სამკუთხედის ფართობი, რომელიც დაფუძნებულია ერთ მხარეს და ერთ კუთხეზე. როგორ მოვძებნოთ სამკუთხედის ფართობი

სამკუთხედი - უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება სამი მხარისა და სამი წვერისგან. მისი სიმარტივიდან გამომდინარე, სამკუთხედი უძველესი დროიდან გამოიყენებოდა სხვადასხვა გაზომვისთვის და დღეს ფიგურა შეიძლება გამოდგეს პრაქტიკული და ყოველდღიური პრობლემების გადასაჭრელად.

სამკუთხედის მახასიათებლები

ფიგურა გამოიყენებოდა გამოთვლებისთვის უძველესი დროიდან, მაგალითად, მიწის ამზომველები და ასტრონომები მუშაობენ სამკუთხედების თვისებებით, რათა გამოთვალონ ფართობი და მანძილი. ადვილია ნებისმიერი n-გონების ფართობის გამოხატვა ამ ფიგურის ფართობზე და ეს თვისება გამოიყენეს ძველმა მეცნიერებმა მრავალკუთხედების ფართობების ფორმულების გამოსათვლელად. მუდმივი სამუშაოსამკუთხედებით, განსაკუთრებით მართკუთხა სამკუთხედით, საფუძველი გახდა მათემატიკის მთელი დარგისთვის - ტრიგონომეტრია.

სამკუთხედის გეომეტრია

გეომეტრიული ფიგურის თვისებები შესწავლილი იყო უძველესი დროიდან: ყველაზე ადრეული ინფორმაცია სამკუთხედის შესახებ ნაპოვნი იქნა ეგვიპტურ პაპირუსებში 4000 წლის წინ. შემდეგ ფიგურა შეისწავლეს ძველი საბერძნეთიდა უდიდესი წვლილიევკლიდე, პითაგორა და ჰერონმა წვლილი შეიტანა სამკუთხედის გეომეტრიაში. სამკუთხედის შესწავლა არასოდეს შეწყვეტილა და მე-18 საუკუნეში ლეონჰარდ ეილერმა შემოიღო ფიგურის ორთოცენტრისა და ეილერის წრის კონცეფცია. მე-19 და მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე, როდესაც ჩანდა, რომ აბსოლუტურად ყველაფერი იყო ცნობილი სამკუთხედის შესახებ, ფრენკ მორლიმ ჩამოაყალიბა თეორემა კუთხის ტრისექტორებზე, ხოლო ვაცლავ სიერპინსკიმ შემოგვთავაზა ფრაქტალის სამკუთხედი.

ჩვენთვის ნაცნობი ბრტყელი სამკუთხედების რამდენიმე სახეობაა სკოლის კურსიგეომეტრია:

• მწვავე - ფიგურის ყველა კუთხე მწვავეა;
• ბლაგვი - ფიგურას აქვს ერთი ბლაგვი კუთხე(90 გრადუსზე მეტი);
• მართკუთხა - ფიგურა შეიცავს ერთ მართკუთხა კუთხეს, რომელიც უდრის 90 გრადუსს;
• ტოლფერდა - სამკუთხედი ორი თანაბარი გვერდით;
• ტოლგვერდა - სამკუთხედი ყველა თანაბარი გვერდით.
• IN რეალური ცხოვრებაარსებობს ყველა სახის სამკუთხედი და ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება დაგჭირდეთ გეომეტრიული ფიგურის ფართობის გამოთვლა.

სამკუთხედის ფართობი

ფართობი არის შეფასება იმისა, თუ რამდენ სიბრტყეს მოიცავს ფიგურას. სამკუთხედის ფართობის ნახვა შესაძლებელია ექვსი გზით, გვერდების, სიმაღლის, კუთხეების, შემოხაზული ან შემოხაზული წრის რადიუსის გამოყენებით, აგრეთვე ჰერონის ფორმულის გამოყენებით ან გამოთვლებით. ორმაგი ინტეგრალითვითმფრინავის შემზღუდველი ხაზების გასწვრივ. ყველაზე მეტად მარტივი ფორმულასამკუთხედის ფართობის გამოთვლა ასე გამოიყურება:

სადაც a არის სამკუთხედის გვერდი, h არის მისი სიმაღლე.

თუმცა, პრაქტიკაში ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი გეომეტრიული ფიგურის სიმაღლის პოვნა. ჩვენი კალკულატორის ალგორითმი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ფართობი იცოდეთ:

• სამი მხარე;
• ორი მხარე და მათ შორის კუთხე;
• ერთი მხარე და ორი კუთხე.

სამი მხარის ფართობის დასადგენად, ვიყენებთ ჰერონის ფორმულას:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

სადაც p არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი.

ფართობი ორ მხარეს და კუთხე გამოითვლება კლასიკური ფორმულის გამოყენებით:

S = a × b × sin(alfa),

სადაც ალფა არის კუთხე a და b გვერდებს შორის.

ფართობის დასადგენად ერთი მხარისა და ორი კუთხის მიხედვით, ვიყენებთ მიმართებას, რომელიც:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(გამა)

მარტივი პროპორციის გამოყენებით განვსაზღვრავთ მეორე მხარის სიგრძეს, რის შემდეგაც ვიანგარიშებთ ფართობს S = a × b × sin(alfa) ფორმულით. ეს ალგორითმიარის სრულად ავტომატიზირებული და თქვენ მხოლოდ უნდა შეიყვანოთ მითითებული ცვლადები და მიიღოთ შედეგი. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითები ცხოვრებიდან

მოსაპირკეთებელი ფილები

ვთქვათ, გსურთ იატაკის დაგება სამკუთხა ფილებით, ხოლო მასალის საჭირო რაოდენობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ ერთი კრამიტის ფართობი და იატაკის ფართობი. დავუშვათ, რომ საჭიროა 6 კვადრატული მეტრი ზედაპირის დამუშავება კრამიტის გამოყენებით, რომლის ზომებია a = 20 სმ, b = 21 სმ, c = 29 სმ, ცხადია, სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად, კალკულატორი იყენებს ჰერონის ფორმულას და იძლევა. შედეგი:

ამრიგად, ერთი კრამიტის ელემენტის ფართობი იქნება 0,021 კვადრატული მეტრიდა იატაკის გასაუმჯობესებლად დაგჭირდებათ 6/0.021 = 285 სამკუთხედი. 20, 21 და 29 რიცხვები შეადგენენ პითაგორას სამეული- რიცხვები, რომლებიც აკმაყოფილებს. და ეს ასეა, ჩვენმა კალკულატორმა ასევე გამოითვალა სამკუთხედის ყველა კუთხე და გამა კუთხე არის ზუსტად 90 გრადუსი.

სკოლის დავალება

IN სასკოლო დავალებააუცილებელია სამკუთხედის ფართობის პოვნა, იმის ცოდნა, რომ გვერდი a = 5 სმ, ხოლო ალფა და ბეტა კუთხეები, შესაბამისად, 30 და 50 გრადუსია. ამ პრობლემის ხელით გადასაჭრელად, ჩვენ პირველ რიგში ვიპოვით b მხარის მნიშვნელობას ასპექტის და სინუსების თანაფარდობის გამოყენებით. საპირისპირო კუთხეები, რის შემდეგაც ფართობი განისაზღვრა მარტივი ფორმულით S = a × b × sin(alfa). დავზოგოთ დრო, შევიყვანოთ მონაცემები კალკულატორის ფორმაში და მივიღოთ მყისიერი პასუხი

კალკულატორის გამოყენებისას მნიშვნელოვანია კუთხეების და გვერდების სწორად მითითება, წინააღმდეგ შემთხვევაში შედეგი არასწორი იქნება.

დასკვნა

სამკუთხედი უნიკალური ფიგურაა, რომელიც გვხვდება როგორც რეალურ ცხოვრებაში, ასევე აბსტრაქტულ გამოთვლებში. გამოიყენეთ ჩვენი ონლაინ კალკულატორი ნებისმიერი სახის სამკუთხედის ფართობის დასადგენად.

სამკუთხედის ფართობის დასადგენად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვადასხვა ფორმულები. ყველა მეთოდიდან ყველაზე მარტივი და ხშირად გამოყენებული არის სიმაღლის გამრავლება ფუძის სიგრძეზე და შემდეგ შედეგის ორზე გაყოფა. თუმცა ამ მეთოდითშორს ერთადერთისგან. ქვემოთ შეგიძლიათ წაიკითხოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი სხვადასხვა ფორმულების გამოყენებით.

ცალკე განვიხილავთ სამკუთხედების სპეციფიკური ტიპების ფართობის გამოთვლის გზებს - მართკუთხა, ტოლფერდა და ტოლგვერდა. თითოეულ ფორმულას თან ახლავს მოკლე განმარტება, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ მისი არსი.

უნივერსალური მეთოდები სამკუთხედის ფართობის მოსაძებნად

ქვემოთ მოცემული ფორმულები იყენებენ სპეციალურ აღნიშვნას. ჩვენ გავშიფრავთ თითოეულ მათგანს:

• a, b, c – ჩვენ განხილული ფიგურის სამი გვერდის სიგრძეები;
• r არის წრის რადიუსი, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს ჩვენს სამკუთხედში;
• R არის წრის რადიუსი, რომელიც შეიძლება აღწერილი იყოს მის გარშემო;
• α არის b და c გვერდების მიერ წარმოქმნილი კუთხის სიდიდე;
• β არის a და c შორის კუთხის სიდიდე;
• γ არის a და b გვერდების მიერ წარმოქმნილი კუთხის სიდიდე;
• h არის ჩვენი სამკუთხედის სიმაღლე, ჩამოშვებული α კუთხიდან a მხარეს;
• p – a, b და c გვერდების ჯამის ნახევარი.

ლოგიკურად გასაგებია, რატომ შეგიძლიათ იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი ამ გზით. სამკუთხედი ადვილად შეიძლება დასრულდეს პარალელოგრამად, რომელშიც სამკუთხედის ერთი გვერდი იმოქმედებს როგორც დიაგონალი. პარალელოგრამის ფართობი იპოვება მისი ერთ-ერთი მხარის სიგრძის გამრავლებით მისკენ მიზიდული სიმაღლის მნიშვნელობაზე. დიაგონალი ამ პირობით პარალელოგრამს ყოფს 2-ად იდენტური სამკუთხედები. აქედან გამომდინარე, აშკარაა, რომ ჩვენი თავდაპირველი სამკუთხედის ფართობი უნდა იყოს ამ დამხმარე პარალელოგრამის ფართობის ნახევარი.

S=½ a b sin γ

ამ ფორმულის მიხედვით, სამკუთხედის ფართობი იპოვება მისი ორი გვერდის, ანუ a და b სიგრძის გამრავლებით, მათ მიერ წარმოქმნილი კუთხის სინუსზე. ეს ფორმულა ლოგიკურად გამომდინარეობს წინადან. თუ სიმაღლეს β კუთხიდან b მხარეს დავამცირებთ, მაშინ თვისებების მიხედვით მართკუთხა სამკუთხედი, a გვერდის სიგრძის γ კუთხის სინუსზე გამრავლებისას ვიღებთ სამკუთხედის სიმაღლეს, ანუ h.

მოცემული ფიგურის ფართობი იპოვება წრის რადიუსის ნახევრის გამრავლებით, რომელიც მასში შეიძლება ჩაიწეროს მის პერიმეტრზე. ანუ ვპოულობთ აღნიშნული წრის ნახევრადპერიმეტრისა და რადიუსის ნამრავლს.

S= a b c/4R

ამ ფორმულის მიხედვით, ჩვენთვის საჭირო მნიშვნელობა შეიძლება ვიპოვოთ ფიგურის გვერდების ნამრავლის გაყოფით მის გარშემო აღწერილი წრის 4 რადიუსზე.

ეს ფორმულები უნივერსალურია, რადგან ისინი შესაძლებელს ხდის ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობის განსაზღვრას (სკალენური, ტოლგვერდა, ტოლგვერდა, მართკუთხა). ეს ასევე შეიძლება გაკეთდეს მეტის გამოყენებით რთული გამოთვლები, რაზეც დეტალურად არ შევჩერდებით.

სამკუთხედების ფართობი სპეციფიკური თვისებებით

როგორ მოვძებნოთ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი? ამ ფიგურის თავისებურება ის არის, რომ მისი ორი მხარე ერთდროულად მისი სიმაღლეა. თუ a და b არის ფეხები, და c ხდება ჰიპოტენუზა, მაშინ ჩვენ ვიპოვით ფართობს შემდეგნაირად:

როგორ მოვძებნოთ ტერიტორია ტოლფერდა სამკუთხედი? მას აქვს ორი გვერდი სიგრძით a და ერთი გვერდი სიგრძით b. შესაბამისად, მისი ფართობის დადგენა შესაძლებელია a გვერდის კვადრატის ნამრავლის 2-ზე გაყოფით γ კუთხის სინუსზე.

როგორ მოვძებნოთ ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი? მასში ყველა გვერდის სიგრძე უდრის a-ს, ხოლო ყველა კუთხის სიდიდე α-ს. მისი სიმაღლე უდრის a გვერდის სიგრძისა და 3-ის კვადრატული ფესვის ნამრავლის ნახევარს. ფართობის საპოვნელად რეგულარული სამკუთხედი, თქვენ უნდა გაამრავლოთ a გვერდის კვადრატი 3-ის კვადრატულ ფესვზე და გავყოთ 4-ზე.

სამკუთხედი ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული გეომეტრიული ფიგურაა, რომელსაც უკვე ვიცნობთ დაწყებითი სკოლა. ყველა სტუდენტს აწყდება კითხვა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი გეომეტრიის გაკვეთილებზე. მაშ, მოცემული ფიგურის ფართობის პოვნის რა თავისებურებები შეიძლება გამოვლინდეს? ამ სტატიაში განვიხილავთ ძირითად ფორმულებს, რომლებიც აუცილებელია ასეთი ამოცანის შესასრულებლად და ასევე გავაანალიზებთ სამკუთხედების ტიპებს.

სამკუთხედების ტიპები

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი აბსოლუტურად სხვადასხვა გზით, რადგან გეომეტრიაში არის ერთზე მეტი ტიპის ფიგურა, რომელიც შეიცავს სამ კუთხეს. ეს ტიპები მოიცავს:

• ბუნდოვანი.
• ტოლგვერდა (სწორი).
• მართკუთხა სამკუთხედი.
• ტოლფერდა.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ თითოეულ მათგანს არსებული ტიპებისამკუთხედები.

ეს გეომეტრიული ფიგურა ყველაზე გავრცელებულად ითვლება ამოხსნისას გეომეტრიული პრობლემები. როცა საჭირო გახდება დახატვა თვითნებური სამკუთხედი, ეს ვარიანტი სამაშველოში მოდის.

მახვილ სამკუთხედში, როგორც სახელიდან ჩანს, ყველა კუთხე არის მახვილი და ემატება 180°.

ამ ტიპის სამკუთხედი ასევე ძალიან გავრცელებულია, მაგრამ გარკვეულწილად ნაკლებად გავრცელებულია, ვიდრე მწვავე სამკუთხედი. მაგალითად, სამკუთხედების ამოხსნისას (ანუ ცნობილია მისი რამდენიმე გვერდი და კუთხე და საჭიროა დარჩენილი ელემენტების პოვნა), ზოგჯერ უნდა დაადგინოთ, არის თუ არა კუთხე ბლაგვი. კოსინუსი არის უარყოფითი რიცხვი.

B, ერთ-ერთი კუთხის მნიშვნელობა აღემატება 90°-ს, ამიტომ დარჩენილ ორ კუთხეს შეუძლია მიიღოს მცირე მნიშვნელობები (მაგალითად, 15° ან თუნდაც 3°).

სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად ამ ტიპის, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ნიუანსი, რაზეც შემდეგში ვისაუბრებთ.

რეგულარული და ტოლფერდა სამკუთხედები

რეგულარული მრავალკუთხედიარის ფიგურა, რომელიც მოიცავს n კუთხეს და რომლის გვერდები და კუთხეები ყველა ტოლია. ეს არის ჩვეულებრივი სამკუთხედი. ვინაიდან სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი არის 180°, მაშინ სამივე კუთხიდან თითოეული არის 60°.

წესიერ სამკუთხედს, თავისი თვისების გამო, ტოლგვერდა ფიგურასაც უწოდებენ.

აღსანიშნავია ისიც, რომ მხოლოდ ერთი წრე შეიძლება ჩაიწეროს რეგულარულ სამკუთხედში და მხოლოდ ერთი წრე შეიძლება იყოს აღწერილი მის გარშემო და მათი ცენტრები განლაგებულია იმავე წერტილში.

ტოლგვერდა ტიპის გარდა, შეიძლება განვასხვავოთ მისგან ოდნავ განსხვავებული ტოლფერდა სამკუთხედიც. ასეთ სამკუთხედში ორი გვერდი და ორი კუთხე ერთმანეთის ტოლია, ხოლო მესამე გვერდი (რომელსაც მიმდებარე თანაბარი კუთხეები) არის საფუძველი.

ნახატზე ნაჩვენებია ტოლფერდა სამკუთხედი DEF, რომლის კუთხეები D და F ტოლია და DF არის ფუძე.

მართკუთხა სამკუთხედი

მართკუთხა სამკუთხედს ასე უწოდებენ, რადგან მისი ერთ-ერთი კუთხე მართია, ანუ ტოლია 90°-ისა. დანარჩენი ორი კუთხე ემატება 90°-ს.

ყველაზე მეტად დიდი მხარეასეთი სამკუთხედის 90° კუთხის მოპირდაპირე მხარეს არის ჰიპოტენუზა, ხოლო დანარჩენი ორი გვერდი არის ფეხები. ამ ტიპის სამკუთხედისთვის გამოიყენება პითაგორას თეორემა:

ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატს.

ნახატზე ნაჩვენებია მართკუთხა სამკუთხედი BAC ჰიპოტენუზა AC-ით და AB და BC ფეხებით.

იმისათვის, რომ იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი მართი კუთხით, თქვენ უნდა იცოდეთ რიცხვითი მნიშვნელობებიმისი ფეხები.

მოდით გადავიდეთ მოცემული ფიგურის ფართობის პოვნის ფორმულებზე.

ფართობის პოვნის ძირითადი ფორმულები

გეომეტრიაში არსებობს ორი ფორმულა, რომლებიც შესაფერისია სამკუთხედების უმეტესი ტიპების ფართობის საპოვნელად, კერძოდ, მწვავე, ბლაგვი, რეგულარული და ტოლფერდა სამკუთხედებისთვის. მოდით შევხედოთ თითოეულ მათგანს.

გვერდით და სიმაღლეზე

ეს ფორმულაუნივერსალურია ჩვენ მიერ განხილული ფიგურის ფართობის საპოვნელად. ამისათვის საკმარისია ვიცოდეთ გვერდის სიგრძე და მასზე დახატული სიმაღლის სიგრძე. თავად ფორმულა (ძირის ნამრავლის ნახევარი და სიმაღლე) ასეთია:

სადაც A არის მხარე მოცემული სამკუთხედიდა H არის სამკუთხედის სიმაღლე.

მაგალითად, ტერიტორიის მოსაძებნად მწვავე სამკუთხედი ACB, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მისი გვერდი AB სიმაღლით CD და გაყოთ მიღებული მნიშვნელობა ორზე.

თუმცა, ყოველთვის ადვილი არ არის ამ გზით სამკუთხედის ფართობის პოვნა. მაგალითად, ამ ფორმულის გამოსაყენებლად ბლაგვი სამკუთხედი, აუცილებელია მისი ერთ-ერთი მხარის გაგრძელება და მხოლოდ ამის შემდეგ მიაპყროს მას სიმაღლე.

პრაქტიკაში, ეს ფორმულა უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე სხვები.

ორივე მხარეს და კუთხეში

ეს ფორმულა, ისევე როგორც წინა, შესაფერისია სამკუთხედების უმეტესობისთვის და მისი მნიშვნელობით არის სამკუთხედის გვერდითი ფართობის და სიმაღლის ფორმულის შედეგი. ანუ განსახილველი ფორმულა ადვილად შეიძლება იყოს მიღებული წინადან. მისი ფორმულირება ასე გამოიყურება:

S = ½*sinO*A*B,

სადაც A და B არის სამკუთხედის გვერდები, ხოლო O არის კუთხე A და B გვერდებს შორის.

შეგახსენებთ, რომ კუთხის სინუსის ნახვა შესაძლებელია გამოჩენილი საბჭოთა მათემატიკოსის V.M. Bradis-ის სახელობის სპეციალურ ცხრილში.

ახლა მოდით გადავიდეთ სხვა ფორმულებზე, რომლებიც შესაფერისია მხოლოდ განსაკუთრებული ტიპის სამკუთხედებისთვის.

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი

უნივერსალური ფორმულის გარდა, რომელიც მოიცავს სამკუთხედში სიმაღლის პოვნის აუცილებლობას, სამკუთხედის ფართობი, რომელიც შეიცავს მართკუთხა კუთხეს, შეგიძლიათ ნახოთ მისი ფეხებიდან.

ამრიგად, სამკუთხედის ფართობი, რომელიც შეიცავს მართ კუთხეს, არის მისი ფეხების პროდუქტის ნახევარი, ან:

სადაც a და b არის მართკუთხა სამკუთხედის ფეხები.

რეგულარული სამკუთხედი

ამ ტიპისგეომეტრიული ფიგურები განსხვავდება იმით, რომ მისი ფართობი შეიძლება მოიძებნოს მხოლოდ მისი ერთი მხარის მითითებული მნიშვნელობით (რადგან რეგულარული სამკუთხედის ყველა გვერდი ტოლია). ასე რომ, როდესაც წინაშე დგახართ "სამკუთხედის ფართობის პოვნა, როდესაც გვერდები ტოლია", თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულა:

S = A 2 *√3 / 4,

სადაც A არის ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდი.

ჰერონის ფორმულა

ბოლო ვარიანტისამკუთხედის ფართობის პოვნა ჰერონის ფორმულაა. მისი გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფიგურის სამი მხარის სიგრძე. ჰერონის ფორმულა ასე გამოიყურება:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

სადაც a, b და c არის მოცემული სამკუთხედის გვერდები.

ზოგჯერ მოცემულია პრობლემა: ”რეგულარული სამკუთხედის ფართობი არის მისი გვერდის სიგრძის პოვნა”. ამ შემთხვევაში, ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ფორმულა, რომელიც უკვე ვიცით რეგულარული სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად და მისგან გამოვიტანოთ გვერდის (ან მისი კვადრატის) მნიშვნელობა:

A 2 = 4S / √3.

საგამოცდო ამოცანები

მათემატიკაში GIA ამოცანებში ბევრი ფორმულაა. გარდა ამისა, საკმაოდ ხშირად საჭიროა სამკუთხედის ფართობის პოვნა ქაღალდზე.

ამ შემთხვევაში, ყველაზე მოსახერხებელია სიმაღლის დახატვა ფიგურის ერთ-ერთ მხარეს, მისი სიგრძის განსაზღვრა უჯრედებიდან და გამოყენება. უნივერსალური ფორმულატერიტორიის საპოვნელად:

ასე რომ, სტატიაში წარმოდგენილი ფორმულების შესწავლის შემდეგ, არანაირი პრობლემა არ გექნებათ რაიმე სახის სამკუთხედის ფართობის პოვნაში.

სამკუთხედი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება სამი სწორი ხაზისგან, რომლებიც აკავშირებენ წერტილებს, რომლებიც არ დევს იმავე სწორ ხაზზე. ხაზების შეერთების წერტილები არის სამკუთხედის წვეროები, რომლებიც მითითებულია ლათინური ასოებით(მაგ. A, B, C). სამკუთხედის დამაკავშირებელ სწორ ხაზებს სეგმენტები ეწოდება, რომლებიც ასევე ჩვეულებრივ აღინიშნება ლათინური ასოებით. გამოირჩევა სამკუთხედების შემდეგი ტიპები:

• მართკუთხა.
• ბუნდოვანი.
• მწვავე კუთხოვანი.
• მრავალმხრივი.
• ტოლგვერდა.
• ტოლფერდა.

ზოგადი ფორმულები სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა სიგრძისა და სიმაღლის მიხედვით

S= a*h/2,
სადაც a არის სამკუთხედის გვერდის სიგრძე, რომლის ფართობის პოვნაა საჭირო, h არის ფუძემდე მიყვანილი სიმაღლის სიგრძე.

ჰერონის ფორმულა

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
სადაც √ არის კვადრატული ფესვი, p არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, a,b,c არის სამკუთხედის თითოეული გვერდის სიგრძე. სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი შეიძლება გამოითვალოს p=(a+b+c)/2 ფორმულით.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა კუთხისა და სეგმენტის სიგრძის საფუძველზე

S = (a*b*sin(α))/2,
სად b,c არისსამკუთხედის გვერდების სიგრძე, sin(α) არის ორ მხარეს შორის კუთხის სინუსი.

ფორმულა სამკუთხედის ფართობისთვის, რომელიც მოცემულია ჩაწერილი წრის და სამი გვერდის რადიუსში

S=p*r,
სადაც p არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, რომლის ფართობის პოვნაა საჭირო, r არის ამ სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია სამ მხარეს და მის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსზე

S= (a*b*c)/4*R,
სადაც a,b,c არის სამკუთხედის თითოეული გვერდის სიგრძე, R არის სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა წერტილების დეკარტის კოორდინატების გამოყენებით

წერტილების დეკარტის კოორდინატები არის კოორდინატები xOy სისტემაში, სადაც x არის აბსცისა, y არის ორდინატი. დეკარტის კოორდინატთა სისტემა xOy სიბრტყეზე არის ორმხრივი პერპენდიკულური რიცხვითი ღერძები Ox და Oy საერთო დასაწყისიმითითება O წერტილზე. თუ ამ სიბრტყის წერტილების კოორდინატები მოცემულია A(x1, y1), B(x2, y2) და C(x3, y3) სახით, მაშინ შეგიძლიათ გამოთვალოთ სამკუთხედის ფართობი. შემდეგი ფორმულის გამოყენებით, რომელიც მიღებულია ვექტორული პროდუქტიორი ვექტორი.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
სად || დგას მოდულისთვის.

როგორ მოვძებნოთ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი

მართკუთხა სამკუთხედი არის სამკუთხედი ერთი კუთხით, რომლის ზომაა 90 გრადუსი. სამკუთხედს შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი ასეთი კუთხე.

ორ მხარეს მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის ფორმულა

S= a*b/2,
სადაც a,b არის ფეხების სიგრძე. ფეხები არის მარჯვენა კუთხის მიმდებარე მხარეები.

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია ჰიპოტენუზაზე და მახვილ კუთხეზე

S = a*b*sin(α)/ 2,
სადაც a, b არის სამკუთხედის ფეხები, ხოლო sin(α) არის კუთხის სინუსი, რომელზეც a, b წრფეები იკვეთება.

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია გვერდსა და მოპირდაპირე კუთხეზე

S = a*b/2*tg(β),
სადაც a, b არის სამკუთხედის წვივები, tan(β) არის კუთხის ტანგენსი, რომელზედაც არის დაკავშირებული a, b ფეხები.

როგორ გამოვთვალოთ ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი

ორმხრივი სამკუთხედი არის ის, რომელსაც აქვს ორი თანაბარი გვერდი. ამ გვერდებს უწოდებენ გვერდებს, ხოლო მეორე მხარეს არის ფუძე. ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულებიდან ერთ-ერთი.

ძირითადი ფორმულა ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად

S=h*c/2,
სადაც c არის სამკუთხედის ფუძე, h არის ფუძემდე დაშვებული სამკუთხედის სიმაღლე.

ტოლფერდა სამკუთხედის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია გვერდსა და ფუძეზე

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
სადაც c არის სამკუთხედის ფუძე, a არის ტოლფერდა სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის ზომა.

როგორ მოვძებნოთ ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი

ტოლგვერდა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელშიც ყველა გვერდი ტოლია. ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულა:
S = (√3*a*a)/4,
სადაც a არის ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდის სიგრძე.

ზემოაღნიშნული ფორმულები საშუალებას მოგცემთ გამოთვალოთ სამკუთხედის საჭირო ფართობი. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ სამკუთხედების ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ სამკუთხედის ტიპი და ხელმისაწვდომი მონაცემები, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას გაანგარიშებისთვის.

ინსტრუქციები

პარტიებიდა კუთხეები განიხილება ძირითადი ელემენტები ა. სამკუთხედი სრულად განისაზღვრება რომელიმე შემდეგით: ძირითადი ელემენტები: ან სამი მხარე, ან ერთი მხარე და ორი კუთხე, ან ორი მხარე და მათ შორის კუთხე. არსებობისთვის სამკუთხედიმოცემული სამი გვერდით a, b, c, აუცილებელია და საკმარისია იმ უტოლობების დასაკმაყოფილებლად, რომელსაც ეწოდება უტოლობები. სამკუთხედი:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

აშენება სამკუთხედისამი მხრიდან a, b, c, აუცილებელია CB = a სეგმენტის C წერტილიდან დახაზოთ b რადიუსის წრე კომპასის გამოყენებით. შემდეგ ანალოგიურად დახაზეთ წრე B წერტილიდან რადიუსით მხარის ტოლიგ. მათი გადაკვეთის წერტილი A არის სასურველის მესამე წვერო სამკუთხედი ABC, სადაც AB=c, CB=a, CA=b - გვერდები სამკუთხედი. პრობლემას აქვს , თუ გვერდები a, b, c, აკმაყოფილებს უტოლობას სამკუთხედიმითითებულია ნაბიჯი 1.

ზონა S აგებულია ამ გზით სამკუთხედი ABC ერთად ცნობილი პარტიები a, b, c, გამოითვლება ჰერონის ფორმულით:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
სადაც a, b, c არის გვერდები სამკუთხედი, p – ნახევრადპერიმეტრი.
p = (a+b+c)/2

თუ სამკუთხედი ტოლგვერდაა, ანუ მისი ყველა გვერდი ტოლია (a=b=c). ფართობი სამკუთხედიგამოითვლება ფორმულით:
S=(a^2 v3)/4

თუ სამკუთხედი მართკუთხაა, ანუ მისი ერთ-ერთი კუთხე უდრის 90°-ს, ხოლო მისი შემქმნელი გვერდები ფეხებია, მესამე მხარე არის ჰიპოტენუზა. ამ შემთხვევაში კვადრატიუდრის ფეხების ნამრავლს გაყოფილი ორზე.
S=ab/2

საპოვნელად კვადრატი სამკუთხედი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მრავალი ფორმულიდან ერთი. აირჩიეთ ფორმულა იმის მიხედვით, თუ რა მონაცემებია უკვე ცნობილი.

დაგჭირდებათ

• სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულების ცოდნა

ინსტრუქციები

თუ იცით ერთ-ერთი გვერდის ზომა და ამ მხარეს ჩამოშვებული სიმაღლის მნიშვნელობა მის მოპირდაპირე კუთხიდან, მაშინ შეგიძლიათ იპოვოთ ფართობი შემდეგით: S = a*h/2, სადაც S არის ფართობი. სამკუთხედის a არის სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდი, ხოლო h - სიმაღლე, a გვერდისკენ.

ცნობილია სამკუთხედის ფართობის განსაზღვრის მეთოდი, თუ ცნობილია მისი სამი გვერდი. ეს არის ჰერონის ფორმულა. მისი ჩაწერის გასამარტივებლად შემოდის შუალედური მნიშვნელობა - ნახევრადპერიმეტრი: p = (a+b+c)/2, სადაც a, b, c - . მაშინ ჰერონის ფორმულა ასეთია: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ სიძლიერე.

დავუშვათ, რომ თქვენ იცით სამკუთხედის ერთი გვერდი და სამი კუთხე. შემდეგ ადვილია სამკუთხედის ფართობის პოვნა: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), სადაც β არის a გვერდის საპირისპირო კუთხე, ხოლო α და γ არის გვერდის მიმდებარე კუთხეები.

ვიდეო თემაზე

გთხოვთ გაითვალისწინოთ

ყველაზე ზოგადი ფორმულა, რომელიც შესაფერისია ყველა შემთხვევისთვის, არის ჰერონის ფორმულა.

წყაროები:

რჩევა 3: როგორ მოვძებნოთ სამკუთხედის ფართობი, რომელიც დაფუძნებულია სამ მხარეს

სამკუთხედის ფართობის პოვნა ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული პრობლემაა სასკოლო პლანიმეტრიაში. სამკუთხედის სამი გვერდის ცოდნა საკმარისია ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობის დასადგენად. განსაკუთრებულ შემთხვევებში და ტოლგვერდა სამკუთხედებისაკმარისია იცოდეთ, შესაბამისად, ორი და ერთი მხარის სიგრძე.

დაგჭირდებათ

• სამკუთხედების გვერდების სიგრძეები, ჰერონის ფორმულა, კოსინუსების თეორემა

ინსტრუქციები

ჰერონის ფორმულა სამკუთხედის ფართობისთვის ასეთია: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). თუ დავწერთ p ნახევარპერიმეტრს, მივიღებთ: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)(a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ სამკუთხედის ფართობის ფორმულა მოსაზრებებიდან, მაგალითად, კოსინუსების თეორემის გამოყენებით.

კოსინუსების თეორემით, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). შემოღებული აღნიშვნების გამოყენებით, ისინი ასევე შეიძლება დაიწეროს სახით: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). აქედან გამომდინარე, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

სამკუთხედის ფართობი ასევე გვხვდება ფორმულით S = a*c*sin(ABC)/2 ორი გვერდის და მათ შორის კუთხის გამოყენებით. ABC კუთხის სინუსი შეიძლება გამოიხატოს მის მიხედვით ძირითადის გამოყენებით ტრიგონომეტრიული იდენტურობა: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) სინუსის ჩანაცვლებით ფართობის ფორმულაში და ჩაწერით, შეგიძლიათ მიხვიდეთ ფართობის ფორმულამდე სამკუთხედი ABC.

ვიდეო თემაზე

სარემონტო სამუშაოების ჩასატარებლად შეიძლება საჭირო გახდეს გაზომვა კვადრატიკედლები უფრო ადვილია გამოთვლა საჭირო რაოდენობასაღებავი ან ფონი. გაზომვისთვის უმჯობესია გამოიყენოთ საზომი ლენტი ან საზომი ლენტი. გაზომვები უნდა გაკეთდეს შემდეგ კედლებიგაათანაბრეს.

დაგჭირდებათ

• - რულეტკა;
• - კიბე.

ინსტრუქციები

დათვლა კვადრატიკედლები, თქვენ უნდა იცოდეთ ჭერის ზუსტი სიმაღლე და ასევე გაზომოთ სიგრძე იატაკის გასწვრივ. ეს კეთდება შემდეგნაირად: აიღეთ სანტიმეტრი და დადეთ იგი ძირზე. ჩვეულებრივ, სანტიმეტრი არ არის საკმარისი მთელ სიგრძეზე, ამიტომ დაამაგრეთ იგი კუთხეში, შემდეგ გადაშალეთ მაქსიმალურ სიგრძემდე. ამ დროს დადეთ ფანქრით ნიშანი, ჩაწერეთ მიღებული შედეგი და განახორციელეთ შემდგომი გაზომვები ბოლო გაზომვის წერტილიდან დაწყებული ანალოგიურად.

სტანდარტული ჭერი არის 2 მეტრი 80 სანტიმეტრი, 3 მეტრი და 3 მეტრი 20 სანტიმეტრი, სახლის მიხედვით. თუ სახლი 50-იან წლებამდე აშენდა, მაშინ, სავარაუდოდ, რეალური სიმაღლე ოდნავ დაბალია, ვიდრე მითითებულია. თუ გათვლით კვადრატისარემონტო სამუშაოებისთვის, მაშინ მცირე მიწოდება არ დააზარალებს - განიხილეთ სტანდარტის საფუძველზე. თუ მაინც გჭირდებათ რეალური სიმაღლის ცოდნა, გაზომეთ. პრინციპი სიგრძის გაზომვის მსგავსია, მაგრამ დაგჭირდებათ კიბე.

გაამრავლეთ მიღებული ინდიკატორები - ეს არის კვადრატიშენი კედლები. მართალია, ხატვისას ან ფერწერისთვის აუცილებელია გამოკლება კვადრატიკარების და ფანჯრების ღიობები. ამისათვის დადეთ სანტიმეტრი გახსნის გასწვრივ. თუ ჩვენ ვსაუბრობთკარის შესახებ, რომლის შეცვლასაც აპირებთ, შემდეგ გააკეთეთ კარის ჩარჩო ამოღებული, მხოლოდ იმის გათვალისწინებით კვადრატიუშუალოდ გახსნისკენ. ფანჯრის ფართობი გამოითვლება მისი ჩარჩოს პერიმეტრის გასწვრივ. შემდეგ კვადრატიფანჯრისა და კარიბჭის გაანგარიშებით, გამოაკლეთ შედეგი ოთახის მთლიანი ფართობიდან.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ოთახის სიგრძისა და სიგანის გაზომვას ახორციელებს ორი ადამიანი, ეს აადვილებს სანტიმეტრის ან საზომი ლენტის დაფიქსირებას და, შესაბამისად, უფრო ზუსტი შედეგის მიღებას. გააკეთეთ ერთი და იგივე გაზომვა რამდენჯერმე, რათა დარწმუნდეთ, რომ მიღებული რიცხვები ზუსტია.

ვიდეო თემაზე

სამკუთხედის მოცულობის პოვნა ნამდვილად არა ტრივიალური ამოცანაა. ფაქტია, რომ სამკუთხედი არის ორგანზომილებიანი ფიგურა, ე.ი. ის მთლიანად ერთ სიბრტყეში დევს, რაც იმას ნიშნავს, რომ მას უბრალოდ მოცულობა არ აქვს. რა თქმა უნდა, თქვენ ვერ იპოვით იმას, რაც არ არსებობს. მაგრამ არ დავნებდეთ! შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი დაშვება: ორგანზომილებიანი ფიგურის მოცულობა არის მისი ფართობი. ჩვენ ვეძებთ სამკუთხედის ფართობს.

დაგჭირდებათ

• ფურცელი, ფანქარი, სახაზავი, კალკულატორი

ინსტრუქციები

დახატეთ ფურცელზე სახაზავი და ფანქრის გამოყენებით. სამკუთხედის გულდასმით შესწავლით, შეგიძლიათ დარწმუნდეთ, რომ მას ნამდვილად არ აქვს სამკუთხედი, რადგან ის დახატულია სიბრტყეზე. მონიშნეთ სამკუთხედის გვერდები: ერთი გვერდი იყოს გვერდი "a", მეორე გვერდი "b", ხოლო მესამე გვერდი "c". მონიშნეთ სამკუთხედის წვეროები ასოებით "A", "B" და "C".

გაზომეთ სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდი სახაზავი და ჩაწერეთ შედეგი. ამის შემდეგ აღადგინეთ გაზომილი მხარის პერპენდიკულარი მის მოპირდაპირე წვეროდან, ასეთი პერპენდიკულარი იქნება სამკუთხედის სიმაღლე. ნახატზე გამოსახულ შემთხვევაში პერპენდიკულარული „h“ აღდგენილია „c“ მხარეს „A“ წვეროდან. გაზომეთ მიღებული სიმაღლე სახაზავით და ჩაწერეთ გაზომვის შედეგი.

შეიძლება გაგიჭირდეთ ზუსტი პერპენდიკულარულის აღდგენა. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სხვა ფორმულა. გაზომეთ სამკუთხედის ყველა მხარე მმართველით. ამის შემდეგ გამოთვალეთ "p" სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი გვერდების სიგრძის მიღებით და მათი ჯამის შუაზე გაყოფით. ნახევრად პერიმეტრის თქვენს განკარგულებაშია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჰერონის ფორმულა. ამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ შემდეგი კვადრატული ფესვი: p(p-a)(p-b)(p-c).

თქვენ მიიღეთ სამკუთხედის საჭირო ფართობი. სამკუთხედის მოცულობის პოვნის პრობლემა არ არის გადაჭრილი, მაგრამ როგორც ზემოთ აღინიშნა, მოცულობა არ არის. სამგანზომილებიან სამყაროში შეგიძლიათ იპოვოთ მოცულობა, რომელიც არსებითად სამკუთხედია. თუ წარმოვიდგენთ, რომ ჩვენი თავდაპირველი სამკუთხედი გახდა სამგანზომილებიანი პირამიდა, მაშინ ასეთი პირამიდის მოცულობა იქნება მისი ფუძის სიგრძისა და სამკუთხედის შედეგად მიღებული ფართობის პროდუქტი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ

რაც უფრო ფრთხილად გაზომავთ, მით უფრო ზუსტი იქნება თქვენი გამოთვლები.

წყაროები:

• კალკულატორი "ყველაფერი ყველაფრისთვის" - პორტალი ამისთვის საცნობარო მნიშვნელობები
• სამკუთხედის მოცულობა 2019 წელს

სამი წერტილი, რომელიც ცალსახად განსაზღვრავს სამკუთხედს დეკარტის სისტემაკოორდინატები მისი წვეროებია. იცოდეთ მათი პოზიცია თითოეულ კოორდინატთა ღერძთან მიმართებაში, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ამის ნებისმიერი პარამეტრი ბრტყელი ფიგურა, მათ შორის და შემოიფარგლება მისი პერიმეტრით კვადრატი. ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით.

ინსტრუქციები

ფართობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ ჰერონის ფორმულა სამკუთხედი. იგი მოიცავს ფიგურის სამი მხარის ზომებს, ამიტომ დაიწყეთ თქვენი გამოთვლები . თითოეული მხარის სიგრძე უნდა იყოს ტოლი მისი პროექციების სიგრძის კვადრატების ჯამის ფესვზე. კოორდინატთა ღერძები. თუ აღვნიშნავთ A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) და C(X3,Y3,Z3) კოორდინატებს, მათი გვერდების სიგრძე შეიძლება გამოისახოს შემდეგნაირად: AB = √((X1-). X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

გამოთვლების გასამარტივებლად შემოიტანეთ დამხმარე ცვლადი - ნახევრადპერიმეტრი (P). იქიდან გამომდინარე, რომ ეს არის ყველა მხარის სიგრძის ჯამის ნახევარი: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z₂)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).