1-ლი ხარისხის ჰომოგენური განტოლება. ვიყენებთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის ფორმულას და ვწერთ საბოლოო ამონახსნებს
გაჩერდი! შევეცადოთ გავიგოთ ეს უხერხული ფორმულა.
სიმძლავრის პირველი ცვლადი გარკვეული კოეფიციენტით უნდა იყოს პირველი. ჩვენს შემთხვევაში ასეა
ჩვენს შემთხვევაში ასეა. როგორც გავარკვიეთ, ეს ნიშნავს, რომ პირველ ცვლადზე ხარისხი ერთმანეთს ემთხვევა. და მეორე ცვლადი პირველი ხარისხის ადგილზეა. კოეფიციენტი.
ჩვენ გვაქვს.
პირველი ცვლადი არის სიმძლავრე, ხოლო მეორე ცვლადი არის კვადრატი, კოეფიციენტით. ეს არის ბოლო წევრი განტოლებაში.
როგორც ხედავთ, ჩვენი განტოლება შეესაბამება განმარტებას ფორმულის სახით.
მოდით შევხედოთ განმარტების მეორე (სიტყვიერ) ნაწილს.
ჩვენ გვაქვს ორი უცნობი და. აქ იყრის თავს.
განვიხილოთ ყველა პირობა. მათში უცნობის ხარისხების ჯამი იგივე უნდა იყოს.
გრადუსების ჯამი ტოლია.
ძალაუფლების ჯამი უდრის (at და at).
გრადუსების ჯამი ტოლია.
როგორც ხედავთ ყველაფერი ჯდება!!!
ახლა მოდით ვივარჯიშოთ ერთგვაროვანი განტოლებების განსაზღვრაში.
დაადგინეთ, რომელი განტოლებებია ერთგვაროვანი:
ჰომოგენური განტოლებები - განტოლებები რიცხვებით:
განვიხილოთ განტოლება ცალკე.
თუ თითოეულ წევრს გავყოფთ თითოეული წევრის ფაქტორინგით, მივიღებთ
და ეს განტოლება მთლიანად ექვემდებარება ერთგვაროვანი განტოლებების განმარტებას.
როგორ ამოხსნათ ერთგვაროვანი განტოლებები?
მაგალითი 2.
მოდით გავყოთ განტოლება.
ჩვენი მდგომარეობის მიხედვით, y არ შეიძლება იყოს ტოლი. ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავყოთ
ჩანაცვლების გაკეთებით, ჩვენ ვიღებთ მარტივს კვადრატული განტოლება:
ვინაიდან ეს არის შემცირებული კვადრატული განტოლება, ჩვენ ვიყენებთ ვიეტას თეორემას:
საპირისპირო ჩანაცვლების გაკეთების შემდეგ ვიღებთ პასუხს
პასუხი:
მაგალითი 3.
განტოლება გავყოთ (პირობით).
პასუხი:
მაგალითი 4.
იპოვე თუ.
აქ საჭიროა არა გაყოფა, არამედ გამრავლება. მოდით გავამრავლოთ მთელი განტოლება:
მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება და ამოხსნათ კვადრატული განტოლება:
საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ პასუხს:
პასუხი:
ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.
ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა არაფრით განსხვავდება ზემოთ აღწერილი ამოხსნის მეთოდებისგან. მხოლოდ აქ, სხვა საკითხებთან ერთად, თქვენ უნდა იცოდეთ პატარა ტრიგონომეტრია. და შეძლებს გადაწყვიტოს ტრიგონომეტრიული განტოლებები(ამისთვის შეგიძლიათ წაიკითხოთ განყოფილება).
მოდით შევხედოთ ასეთ განტოლებებს მაგალითების გამოყენებით.
მაგალითი 5.
ამოხსენით განტოლება.
ჩვენ ვხედავთ ტიპურს ერთგვაროვანი განტოლება: და უცნობია, და მათი ძალების ჯამი თითოეულ წევრში ტოლია.
ასეთი ერთგვაროვანი განტოლებები არ არის რთული ამოსახსნელი, მაგრამ განტოლებების დაყოფამდე განიხილეთ შემთხვევა, როდესაც
ამ შემთხვევაში, განტოლება მიიღებს ფორმას: , ასე. მაგრამ სინუსი და კოსინუსი არ შეიძლება ერთდროულად იყოს ტოლი, რადგან ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ დავყოთ იგი:
ვინაიდან განტოლება მოცემულია, ვიეტას თეორემის მიხედვით:
პასუხი:
მაგალითი 6.
ამოხსენით განტოლება.
როგორც მაგალითში, თქვენ უნდა გაყოთ განტოლება. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც:
მაგრამ სინუსი და კოსინუსი არ შეიძლება ერთდროულად იყოს ტოლი, რადგან ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით. Ამიტომაც.
მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება და ამოხსნათ კვადრატული განტოლება:
მოდით გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება და ვიპოვოთ და:
პასუხი:
ერთგვაროვანი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა.
ჰომოგენური განტოლებები წყდება ისევე, როგორც ზემოთ განხილული. თუ დაგავიწყდათ როგორ ამოხსნათ ექსპონენციალური განტოლებები, გადახედეთ შესაბამის განყოფილებას ()!
მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.
მაგალითი 7.
ამოხსენით განტოლება
წარმოვიდგინოთ ასე:
ჩვენ ვხედავთ ტიპურ ერთგვაროვან განტოლებას, ორი ცვლადით და ძალაუფლების ჯამით. მოდით გავყოთ განტოლება:
როგორც ხედავთ, ჩანაცვლების განხორციელებით, ჩვენ ვიღებთ ქვემოთ მოცემულ კვადრატულ განტოლებას (არ არის საჭირო ნულზე გაყოფის შიში - ის ყოველთვის მკაცრად აღემატება ნულს):
ვიეტას თეორემის მიხედვით:
პასუხი: .
მაგალითი 8.
ამოხსენით განტოლება
წარმოვიდგინოთ ასე:
მოდით გავყოთ განტოლება:
მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება და ამოხსნათ კვადრატული განტოლება:
ფესვი არ აკმაყოფილებს პირობას. გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება და ვიპოვოთ:
პასუხი:
ჰომოგენური განტოლებები. საშუალო დონე
პირველ რიგში, ერთი პრობლემის მაგალითის გამოყენებით, შეგახსენებთ რა არის ერთგვაროვანი განტოლებები და რა არის ერთგვაროვანი განტოლებების ამონახსნი.
Პრობლემის გადაჭრა:
იპოვე თუ.
აქ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ საინტერესო რამ: თუ თითოეულ ტერმინს გავყოფთ, მივიღებთ:
ანუ, ახლა არ არის ცალკე და, - ახლა განტოლებაში ცვლადი არის სასურველი მნიშვნელობა. და ეს არის ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება, რომელიც ადვილად ამოიხსნება ვიეტას თეორემის გამოყენებით: ფესვების ნამრავლი ტოლია, ჯამი კი არის რიცხვები და.
პასუხი:
ფორმის განტოლებები
ეწოდება ერთგვაროვანი. ანუ ეს არის განტოლება ორი უცნობით, რომელთა თითოეულ წევრს აქვს ამ უცნობის ძალაუფლების იგივე ჯამი. მაგალითად, ზემოთ მოცემულ მაგალითში ეს თანხა უდრის. ერთგვაროვანი განტოლებები წყდება ამ ხარისხით ერთ უცნობზე გაყოფით:
და ცვლადების შემდგომი ჩანაცვლება: . ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სიმძლავრის განტოლებას ერთი უცნობით:
ყველაზე ხშირად ჩვენ ვხვდებით მეორე ხარისხის (ანუ კვადრატულ) განტოლებებს და ვიცით, როგორ მოვაგვაროთ ისინი:
გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ შეგვიძლია გავყოთ (და გავამრავლოთ) მთელი განტოლება ცვლადზე, თუ დავრწმუნდებით, რომ ეს ცვლადი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი! მაგალითად, თუ ჩვენ გვთხოვენ პოვნას, მაშინვე გვესმის, რომ რადგან შეუძლებელია გაყოფა. იმ შემთხვევებში, როდესაც ეს არც ისე აშკარაა, საჭიროა ცალკე გადამოწმდეს შემთხვევა, როდესაც ეს ცვლადი ნულის ტოლია. Მაგალითად:
ამოხსენით განტოლება.
გამოსავალი:
ჩვენ აქ ვხედავთ ტიპურ ერთგვაროვან განტოლებას: და უცნობია და მათი ძალების ჯამი თითოეულ წევრში ტოლია.
მაგრამ, სანამ გავყოფთ და მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას, უნდა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც. ამ შემთხვევაში განტოლება მიიღებს ფორმას: , რაც ნიშნავს. მაგრამ სინუსი და კოსინუსი არ შეიძლება ერთდროულად იყოს ნულის ტოლი, რადგან ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით: . ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ დავყოთ იგი:
იმედი მაქვს, რომ ეს გამოსავალი სრულიად ნათელია? თუ არა, წაიკითხეთ განყოფილება. თუ გაურკვეველია, საიდან მოვიდა, თქვენ უნდა დაბრუნდეთ უფრო ადრე - განყოფილებაში.
თავად გადაწყვიტე:
- იპოვე თუ.
- იპოვე თუ.
- ამოხსენით განტოლება.
აქ მოკლედ დავწერ პირდაპირ ერთგვაროვან განტოლებათა ამოხსნას:
გადაწყვეტილებები:
პასუხი:.
მაგრამ აქ ჩვენ გვჭირდება გამრავლება და არა გაყოფა:
პასუხი:
თუ ჯერ არ აიღეთ ტრიგონომეტრიული განტოლებები, შეგიძლიათ გამოტოვოთ ეს მაგალითი.
ვინაიდან აქ ჩვენ უნდა გავყოთ, ჯერ დავრწმუნდეთ, რომ ის არ არის ასი ნულის ტოლი:
და ეს შეუძლებელია.
პასუხი:.
ჰომოგენური განტოლებები. მოკლედ მთავარის შესახებ
ყველა ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნი მცირდება გაყოფამდე ერთ-ერთ უცნობზე სიმძლავრისა და ცვლადების შემდგომ ცვლილებამდე.
ალგორითმი:
მასწავლებელი: სინიცინა ს.ი.
MBOU საშუალო სკოლა No20 N.I Milevsky
თემა: ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები (10 კლასი)
მიზნები: I და II ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ცნების გაცნობა;
ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული ამოცანების გადაჭრის ალგორითმის ფორმულირება და შემუშავება
I და II ხარისხის განტოლებები;
ყველა სახის ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნის უნარ-ჩვევების გაძლიერება
არსებული ცოდნის მოდიფიცირებული გამოყენების უნარ-ჩვევების განვითარება და გაუმჯობესება
სიტუაციებში, დასკვნების გამოტანისა და განზოგადების უნარის მეშვეობით
მოსწავლეებში სისუფთავისა და ქცევის კულტურის დანერგვა.
გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი ახალი ცოდნის ფორმირებაში.
აღჭურვილობა: კომპიუტერი, მულტიმედიური პროექტორი, ეკრანი, დაფა, პრეზენტაცია
გაკვეთილების დროს
I. საორგანიზაციო მომენტი
სტუდენტების მისალმება, ყურადღების მობილიზება.
II. განახლება ფონური ცოდნა (Საშინაო დავალებაშემოწმებული კონსულტანტების მიერ გაკვეთილის დაწყებამდე. მასწავლებელი აჯამებს საშინაო დავალებას.)
მასწავლებელი: ვაგრძელებთ თემის „ტრიგონომეტრიული განტოლებების“ შესწავლას. დღეს გაკვეთილზე გაგაცნობთ სხვა ტიპის ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს და მათი ამოხსნის მეთოდებს და ამიტომ გავიმეორებთ ნასწავლს. ყველა სახის ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნისას ისინი მცირდება უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნამდე.
ზეპირი სამუშაო
- რა განტოლებას ვეძახით ტრიგონომეტრიულს?
- დაასახელეთ ამოხსნის ალგორითმი cos განტოლებები t = a
- დაასახელეთ განტოლების ამოხსნის ალგორითმი sin t = a
III. სწავლის მოტივაცია.
მასწავლებელი: უნდა ვიმუშაოთ კროსვორდის ამოხსნაზე. მისი ამოხსნის შემდეგ გავარკვევთ ახალი ტიპის განტოლებების სახელს, რომელთა ამოხსნას დღეს კლასში ვისწავლით.
კითხვები განლაგებულია დაფაზე. კროსვორდის ამოხსნის შემდეგ ბავშვები წაიკითხავენ სიტყვას „ერთგვაროვანი“.
1. ცვლადის მნიშვნელობა, რომელიც ამართლებს განტოლებას? (ფესვი)
2.კუთხეების ერთეული? (რადიანი)
3.რიცხობრივი ფაქტორი პროდუქტში (კოეფიციენტი)
4. მათემატიკის ტოტი, რომელიც სწავლობს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს? (ტრიგონომეტრია)
5.რომელიც მათემატიკური მოდელიჩასართავად აუცილებელია ტრიგონომეტრიული ფუნქციები? (წრე)
6. ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდან რომელია ლუწი?
7.რა ჰქვია ნამდვილ თანასწორობას? (იდენტიფიკაცია)
8.თანასწორობა ცვლადთან? (განტოლებები)
9. განტოლებები, რომლებსაც ერთნაირი ფესვები აქვთ? (ექვივალენტი)
10. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას? (გამოსავალი)
IV. ახალი თემის ახსნა
მასწავლებელი: გაკვეთილის თემაა „ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები“.
ჩავწეროთ გაკვეთილის თემა რვეულში. ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები არის პირველი და მეორე ხარისხის.
მოდით ჩამოვწეროთ პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლების განმარტება. მე ვაჩვენებ ამ ტიპის განტოლების ამოხსნის მაგალითს, თქვენ შექმნით პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნის ალგორითმს.
ფორმის განტოლება a sinx + b cosx = 0ეწოდება პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება.
განვიხილოთ განტოლების ამოხსნა, როდესაც a და b კოეფიციენტები განსხვავდება 0-დან.
მაგალითი 1: 2sinx - 3cosx = 0
განტოლების ორივე მხარის ტერმინებით cosx-ით გაყოფით, მივიღებთ
2sinx/ cosx - 3cosx/ cosx = 0
2 ტგ x-3 =0, ტგ x =3/2, x= arctan3/2 + πn, nє Z,
ყურადღება! თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ ერთი და იგივე გამოსახულებით, თუ ეს გამონათქვამი არსად არ გადაიქცევა 0-ზე, მოდით გავაანალიზოთ. თუ კოსინუსი 0-ის ტოლია, მაშინ იმისათვის, რომ მთელი გამოხატულება 0-ზე გადავიდეს, სინუსიც უნდა იყოს 0-ის ტოლი (გავითვალისწინებთ, რომ კოეფიციენტები განსხვავდება 0-დან). მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ სინუსი და კოსინუსი ქრება სხვადასხვა წერტილში. აქედან გამომდინარე, ასეთი ოპერაცია შეიძლება შესრულდეს ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნისას.
ფორმის განტოლება a sin mx + b cos mx = 0მას ასევე უწოდებენ პირველი ხარისხის ერთგვაროვან ტრიგონომეტრიულ განტოლებას და ასევე იხსნება განტოლების ორივე მხარის cos mх-ზე გაყოფით.
ფორმის განტოლება a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0ეწოდება მეორე ხარისხის ერთგვაროვან ტრიგონომეტრიულ განტოლებას.
მაგალითი2: sin 2 x – 3 sinx cosx +2 cos 2 x = 0
კოეფიციენტი a განსხვავდება 0-დან და შესაბამისად, როგორც ში წინა განტოლება cosx 0 და, შესაბამისად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ განტოლების ორივე მხარის cos 2 x-ზე გაყოფის მეთოდი.
ვიღებთ tg 2 x – 3 tgx +2 = 0
ჩვენ ვხსნით ახალი ცვლადის შემოღებით, მოდით tgx = a, შემდეგ მივიღებთ განტოლებას
a 2 -3 a +2 = 0 a 1 = 1 a 2 = 2
დაბრუნება ჩანაცვლებაზე
tgx =1, x = ¼π+ πn, nє Z tgx = 2, x = არქტანი 2 + πn, nє Z
პასუხი: x = ¼π + πn, nє Z, x = არქტანი 2 + πn, nє Z
თუ კოეფიციენტი a = 0, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას –3sinx cosx + 2cos 2 x = 0, მას ვხსნით საერთო ფაქტორის – cosx ფრჩხილებიდან ამოღებით: – cosx (3 sinx – 2cosx) = 0,
cosx = 0 ან 3sinx – 2cosx = 0. მეორე განტოლება არის პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება.
თუ კოეფიციენტი c = 0, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას sin 2 x -3sinx cosx = 0, ჩვენ მას ვხსნით საერთო ფაქტორის sinx ფრჩხილებიდან ამოღებით: sinx (sinx -3 cosx) = 0,
sinx = 0 ან sinx -3 cosx = 0. მეორე განტოლება არის პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება.
მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნის ალგორითმი:
1. ნახეთ, განტოლება შეიცავს თუ არა ტერმინს sin 2 x.
2. თუ ტერმინი asin 2 x შეიცავს განტოლებაში (ანუ a 0), მაშინ განტოლება წყდება გაყოფით
განტოლების ორივე მხარე cos 2 x-ზე და შემდგომში ახალი ცვლადის შემოღება a = tgx
3. თუ ტერმინი asin 2 x არ შეიცავს განტოლებას (ანუ a = 0), მაშინ განტოლება იხსნება ფაქტორიზაციით: cosx ამოღებულია ფრჩხილებიდან.
ფორმის ჰომოგენური განტოლებები a sin 2 mx + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0მოგვარებულია იმავე გზით
V. ახალი ცოდნის ათვისება
არის ეს განტოლებები ერთგვაროვანი?
- sin x = 2 cos x
- sin 5x + cos 5x = 0
- sin 3x - cos 3x = 2
- sin 2 8x – 5 sin8x cos8x +2 cos 2 8x =0
ვI. ფიზიკური აღზრდის წუთს
ვII. ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის უნარების ჩამოყალიბება
გახსენით პრობლემური წიგნები გვ 47 No. 18.10 (a), No. 18.11 (a, b), 18.12 (d)
VIII. დამოუკიდებელი მუშაობა (მოსწავლეები ირჩევენ დიფერენცირებულ დავალებებს ორი ვარიანტის მიხედვით)
ვარიანტი 1 ვარიანტი 2
1) sinx + 2cosx = 0. 1) sinx - 4cosx = 0.
2) sin 2 x + 2sinx cosx -3 cos 2 x = 0 2) sin 2 x – 4 sinx cosx +3 cos 2 x = 0
3) 2sin 2 2x – 5 sin2x cos2x +2 cos 2 2x = 0 3) 3sin 2 3x +10 sin3x cos3x +3 cos 2 3x = 0
სწორი პასუხები გამოსახულია დაფაზე.
IX. გაკვეთილის შეჯამება, შეფასება
რა ტიპის ტრიგონომეტრიული განტოლებები გავიგეთ კლასში?
რა განტოლებებს ვუწოდებთ ერთგვაროვანს?
პირველი და მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმების ჩამოყალიბება.
X. საშინაო დავალება:შეადგინეთ და ამოხსენით პირველი ხარისხის 2 ერთგვაროვანი განტოლება და მეორე ხარისხის 1 ერთგვაროვანი განტოლება
არაწრფივი განტოლებები ორი უცნობით
განმარტება 1. დაე იყოს A რიცხვების წყვილთა ნაკრები (x; წ) . ისინი ამბობენ, რომ A სიმრავლე არის მოცემული რიცხვითი ფუნქციაზ ორი ცვლადიდან x და y , თუ მითითებულია წესი, რომლის დახმარებით A სიმრავლის რიცხვების თითოეული წყვილი ასოცირდება გარკვეულ რიცხვთან.
ვარჯიში რიცხვითი ფუნქცია z ორი ცვლადიდან x და y ხშირად აღნიშნავენᲘსე:
სად ვ (x , წ) - ნებისმიერი ფუნქცია, გარდა ფუნქციისა
ვ (x , წ) = ცული+მით+გ ,
სადაც a, b, c - მოცემული ნომრები.
განმარტება 3. განტოლების ამოხსნა (2)დარეკეთ წყვილ ნომრებზე ( x; წ), რომლის ფორმულა (2) არის ჭეშმარიტი ტოლობა.
მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება
ვინაიდან ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი არაუარყოფითია, ფორმულიდან (4) გამომდინარეობს, რომ უცნობი x და y აკმაყოფილებენ განტოლებათა სისტემას.
რომლის ამონახსნი არის რიცხვების წყვილი (6; 3).
პასუხი: (6; 3)
მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება
მაშასადამე, (6) განტოლების ამონახსნი არის უსასრულო ნაკრებირიცხვების წყვილიკეთილი
(1 + წ ; წ) ,
სადაც y არის ნებისმიერი რიცხვი.
ხაზოვანი
განმარტება 4. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა
დარეკეთ წყვილ ნომრებზე ( x; წ) , ამ სისტემის თითოეულ განტოლებაში მათი ჩანაცვლებისას მიიღება სწორი ტოლობა.
ორი განტოლების სისტემას, რომელთაგან ერთი წრფივია, აქვთ ფორმა
გ(x , წ)
მაგალითი 4. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა
გამოსავალი . მოდით გამოვხატოთ უცნობი y სისტემის პირველი განტოლებიდან (7) უცნობი x-ის მეშვეობით და მიღებული გამოხატულება ჩავანაცვლოთ სისტემის მეორე განტოლებით:
განტოლების ამოხსნა
x 1 = - 1 , x 2 = 9 .
აქედან გამომდინარე,
წ 1 = 8 - x 1 = 9 ,
წ 2 = 8 - x 2 = - 1 .
ორი განტოლების სისტემა, რომელთაგან ერთი ერთგვაროვანია
ორი განტოლების სისტემას, რომელთაგან ერთი ერთგვაროვანია, აქვთ ფორმა
სადაც a, b, c მოცემულია რიცხვები და გ(x , წ) – ორი ცვლადის x და y ფუნქცია.
მაგალითი 6. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა
გამოსავალი . ამოხსნათ ერთგვაროვანი განტოლება
3x 2 + 2xy - წ 2 = 0 ,
3x 2 + 17xy + 10წ 2 = 0 ,
მისი განხილვა, როგორც კვადრატული განტოლება უცნობი x-ის მიმართ:
.
Შემთხვევაში x = - 5წ, სისტემის მეორე განტოლებიდან (11) ვიღებთ განტოლებას
5წ 2 = - 20 ,
რომელსაც ფესვები არ აქვს.
Შემთხვევაში
სისტემის მეორე განტოლებიდან (11) ვიღებთ განტოლებას
,
რომლის ფესვები რიცხვებია წ 1 = 3 , წ 2 = - 3 . თითოეული ამ მნიშვნელობისთვის y შესაბამისი მნიშვნელობის x ვიპოვით, ვიღებთ სისტემის ორ ამონახსანს: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .
პასუხი: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
სხვა ტიპის განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მაგალითები
მაგალითი 8. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (MIPT)
გამოსავალი . მოდით შემოვიტანოთ ახალი უცნობი u და v, რომლებიც გამოიხატება x და y მეშვეობით ფორმულების მიხედვით:
იმისათვის, რომ სისტემა (12) გადავწეროთ ახალი უცნობის მიხედვით, ჯერ გამოვხატავთ x და y უცნობებს u და v. სისტემიდან (13) გამომდინარეობს, რომ
მოდით გადავჭრათ წრფივი სისტემა (14) ამ სისტემის მეორე განტოლებიდან x ცვლადის ამოღებით. ამ მიზნით, ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ გარდაქმნებს სისტემაზე (14):
- სისტემის პირველ განტოლებას უცვლელად დავტოვებთ;
- მეორე განტოლებას გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას და ვცვლით სისტემის მეორე განტოლებას მიღებული სხვაობით.
შედეგად, სისტემა (14) გარდაიქმნება ეკვივალენტურ სისტემად
საიდანაც ვპოულობთ
(13) და (15) ფორმულების გამოყენებით, ჩვენ გადავიწერთ თავდაპირველ სისტემას (12) ფორმაში
სისტემის პირველი განტოლება (16) წრფივია, ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ უცნობი u უცნობი v-ის მეშვეობით და ჩავანაცვლოთ ეს გამონათქვამი სისტემის მეორე განტოლებით.
თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.
პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება
პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.
თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.
ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.
რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:
- როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ელფოსტადა ა.შ.
როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:
- ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციებისა და სხვა ღონისძიებების შესახებ და მომავალი მოვლენები.
- დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
- ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
- თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.
ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის
ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.
გამონაკლისები:
- საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცესის, სასამართლო პროცესის შესაბამისად ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
- რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.
პირადი ინფორმაციის დაცვა
ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.
თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე
თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.
ბოლო დეტალი, როგორ ამოხსნათ C1 ამოცანები მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან - ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.ჩვენ გეტყვით, თუ როგორ უნდა მოაგვაროთ ისინი ამ ბოლო გაკვეთილზე.
რა არის ეს განტოლებები? მოდით ჩავწეროთ ისინი ზოგადი ხედი.
$$a\sin x + b\cos x = 0,$$
სადაც `a` და `b` არის გარკვეული მუდმივები. ამ განტოლებას ეწოდება პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება.
პირველი ხარისხის ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლება
ასეთი განტოლების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა გაყოთ იგი `\cos x`-ზე. შემდეგ ის მიიღებს ფორმას
$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$
პასუხი ასეთ განტოლებაზე ადვილად იწერება არქტანგენტის გამოყენებით.
გაითვალისწინეთ, რომ `\cos x ≠0`. ამის დასადასტურებლად, კოსინუსის ნაცვლად განტოლებაში ნულს ვცვლით და აღმოვაჩენთ, რომ სინუსიც ნულის ტოლი უნდა იყოს. თუმცა, ისინი არ შეიძლება ერთდროულად იყოს ნულის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ კოსინუსი არ არის ნული.
წლევანდელი რეალური გამოცდის ზოგიერთი შეკითხვა მოიცავდა ერთგვაროვან ტრიგონომეტრიულ განტოლებას. მიჰყევით ბმულს. ჩვენ ავიღებთ პრობლემის ოდნავ გამარტივებულ ვერსიას.
პირველი მაგალითი. პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა
$$\sin x + \cos x = 0.$$
გაყოფა `\cos x`-ზე.
$$\tg x + 1 = 0,$$
$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$
ვიმეორებ, მსგავსი დავალება იყო ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე :) რა თქმა უნდა, თქვენ ჯერ კიდევ გჭირდებათ ფესვების შერჩევა, მაგრამ ეს ასევე არ უნდა გამოიწვიოს რაიმე განსაკუთრებული სირთულე.
ახლა გადავიდეთ შემდეგი ტიპის განტოლებაზე.
მეორე ხარისხის ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლება
ზოგადად ასე გამოიყურება:
$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$
სადაც `a, b, c~ არის გარკვეული მუდმივები.
ასეთი განტოლებები იხსნება `\cos^2 x`-ზე გაყოფით (რაც ისევ არ არის ნული). მოდით შევხედოთ მაგალითს დაუყოვნებლივ.
მეორე მაგალითი. მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა
$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$
გაყოფა `\cos^2 x`-ზე.
$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$
შევცვალოთ `t = \tg x`.
$$t^2 - 2t -3 = 0,$$
$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$
საპირისპირო ჩანაცვლება
$$\tg x = 3, \text(ან ) \tg x = -1,$$
$$x = \arctan(3)+\pi k, \text(ან ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$
პასუხი მიღებულია.
მესამე მაგალითი. მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$
ყველაფერი კარგად იქნებოდა, მაგრამ ეს განტოლება არ არის ერთგვაროვანი - მარჯვენა მხარეს არსებული `-2~ გვერევა. Რა უნდა ვქნა? გამოვიყენოთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობა და დავწეროთ `-2` მისი გამოყენებით.
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ), $$
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0, $$
$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$
გაყოფა `\cos^2 x`-ზე.
$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$
ჩანაცვლება `t= \tg x`.
$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$
$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$
საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულების შემდეგ ვიღებთ:
$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text(ან ) \tg x = -\sqrt(3).$$
$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$
ეს ბოლო მაგალითიამ გაკვეთილზე.
როგორც ყოველთვის, შეგახსენებთ: ვარჯიში ჩვენთვის ყველაფერია. რაც არ უნდა ბრწყინვალე იყოს ადამიანი, უნარები ვარჯიშის გარეშე არ განვითარდება. გამოცდის დროს ეს სავსეა შფოთვით, შეცდომებით და დროის დაკარგვით (ეს სია თავად განაგრძეთ). აუცილებლად ისწავლე!
სასწავლო ამოცანები
ამოხსენით განტოლებები:
- `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. ეს დავალება არის დან რეალური ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2013. გრადუსების თვისებების ცოდნა არავის გაუუქმებია, მაგრამ თუ დაგავიწყდათ გადახედეთ;
- `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. ფორმულა მეშვიდე გაკვეთილიდან გამოგადგებათ.
- `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.
Სულ ეს არის. და ჩვეულებისამებრ, ბოლოს: დასვით კითხვები კომენტარებში, მოიწონეთ, უყურეთ ვიდეოებს, ისწავლეთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოხსნა.
