კვადრატული ფორმების ორთოგონალური ტრანსფორმაციები ონლაინ. ორხაზოვანი და კვადრატული ფორმები

განმარტება 10.4.კანონიკური ხედიკვადრატულ ფორმას (10.1) ეწოდება შემდეგი ფორმა: . (10.4)

ვაჩვენოთ, რომ საკუთრივ ვექტორების საფუძველზე კვადრატული ფორმა (10.1) იღებს კანონიკურ ფორმას. დაე

- ნორმალიზებული საკუთრივ ვექტორები, რომლებიც შეესაბამება საკუთრივ მნიშვნელობებს λ 1 , λ 2 , λ 3მატრიცები (10.3) ორთონორმულ საფუძველზე. შემდეგ ძველი საფუძვლიდან ახალზე გადასვლის მატრიცა იქნება მატრიცა

. ახალ საფუძველში მატრიცა ამიიღებს დიაგონალურ ფორმას (9.7) (საკუთრივ ვექტორების თვისებით). ამრიგად, კოორდინატების გარდაქმნა ფორმულების გამოყენებით:

,

ახალ საფუძველში ვიღებთ კვადრატული ფორმის კანონიკურ ფორმას საკუთრივ მნიშვნელობების ტოლი კოეფიციენტებით λ 1, λ 2, λ 3:

შენიშვნა 1. გეომეტრიული თვალსაზრისით განხილული კოორდინატთა ტრანსფორმაცია არის კოორდინატთა სისტემის ბრუნვა, რომელიც აერთიანებს ძველ კოორდინატთა ღერძებს ახალთან.

შენიშვნა 2. თუ მატრიცის (10.3) საკუთრივ მნიშვნელობები ემთხვევა, შეგვიძლია თითოეულ მათგანს დავუმატოთ ერთეული ვექტორი ორთოგონალური შესაბამის ორთონორმალურ საკუთრივექტორებს და ამით ავაშენოთ საფუძველი, რომლითაც კვადრატული ფორმა იღებს კანონიკურ ფორმას.

მოდით მივიყვანოთ კვადრატული ფორმა კანონიკურ ფორმამდე

x² + 5 წ² + ზ² + 2 xy + 6xz + 2yz.

მის მატრიცას აქვს ფორმა მე-9 ლექციაში განხილულ მაგალითში ნაპოვნია ამ მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობები და ორთონორმალური საკუთრივექტორები:

მოდით შევქმნათ გადასვლის მატრიცა საფუძველზე ამ ვექტორებიდან:

(ვექტორების თანმიმდევრობა იცვლება ისე, რომ ისინი ქმნიან მარჯვენა სამეულს). მოდით გადავიტანოთ კოორდინატები ფორმულების გამოყენებით:

.

ამრიგად, კვადრატული ფორმა დაყვანილია კანონიკურ ფორმამდე, კვადრატული ფორმის მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობების ტოლი კოეფიციენტებით.

ლექცია 11.

მეორე რიგის მრუდები. ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა, მათი თვისებები და კანონიკური განტოლებები. მეორე რიგის განტოლების დაყვანა კანონიკურ ფორმამდე.

განმარტება 11.1.მეორე რიგის მრუდებისიბრტყეზე ეწოდება წრიული კონუსის გადაკვეთის ხაზები სიბრტყეებთან, რომლებიც არ გადიან მის წვეროზე.

თუ ასეთი სიბრტყე კვეთს კონუსის ერთი ღრუს ყველა გენერაციას, მაშინ განყოფილებაში გამოდის ელიფსი, ორივე ღრუს გენერატრიკის კვეთაზე – ჰიპერბოლადა თუ ჭრის სიბრტყე პარალელურია რომელიმე გენერატრიქსის, მაშინ კონუსის მონაკვეთი არის პარაბოლა.

კომენტარი. ყველა მეორე რიგის მრუდი მითითებულია მეორე ხარისხის განტოლებით ორ ცვლადში.

ელიფსი.

განმარტება 11.2.ელიფსიარის სიბრტყეში წერტილების ერთობლიობა, რომლისთვისაც არის მანძილების ჯამი ორ ფიქსირებულ წერტილამდე ფ 1 და ფ ხრიკები, არის მუდმივი მნიშვნელობა.

კომენტარი. როცა პუნქტები ერთმანეთს ემთხვევა ფ 1 და ფ 2 ელიფსი იქცევა წრედ.

გამოვიტანოთ ელიფსის განტოლება დეკარტის სისტემის არჩევით

y M(x,y)კოორდინატები ისე, რომ ღერძი ოჰსწორ ხაზს დაემთხვა ფ 1 ფ 2, დასაწყისი

r 1 r 2 კოორდინატები - სეგმენტის შუათან ფ 1 ფ 2. მოდით სიგრძე ამ

სეგმენტი უდრის 2-ს თან, შემდეგ არჩეულ კოორდინატულ სისტემაში

F 1 O F 2 x ფ 1 (-გ, 0), ფ 2 (გ, 0). დაუშვით წერტილი M(x, y) წევს ელიფსზე და

მანძილების ჯამი მისგან ფ 1 და ფ 2 უდრის 2-ს ა.

მერე რ 1 + რ 2 = 2ა, მაგრამ,

მაშასადამე, აღნიშვნის შემოღება ბ² = ა²- გ² და მარტივი ალგებრული გარდაქმნების განხორციელების შემდეგ ვიღებთ კანონიკური ელიფსის განტოლება: (11.1)

განმარტება 11.3.ექსცენტრიულობაელიფსის სიდიდე ეწოდება e=s/a (11.2)

განმარტება 11.4.დირექტორი დ იფოკუსის შესაბამისი ელიფსი ფ ი ფ იღერძთან შედარებით ოჰღერძის პერპენდიკულარული ოჰმანძილზე ა/ეწარმოშობიდან.

კომენტარი. კოორდინატთა სისტემის განსხვავებული არჩევანით, ელიფსი შეიძლება დაზუსტდეს არა კანონიკური განტოლებით (11.1), არამედ სხვა ტიპის მეორე ხარისხის განტოლებით.

ელიფსის თვისებები:

1) ელიფსს აქვს სიმეტრიის ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი (ელიფსის მთავარი ღერძი) და სიმეტრიის ცენტრი (ელიფსის ცენტრი). თუ ელიფსი მოცემულია კანონიკური განტოლებით, მაშინ მისი მთავარი ღერძი არის კოორდინატთა ღერძი, ხოლო ცენტრი არის საწყისი. ვინაიდან ელიფსის მთავარ ღერძებთან გადაკვეთის შედეგად წარმოქმნილი სეგმენტების სიგრძე უდრის 2-ს ადა 2 ბ (2ა>2ბ), მაშინ კერებში გამავალ მთავარ ღერძს ეწოდება ელიფსის მთავარი ღერძი, ხოლო მეორე ძირითად ღერძს - მცირე ღერძი.

2) მთელი ელიფსი მოთავსებულია ოთხკუთხედში

3) ელიფსის ექსცენტრიულობა ე< 1.

მართლაც,

4) ელიფსის მიმართულებები განლაგებულია ელიფსის გარეთ (რადგან მანძილი ელიფსის ცენტრიდან დირექტორამდე არის ა/ე, ა ე<1, следовательно, ა/ე>ადა მთელი ელიფსი დევს მართკუთხედში)

5) მანძილის თანაფარდობა რ იელიფსის წერტილიდან ფოკუსამდე ფ იმანძილისკენ დ იამ წერტილიდან ფოკუსის შესაბამისი მიმართულებამდე უდრის ელიფსის ექსცენტრიულობას.

მტკიცებულება.

დისტანციები წერტილიდან M(x, y)ელიფსის კერებამდე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

მოდით შევქმნათ დირექტიული განტოლებები:

(დ 1), (დ 2). მერე აქედან r i / d i = eრისი დამტკიცება იყო საჭირო.

ჰიპერბოლა.

განმარტება 11.5.ჰიპერბოლაარის სიბრტყის წერტილების ერთობლიობა, რომლისთვისაც არის ორ ფიქსირებულ წერტილამდე მანძილების სხვაობის მოდული ფ 1 და ფამ თვითმფრინავის 2, ე.წ ხრიკები, არის მუდმივი მნიშვნელობა.

მოდით გამოვიტანოთ ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება ანალოგიით ელიფსის განტოლების წარმოებულთან, იგივე აღნიშვნის გამოყენებით.

|r 1 - r 2 | = 2ა, საიდანაც თუ აღვნიშნავთ ბ² = გ² - ა², აქედან შეგიძლიათ მიიღოთ

- კანონიკური ჰიპერბოლის განტოლება. (11.3)

განმარტება 11.6.ექსცენტრიულობაჰიპერბოლას ეწოდება რაოდენობა e = c/a.

განმარტება 11.7.დირექტორი დ იფოკუსის შესაბამისი ჰიპერბოლა ფ ი, ეწოდება სწორ ხაზს, რომელიც მდებარეობს იმავე ნახევრად სიბრტყეში ფ იღერძთან შედარებით ოჰღერძის პერპენდიკულარული ოჰმანძილზე ა/ეწარმოშობიდან.

ჰიპერბოლის თვისებები:

1) ჰიპერბოლას აქვს სიმეტრიის ორი ღერძი (ჰიპერბოლის მთავარი ღერძი) და სიმეტრიის ცენტრი (ჰიპერბოლის ცენტრი). ამ შემთხვევაში, ერთ-ერთი ამ ღერძი კვეთს ჰიპერბოლას ორ წერტილში, რომელსაც ჰიპერბოლის წვეროები ეწოდება. მას ჰიპერბოლის ნამდვილ ღერძს უწოდებენ (ღერძი ოჰკოორდინატთა სისტემის კანონიკური არჩევანისთვის). მეორე ღერძს არ აქვს საერთო წერტილები ჰიპერბოლასთან და ეწოდება მის წარმოსახვით ღერძი (კანონიკურ კოორდინატებში - ღერძი ოჰ). მის ორივე მხარეს არის ჰიპერბოლის მარჯვენა და მარცხენა ტოტები. ჰიპერბოლის კერები განლაგებულია მის რეალურ ღერძზე.

2) ჰიპერბოლის ტოტებს აქვთ ორი ასიმპტოტი, რომლებიც განისაზღვრება განტოლებებით

3) ჰიპერბოლასთან ერთად (11.3) შეგვიძლია განვიხილოთ კანონიკური განტოლებით განსაზღვრული ეგრეთ წოდებული კონიუგატური ჰიპერბოლა.

რომლისთვისაც რეალური და წარმოსახვითი ღერძი ერთნაირი ასიმპტოტების შენარჩუნებით იცვლება.

4) ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა ე> 1.

5) მანძილის თანაფარდობა რ იჰიპერბოლის წერტილიდან ფოკუსამდე ფ იმანძილისკენ დ იამ წერტილიდან ფოკუსის შესაბამისი მიმართულებამდე უდრის ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობას.

მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს ისევე, როგორც ელიფსისთვის.

პარაბოლა.

განმარტება 11.8.პარაბოლაარის სიბრტყეზე წერტილების ერთობლიობა, რომლებისთვისაც არის მანძილი რომელიმე ფიქსირებულ წერტილამდე ფეს სიბრტყე უდრის მანძილს რომელიმე ფიქსირებულ სწორ ხაზამდე. წერტილი ფდაურეკა ფოკუსირებაპარაბოლები და სწორი ხაზი მისი დირექტორი.

პარაბოლის განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ დეკარტისეულს

კოორდინატთა სისტემა ისე, რომ მისი საწყისი იყოს შუა

D M(x,y) პერპენდიკულარული FD, გამოტოვებულია დირექტივაზე ფოკუსირებიდან

r su, ხოლო კოორდინატთა ღერძები მდებარეობდა პარალელურად და

დირექტორის პერპენდიკულარულად. მიეცით სეგმენტის სიგრძე FD

D O F x უდრის რ. მერე თანასწორობიდან r = dამას მოჰყვება

რადგან

ალგებრული გარდაქმნების გამოყენებით, ეს განტოლება შეიძლება შემცირდეს ფორმამდე: წ² = 2 px, (11.4)

დაურეკა კანონიკური პარაბოლის განტოლება. მაგნიტუდა რდაურეკა პარამეტრიპარაბოლები.

პარაბოლას თვისებები:

1) პარაბოლას აქვს სიმეტრიის ღერძი (პარაბოლის ღერძი). წერტილს, სადაც პარაბოლა კვეთს ღერძს, პარაბოლის წვერო ეწოდება. თუ პარაბოლა მოცემულია კანონიკური განტოლებით, მაშინ მისი ღერძი არის ღერძი ოჰ,ხოლო წვერო არის კოორდინატების საწყისი.

2) მთელი პარაბოლა მდებარეობს სიბრტყის მარჯვენა ნახევარსიბრტყეში ოჰ.

კომენტარი. ელიფსის და ჰიპერბოლის მიმართულებების თვისებების და პარაბოლის განმარტების გამოყენებით, შეგვიძლია დავამტკიცოთ შემდეგი განცხადება:

წერტილების სიმრავლე სიბრტყეზე, რომლის მიმართებაც ემანძილი რაღაც ფიქსირებულ წერტილამდე მანძილი სწორ ხაზამდე არის მუდმივი მნიშვნელობა, ეს არის ელიფსი ( ე<1), гиперболу (при ე>1) ან პარაბოლა (ერთად ე=1).

დაკავშირებული ინფორმაცია.

220400 ალგებრა და გეომეტრია ტოლსტიკოვი ა.ვ.

ლექციები 16. ორხაზოვანი და კვადრატული ფორმები.

დაგეგმეთ

1. ორწრფივი ფორმა და მისი თვისებები.

2. კვადრატული ფორმა. კვადრატული ფორმის მატრიცა. ტრანსფორმაციის კოორდინაცია.

3. კვადრატული ფორმის კანონიკურ ფორმამდე დაყვანა. ლაგრანგის მეთოდი.

4. კვადრატული ფორმების ინერციის კანონი.

5. კვადრატული ფორმის დაყვანა კანონიკურ ფორმამდე საკუთრივ მნიშვნელობის მეთოდის გამოყენებით.

6. კვადრატული ფორმის პოზიტიური განსაზღვრულობის ვერცხლის კრიტერიუმი.

1. ანალიტიკური გეომეტრიისა და წრფივი ალგებრის კურსი. მ.: ნაუკა, 1984 წ.

2. ბუგროვი ია.ს., ნიკოლსკი ს.მ. ხაზოვანი ალგებრის ელემენტები და ანალიტიკური გეომეტრია. 1997 წ.

3. ვოევოდინი ვ.ვ. წრფივი ალგებრა.. მ.: ნაუკა 1980 წ.

4. პრობლემების კრებული კოლეჯებისთვის. წრფივი ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის საფუძვლები. რედ. ეფიმოვა ა.ვ., დემიდოვიჩ ბ.პ.. მ.: ნაუკა, 1981 წ.

5. ბუტუზოვი ვ.ფ., კრუტიცკაია ნ.ჩ., შიშკინი ა.ა. ხაზოვანი ალგებრა კითხვებსა და ამოცანებში. M.: Fizmatlit, 2001 წ.

, , , ,

1. ორხაზოვანი ფორმა და მისი თვისებები.დაე ვ - ნ- განზომილებიანი ვექტორული სივრცე ველზე პ.

განმარტება 1.ორმხრივი ფორმა, განსაზღვრულია V,ასეთ რუკს უწოდებენ გ: V 2 ® პ, რომელიც თითოეულ შეკვეთილ წყვილს ( x , წ ) ვექტორები x , წ ჩადებიდან ვემთხვევა რიცხვს ველიდან პ, აღნიშნა გ(x , წ ), და ხაზოვანი თითოეულ ცვლადში x , წ , ე.ი. თვისებების მქონე:

1) ("x , წ , ზ Î ვ)გ(x + წ , ზ ) = გ(x , ზ ) + გ(წ , ზ );

2) ("x , წ Î ვ) ("a О პ)გ(ა x , წ ) = ა გ(x , წ );

3) ("x , წ , ზ Î ვ)გ(x , წ + ზ ) = გ(x , წ ) + გ(x , ზ );

4) ("x , წ Î ვ) ("a О პ)გ(x , ა წ ) = ა გ(x , წ ).

მაგალითი 1. ვექტორულ სივრცეზე განსაზღვრული ნებისმიერი წერტილის პროდუქტი ვარის ორხაზოვანი ფორმა.

2 . ფუნქცია თ(x , წ ) = 2x 1 წ 1 - x 2 წ 2 +x 2 წ 1 სადაც x = (x 1 ,x 2), წ = (წ 1 ,წ 2)О რ 2, ორმხრივი ფორმა რ 2 .

განმარტება 2.დაე ვ = (ვ 1 , ვ 2 ,…, ვ ნ ვ.ბიწრფივი ფორმის მატრიცაგ(x , წ ) საფუძველთან შედარებითვმატრიცას უწოდებენ ბ=(ბ ij)ნ ´ ნ, რომლის ელემენტები გამოითვლება ფორმულით ბ ij = გ(ვ მე, ვ ჯ):

მაგალითი 3. ორხაზოვანი მატრიცა თ(x , წ ) (იხ. მაგალითი 2) საფუძველთან შედარებით ე 1 = (1,0), ე 2 = (0,1) უდრის.

თეორემა 1. დაეX, Y - ვექტორების კოორდინატთა სვეტები შესაბამისადx , წსაფუძველშიv, B - ბიწრფივი ფორმის მატრიცაგ(x , წ ) საფუძველთან შედარებითვ. მაშინ ორმხრივი ფორმა შეიძლება დაიწეროს როგორც

გ(x , წ )=X t BY. (1)

მტკიცებულება.ორხაზოვანი ფორმის თვისებებიდან ვიღებთ

მაგალითი 3. ორმხრივი ფორმა თ(x , წ ) (იხ. მაგალითი 2) შეიძლება ჩაიწეროს ფორმაში თ(x , წ )=.

თეორემა 2. დაე ვ = (ვ 1 , ვ 2 ,…, ვ ნ), u = (u 1 , u 2 ,…, u ნ) - ორი ვექტორული სივრცის ბაზაV, T - გადასვლის მატრიცა საფუძვლიდანv საფუძვლადu. დაე ბ= (ბ ij)ნ ´ ნ და თან=(ij-თან ერთად)ნ ´ ნ - ორხაზოვანი მატრიცებიგ(x , წ ) შესაბამისად ბაზებთან შედარებითვ დაu. მერე

თან=T t BT.(2)

მტკიცებულება.გარდამავალი მატრიცისა და ორხაზოვანი ფორმის მატრიცის განმარტებით, ჩვენ ვპოულობთ:



განმარტება 2.ორმხრივი ფორმა გ(x , წ ) ეწოდება სიმეტრიული, თუ გ(x , წ ) = გ(წ , x ) ნებისმიერისთვის x , წ Î ვ.

თეორემა 3. ორმხრივი ფორმაგ(x , წ )- სიმეტრიული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ბიწრფივი ფორმის მატრიცა სიმეტრიულია ნებისმიერი საფუძვლის მიმართ.

მტკიცებულება.დაე ვ = (ვ 1 , ვ 2 ,…, ვ ნ) - ვექტორული სივრცის საფუძველი V, B= (ბ ij)ნ ´ ნ- ბიწრფივი ფორმის მატრიცები გ(x , წ ) საფუძველთან შედარებით ვ.დაე, ბიწრფივი ჩამოყალიბდეს გ(x , წ ) - სიმეტრიული. შემდეგ განმარტებით 2 ნებისმიერისთვის მე, ჯ = 1, 2,…, ნგვაქვს ბ ij = გ(ვ მე, ვ ჯ) = გ(ვ ჯ, ვ მე) = ბ ჯი. შემდეგ მატრიცა ბ- სიმეტრიული.

პირიქით, მოდით მატრიცა ბ- სიმეტრიული. მერე ბტ= ბდა ნებისმიერი ვექტორისთვის x = x 1 ვ 1 + …+ x n ვნ =vX, წ = წ 1 ვ 1 + წ 2 ვ 2 +…+ y n ვნ =vY Î ვფორმულის მიხედვით (1) ვიღებთ (გავითვალისწინებთ, რომ რიცხვი არის 1 რიგის მატრიცა და არ იცვლება ტრანსპოზიციის დროს)

გ(x , წ ) =გ(x , წ )ტ = (X t BY)ტ = Y t B t X = გ(წ , x ).

2. კვადრატული ფორმა. კვადრატული ფორმის მატრიცა. ტრანსფორმაციის კოორდინაცია.

განმარტება 1.კვადრატული ფორმაგანსაზღვრულია V,რუკებს უწოდებენ ვ:V® პ, რომელიც ნებისმიერი ვექტორისთვის x საწყისი ვთანასწორობით განისაზღვრება ვ(x ) = გ(x , x ), სად გ(x , წ ) არის სიმეტრიული ორწრფივი ფორმა, რომელიც განსაზღვრულია ვ .

საკუთრება 1.მოცემული კვადრატული ფორმის მიხედვითვ(x )ორმხრივი ფორმა ცალსახად გვხვდება ფორმულით

გ(x , წ ) = 1/2(ვ(x + წ ) - ვ(x )-ვ(წ )). (1)

მტკიცებულება.ნებისმიერი ვექტორისთვის x , წ Î ვვიღებთ ორმხრივი ფორმის თვისებებიდან

ვ(x + წ ) = გ(x + წ , x + წ ) = გ(x , x + წ ) + გ(წ , x + წ ) = გ(x , x ) + გ(x , წ ) + გ(წ , x ) + გ(წ , წ ) = ვ(x ) + 2გ(x , წ ) + ვ(წ ).

აქედან გამომდინარეობს ფორმულა (1). 

განმარტება 2.კვადრატული ფორმის მატრიცავ(x ) საფუძველთან შედარებითვ = (ვ 1 , ვ 2 ,…, ვ ნ) არის შესაბამისი სიმეტრიული ორწრფივი ფორმის მატრიცა გ(x , წ ) საფუძველთან შედარებით ვ.

თეორემა 1. დაეX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)ტ- ვექტორის კოორდინატთა სვეტიx საფუძველშიv, B - კვადრატული ფორმის მატრიცავ(x ) საფუძველთან შედარებითვ. შემდეგ კვადრატული ფორმავ(x )

მოცემულია კვადრატული ფორმა (2) ა(x, x) = , სად x = (x 1 , x 2 , …, x ნ). განვიხილოთ კვადრატული ფორმა სივრცეში რ 3, ანუ x = (x 1 , x 2 , x 3), ა(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(გამოვიყენეთ ფორმის სიმეტრიის პირობა, კერძოდ ა 12 = ა 21 , ა 13 = ა 31 , ა 23 = ა 32). მოდით დავწეროთ კვადრატული ფორმის მატრიცა ასაფუძველზე ( ე}, ა(ე) =
. როდესაც საფუძველი იცვლება, კვადრატული ფორმის მატრიცა იცვლება ფორმულის მიხედვით ა(ვ) = C ტ ა(ე)C, სად C- გადასვლის მატრიცა საფუძვლიდან ( ე) საფუძველი ( ვ), ა C ტ- ტრანსპონირებული მატრიცა C.

განმარტება11.12. დიაგონალური მატრიცით კვადრატული ფორმის ფორმა ეწოდება კანონიკური.

ასე რომ მოდით ა(ვ) =
, მაშინ ა"(x, x) =
+
+
, სად x" 1 , x" 2 , x"3 - ვექტორული კოორდინატები xახალ საფუძველზე ( ვ}.

განმარტება11.13. შეუშვით ნ ვარჩეულია ასეთი საფუძველი ვ = {ვ 1 , ვ 2 , …, ვ ნ), რომელშიც კვადრატულ ფორმას აქვს ფორმა

ა(x, x) =
+
+ … +
, (3)

სად წ 1 , წ 2 , …, წ ნ- ვექტორული კოორდინატები xსაფუძველზე ( ვ). გამოთქმა (3) ეწოდება კანონიკური შეხედულებაკვადრატული ფორმა. კოეფიციენტები  1, λ 2, …, λ ნეძახიან კანონიკური; საფუძველი, რომელშიც კვადრატულ ფორმას აქვს კანონიკური ფორმა, ეწოდება კანონიკური საფუძველი.

კომენტარი. თუ კვადრატული ფორმა ა(x, x) დაყვანილია კანონიკურ ფორმამდე, მაშინ, ზოგადად რომ ვთქვათ, არა ყველა კოეფიციენტი  მეგანსხვავდება ნულიდან. კვადრატული ფორმის რანგი უდრის მისი მატრიცის რანგს ნებისმიერ საფუძველზე.

მოდით კვადრატული ფორმის რანგი ა(x, x) ტოლია რ, სად რ ≤ ნ. კვადრატული ფორმის მატრიცას კანონიკური ფორმით აქვს დიაგონალური ფორმა. ა(ვ) =
, ვინაიდან მისი წოდება თანაბარია რ, შემდეგ კოეფიციენტებს შორის  მეუნდა იყოს რ, არ არის ნულის ტოლი. აქედან გამომდინარეობს, რომ არანულოვანი კანონიკური კოეფიციენტების რაოდენობა უდრის კვადრატული ფორმის რანგს.

კომენტარი. კოორდინატების წრფივი ტრანსფორმაცია არის გადასვლა ცვლადებიდან x 1 , x 2 , …, x ნცვლადებზე წ 1 , წ 2 , …, წ ნ, რომელშიც ძველი ცვლადები გამოიხატება ახალი ცვლადების მეშვეობით გარკვეული რიცხვითი კოეფიციენტებით.

x 1 = α 11 წ 1 + α 12 წ 2 + … + α 1 ნ წ ნ ,

x 2 = α 2 1 წ 1 + α 2 2 წ 2 + … + α 2 ნ წ ნ ,

………………………………

x 1 = α ნ 1 წ 1 + α ნ 2 წ 2 + … + α nn წ ნ .

ვინაიდან თითოეული საბაზისო ტრანსფორმაცია შეესაბამება არადეგენერაციულ წრფივ კოორდინატთა ტრანსფორმაციას, კვადრატული ფორმის კანონიკურ ფორმამდე დაყვანის საკითხი შეიძლება გადაწყდეს შესაბამისი არადეგენერაციული კოორდინატთა ტრანსფორმაციის არჩევით.

თეორემა 11.2 (მთავარი თეორემა კვადრატული ფორმების შესახებ).ნებისმიერი კვადრატული ფორმა ა(x, x), მითითებულია ნ- განზომილებიანი ვექტორული სივრცე ვ, არადეგენერაციული ხაზოვანი კოორდინატების ტრანსფორმაციის გამოყენებით შეიძლება შემცირდეს კანონიკურ ფორმამდე.

მტკიცებულება. (ლაგრანგის მეთოდი) ამ მეთოდის იდეაა თითოეული ცვლადის კვადრატული ტრინომის თანმიმდევრულად შევსება სრულ კვადრატამდე. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ა(x, x) ≠ 0 და საფუძველში ე = {ე 1 , ე 2 , …, ე ნ) აქვს ფორმა (2):

ა(x, x) =
.

თუ ა(x, x) = 0, შემდეგ ( ა იჯ) = 0, ანუ ფორმა უკვე კანონიკურია. ფორმულა ა(x, x) შეიძლება გარდაიქმნას ისე, რომ კოეფიციენტი ა 11 ≠ 0. თუ ა 11 = 0, მაშინ სხვა ცვლადის კვადრატის კოეფიციენტი განსხვავდება ნულიდან, შემდეგ ცვლადების ხელახალი დანომრვით შესაძლებელია იმის უზრუნველყოფა, რომ ა 11 ≠ 0. ცვლადების ხელახალი ნუმერაცია არის არადეგენერაციული წრფივი ტრანსფორმაცია. თუ კვადრატული ცვლადების ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, მაშინ აუცილებელი გარდაქმნები მიიღება შემდეგნაირად. მოდით, მაგალითად, ა 12 ≠ 0 (ა(x, x) ≠ 0, ანუ ერთი კოეფიციენტი მაინც ა იჯ≠ 0). განიხილეთ ტრანსფორმაცია

x 1 = წ 1 – წ 2 ,

x 2 = წ 1 + წ 2 ,

x მე = წ მე, ზე მე = 3, 4, …, ნ.

ეს ტრანსფორმაცია არ არის დეგენერატიული, რადგან მისი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი
= = 2 ≠ 0.

შემდეგ 2 ა 12 x 1 x 2 = 2 ა 12 (წ 1 – წ 2)(წ 1 + წ 2) = 2
– 2
, ანუ სახით ა(x, x) ერთდროულად გამოჩნდება ორი ცვლადის კვადრატი.

ა(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

გადავიყვანოთ გამოყოფილი თანხა ფორმაში:

ა(x, x) = ა 11
, (5)

ხოლო კოეფიციენტები ა იჯშეცვლა . განვიხილოთ არადეგენერაციული ტრანსფორმაცია

წ 1 = x 1 + + … + ,

წ 2 = x 2 ,

წ ნ = x ნ .

შემდეგ მივიღებთ

ა(x, x) =
. (6).

თუ კვადრატული ფორმა
= 0, შემდეგ კასტინგის საკითხი ა(x, x) კანონიკურ ფორმამდე გადაწყვეტილია.

თუ ეს ფორმა არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ვიმეორებთ მსჯელობას კოორდინატთა გარდაქმნების გათვალისწინებით წ 2 , …, წ ნდა კოორდინატის შეცვლის გარეშე წ 1. აშკარაა, რომ ეს გარდაქმნები იქნება არადეგენერაციული. საფეხურების სასრული რაოდენობა, კვადრატული ფორმა ა(x, x) დაიყვანება კანონიკურ ფორმამდე (3).

კომენტარი 1. თავდაპირველი კოორდინატების საჭირო ტრანსფორმაცია x 1 , x 2 , …, x ნშეიძლება მივიღოთ მსჯელობის პროცესში ნაპოვნი არადეგენერაციული გარდაქმნების გამრავლებით: [ x] = ა[წ], [წ] = ბ[ზ], [ზ] = C[ტ], შემდეგ [ x] = აბ[ზ] = აბC[ტ], ეს არის [ x] = მ[ტ], სად მ = აბC.

კომენტარი 2. მოდით ა(x, x) = ა(x, x) =
+
+ …+
, სადაც  მე ≠ 0, მე = 1, 2, …, რ, და  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ ქ > 0, λ ქ +1 < 0, …, λ რ < 0.

განვიხილოთ არადეგენერაციული ტრანსფორმაცია

წ 1 = ზ 1 , წ 2 = ზ 2 , …, წ ქ = ზ ქ , წ ქ +1 =
ზ ქ +1 , …, წ რ = ზ რ , წ რ +1 = ზ რ +1 , …, წ ნ = ზ ნ. შედეგად ა(x, x) მიიღებს ფორმას: ა(x, x) = + + … + – – … – რომელსაც ე.წ კვადრატული ფორმის ნორმალური ფორმა.

მაგალითი11.1. კვადრატული ფორმის შემცირება კანონიკურ ფორმამდე ა(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

გამოსავალი. იმიტომ რომ ა 11 = 0, გამოიყენეთ ტრანსფორმაცია

x 1 = წ 1 – წ 2 ,

x 2 = წ 1 + წ 2 ,

x 3 = წ 3 .

ამ ტრანსფორმაციას აქვს მატრიცა ა =
, ეს არის [ x] = ა[წ] ვიღებთ ა(x, x) = 2(წ 1 – წ 2)(წ 1 + წ 2) – 6(წ 1 + წ 2)წ 3 + 2წ 3 (წ 1 – წ 2) =

2– 2– 6წ 1 წ 3 – 6წ 2 წ 3 + 2წ 3 წ 1 – 2წ 3 წ 2 = 2– 2– 4წ 1 წ 3 – 8წ 3 წ 2 .

ვინაიდან კოეფიციენტი ზე არ არის ნულის ტოლი, ჩვენ შეგვიძლია შევარჩიოთ ერთი უცნობის კვადრატი, ასეც იყოს წ 1. მოდით შევარჩიოთ ყველა ტერმინი, რომელიც შეიცავს წ 1 .

ა(x, x) = 2(– 2წ 1 წ 3) – 2– 8წ 3 წ 2 = 2(– 2წ 1 წ 3 + ) – 2– 2– 8წ 3 წ 2 = 2(წ 1 – წ 3) 2 – 2– 2– 8წ 3 წ 2 .

მოდით შევასრულოთ ტრანსფორმაცია, რომლის მატრიცა ტოლია ბ.

ზ 1 = წ 1 – წ 3 ,  წ 1 = ზ 1 + ზ 3 ,

ზ 2 = წ 2 ,  წ 2 = ზ 2 ,

ზ 3 = წ 3 ;  წ 3 = ზ 3 .

ბ =
, [წ] = ბ[ზ].

ვიღებთ ა(x, x) = 2– 2–– 8ზ 2 ზ 3. მოდით შევარჩიოთ შემცველი ტერმინები ზ 2. ჩვენ გვაქვს ა(x, x) = 2– 2(+ 4ზ 2 ზ 3) – 2= 2– 2(+ 4ზ 2 ზ 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(ზ 2 + 2ზ 3) 2 + 6.

მატრიცის ტრანსფორმაციის შესრულება C:

ტ 1 = ზ 1 ,  ზ 1 = ტ 1 ,

ტ 2 = ზ 2 + 2ზ 3 ,  ზ 2 = ტ 2 – 2ტ 3 ,

ტ 3 = ზ 3 ;  ზ 3 = ტ 3 .

C =
, [ზ] = C[ტ].

მიღებული: ა(x, x) = 2– 2+ 6კვადრატული ფორმის კანონიკური ფორმა, [ x] = ა[წ], [წ] = ბ[ზ], [ზ] = C[ტ], აქედან [ x] = ABC[ტ];

აბC =


=
. კონვერტაციის ფორმულები შემდეგია

x 1 = ტ 1 – ტ 2 + ტ 3 ,

x 2 = ტ 1 + ტ 2 – ტ 3 ,

კვადრატული ფორმების შემცირება

განვიხილოთ კვადრატული ფორმის კანონიკურ ფორმამდე დაყვანის უმარტივესი და პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად გამოყენებული მეთოდი, ე.წ. ლაგრანგის მეთოდი. იგი ეფუძნება სრული კვადრატის იზოლირებას კვადრატული ფორმით.

თეორემა 10.1(ლაგრანჟის თეორემა) ნებისმიერი კვადრატული ფორმა (10.1):

არასპეციალური ხაზოვანი ტრანსფორმაციის გამოყენებით (10.4) შეიძლება შემცირდეს კანონიკურ ფორმამდე (10.6):

,

□ თეორემას დავამტკიცებთ კონსტრუქციულად, სრული კვადრატების ამოცნობის ლაგრანგის მეთოდის გამოყენებით. ამოცანაა ვიპოვოთ არასინგულური მატრიცა ისეთი, რომ წრფივი ტრანსფორმაციის შედეგად (10.4) მივიღოთ კანონიკური ფორმის კვადრატული ფორმა (10.6). ეს მატრიცა მიიღება თანდათანობით, როგორც სპეციალური ტიპის მატრიცების სასრული რაოდენობის ნამრავლი.

პუნქტი 1 (მოსამზადებელი).

1.1. მოდით, ცვლადებს შორის ავირჩიოთ ერთი, რომელიც ერთდროულად შედის კვადრატულ ფორმაში კვადრატში და პირველ ხარისხში (მოდით დავარქვათ მას წამყვანი ცვლადი). გადავიდეთ მე-2 პუნქტზე.

1.2. თუ არ არის წამყვანი ცვლადები კვადრატულ ფორმაში (ყველასთვის : ), მაშინ ვირჩევთ ცვლადების წყვილს, რომლის ნამრავლი შედის ფორმაში არანულოვანი კოეფიციენტით და გადავდივართ მე-3 საფეხურზე.

1.3. თუ კვადრატულ ფორმაში არ არის საპირისპირო ცვლადების პროდუქტები, მაშინ ეს კვადრატული ფორმა უკვე წარმოდგენილია კანონიკური ფორმით (10.6). თეორემის დადასტურება სრულია.

წერტილი 2 (სრული კვადრატის არჩევა).

2.1. წამყვანი ცვლადის გამოყენებით ვირჩევთ სრულ კვადრატს. ზოგადობის დაკარგვის გარეშე, დავუშვათ, რომ წამყვანი ცვლადი არის . შემცველი ტერმინების დაჯგუფებით ვიღებთ

.

სრულყოფილი კვადრატის არჩევა ცვლადის მიხედვით , ვიღებთ

.

ამრიგად, სრული კვადრატის ცვლადით გამოყოფის შედეგად ვიღებთ წრფივი ფორმის კვადრატის ჯამს.

რომელიც მოიცავს წამყვან ცვლადს და კვადრატულ ფორმას ცვლადებიდან, რომელშიც წამყვანი ცვლადი აღარ შედის. მოდით შევცვალოთ ცვლადები (შევიტანოთ ახალი ცვლადები)

ჩვენ ვიღებთ მატრიცას

() არაინგულარული წრფივი ტრანსფორმაცია, რის შედეგადაც კვადრატული ფორმა (10.1) იღებს შემდეგ ფორმას

კვადრატული ფორმით მოდით გავაკეთოთ იგივე, რაც 1 პუნქტში.

2.1. თუ წამყვანი ცვლადი არის ცვლადი , მაშინ ამის გაკეთება შეგიძლიათ ორი გზით: ან აირჩიეთ ამ ცვლადის სრული კვადრატი, ან შეასრულეთ სახელის გადარქმევა (გადანომრვა) ცვლადები:

არაინგულარული ტრანსფორმაციის მატრიცით:

.

წერტილი 3 (წამყვანი ცვლადის შექმნა).ცვლადების არჩეულ წყვილს ვცვლით ორი ახალი ცვლადის ჯამითა და სხვაობით, ხოლო დარჩენილი ძველი ცვლადები შესაბამისი ახალი ცვლადებით. თუ, მაგალითად, პირველ პუნქტში ტერმინი იყო ხაზგასმული

მაშინ ცვლადების შესაბამის ცვლილებას აქვს ფორმა

ხოლო კვადრატული ფორმით (10.1) მიიღება წამყვანი ცვლადი.

მაგალითად, ცვლადის ჩანაცვლების შემთხვევაში:

ამ არასიგნორული წრფივი ტრანსფორმაციის მატრიცას აქვს ფორმა

.

ზემოაღნიშნული ალგორითმის (1, 2, 3 პუნქტების თანმიმდევრული გამოყენება) შედეგად კვადრატული ფორმა (10.1) დაიყვანება კანონიკურ ფორმამდე (10.6).

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატულ ფორმაზე შესრულებული გარდაქმნების შედეგად (სრული კვადრატის არჩევა, სახელის გადარქმევა და წამყვანი ცვლადის შექმნა) გამოვიყენეთ სამი ტიპის ელემენტარული არასიგნორული მატრიცები (ეს არის საფუძვლიდან საფუძველზე გადასვლის მატრიცები). არასიგნორული წრფივი ტრანსფორმაციის (10.4) საჭირო მატრიცა, რომლის მიხედვითაც ფორმას (10.1) აქვს კანონიკური ფორმა (10.6), მიიღება სამი ტიპის ელემენტარული არასიგნორული მატრიცების სასრული რაოდენობის გამრავლებით. ■

მაგალითი 10.2.მიეცით კვადრატული ფორმა

კანონიკურ ფორმამდე ლაგრანგის მეთოდით. მიუთითეთ შესაბამისი არასიგნორული წრფივი ტრანსფორმაცია. შეასრულეთ შემოწმება.

გამოსავალი.ავირჩიოთ წამყვანი ცვლადი (კოეფიციენტი). ტერმინების დაჯგუფება და მისგან სრული კვადრატის არჩევა, მივიღებთ

სადაც მითითებულია

მოდით შევცვალოთ ცვლადები (შევიტანოთ ახალი ცვლადები)

ძველი ცვლადების გამოხატვა ახლის მიხედვით:

ჩვენ ვიღებთ მატრიცას