ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკის მაგალითები. ექსპონენციალური ფუნქცია - თვისებები, გრაფიკები, ფორმულები
ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა x=2 ცვლადის სხვადასხვა რაციონალური მნიშვნელობებისთვის; 0; -3; -
გაითვალისწინეთ, რომ რა რიცხვიც არ უნდა ჩავანაცვლოთ x ცვლადი, ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ გამოხატვის მნიშვნელობა. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ განვიხილავთ ექსპონენციალურ ფუნქციას (E უდრის x-ის ხარისხს სამს), რომელიც განისაზღვრება რაციონალური რიცხვების სიმრავლით: .
მოდით ავაშენოთ ამ ფუნქციის გრაფიკი მისი მნიშვნელობების ცხრილის შედგენით.
მოდით დავხატოთ გლუვი ხაზი, რომელიც გადის ამ წერტილებს (სურათი 1)
ამ ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით, განვიხილოთ მისი თვისებები:
3. იზრდება მთელ განსაზღვრის არეალში.
- მნიშვნელობების დიაპაზონი ნულიდან პლუს უსასრულობამდე.
8. ფუნქცია ამოზნექილია ქვევით.
თუ ავაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს ერთ კოორდინატულ სისტემაში; y=(y უდრის ორს x-ის ხარისხს, y უდრის ხუთს x-ის ხარისხს, y უდრის შვიდს x-ის ხარისხს), მაშინ ხედავთ, რომ მათ აქვთ იგივე თვისებები, რაც y= (y უდრის x-ის ხარისხს სამს) (ნახ. .2), ანუ y = ფორმის ყველა ფუნქციას (y უდრის a x ხარისხს, ერთზე მეტზე) ექნება ასეთი თვისებები.
მოდით დავხატოთ ფუნქცია:
1. მისი მნიშვნელობების ცხრილის შედგენა.
კოორდინატულ სიბრტყეზე მოვნიშნოთ მიღებული წერტილები.
დავხაზოთ გლუვი ხაზი, რომელიც გადის ამ წერტილებს (სურათი 3).
ამ ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით, ჩვენ მივუთითებთ მის თვისებებს:
1. განსაზღვრების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.
2. არც ლუწია და არც კენტი.
3. მცირდება დეფინიციის მთელ დომენში.
4. არ აქვს არც ყველაზე დიდი და არც უმცირესი მნიშვნელობები.
5.შეიზღუდება ქვემოთ, მაგრამ არ შემოიფარგლება ზემოთ.
6. უწყვეტი დეფინიციის მთელ დომენში.
7. მნიშვნელობების დიაპაზონი ნულიდან პლუს უსასრულობამდე.
8. ფუნქცია ამოზნექილია ქვევით.
ანალოგიურად, თუ ავაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს ერთ კოორდინატულ სისტემაში; y = (y უდრის x-ის ხარისხების ნახევარს, y უდრის x-ის ხარისხის მეხუთედს, y უდრის x-ის ხარისხს მეშვიდედს), მაშინ შეამჩნევთ, რომ მათ აქვთ იგივე თვისებები, რაც y = (y უდრის x სიმძლავრის მესამედს (ნახ. 4), ანუ y = ფორმის ყველა ფუნქცია (y უდრის ერთს გაყოფილი a-ზე x სიმძლავრეზე, ნულზე მეტი, მაგრამ ერთზე ნაკლები) ექნება ასეთი თვისებები.
ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები ერთ კოორდინატულ სისტემაში
ეს ნიშნავს, რომ y=y= ფუნქციების გრაფიკები ასევე სიმეტრიული იქნება (y უდრის a-ს x სიმძლავრის და y ტოლია ერთის გაყოფილი a-ზე x სიმძლავრეზე) a-ს იგივე მნიშვნელობისთვის.
მოდით შევაჯამოთ ნათქვამი ექსპონენციალური ფუნქციის განსაზღვრით და მისი ძირითადი თვისებების მითითებით:
განმარტება: y= ფორმის ფუნქციას, სადაც (y უდრის a-ს x ხარისხს, სადაც a დადებითია და განსხვავდება ერთისაგან), ექსპონენციალური ფუნქცია ეწოდება.
აუცილებელია გავიხსენოთ განსხვავებები ექსპონენციალურ ფუნქციას y= და სიმძლავრის ფუნქციას y=, a=2,3,4,… შორის. როგორც ხმით, ასევე ვიზუალურად. ექსპონენციალური ფუნქცია Xარის ძალა და ძალაუფლების ფუნქციისთვის Xარის საფუძველი.
მაგალითი 1: ამოხსენით განტოლება (სამი სიმძლავრის x უდრის ცხრას)
(Y უდრის სამს X-ის ხარისხს და Y უდრის ცხრას) ნახ.7
გაითვალისწინეთ, რომ მათ აქვთ ერთი საერთო წერტილი M (2;9) (em კოორდინატებით ორი; ცხრა), რაც ნიშნავს, რომ წერტილის აბსციზა იქნება ამ განტოლების ფესვი. ანუ, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x = 2.
მაგალითი 2: ამოხსენით განტოლება
ერთ კოორდინატულ სისტემაში ავაშენებთ y= ფუნქციის ორ გრაფიკს (y უდრის ხუთს x-ის ხარისხს და y უდრის ერთ ოცდამეხუთედს) ნახ.8. გრაფიკები იკვეთება ერთ T წერტილში (-2; (te კოორდინატებით მინუს ორი; ერთი ოცდამეხუთე). ეს ნიშნავს, რომ განტოლების ფესვი არის x = -2 (რიცხვი მინუს ორი).
მაგალითი 3: ამოხსენით უტოლობა
ერთ კოორდინატთა სისტემაში ავაშენებთ y= ფუნქციის ორ გრაფიკს
(Y უდრის სამს X-ის ხარისხს და Y უდრის ოცდაშვიდს).
ნახ.9 ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს y=at ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ
x მაშასადამე, უტოლობის ამოხსნა არის ინტერვალი (მინუს უსასრულობიდან სამამდე)
მაგალითი 4: ამოხსენით უტოლობა
ერთ კოორდინატთა სისტემაში ავაშენებთ y= ფუნქციის ორ გრაფიკს (y უდრის x-ის ხარისხს მეოთხედს და y თექვსმეტის). (ნახ. 10). გრაფიკები იკვეთება ერთ წერტილში K (-2;16). ეს ნიშნავს, რომ უტოლობის ამოხსნა არის ინტერვალი (-2; (მინუს ორიდან პლუს უსასრულობამდე), ვინაიდან y= ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს ფუნქციის გრაფიკის ქვემოთ x-ზე.
ჩვენი მსჯელობა საშუალებას გვაძლევს გადავამოწმოთ შემდეგი თეორემების მართებულობა:
თემა 1: თუ მართალია თუ და მხოლოდ თუ m=n.
თეორემა 2: თუ მართალია, თუ და მხოლოდ მაშინ, უტოლობა ჭეშმარიტია, თუ და მხოლოდ მაშინ (ნახ. *)
თეორემა 4: თუ ჭეშმარიტია თუ და მხოლოდ მაშინ (ნახ.**), უტოლობა მართალია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ თეორემა 3: თუ მართალია, თუ და მხოლოდ თუ m=n.
მაგალითი 5: y= ფუნქცია გრაფიკის მიხედვით
მოდით შევცვალოთ ფუნქცია y= ხარისხის თვისების გამოყენებით
ავაშენოთ დამატებითი კოორდინატთა სისტემა და ახალ კოორდინატთა სისტემაში ავაშენებთ y = ფუნქციის გრაფიკს (y უდრის x ხარისხს ორს) ნახ.11.
მაგალითი 6: ამოხსენით განტოლება
ერთ კოორდინატთა სისტემაში ავაშენებთ y= ფუნქციის ორ გრაფიკს
(Y უდრის შვიდს X-ის ხარისხს და Y უდრის რვას გამოკლებული X) სურ.12.
გრაფიკები იკვეთება ერთ E წერტილში (1; (e კოორდინატებით ერთი; შვიდი). ეს ნიშნავს, რომ განტოლების ფესვი არის x = 1 (x უდრის ერთს).
მაგალითი 7: ამოხსენით უტოლობა
ერთ კოორდინატთა სისტემაში ავაშენებთ y= ფუნქციის ორ გრაფიკს
(Y უდრის X-ის ხარისხის მეოთხედს და Y უდრის X-ს პლუს ხუთი). y=ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს y=x+5 ფუნქციის გრაფიკის ქვემოთ, როცა უტოლობის ამონახსნი არის x ინტერვალი (მინუს ერთიდან პლუს უსასრულობამდე).
ცოდნის ჰიპერმარკეტი >>მათემატიკა >>მათემატიკა მე-10 კლასი >>
ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი
განვიხილოთ გამოხატულება 2x და ვიპოვოთ მისი მნიშვნელობები x ცვლადის სხვადასხვა რაციონალური მნიშვნელობებისთვის, მაგალითად, x = 2-სთვის;
ზოგადად, როგორი რაციონალური მნიშვნელობაც არ უნდა მივცეთ x ცვლადს, ყოველთვის შეგვიძლია გამოვთვალოთ გამოთქმის 2 x შესაბამისი რიცხვითი მნიშვნელობა. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ ექსპონენციალურზე ფუნქციები y=2 x, განსაზღვრული რაციონალური რიცხვების Q სიმრავლეზე:
მოდით შევხედოთ ამ ფუნქციის ზოგიერთ თვისებას.
საკუთრება 1.- ფუნქციის გაზრდა. ჩვენ ვახორციელებთ მტკიცებულებას ორ ეტაპად.
პირველი ეტაპი.დავამტკიცოთ, რომ თუ r დადებითი რაციონალური რიცხვია, მაშინ 2 r >1.
შესაძლებელია ორი შემთხვევა: 1) r არის ნატურალური რიცხვი, r = n; 2) ჩვეულებრივი შეუქცევადი წილადი,
ბოლო უტოლობის მარცხენა მხარეს გვაქვს , ხოლო მარჯვენა მხარეს 1. ეს ნიშნავს, რომ ბოლო უტოლობა შეიძლება გადაიწეროს სახით.
ასე რომ, ნებისმიერ შემთხვევაში, მოქმედებს უტოლობა 2 r > 1, რისი დამტკიცებაც იყო საჭირო.
მეორე ეტაპი.მოდით x 1 და x 2 იყოს რიცხვები, ხოლო x 1 და x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(სხვაობა x 2 - x 1 აღვნიშნეთ ასო r-ით).
რაკი r დადებითი რაციონალური რიცხვია, პირველ ეტაპზე დადასტურებულით, 2 r > 1, ე.ი. 2 r -1 >0. რიცხვი 2x" ასევე დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ ნამრავლი 2 x-1 (2 Г -1) ასევე დადებითია. ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ უთანასწორობა 2 Xg -2x" >0.
ასე რომ, x 1 უტოლობიდან< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
საკუთრება 2.შემოიფარგლება ქვემოდან და არ შემოიფარგლება ზემოდან.
ფუნქციის შეზღუდვა ქვემოდან გამომდინარეობს უტოლობიდან 2 x >0, რომელიც მოქმედებს x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ფუნქციის განსაზღვრის დომენიდან. ამავდროულად, რაც არ უნდა დადებითი რიცხვი აიღოთ M, ყოველთვის შეგიძლიათ აირჩიოთ x მაჩვენებელი ისე, რომ დაკმაყოფილდეს უტოლობა 2 x >M - რომელიც ახასიათებს ფუნქციის ზემოდან შეუზღუდავობას. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი.
საკუთრება 3.არ აქვს არც უმცირესი და არც უდიდესი ღირებულება.
ის, რომ ამ ფუნქციას უდიდესი მნიშვნელობა არ აქვს, აშკარაა, რადგან, როგორც ახლა ვნახეთ, ის არ არის შემოსაზღვრული ზემოთ. მაგრამ ის შეზღუდულია ქვემოდან, რატომ არ აქვს მინიმალური მნიშვნელობა?
დავუშვათ, რომ 2 r არის ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა (r არის რაღაც რაციონალური მაჩვენებელი). ავიღოთ რაციონალური რიცხვი q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
ეს ყველაფერი კარგია, თქვენ ამბობთ, მაგრამ რატომ ვითვალისწინებთ y-2 x ფუნქციას მხოლოდ რაციონალური რიცხვების სიმრავლეზე, რატომ არ მივიჩნევთ როგორც სხვა ცნობილ ფუნქციებს მთელ რიცხვთა წრფეზე ან რომელიმე უწყვეტ ინტერვალზე. რიცხვითი ხაზი? რა გვიშლის ხელს? მოდი ვიფიქროთ სიტუაციაზე.
რიცხვითი წრფე შეიცავს არა მხოლოდ რაციონალურ, არამედ ირაციონალურ რიცხვებსაც. ადრე შესწავლილი ფუნქციებისთვის ეს არ გვაწუხებდა. მაგალითად, ჩვენ ვიპოვნეთ y = x2 ფუნქციის მნიშვნელობები თანაბრად მარტივად x-ის რაციონალური და ირაციონალური მნიშვნელობებისთვის: საკმარისი იყო x-ის მოცემული მნიშვნელობის კვადრატი.
მაგრამ y=2 x ფუნქციით სიტუაცია უფრო რთულია. თუ არგუმენტს x მიენიჭება რაციონალური მნიშვნელობა, მაშინ პრინციპში x შეიძლება გამოითვალოს (დაბრუნდით ისევ აბზაცის დასაწყისში, სადაც ზუსტად ეს გავაკეთეთ). რა მოხდება, თუ x არგუმენტს მიენიჭება ირაციონალური მნიშვნელობა? როგორ, მაგალითად, გამოვთვალოთ? ეს ჯერ არ ვიცით.
მათემატიკოსებმა იპოვეს გამოსავალი; ასე მსჯელობდნენ.
ცნობილია, რომ 
განვიხილოთ რაციონალური რიცხვების თანმიმდევრობა - რიცხვის ათობითი მიახლოებები ნაკლოვანებით:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
ნათელია, რომ 1.732 = 1.7320 და 1.732050 = 1.73205. ასეთი გამეორებების თავიდან ასაცილებლად, ჩვენ უარვყოფთ მიმდევრობის იმ წევრებს, რომლებიც მთავრდება 0-ით.
შემდეგ ვიღებთ მზარდი თანმიმდევრობას:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
შესაბამისად, თანმიმდევრობა იზრდება
ამ მიმდევრობის ყველა წევრი არის დადებითი რიცხვები 22-ზე ნაკლები, ე.ი. ეს თანმიმდევრობა შეზღუდულია. ვაიერშტრასის თეორემის მიხედვით (იხ. § 30), თუ მიმდევრობა იზრდება და შემოსაზღვრულია, მაშინ ის იყრის თავს. გარდა ამისა, § 30-დან ვიცით, რომ თუ მიმდევრობა იყრის თავს, ის ამას აკეთებს მხოლოდ ერთ ზღვარზე. შეთანხმდნენ, რომ ეს ერთი ლიმიტი უნდა ჩაითვალოს რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობად. და არ აქვს მნიშვნელობა, რომ ძალიან რთულია რიცხვითი გამოხატვის 2-ის სავარაუდო მნიშვნელობის პოვნაც კი; მნიშვნელოვანია, რომ ეს არის კონკრეტული რიცხვი (ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ არ გვეშინოდა იმის თქმა, რომ, მაგალითად, ეს არის რაციონალური განტოლების ფესვი, 
ტრიგონომეტრიული განტოლების ფესვი, დაფიქრების გარეშე ზუსტად რა არის ეს რიცხვები: 
ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ, რა მნიშვნელობას ანიჭებენ მათემატიკოსები სიმბოლოს 2^. ანალოგიურად, შეგიძლიათ განსაზღვროთ რა და ზოგადად რა არის a, სადაც a არის ირაციონალური რიცხვი და a > 1.
მაგრამ რა მოხდება, თუ 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ არა მხოლოდ თვითნებური რაციონალური მაჩვენებლების მქონე ძალებზე, არამედ თვითნებური რეალური მაჩვენებლების მქონე უფლებამოსილებებზეც. დადასტურდა, რომ ნებისმიერ რეალურ მაჩვენებელთან ხარისხს აქვს გრადუსების ყველა ჩვეულებრივი თვისება: ხარისხების გამრავლებისას ერთსა და იმავე ფუძეებთან, მაჩვენებლები ემატება, გაყოფისას კლებულობენ, ხარისხზე ამაღლებისას მრავლდებიან და ა.შ. მაგრამ ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ y-ax ფუნქციაზე, რომელიც განსაზღვრულია ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე.
დავუბრუნდეთ y = 2 x ფუნქციას და ავაშენოთ მისი გრაფიკი. ამისათვის შევქმნათ ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილი y=2x:
მოვნიშნოთ წერტილები კოორდინატულ სიბრტყეზე (სურ. 194), ისინი მონიშნავენ გარკვეულ ხაზს, დავხატოთ (სურ. 195).
y - 2 x ფუნქციის თვისებები:
1)
2) არც ლუწია და არც კენტი; 248
3) იზრდება;
5) არ აქვს არც ყველაზე დიდი და არც უმცირესი მნიშვნელობები;
6) უწყვეტი;
7)
8) ამოზნექილი ქვევით.
y-2 x ფუნქციის ჩამოთვლილი თვისებების მკაცრი მტკიცებულებები მოცემულია უმაღლესი მათემატიკის კურსში. ამა თუ იმ ხარისხით ადრე განვიხილეთ ზოგიერთი თვისება, ზოგიერთი მათგანი ნათლად არის ნაჩვენები აგებული გრაფიკით (იხ. სურ. 195). მაგალითად, ფუნქციის პარიტეტის ან უცნაურობის ნაკლებობა გეომეტრიულად დაკავშირებულია გრაფიკის სიმეტრიის ნაკლებობასთან, შესაბამისად, y ღერძთან ან საწყისთან შედარებით.
y = a x ფორმის ნებისმიერ ფუნქციას, სადაც a > 1, აქვს მსგავსი თვისებები. ნახ. ერთ კოორდინატთა სისტემაში აშენდა 196, ფუნქციების გრაფიკები y=2 x, y=3 x, y=5 x.
ახლა განვიხილოთ ფუნქცია და შევქმნათ მნიშვნელობების ცხრილი:
მონიშნეთ წერტილები კოორდინატულ სიბრტყეზე (სურ. 197), ისინი მონიშნავენ გარკვეულ ხაზს, დავხატოთ (სურ. 198).
ფუნქციის თვისებები
1)
2) არც ლუწია და არც კენტი;
3) მცირდება;
4) არ შემოიფარგლება ზემოდან, შემოიფარგლება ქვემოდან;
5) არ არსებობს არც ყველაზე დიდი და არც უმცირესი მნიშვნელობა;
6) უწყვეტი;
7)
8) ამოზნექილი ქვევით.
y = a x ფორმის ნებისმიერ ფუნქციას აქვს მსგავსი თვისებები, სადაც O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ფუნქციის გრაფიკები 
იმათ. y=2 x, სიმეტრიული y-ღერძის მიმართ (სურ. 201). ეს არის ზოგადი დებულების შედეგი (იხ. § 13): y = f(x) და y = f(-x) ფუნქციების გრაფიკები სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ. ანალოგიურად, ფუნქციების გრაფიკები y = 3 x და
ნათქვამის შესაჯამებლად, ჩვენ მივცემთ ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტებას და გამოვყოფთ მის ყველაზე მნიშვნელოვან თვისებებს.
განმარტება.ფორმის ფუნქციას ექსპონენციალური ფუნქცია ეწოდება.
ექსპონენციალური ფუნქციის ძირითადი თვისებები y = a x
y=a x ფუნქციის გრაფიკი a> 1-ისთვის ნაჩვენებია ნახ. 201 და 0-ისთვის<а < 1 - на рис. 202.
მრუდი ნაჩვენებია ნახ. 201 ან 202 ეწოდება მაჩვენებელს. სინამდვილეში, მათემატიკოსები ჩვეულებრივ თვით ექსპონენციალურ ფუნქციას y = a x-ს უწოდებენ. ასე რომ, ტერმინი "ექსპონენტი" გამოიყენება ორი მნიშვნელობით: როგორც ექსპონენციალური ფუნქციის დასახელებისთვის, ასევე ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკის დასასახელებლად. როგორც წესი, მნიშვნელობა ნათელია, ვსაუბრობთ ექსპონენციალურ ფუნქციაზე თუ მის გრაფიკზე.
ყურადღება მიაქციეთ y=ax ექსპონენციური ფუნქციის გრაფიკის გეომეტრიულ მახასიათებელს: x-ღერძი არის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი. მართალია, ეს განცხადება ჩვეულებრივ შემდეგნაირად არის განმარტებული.
x ღერძი არის ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ
პირველი მნიშვნელოვანი შენიშვნა. სკოლის მოსწავლეები ხშირად ურევენ ტერმინებს: ძალაუფლების ფუნქცია, ექსპონენციალური ფუნქცია. შედარება:
ეს არის ძალაუფლების ფუნქციების მაგალითები; 
ეს არის ექსპონენციალური ფუნქციების მაგალითები.
ზოგადად, y = x r, სადაც r არის კონკრეტული რიცხვი, არის ძალაუფლების ფუნქცია (არგუმენტი x შეიცავს ხარისხის საფუძველს);
y = a", სადაც a არის კონკრეტული რიცხვი (დადებითი და განსხვავებული 1-სგან), არის ექსპონენციალური ფუნქცია (არგუმენტი x შეიცავს მაჩვენებელს).
"ეგზოტიკური" ფუნქცია, როგორიცაა y = x" არ განიხილება არც ექსპონენციალური და არც სიმძლავრე (მას ზოგჯერ ექსპონენციალურსაც უწოდებენ).
მეორე მნიშვნელოვანი შენიშვნა. ჩვეულებრივ, არ განიხილება ექსპონენციალური ფუნქცია ბაზით a = 1 ან ფუძით a, რომელიც აკმაყოფილებს a უტოლობას.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 და a ფაქტია, რომ თუ a = 1, მაშინ x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მოქმედებს ტოლობა Ix = 1 ამგვარად, ექსპონენციალური ფუნქცია y = a" a = 1 "გადაგვარდება" მუდმივ ფუნქციად y = 1 - ეს. არ არის საინტერესო, თუ a = 0, მაშინ 0x = 0 x-ის ნებისმიერი დადებითი მნიშვნელობისთვის, ანუ ვიღებთ ფუნქციას y = 0, რომელიც განისაზღვრება x > 0-ისთვის - ეს ასევე უინტერესოა, თუ, ბოლოს და ბოლოს, a.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
სანამ მაგალითების ამოხსნაზე გადავიდოდეთ, გაითვალისწინეთ, რომ ექსპონენციალური ფუნქცია მნიშვნელოვნად განსხვავდება ყველა იმ ფუნქციისგან, რომელიც აქამდე შეისწავლეთ. ახალი ობიექტის საფუძვლიანად შესასწავლად, თქვენ უნდა განიხილოთ იგი სხვადასხვა კუთხით, სხვადასხვა სიტუაციებში, ასე რომ ბევრი მაგალითი იქნება.
მაგალითი 1.
გამოსავალი, ა) y = 2 x და y = 1 ფუნქციების ერთ კოორდინატულ სისტემაში აგებული გრაფიკების არსებობის შემთხვევაში, ვამჩნევთ (ნახ. 203), რომ მათ აქვთ ერთი საერთო წერტილი (0; 1). ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას 2x = 1 აქვს ერთი ფესვი x =0.
ასე რომ, განტოლებიდან 2x = 2° ვიღებთ x = 0.
ბ) y = 2 x და y = 4 ფუნქციების ერთ კოორდინატულ სისტემაში აწყობილი გრაფიკები შევნიშნავთ (ნახ. 203), რომ მათ აქვთ ერთი საერთო წერტილი (2; 4). ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას 2x = 4 აქვს ერთი ფესვი x = 2.
ასე რომ, განტოლებიდან 2 x = 2 2 ვიღებთ x = 2.
გ) და დ) იგივე მოსაზრებებიდან გამომდინარე ვასკვნით, რომ განტოლებას 2 x = 8 აქვს ერთი ფესვი და მის საპოვნელად შესაბამისი ფუნქციების გრაფიკების აგება არ არის საჭირო;
ნათელია, რომ x = 3, რადგან 2 3 = 8. ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ განტოლების ერთადერთ ფესვს
ასე რომ, განტოლებიდან 2x = 2 3 მივიღეთ x = 3, ხოლო განტოლებიდან 2 x = 2 x მივიღეთ x = -4.
ე) y = 2 x ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს y = 1 ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ x >0-სთვის - ეს აშკარად იკითხება ნახ. 203. ეს ნიშნავს, რომ 2x > 1 უტოლობის ამონახსნი არის ინტერვალი
ე) y = 2 x ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს y = 4 ფუნქციის გრაფიკის ქვემოთ x-ზე.<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
თქვენ ალბათ შენიშნეთ, რომ ყველა დასკვნის საფუძველი 1 მაგალითის ამოხსნისას იყო y = 2 x ფუნქციის ერთფეროვნების (ზრდის) თვისება. მსგავსი მსჯელობა საშუალებას გვაძლევს გადავამოწმოთ შემდეგი ორი თეორემის მართებულობა.
გამოსავალი.შეგიძლიათ ასე გააგრძელოთ: ააგეთ y-3 x ფუნქციის გრაფიკი, შემდეგ გაჭიმეთ იგი x ღერძიდან 3-ჯერ და შემდეგ ასწიეთ მიღებული გრაფიკი ზევით 2 მასშტაბის ერთეულით. მაგრამ უფრო მოსახერხებელია გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ 3- 3* = 3 * + 1 და, შესაბამისად, ავაშენოთ y = 3 x * 1 + 2 ფუნქციის გრაფიკი.
გადავიდეთ, როგორც არაერთხელ გავაკეთეთ ასეთ შემთხვევებში, დამხმარე კოორდინატულ სისტემაზე, რომლის საწყისი წერტილია (-1; 2) - წერტილოვანი ხაზები x = - 1 და 1x = 2 ნახ. 207. y=3* ფუნქცია „დავაკავშიროთ“ ახალ კოორდინატულ სისტემას. ამისათვის აირჩიეთ ფუნქციის საკონტროლო წერტილები 
, მაგრამ მათ ავაშენებთ არა ძველ, არამედ ახალ კოორდინატულ სისტემაში (ეს წერტილები მონიშნულია ნახ. 207). შემდეგ წერტილებიდან ავაშენებთ მაჩვენებელს - ეს იქნება საჭირო გრაფიკი (იხ. სურ. 207).
[-2, 2] სეგმენტზე მოცემული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ მოცემული ფუნქცია იზრდება და, შესაბამისად, იღებს მის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობებს, შესაბამისად, სეგმენტის მარცხენა და მარჯვენა ბოლოები.
ასე რომ:
მაგალითი 4.ამოხსენით განტოლებები და უტოლობა:
გამოსავალი, ა) ავაშენოთ y=5* და y=6-x ფუნქციების გრაფიკები ერთ კოორდინატულ სისტემაში (სურ. 208). ისინი იკვეთებიან ერთ წერტილში; ნახატის მიხედვით თუ ვიმსჯელებთ, ეს არის წერტილი (1; 5). შემოწმება აჩვენებს, რომ ფაქტიურად წერტილი (1; 5) აკმაყოფილებს როგორც y = 5* განტოლებას, ასევე y = 6-x განტოლებას. ამ წერტილის აბსცისა ემსახურება მოცემული განტოლების ერთადერთ ფესვს.
ასე რომ, განტოლებას 5 x = 6 - x აქვს ერთი ფესვი x = 1.
ბ) და გ) მაჩვენებელი y-5x დგას y=6-x სწორი ხაზის ზემოთ, თუ x>1, ეს აშკარად ჩანს ნახ. 208. ეს ნიშნავს, რომ 5*>6-ის უტოლობის ამონახსნი შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: x>1. და უტოლობის ამონახსნი 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
პასუხი: ა)x = 1; ბ)x>1; გ) x<1.
მაგალითი 5.მოცემული ფუნქცია 
დაამტკიცე რომ 
გამოსავალი.იმ პირობის მიხედვით, რაც გვაქვს.
მათემატიკური ამოცანების უმეტესობის ამა თუ იმ გზით გადაჭრა გულისხმობს რიცხვითი, ალგებრული ან ფუნქციური გამოსახულებების ტრანსფორმაციას. ზემოაღნიშნული განსაკუთრებით ეხება გადაწყვეტილებას. მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ვერსიებში ამ ტიპის პრობლემა მოიცავს, კერძოდ, დავალებას C3. C3 ამოცანების ამოხსნის სწავლა მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარების მიზნით, არამედ იმ მიზეზით, რომ ეს უნარი გამოგადგებათ საშუალო სკოლაში მათემატიკის კურსის შესწავლისას.
C3 ამოცანების შესრულებისას თქვენ უნდა ამოხსნათ სხვადასხვა ტიპის განტოლებები და უტოლობა. მათ შორისაა რაციონალური, ირაციონალური, ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული, შემცველი მოდულები (აბსოლუტური მნიშვნელობები), ასევე კომბინირებული. ამ სტატიაში განხილულია ექსპონენციალური განტოლებებისა და უტოლობების ძირითადი ტიპები, ასევე მათი ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდები. წაიკითხეთ სხვა ტიპის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის შესახებ "" განყოფილებაში, სტატიებში, რომლებიც ეძღვნება C3 ამოცანების ამოხსნის მეთოდებს მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან.
სანამ კონკრეტულ ანალიზს დავიწყებთ ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობა, როგორც მათემატიკის დამრიგებელს, გირჩევთ გაეცნოთ თეორიულ მასალას, რომელიც დაგვჭირდება.
ექსპონენციალური ფუნქცია
რა არის ექსპონენციალური ფუნქცია?
ფორმის ფუნქცია წ = a x, სად ა> 0 და ა≠ 1 ეწოდება ექსპონენციალური ფუნქცია.
ძირითადი ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები წ = a x:
ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი
ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი არის ექსპონენტი:
ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები (ექსპონენტები)
ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა
საჩვენებელიეწოდება განტოლებებს, რომლებშიც უცნობი ცვლადი გვხვდება მხოლოდ ზოგიერთი სიძლიერის მაჩვენებლებში.
მოსაგვარებლად ექსპონენციალური განტოლებებითქვენ უნდა იცოდეთ და შეძლოთ შემდეგი მარტივი თეორემის გამოყენება:
თეორემა 1.ექსპონენციალური განტოლება ა ვ(x) = ა გ(x) (სად ა > 0, ა≠ 1) განტოლების ტოლფასია ვ(x) = გ(x).
გარდა ამისა, სასარგებლოა დამახსოვრება ძირითადი ფორმულები და ოპერაციები გრადუსით:
Title="წარმოებულია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ზემოთ მოცემულ ფორმულებს და ჩანაცვლებას:
შემდეგ განტოლება ხდება:
მიღებული კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი დადებითია:
Title="წარმოებულია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
ეს ნიშნავს, რომ ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ჩვენ მათ ვპოულობთ:
საპირისპირო ჩანაცვლებაზე გადასვლისას მივიღებთ:
მეორე განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან ექსპონენციალური ფუნქცია მკაცრად დადებითია განსაზღვრების მთელ დომენში. გადავწყვიტოთ მეორე:
თეორემა 1-ში ნათქვამის გათვალისწინებით, გადავდივართ ეკვივალენტურ განტოლებაზე: x= 3. ეს იქნება ამოცანის პასუხი.
პასუხი: x = 3.
მაგალითი 2.ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი:განტოლებას არ აქვს შეზღუდვები დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონზე, რადგან რადიკალური გამოხატულება აზრი აქვს ნებისმიერ მნიშვნელობას x(ექსპონენციალური ფუნქცია წ = 9 4 -xდადებითი და არა ტოლი ნულის).
განტოლებას ვხსნით ეკვივალენტური გარდაქმნებით, ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის წესების გამოყენებით:
ბოლო გადასვლა განხორციელდა თეორემა 1-ის შესაბამისად.
პასუხი:x= 6.
მაგალითი 3.ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი:თავდაპირველი განტოლების ორივე მხარე შეიძლება დაიყოს 0.2-ზე x. ეს გადასვლა ექვივალენტური იქნება, რადგან ეს გამოხატულება ნულზე მეტია ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x(ექსპონენციალური ფუნქცია მკაცრად დადებითია მისი განმარტების დომენში). შემდეგ განტოლება იღებს ფორმას:
პასუხი: x = 0.
მაგალითი 4.ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი:ჩვენ ვამარტივებთ განტოლებას ელემენტარულს ეკვივალენტური გარდაქმნების საშუალებით, სტატიის დასაწყისში მოცემული ძალაუფლების გაყოფისა და გამრავლების წესების გამოყენებით:
განტოლების ორივე მხარის გაყოფა 4-ზე x, როგორც წინა მაგალითში, არის ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია, რადგან ეს გამოხატულება არ არის ნულის ტოლი ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x.
პასუხი: x = 0.
მაგალითი 5.ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი:ფუნქცია წ = 3xგანტოლების მარცხენა მხარეს მდგომი, იზრდება. ფუნქცია წ = —xგანტოლების მარჯვენა მხარეს -2/3 მცირდება. ეს ნიშნავს, რომ თუ ამ ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება, მაშინ მაქსიმუმ ერთი წერტილი. ამ შემთხვევაში, ადვილი მისახვედრია, რომ გრაფიკები იკვეთება წერტილში x= -1. სხვა ფესვები არ იქნება.
პასუხი: x = -1.
მაგალითი 6.ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი:ჩვენ ვამარტივებთ განტოლებას ეკვივალენტური გარდაქმნების საშუალებით, ყველგან მხედველობაში გვაქვს, რომ ექსპონენციალური ფუნქცია მკაცრად აღემატება ნულს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის xდა სტატიის დასაწყისში მოცემული პროდუქციისა და სიმძლავრის კოეფიციენტის გამოთვლის წესების გამოყენებით:
პასუხი: x = 2.
ექსპონენციური უტოლობების ამოხსნა
საჩვენებელიეწოდება უტოლობები, რომლებშიც უცნობი ცვლადი შეიცავს მხოლოდ ზოგიერთი სიძლიერის მაჩვენებლებს.
მოსაგვარებლად ექსპონენციური უტოლობებისაჭიროა შემდეგი თეორემის ცოდნა:
თეორემა 2.თუ ა> 1, შემდეგ უტოლობა ა ვ(x) > ა გ(x) უდრის იგივე მნიშვნელობის უტოლობას: ვ(x) > გ(x). თუ 0< ა < 1, то показательное неравенство ა ვ(x) > ა გ(x) უდრის საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობას: ვ(x) < გ(x).
მაგალითი 7.ამოხსენით უტოლობა:
გამოსავალი:წარმოგიდგენთ თავდაპირველ უტოლობას სახით:
მოდით გავყოთ ამ უტოლობის ორივე მხარე 3 2-ზე x, ამ შემთხვევაში (ფუნქციის პოზიტიურობის გამო წ= 3 2x) უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვლება:
მოდით გამოვიყენოთ ჩანაცვლება:
მაშინ უტოლობა მიიღებს ფორმას:
ასე რომ, უტოლობის გამოსავალი არის ინტერვალი:
საპირისპირო ჩანაცვლებაზე გადავდივართ, მივიღებთ:
ექსპონენციალური ფუნქციის პოზიტიურობის გამო მარცხენა უტოლობა ავტომატურად კმაყოფილდება. ლოგარითმის კარგად ცნობილი თვისების გამოყენებით გადავდივართ ეკვივალენტურ უტოლობაზე:
ვინაიდან ხარისხის საფუძველი არის ერთზე მეტი რიცხვი, ექვივალენტი (თეორემა 2-ით) არის გადასვლა შემდეგ უტოლობაზე:
ასე რომ, ჩვენ საბოლოოდ მივიღებთ პასუხი:
მაგალითი 8.ამოხსენით უტოლობა:
გამოსავალი:ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ხელახლა ვწერთ უტოლობას სახით:
მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი:
ამ ჩანაცვლების გათვალისწინებით, უტოლობა იღებს ფორმას:
წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის 7-ზე გამრავლებით მივიღებთ შემდეგ ეკვივალენტურ უტოლობას:
ასე რომ, ცვლადის შემდეგი მნიშვნელობები აკმაყოფილებს უთანასწორობას ტ:
შემდეგ, საპირისპირო ჩანაცვლებაზე გადასვლისას, ვიღებთ:
ვინაიდან ხარისხის საფუძველი აქ ერთზე მეტია, უტოლობაზე გადასვლა ექვივალენტური იქნება (თეორემა 2-ით):
ბოლოს მივიღებთ პასუხი:
მაგალითი 9.ამოხსენით უტოლობა:
გამოსავალი:
ჩვენ ვყოფთ უტოლობის ორივე მხარეს გამოსახულებით:
ის ყოველთვის მეტია ნულზე (ექსპონენციალური ფუნქციის პოზიტიურობის გამო), ამიტომ არ არის საჭირო უტოლობის ნიშნის შეცვლა. ჩვენ ვიღებთ:
t მდებარეობს ინტერვალში:
საპირისპირო ჩანაცვლებაზე გადასვლისას აღმოვაჩენთ, რომ თავდაპირველი უტოლობა ორ შემთხვევაში იყოფა:
პირველ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები ექსპონენციალური ფუნქციის პოზიტიურობის გამო. გადავწყვიტოთ მეორე:
მაგალითი 10.ამოხსენით უტოლობა:
გამოსავალი:
პარაბოლას ტოტები წ = 2x+2-x 2 მიმართულია ქვევით, ამიტომ ზემოდან შემოიფარგლება იმ მნიშვნელობით, რომელსაც აღწევს თავის წვეროზე:
პარაბოლას ტოტები წ = x 2 -2xინდიკატორში +2 მიმართულია ზემოთ, რაც ნიშნავს, რომ ის ქვემოდან შემოიფარგლება იმ მნიშვნელობით, რომელსაც აღწევს თავის წვეროზე:
ამავდროულად, ფუნქციაც ქვემოდან შემოსაზღვრული აღმოჩნდება წ = 3 x 2 -2x+2, რომელიც არის განტოლების მარჯვენა მხარეს. ის აღწევს თავის უმცირეს მნიშვნელობას იმავე წერტილში, როგორც პარაბოლა ექსპონენტში, და ეს მნიშვნელობა არის 3 1 = 3. ასე რომ, საწყისი უტოლობა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფუნქცია მარცხნივ და ფუნქცია მარჯვნივ მიიღებს მნიშვნელობას. 3-ის ტოლია (ამ ფუნქციების მნიშვნელობების დიაპაზონის კვეთა მხოლოდ ეს რიცხვია). ეს პირობა დაკმაყოფილებულია ერთ წერტილში x = 1.
პასუხი: x= 1.
იმისათვის, რომ ვისწავლოთ გადაწყვეტილების მიღება ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები,აუცილებელია მუდმივად ვარჯიში მათ გადაჭრაში. ამ რთულ ამოცანაში დაგეხმარებათ სხვადასხვა სასწავლო საშუალებები, დაწყებითი მათემატიკის პრობლემური წიგნები, საკონკურსო ამოცანების კრებული, მათემატიკის გაკვეთილები სკოლაში, ასევე ინდივიდუალური გაკვეთილები პროფესიონალ დამრიგებელთან ერთად. გულწრფელად გისურვებთ წარმატებებს მომზადებაში და გამოცდაში შესანიშნავ შედეგებს.
სერგეი ვალერიევიჩი
P.S. ძვირფასო სტუმრებო! გთხოვთ, კომენტარებში არ დაწეროთ მოთხოვნები თქვენი განტოლებების ამოხსნის შესახებ. სამწუხაროდ, ამის დრო აბსოლუტურად არ მაქვს. ასეთი შეტყობინებები წაიშლება. გთხოვთ წაიკითხოთ სტატია. ალბათ მასში იპოვით პასუხებს კითხვებზე, რომლებმაც არ მოგცათ თქვენი ამოცანის დამოუკიდებლად გადაჭრის საშუალება.
1. ექსპონენციალური ფუნქცია არის y(x) = a x ფორმის ფუნქცია, x მაჩვენებლის მიხედვით, a ხარისხის ფუძის მუდმივი მნიშვნელობით, სადაც a > 0, a ≠ 0, xϵR (R არის რეალური რიცხვების ნაკრები).
განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკი, თუ ფუძე არ აკმაყოფილებს პირობას: a>0
ა) ა< 0
თუ ა< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
თუ a = 0, ფუნქცია y = არის განსაზღვრული და აქვს მუდმივი მნიშვნელობა 0
გ) a =1
თუ a = 1, ფუნქცია y = არის განსაზღვრული და აქვს მუდმივი მნიშვნელობა 1
ფუნქციის დომენი (DOF) დასაშვები ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი (APV) 3. ფუნქციის ნულები (y = 0) 4. გადაკვეთის წერტილები ორდინატთა ღერძთან oy (x = 0) 5. მზარდი, კლებადი ფუნქციები თუ , მაშინ f(x) ფუნქცია იზრდება 6. ლუწი, კენტი ფუნქცია ფუნქცია y = არ არის სიმეტრიული 0y ღერძის მიმართ და კოორდინატების საწყისის მიმართ, ამიტომ ის არც ლუწია და არც კენტი. (ზოგადი ფუნქცია) 7. ფუნქციას y = არ აქვს უკიდურესი 8. ხარისხის თვისებები რეალური მაჩვენებლით: მოდით a > 0; a≠1 შემდეგ xϵR-სთვის; yϵR: ხარისხის ერთფეროვნების თვისებები: თუ, მაშინ თუ a> 0, მაშინ. 9. ფუნქციის შედარებითი პოზიცია რაც უფრო დიდია ფუძე a, მით უფრო ახლოსაა x და oy ღერძებთან a > 1, a = 20 მაგალითი 1. 
2. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ექსპონენციალურ ფუნქციას:
0
თუ , მაშინ f(x) ფუნქცია მცირდება
ფუნქცია y=, 0-ზე
ეს გამომდინარეობს რეალური მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ერთფეროვნების თვისებებიდან.
ბ> 0; b≠1
მაგალითად:
ექსპონენციალური ფუნქცია უწყვეტია ნებისმიერ წერტილში ϵ R.
თუ a0, მაშინ ექსპონენციალური ფუნქცია იღებს y = 0-თან ახლოს ფორმას.
თუ a1, მაშინ ox და oy ღერძებიდან უფრო შორს და გრაფიკი იღებს y = 1 ფუნქციასთან მიახლოებულ ფორმას.
შექმენით y = გრაფიკი
