ექსპონენციალური ფუნქცია. ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობა

1. ექსპონენციალური ფუნქცია არის y(x) = a x ფორმის ფუნქცია, x მაჩვენებლის მიხედვით, a ხარისხის ფუძის მუდმივი მნიშვნელობით, სადაც a > 0, a ≠ 0, xϵR (R არის რეალური რიცხვების ნაკრები).

განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკი, თუ ფუძე არ აკმაყოფილებს პირობას: a>0
აა< 0
Თუ< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2

თუ a = 0, ფუნქცია y = არის განსაზღვრული და აქვს მუდმივი მნიშვნელობა 0

გ) a =1
თუ a = 1, ფუნქცია y = არის განსაზღვრული და აქვს მუდმივი მნიშვნელობა 1

2. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ექსპონენციალურ ფუნქციას:

0

ფუნქციის დომენი (DOF)

დასაშვები ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი (APV)

3. ფუნქციის ნულები (y = 0)

4. გადაკვეთის წერტილები ორდინატთა ღერძთან oy (x = 0)

5. მზარდი, კლებადი ფუნქციები

თუ , მაშინ f(x) ფუნქცია იზრდება
თუ , მაშინ f(x) ფუნქცია მცირდება
ფუნქცია y=, 0-ზე ფუნქცია y =, a> 1-ისთვის, მონოტონურად იზრდება
ეს გამომდინარეობს რეალური მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ერთფეროვნების თვისებებიდან.

6. ლუწი, კენტი ფუნქცია

ფუნქცია y = არ არის სიმეტრიული 0y ღერძის მიმართ და კოორდინატების საწყისის მიმართ, ამიტომ ის არც ლუწია და არც კენტი. (ზოგადი ფუნქცია)

7. ფუნქციას y = არ აქვს უკიდურესი

8. ხარისხის თვისებები რეალური მაჩვენებლით:

მოდით a > 0; a≠1
ბ> 0; b≠1

შემდეგ xϵR-სთვის; yϵR:

ხარისხის ერთფეროვნების თვისებები:

თუ, მაშინ
Მაგალითად:

თუ a> 0, მაშინ.
ექსპონენციალური ფუნქცია უწყვეტია ნებისმიერ წერტილში ϵ R.

9. ფუნქციის შედარებითი პოზიცია

რაც უფრო დიდია ფუძე a, მით უფრო ახლოსაა x და oy ღერძებთან

a > 1, a = 20

თუ a0, მაშინ ექსპონენციალური ფუნქცია იღებს y = 0-თან ახლოს ფორმას.
თუ a1, მაშინ ox და oy ღერძებიდან უფრო შორს და გრაფიკი იღებს y = 1 ფუნქციასთან მიახლოებულ ფორმას.

მაგალითი 1.
შექმენით y = გრაფიკი

ყურადღების კონცენტრაცია:

განმარტება. ფუნქცია სახეობას უწოდებენ ექსპონენციალური ფუნქცია .

კომენტარი. გამორიცხვა საბაზისო მნიშვნელობებისგან ანომრები 0; 1 და უარყოფითი მნიშვნელობები ააიხსნება შემდეგი გარემოებებით:

თავად ანალიტიკური გამოხატულება ნაჯახიამ შემთხვევაში, ის ინარჩუნებს თავის მნიშვნელობას და შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრობლემების გადაჭრაში. მაგალითად, გამოხატვისთვის x წწერტილი x = 1; წ = 1 არის მისაღები მნიშვნელობების ფარგლებში.

ფუნქციების გრაფიკების აგება: და.

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი
y=ა x, a > 1	y=ა x , 0< a < 1

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები	y=ა x, a > 1	y=ა x , 0< a < 1
ფუნქციის დომენი
2. ფუნქციის დიაპაზონი
3. ერთეულთან შედარების ინტერვალები	ზე x> 0, ა x > 1	ზე x > 0, 0< a x < 1
	ზე x < 0, 0< a x < 1	ზე x < 0, a x > 1
4. ლუწი, კენტი.	ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი (ზოგადი ფორმის ფუნქცია).
5.ერთფეროვნება.	მონოტონურად იზრდება რ	მონოტონურად მცირდება რ
6. უკიდურესობები.	ექსპონენციალურ ფუნქციას არ აქვს ექსტრემები.
7.ასიმპტოტი	O-ღერძი xარის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.
8. ნებისმიერი რეალური ღირებულებებისთვის xდა წ;

ცხრილის შევსებისას ამოცანები წყდება შევსების პარალელურად.

დავალება No1. (ფუნქციის განსაზღვრის დომენის პოვნა).

რა არგუმენტების მნიშვნელობები მოქმედებს ფუნქციებისთვის:

დავალება No2. (ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონის საპოვნელად).

სურათზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი. მიუთითეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი და მნიშვნელობების დიაპაზონი:

დავალება No 3. (ერთთან შედარების ინტერვალების მითითება).

შეადარეთ თითოეული შემდეგი ძალა ერთთან:

დავალება No 4. (ფუნქციის შესწავლა ერთფეროვნებისთვის).

შეადარეთ რეალური რიცხვები ზომის მიხედვით მდა ნთუ:

დავალება No5. (ფუნქციის შესწავლა ერთფეროვნებისთვის).

გამოიტანე დასკვნა საფუძვლებთან დაკავშირებით ა, თუ:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x

როგორ არის ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები ერთმანეთთან შედარებით x > 0, x = 0, x< 0?

შემდეგი ფუნქციის გრაფიკები გამოსახულია ერთ კოორდინატულ სიბრტყეში:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x.

როგორ არის ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები ერთმანეთთან შედარებით x > 0, x = 0, x< 0?

ნომერი ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მუდმივი მათემატიკაში. განმარტებით, ის მიმდევრობის ზღვრის ტოლი შეუზღუდავად იზრდება n . Დანიშნულება ეშევიდა ლეონარდ ეილერი 1736 წელს. მან გამოთვალა ამ რიცხვის პირველი 23 ციფრი ათწილადის აღნიშვნით და თავად რიცხვს ნაპიერის პატივსაცემად ეწოდა "არაპიერის რიცხვი". ნომერი ეგანსაკუთრებულ როლს თამაშობს მათემატიკურ ანალიზში. ექსპონენციალური ფუნქცია ბაზით ე, ე.წ და დანიშნულია y = e x. პირველი ნიშნები ნომრები ეადვილად დასამახსოვრებელი: ორი, მძიმე, შვიდი, ლეო ტოლსტოის დაბადების წელი - ორჯერ, ორმოცდახუთი, ოთხმოცდაათი, ორმოცდახუთი.

Საშინაო დავალება:

კოლმოგოროვი გვ 35; No445-447; 451; 453.

გაიმეორეთ მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი ფუნქციების გრაფიკების აგების ალგორითმი.

ექსპონენტური და ლოგარითმული ფუნქციები VIII

§ 179 ექსპონენციალური ფუნქციის ძირითადი თვისებები

ამ განყოფილებაში შევისწავლით ექსპონენციალური ფუნქციის ძირითად თვისებებს

y = a x (1)

გავიხსენოთ, რომ ქვეშ ა ფორმულაში (1) ვგულისხმობთ ნებისმიერ ფიქსირებულ დადებით რიცხვს, გარდა 1-ისა.

საკუთრება 1. ექსპონენციალური ფუნქციის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.

ფაქტობრივად, პოზიტივით ა გამოხატულება ა x განსაზღვრულია ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის X .

საკუთრება 2. ექსპონენციალური ფუნქცია იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს.

მართლაც, თუ X > 0, მაშინ, როგორც დადასტურდა § 176,

ა x > 0.

თუ X <. 0, то

ა x =

სად - X უკვე ნულზე მეტი. Ამიტომაც A - x > 0. მაგრამ შემდეგ

ა x = > 0.

ბოლოს როდის X = 0

ა x = 1.

ექსპონენციალური ფუნქციის მე-2 თვისებას აქვს მარტივი გრაფიკული ინტერპრეტაცია. ის მდგომარეობს იმაში, რომ ამ ფუნქციის გრაფიკი (იხ. სურ. 246 და 247) მდებარეობს მთლიანად აბსცისის ღერძის ზემოთ.

საკუთრება 3. თუ ა >1, მაშინ როცა X > 0 ა x > 1, და როცა X < 0 ა x < 1. თუ ა < 1, тო, პირიქით, როდის X > 0 ა x < 1, და როცა X < 0 ა x > 1.

ექსპონენციალური ფუნქციის ეს თვისება ასევე იძლევა მარტივი გეომეტრიული ინტერპრეტაციის საშუალებას. ზე ა > 1 (სურ. 246) მრუდი y = a x მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ ზე = 1 at X > 0 და ქვემოთ სწორი ხაზი ზე = 1 at X < 0.

თუ ა < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x მდებარეობს სწორი ხაზის ქვემოთ ზე = 1 at X > 0 და ამ ხაზის ზემოთ at X < 0.

მოდით მივცეთ მკაცრი მტკიცებულება მე-3 ქონების შესახებ. დაე ა > 1 და X - თვითნებური დადებითი რიცხვი. ეს ვაჩვენოთ

ა x > 1.

თუ ნომერი X რაციონალური ( X = მ / ნ ), ეს ა x = ა მ/ ნ = ნ √ა მ .

Იმიტომ რომ ა > 1, მაშინ ა მ > 1, მაგრამ ერთზე მეტი რიცხვის ფესვი აშკარად ასევე მეტია 1-ზე.

თუ X არის ირაციონალური, მაშინ არის დადებითი რაციონალური რიცხვები X" და X" , რომელიც ემსახურება რიცხვის ათობითი მიახლოებას x :

X"< х < х" .

მაგრამ შემდეგ, ხარისხის განსაზღვრებით ირაციონალური მაჩვენებლით

ა x" < ა x < ა x"" .

როგორც ზემოთ ნაჩვენებია, ნომერი ა x" ერთზე მეტი. ამიტომ რიცხვი ა x , მეტია, ვიდრე ა x" , ასევე უნდა იყოს 1-ზე მეტი,

ასე რომ, ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ როდის ა >1 და თვითნებური დადებითი X

ა x > 1.

თუ ნომერი X უარყოფითი იყო, მაშინ გვექნებოდა

ა x =

სადაც ნომერია X უკვე დადებითი იქნება. Ამიტომაც A - x > 1. ამიტომ,

ა x = < 1.

ამრიგად, როდესაც ა > 1 და თვითნებური უარყოფითი x

ა x < 1.

შემთხვევა, როდესაც 0< ა < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

საკუთრება 4. თუ x = 0, მაშინ მიუხედავად ა ა x =1.

ეს გამომდინარეობს ნულოვანი ხარისხის განსაზღვრებიდან; ნულის გარდა ნებისმიერი რიცხვის ნულოვანი ძალა უდრის 1-ს. გრაფიკულად, ეს თვისება გამოიხატება იმაში, რომ ნებისმიერი ა მრუდი ზე = ა x (იხ. სურ. 246 და 247) კვეთს ღერძს ზე 1-ის ორდინატთან წერტილში.

საკუთრება 5. ზე ა >1 ექსპონენციალური ფუნქცია = ა x მონოტონურად იზრდება და ა < 1 - მონოტონურად მცირდება.

ეს თვისება ასევე იძლევა მარტივი გეომეტრიული ინტერპრეტაციის საშუალებას.

ზე ა > 1 (სურ. 246) მრუდი ზე = ა x ზრდასთან ერთად X მაღლა და მაღლა ადის და როდის ა < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

მოდით მივცეთ მკაცრი მტკიცებულება მე-5 ქონების შესახებ.

დაე ა > 1 და X 2 > X 1 . ეს ვაჩვენოთ

ა x 2 > ა x 1

Იმიტომ რომ X 2 > X 1., მაშინ X 2 = X 1 + დ , სად დ - რაღაც დადებითი რიცხვი. Ამიტომაც

ა x 2 - ა x 1 = ა x 1 + დ - ა x 1 = ა x 1 (ა დ - 1)

ექსპონენციალური ფუნქციის მე-2 თვისებით ა x 1 > 0. ვინაიდან დ > 0, შემდეგ ექსპონენციალური ფუნქციის მე-3 თვისებით ა დ > 1. პროდუქტის ორივე ფაქტორი ა x 1 (ა დ - 1) დადებითია, ამიტომ თავად ეს პროდუქტი დადებითია. ნიშნავს, ა x 2 - ა x 1 > 0, ან ა x 2 > ა x 1, რისი დამტკიცება იყო საჭირო.

ასე რომ, როდის ა > 1 ფუნქცია ზე = ა x მონოტონურად იზრდება. ანალოგიურად დადასტურებულია, რომ როდესაც ა < 1 функция ზე = ა x მონოტონურად მცირდება.

შედეგი. თუ 1-ის გარდა ერთი და იგივე დადებითი რიცხვის ორი ძალა ტოლია, მაშინ მათი მაჩვენებლები ტოლია.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ

ა ბ = ა გ (ა > 0 და ა =/= 1),

b = c .

მართლაც, თუ ნომრები ბ და თან არ იყო თანაბარი, მაშინ ფუნქციის ერთფეროვნების გამო ზე = ა x მათგან უფრო დიდი შეესაბამებოდა ა >1 მეტი და როდის ა < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или ა ბ > ა გ , ან ა ბ < ა გ . ორივე ეწინააღმდეგება პირობას ა ბ = ა გ . რჩება ამის აღიარება b = c .

საკუთრება 6. Თუ > 1, შემდეგ არგუმენტის შეუზღუდავი ზრდით X (X -> ∞ ) ფუნქციის მნიშვნელობები ზე = ა x ასევე იზრდება განუსაზღვრელი ვადით (ზე -> ∞ ). როცა არგუმენტი შეუზღუდავად მცირდება X (X -> -∞ ) ამ ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია ნულისკენ, ხოლო დადებითი რჩება (ზე->0; ზე > 0).

ზემოთ დადასტურებული ფუნქციის ერთფეროვნების გათვალისწინებით ზე = ა x , შეგვიძლია ვთქვათ, რომ განსახილველ შემთხვევაში ფუნქცია ზე = ა x მონოტონურად იზრდება 0-დან ∞ .

თუ 0 <ა < 1, შემდეგ x (x -> ∞) არგუმენტის შეუზღუდავი ზრდით, y = a x ფუნქციის მნიშვნელობები ნულისკენ მიისწრაფვის, ხოლო დადებითი რჩება. (ზე->0; ზე > 0). როდესაც x არგუმენტი მცირდება ლიმიტის გარეშე (X -> -∞ ) ამ ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება შეუზღუდავად (ზე -> ∞ ).

ფუნქციის ერთფეროვნების გამო y = a x შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ შემთხვევაში ფუნქცია ზე = ა x მონოტონურად მცირდება ∞ 0-მდე.

ექსპონენციალური ფუნქციის მე-6 თვისება ნათლად არის ასახული 246 და 247 სურათებზე. ამას მკაცრად არ დავამტკიცებთ.

ჩვენ მხოლოდ უნდა დავადგინოთ ექსპონენციალური ფუნქციის ცვალებადობის დიაპაზონი y = a x (ა > 0, ა =/= 1).

ზემოთ ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ფუნქცია y = a x იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს და ან იზრდება მონოტონურად 0-დან ∞ (ზე ა > 1), ან მონოტონურად მცირდება ∞ 0-მდე (0-ზე< ა <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x არის რაიმე ნახტომი, როცა იცვლები? იღებს თუ არა რაიმე დადებით ღირებულებებს? ეს საკითხი დადებითად წყდება. თუ ა > 0 და ა =/= 1, მაშინ რაც არ უნდა იყოს დადებითი რიცხვი ზე 0 აუცილებლად მოიძებნება X 0, ისეთი რომ

ა x 0 = ზე 0 .

(ფუნქციის ერთფეროვნების გამო y = a x მითითებული ღირებულება X 0, რა თქმა უნდა, ერთადერთი იქნება.)

ამ ფაქტის დადასტურება ჩვენი პროგრამის ფარგლებს სცილდება. მისი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია არის ნებისმიერი დადებითი მნიშვნელობისთვის ზე 0 ფუნქციის გრაფიკი y = a x აუცილებლად გადაიკვეთება სწორ ხაზთან ზე = ზე 0 და, უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთ წერტილში (სურ. 248).

აქედან შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნა, რომელსაც ვაყალიბებთ თვისებად 7.

საკუთრება 7. ექსპონენციალური ფუნქციის ცვლილების არე y = a x (ა > 0, ა =/= 1)არის ყველა დადებითი რიცხვის სიმრავლე.

Სავარჯიშოები

1368. იპოვეთ შემდეგი ფუნქციების განსაზღვრის დომენები:

1369. ამ რიცხვებიდან რომელია 1-ზე მეტი და რომელი 1-ზე ნაკლები:

1370. ექსპონენციალური ფუნქციის რა თვისების მიხედვით შეიძლება ითქვას რომ

ა) (5 / 7) 2.6 > (5 / 7) 2.5; ბ) (4 / 3) 1.3 > (4 / 3) 1.2

1371. რომელი რიცხვია მეტი:

ა) π - √3 ან (1/ π ) - √3 ; გ) (2/3) 1 + √6 ან (2/3) √2 + √5 ;

ბ) ( π / 4) 1 + √3 ან ( π / 4) 2; დ) (√3) √2 - √5 ან (√3) √3 - 2 ?

1372. არის თუ არა უტოლობები ეკვივალენტური:

1373. რა შეიძლება ითქვას რიცხვებზე X და ზე , თუ ნაჯახი = და y , სად ა - მოცემული დადებითი რიცხვი?

1374. 1) შესაძლებელია თუ არა ფუნქციის ყველა მნიშვნელობას შორის ზე = 2x მონიშნეთ:

2) შესაძლებელია თუ არა ფუნქციის ყველა მნიშვნელობას შორის ზე = 2 | x| მონიშნეთ:

ა) უდიდესი ღირებულება; ბ) ყველაზე მცირე მნიშვნელობა?

გაკვეთილი No.2

თემა: ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი.

სამიზნე:შეამოწმეთ „ექსპონენციალური ფუნქციის“ კონცეფციის დაუფლების ხარისხი; ექსპონენციალური ფუნქციის ამოცნობის უნარ-ჩვევების გამომუშავება, მისი თვისებებისა და გრაფიკების გამოყენებით, მოსწავლეებს ასწავლოს ექსპონენციალური ფუნქციის ჩაწერის ანალიტიკური და გრაფიკული ფორმების გამოყენება; უზრუნველყოს სამუშაო გარემო კლასში.

აღჭურვილობა:დაფა, პლაკატები

გაკვეთილის ფორმა: კლასის გაკვეთილი

გაკვეთილის ტიპი: პრაქტიკული გაკვეთილი

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი სწავლების უნარებისა და შესაძლებლობების შესახებ

Გაკვეთილის გეგმა

1. საორგანიზაციო მომენტი

2. დამოუკიდებელი მუშაობა და საშინაო დავალების შემოწმება

3. პრობლემის გადაჭრა

4. შეჯამება

5. საშინაო დავალება

გაკვეთილების დროს.

1. საორგანიზაციო მომენტი :

გამარჯობა. გახსენით რვეულები, ჩაწერეთ დღევანდელი თარიღი და გაკვეთილის თემა „ექსპონენციალური ფუნქცია“. დღეს ჩვენ გავაგრძელებთ ექსპონენციალური ფუნქციის, მისი თვისებების და გრაფიკის შესწავლას.

2. დამოუკიდებელი მუშაობა და საშინაო დავალების შემოწმება .

სამიზნე:შეამოწმეთ „ექსპონენციალური ფუნქციის“ კონცეფციის დაუფლების ხარისხი და შეამოწმეთ საშინაო დავალების თეორიული ნაწილის დასრულება.

მეთოდი:ტესტის დავალება, ფრონტალური გამოკითხვა

საშინაო დავალების სახით მოგცეს ნომრები ამოცანების წიგნიდან და აბზაცი სახელმძღვანელოდან. ჩვენ ახლა არ შევამოწმებთ თქვენი ნომრების შესრულებას სახელმძღვანელოდან, მაგრამ თქვენ ჩააბარებთ თქვენს ბლოკნოტებს გაკვეთილის ბოლოს. ახლა თეორია შემოწმდება მცირე ტესტის სახით. დავალება ყველასთვის ერთნაირია: გეძლევათ ფუნქციების სია, უნდა გაარკვიოთ რომელი მათგანია საჩვენებელი (ხაზგასმით აღნიშნეთ ისინი). და ექსპონენციალური ფუნქციის გვერდით უნდა დაწეროთ, იზრდება თუ მცირდება.

ახლა ერთად გავიხსენოთ რომელ ფუნქციას ეწოდება ექსპონენციალური?

ფორმის ფუნქციას სადაც და , ექსპონენციალური ფუნქცია ეწოდება.

რა არის ამ ფუნქციის ფარგლები?

ყველა რეალური რიცხვი.

რა არის ექსპონენციალური ფუნქციის დიაპაზონი?

ყველა დადებითი რეალური რიცხვი.

მცირდება, თუ სიმძლავრის საფუძველი ნულზე მეტია, მაგრამ ერთზე ნაკლები.

რა შემთხვევაში მცირდება ექსპონენციალური ფუნქცია მისი განმარტების დომენში?

იზრდება, თუ სიმძლავრის საფუძველი ერთზე მეტია.

3. პრობლემის გადაჭრა

სამიზნე: გამოუმუშავდეს ექსპონენციალური ფუნქციის ამოცნობის უნარები, მისი თვისებებისა და გრაფიკების გამოყენებით, ასწავლოს მოსწავლეებს ექსპონენციალური ფუნქციის ჩაწერის ანალიტიკური და გრაფიკული ფორმების გამოყენება.

მეთოდი: მასწავლებლის მიერ ტიპიური ამოცანების გადაჭრის დემონსტრირება, ზეპირი სამუშაო, მუშაობა დაფაზე, მუშაობა რვეულში, საუბარი მასწავლებელსა და მოსწავლეებს შორის.

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები შეიძლება გამოყენებულ იქნას 2 ან მეტი რიცხვის შედარებისას. მაგალითად: No 000. შეადარეთ მნიშვნელობები და თუ ა) ..gif" width="37" height="20 src=">, მაშინ ეს საკმაოდ რთული სამუშაოა: ჩვენ უნდა ავიღოთ 3-ისა და 9-ის კუბური ფესვი და შევადაროთ ისინი. მაგრამ ვიცით, რომ ის იზრდება, ეს თავისთავად ნიშნავს იმას, რომ არგუმენტის ზრდასთან ერთად იზრდება ფუნქციის მნიშვნელობა, ანუ ჩვენ უბრალოდ უნდა შევადაროთ არგუმენტის მნიშვნელობები და აშკარაა, რომ (შეიძლება გამოჩნდეს პლაკატზე, რომელიც აჩვენებს მზარდი ექსპონენციალური ფუნქციას). და ყოველთვის, ასეთი მაგალითების ამოხსნისას, თქვენ ჯერ განსაზღვრავთ ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველს, ადარებთ მას 1-ს, ადგენთ ერთფეროვნებას და აგრძელებთ არგუმენტების შედარებას. კლებადი ფუნქციის შემთხვევაში: როდესაც არგუმენტი იზრდება, ფუნქციის მნიშვნელობა მცირდება, შესაბამისად, არგუმენტების უტოლობიდან ფუნქციების უტოლობაზე გადასვლისას ვცვლით უტოლობის ნიშანს. შემდეგ ზეპირად ვხსნით: ბ)

-

IN)

-

გ)

-

- No 000. შეადარეთ რიცხვები: ა) და

შესაბამისად, ფუნქცია იზრდება, მაშინ

რატომ ?

ფუნქციის გაზრდა და

მაშასადამე, ფუნქცია მცირდება

ორივე ფუნქცია იზრდება მათი განსაზღვრის მთელ დომენში, რადგან ისინი ექსპონენციალურია ერთზე მეტი სიმძლავრის ბაზისით.

რა აზრი დევს მის უკან?

ჩვენ ვაშენებთ გრაფიკებს:

რომელი ფუნქცია იზრდება უფრო სწრაფად სწრაფვისას https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

რომელი ფუნქცია იკლებს უფრო სწრაფად სწრაფვისას https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

ინტერვალზე რომელი ფუნქციის უფრო მეტი მნიშვნელობა აქვს კონკრეტულ წერტილში?

დ), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. პირველ რიგში, მოდით გავარკვიოთ ამ ფუნქციების განსაზღვრის ფარგლები. ემთხვევა თუ არა ისინი?

დიახ, ამ ფუნქციების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი.

დაასახელეთ თითოეული ამ ფუნქციის ფარგლები.

ამ ფუნქციების დიაპაზონი ემთხვევა: ყველა დადებითი რეალური რიცხვი.

განსაზღვრეთ თითოეული ფუნქციის ერთფეროვნების ტიპი.

სამივე ფუნქცია მცირდება მათი განსაზღვრის მთელ დომენში, რადგან ისინი ექსპონენციალურია ერთზე ნაკლები და ნულზე მეტი სიმძლავრის ფუძით.

რა განსაკუთრებული წერტილი არსებობს ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკში?

რა აზრი დევს მის უკან?

როგორიც არ უნდა იყოს ექსპონენციური ფუნქციის ხარისხის საფუძველი, თუ მაჩვენებელი შეიცავს 0-ს, მაშინ ამ ფუნქციის მნიშვნელობა არის 1.

ჩვენ ვაშენებთ გრაფიკებს:

გავაანალიზოთ გრაფიკები. რამდენი გადაკვეთის წერტილი აქვს ფუნქციების გრაფიკებს?

რომელი ფუნქცია უფრო სწრაფად მცირდება მცდელობისას https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

რომელი ფუნქცია იზრდება უფრო სწრაფად სწრაფვისას https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

ინტერვალზე რომელი ფუნქციის უფრო მეტი მნიშვნელობა აქვს კონკრეტულ წერტილში?

ინტერვალზე რომელი ფუნქციის უფრო მეტი მნიშვნელობა აქვს კონკრეტულ წერტილში?

რატომ აქვთ სხვადასხვა ფუძის მქონე ექსპონენციალურ ფუნქციებს მხოლოდ ერთი გადაკვეთის წერტილი?

ექსპონენციალური ფუნქციები მკაცრად მონოტონურია მათი განსაზღვრის მთელ სფეროზე, ამიტომ მათ შეუძლიათ იკვეთონ მხოლოდ ერთ წერტილში.

შემდეგი დავალება ფოკუსირებული იქნება ამ ქონების გამოყენებაზე. No 000. იპოვეთ მოცემული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები მოცემულ ინტერვალზე ა) . შეგახსენებთ, რომ მკაცრად მონოტონური ფუნქცია იღებს თავის მინიმალურ და მაქსიმალურ მნიშვნელობებს მოცემული სეგმენტის ბოლოებში. და თუ ფუნქცია იზრდება, მაშინ მისი უდიდესი მნიშვნელობა იქნება სეგმენტის მარჯვენა ბოლოში, ხოლო ყველაზე პატარა სეგმენტის მარცხენა ბოლოში (დემონსტრირება პოსტერზე, ექსპონენციალური ფუნქციის მაგალითის გამოყენებით). თუ ფუნქცია მცირდება, მაშინ მისი უდიდესი მნიშვნელობა იქნება სეგმენტის მარცხენა ბოლოში, ხოლო ყველაზე პატარა სეგმენტის მარჯვენა ბოლოში (დემონსტრირება პოსტერზე, ექსპონენციალური ფუნქციის მაგალითის გამოყენებით). ფუნქცია იზრდება, რადგან, შესაბამისად, ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა იქნება წერტილში https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > ქულები ბ) , V) დ) თავად მოაგვარეთ რვეულები, ზეპირად შევამოწმებთ.

მოსწავლეები წყვეტენ დავალებას რვეულებში

- No 000. იპოვეთ მოცემული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მოცემულ ინტერვალზე ა) . ეს ამოცანა თითქმის იგივეა, რაც წინა. მაგრამ რაც აქ მოცემულია არა სეგმენტი, არამედ სხივია. ჩვენ ვიცით, რომ ფუნქცია იზრდება და მას არ აქვს არც უდიდესი და არც უმცირესი მნიშვნელობა მთელ რიცხვთა ხაზში https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" სიმაღლე = "20"> და მიდრეკილია ზე, ანუ სხივზე ფუნქცია at მიისწრაფვის 0-მდე, მაგრამ არ აქვს მისი მინიმალური მნიშვნელობა, მაგრამ აქვს ყველაზე დიდი მნიშვნელობა წერტილში. . ქულები ბ) , V) , გ) რვეულები თავად მოაგვარეთ, ზეპირად შევამოწმებთ.