დაჩრდილული წრის ფიგურის ფართობი. ქაღალდზე დახატული ორი წრე

ასე რომ, 7 დეკემბერს მათემატიკაში მორიგი ტესტური გამოცდა გაიმართა. როგორც ბოლო დროს, სტუდენტებს შესთავაზეს 16 ვარიანტი - ყველა მათგანი უახლოეს მომავალში გამოქვეყნდება ვებგვერდზე.

ზოგადად, გამოცდაზე შეიძლება ითქვას შემდეგი:

გამოცდა რჩება დაყოფილი ვარიანტებად ლოგარითმების გარეშე (მაგრამ წარმოებულებით) და წარმოებულების გარეშე (მაგრამ ლოგარითმებით). ეს იმის გამო ხდება, რომ სკოლებში პარალელურად ორი პროგრამაა: ერთის მიხედვით მე-10 კლასში წარმოებულები ისწავლება, მე-11 კლასში კი ლოგარითმები, მეორის მიხედვით, პირიქით. თუმცა, უნდა მოვემზადოთ იმისთვის, რომ უკვე 2012 წლის იანვარ-თებერვალში ყველა ვარიანტში იქნება ლოგარითმებიც და წარმოებულებიც;

ახალი ვარიანტები ძალიან დაემსგავსა ერთმანეთს, პრობლემების პირობები თითქმის ერთნაირია - მხოლოდ რიცხვები და, ფაქტობრივად, პასუხები განსხვავდება. ერთი მხრივ, ეს კარგია, რადგან ყველა სტუდენტი დაახლოებით თანაბარ პირობებშია. მაგრამ მეორეს მხრივ, ამაში კარგი არაფერია, რადგან რეალური ვარიანტები მნიშვნელოვნად (ძალიან მნიშვნელოვნად!) განსხვავდება ერთმანეთისგან;

უცნაურია, მაგრამ გაჩნდა ახალი პრობლემები, რომლებიც აქამდე საერთოდ არ განიხილებოდა - არსად და არასდროს. უპირველეს ყოვლისა, ეს ეხება ალბათობის თეორიას, რომელსაც ქვემოთ განვიხილავ. ასეთი „ინოვაციები“ გააუქმებს ყველა სამუშაოს გაერთიანების ვარიანტებზე.

დასკვნები: მნიშვნელოვანი ცვლილებებიახალში ტრენინგის ვარიანტებიარა. თავად ვარიანტები უფრო დაემსგავსა ერთმანეთს, მაგრამ ზოგიერთ მათგანს აქვს ახალი ამოცანები, რომლებსაც სტუდენტების უმეტესობა ნამდვილად ვერ უმკლავდება.

ახლა მოდით შევხედოთ კონკრეტულ პრობლემებს, განსაკუთრებით "ახალბედებისთვის" ალბათობის თეორიაში.

პრობლემა B1: რა ღირს ლიტრი ბენზინი?

მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის სპეციფიკაციების მიხედვით, B1 პრობლემაა პრაქტიკული შინაარსი. ჩვენს შემთხვევაში კლიენტი ყიდულობს ბენზინს და იღებს ცვლებს. თქვენ უნდა იპოვოთ ამ ცვლილების ზომა ან შეძენილი ბენზინის მოცულობა.

ასეთი პრობლემის გადასაჭრელად მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ მხოლოდ ერთი ფაქტი – დავარქვათ გამრავლების კანონი. თუ ცნობილია ერთი ლიტრი ბენზინის p ღირებულება და შეძენილი ლიტრი n რაოდენობა, მაშინ ჯამური ხარჯები იქნება p · n. მაგალითად, თუ 1 ლიტრი ღირს 28 რუბლი, ხოლო ჩვენ გვინდა ვიყიდოთ 15 ლიტრი, მაშინ მოგვიწევს გადაიხადოთ 28 · 15 = 420 რუბლი.

გარდა ამისა, ერთხელ და სამუდამოდ უნდა ისწავლო რა არის დანებება. დაფიქრდით: როცა კიოსკში მიდიხართ და ყიდულობთ არაყის ბოთლს 350 მანეთად, მაგრამ ჯიბეში მხოლოდ 1000 რუბლის კუპიურა გაქვთ, მოლარე დაგიბრუნებთ 1000 − 350 = 650 რუბლს. ეს არის ცვლილება - განსხვავება რეალურ შესყიდვის ფასსა და თქვენს მიერ გადახდილ თანხას შორის. ცვლილება ყოველთვის გამოიხატება როგორც დადებითი რიცხვი.

დავალება. ბენზინგასამართ სადგურზე კლიენტმა მოლარეს 1000 მანეთი მისცა და ავზი შეავსო 22 ლიტრი ბენზინით 31 რუბლის ფასად. 80 კოპი. ლიტრზე რა ცვლილება უნდა მიიღოს მომხმარებელმა სალაროსგან? გამოხატეთ თქვენი პასუხი რუბლით.

ჯერ გამოვხატოთ ბენზინის ფასი რუბლებში (კაპეკის გარეშე): 31 რუბლი. 80 კოპი. - ეს არის 31,8 რუბლი.

ასე რომ, ერთი ლიტრი ღირს 31,8 რუბლი. შემდეგ 22 ლიტრი ღირს 22 · 31.8 = 699.6 რუბლი. მაგრამ კლიენტმა მოლარეს მისცა 1000 რუბლი, ამიტომ მან უნდა მიიღოს ცვლილება 1000 − 699,6 = 300,4 რუბლის ოდენობით. ეს არის პასუხი - არ არის საჭირო ნომრის კაპიკებად გადაქცევა.

დავალება. ბენზინგასამართ სადგურზე კლიენტმა მოლარეს 1000 მანეთი მისცა და ავზის შევსებამდე სთხოვა გაზის შევსება. ბენზინის ფასი 30 რუბლია. 30 კაპიკი ლიტრზე კლიენტმა სანაცვლოდ მიიღო 303 რუბლი. 10 კაპიკი რამდენი ლიტრი ბენზინი ჩაასხეს ავზში?

მოდით გადავიტანოთ ყველა ფასი ისევ რუბლებში: 30 რუბლი. 30 კაპიკი არის 30,3 რუბლი; 303 რუბლი. 10 კაპიკი - ეს არის 303,1 რუბლი.

ახლა მოდით გადავხედოთ პრობლემის განცხადებას. თუ კლიენტმა მოლარეს მისცა 1000 რუბლი და მიიღო 303,1 რუბლი, მაშინ რეალური ხარჯები (შესყიდვის ფასი) იქნება 1000 − 303,1 = 696,9 რუბლი.

ვინაიდან 1 ლიტრი ბენზინი ღირს 30,3 რუბლი, მაშინ 696,9 რუბლისთვის შეგიძლიათ შეიძინოთ 696,9: 30,3 = 23 ლიტრი. ეს არის პასუხი.

ამოცანა B3: პიცის დაჭრის სწავლა. უჯრედების გარეშე

როგორც ველოდი, ზოგიერთმა პრობლემამ B3-ში გვთხოვა გვეპოვა მრავალკუთხედის ფართობი, მოცემულია კოორდინატებითმათი მწვერვალები. ამ შემთხვევაში ნახაზში არ იყო კოორდინატთა ბადე. სხვა პრობლემები მოითხოვდა სექტორების ზონების მოძიებას.

მრავალკუთხედებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრა შესაძლებელია ელემენტარული გზით - უბრალოდ შექმენით აღწერილი მართკუთხედი (იხილეთ გაკვეთილი „მრავალკუთხედების არეები კოორდინატთა ბადეზე“). ჩვენ ასევე ვიცით, როგორ ვიმუშაოთ სექტორებთან (იხ. გაკვეთილი „წრის ფართობი“), თუმცა, ამჯერად პრობლემურმა ავტორებმა შემოგვთავაზეს უფრო დახვეწილი დიზაინი.

დავალება. ჩართულია ჩექმიანი ქაღალდიშედგენილია წრე, რომლის ფართობია 16. იპოვეთ დაჩრდილული ფიგურის ფართობი.

მოდით დავჭრათ წრე 8 თანაბარ სექტორად, როგორც პიცა. თითოეული სექტორის ფართობი იქნება 16: 8 = 2 (იხ. ნახაზი).

ცხადია, დაჩრდილული ნაწილი შედგება 6 ასეთი სექტორისგან, ამიტომ მისი ფართობია 6 2 = 12.

დავალება. იპოვეთ ოთხკუთხედის ფართობი, რომლის წვეროებს აქვს კოორდინატები (1; 1), (10; 1), (7; 9), (2; 9)

ცხადია, ეს არის ტრაპეცია, ამიტომ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ტრაპეციის ფართობის ფორმულის გამოყენებით. მაგრამ ჩვენ მივყვებით ტრადიციულ გზას: ავაშენებთ აღწერილ ოთხკუთხედს და აღვნიშნავთ ყველა ჭრილის სიგრძეს. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ სურათს:

რჩება მხოლოდ პოვნა საერთო ფართობიმართკუთხედი S, ისევე როგორც სამკუთხედების S 1 და S 2 ფართობი, რომელიც უნდა მოიჭრას:
S = 9 8 = 72;
S 1 = 0.5 1 8 = 4;
S 2 = 0.5 3 8 = 12;
S out = S − (S 1 + S 2) = 72 − (4 + 12) = 56.

ამოცანა B7: ტრიგონომეტრია

აბსოლუტურად სტანდარტული დავალებაგამოთვლა ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდა მუშაობა საკოორდინაციო წრე. შეცდომების უმეტესობა მოხდა იმ ვარიანტებში, რომლებშიც საჭირო იყო ტანგენტის ან კოტანგენტის პოვნა, რადგან მრავალ დონის წილადები წარმოიქმნება ასეთი პრობლემების გადაჭრის ბოლოს.

სამწუხაროდ, მე-11 კლასის მოსწავლეთა უმეტესობამ ჯერ კიდევ არ იცის როგორ იმუშაოს მრავალსართულიანი წილადები. თუმცა ამაში მხოლოდ მასწავლებელია დამნაშავე. გასაკვირია, უმეტესობა სკოლის მასწავლებლებითავად მათემატიკოსებმა არ იციან ასეთი წილადების გამოთვლა (იხ. გაკვეთილი „კომპლექსური გამოთქმები წილადებით. პროცედურა“).

პირადად მე მიმაჩნია, რომ ასეთი ადამიანები სკოლებში არ უნდა მუშაობდნენ. მათემატიკის მასწავლებელი, რომელმაც არ იცის მრავალსართულიან წილადებთან მუშაობა, სასწრაფოდ უნდა დისკვალიფიცირდეს და მაღაროებში გაგზავნოს ურანის მოსაპოვებლად.

თუ თქვენც გაწუხებთ მრავალსართულიანი წილადების პრობლემა, უბრალოდ ისწავლეთ ზემოთ მოცემული გაკვეთილი და შემდეგ გაიარეთ თანდართული ტესტები. დამიჯერეთ, არაფერია რთული ამ წილადებში.

პრობლემა B10: პეტია თავისი მონეტებით

ალბათობის თეორიის პრობლემები ყოველთვის მრავალფეროვანი იყო, მაგრამ ამჯერად შემდგენლებმა, როგორც ჩანს, საკუთარ თავს გადალახეს. მაგალითად, ზოგიერთ ვარიანტში საჭირო იყო პასუხის დამრგვალება მეასედებად. IN წინააღმდეგ შემთხვევაშიუსასრულო აღმოჩნდა ათობითი. მაგრამ სტუდენტების უმეტესობა შეძლებს ამ წილადის პოვნას მხოლოდ კალკულატორის დახმარებით, რომლის გამოყენებაც აკრძალულია მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაგრამ დამრგვალება არც ისე ცუდია. გაცილებით საინტერესოდ გამოიყურება პრობლემები მონეტებთან დაკავშირებით, რომლებიც პირველად გამოჩნდა სასწავლო ვერსიებში. ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ რა არის ბინომალური კოეფიციენტები - და ამ თემას უახლოეს მომავალში აუცილებლად განვიხილავთ. ახლა ჩვენ შემოვიფარგლებით ორი კონკრეტული პრობლემის ანალიზით 1 და 4 ვარიანტებიდან (ლოგარითმების გარეშე):

დავალება. პეტიას ჯიბეში ჰქონდა 4 რუბლის მონეტა და 2 რუბლის მონეტა. პეტიამ, შეხედვის გარეშე, სამი მონეტა სხვა ჯიბეში გადაიტანა. იპოვეთ ალბათობა, რომ ორივე ორ რუბლის მონეტა ერთ ჯიბეშია.

ვინაიდან ორივე ორ-რუბლიანი მონეტა ერთსა და იმავე ჯიბეში აღმოჩნდა, არსებობს ორი შესაძლო ვარიანტი: ან პეტიამ საერთოდ არ გადაურიცხა ისინი, ან ორივე ერთდროულად გადაიტანა.

პირველ შემთხვევაში, როდესაც ორი რუბლის მონეტები არ გადაინაცვლა, მოგიწევთ 3 რუბლის მონეტების გადატანა. ვინაიდან სულ 4 ასეთი მონეტაა, ამის გაკეთების გზების რაოდენობა უდრის 4-ის 3-ზე კომბინაციების რაოდენობას: C 4 3.

მეორე შემთხვევაში, როდესაც ორივე ორ-რუბლიანი მონეტა გადაირიცხება, მეორე რუბლის მონეტა უნდა გადაირიცხოს. ის უნდა შეირჩეს 4 არსებულიდან და ამის გაკეთების გზების რაოდენობა უდრის კომბინაციების რაოდენობას 4-დან 1-მდე: C 4 1.

ახლა მოდით ვიპოვოთ მონეტების გადაწყობის გზების რაოდენობა. ვინაიდან სულ არის 4 + 2 = 6 მონეტა და თქვენ მხოლოდ უნდა აირჩიოთ 3 მათგანი, საერთო რაოდენობავარიანტები უდრის კომბინაციების რაოდენობას 6-დან 3-მდე: C 6 3.

რჩება ალბათობის პოვნა:

ამ შემთხვევაში, კომბინაციების რაოდენობა b-დან a-მდე გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით, რომელიც ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი:

დავალება. პეტიას ჯიბეში ჰქონდა 2 მონეტა 5 რუბლისა და 4 მონეტა 10 მანეთი. პეტიამ, შეხედვის გარეშე, 3 მონეტა სხვა ჯიბეში გადაიტანა. იპოვეთ ალბათობა, რომ ხუთ რუბლის მონეტები ახლა სხვადასხვა ჯიბეშია.

ხუთ რუბლის მონეტების სხვადასხვა ჯიბეში შესანახად, თქვენ უნდა გადაიტანოთ მხოლოდ ერთი მათგანი. ამის გაკეთების გზების რაოდენობა უდრის 2-ზე 1-ის კომბინაციების რაოდენობას: C 2 1.

მას შემდეგ, რაც პეტიამ ჯამში 3 მონეტა გადაიტანა, მას მოუწევს 10 რუბლის 2 მონეტის გადატანა. პეტიას აქვს 4 ასეთი მონეტა, ამიტომ გზების რაოდენობა უდრის 4-ის 2-ზე კომბინაციების რაოდენობას: C 4 2.

რჩება მხოლოდ იმის პოვნა, რამდენი ვარიანტია 6 ხელმისაწვდომიდან 3 მონეტის გადასატანად. ეს რაოდენობა იგივეა რაც წინა დავალება, უდრის 6-დან 3-მდე კომბინაციების რაოდენობას: C 6 3.

ჩვენ ვპოულობთ ალბათობას:

ბოლო ეტაპზე, ჩვენ გავამრავლეთ ორი რუბლიანი მონეტების არჩევის გზების რაოდენობა და ათი რუბლის მონეტების არჩევის გზების რაოდენობა, რადგან ეს მოვლენები დამოუკიდებელია.

მე აღვნიშნავ, რომ ალბათობათა ჯამი ტოლი იყო 0,4 + 0,6 = 1. მართლაც, მონეტების რაოდენობა ორივე ამოცანში ერთნაირია და ორი მონეტა შეიძლება იყოს ერთსა და იმავე ჯიბეში ან სხვადასხვაში - არის მესამე ვარიანტი არ არის.

ეს ფაქტი პასუხების სისწორეს ადასტურებს, მაგრამ გამოსავალი შორს იყო ტრივიალურისგან და მოითხოვს ძალიან კარგი ცოდნაალბათობის თეორია. სკოლის მოსწავლეების უმეტესობას ასეთი ცოდნა არ აქვს.

შენიშვნები ნაწილი C

ამოცანა C1, რომელშიც შემოთავაზებულია კომპლექსის ამოხსნა ტრიგონომეტრიული განტოლება, ოდნავ გადაფორმებული და ახლა შედგება ორი წერტილისგან:

1. რეალურად ამოხსენით ტრიგონომეტრიული განტოლება;
2. იპოვეთ მოცემული სეგმენტის კუთვნილი ფესვები.

დარჩენილი ამოცანები წინადან გადაიტანეს საცდელი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაპრაქტიკულად უცვლელი. პრობლემა C6 რჩება ისეთივე მარტივი და ვერ შეედრება რეალურ C6-ებს, რომლებიც გვხვდება მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში.

წრეები მოითხოვს უფრო ფრთხილ მიდგომას და გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია დავალებებში B5. Ამავე დროს, ზოგადი სქემაამონახსნები კიდევ უფრო მარტივია, ვიდრე მრავალკუთხედების შემთხვევაში (იხ. გაკვეთილი „მრავალკუთხედების ფართობები კოორდინატთა ბადეზე“).

ასეთ ამოცანებში საჭიროა მხოლოდ R წრის რადიუსის პოვნა. შემდეგ შეგიძლიათ გამოთვალოთ წრის ფართობი S = πR 2 ფორმულის გამოყენებით. ამ ფორმულიდან ასევე გამომდინარეობს, რომ მისი ამოსახსნელად საკმარისია იპოვოთ R 2.

მითითებული მნიშვნელობების საპოვნელად საკმარისია წრეზე წერტილის მითითება, რომელიც მდებარეობს ქსელის ხაზების გადაკვეთაზე. და შემდეგ გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა. განვიხილოთ კონკრეტული მაგალითებირადიუსის გამოთვლები:

დავალება. იპოვეთ ნახატზე ნაჩვენები სამი წრის რადიუსი:

მოდით შევასრულოთ დამატებითი კონსტრუქციები თითოეულ წრეში:

თითოეულ შემთხვევაში, B წერტილი არჩეულია წრეზე, რომელიც მდებარეობს ქსელის ხაზების გადაკვეთაზე. წერტილი C 1 და 3 წრეებში შეავსეთ ფიგურა მართკუთხა სამკუთხედი. რჩება რადიუსის პოვნა:

განვიხილოთ სამკუთხედი ABC პირველ წრეში. პითაგორას თეორემის მიხედვით: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

მეორე წრისთვის ყველაფერი აშკარაა: R = AB = 2.

მესამე შემთხვევა პირველის მსგავსია. დან სამკუთხედი ABCპითაგორას თეორემის მიხედვით: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

ახლა ჩვენ ვიცით როგორ ვიპოვოთ წრის რადიუსი (ან თუნდაც მისი კვადრატი). აქედან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ტერიტორია. არის პრობლემები, სადაც თქვენ უნდა იპოვოთ სექტორის ფართობი და არა მთელი წრის. ასეთ შემთხვევებში ადვილია იმის გარკვევა, თუ რა წრის ნაწილია ეს სექტორი და ამით არეალის პოვნა.

დავალება. იპოვეთ დაჩრდილული სექტორის S ფართობი. გთხოვთ, თქვენს პასუხში მიუთითოთ S/π.

ცხადია, სექტორი წრის მეოთხედია. ამიტომ, S = 0.25 S წრე.

რჩება წრის S-ის პოვნა - წრის ფართობი. ამისათვის ჩვენ ვასრულებთ დამატებით მშენებლობას:

სამკუთხედი ABC არის მართკუთხა სამკუთხედი. პითაგორას თეორემის მიხედვით გვაქვს: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

ახლა ვპოულობთ წრისა და სექტორის ფართობს: S წრე = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S წრე = 2π.

და ბოლოს, სასურველი მნიშვნელობა არის S /π = 2.

სექტორის ტერიტორია უცნობი რადიუსით

ეს არის აბსოლუტურად ახალი ტიპისამოცანები, მსგავსი არაფერი ყოფილა 2010-2011 წლებში. პირობის მიხედვით გვეძლევა წრე გარკვეული ტერიტორია(კერძოდ ფართობი და არა რადიუსი!). შემდეგ, ამ წრის შიგნით, არჩეულია სექტორი, რომლის ფართობიც უნდა მოიძებნოს.

სასიხარულო ამბავი ის არის, რომ ასეთი ამოცანები ყველაზე მარტივია ყველა იმ სფეროს ამოცანებს შორის, რომლებიც ჩნდება მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში. გარდა ამისა, წრე და სექტორი ყოველთვის მოთავსებულია კოორდინატთა ბადეზე. ამიტომ, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა მოაგვაროთ ასეთი პრობლემები, უბრალოდ შეხედეთ სურათს:

დაე, თავდაპირველ წრეს ჰქონდეს ფართობი S წრე = 80. შემდეგ ის შეიძლება დაიყოს S = 40 ფართობის ორ სექტორად (იხ. ნაბიჯი 2). ანალოგიურად, თითოეული ამ "ნახევრების" სექტორები შეიძლება კვლავ გაიყოს ნახევარზე - მივიღებთ ოთხ სექტორს ფართობით S = 20 თითოეული (იხ. ნაბიჯი 3). დაბოლოს, ჩვენ შეგვიძლია დავყოთ თითოეული ეს სექტორი კიდევ ორად - მივიღებთ 8 „სკრაპის“ სექტორს. თითოეული ამ "ნაწერის" ფართობი იქნება S = 10.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: არც ერთში არ არის პატარა დანაყოფი ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო დავალებაარა მათემატიკაში! ამრიგად, B-3 პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი შემდეგია:

1. დაჭერით თავდაპირველი წრე 8 "ნაწერად" სექტორად. თითოეული მათგანის ფართობი არის მთელი წრის ფართობის ზუსტად 1/8. მაგალითად, თუ პირობის მიხედვით წრეს აქვს წრის S ფართობი = 240, მაშინ „სკრაპებს“ აქვს ფართობი S = 240: 8 = 30;
2. გაარკვიეთ, რამდენი „ჯართი“ ჯდება თავდაპირველ სექტორში, რომლის ფართობიც უნდა მოიძებნოს. მაგალითად, თუ ჩვენი სექტორი შეიცავს 3 „ჯართს“ 30 ფართობით, მაშინ სასურველი სექტორის ფართობია S = 3 · 30 = 90. ეს იქნება პასუხი.

Სულ ეს არის! პრობლემა წყდება პრაქტიკულად ზეპირად. თუ რამე ჯერ კიდევ გაუგებარია, იყიდეთ პიცა და დაჭერით 8 ნაწილად. თითოეული ასეთი ნაჭერი იქნება იგივე სექტორი - "ჯართი", რომელიც შეიძლება გაერთიანდეს უფრო დიდ ნაჭრებად.

ახლა მოდით შევხედოთ მაგალითებს საცდელი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან:

დავალება. 40-იანი ფართობის მქონე ქაღალდზე დახატულია წრე.

ასე რომ, წრის ფართობი არის 40. დაყავით იგი 8 სექტორად - თითოეული ფართობით S = 40: 5 = 8. ვიღებთ:

ცხადია, დაჩრდილული სექტორი შედგება ზუსტად ორი „სკრაპული“ სექტორისგან. მაშასადამე, მისი ფართობი არის 2 · 5 = 10. ეს არის მთელი გამოსავალი!

დავალება. 64-იანი ფართობის მქონე ქაღალდზე დახატულია წრე.

ისევ დაყავით მთელი წრე 8 თანაბარ სექტორად. ცხადია, ერთ-ერთი მათგანის ფართობი არის ზუსტად ის, რაც უნდა მოიძებნოს. აქედან გამომდინარე, მისი ფართობია S = 64: 8 = 8.

დავალება. 48-იანი ფართობის მქონე ქაღალდზე დახატულია წრე.

ისევ დაყავით წრე 8 თანაბარ სექტორად. თითოეული მათგანის ფართობი უდრის S = 48: 8 = 6. საჭირო სექტორი შეიცავს ზუსტად სამ სექტორს - "ჯართებს" (იხ. სურათი). ამიტომ, საჭირო სექტორის ფართობია 3 6 = 18.

გამარჯობა მეგობრებო!ჩართულია მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაშიმოიცავს დავალებებს, რომლებიც დაკავშირებულია წრის ან მისი ნაწილების ფართობის პოვნასთან (სექტორები, რგოლის ელემენტები). ფიგურა მოთავსებულია ფურცელზე ჩექმიანი ნიმუშით. ზოგიერთ პრობლემაში უჯრედის მასშტაბი მოცემულია 1×1 სანტიმეტრით, ზოგიერთში არ არის მითითებული - მოცემულია წრის ელემენტის ან თავად წრის ფართობი.

ამოცანები ზედაპირულია, თქვენ უნდა გახსოვდეთ წრის ფართობის ფორმულა, შეძლოთ ვიზუალურად (უჯრედების მიხედვით) განსაზღვროთ წრის რადიუსი, წრის რა პროპორციაა შერჩეული სექტორი. სხვათა შორის, ბლოგზე სექტორის ფართობის შესახებ. მის შინაარსს არაფერი აქვს საერთო ქვემოთ წარმოდგენილი პრობლემების გადაჭრასთან, მაგრამ მათთვის, ვისაც სურს გაიხსენოს წრის ფართობისა და სექტორის ფართობის ფორმულა, ეს ძალიან სასარგებლო იქნება. განიხილეთ ამოცანები (აღებულია ღია დავალების ბანკიდან):

იპოვეთ (სმ 2-ში) უჯრის 1 სმ x 1 სმ ზომის ფიგურის S ფართობი.

ფიგურის (ბეჭდის) ფართობის მისაღებად აუცილებელია წრის ფართობი 1 რადიუსით გამოვაკლოთ წრის ფართობს 2 რადიუსით. ფართობის ფორმულა. წრე არის:

ნიშნავს,

შედეგი გაყავით პიზე და ჩაწერეთ პასუხი.

პასუხი: 3

კარკასულ ქაღალდზე ორი წრეა დახატული. შიდა წრის ფართობი არის 51. იპოვეთ დაჩრდილული ფიგურის ფართობი.

დაჩრდილული ფიგურის ფართობის პოვნა შესაძლებელია უფრო დიდი წრის ფართობსა და პატარას ფართობს შორის სხვაობის გამოთვლით. მოდით განვსაზღვროთ რამდენჯერ განსხვავდება უფრო დიდის ფართობი პატარას ფართობისგან. უფრო პატარას რადიუსი უდრის R-ს, მაშინ მისი ფართობი უდრის:

უფრო დიდი წრის რადიუსი ორჯერ დიდია (უჯრედებიდან ჩანს). ასე რომ, მისი ფართობი უდრის:

აღმოვაჩინეთ, რომ მისი ფართობი 4-ჯერ დიდია.

მაშასადამე, ის უდრის 51∙4 = 204 სმ 2

ამრიგად, დაჩრდილული ფიგურის ფართობია 204 – 51 = 153 სმ 2.

*მეორე მეთოდი. შესაძლებელი იყო მცირე წრის რადიუსის გამოთვლა, შემდეგ უფრო დიდის რადიუსის დადგენა. შემდეგი, იპოვნეთ უფრო დიდი ფართობი და გამოთვალეთ სასურველი ფიგურის ფართობი.

კარკასულ ქაღალდზე ორი წრეა დახატული. შიდა წრის ფართობი არის 1. იპოვეთ დაჩრდილული ფიგურის ფართობი.

ეს პრობლემა პრაქტიკულად არაფრით განსხვავდება მისი გადაწყვეტით, ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ წრეებს განსხვავებული ცენტრები აქვთ.

იმისდა მიუხედავად, რომ ნათელია, რომ უფრო დიდი წრის რადიუსი 2-ჯერ მეტია, ვიდრე პატარას რადიუსი, გირჩევთ, მიუთითოთ უჯრედის ზომა ცვლადით x (x).

ისევე როგორც წინა პრობლემაში, მოდით განვსაზღვროთ რამდენჯერ განსხვავდება უფრო დიდის ფართობი პატარას ფართობისგან. მოდით გამოვხატოთ უფრო მცირე წრის ფართობი, რადგან მისი რადიუსი არის 3x:

მოდით გამოვხატოთ უფრო დიდი წრის ფართობი, რადგან მისი რადიუსი არის 6x:

როგორც ხედავთ, უფრო დიდი წრის ფართობი 4-ჯერ დიდია.

მაშასადამე, ის უდრის 1∙4 = 4 სმ 2-ს

ამრიგად, დაჩრდილული ფიგურის ფართობია 4 – 1 = 3 სმ 2.

პასუხი: 3

კარკასულ ქაღალდზე ორი წრეა დახატული. შიდა წრის ფართობი არის 9. იპოვეთ დაჩრდილული ფიგურის ფართობი.

უჯრედის ზომა ავღნიშნოთ x (x) ცვლადით.

მოდით განვსაზღვროთ რამდენჯერ განსხვავდება უფრო დიდი წრის ფართობი პატარას ფართობისგან. გამოვხატოთ უფრო მცირე წრის ფართობი. ვინაიდან მისი რადიუსი არის 3∙ x, მაშინ

გამოვხატოთ უფრო დიდი წრის ფართობი. ვინაიდან მისი რადიუსი არის 4∙ x, მაშინ

გაყავით დიდის ფართობი პატარას ფართობზე:

ანუ უფრო დიდი წრის ფართობი არის 16/9-ჯერ მეტი ფართობინაკლებია, ამიტომ უდრის:

ამრიგად, დაჩრდილული ფიგურის ფართობია 16 – 9 = 7 სმ 2.

*მეორე მეთოდი.

გამოვთვალოთ პატარა წრის რადიუსი. მისი ფართობი არის 9, რაც ნიშნავს

მოდი ვიპოვოთ უჯრედის ზომა და შემდეგ შეგვიძლია განვსაზღვროთ უფრო დიდი წრის რადიუსი. უჯრედის ზომაა:

ვინაიდან უფრო დიდი წრის რადიუსი შეესაბამება 4 უჯრედს, მისი რადიუსი ტოლი იქნება:

განსაზღვრეთ უფრო დიდი წრის ფართობი:

იპოვეთ განსხვავება: 16 – 9 = 7 სმ 2

პასუხი: 7

48 ფართობის წრე დახატულია ქაღალდზე, იპოვნეთ დაჩრდილული სექტორის ფართობი.

ამ პრობლემაში აშკარაა, რომ დაჩრდილული ნაწილი მთელი წრის ფართობის ნახევარია, ანუ 24-ის ტოლია.

პასუხი: 24

მოკლე რეზიუმე.

წრის სექტორის ფართობთან დაკავშირებულ პრობლემებში, აუცილებელია იმის დადგენა, თუ რა პროპორციას შეადგენს იგი წრის ფართობზე. ამის გაკეთება არ არის რთული, რადგან მსგავსი ამოცანები ცენტრალური კუთხესექტორი არის 30 ან 45-ის ჯერადი.

რგოლის ელემენტების არეების პოვნასთან დაკავშირებულ პრობლემებში არის სხვადასხვა გზებიგადაჭრისთვის, ორივე ნაჩვენებია ამოხსნილ ამოცანებში. მეთოდი, რომელშიც უჯრედის ზომა მითითებულია x ცვლადის მეშვეობით, შემდეგ კი რადიუსები განისაზღვრება, უფრო უნივერსალურია.

მაგრამ ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ არ დაიმახსოვროთ ეს მეთოდები. შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე და მეოთხე გამოსავალი. მთავარია ვიცოდეთ წრის ფართობის ფორმულა და შეძლოთ ლოგიკური მსჯელობა.

Სულ ეს არის. Წარმატებას გისურვებ!

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.