგენტის წარმოებული
10. არქსინის წარმოებული
11. არკოზინის წარმოებული
12. არქტანგენტის წარმოებული
13. რკალის კოტანგენტის წარმოებული
14. ნატურალური ლოგარითმის წარმოებული
15. ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული
16. მაჩვენებლის წარმოებული
17. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

დიფერენცირების წესები

1. ჯამის ან სხვაობის წარმოებული
2. პროდუქტის წარმოებული
2ა. გამოხატვის წარმოებული გამრავლებული მუდმივ კოეფიციენტზე
3. კოეფიციენტის წარმოებული
4. რთული ფუნქციის წარმოებული

წესი 1.თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, შემდეგ ფუნქციები ერთსა და იმავე წერტილში დიფერენცირებადია

და

იმათ. ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული ტოლია ალგებრული ჯამიამ ფუნქციების წარმოებულები.

შედეგი. თუ ორი დიფერენცირებადი ფუნქცია განსხვავდება მუდმივი წევრით, მაშინ მათი წარმოებულები ტოლია, ე.ი.

წესი 2.თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, მაშინ მათი პროდუქტი ერთსა და იმავე წერტილში დიფერენცირებადია

და

იმათ. ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული ტოლია თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლისა და მეორის წარმოებულის ჯამს.

დასკვნა 1. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:

დასკვნა 2. რამდენიმე დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ფაქტორისა და ყველა სხვა წარმოებულის ნამრავლების ჯამს.

მაგალითად, სამი მამრავლისთვის:

წესი 3.თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადი და , მაშინ ამ დროს მათი კოეფიციენტიც დიფერენცირებადიაu/v და

იმათ. ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელის პროდუქტებსა და მრიცხველის წარმოებულსა და მნიშვნელის წარმოებულს შორის, ხოლო მნიშვნელი არის კვადრატი. ყოფილი მრიცხველი.

სად უნდა მოძებნოთ რამე სხვა გვერდებზე

რეალურ ამოცანებში პროდუქტის წარმოებულისა და კოეფიციენტის პოვნისას ყოველთვის საჭიროა ერთდროულად რამდენიმე დიფერენციაციის წესის გამოყენება, ამიტომ მეტი მაგალითიამ წარმოებულებისთვის - სტატიაში"პროდუქტის წარმოებული და ფუნქციათა კოეფიციენტი " .

კომენტარი.არ უნდა აურიოთ მუდმივი (ანუ რიცხვი), როგორც ჯამის ტერმინი და როგორც მუდმივი ფაქტორი! ტერმინის შემთხვევაში მისი წარმოებული ნულის ტოლია და შემთხვევაში მუდმივი ფაქტორიიგი ამოღებულია წარმოებული ნიშნიდან. ეს ტიპიური შეცდომა, რომელიც ხდება საწყისი ეტაპიწარმოებულების შესწავლა, მაგრამ ჩვენ გადავჭრით რამდენიმე ერთ და ორნაწილიან მაგალითს საშუალო სტუდენტიაღარ უშვებს ამ შეცდომას.

და თუ პროდუქტის ან კოეფიციენტის დიფერენცირებისას გაქვთ ტერმინი u"ვ, რომელშიც u- რიცხვი, მაგალითად, 2 ან 5, ანუ მუდმივი, მაშინ ამ რიცხვის წარმოებული იქნება ნულის ტოლი და, შესაბამისად, მთელი წევრი იქნება ნულის ტოლი (ეს შემთხვევა განიხილება მაგალითში 10).

სხვა საერთო შეცდომა- რთული ფუნქციის წარმოებულის მექანიკური ამოხსნა, როგორც მარტივი ფუნქციის წარმოებული. ამიტომაც რთული ფუნქციის წარმოებულიცალკე სტატია ეთმობა. მაგრამ ჯერ ჩვენ ვისწავლით წარმოებულების პოვნას მარტივი ფუნქციები.

გზაში, თქვენ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ გამონათქვამების გარდაქმნის გარეშე. ამისათვის შეიძლება დაგჭირდეთ სახელმძღვანელოს გახსნა ახალ ფანჯრებში. მოქმედებები ძალებითა და ფესვებითდა მოქმედებები წილადებთან.

თუ თქვენ ეძებთ ამონახსნებს წილადებისა და ფესვების წარმოებულების შესახებ, ანუ, როდესაც ფუნქცია გამოიყურება , შემდეგ მიყევით კლასს" წილადებისა და ფესვების ჯამის წარმოებული ".

თუ თქვენ გაქვთ ისეთი დავალება, როგორიცაა , მაშინ გაკვეთილი გაქვთ "მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები."

ნაბიჯ-ნაბიჯ მაგალითები - როგორ მოვძებნოთ წარმოებული

მაგალითი 3.იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის გამოხატვის ნაწილებს: მთელი გამოხატულება წარმოადგენს პროდუქტს, ხოლო მისი ფაქტორები არის ჯამები, რომელთაგან ერთ-ერთი ტერმინი შეიცავს მუდმივ ფაქტორს. ჩვენ ვიყენებთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესს: ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლების ჯამს მეორის წარმოებულის მიხედვით:

შემდეგ ვიყენებთ ჯამის დიფერენციაციის წესს: ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრულ ჯამს. ჩვენს შემთხვევაში, თითოეულ ჯამში მეორე წევრს აქვს მინუს ნიშანი. თითოეულ ჯამში ჩვენ ვხედავთ როგორც დამოუკიდებელ ცვლადს, რომლის წარმოებული უდრის ერთს, ასევე მუდმივ (რიცხვს), რომლის წარმოებულიც ნულის ტოლია. ასე რომ, "X" იქცევა ერთად, ხოლო მინუს 5 იქცევა ნულში. მეორე გამონათქვამში "x" მრავლდება 2-ზე, ამიტომ ორს ვამრავლებთ იმავე ერთეულზე, როგორც "x"-ის წარმოებული. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ წარმოებულ მნიშვნელობებს:

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნ წარმოებულებს პროდუქციის ჯამში და ვიღებთ მთელი ფუნქციის წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის პირობით:

მაგალითი 4.იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კოეფიციენტის წარმოებული. ჩვენ ვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების ფორმულას: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელისა და მრიცხველის წარმოებულსა და მრიცხველის წარმოებულს შორის. მნიშვნელი, ხოლო მნიშვნელი არის ყოფილი მრიცხველის კვადრატი. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ უკვე ვიპოვეთ მრიცხველის ფაქტორების წარმოებული მაგალითში 2. ასევე არ დაგვავიწყდეს, რომ ნამრავლი, რომელიც არის მრიცხველის მეორე ფაქტორი მიმდინარე მაგალითში, აღებულია მინუს ნიშნით:

თუ თქვენ ეძებთ ამოცანების გადაწყვეტას, რომლებშიც უნდა იპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, სადაც არის ფესვებისა და ძალების უწყვეტი გროვა, როგორიცაა, მაგალითად, , მაშინ კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება კლასში "წილადი წილადებისა და ფესვების ჯამების წარმოებული".

თუ საჭიროა მეტი გაიგოთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და სხვა წარმოებულების შესახებ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ანუ როცა ფუნქცია გამოიყურება , მაშინ გაკვეთილი თქვენთვის "მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები".

მაგალითი 5.იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ პროდუქტს, რომლის ერთ-ერთი ფაქტორია დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი, რომლის წარმოებულიც გავეცნობით წარმოებულთა ცხრილში. პროდუქტის დიფერენცირების წესის მიხედვით და ცხრილის ღირებულებაკვადრატული ფესვის წარმოებული ვიღებთ:

მაგალითი 6.იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ კოეფიციენტს, რომლის დივიდენდი არის დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი. კოეფიციენტების დიფერენცირების წესის გამოყენებით, რომელიც გავიმეორეთ და გამოვიყენეთ მე-4 მაგალითში და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ტაბულური მნიშვნელობის გამოყენებით, ვიღებთ:

მრიცხველში წილადის მოსაშორებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ.