იპოვეთ სიმაღლის განტოლება და სიგრძე. როგორ ვისწავლოთ ამოცანების ამოხსნა ანალიტიკურ გეომეტრიაში? ტიპიური პრობლემა სამკუთხედის სიბრტყეზე

ინსტრუქციები

თქვენ გეძლევათ სამი ქულა. ავღნიშნოთ ისინი როგორც (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). ვარაუდობენ, რომ ეს წერტილები ზოგიერთის წვეროა სამკუთხედი. ამოცანაა შევქმნათ მისი მხარეების განტოლებები - უფრო ზუსტად, განტოლებები იმ ხაზებისა, რომლებზეც ეს მხარეები დევს. ეს განტოლებები ასე უნდა გამოიყურებოდეს:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3 * x + b3, თქვენ უნდა იპოვოთ კუთხოვანი მნიშვნელობები k1, k2, k3 და გადაადგილებები b1, b2, b3.

იპოვეთ წრფე, რომელიც გადის წერტილებს (x1, y1), (x2, y2). თუ x1 = x2, მაშინ სასურველი ხაზი ვერტიკალურია და მისი განტოლებაა x = x1. თუ y1 = y2, მაშინ წრფე ჰორიზონტალურია და მისი განტოლებაა y = y1. ზოგადად, ეს კოორდინატები არ შეესაბამება ერთმანეთს.

კოორდინატების (x1, y1), (x2, y2) ჩანაცვლებით სწორი ხაზის ზოგად განტოლებაში მიიღებთ ორი წრფივი განტოლების სისტემას: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2 გამოვაკლოთ ერთი განტოლება მეორეს და ამოხსენით მიღებული განტოლება k1-სთვის: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, შესაბამისად k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

შეცვალეთ ის, რაც იპოვნეთ რომელიმე თავდაპირველ განტოლებაში, იპოვეთ გამოხატულება b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 რადგან უკვე ვიცით, რომ x2 ≠ x1, ჩვენ შეგვიძლია გავამარტივოთ y1 (x2 - x1)/(x2 - x1) გამრავლებით. შემდეგ b1-სთვის მიიღებთ შემდეგ გამოსახულებას: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

შეამოწმეთ არის თუ არა მოცემული ქულების მესამედი ნაპოვნი ხაზზე. ამისათვის ჩაანაცვლეთ (x3, y3) მიღებულ განტოლებაში და ნახეთ, მოქმედებს თუ არა ტოლობა. თუ დაკვირვებულია, მაშასადამე, სამივე წერტილი ერთსა და იმავე წრფეზე დევს და სამკუთხედი გადაგვარდება სეგმენტად.

ისევე, როგორც ზემოთ აღწერილი, გამოიღეთ განტოლებები ხაზებისთვის, რომლებიც გადიან წერტილებში (x2, y2), (x3, y3) და (x1, y1), (x3, y3).

წვეროების კოორდინატებით მოცემული სამკუთხედის გვერდების განტოლებების საბოლოო ფორმაა: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Პოვნა განტოლებები პარტიები სამკუთხედი, უპირველეს ყოვლისა, უნდა ვეცადოთ ამოხსნას კითხვა, თუ როგორ ვიპოვოთ წრფის განტოლება სიბრტყეზე, თუ ცნობილია მისი მიმართულების ვექტორი s(m, n) და წრფის კუთვნილი M0(x0, y0).

ინსტრუქციები

აიღეთ თვითნებური (ცვლადი, მცურავი) წერტილი М(x, y) და ააგეთ ვექტორი М0M =(x-x0, y-y0) (ასევე დაწერეთ М0M(x-x0, y-y0)), რომელიც აშკარად იქნება კოლინარული. (პარალელური ) კ ს-ით. შემდეგ, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ამ ვექტორების კოორდინატები პროპორციულია, ამიტომ შეგვიძლია შევქმნათ კანონიკური სწორი ხაზი: (x-x0)/m = (y-y0)/n. სწორედ ეს თანაფარდობა იქნება გამოყენებული პრობლემის გადაჭრაში.

ყველა შემდგომი მოქმედება განისაზღვრება მეთოდის მიხედვით .1 მეთოდი. სამკუთხედი მოცემულია მისი სამი წვერის კოორდინატებით, რომლებიც სკოლის გეომეტრიაში მოცემულია მისი სამის სიგრძეებით. პარტიები(იხ. სურ. 1). ანუ პირობა შეიცავს წერტილებს M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). ისინი შეესაბამება მათი რადიუსის ვექტორებს) OM1, 0M2 და OM3 იგივე კოორდინატებით, როგორც წერტილები. მისაღებად განტოლებები პარტიები s M1M2 მოითხოვს მისი მიმართულების ვექტორს M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) და რომელიმე წერტილს M1 ან M2 (აქ აღებულია წერტილი ქვედა ინდექსით).

ასე რომ პარტიები y წრფის M1M2 კანონიკური განტოლება (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). ვიმოქმედოთ წმინდა ინდუქციურად, შეგვიძლია დავწეროთ განტოლებებიდასვენება პარტიები.ამისთვის პარტიები s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). ამისთვის პარტიები s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

მე-2 მეთოდი. სამკუთხედი განისაზღვრება ორი წერტილით (იგივე M1(x1, y1) და M2(x2, y2)), ასევე დანარჩენი ორის მიმართულების ერთეული ვექტორებით. პარტიები. ამისთვის პარტიები s M2M3: p^0 (m1, n1). M1M3-ისთვის: q^0(m2, n2). ამიტომ ამისთვის პარტიები s M1M2 იგივე იქნება, რაც პირველ მეთოდში: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

ამისთვის პარტიები s М2М3 როგორც წერტილი (x0, y0) კანონიკური განტოლებები(x1, y1) და მიმართულების ვექტორი არის p^0(m1, n1). ამისთვის პარტიები s M1M3, (x2, y2) აღებულია წერტილად (x0, y0), მიმართულების ვექტორი არის q^0(m2, n2). ამრიგად, M2M3-ისთვის: განტოლება (x-x1)/m1=(y-y1)/n1 M1M3-სთვის: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

ვიდეო თემაზე

რჩევა 3: როგორ ვიპოვოთ სამკუთხედის სიმაღლე, თუ მოცემულია წერტილების კოორდინატები

სიმაღლე არის სწორი ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ფიგურის ზედა მხარეს მოპირდაპირე მხარეს. ეს სეგმენტი უნდა იყოს გვერდის პერპენდიკულარული, ასე რომ თითოეული წვეროდან მხოლოდ ერთი შეიძლება იყოს დახატული სიმაღლე. ვინაიდან ამ ფიგურაში სამი წვეროა, სიმაღლეების იგივე რაოდენობაა. თუ სამკუთხედი მოცემულია მისი წვეროების კოორდინატებით, თითოეული სიმაღლის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს, მაგალითად, ფართობის პოვნის ფორმულის გამოყენებით და გვერდების სიგრძის გამოთვლით.

ინსტრუქციები

დაიწყეთ გვერდების სიგრძის გამოთვლით სამკუთხედი. დანიშნეთ კოორდინატებიასეთი ფიგურები: A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) და C(X3,Y3,Z3). შემდეგ შეგიძლიათ გამოთვალოთ AB მხარის სიგრძე AB = √((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1-Z2)² ფორმულის გამოყენებით. დანარჩენი ორი მხარისთვის ეს ასე გამოიყურება: BC = √((X₂-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) და AC = √((X1-X3)² + (Y1) -Y3 )² + (Z1-Z3)²). მაგალითად, ამისთვის სამკუთხედი A(3,5,7), B(16,14,19) და C(1,2,13) კოორდინატებით AB მხარის სიგრძე იქნება √((3-16)² + (5-14) )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19.85. BC და AC გვერდების სიგრძეები, რომლებიც გამოითვლება იმავე გზით, იქნება √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20.12 და √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

ფართობის გამოსათვლელად საკმარისია წინა ეტაპზე მიღებული სამი მხარის სიგრძის ცოდნა სამკუთხედი(S) ჰერონის ფორმულის მიხედვით: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). მაგალითად, ამ ფორმულაში ჩანაცვლება კოორდინატებიდან მიღებული მნიშვნელობებით სამკუთხედი- წინა საფეხურის ნიმუში, ეს მისცემს მნიშვნელობას: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12 ) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ≈ ¼*√75768.55 ≈ ¼*275.26 = 68.815 .

ფართობზე დაყრდნობით სამკუთხედი, გამოითვლება წინა საფეხურზე და მეორე საფეხურზე მიღებული გვერდების სიგრძეები, გამოთვალეთ სიმაღლეები თითოეული მხარისთვის. ვინაიდან ფართობი უდრის სიმაღლისა და იმ მხარის სიგრძის ნამრავლის ნახევარს, რომლისკენაც არის დახატული, სიმაღლის საპოვნელად გაორმაგებული ფართობი გაყავით სასურველი მხარის სიგრძეზე: H = 2*S/a. ზემოთ გამოყენებული მაგალითისთვის, AB მხარეს დაშვებული სიმაღლე იქნება 2*68.815/16.09 ≈ 8.55, სიმაღლე BC მხარეს ექნება სიგრძე 2*68.815/20.12 ≈ 6.84 და AC მხარისთვის ეს მნიშვნელობა ტოლი იქნება 2 *68.815/7 ≈ 19.66.

წყაროები:

მოცემული წერტილები იპოვნეთ სამკუთხედის ფართობი

რჩევა 4: როგორ გამოვიყენოთ სამკუთხედის წვეროების კოორდინატები მისი გვერდების განტოლების საპოვნელად

ანალიტიკურ გეომეტრიაში, სიბრტყეზე სამკუთხედი შეიძლება განისაზღვროს დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში. წვეროების კოორდინატების ცოდნა, შეგიძლიათ შექმნათ განტოლებები სამკუთხედის გვერდებისთვის. ეს იქნება სამი სწორი წრფის განტოლებები, რომლებიც კვეთენ ფიგურას.

1. AB და BC გვერდების განტოლება და მათი კუთხური კოეფიციენტები.
დავალება იძლევა იმ წერტილების კოორდინატებს, რომლებშიც ეს წრფეები გადის, ამიტომ ჩვენ გამოვიყენებთ ორ მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლებას $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ შეცვალეთ და მიიღეთ განტოლებები
AB წრფის განტოლება $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ სწორი ხაზის AB დახრილობა უდრის $k_(AB) = -\frac(3)(4)$
BC წრფის განტოლება $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ BC წრფის დახრილობა უდრის \ (k_( ძვ. წ.) = -7\)

2. კუთხე B რადიანებში ორი ციფრის სიზუსტით
კუთხე B არის კუთხე AB და BC ხაზებს შორის, რომელიც გამოითვლება ფორმულით $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$შეცვალეთ კუთხოვანი კოეფიციენტების მნიშვნელობები. ამ ხაზებიდან და მიიღეთ $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \დაახლოებით 0,79$$
3.AB მხარის სიგრძე
AB მხარის სიგრძე გამოითვლება, როგორც მანძილი წერტილებს შორის და უდრის $d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$ => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. CD სიმაღლისა და მისი სიგრძის განტოლება.
ჩვენ ვიპოვით სიმაღლის განტოლებას მოცემულ წერტილში C(4;13) მოცემული მიმართულებით გამავალი სწორი ხაზის ფორმულის გამოყენებით - AB წრფეზე პერპენდიკულარული ფორმულის გამოყენებით $y-y_0=k(x-x_0) $. ვიპოვოთ სიმაღლის კუთხური კოეფიციენტი $k_(CD)$ პერპენდიკულარული წრფეების თვისების გამოყენებით $k_1=-\frac(1)(k_2)$ მივიღებთ $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ ჩვენ ვცვლით სწორ ხაზს განტოლებაში, მივიღებთ $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ ჩვენ ვეძებთ სიმაღლის სიგრძეს, როგორც მანძილი C(4;13) წერტილიდან პირდაპირ AB-მდე ფორმულის გამოყენებით $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ მრიცხველში არის განტოლება სწორი ხაზის AB, შევამციროთ ის ამ ფორმამდე $y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0$ , ჩავანაცვლოთ მიღებული განტოლება და წერტილის კოორდინატები ფორმულაში $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt(4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10$$

5. AE მედიანის განტოლება და K წერტილის კოორდინატები, ამ მედიანას გადაკვეთა სიმაღლის CD-სთან.
ჩვენ ვეძებთ მედიანის განტოლებას, როგორც სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილს A(-6;8) და E, სადაც E წერტილი არის შუა წერტილი B და C წერტილებს შორის და მისი კოორდინატები გვხვდება ფორმულა $E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))$ ჩაანაცვლეთ წერტილების კოორდინატები $E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2)) $ = > $E(5; 6)$, მაშინ მედიანური AE განტოლება იქნება შემდეგი $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$მოდით ვიპოვოთ გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები სიმაღლეები და მედიანა, ე.ი. მოდი ვიპოვოთ მათი საერთო წერტილი ამისათვის ჩვენ შევქმნით სისტემის განტოლებას $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac. (4)(3)x+ \frac(23)(3)\ბოლო(შემთხვევები)=>\დაწყება(შემთხვევები)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\ბოლო(შემთხვევები)=>$$$ $\begin(cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$ $$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები $K(-\frac(1)(2);7 )$

6. წრფის განტოლება, რომელიც გადის K წერტილის AB გვერდის პარალელურად.
თუ სწორი ხაზი პარალელურია, მაშინ მათი კუთხური კოეფიციენტები ტოლია, ე.ი. $k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)$, ასევე ცნობილია $K(-\frac(1)(2);7)$ წერტილის კოორდინატები. , ე.ი. სწორი ხაზის განტოლების საპოვნელად, გამოვიყენებთ მოცემულ წერტილში მოცემული მიმართულებით გამავალი სწორი ხაზის განტოლების ფორმულას $y - y_0=k(x-x_0)$, ჩანაცვლება მონაცემებით და მივიღებთ $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. M წერტილის კოორდინატები, რომელიც სიმეტრიულია A წერტილის მიმართ სწორი ხაზის CD-სთან მიმართებაში.
წერტილი M დევს AB ხაზზე, რადგან CD არის სიმაღლე ამ მხარეს. მოდი ვიპოვოთ CD-სა და AB-ის გადაკვეთის წერტილი ამისათვის, ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = -; \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(შემთხვევები) =>\დაწყება(შემთხვევები)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\ბოლო(შემთხვევები) => $$$$\ დასაწყისი (შემთხვევები) 12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\ბოლო (შემთხვევები) =>
\დაწყება(შემთხვევები)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\ბოლო(შემთხვევები) => $$$$\დაწყება(შემთხვევები)x=-2\\y=5 \ბოლო(შემთხვევები)$$ D(-2;5) წერტილის კოორდინატები. AD=DK პირობის მიხედვით, წერტილებს შორის ეს მანძილი გვხვდება პითაგორას ფორმულით $d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$, სადაც AD და DK არის ტოლი მართკუთხა სამკუთხედების ჰიპოტენუსები, და $Δx =x_2-x_1$ და $Δy=y_2-y_1$ არის ამ სამკუთხედების ფეხები, ე.ი. ვიპოვოთ ფეხები და ვიპოვოთ M წერტილის კოორდინატები $Δx=x_D-x_A = -2+6=4$, და $Δy=y_D-y_A = 5-8=-3$, შემდეგ კოორდინატები M წერტილის ტოლი იქნება \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), და $y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 $, აღმოვაჩინეთ, რომ $M(2;2)$ წერტილის კოორდინატები

1-20 ამოცანებში მოცემულია ABC სამკუთხედის წვეროები.
იპოვეთ: 1) AB გვერდის სიგრძე; 2) AB და AC გვერდების განტოლებები და მათი კუთხური კოეფიციენტები; 3) შიდა კუთხე A რადიანებში 0,01 სიზუსტით; 4) CD-ის სიმაღლისა და მისი სიგრძის განტოლება; 5) წრის განტოლება, რომლის სიმაღლე CD არის დიამეტრი; 6) ABC სამკუთხედის განმსაზღვრელი წრფივი უტოლობების სისტემა.

სამკუთხედის გვერდის სიგრძე:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|ძვ.წ.| = 14.14
მანძილი d M წერტილიდან: d = 10
მოცემულია სამკუთხედის წვეროების კოორდინატები: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) სამკუთხედის გვერდების სიგრძე
მანძილი d შორის M 1 (x 1 ; y 1) და M 2 (x 2 ; y 2) წერტილებს შორის განისაზღვრება ფორმულით:

8) წრფის განტოლება
სწორი ხაზი, რომელიც გადის A 1 (x 1 ; y 1) და A 2 (x 2 ; y 2) წერტილებზე წარმოდგენილია განტოლებით:

AB წრფის განტოლება

ან

ან
y = -3 / 4 x -7 / 4 ან 4y + 3x +7 = 0
AC წრფის განტოლება
წრფის კანონიკური განტოლება:

ან

ან
y = 1 / 2 x + 9 / 2 ან 2y -x - 9 = 0
წრფის განტოლება BC
წრფის კანონიკური განტოლება:

ან

ან
y = -7x + 42 ან y + 7x - 42 = 0
3) კუთხე სწორ ხაზებს შორის
სწორი წრფის განტოლება AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
წრფის განტოლება AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
კუთხე φ ორ წრფეს შორის, მოცემული განტოლებებით კუთხური კოეფიციენტებით y = k 1 x + b 1 და y 2 = k 2 x + b 2, გამოითვლება ფორმულით:

ამ ხაზების ფერდობებია -3/4 და 1/2. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა და ავიღოთ მისი მარჯვენა მხარის მოდული:

tg φ = 2
φ = არქტანი (2) = 63,44 0 ან 1,107 რად.
9) სიმაღლის განტოლება C წვეროზე
სწორ ხაზს, რომელიც გადის N 0 წერტილში (x 0 ;y 0) და სწორი ხაზის პერპენდიკულარულია Ax + By + C = 0, აქვს მიმართულების ვექტორი (A;B) და, შესაბამისად, წარმოდგენილია განტოლებებით:

ეს განტოლება სხვა გზითაც შეიძლება მოიძებნოს. ამისათვის ვიპოვოთ AB სწორი ხაზის k 1 დახრილობა.
AB განტოლება: y = -3 / 4 x -7 / 4, ე.ი. k 1 = -3 / 4
ორი სწორი წრფის პერპენდიკულარობის პირობიდან ვიპოვოთ პერპენდიკულარის k კუთხური კოეფიციენტი: k 1 *k = -1.
ამ ხაზის დახრილობის ჩანაცვლებით k 1-ის ნაცვლად, მივიღებთ:
-3 / 4 k = -1, საიდანაც k = 4 / 3
ვინაიდან პერპენდიკულარი გადის C(5,7) წერტილში და აქვს k = 4/3, ჩვენ ვეძებთ მის განტოლებას სახით: y-y 0 = k(x-x 0).
x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 ჩანაცვლებით მივიღებთ:
y-7 = 4/3 (x-5)
ან
y = 4 / 3 x + 1 / 3 ან 3y -4x - 1 = 0
ვიპოვოთ AB წრფესთან გადაკვეთის წერტილი:
ჩვენ გვაქვს ორი განტოლების სისტემა:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ y-ს და ვცვლით მეორე განტოლებით.
ჩვენ ვიღებთ:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) C წვეროდან გამოყვანილი სამკუთხედის სიმაღლის სიგრძე
მანძილი d M 1 წერტილიდან (x 1 ;y 1) სწორ ხაზამდე Ax + By + C = 0 უდრის სიდიდის აბსოლუტურ მნიშვნელობას:

იპოვეთ მანძილი C(5;7) წერტილსა და AB წრფეს შორის (4y + 3x +7 = 0)

სიმაღლის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს სხვა ფორმულის გამოყენებით, როგორც მანძილი C(5;7) და წერტილი D(-1;-1) შორის.
ორ წერტილს შორის მანძილი გამოიხატება კოორდინატებით ფორმულით:

5) წრის განტოლება, რომლის სიმაღლე CD არის დიამეტრი;
R რადიუსის წრის განტოლებას ცენტრით E(a;b) წერტილში აქვს ფორმა:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
ვინაიდან CD არის სასურველი წრის დიამეტრი, მისი ცენტრი E არის CD სეგმენტის შუა წერტილი. სეგმენტის ნახევრად გაყოფის ფორმულების გამოყენებით მივიღებთ:

ამიტომ, E(2;3) და R = CD / 2 = 5. ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ სასურველი წრის განტოლებას: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) ABC სამკუთხედის განმსაზღვრელი წრფივი უტოლობების სისტემა.
AB წრფის განტოლება: y = -3 / 4 x -7 / 4
AC წრფის განტოლება: y = 1 / 2 x + 9 / 2
BC წრფის განტოლება: y = -7x + 42

პრობლემა 1. ABC სამკუთხედის წვეროების კოორდინატები მოცემულია: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). იპოვეთ: 1) AB გვერდის სიგრძე; 2) AB და BC გვერდების განტოლებები და მათი კუთხური კოეფიციენტები; 3) კუთხე B რადიანებში ორი ციფრის სიზუსტით; 4) სიმაღლის CD და მისი სიგრძის განტოლება; 5) AE მედიანას განტოლება და ამ მედიანას გადაკვეთის K წერტილის სიმაღლის CD კოორდინატები; 6) სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის K წერტილში AB გვერდის პარალელურად; 7) M წერტილის კოორდინატები, რომლებიც სიმეტრიულად მდებარეობს A წერტილის მიმართ სწორი ხაზის CD-სთან მიმართებაში.

გამოსავალი:

1. მანძილი d A(x 1 ,y 1) და B(x 2,y 2) წერტილებს შორის განისაზღვრება ფორმულით.

(1) გამოყენებით ვპოულობთ AB მხარის სიგრძეს:

2. A(x 1 ,y 1) და B(x 2 ,y 2) წერტილებში გამავალი წრფის განტოლებას აქვს ფორმა.

(2)

A და B წერტილების კოორდინატების (2) ჩანაცვლებით, მივიღებთ AB მხარის განტოლებას:

y-ის ბოლო განტოლების ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ვპოულობთ AB გვერდის განტოლებას სწორი ხაზის განტოლების სახით კუთხოვანი კოეფიციენტით:

სადაც

B და C წერტილების კოორდინატების (2) ჩანაცვლებით, მივიღებთ BC სწორი წრფის განტოლებას:

ან

3. ცნობილია, რომ ორ სწორ წრფეს შორის კუთხის ტანგენსი, რომელთა კუთხური კოეფიციენტები შესაბამისად ტოლია, გამოითვლება ფორმულით.

(3)

სასურველ კუთხეს B ქმნიან AB და BC სწორი ხაზებით, რომელთა კუთხური კოეფიციენტები გვხვდება: (3) გამოყენებით ვიღებთ

ან მიხარია.

4. მოცემულ წერტილში მოცემული მიმართულებით გამავალი სწორი წრფის განტოლებას აქვს ფორმა

(4)

სიმაღლე CD არის AB მხარის პერპენდიკულარული. სიმაღლის CD დახრის საპოვნელად ვიყენებთ ხაზების პერპენდიკულარობის პირობას. Მას შემდეგ (4) C წერტილის კოორდინატებით და სიმაღლის ნაპოვნი კუთხური კოეფიციენტით ჩანაცვლებით, მივიღებთ

სიმაღლის CD სიგრძის საპოვნელად ჯერ განვსაზღვრავთ D წერტილის კოორდინატებს - AB და CD სწორი ხაზების გადაკვეთის წერტილი. სისტემის ერთად გადაჭრა:

ვპოულობთ ე.ი. D(8;0).

ფორმულის გამოყენებით (1) ვიპოვით სიმაღლის CD სიგრძეს:

5. AE მედიანას განტოლების საპოვნელად ჯერ განვსაზღვრავთ E წერტილის კოორდინატებს, რომელიც არის BC მხარის შუა ნაწილი სეგმენტის ორ ტოლ ნაწილად დაყოფის ფორმულების გამოყენებით:

(5)

აქედან გამომდინარე,

A და E წერტილების კოორდინატების (2) ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ მედიანის განტოლებას:

სიმაღლის CD და მედიანას AE გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების საპოვნელად ერთად ვხსნით განტოლებათა სისტემას.

Ჩვენ ვიპოვეთ.

6. ვინაიდან სასურველი სწორი ხაზი AB გვერდის პარალელურია, მისი კუთხური კოეფიციენტი AB სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტის ტოლი იქნება. ნაპოვნი K წერტილის კოორდინატებისა და კუთხური კოეფიციენტის (4) ჩანაცვლებით ვიღებთ

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. ვინაიდან სწორი ხაზი AB არის მართკუთხა CD-ზე პერპენდიკულარული, სასურველი წერტილი M, რომელიც სიმეტრიულად მდებარეობს A წერტილის მიმართ სიმეტრიულად სწორ ხაზთან CD-სთან მიმართებაში, დევს AB სწორ ხაზზე. გარდა ამისა, წერტილი D არის AM სეგმენტის შუა წერტილი. ფორმულების (5) გამოყენებით ვპოულობთ სასურველი წერტილის M კოორდინატებს:

სამკუთხედი ABC, სიმაღლე CD, მედიანა AE, სწორი ხაზი KF და წერტილი M აგებულია xOy კოორდინატულ სისტემაში ნახ. 1.

დავალება 2. შექმენით განტოლება იმ წერტილების ლოკუსისთვის, რომელთა მანძილი მოცემულ წერტილამდე A(4; 0) და მოცემულ წრფესთან x=1 უდრის 2-ს.

გამოსავალი:

xOy კოორდინატთა სისტემაში ვაშენებთ A(4;0) წერტილს და სწორ ხაზს x = 1. მოდით M(x;y) იყოს წერტილების სასურველი გეომეტრიული მდებარეობის თვითნებური წერტილი. ჩამოვწიოთ პერპენდიკულარული MB მოცემულ წრფეზე x = 1 და განვსაზღვროთ B წერტილის კოორდინატები. ვინაიდან B წერტილი დევს მოცემულ წრფეზე, მისი აბსციზა უდრის 1-ს. B წერტილის ორდინატი უდრის M წერტილის ორდინატს. მაშასადამე, B(1;y) (ნახ. 2).

პრობლემის პირობების მიხედვით |მა|: |მვ| = 2. დისტანციები |MA| და |მბ| 1-ის პრობლემის ფორმულიდან (1) ვპოულობთ:

მარცხენა და მარჯვენა მხარეების კვადრატში ვიღებთ

შედეგად მიღებული განტოლება არის ჰიპერბოლა, რომელშიც რეალური ნახევრადღერძი არის a = 2, ხოლო წარმოსახვითი ნახევარღერძი არის

განვსაზღვროთ ჰიპერბოლის კერები. ჰიპერბოლისთვის, თანასწორობა დაკმაყოფილებულია და - ჰიპერბოლური ხრიკები. როგორც ხედავთ, მოცემული წერტილი A(4;0) არის ჰიპერბოლის სწორი ფოკუსი.

მოდით განვსაზღვროთ მიღებული ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა:

ჰიპერბოლის ასიმპტოტების განტოლებებს აქვთ ფორმა და . მაშასადამე, ან და არის ჰიპერბოლის ასიმპტოტები. ჰიპერბოლის აგებამდე ჩვენ ვაშენებთ მის ასიმპტოტებს.

პრობლემა 3. შექმენით განტოლება A(4; 3) წერტილიდან თანაბარი მანძილით დაშორებული წერტილების ლოკუსისა და y = 1 სწორი ხაზისთვის. შედეგად მიღებული განტოლება მის უმარტივეს ფორმამდე მიყვანეთ.

გამოსავალი:მოდით M(x; y) იყოს წერტილების სასურველი გეომეტრიული ლოკუსის ერთ-ერთი წერტილი. მოდით ჩამოვაგდოთ პერპენდიკულარული MB M წერტილიდან ამ სწორ წრფეზე y = 1 (ნახ. 3). განვსაზღვროთ B წერტილის კოორდინატები. ცხადია, B წერტილის აბსციზა უდრის M წერტილის აბსცისა, ხოლო B წერტილის ორდინატი 1-ის, ანუ B(x; 1). პრობლემის პირობების მიხედვით |MA|=|MV|. შესაბამისად, ნებისმიერი M(x;y) წერტილისთვის, რომელიც მიეკუთვნება წერტილების სასურველ გეომეტრიულ ადგილს, შემდეგი ტოლობა მართალია:

შედეგად მიღებული განტოლება განსაზღვრავს პარაბოლას წვეროსთან ერთად იმისთვის, რომ პარაბოლის განტოლება მის უმარტივეს ფორმამდე მივიყვანოთ, დავაყენოთ y + 2 = Y, შემდეგ პარაბოლის განტოლება იღებს ფორმას: