შექმენით კოორდინატთა სისტემა სივრცეში. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა

წერტილის პოზიციის განსაზღვრა სივრცეში

ასე რომ, წერტილის პოზიცია სივრცეში შეიძლება განისაზღვროს მხოლოდ სხვა წერტილებთან მიმართებაში. წერტილი, რომლის მიმართაც განიხილება სხვა წერტილების პოზიცია, ეწოდება საცნობარო წერტილი . ჩვენ ასევე გამოვიყენებთ სხვა სახელს საცნობარო წერტილისთვის - დაკვირვების წერტილი . როგორც წესი, საცნობარო წერტილი (ან დაკვირვების წერტილი) ასოცირდება ზოგიერთთან კოორდინატთა სისტემა , რომელსაც ქვია საცნობარო სისტემა. შერჩეულ საცნობარო სისტემაში EACH წერტილის პოზიცია განისაზღვრება სამი კოორდინატით.

მარჯვენა დეკარტის (ან მართკუთხა) კოორდინატთა სისტემა

ეს კოორდინატთა სისტემა შედგება სამი ურთიერთ პერპენდიკულარული მიმართული ხაზისგან, რომელსაც ასევე უწოდებენ კოორდინატთა ღერძები , იკვეთება ერთ წერტილში (წარმოშობა). საწყისი წერტილი ჩვეულებრივ აღინიშნება ასო O-ით.

კოორდინატთა ღერძები დასახელებულია:

1. აბსცისის ღერძი – დანიშნულია როგორც OX;

2. Y ღერძი – აღინიშნება როგორც OY;

3. აპლიკაციის ღერძი – დანიშნულია როგორც OZ

ახლა ავხსნათ, რატომ ჰქვია ამ კოორდინატულ სისტემას მემარჯვენე. მოდით შევხედოთ XOY სიბრტყეს OZ ღერძის დადებითი მიმართულებიდან, მაგალითად A წერტილიდან, როგორც ნაჩვენებია სურათზე.

დავუშვათ, რომ ჩვენ ვიწყებთ OX ღერძის ბრუნვას O წერტილის გარშემო. ასე რომ, სწორ კოორდინატთა სისტემას აქვს ისეთი თვისება, რომ თუ XOY სიბრტყეს შეხედავთ დადებითი ნახევრადღერძის OZ ნებისმიერი წერტილიდან (ჩვენთვის ეს არის წერტილი A) , მაშინ OX ღერძის 90-ით მობრუნებისას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მისი დადებითი მიმართულება დაემთხვევა OY ღერძის დადებით მიმართულებას.

ეს გადაწყვეტილება მიიღეს მეცნიერულ სამყაროში, მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ მივიღოთ ის, როგორც არის.

ასე რომ, მას შემდეგ რაც გადავწყვიტეთ საცნობარო სისტემაზე (ჩვენს შემთხვევაში, მარჯვენა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა), ნებისმიერი წერტილის პოზიცია აღწერილია მისი კოორდინატების მნიშვნელობებით ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მნიშვნელობებით. ამ წერტილის პროგნოზების კოორდინატთა ღერძებზე.

ასე იწერება: A(x, y, z), სადაც x, y, z არის A წერტილის კოორდინატები.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა შეიძლება მივიჩნიოთ, როგორც სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული სიბრტყის გადაკვეთის ხაზები.

უნდა აღინიშნოს, რომ თქვენ შეგიძლიათ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ორიენტირება სივრცეში, როგორც გსურთ, და მხოლოდ ერთი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს - კოორდინატების წარმოშობა უნდა ემთხვეოდეს საცნობარო ცენტრს (ან დაკვირვების წერტილს).

სფერული კოორდინატთა სისტემა

წერტილის პოზიცია სივრცეში შეიძლება სხვაგვარად იყოს აღწერილი. დავუშვათ, რომ ჩვენ ავირჩიეთ სივრცის რეგიონი, რომელშიც მდებარეობს საცნობარო წერტილი O (ან დაკვირვების წერტილი) და ასევე ვიცით მანძილი საცნობარო წერტილიდან გარკვეულ A წერტილამდე. მოდით დავაკავშიროთ ეს ორი წერტილი სწორი ხაზით OA. . ამ ხაზს ე.წ რადიუსის ვექტორი და აღინიშნება როგორც რ. ყველა წერტილი, რომელსაც აქვს იგივე რადიუსის ვექტორული მნიშვნელობა, დევს სფეროზე, რომლის ცენტრი არის საცნობარო წერტილში (ან დაკვირვების წერტილში) და ამ სფეროს რადიუსი უდრის, შესაბამისად, რადიუსის ვექტორს.

ამრიგად, ჩვენთვის აშკარა ხდება, რომ რადიუსის ვექტორის მნიშვნელობის ცოდნა არ გვაძლევს ერთმნიშვნელოვან პასუხს ჩვენთვის საინტერესო წერტილის პოზიციის შესახებ. დაგჭირდებათ კიდევ ორი ​​კოორდინატი, რადგან წერტილის ადგილმდებარეობის ცალსახად დასადგენად, კოორდინატების რაოდენობა უნდა იყოს სამი.

შემდეგ ჩვენ ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად - ავაშენებთ ორ ორმხრივ პერპენდიკულარულ სიბრტყეს, რომელიც, ბუნებრივია, მისცემს გადაკვეთის ხაზს და ეს ხაზი იქნება უსასრულო, რადგან თავად სიბრტყეები არაფრით შემოიფარგლება. მოდით დავაყენოთ წერტილი ამ ხაზზე და დავნიშნოთ ის, მაგალითად, როგორც წერტილი O1. ახლა მოდით გავაერთიანოთ ეს O1 წერტილი სფეროს ცენტრთან - წერტილი O და ვნახოთ რა მოხდება?

და გამოდის ძალიან საინტერესო სურათი:

· ორივე თვითმფრინავი იქნება და მეორეც მთავარი თვითმფრინავები.

· ამ სიბრტყეების გადაკვეთა სფეროს ზედაპირთან აღინიშნება დიდი წრეები

· ერთ-ერთი ასეთი წრე - თვითნებურად, ჩვენ მოვუწოდებთ ეკვატორი, მაშინ სხვა წრე დაერქმევა მთავარი მერიდიანი.

· ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი ცალსახად განსაზღვრავს მიმართულებას მთავარი მერიდიანის ხაზები.

მთავარი მერიდიანის წრფის გადაკვეთის წერტილებს სფეროს ზედაპირთან M1 და M2 აღვნიშნავთ.

სფეროს ცენტრის გავლით, წერტილი O მთავარი მერიდიანის სიბრტყეში, ვხაზავთ სწორ ხაზს მთავარი მერიდიანის წრფეზე პერპენდიკულარულად. ამ სწორ ხაზს ე.წ პოლარული ღერძი .

პოლარული ღერძი გადაკვეთს სფეროს ზედაპირს ორ წერტილში, რომელსაც ეწოდება სფეროს პოლუსები.მოდით დავნიშნოთ ეს წერტილები, როგორც P1 და P2.

სივრცის წერტილის კოორდინატების განსაზღვრა

ახლა განვიხილავთ სივრცეში წერტილის კოორდინატების განსაზღვრის პროცესს და ასევე დავასახელებთ ამ კოორდინატებს. სურათის დასასრულებლად წერტილის პოზიციის დადგენისას მივუთითებთ ძირითად მიმართულებებს, საიდანაც ხდება კოორდინატების დათვლა, ასევე დადებით მიმართულებას დათვლისას.

1. დააყენეთ პოზიცია საცნობარო წერტილის (ან დაკვირვების წერტილის) სივრცეში. ავღნიშნოთ ეს წერტილი ასო O-ით.

2. ააგეთ სფერო, რომლის რადიუსი უდრის A წერტილის რადიუსის ვექტორის სიგრძეს (A წერტილის რადიუსის ვექტორი არის მანძილი O და A წერტილებს შორის). სფეროს ცენტრი მდებარეობს საცნობარო წერტილში O.

3. ვადგენთ პოზიციას ეკვატორის სიბრტყის სივრცეში და შესაბამისად მთავარი მერიდიანის სიბრტყეს. შეგახსენებთ, რომ ეს სიბრტყეები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია და ცენტრალურია.

4. ამ სიბრტყეების გადაკვეთა სფეროს ზედაპირთან ჩვენთვის განსაზღვრავს ეკვატორის წრის პოზიციას, მთავარი მერიდიანის წრის, ასევე მთავარი მერიდიანისა და პოლარული ღერძის ხაზის მიმართულებას.

5. განსაზღვრეთ პოლარული ღერძის პოლუსებისა და მთავარი მერიდიანის ხაზის პოლუსების მდებარეობა. (პოლარული ღერძის პოლუსები არის პოლარული ღერძის გადაკვეთის წერტილები სფეროს ზედაპირთან. მთავარი მერიდიანის ხაზის პოლუსები არის მთავარი მერიდიანის ხაზის გადაკვეთის წერტილები სფეროს ზედაპირთან. ).

6. A წერტილისა და პოლარული ღერძის გავლით ვაშენებთ სიბრტყეს, რომელსაც დავარქმევთ A წერტილის მერიდიანის სიბრტყეს. როდესაც ეს სიბრტყე იკვეთება სფეროს ზედაპირთან, მიიღება დიდი წრე, რომელსაც დავარქმევთ A წერტილის მერიდიანი.

7. A წერტილის მერიდიანი გადაკვეთს ეკვატორის წრეს რაღაც მომენტში, რომელსაც დავნიშნავთ როგორც E1.

8. E1 წერტილის პოზიცია ეკვატორულ წრეზე განისაზღვრება M1 და E1 წერტილებს შორის ჩასმული რკალის სიგრძით. ათვლა არის COUNTER საათის ისრის მიმართულებით. M1 და E1 წერტილებს შორის მოქცეული ეკვატორული წრის რკალს ეწოდება A წერტილის გრძედი. განედი აღინიშნება ასოთი.  .

მოდით შევაჯამოთ შუალედური შედეგები. ამ მომენტისთვის ჩვენ ვიცით სამი კოორდინატიდან ორი, რომლებიც აღწერს A წერტილის პოზიციას სივრცეში - ეს არის რადიუსის ვექტორი (r) და განედი (). ახლა ჩვენ განვსაზღვრავთ მესამე კოორდინატს. ეს კოორდინატი განისაზღვრება A წერტილის პოზიციით მის მერიდიანზე. მაგრამ საწყისი წერტილის პოზიცია, საიდანაც ხდება დათვლა, მკაფიოდ არ არის განსაზღვრული: დათვლა შეგვიძლია დავიწყოთ როგორც სფეროს პოლუსიდან (წერტილი P1), ასევე E1 წერტილიდან, ანუ მერიდიანული ხაზების გადაკვეთის ადგილიდან. A წერტილის და ეკვატორის (ან სხვა სიტყვებით - ეკვატორის ხაზიდან).

პირველ შემთხვევაში, A წერტილის პოზიციას მერიდიანზე ეწოდება POLAR DISTANCE (აღნიშნავს როგორც რ) და განისაზღვრება P1 წერტილს (ან სფეროს პოლუს წერტილს) და A წერტილს შორის შემოსაზღვრული რკალის სიგრძით. დათვლა ხორციელდება მერიდიანის ხაზის გასწვრივ P1 წერტილიდან A წერტილამდე.

მეორე შემთხვევაში, როცა უკუნთვლა ეკვატორის წრფედან არის, A წერტილის პოზიციას მერიდიანის წრფეზე ეწოდება LATITUDE (აღნიშნავს როგორც   და განისაზღვრება E1 წერტილსა და A წერტილს შორის შემოსაზღვრული რკალის სიგრძით.

ახლა საბოლოოდ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ A წერტილის პოზიცია სფერულ კოორდინატულ სისტემაში განისაზღვრება:

· სფეროს რადიუსის სიგრძე (r),

გრძედი რკალის სიგრძე (),

პოლარული მანძილის რკალის სიგრძე (p)

ამ შემთხვევაში A წერტილის კოორდინატები დაიწერება შემდეგნაირად: A(r, , p)

თუ ჩვენ ვიყენებთ სხვადასხვა საცნობარო სისტემას, მაშინ A წერტილის პოზიცია სფერულ კოორდინატულ სისტემაში განისაზღვრება შემდეგი გზით:

· სფეროს რადიუსის სიგრძე (r),

გრძედი რკალის სიგრძე (),

· გრძედის რკალის სიგრძე ()

ამ შემთხვევაში A წერტილის კოორდინატები დაიწერება შემდეგნაირად: A(r, , )

რკალების გაზომვის მეთოდები

ჩნდება კითხვა - როგორ გავზომოთ ეს რკალი? უმარტივესი და ბუნებრივი გზაა რკალების სიგრძის უშუალოდ გაზომვა მოქნილი სახაზავით და ეს შესაძლებელია, თუ სფეროს ზომა შედარებულია ადამიანის ზომასთან. მაგრამ რა უნდა გააკეთოს, თუ ეს პირობა არ დაკმაყოფილდება?

ამ შემთხვევაში, ჩვენ მივმართავთ რკალის RELATIVE სიგრძის გაზომვას. ჩვენ ავიღებთ წრეწირს სტანდარტად, ნაწილი რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს რკალი. Როგორ შემიძლია ამის გაკეთება?

თუ სივრცეში O წერტილის გავლით ვხატავთ სამ პერპენდიკულარულ სწორ ხაზს, ჩვენ მათ ვუწოდებთ, თქვენ აიღეთ ისინი მარჯვნივ, თუ ჩვენ დავნიშნავთ ცალკეულ ჭრილებს, მაშინ მივიღებთ მართკუთხა სისტემა co-or-di-nat სივრცეში. კოორ-დი-ნატ ცულებს ასე ასახელებენ: Ox - აბ-ცისის ღერძი, Oy - ან-დი-ნატ ღერძი და Oz - up-pli-cat ღერძი. კოორ-დი-ნატის მთელი სისტემა ნიშნავს ოქსიზს. ამრიგად, ჩნდება სამი co-or-di-nat-planes: Oxy, Oxz, Oyz.

აქ მოცემულია B(4;3;5) წერტილის აგების მაგალითი კოორ-დი-ნატის მართკუთხა სისტემაში (იხ. სურ. 1).

ბრინჯი. 1. B წერტილის აგება სივრცეში

პირველი co-or-di-to-ta წერტილი B არის 4, ამიტომ from-kla-dy-va-em Ox 4-ზე, მოდით გადავიდეთ პირდაპირ pa-ral-lel-მაგრამ ღერძზე Oy სანამ არ გადაიკვეთება სწორთან. ხაზი, რომელიც გადის y = 3-ზე. ამრიგად, მივიღებთ K წერტილს. ეს წერტილი დევს Oxy სიბრტყეში და აქვს K(4;3;0) კოორდინატები. ახლა თქვენ უნდა გააკეთოთ პირდაპირი პარალელი ოზის ღერძთან. და სწორი ხაზი, რომელიც გადის წერტილში up-pli-ka-toy 5 და pa-ral-lel-na dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram -ma ოქსი სიბრტყეში. მათ re-se-se-che-nii-ზე ვიღებთ საჭირო B წერტილს.

განვიხილოთ წერტილების მდებარეობა, რომლებშიც ერთი ან ორი კოეფიციენტი 0-ის ტოლია (იხ. სურ. 2).

მაგალითად, წერტილი A(3;-1;0). თქვენ უნდა გააგრძელოთ Oy ღერძი მარცხნივ -1 მნიშვნელობისკენ, იპოვოთ წერტილი 3 Ox ღერძზე და ამ მნიშვნელობებზე გამავალი ხაზების გადაკვეთაზე ვიპოვოთ წერტილი A. ამ წერტილს აქვს მიახლოებითი მნიშვნელობა 0. რაც ნიშნავს, რომ ის დევს ოქსის თვითმფრინავში.

C(0;2;0) წერტილს აქვს abs-cis-su და up-pli-ka-tu 0 - არა from-me-cha-em. ორ-დი-ნა-ტა უდრის 2-ს, რაც ნიშნავს, რომ წერტილი C დევს მხოლოდ Oy-ღერძზე, რომელიც არ არის ბრტყელი ოქსი და ოიზ.

D(-4;0;3) წერტილის გადასატანად ვაგრძელებთ Ox ღერძს უკან დასაწყისის მიღმა -4 წერტილამდე. ახლა ჩვენ აღვადგენთ ამ წერტილიდან per-pen-di-ku-lyar - სწორი, პარალელური ღერძი Oz per-re-se-che-niy-ზე სწორი, პარალელური ღერძით Ox და გადის მნიშვნელობა 3 Oz-ზე. ღერძი. ვიღებთ მიმდინარე D(-4;0;3). ვინაიდან წერტილის რიგი 0-ის ტოლია, ეს ნიშნავს, რომ წერტილი D დევს Oxz სიბრტყეში.

შემდეგი წერტილი E(0;5;-3). Or-di-na-ta წერტილები 5, a-pli-ka-ta -3, pro-vo-dim სწორი ხაზები, რომლებიც გადიან ამ მნიშვნელობებს კორესპონდენციის ღერძებზე და მათ გადაკვეთაზე ვიღებთ წერტილს E(0 ;5;-3). ამ წერტილს აქვს პირველი კოორდინაცია 0, რაც ნიშნავს, რომ ის მდებარეობს Oyz სიბრტყეში.

2. ვექტორული კოორდინატები

მოდით შევხედოთ კოორ-დი-ნატის მართკუთხა სისტემას ოქსიზის სივრცეში. მოდით შევქმნათ მართკუთხა სისტემა სივრცეში co-or-di-nat Oxyz. თითოეულ ხაზოვან ღერძზე არის ერთი ვექტორი, ანუ ვექტორი, რაღაცის სიგრძე ერთის ტოლია. ჩვენ აღვნიშნავთ ab-ciss ღერძის ერთეულ ვექტორს, or-di-nat ღერძის ერთეულ ვექტორს და up-pl-cat ღერძის ერთეულ ვექტორს (იხ. ნახ. 1). ეს ქუთუთოები გასწორებულია მარჯვენა ხელის ცულებთან, აქვთ ერთი სიგრძე და არიან or-to-go-nal-ny - წყვილებში - მაგრამ თითო-კალამი-di-ku-lyar-ny. ასეთ საუკუნეებს ეძახიან კო-ორ-დი-ნატ-ნი-მი საუკუნე-ტო-რა-მიან ბა-ზი-სომ.

ბრინჯი. 1. ქუთუთოების დაყოფა სამ კო-ორ-დი-ნატ ქუთუთოებად

აიღეთ მემის ვექტორი, მოათავსეთ იგი na-cha-lo co-or-di-nat-ში და დაშალეთ ეს ვექტორი სამ გარკვეულ პლანზე მდებარე ვექტორად - ჩიმ სხვადასხვა სიბრტყეში - საუკუნემდე ჩარჩოებში. ამისათვის მოდით ჩამოვწიოთ M წერტილის პროექცია Oxy სიბრტყეზე და ვიპოვოთ ვექტორების კოორდინაცია და. Მოდი ვჭამოთ: . თითოეულ ამ საუკუნეს ცალ-ცალკე ვუყურებთ. ვექტორი დევს Ox ღერძზე, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორის რიცხვზე გამრავლების თვისების მიხედვით, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც რაღაც x რიცხვი ცოლ-ტო-კო-ორ-დი-ნატ-ნი ვექტორ-ტორი. , და ქუთუთოს სიგრძე ზუსტად x ჯერ მეტია სიგრძეზე . იგივეს ვაკეთებთ ქუთუთოებთან და ქუთუთოებს ვყოფთ სამ კო-ორ-დი-ნატ ქუთუთოებად - რძამდე:

მოწოდებულია x, y და z-ის ამ განაწილების კოეფიციენტები კო-ორ-დი-ნა-ტა-მი საუკუნე-რა სივრცეში.

განვიხილოთ პირველყოფილი პრინციპები, რომლებიც პოზირებენ-ინ-ლა-იუტს მოცემული საუკუნეების co-or-di-on-ის მიხედვით-თხრილები, რათა იპოვოთ co-or-di-na- თქვენ ხართ მათი ჯამები და განსხვავებები, როგორც ასევე მოცემული საუკუნის co-or-di-na-you pro-iz-ve-de-niya მოცემული რიცხვისთვის.

1) დამატება:

2) You-chi-ta-nie:

3) რიცხვზე გამრავლება: ,

ვექტორი, na-cha-lo ko-ro-go ემთხვევა na-cha-lom ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya. რადიუსი-საუკუნე-რომი.(ნახ. 2). ვექტორი - ra-di-us-ვექტორი, სადაც x, y და z არის ამ ვექტორის განაწილების კოეფიციენტები co-or -di-nat-nym საუკუნე-რამის მიხედვით, , . ამ შემთხვევაში, x არის A წერტილის პირველი კოოპერატივი Ox ღერძზე, y არის B წერტილის თანამონაწილეობა Oy ღერძზე, z არის co-op -di-na-ta წერტილი C Oz ღერძზე. . სურათიდან ირკვევა, რომ კო-ორ-დი-ნა-შენ რა-დი-უს-ვეკ-ტო-რა ერთჯერადად-მაგრამ-ჯერ-სია კო-ორ-დი-ონ-თატ-მი მიუთითებს მ.

ავიღოთ წერტილი A(x1;y1;z1) და წერტილი B(x2;y2;z2) (იხ. სურ. 3). ჩვენ წარმოვიდგენთ ვექტორს, როგორც განსხვავებას საუკუნესა და საუკუნეს შორის. უფრო მეტიც, და - რა-დი-უს-ვე-რი-რი, და მათი კოორ-დი-ნა-იუ თანამშრომლობთ ამ საუკუნეების კოორ-დი-ნა-ტა-მი კონ-ცოვთან. მაშინ კოორ-დი-ნა-შენ საუკუნეს შეგვიძლია წარმოვადგინოთ როგორც განსხვავება კოორ-დი-ნატ საუკუნეებს შორის და: . ამ გზით, co-or-di-na-you საუკუნე-მდე-რა, ჩვენ შეგვიძლია განვავითაროთ co-or-di-na-you end და na-cha-la საუკუნე-თავ-რა .

მოდით შევხედოთ მაგალითებს, რომლებიც ასახავს საუკუნეების თვისებებს და მათ გამოხატვას co-or-di-na-you-ის საშუალებით. აიღე საუკუნის მემი, , . საუკუნეს გვთხოვენ. ამ შემთხვევაში, ამის პოვნა ნიშნავს საუკუნის კოორ-დი-ნა-შენის პოვნას, რომელიც მთლიანად განსაზღვრავს მას. მათი თანაპასუხისმგებლობის ნაცვლად ასსაუკუნოვანი თანაპასუხისმგებლობის ნაცვლად. Მოდი ვჭამოთ:

ახლა ჩვენ ვამრავლებთ რიცხვს 3 ფრჩხილებში თითოეულ co-or-di-on-ზე და იგივე ვაკეთებთ 2-ს:

ჩვენ მივიღეთ სამი საუკუნის ჯამი, ვინახავთ მათ ზემოთ შესწავლილი ქონების მიხედვით:

პასუხი:

მაგალითი No2.

მოცემულია: სამკუთხა pi-ra-mi-da AOBC (იხ. სურ. 4). თვითმფრინავები AOB, AOC და OCB წყვილებშია, მაგრამ თითო-კალამი-დი-კუ-ლიარ-ნი. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - ნაცრისფერი C.B.

იპოვეთ: ,,,,,,,.

ამოხსნა: შემოვიღოთ co-or-di-nat Oxyz-ის მართკუთხა სისტემა, საწყისი წერტილით O წერტილში. პირობით ვიცით წერტილები A, B და C ღერძებზე და se-re-di-ny კიდეებზე. პი-რა-მი-დი - M, P და N. ფიგურის მიხედვით -di-na-you vert-shin pi-ra-mi-dy: A(3;0;0), B(0;7; 0), C(0;0;4).

სივრცეში, სადაც წერტილის პოზიცია შეიძლება განისაზღვროს, როგორც მისი პროექცია ერთ წერტილზე გადაკვეთილ ფიქსირებულ ხაზებზე, რომელსაც ეწოდება საწყისი. ამ პროექციებს წერტილის კოორდინატები ეწოდება, ხოლო სწორ ხაზებს კოორდინატთა ღერძები.

ზოგადად, სიბრტყეზე, დეკარტის კოორდინატთა სისტემა (აფინური კოორდინატთა სისტემა) მითითებულია O წერტილით (დასაწყისი) და მასზე მიმაგრებული ვექტორების e 1 და e 2 (ძირითადი ვექტორები) მოწესრიგებული წყვილი, რომლებიც არ დევს. იმავე ხაზზე. სწორ ხაზებს, რომლებიც გადიან საწყისზე საბაზისო ვექტორების მიმართულებით, ეწოდება მოცემული დეკარტის კოორდინატთა სისტემის კოორდინატულ ღერძებს. პირველს, რომელიც განსაზღვრულია ვექტორით e 1, ეწოდება აბსცისის ღერძი (ან Ox ღერძი), მეორე არის ორდინატთა ღერძი (ან Oy ღერძი). თავად დეკარტის კოორდინატთა სისტემა აღინიშნება Oe 1 e 2 ან Oxy. M წერტილის დეკარტის კოორდინატებს (სურათი 1) დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში Oe 1 e 2 ეწოდება რიცხვების მოწესრიგებულ წყვილს (x, y), რომლებიც წარმოადგენს OM ვექტორის გაფართოების კოეფიციენტებს საფუძვლის გასწვრივ (e 1, e 2), ანუ x და y ისეთია, რომ OM = xe 1 + ue 2. რიცხვი x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

თუ ორი დეკარტის კოორდინატთა სისტემა Oe 1 e 2 და 0'e' 1 e' 2 შეყვანილია სიბრტყეზე ისე, რომ საბაზისო ვექტორები (e' 1, e' 2) გამოიხატება საბაზისო ვექტორებით (e 1, e 2) ფორმულებით

e' 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e' 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2

და O' წერტილს აქვს კოორდინატები (x 0, y 0) დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში Oe 1 e 2, შემდეგ M წერტილის კოორდინატები (x, y) დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში Oe 1 e2 და კოორდინატები (x'). , y') იგივე წერტილის დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში O'e 1 e' 2 დაკავშირებულია მიმართებებით

x = a 11 x' + a 21 y' + x 0, y = a 12 x'+ a 22 y'+ y 0.

დეკარტის კოორდინატთა სისტემას მართკუთხა ეწოდება, თუ საფუძველი (e 1, e 2) ორთონორმულია, ანუ ვექტორები e 1 და e 2 ერთმანეთის პერპენდიკულურია და აქვთ ერთის ტოლი სიგრძე (ვექტორებს e 1 და e 2 ეწოდება ორტები ამ შემთხვევაში). მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში, M წერტილის x და y კოორდინატები არის M წერტილის ორთოგონალური პროგნოზების მნიშვნელობები Ox და Oy ღერძებზე, შესაბამისად. მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში Oxy, მანძილი M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2) წერტილებს შორის უდრის √(x 2 - x 1) 2 + (y 2 -y 1). ) 2

ერთი მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემიდან Oxy მეორე მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაზე გადასვლის ფორმულები O'x'y', რომლის დასაწყისი Oxy დეკარტის კოორდინატთა სისტემის O' არის O'(x0, y0), აქვს ფორმა.

x = x’cosα - y’sinα + x 0, y = x’sin α + y’cosα + y 0

x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.

პირველ შემთხვევაში O'x'y' სისტემა იქმნება საბაზისო ვექტორების e 1 როტაციით; e 2 α კუთხით და O კოორდინატების საწყისის შემდგომი გადატანა O წერტილამდე (სურათი 2),

ხოლო მეორე შემთხვევაში - e 1, e 2 საბაზისო ვექტორების როტაციით α კუთხით, ე 2 ვექტორის შემცველი ღერძის შემდგომი ასახვით e 1 ვექტორის მატარებელ სწორ ხაზთან და O საწყისი O წერტილში გადატანით. (სურათი 3).

ზოგჯერ გამოიყენება ირიბი დეკარტის კოორდინატთა სისტემები, რომლებიც განსხვავდებიან მართკუთხასგან იმით, რომ კუთხე ერთეულის საფუძვლის ვექტორებს შორის არ არის სწორი.

ზოგადი დეკარტის კოორდინატთა სისტემა (აფინური კოორდინატთა სისტემა) სივრცეში ანალოგიურად არის განსაზღვრული: მითითებულია წერტილი O - კოორდინატების წარმოშობა და მასზე მიმაგრებული ვექტორების არის 1, е 2, е 3 (ძირითადი ვექტორები) მოწესრიგებული სამეული. იმავე თვითმფრინავში. როგორც სიბრტყის შემთხვევაში, განისაზღვრება კოორდინატთა ღერძები - აბსცისის ღერძი (Ox ღერძი), ორდინატთა ღერძი (Oy ღერძი) და აპლიკაციური ღერძი (Oz ღერძი) (სურათი 4).

სივრცეში დეკარტის კოორდინატთა სისტემა აღინიშნება Oe 1 e 2 e 3 (ან Oxyz). სიბრტყეებს, რომლებიც გადიან კოორდინატთა ღერძების წყვილს, ეწოდება კოორდინატულ სიბრტყეებს. დეკარტის კოორდინატთა სისტემას სივრცეში ეწოდება მემარჯვენე, თუ ბრუნვა Ox-ის ღერძიდან Oy ღერძამდე ხდება საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგო მიმართულებით, როდესაც Oxy-ის სიბრტყეს ვუყურებთ დადებითი ნახევრადღერძის Oz-ზე , დეკარტის კოორდინატთა სისტემას მემარცხენე ეწოდება. თუ საბაზისო ვექტორებს e 1, e 2, e 3 აქვთ ერთის ტოლი სიგრძე და წყვილი პერპენდიკულარულია, მაშინ დეკარტის კოორდინატთა სისტემას მართკუთხა ეწოდება. ერთი მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის პოზიცია სივრცეში მეორე მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის მიმართ იგივე ორიენტაციის მქონე, განისაზღვრება ეილერის სამი კუთხით.

დეკარტის კოორდინატთა სისტემა რ.დეკარტის სახელს ატარებს, თუმცა მის ნაშრომში „გეომეტრია“ (1637 წ.) განიხილებოდა ირიბი კოორდინატთა სისტემა, რომელშიც წერტილების კოორდინატები შეიძლებოდა მხოლოდ დადებითი იყოს. 1659-61 წლების გამოცემაში ჰოლანდიელი მათემატიკოსის I. Gudde-ს ნაშრომი დაერთო გეომეტრიას, რომელშიც პირველად დაშვებული იყო როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი კოორდინატთა მნიშვნელობები. სივრცითი დეკარტის კოორდინატთა სისტემა შემოიღო ფრანგმა მათემატიკოსმა ფ.ლაჰირმა (1679). XVIII საუკუნის დასაწყისში დამკვიდრდა აღნიშვნები x, y, z დეკარტის კოორდინატებისთვის.

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის აგება

ზედაპირზე

სიბრტყეში დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა იქმნება ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული კოორდინატთა ღერძით ოქსი 1 და ოქსი 2 , რომლებიც იკვეთება წერტილში ოკოორდინატების წარმოშობას უწოდებენ (ნახ. 1). თითოეულ ღერძზე არჩეულია დადებითი მიმართულება, რომელიც მითითებულია ისრებით და ღერძებზე სეგმენტების საზომი ერთეული. ერთეულები, როგორც წესი, ერთნაირია ყველა ღერძისთვის (რაც სავალდებულო არ არის). IN მარჯვენა მხარესკოორდინატთა სისტემა, ღერძების დადებითი მიმართულება არჩეულია ისე, რომ როდესაც ღერძი მიმართულია ოქსი 2 ზევით, ღერძი ოქსი 1 მარჯვნივ გაიხედა. ოქსი 1 -- აბსცისის ღერძი, ოქსი 2 -- ორდინატთა ღერძი. კოორდინატთა ღერძებით ჩამოყალიბებული ოთხი კუთხე (I, II, III, IV). ოქსი 1 და ოქსი 2 , ეწოდება კოორდინატთა კუთხეები ან კვადრატები.

Წერტილი ბ აკოორდინატთა ღერძამდე ოქსი 1 ;

Წერტილი C- წერტილის ორთოგონალური პროექცია აკოორდინატთა ღერძამდე ოქსი 2 ;

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის აგება კოსმოსში

კარტეზიული მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სივრცეში ჩამოყალიბებულია სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული კოორდინატთა ღერძით. ოქსი, OYდა OZ. კოორდინატთა ღერძები იკვეთება წერტილში ო, რომელსაც კოორდინატების წარმოშობას უწოდებენ, თითოეულ ღერძზე არჩეულია დადებითი მიმართულება, რომელიც მითითებულია ისრებით და ღერძებზე სეგმენტების საზომი ერთეული. ერთეულები, როგორც წესი, ერთნაირია ყველა ღერძისთვის (რაც სავალდებულო არ არის). ოქსი-- აბსცისის ღერძი, OY-- ორდინატთა ღერძი, OZ-- აპლიკატორის ღერძი.

თუ მარჯვენა ხელის ცერა თითი მიიღება მიმართულებად X, ინდექსი - მიმართულებისთვის იხოლო შუა არის მიმართულებისთვის ზ, შემდეგ იქმნება უფლებაკოორდინატთა სისტემა. მარცხენა ხელის მსგავსი თითები ქმნიან მარცხენა კოორდინატთა სისტემას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ღერძების დადებითი მიმართულება არჩეულია ისე, რომ როდესაც ღერძი ბრუნავს ოქსისაათის ისრის საწინააღმდეგოდ 90°-ით მისი დადებითი მიმართულება ემთხვევა ღერძის დადებით მიმართულებას OY, თუ ეს ბრუნვა შეინიშნება ღერძის დადებითი მიმართულებიდან OZ. შეუძლებელია მარჯვენა და მარცხენა კოორდინატთა სისტემების გაერთიანება ისე, რომ შესაბამისი ღერძები დაემთხვეს (ნახ. 2). Წერტილი ფ- წერტილის ორთოგონალური პროექცია აკოორდინატულ სიბრტყემდე OXY;Წერტილი ე- წერტილის ორთოგონალური პროექცია აკოორდინატულ სიბრტყემდე OYZ;Წერტილი გ- წერტილის ორთოგონალური პროექცია აკოორდინატულ სიბრტყემდე ოქსი ზ ;

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის განლაგების წარმოდგენა კოსმოსში ნაჩვენებია სურათებში 3, 4 და 5.

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წერტილის კოორდინატების განსაზღვრა

ნებისმიერი კოორდინატთა სისტემის მთავარი კითხვა არის მის სიბრტყეში ან სივრცეში მდებარე წერტილის კოორდინატების განსაზღვრის საკითხი.

სიბრტყეზე დეკარტის კოორდინატთა სისტემის წერტილის კოორდინატების განსაზღვრა

წერტილის პოზიცია ათვითმფრინავში განისაზღვრება ორი კოორდინატი - x და წ (ნახ. 5). კოორდინაცია x სეგმენტის სიგრძის ტოლი ო.ბ., კოორდინაცია წ -- სეგმენტის სიგრძე ო.კ.შერჩეულ საზომ ერთეულებში. სეგმენტები ო.ბ.და ო.კ.განისაზღვრება წერტილიდან გამოყვანილი ხაზებით აცულების პარალელურად OYდა ოქსიშესაბამისად. კოორდინაცია x აბსცისა (ლათ. აბსცისა- სეგმენტი), კოორდინატი წ -- ორდინატი (ლათ. ორდინატებს- განლაგებულია თანმიმდევრობით) ქულები ა. დაწერე ასე:

თუ წერტილი ადევს I კოორდინატთა კუთხეში, მაშინ მას აქვს დადებითი აბსციზა და ორდინატი. თუ წერტილი ადევს კოორდინატთა კუთხეში II, შემდეგ არის უარყოფითი აბსცისა და დადებითი ორდინატი. თუ წერტილი ადევს კოორდინატთა კუთხეში III, მაშინ მას აქვს უარყოფითი აბსციზა და ორდინატი. თუ წერტილი ადევს კოორდინატთა კუთხეში IV, შემდეგ არის დადებითი აბსცისა და უარყოფითი ორდინატი.

ასე დგინდება კოორდინატები სიბრტყეზე დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში.

კოორდინატთა მეთოდი, რა თქმა უნდა, ძალიან კარგია, მაგრამ რეალურ C2 ამოცანებში არ არის კოორდინატები და ვექტორები. ამიტომ მათი დანერგვა მოუწევს. დიახ, დიახ, აიღეთ ასე და შეიყვანეთ: მიუთითეთ x, y და z ღერძების საწყისი, ერთეული სეგმენტი და მიმართულება.

ამ მეთოდის ყველაზე თვალსაჩინო თვისება ის არის, რომ არ აქვს მნიშვნელობა, ზუსტად როგორ არის შეყვანილი კოორდინატთა სისტემა. თუ ყველა გამოთვლა სწორია, მაშინ პასუხი სწორი იქნება.

კუბის კოორდინატები

თუ პრობლემა C2 შეიცავს კუბს, ჩათვალეთ, რომ იღბლიანი ხართ. ეს არის უმარტივესი პოლიედონი, რომლის ყველა ორმხრივი კუთხე უდრის 90°-ს.

კოორდინატთა სისტემა ასევე ძალიან მარტივია შეყვანისთვის:

1. კოორდინატების წარმოშობა არის A წერტილში;
2. ყველაზე ხშირად, კუბის კიდე არ არის მითითებული, ამიტომ მას ვიღებთ ერთეულ სეგმენტად;
3. x ღერძი მიმართულია AB კიდის გასწვრივ, y - AD კიდის გასწვრივ და z ღერძი - AA 1 კიდის გასწვრივ.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: z-ღერძი მიმართულია ზემოთ! ორგანზომილებიანი კოორდინატთა სისტემის შემდეგ, ეს გარკვეულწილად უჩვეულოა, მაგრამ სინამდვილეში ძალიან ლოგიკურია.

ახლა კუბის თითოეულ წვეროს აქვს კოორდინატები. მოდით შევკრიბოთ ისინი ცხრილში - ცალკე კუბის ქვედა სიბრტყისთვის:

ადვილი შესამჩნევია, რომ ზედა სიბრტყის წერტილები ქვედა სიბრტყის შესაბამისი წერტილებისგან განსხვავდება მხოლოდ z კოორდინატში. მაგალითად, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). მთავარია არ დაიბნეთ!

პრიზმა უკვე ბევრად უფრო სახალისოა. სწორი მიდგომით, საკმარისია მხოლოდ ქვედა ბაზის კოორდინატების ცოდნა - ზედა გამოითვლება ავტომატურად.

C2 ამოცანები მოიცავს ექსკლუზიურად რეგულარულ სამკუთხედ პრიზმებს (სწორი პრიზები მათ ფუძეზე რეგულარული სამკუთხედით). მათთვის კოორდინატთა სისტემა შემოღებულია თითქმის ისევე, როგორც კუბისთვის. სხვათა შორის, თუ ვინმემ არ იცის, კუბიც პრიზმაა, მხოლოდ ოთხკუთხედი.

მაშ, წავიდეთ! წარმოგიდგენთ კოორდინატთა სისტემას:

1. კოორდინატების წარმოშობა არის A წერტილში;
2. ჩვენ ვიღებთ პრიზმის მხარეს, როგორც ცალკეულ სეგმენტს, თუ სხვა რამ არ არის მითითებული პრობლემის დებულებაში;
3. ჩვენ მივმართავთ x ღერძს AB კიდის გასწვრივ, z - AA 1 კიდის გასწვრივ და ვდებთ y ღერძს ისე, რომ OXY სიბრტყე ემთხვევა საბაზისო სიბრტყეს ABC.

აქ საჭიროა გარკვეული განმარტება. ფაქტია, რომ y ღერძი არ ემთხვევა AC ზღვარს, როგორც ბევრს სჯერა. რატომ არ ემთხვევა? დაფიქრდით: ABC სამკუთხედი ტოლგვერდაა, ყველა კუთხე 60°-ია. და კოორდინატთა ღერძებს შორის კუთხეები უნდა იყოს 90°, ასე რომ, ზემოთ მოცემული სურათი ასე გამოიყურება:

იმედი მაქვს, ახლა გასაგებია, რატომ არ წავა y ღერძი AC-ის გასწვრივ. მოდით დავხატოთ CH სიმაღლე ამ სამკუთხედში. სამკუთხედი ACH არის მართკუთხა სამკუთხედი და AC = 1, ამიტომ AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = sin 60°. ეს ფაქტები საჭიროა C წერტილის კოორდინატების გამოსათვლელად.

ახლა მოდით შევხედოთ მთელ პრიზმას აგებულ კოორდინატულ სისტემასთან ერთად:

ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს:

როგორც ვხედავთ, პრიზმის ზედა ფუძის წერტილები ისევ ქვედას შესაბამისი წერტილებისგან მხოლოდ z კოორდინატით განსხვავდება. მთავარი პრობლემა არის C და C 1 წერტილები. მათ აქვთ ირაციონალური კოორდინატები, რომლებიც უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ. კარგად, ან გაიგე საიდან მოდიან.

ექვსკუთხა პრიზმის კოორდინატები

ექვსკუთხა პრიზმა არის "კლონირებული" სამკუთხა. თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ, თუ როგორ ხდება ეს, თუ დააკვირდებით ქვედა ფუძეს - მოდით დავარქვათ მას ABCDEF. ჩავატაროთ დამატებითი კონსტრუქციები: AD, BE და CF სეგმენტები. შედეგი არის ექვსი სამკუთხედი, რომელთაგან თითოეული (მაგალითად, სამკუთხედი ABO) არის სამკუთხედი პრიზმის საფუძველი.

ახლა წარმოვიდგინოთ თავად კოორდინატთა სისტემა. კოორდინატების საწყისი - წერტილი O - განთავსდება ABCDEF ექვსკუთხედის სიმეტრიის ცენტრში. x ღერძი გაივლის FC-ს გასწვრივ, ხოლო y ღერძი გაივლის AB და DE სეგმენტების შუა წერტილებს. ჩვენ ვიღებთ ამ სურათს:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: წარმოშობა არ ემთხვევა პოლიედრონის წვეროს! სინამდვილეში, რეალური პრობლემების გადაჭრისას, აღმოაჩენთ, რომ ეს ძალიან მოსახერხებელია, რადგან მას შეუძლია მნიშვნელოვნად შეამციროს გამოთვლების რაოდენობა.

რჩება მხოლოდ z ღერძის დამატება. ტრადიციის მიხედვით ვხატავთ მას OXY სიბრტყის პერპენდიკულარულად და ვერტიკალურად ზევით მივმართავთ. ჩვენ ვიღებთ საბოლოო სურათს:

ახლა ჩამოვწეროთ წერტილების კოორდინატები. დავუშვათ, რომ ჩვენი რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის ყველა კიდე უდრის 1-ს. ასე რომ, ქვედა ფუძის კოორდინატებია:

ზედა ფუძის კოორდინატები გადაადგილებულია ერთით z ღერძის გასწვრივ:

პირამიდა ზოგადად ძალიან მკაცრია. ჩვენ გავაანალიზებთ მხოლოდ უმარტივეს შემთხვევას - ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდას, რომლის ყველა კიდე ერთის ტოლია. თუმცა, რეალურ C2 ამოცანებში, კიდეების სიგრძე შეიძლება განსხვავდებოდეს, ამიტომ კოორდინატების გამოთვლის ზოგადი სქემა მოცემულია ქვემოთ.

ასე რომ, ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პირამიდა. ეს იგივეა, რაც კეოპსი, მხოლოდ ოდნავ პატარა. ავღნიშნოთ ის SABCD, სადაც S არის წვერო. შემოვიღოთ კოორდინატთა სისტემა: საწყისი არის A წერტილში, ერთეული სეგმენტი AB = 1, x ღერძი მიმართულია AB-ის გასწვრივ, y ღერძი მიმართულია AD-ზე და z ღერძი მიმართულია ზემოთ, OXY სიბრტყის პერპენდიკულარულად. . შემდგომი გამოთვლებისთვის, ჩვენ გვჭირდება სიმაღლე SH - ასე რომ, ჩვენ ავაშენებთ მას. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ სურათს:

ახლა ვიპოვოთ წერტილების კოორდინატები. პირველი, მოდით შევხედოთ OXY თვითმფრინავს. აქ ყველაფერი მარტივია: საფუძველი არის კვადრატი, მისი კოორდინატები ცნობილია. პრობლემები წარმოიქმნება S წერტილთან. ვინაიდან SH არის სიმაღლე OXY სიბრტყის მიმართ, წერტილები S და H განსხვავდება მხოლოდ z კოორდინატში. სინამდვილეში, SH სეგმენტის სიგრძე არის z კოორდინატი S წერტილისთვის, ვინაიდან H = (0.5; 0.5; 0).

გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხედები ABC და ASC ტოლია სამ მხარეს (AS = CS = AB = CB = 1 და გვერდი AC საერთოა). ამიტომ SH = BH. მაგრამ BH არის ABCD კვადრატის დიაგონალის ნახევარი, ე.ი. BH = AB sin 45°. ჩვენ ვიღებთ ყველა წერტილის კოორდინატებს:

ეს ყველაფერი პირამიდის კოორდინატებით. მაგრამ არა კოორდინატებით. ჩვენ შევხედეთ მხოლოდ ყველაზე გავრცელებულ პოლიედრებს, მაგრამ ეს მაგალითები საკმარისია ნებისმიერი სხვა ფიგურის კოორდინატების დამოუკიდებლად გამოსათვლელად. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია, ფაქტობრივად, გადავიდეთ კონკრეტული პრობლემების გადაჭრის მეთოდებზე C2.